Esercitazioni elementarisu probabilità e associazioni

di oggetti vari

Proposta a utenti da 9 a 12 anniuso di carta, penna, modellini vari

Si propone un problema , si fornisce una soluzione per confronto

Si forniscono essenziali formule e terminologie per eventualiapprofondimenti con insegnante

Urna con 10 palline : 5 rosse e 5 blu :S 10, R 5, B 5

E1 = esce pallina rossa

E2 = esce pallina blu

P(E1) = 5 / 10 = 1 / 2

P(E2) = 5 /10 = 1 / 2

Prima estrazione , con reinserimento

seconda estrazione : condizioni immutate rispetto alla prima

E1 = esce pallina rossa

E2 = esce pallina blu

P(E1) = 5 / 10 = 1 / 2

P(E2) = 5 /10 = 1 / 2

Esce rossa o blu, poi reinserita

Probabilità immutate

Eventi E1 e E2 indipendenti, non correlati

Urna con 10 palline : 5 rosse e 5 blu : S 10 , R 5, B 5

E1 = esce pallina rossa

E2 = esce pallina blu

P(E1) = 5 / 10 = 1 / 2

P(E2) = 5 /10 = 1 / 2

Prima estrazione , senza reinserimento

seconda estrazione :condizione modificata rispetto alla prima: S 9 , R 4, B 5

E1 = esce pallina rossa

E2 = esce pallina blu

P(E1) = 4 / 9

P(E2) = 5 /9

Uscita pallina rossa

Probabilità modificate p(E2) > p(E1)

E1 e E2 correlati :

2 Urne con 10 palline : 5 rosse e 5 blu : S 10, R 5, B 5

P(E11) = 5 / 10 = 1 / 2

P(E21) = 5 /10 = 1 / 2

estrazione da urna 1

E11 = esce rossa

E21 = esce blu

Uscita pallina rossa

estrazione da urna 2

Estrazione seconda pallina : da urna 1 con condizione modificata, S 9 ,R 4 , B 5: cambia anche la probabilità p(E11) < p(E21)

Estrazione seconda pallina : da urna 2 con condizione immutataS 10 , R 5, B 5 :la probabilità rimane immutata p(E12) = p(E22)

E11 , E21 non correlati con E12, E22

P(E12) = 5 / 10 = 1 / 2

P(E22) = 5 /10 = 1 / 2

E12 = esce rossa

E22 = esce blu

Lancio di un dado: E12= uscita numero dispari o 2

1 3 5

2E2 = [2)

E1 = [1,3,5)

Nessun elemento in comune : incompatibili

p(E1)= 3 / 6

p(E1) = 1 /6

E12= [1,3,5,2] P(E12) = 4 / 6 = 2 /3P ( E1 U E2 ) = p(E1) + p(E2)

La probabilità della unione di due eventi incompatibili è uguale allasomma delle probabilità dei singoli eventi

E1 ∩ E2 = Ø

Lancio dado: E12 = uscita numero pari, minore di 5: (E1 U E2)

E1 = [1,2,3,4]

E2 = [2,4,6]

p(E1) = 4 /6

P(E2) = 3 / 6

1 2 3 4 2 4 6

1 3 2 4 2 4 6

1 3 6 2 4 E1 ∩ E2 = [2,4] = 2 ≠ Ø: compatibili

P(E1 ∩ E2) = 2 / 6

P(E12) = p(E1) + p(E2) – p(E1 ∩ E2 ) = 4 & / + 3 /6 – 2 / 6 = 5 /6

La probabilità della unione di due eventi compatibili è uguale allasomma delle probabilità dei singoli eventi – la probabilità della

loro intersezione

Lancio di due dadi :S = 36

B =[14,23,32,41] = 4 eventi favorevoli per ottenere 5 : p(B) = 4/36

A =[12,22,32,42,52,62,21,23,24,25,26] = 11 eventi che forniscono 2: p(A)=11/36

2 eventi forniscono 5 come somma di 2 esiti e contengono 2

Probabilità che un dado fornisca esito A = 2 essendo verificato B: (A|B)

14, 23, 32, 41 12,22,32,42,52,62,21,23,24,25,26

14,41, 23, 32 32, 23 , 12, 22, 42, 52, 62, 21, 24, 25, 26

14, 41 12, 22, 42, 52, 62, 21, 24, 25, 26 23, 32 A ∩ B = (23, 32) = 2

P(A | B) = ( A ∩ B ) / B = 2 / 4 = 1 /2

B : la somma di due esiti verificata sia 5

Esito A condizionato dall’esito B

x 2

A = uscita del numero 2 (11) : p(A)= 11/36

B = somma numeri = 5 (4) .p(B) = 4 /36

Se B verificato, A cambia spazio campioni (da 36 a 4) e numerocoppie contenenti 2 (da 11 a 2): p(A) = 2/4 = 1/2

P(A|B) = (A ∩ B) / B = 2 / 4 = 1 /2

Probabilità di sopravvivenza di un topo attaccato da un gatto che deve nutrire la cucciolata di 4 gattini, catturando ogni volta un topo da una

gabbia che contiene n topi

Può essere catturato sopravvive

1 / 10 9/10 =0.9

1 / 9

1 / 8

1 / 7

8 /9 = 0.88

7/8=0.87

6/7=0.85

10

9

8

7

6 Evidentemente la probabilità di sopravvivenza aumenterebbese la popolazione di topi iniziale fosse maggiore e viceversa

1/10 99/100=0.99

1/99 98/99 = 0.9898

1/98 97/98 = 0.9897

1/97 96/97 = 0.9896

Hai 4 manichini da rivestire usando calzoni(blu, verde), camicia(rossa,gialla)

Dn,k = n^k = 2^2 = 4

Dn,k = n^k = 2^2 = 4

Hai 4 manichini da rivestire usando calzoni(blu, verde), camicia(blu,verde)

Hai 27 manichini da rivestire con calzoni, camicia, cappello in modo che ogni manichino abbia qualche elemento che lo distingue dagli altri

Colori blu, rosso, giallo per ogni indumento

Dn,k = D3,3= 3^3=27

27 possibili associazioni per manichini

27 possibili associazioni per manichini

Hai 3 gatti e 3 topi : associa nei modi possibili topi e gattiin modo che ogni coppia sia diversa per la composizione

(n+k-1)*n / k! (2+2-1)*2 /2! = 3

Hai 2 topi e 2 gatti crea coppie possibili con la stessa composizione e diverso ordine

n ! = 2! 2

Hai 10 topi, 10 gatti, 10 alligatori crea tutti i gruppi possibili a triplette, con diverso ordine, composizione

(n+k-1)*(n+k-2)n / k! (3+3-1)*(3+3-2)3 /3! = 5*4*3/6 = 10

Hai 6 topi, 6 gatti, 6 alligatori crea tutti i gruppi possibili che contengano 1 topo, 1 gatto, 1 alligatore in diverso ordine

n ! = 3! = 1*2*3 = 6

Formare associazioni con tre individui ,diversi;con tutti i possibili ordinamenti

n ! = 3! = 1*2*3 = 6

Hai 18 modelli : 6 topi, 6 gatti, 6 alligatoricrea tutte le coppie possibili , diverse per composizione, ordine

Dn,k = D3,2 = n^k = 3^2 = 9

Hai 6 topi, 6 gatti, 6 alligatori, 6 pupazzi: crea tute le coppie possibilicon diversi ordinamenti, o diversa composizione

Dn,k = D,4,2 = n(n-k+1) = 4(3) = 12

Hai 18 topi, 18 gatti, 18 alligatori, 18 pupazzi:crea triplette con diversa composizione o diverso ordinamento