Esercitazioni fisica

Meccanica e Tecnica delle Costruzioni MeccanicheEsercitazioni del corso. Periodo IIProf. Leonardo BERTINIIng. Ciro SANTUS

Esercitazione 01:

Calcolo degli spostamenti mediante il teoremadel Castigliano

Indice

1 Flessione fra tre punti 1

2 Flessione generata da piu` carichi 3

3 Utilizzo del carico ttizio 4

1 Flessione fra tre punti

In Fig.1 e` mostrato lo schema di una trave in essione su tre punti, carico in mezzeria e supportiverticali alle estremita`.

P

/ 2P / 2P

bh

G

l

/ 2P

[

fM

/ 4Pl

T

Figura 1: Trave in essione su tre punti.

1

Considerando il contributo della sola essione e applicando il teorema del Castigliano, si puo`calcolare lo spostamento del punto di mezzeria:

M =P

UM =P

l0

M2f2EI

d

=P

2 l/20

12EI

P2P2d =

P

P2

4EI

[ 3

3

]l/20

=148

Pl3

EI

(1)

Considerando il contributo della essione e anche quello del taglio (per la sezione rettangole ilfattore di taglio e`: = 6/5):

= M +T (2)

T =P

UT =P

l0

T 2

2GAd =

P

l0

65

(P/2)2

2GAd =

310

PlGA

(3)

A questo punto e` interessante valutare quantitativamente il peso dei due contributi.Considerando una trave snella: l = 1000 mm, b = 12 mm, h = 20 mm, sollecitata con uncarico P = 100 N (materiale acciaio, costanti elastiche: E = 205000 MPa, = 0.3, G = 78800MPa1), si ottiene: M = 1.270 mm e T = 0.002 mm. Il contributo del taglio e` minore dell1%.Considerando, invece, una trave tozza: l = 80 mm, b = 12 mm, h = 20 mm (stesso materiale estesso carico) si ottiene: M = 0.00065 mm e T = 0.00013 mm. In questo caso i due contributisono dello stesso ordine di grandezza, tuttavia la freccia totale e` molto piccola.

Da notare che nello svolgimento dellesempio precedente e` stata determinata lenergia elastica esuccessivamente e` stata eseguita loperazione di derivazione. Tuttavia si puo` osservare che valeil teorema:

P

l0

M2f2EI

= l0

MfMfP

EI(4)

Ritrovare la soluzione M relativa al caso precedente, sfruttando il teorema di derivazione intro-dotto. Notare come lonere di calcolo sia minore.

1Il modulo tangenziale G e` legato al modulo di Young E e al modulo di Poisson attraverso la relazione:

G =E

2(1+)

2

2 Flessione generata da piu` carichi

In Fig.2 e` mostrato lo schema di un telaio caricato da due forze, che entrambe produco uncontributo sullo spostamento orizzontale 1 del punto C.

1P

1l

1G

B

2P

A

C

2l

Figura 2: Telaio sollecitato da due carichi, o forze attive.

Determinare lo spostamento 1, considerando soltanto i termini essionali.

Soluzione:

1 =1EI

[l1l2

(P1l2 +

12P2l1

)+

13P1l32

](5)

Trovare lo spostamento 1 dello stesso telaio di Fig.2, nel caso in cui non ci sia la forza P1

Soluzione:Sostituire P1 = 0 nellequazione del risultato precedente:

1 =12P2l21 l2EI

(6)

3

3 Utilizzo del carico ttizio

La possibilita` di introdurre un carico e successivamente imporre tale carico nullo, al ne di tro-vare una componente di spostamento in un punto, suggerisce la tecnica del carico ttizio.

Determinare lo spostamento di rotazione B, per effetto del carico P1, nello schema di telaio diFig.3

1lB

1P

A

C

BM

2l

Figura 3: Utilizzo del carico ttizio.

Suggerimento:Determinare il momento ettente sui vari tratti, introducendo un momento ttizio MB (con dire-zione e verso secondo B), eseguire la derivata rispetto a MB, eseguire lintegrale sulla strutturaed inne imporre MB = 0. E` anche possibile imporre MB = 0 prima di eseguire lintegrale,ottenendo calcoli piu` veloci.

Soluzione:

B =P1l1l2EI (7)

4

Determinare la componente, secondo la direzione indicata, dello spostamento del punto C, dovee` applicata la forza P1, Fig.4

1l B

1P

A

CD

2l

DG

Figura 4: Componente di spostamento non allineata con il carico applicato.

Suggerimento:Trovare il vettore spostamento ed inne la componente secondo la direzione indicata.

Soluzione:

=P1l22EI

(l1 +

13l2

)cos()+

P1l21 l2EI

sin() (8)

5


Esercitazione 02:

Calcolo degli spostamenti mediante il metododegli integrali di Mohr

Indice

1 Flessione fra tre punti 1

2 Flessione generata da piu` carichi 2

3 Determinazione dello spostamento di generico punto 3

4 Equazione della linea elastica mediante lintegrale di Mohr 4

5 Risoluzione dellequazione differenziale della linea elastica 5

1 Flessione fra tre punti

In Fig.1(a) e` mostrato lo schema di una trave in essione su tre punti, carico in mezzeria esupporti verticali alle estremita`. Al ne di determinare lo spostamento verticale in mezzeria,utilizzando il teorema dei lavori virtuali si applica un carico unitario (esploratore) avente pun-to di applicazione, direzione e verso, coincidenti con lo spostamento che si intende valutare,Fig.1(b).E` importante sottolineare che il carico esploratore unitario ha punto di applicazione direzione everso secondo lo spostamento che si intende determinare, indipendentemente dal carico applica-to. Nel caso considerato il carico esploratore ha direzione e verso del carico reale che sollecitala struttura, ma questo e` dovuto solo al fatto che si cerca lo spostamento esattamente in quelpunto.Considerando il contributo della sola essione, si determina lo spostamento del punto di mez-zeria, combinando spostamento e deformazioni dello schema di carico generato da P, concaratteristiche e sollecitazioni del carico unitario, ottenendo la seguente forma (integrale diMohr):

1 (= L.V.E.) = l0

M(P)EI

M(1)d (= L.V.I.) (1)

1

P/ 2P / 2P

bh

G

l

/ 2P

[

fM

/ 4Pl

T

1l[

fM

/ 4l

T

12

121 N

2

(a) (b)

Figura 1: (a) Trave in essione su tre punti. (b) Carico esploratore unitario.

Essendo il carico unitario, il primo termine e` esattamente lo spostamento cercato. Conoscendole caratteristiche della sollecitazione e` quindi possibile risolvere lintegrale:

= 2 l/20

P/2EI

2d =

P2EI

[ 3

3

]l/20

=148

Pl3

EI(2)

Considerando il contributo della essione e anche quello del taglio (per la sezione rettangolareil fattore di taglio e`: = 6/5):

= M +T (3)

T = l0T (P)GA

T (1) = 2 l/20

65P/2GA

12d =

310

PlGA

(4)

Notare che si ritrovano gli stessi risultati ottenuti nellesercitazione precedente, utilizzando ilteorema di Castigliano. Infatti, il teorema dei lavori virtuali e quello di castigliano, anche sehanno una formulazione diversa, si implicano a vicenda. Piu` precisamente si puo` notare chela distribuzione di momento ettente (ed eventuali altre caratteristiche della sollecitazione chehanno un peso signicativo nel calcolo dello spostamento) ottenuta applicando lo spostamentoesploratore unitario (Mohr) coincide con la derivata del momento rispetto alla forza che agiscesul punto e secondo la direzione dello spostamento cercato (Castigliano). Secondo la notazionedellesercizio mostrato: M(1) = M/P. Quindi gli argomenti di integrazione di Castigliano edi Mohr coincidono, come era lecito attendersi dal momento che il risultato nale deve esserelo stesso.

2 Flessione generata da piu` carichi

In Fig.2 e` mostrato lo schema di un telaio caricato da due forze, che entrambe producono uncontributo sullo spostamento orizzontale 1 del punto C.Determinare lo spostamento 1, considerando soltanto i termini essionali, utilizzando il metododellintegrale di Mohr.

2

1P

1l

1G

B

2P

A

C

2l

Figura 2: Telaio sollecitato da due carichi, o forze attive.

Soluzione:

1 =1EI

[l1l2

(P1l2 +

12P2l1

)+

13P1l32

](5)

3 Determinazione dello spostamento di generico punto

Il metodo degli integrali di Mohr fa sempre riferimento a due sistemi di carico: quello effet-tivamente agente sulla struttura e quello esploratore unitario, che ha la funzione di porre inevidenza lo spostamento cercato. A differenza del metodo del Castigliano, non ce` nessuna dif-ferenza formale nellutilizzo di tale metodo per determinare lo spostamento in un punto secondola direzione di una forza effettivamente presente, piuttosto che lo spostamento in un qualsiasipunto della struttura non caricato.

Determinare lo spostamento di rotazione B, per effetto del carico P1, nello schema di telaio diFig.3.

1lB

1P

A

C

BM

2l

Figura 3: Utilizzo del carico ttizio.

Suggerimento:Introdurre un momento esploratore unitario in corrispondenza di B, con direzione e verso se-condo B.

3

Soluzione:

B =P1l1l2EI (6)

4 Equazione della linea elastica mediante lintegrale di Mohr

Mediante lintegrale di Mohr (ma anche attraverso il metodo del Castigliano) si puo` determinarele componenti di spostamento in tutti i punti di una struttura, secondo una direzione, ottenendoquindi lequazione della linea elastica.

Determinare la linea elastica della trave incastrata (con carico non allestremita`, Fig.4), mediantelintegrale di Mohr.

1l B

PA

lz

z B1

A[

( )u z

Figura 4: Trave incastrata con carico non di estremita`, condizione di carico esploratore unitarionella generica posizione z.

Suggerimento:Introdurre un carico esploratore unitario in una generica posizione z. Tenere presente che lavariabile z non deve essere confusa con la variabile di integrazione .

Soluzione:Per z l1:

u(z) =Pz2

2EI

(l1 z3

)(7)

Per z > l1:

u(z) =Pl212EI

(z l1

3

)(8)

4

5 Risoluzione dellequazione differenziale della linea elastica

Una trave sollecitata a essione nel piano (trascurando leffetto del taglio) si deforma secondolequazione differenziale ordinaria lineare del secondo ordine:

d2u(z)dz2

=MEI

(9)

Conoscendo le caratteristiche della sollecitazione e` quindi possibile risolvere lequazione diffe-renziale della linea elastica, ed imporre le condizioni al contorno:

in corrispondenza di un vincolo di spostamento nullo, in un punto z, la condizione daimporre e`: u(z) = 0;

un vincolo di incastro, inoltre elimina anche la rotazione, per cui le condizioni da imporresono: u(z) = 0, du(z)/dz = 0;

in un punto in cui il momento ettente e` nullo (ad esempio una cerniera o un appoggio diestremita`) la condizione da imporre e`: d2u(z)/dz2 = 0;

Risolvere lequazione differenziale appena mostrata, nel caso di trave incastrata e sollecitata daun carico P non di estremita`, Fig.4.

Suggerimento:Risolvere prima il tratto di sinistra, successivamente utilizzare spostamento e derivata prima perrisolvere il tratto di destra.

Soluzione:Per z l1:

u(z) =Pz2

2EI

(l1 z3

)(10)

Per z > l1:

u(z) =Pl212EI

(z l1

3

)(11)

5


Esercitazione 03:

Calcolo della linea elastica e carico critico distrutture a trave

Indice

1 Trave incastrata in essione a sezione variabile 1

2 Trave appoggiata su due punti, caricata a sbalzo 2

3 Instabilita` dellequilibrio di strutture a trave caricate di punta 33.1 Sistemi ad elasticita` concentrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.2 Trave ad elasticita` distribuita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1 Trave incastrata in essione a sezione variabile

In Fig.1 e` mostrato lo schema di una trave incastrata, sollecitata da un carico ettente di estre-mita`, la cui sezione b e` variabile lungo lasse della trave, ed e` pari a b0 in corrispondenzadellincastro.

F

( )u z

z

0b

h

Figura 1: Trave incastrata, sollecitata da un carico ettente di estremita`, con sezione variabile.

Determinare labbassamento dellasse della trave u in funzione della coordinata curvilinea z,considerando soltanto i termini essionali. Confrontare la soluzione ottenuta con quella relativaal caso notevole di trave incastrata e caricata allestremita`, con sezione uniforme.

1

Soluzione:

u(z) =6Fl

Eb0h3z2 (1)

2 Trave appoggiata su due punti, caricata a sbalzo

In Fig.2 e` mostrato lo schema di una trave appoggiata su due punti e sollecitata da un caricoettente posto a sbalzo.

F ( )u z

z

BA

C

a b

'z

Figura 2: Trave su due appoggi con carico a sbalzo.

Determinare labbassamento dellasse della trave u in funzione della coordinata curvilinea z,considerando soltanto i termini essionali.

Suggerimento: Trovare lintegrale generale nei due tratti AB e BC, imporre spostamento nulloin corrispondenza degli appoggi B e C ed inne imporre la condizione di continuita` e di tangen-za in corrispondenza del punto B. Utilizzare la coordinata z nel primo tratto, mentre risulta piu`comodo introdurre unaltra coordinata z per il secondo tratto.

Soluzione:

Tratto AB:

u(z) =Fz3

6EI Fa

EI

(a2

+b3

)z+

Fa2

3EI(a+b) (2)

Tratto BC:

u(z) =Fz3

6EIab

+Faz2

2EI Fab

3EIz (3)

2

3 Instabilita` dellequilibrio di strutture a trave caricate di punta

3.1 Sistemi ad elasticita` concentrata

In Fig.3 e` mostrato lo schema di una trave dotata di una sconnessione in mezzeria, sostenutada un elemento ad elasticita` concentrata (molla essionale) e caricata da una forza P secondolasse della trave.

PM

B

A

Cl kM

lM

C 2k

PlM v

P

Figura 3: Trave caricata di punta con sconnessione in mezzeria ed elasticita` concentrata.

La condizione indeformata e` di equilibrio, ma, tale equilibrio perde di stabilita` ad un certo va-lore del carico, detto carico critico PC.Al ne di valutare lentita` del carico critico e` necessario considerare la struttura in una congu-razione diversa da quella indeformata. Tuttavia, e` di interesse soltanto il carico critico e non ilcomportamento successivo alla perdita di stabilita`. Per cui e` possibile sfruttare tutte le sempli-cazioni relative alla linearizzazione e scrivere la condizione di equilibrio nella congurazionedeformata:

Pv k 2vl = 0 (4)

Al ne di avere tale condizione soddisfatta, con spostamento v non nullo, e` necessario che:

P2kl

= 0 (5)

per cui il carico critico e` pari a:

PC = 2kl

(6)

Avendo sfruttato la linearizzazione non e` possibile avere nessuna informazione circa il compor-tamento dopo aver raggiunto il carico critico. Spesso non e` di interesse tale informazione, inquanto e` bene che la struttura rimanga lontana dalla condizione di perdita di stabilita`.

3

Determinare il carico critico relativo alla struttura di Fig.4.

P

B

A

C1l

kM

2l

Figura 4: Trave caricata di punta con sconnessione non in mezzeria ed elasticita` concentrata.

Soluzione:

PC =kl

,1l

=1l1

+1l2

(7)

Determinare il carico critico relativo alla struttura di Fig.5.

PB

A kMl

Figura 5: Trave caricata di punta, incernierata alla base con elasticita` concentrata.

Soluzione:

PC =kl

(8)

4

Osservazione:Notare che il carico critico della struttura di Fig.5 e` lo stesso di quella della struttura di Fig.4,nel caso in cui: l2 l1.

Determinare il carico critico relativo alla struttura di Fig.6, in cui compaiono due sconnessionielastiche.

P

a

kMkM

a

a

Figura 6: Trave caricata di punta, dotata di due sconnessioni ad elasticita` concentrata.

Suggerimento:Notare che la generica congurazione deformata e` funzione di due parametri, ad esempio glispostamenti orizzontali dei due punti intermedi. La condizione di equilibrio diventa quindi unsistema. Lequilibrio perde la stabilita` in corrispondenza del carico per il quale il sistema am-mette innite soluzioni, ossia determinante della matrice del sistema nullo.

Soluzione:

PC =ka

(9)

5

3.2 Trave ad elasticita` distribuita

Le strutture mostrate in precedenza hanno interesse didattico, tuttavia, le travi sono caratteriz-zate da elasticita` distribuita, piuttosto che concentrata.Il caso piu` semplice di calcolo di carico critico con struttura a trave (elasticita` distribuita) e` for-nito dalla trave caricata di punta con estremita` vincolata lateralmente (trave di Eulero), Fig.7.

PB

A

l

( )v [

[

2

2

d 0d

vEI P v[

Figura 7: Trave caricata di punta ed incernierata alla base.

Ce` una profonda differenza fra il calcolo della linea elastica per strutture che non si discostanomolto dalla loro congurazione di riferimento ed invece problemi di instabilita`, dove la minimaperturbazione dalla congurazione di riferimento e` la causa stessa della perdita di stabilita`. Ilmomento ettente Pv e` appunto generato dalla deformazione stessa della struttura.Imponendo lequazione della linea elastica, nella congurazione deformata rispetto allequili-brio:

EId2vd 2

+Pv = 0 (10)

ponendo:

=

PEI

(11)

ed utilizzando lapice per intendere la derivata rispetto allascissa curvilinea , si puo` riscriverelequazione della linea elastica secondo la forma:

v+ 2v = 0 (12)

che ammette come integrale generale:

v( ) = Asin( )+Bcos( ) (13)

Imponendo la condizione al contorno:

v( = 0) = 0 (14)

segue che: B = 0.Inne, imponendo laltra condizione di spostamento nullo allestremita`, si ottiene:

Asin( l) = 0 (15)

Anche in questo caso si ripresenta la soluzione indeformata: A = 0, ma anche la possibilita` diavere una soluzione deformata che soddis le condizioni al contorno:

sin( l) = 0 (16)

6

che e` risolta da:

l = n (17)

E` opportuno determinare soltanto la prima delle soluzioni (n = 1), dato che se la struttura perdela stabilita` ad un certo carico non ha interesse il comportamento a carichi piu` alti. Quindi indenitiva il carico critico e` dato dalla condizione precedente sostituendo n = 1 (carico di criticodi Eulero):

PC =2EIl2

(18)

Il risultato appena trovato e` corretto, tuttavia, limposizione dellequazione differenziale dellalinea elastica, Eq.10, e` valida solo nei casi particolari in cui e` possibile scrivere il momentoettente in funzione dello spostamento incognito. Nel caso di Fig.8, invece, il carico P generaun momento ettente variabile lungo la trave che e` funzione dello spostamento v( ) ma anchedello spostamento dellestremita` v(l).

PB

A

l

( )v [

[

2

2

d [ ( ) ( )] 0d

vEI P v l v [[

Figura 8: Trave caricata di punta, incastro alla base ed estremita` libera.

Lequazione della linea elastica e`:

EId2vd 2

+Pv = Pv(l) (19)

che e` a differenza della precedente presenta un termine noto. Questa equazione differenzialepuo` essere riscritta introducendo , con lo stesso signicato del caso precedente:

v+ 2v = 2v(l) (20)

ed ammette la soluzione:

v( ) = Asin( )+Bcos( )+ c1 (21)

7

Determinare il carico critico, di perdita di stabilita` a carico di punta, per il caso di Fig.8.

Suggerimento:Utilizzare la soluzione dellequazione differenziale Eq.21, ed imporre le condizioni al contorno.

Soluzione:

PC =2EI4l2

(22)

Osservazione:Si puo` ritrovare la stessa soluzione per similitudine geometrica dal caso di Eulero, precedente-mente risolto.

8


Esercitazione 04:

Collegamenti bullonati

Indice

1 Flangia bullonata sottoposta a sollecitazione generica 11.1 Calcolo delle azioni sui bulloni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Verica statica bullone, criterio di locale aderenza fra le piastre . . . . . . . . . 2

2 Collegamento bullonato fra due travi 4

3 Collegamento con distribuzione dei bulloni non a doppia simmetria 5

1 Flangia bullonata sottoposta a sollecitazione generica

1.1 Calcolo delle azioni sui bulloni

In Fig.1 si mostra una angia bullonata che collega due piastre, di cui una e` vincolata al suolo,mentre laltra e` saldata ad un telaio sollecitato da carichi esterni.

P

N.8 bulloni

1L2L2

h

1h

Figura 1: Flangia bullonata.

Al ne di determinare le sollecitazioni che agiscono sui singoli bulloni, il piano della angiapuo` essere visto come la sezione di una trave, in cui larea e` sostituita da elementi puntiformi incorrispondenza delle posizioni dei bulloni. Nelle zone di competenza dei bulloni agiscono deicarichi tali da garantire lequilibrio. Facendo alcune ipotesi sulla distribuzione di tali carichi eimponendo lequilibrio e` possibile stimarli. In Fig.2 si mostrano le distribuzioni di carichi suibulloni, per effetto delle sollecitazioni di: azione normale, taglio, momento ettente e momento

1

torcente.

iNNn

N

iTTn

T

t

02

0

i i

jj

MT dI

I d

tM

id

fMiy

f

2

i ix

x jj

MN yI

I y

Figura 2: Distribuzioni dei carichi sui bulloni, per effetto delle varie sollecitazioni.

Nel caso di azione normale o taglio, semplicemente il carico si ripartisce equamente sui varibulloni. Nel caso di essione o torsione si assume lipotesi di piastra molto piu` rigida deibulloni e quindi le forze sono proporzionali alla distanza dallasse neutro, per la essione, e dalbaricentro, per la torsione.

Determinare le sollecitazioni che agiscono sui singoli bulloni relativi alla condizione di caricodi Fig.1.I dati del problema sono:

P = 10 kNL1 = 3 mL2 = 2 mh1 = 200 mmh2 = 150 mm

(1)

Individuare il bullone che subisce lazione tangenziale maggiore (in modulo) e quello che su-bisce lazione di forza normale maggiore (con segno, ossia quello che subisce unazione ditrazione maggiore).

Soluzione:Uno dei bulloni della angia subisce la massima azione tangenziale di Tmax = 14.4 kN, e anchela massima azione di trazione di Nmax = 33.3 kN.

1.2 Verica statica bullone, criterio di locale aderenza fra le piastre

I bulloni vengono preserrati con un carico relativamente elevato, altrimenti la loro condizione diesercizio non e` corretta. Il preserraggio dei bulloni genera una condizione di compressione fra

2

le piastre. Prima dellapplicazione di carichi esterni la forza di preserraggio sui bulloni e` ugualeallazione di compressione fra le piastre. Successivamente, la presenza di azione di trazionegenera una riduzione della forza locale di compressione fra le piastre, Fig.3.

iF

T

i F NT

N

i s

Aderenza:( ) !F N f T

Figura 3: Azioni che agiscono nella zona intorno al bullone.

N e` lazione di trazione, le piastre sono quindi in compressione di una forza pari a: FiN, incui Fi e` la forza di preserraggio iniziale. T e` lazione tangenziale da garantire, la condizione diaderenza che deve essere soddisfatta e`:

(FiN) fs > T

in cui fs e` il coefciente di attrito di primo distacco o di aderenza.Il precarico da imporre al bullone Fi e` pari a:

Fi = 0.9SpAt

in cui: Sp e` la massima tensione di precarico che e` molto alta, pari al 90% del carico di sner-vamento, e At e` larea della sezione resistente. Il diametro con il quale si valuta la sezioneresistente e` circa diametro esterno della lettatura (cresta dei letto) meno il passo della llet-tatura, per tenere di conto che il diametro della vite non e` pieno. Tipicamente non si sfrutta almassimo la tensione di precarico, da cui il coefciente 0.9 nella formula di Fi.

Vericare la condizione di aderenza fra le due piastre del bullone relativo allesercitazione pre-cedente su cui agisce azione tangenziale e forza di trazione massime (ipotizzando che sia statoapplicato il serraggio opportuno).Assumere:fs = 0.2,Classe del bullone buona: SAE 8.8, Sp = 600 MPa (pari a circa 0.9SY),Diametro esterno della vite, d = 22 mm, passo p = 2.5 mm.

Soluzione:La condizione di aderenza fra le piastre risulta vericata.

3

2 Collegamento bullonato fra due travi

In Fig.4 si mostra un collegamento bullonato, al ne di realizzare un incastro fra due travi.

yP

N.6 bulloni L

h

b

x

y

z

zP

Figura 4: Collegamento bullonato fra due travi.

La forza ha una direzione generica per cui, nella sezione di bullonatura, si ha: forza normale,taglio, essione e torsione.I dati del problema sono:

Py = 1000 NPz = 500 NL = 800 mmb = 50 mmh = 50 mmClasse bullone SAE: 5.8, Sp = 380 MPa

(2)

Determinare il bullone che presenta la situazione piu` sfavorevole di azione di tangenziale / azio-ne di trazione. Vericare la condizione di aderenza, considerando stesso materiale dellesercizioprecedente e diametro vite d = 10 mm, passo p = 1.5 mm.

Suggerimento:Vericare che le azioni tangenziale e normale sui bulloni generate da forza normale e tagliosono trascurabili, rispetto a quelle generate da essione torsione.

Soluzione:La condizione di aderenza risulta vericata, anche se con un margine ridotto. Quindi si sugge-risce di utilizzare unaltra classe di materiale del bullone, o un diametro d maggiore, al ne diavere un preserraggio piu` elevato.

4

3 Collegamento con distribuzione dei bulloni non a doppia simme-tria

In Fig.5 si mostra una angia bullonata che realizza lincastro di una trave a essione. In questocaso lo schema dei bulloni non ammette due simmetrie.

P

N.9 bulloni

2h

1h

b

xy

G L

Figura 5: Flangia bullonata trave a essione, schema dei bulloni non simmetrico.

La disposizione dei bulloni di Fig.5 e` ottimizzata. La densita` dei bulloni superiori e` doppiarispetto ai bulloni inferiori. Essendo i bulloni superiori in trazione si trovano in condizionipeggiori rispetto a quelli inferiori, per cui una migliore ripartizione delle azioni di trazione e`vantaggiosa.La disposizione dei bulloni di Fig.5 ammette tuttavia una simmetria. Risultano quindi denitele due direzioni principali della sezione: una e` la direzione di simmetria e` laltra e` la direzioneortogonale. Si possono quindi facilmente valutare i momenti secondi baricentrici principali.Inoltre il momento ettente che agisce e` secondo una delle direzioni principali.

Vericare la condizione di aderenza fra piastre per il bullone che presenta la peggiore condizioneazione tangenziale / trazione.I dati del problema sono:

P = 10000 Nb = 100 mmh1 = 50 mmh2 = 100 mmL = 500 mm

(3)

Suggerimento:Determinare il baricentro della distribuzione di bulloni, e successivamente calcolare il momentosecondo baricentrico principale.

5

Soluzione:Sollecitazione di taglio (uguale su tutti i bulloni) pari a: Ti = 1111 N, trazione sulla la superioredi bulloni pari a: Nmax = 9524 N.Scegliendo un diametro esterno della vite pari a d = 10 mm, p = 1.5 mm, classe di materialeSAE 5.8, Sp = 380 MPa, ed assumendo un tipico coefciente di attrito di primo distacco fra duepiastre in acciaio pari a fs = 0.2, la condizione di aderenza risulta soddisfatta:

(FiN) fs = 1977 N > Ti = 1111 N

6


Esercitazione 05:

Collegamenti bullonati e saldature

Indice

1 Collegamenti bullonati con schema complesso 1

2 Collegamenti saldati 4

1 Collegamenti bullonati con schema complesso

In precedenza e` stato affrontato il problema di determinare le forze che agiscono in corrispon-denza dei bulloni, per ange con schemi simmetrici, Fig.1(a). In questo caso le direzioni princi-pali sono ovviamente gli assi di simmetria dello schema dei bulloni. Anche nel caso di un soloasse di simmetria, tale asse e` principale (quindi il suo perpendicolare e` a sua volta principale).

tM

N.12 bulloni

2h

1h

G

b

D

fM

x X{

y Y{

tM

N.8 bulloni

2h

1h

G

b

D

fM

x

X

yY M

Figura 1: (a) Flangia bullonata con schema a doppia simmetria. (b) Flangia bullonata conschema non simmetrico.

Nel caso di schema non simmetrico, le direzioni principali non sono immediatamente evidenti,Fig.1(b). Presi due assi baricentrici generici x,y, gli assi principali X ,Y sono ruotati di un angolo

1

, in genere, non nullo. Inizialmente si possono calcolare i momenti secondi rispetto agli assix,y:

Ix =iy2i

Iy =ix2i

Ixy =ixiyi

in cui xi,yi sono le coordinate delle posizioni dei bulloni (ad esempio, nello schema di Fig.1(b):i = 1 . . .8).Successivamente si determina langolo di rotazione invertendo la relazione:

tan(2) =Ixy

Ix Iye si possono trovare i momenti secondi principali:

IX =Ix + Iy

2+

(Ix Iy

2

)2+ Ixy

IY =Ix + Iy

2(

Ix Iy2

)2+ Ixy

Ovviamente, qualora fosse Ixy = 0, le direzioni x,y sarebbero gia` le principali, per denizione.Tale situazione puo` accadere anche se lo schema non e` simmetrico, dato che x,y sono semplice-mente direzioni qualsiasi.Le direzioni principali e i momenti secondi principali sono necessari per la determinazione delleazioni normali generate da una sollecitazione di essione (Mf in Fig.1). Nel caso in cui il vettoreMf sia allineato con una delle direzioni principali, si ha essione retta. Invece, nel caso in cuinon sia allineato con nessuna direzione principale si ha essione deviata. In questultimo casoe` necessario scomporre Mf nelle componenti secondo X e Y , eseguire i due calcoli di essionerette ed applicare il principio di sovrapposizione degli effetti.

Determinare le azioni che agiscono sui bulloni (sia tangenziali che normali), per effetto dei mo-menti Mf e Mt, dello schema di Fig.1(a). In particolare determinare la massima azione normalee la massima azione tangenziale.I dati del problema sono:

Mt = 1200 NmMf = 3500 Nm = 20h1 = 75 mmh2 = 20 mmb = 50 mm

(1)

2

Soluzione:Un bullone dello schema di Fig.1(a) subisce sia la massima azione normale Nmax sia la massimaazione tangenziale Tmax:

Nmax = 6501 N

Tmax = 1179 N

Dimensionare il bullone piu` sollecitato, scegliendo fra le dimensioni (diametro esterno e passo)riportate in Tab.1, classe SAE 5.8, Sp = 380 MPa, e coefciente di attrito statico fs = 0.2.

[ mm ] p [ mm ] [ mm ] p [ mm ]5 0.8 12 1.756 1.0 14 2.07 1.0 16 2.08 1.25 18 2.510 1.5 20 2.5

Tabella 1: Diametro esterno e passo di alcuni bulloni unicati.

Soluzione:La combinazione = 10 mm, p = 1.5 mm, garantisce la condizione di aderenza, con un mar-gine di sicurezza superiore a 2: (FiNmax) fs = 2581 N Tmax = 1179 N.

Si supponga che le due coppie di bulloni laterali vengano eliminate, ottenendo la congurazionedi Fig.1(b).Determinare azione normale massima e tangenziale massima, e vericare se il dimensionamen-to fatto in precedenza garantisce anche in questa congurazione laderenza fra le piastre.

Suggerimento:Notare che la posizione del baricentro non cambia, individuare le nuove direzioni principali,inne, scomporre la sollecitazione di essione nelle due componenti di essione retta e applicareil principio di sovrapposizione degli effetti. Notare inoltre che la direzione di Mf e` circa la stessadel nuovo asse principale. Sfruttare tale semplicazione.

Soluzione:Le azioni che agiscono sul bullone piu` sollecitato sono:

Nmax = 5772 N

Tmax = 1851 N

3

Utilizzando le stesse dimensioni del bullone trovate per il caso precedente, la verica di aderen-za viene soddisfatta anche se con margine ridotto.

Osservazione:Nonostante siano stati eliminati due bulloni il margine di sicurezza e` lo stesso vericato. Talesituazione puo` sembrare paradossale. Da notare che i bulloni eliminati hanno allineato lassedi sollecitazione (ossia lasse perpendicolare allasse neutro) con la diagonale contente gli altribulloni rimasti. Invece, eliminare i bulloni dellaltra diagonale avrebbe prodotto un effetto moltonegativo.

2 Collegamenti saldati

Analogamente ai collegamenti bullonati una soluzione dello stato di tensione, nella sezione disaldatura, si puo` ottenere assumendo il cordone molto piu` cedevole rispetto ai due elementi sal-dati fra loro, ed imponendo lequilibrio, Fig.2.

NA

V

N

TA

W

T

t

0

20 d

A

M dI

I d A

W

d

f

2dx

xA

M yI

I y A

V

tMfM

y

Figura 2: Stato di tensione nella sezione di saldatura, generato dalle varie caratteristiche disollecitazione.

Anche per il calcolo delle tensioni nella sezione di saldatura si presentano le eventuali difcolta`di essione deviata e sezione non simmetrica.Larea A e` quella del cordone proiettata sul piano della saldatura, e I0, Ix (Iy) sono i momenti se-condi di area rispettivamente polare ed assiale. Nel caso di giunto saldato a cordone dangolo, siindividua come sezione resistente il ribaltamento dello spessore di gola sul piano della sezionedella saldatura, Fig3.Analogamente ai collegamenti bullonati, le differenti componenti della tensione nel cordonehanno ruoli diversi. Per il caso di cordone dangolo, considerando la direzione del cordone,si individuano le componenti di tensione: (tensione normale perpendicolare), (tensionetangenziale perpendicolare), || (tensione tangenziale parallela).E` importante sottolineare che la componente non esiste secondo la teoria dello stato di solle-citazione della trave, dato che implica uno stato di tensione su un bordo libero. Nella trattazionedella sollecitazione della saldatura a cordone dangolo invece tale tensione e` ammessa in quantoe` una media di uno stato di tensione fortemente variabile. Nel caso di cordone a piena penetra-zione fra due lembi, lo stato di sollecitazione e` lo stesso di quello nella sezione di una trave, ed

4

VA

saa

WA

||W

Si puassumere:

22

a s

Figura 3: Giunto a cordone dangolo, componenti di tensione.

infatti la componente non e` presente.La procedura di calcolo descritta nella norma italiana CNR 1001197, permette di valutare laresistenza del giunto saldato a cordone dangolo sulla base dei valori di ,,||, della qualita`della saldatura e della tensione ammissibile del materiale.

In Fig.4 e` mostrata una mensola sollecitata da unazione normale posta allestremita`.

L

F

d

s

Figura 4: Mensola saldata sollecitata da una forza normale allestremita`.

La sezione di saldatura e` ricavata allinterno di un foro, ed e` sollecitata a trazione e a essione.Notare che in corrispondenza della sezione di saldatura e` presente solo la componente .

Determinare lo stato di sollecitazione nel cordone della saldatura, in particolare determinare lamassima tensione normale .

5

I dati del problema sono:

F = 270 NL = 1300 mmd = 50 mms = 2 mm

(2)

Soluzione:Nella sezione della saldatura la massima tensione normale e`:

(max) = 139 MPa

In Fig.5 e` mostrata una mensola sollecitata da unazione tangenziale posta allestremita`.

L

Fh

b

s

Figura 5: Mensola saldata sollecitata da una forza tangenziale allestremita`.

La sezione di saldatura e` su due cordoni ed e` sollecitata a torsione e a taglio. Nel cordone agi-scono soltanto tensioni tangenziali normale e parallela ,||.

Determinare lo stato di sollecitazione nella sezione della saldatura di Fig.5, in particolare indi-viduare il punto in cui

2+

2|| e` maggiore, e i valori di ,|| in tale punto.


F = 1.8 kNL = 1300 mmb = 120 mmh = 200 mms = 2 mm

(3)

Soluzione:Nel punto piu` sollecitato della saldatura le componenti di tensione tangenziale sono:

= 146 MPa

|| = 20 MPa

6

Inne, si puo` eseguire la verica statica del punto piu` sollecitato del collegamento. Secondo lanormativa CNR e` necessario vericare che:

2+ 2+

2|| 0.70adm

nel caso si utilizzi Fe 510, per il quale adm = 240 MPa.Considerando lo stato di sollecitazione dellesempio precedente:

2+ 2+

2|| = 147 MPa < 0.70adm = 168 MPa

la verica risulta quindi soddisfatta.

7


Esercitazione 06:

Verica di strutture sollecitate a fatica

Indice

1 Verica della resistenza a fatica 11.1 Resistenza statica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Resistenza a fatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Effetto della tensione media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 Sensibilita` allintaglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Struttura sollecitata da carico ripetuto 5

1 Verica della resistenza a fatica

1.1 Resistenza statica

La resistenza statica di un materiale e` determinata attraverso la semplice prova di trazione. Laprova viene eseguita sollecitando un provino, in genere cilindrico, mediante un carico crescentenel tempo molto lentamente. Durante la prova vengono misurati carico applicato al provino edeformazione e riportati su un graco, Fig.1. La perdita di linearita` della curva rappresentail limite di snervamento SY mentre SU e` la tensione di rottura del materiale.

PA

V P

Area AYSUS

ll

H '

LunghezzaAllungamento

ll'

E VH

Figura 1: Curva di resistenza statica del materiale.

1

Landamento mostrato in Fig.1 e` tipico di materiali metallici che riescono a deformarsi molto,dopo aver superato lo snervamento, prima di arrivare a rottura.

1.2 Resistenza a fatica

Un componente sollecitato in modo ciclico puo` tuttavia rompersi, dopo un numero elevato diripetizioni del carico, anche se lentita` della sollecitazione e` inferiore a SY. Questa modalita` dirottura viene detta a fatica.Solitamente si ssa un numero di cicli molto elevato (ad esempio 106 o 107) e si individua illimite di fatica, ossia il valore di variazione di tensione Se per il quale il materiale resiste allasollecitazione di fatica, Fig.2.

(log)V'

eS'

f (log)N610

ProveLinea media

maxV

minVtempo

max min

max minm 02

V V VV VV

'

V

Figura 2: Curva di fatica e limite di fatica.

Una stima del limite di fatica, valido per gli acciai, e`:

Se SU (1)In realta` si corregge il valore fornito da tale relazione con fattori cautelativi (inferiori allunita`)per tenere di conto di eventuali effetti che riducono la resistenza a fatica, ad esempio lo statodella supercie.

1.3 Effetto della tensione media

Nella Fig.2 e` stato mostrato un carico ciclico di fatica a tensione media m nulla. La presenzadi tensione media positiva tende a ridurre la resistenza a fatica del componente. Un modello cheriproduce questo effetto e` lequazione di Soderberg.Si corregge la variazione di tensione individuando una variazione di tensione maggiorata, che tenga di conto della presenza della tensione media positiva:

=

1 mSY

(2)

potra` quindi essere confrontato con il limite di fatica Se a tensione media nulla. Se < Se allora il componente garantisce una resistenza di 106 cicli altrimenti e` probabile chesi rompa.Inne, si denisce Coefciente di Sicurezza CS il rapporto fra il limite di fatica e la variazionedi tensione corretta:

CS =Se

(3)

Nel caso di verica positiva della resistenza a fatica, CS e` maggiore dellunita` e quindi fornisceuna misura del margine di sicurezza che il componente ha rispetto alla rottura a fatica.

2

maxV

minVtempo

*

m

Y

1

1V V V' '

S

V

V'

eS'

mV YS

*V'

max min

max minm 02

V V VV VV

' !

Figura 3: Modello di Soderberg per considerare leffetto della tensione media sulla resistenza afatica.

1.4 Sensibilita` allintaglio

Finora sono state considerate prove di fatica eseguite su provini cilindrici, tuttavia i componen-ti meccanici sono spesso caratterizzati da forme complesse, che introducono una locale con-centrazione di tensioni, ossia un aumento della sollecitazione connato in una zona, ma chefavorisce linnescarsi della sollecitazione di fatica.Considerando ad esempio un foro in una lastra sollecitata da un carico assiale F alternato, Fig.4,e` possibile denire una tensione nominale n, nellipotesi di distribuzione uniforme. Per ef-fetto del presenza del foro lo stato di tensione subisce una locale concentrazione che vienequanticata dal parametro kt denito come fattore di concentrazione delle tensioni:

kt =0n

(4)

in cui 0 e` la tensione locale massima.Il fattore di concentrazione kt dipende unicamente della geometria. In particolare, per il caso dilastra con foro circolare piccolo rispetto alla larghezza, b D, vale kt = 3.0.

tempo

b

n

0t

n

( )

3.0

Fh b D

k

V

VV

h

D

F

F

F

nV0V

Figura 4: Lastra con foro centrale sollecitata da un carico remoto alternato.

In queste condizioni di geometria e carico, si esegue la verica a fatica semplicemente moltipli-cando la tensione nominale per kt, e ripetendo la procedura esposta precedentemente valutando

3

in denitiva il coefciente di sicurezza CS.

La lastra di Fig.5, con fori vicini alle estremita`, e` sollecitata a essione ripetuta nel tempo dazero ad un valore massimo.

tempo1b

t 3.0k |

h

D

fM

fM

fM

1b2b

f (max)M

f (min)M

Figura 5: Lastra con fori vicino alle estremita`, sollecitata da un momento ettente ripetuto.


Geometria :D = 10 mmb1 = 30 mmb2 = 100 mmh = 5 mmMateriale :SU = 900 MPaSY = 650 MPaCarico :Mf(max) = 3000 NmMf(min) = 0 Nm

(5)

Determinare il coefciente di sicurezza CS a fatica.

Soluzione:Nel punto piu` sollecitato il coefciente di sicurezza e` pari a: CS = 1.95. Essendo maggioredellunita` la struttura garantisce resistenza a fatica.

4

2 Struttura sollecitata da carico ripetuto

In Fig.6 si mostra una piccola gru che sostiene un carico P, il quale oscilla fra due posizioni.Nonostante il carico non cambi, per effetto della variazione di congurazione, le travi della grurisultano sollecitate a fatica.

x

1l

tempo

1l 2l

x

3l

P

2l

1d2d

s

4l

Figura 6: Gru sollecitata da un carico di posizione variabile.


Geometria :l1 = 1 ml2 = 2 ml3 = 4 ml4 = 1 md1 = 300 mmd2 = 400 mms = 10 mmMateriale :SU = 520 MPaSY = 345 MPaCarico :P = 250 kN

(6)

Vericare se la trave orizzontale, che sostiene il carico P, e` in sicurezza rispetto alla sollecita-zione di fatica.

Soluzione:Nel punto critico della trave il coefciente di sicurezza (minimo) e`: CS = 3.3.

5


Esercitazione 07:

Progettazione di strutture meccaniche

Indice

1 Progettazione e dimensionamento di strutture meccaniche 11.1 Verica e dimensionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Progettazione e dimensionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Utilizzo di valori tabulati di proprieta` di sezione . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Dimensionamento di un asse sollecitato a fatica 6

1 Progettazione e dimensionamento di strutture meccaniche

La progettazione di strutture meccaniche consiste nellindividuare una congurazione in gradodi sostenere il carico a cui la struttura e` sottoposta ed evitare il vericarsi di cedimenti di ognitipo.Le modalita` di cedimento, analizzato in precedenza, sono:

rottura statica, raggiungimento del limite di rottura o anche soltanto del limite di snerva-mento;

instabilita` elastica, la soluzione elastica non e` stabile, la struttura si deforma notevolmentecausando quindi una rottura;

rottura per fatica, in una zona della struttura (tipicamente in corrispondenza di concentra-zione di tensioni) la sollecitazione ciclica, ripetuta per un numero molto elevato di volte(dellordine di 106), genera una sezione di frattura sul componente.

altre forme di cedimento.

1.1 Verica e dimensionamento

Nelle esercitazioni precedenti le modalita` di cedimento appena elencate erano gia` state presen-tate. In particolare era stata svolta la verica. La congurazione geometrica, le dimensioni, e lecondizioni di carico erano date e quindi era necessario individuare la sezione critica e vericareche il coefciente di sicurezza fosse maggiore dellunita`.

1

Il dimensionamento consiste, invece, nel trovare le dimensioni della struttura, data la congu-razione geometrica e i carichi. Un modo di dimensionamento e` quello di fare delle verichepartendo da dimensioni di tentativo e iterativamente trovare la condizione di coefciente disicurezza maggiore dellunita`. La linea guida per il metodo di dimensionamento iterativo e` che:maggiore e` la dimensione della sezione e maggiore e` anche la sua capacita` di sostenere il carico.In alcuni casi e` tuttavia possibile risolvere il problema del dimensionamento in modo diretto,piuttosto che iterativamente. In questi casi semplici, infatti, e` possibile imporre la condizionedi coefciente di sicurezza pari allunita` e determinare per formula inversa la dimensione dellasezione che soddis tale condizione. Ovviamente e` poi necessario considerare una dimensionemaggiore in modo da avere un certo margine di sicurezza.

In Fig.1 si mostra una travatura reticolare, che sostiene un carico allestremita`. Dimensionare lasezione delle aste (ipotizzando di realizzare tutte le aste con lo stesso diametro).

P1L

?d

1 1m1000 N

LP

U

Y

Materiale:500MPa325MPa

SS

Figura 1: Dimensionamento di una travatura reticolare.

Suggerimento:Notare che le modalita` di rottura sono: il superamento del limite elastico delle travi, ma anchela perdita di stabilita` delle travi in compressione.

Soluzione:Diametro minimo, per il quale coefciente di sicurezza e` pari allunita`:

d = 13.0mm

Applicando una maggiorazione cautelativa:

d = 15.0mm

1.2 Progettazione e dimensionamento

Talvolta i termini dimensionamento e progettazione vengono considerati come sinonimi.Tuttavia, e` bene puntualizzare che per dimensionamento si intende la determinazione delle di-mensioni di una struttura meccanica al ne di sostenere una certo livello di carico (ad esempiolesercizio precedente), mentre per progettazione si intende, in modo piu` ampio, pensare unacongurazione della struttura migliore, ai ni della resistenza, e quindi successivamente farne ildimensionamento.

2

Individuare una congurazione di maggiore resistenza al ne di sostenere il carico della Fig.1.

Soluzione:Dato che la modalita` di cedimento piu` critica e` linstabilita` (a carico di punta) si puo` suggeriredi considerare la congurazione speculare, nella quale i versi delle forze si invertono (puntonidiventano tiranti e viceversa). I questo modo si ottiene come diametro minimo:

d = 11.9mm

Applicando una maggiorazione cautelativa:

d = 13.0mm

quindi il diametro richiesto e` (leggermente) minore.

1.3 Utilizzo di valori tabulati di proprieta` di sezione

Molto spesso vengono utilizzate sezioni standardizzate, per le quali sono disponibili i valori ta-bulati delle proprieta` di sezione. In questo caso, il dimensionamento mediante formula inversanon e` fattibile, mentre e` immediato il procedimento di dimensionamento iterativo.

Si consideri la struttura di Fig.2, in cui una traversa, caricata da un peso che grava sopra, e` so-stenuto da 3 pilastri allineati.

/ 3P

P

/ 3P / 3P

h

Figura 2: Traversa sostenuta da 3 pilastri.

In Fig.3 si mostrano i due possibili modi di cedimento, per instabilita` elastica, che ammette lastruttura.In particolare il secondo modo, Fig.3(b), ammette un carico critico piu` basso di 4 volte, dato chenel senso laterale la struttura ha una lunghezza di libera inessione (da punto di esso a puntodi esso) doppia. Tuttavia, non e` detto che la sezione sia isotropa (stesso momento dinerzia Inelle due direzioni).

3

/ 2h/ 2h

2

C1 20

0

EIPL

L h

S

h

2

C2 20

0 2

EIPL

L h

S

h

(a) (b)

Figura 3: Modi di cedimento della struttura per instabilita` elastica.

Il progetto della struttura, in questo caso, consiste nel decidere di utilizzare una sezione con ani-sotropia (momenti dinerzia diversi, ad esempio Ix > Iy), in modo da compensare la disparita` dicarico critico in una direzione. Scegliendo di utilizzare una trave a doppio T, la congurazionepiu` favorevole e` quella mostrata in Fig.4.

Maggiore rigidezza sezione, per contrastare minore resistenza strutturale

Figura 4: Disposizione migliore di sezione a doppio T.

A questo punto si puo` procedere con il dimensionamento della sezione.In Fig.5 vengono riportate le proprieta` di sezione di prolati IPE, fra cui scegliere quale usare,sfruttando la congurazione favorevole di Fig.4.

4

hmm

bmm

amm

emm

rmm

Pesokg/m

Sezionecm2

Momenti di inerzia Moduli di resistenza Raggi di inerziaJx

cm4 Jy

cm4 Wxcm3

Wycm3

ixcm

iycm

80 46 3,8 5,2 5 6,0 7,64 80,14 8,49 20,03 3,69 3,24 1,05100 55 4,1 5,7 7 8,1 10,32 171,0 15,92 34,20 5,79 4,07 1,24120 64 4,4 6,3 7 10,4 13,21 317,8 27,67 52,96 8,65 4,90 1,45140 73 4.7 6,9 7 12,9 16,43 541,2 44,92 77,32 12,31 5,74 1,65160 82 5,0 7,4 9 15,8 20,09 869,3 68,31 108,7 16,66 6,58 1,84180 91 5,3 8,0 9 18,8 23,95 1.317 100,9 146,3 22,16 7,42 2,05200 100 5,6 8,5 12 22,4 28,48 1.943 142,4 194,3 28,47 8,26 2,24220 110 5,9 9,2 12 26,2 33,37 2.772 204,9 252,0 37,25 9,11 2,48240 120 6,2 9,8 15 30,7 39,12 3.892 283,6 324,3 47,27 9,97 2,69270 135 6,6 10,2 15 36,1 45,95 5.790 419,9 428,9 62,20 11,23 3,02300 150 7,1 10,7 15 42,2 53,81 8.356 603,8 557,1 80,50 12,46 3,35330 160 7,5 11,5 18 49,1 62,61 11.770 788,1 713,1 98,52 13,71 3,55360 170 8,0 12,7 18 57,1 72,73 16.270 1.043 903,6 122,8 14,95 3,79400 180 8,6 13,5 21 66,3 84,46 23.130 1.318 1.156 146,4 16,55 3,95450 190 9,4 14,6 21 77,6 98,82 33.740 1.676 1.500 176,4 18,48 4,12500 200 10,2 16,0 21 90,7 115,5 48.200 2.142 1.928 214,2 20,43 4,31550 210 11,1 17,2 24 106 134,4 67.120 2.668 2.441 254,1 22,35 4,45600 220 12,0 19,0 24 122 156,0 92.080 3.387 3.069 307,9 24,30 4,66

(a) (b)

Figura 5: Prolati IPE.

Scegliere la sezione IPE piu` piccola, in grado di garantire resistenza ad entrambi i tipi di cedi-mento elastico.

Soluzione:Essendo Jx > 4Jy per tutte le sezioni, sfruttando la congurazione di Fig.4, il tipo di cedimentopiu` pericoloso e` quello di Fig.3(a).La sezione piu` piccola in grado di sostenere il carico e` la IPE 220 (altezza della sezione: 220mm). Con tale sezione si ha:

PC1 = 41kN >P3

= 33kN

5

2 Dimensionamento di un asse sollecitato a fatica

In Fig.6 si mostra un asse, sostenuto da cuscinetti radiali, alla cui estremita` e` collocata una pu-leggia su cui si avvolge una cinghia precaricata.

0T 0T

D D

L

?d

Sezionecritica

Figura 6: Puleggia folle. Sollecitazione sullasse e sui supporti, generato dal precarico dellacinghia.

Essendo i rami delle cinghie sollecitate dal precarico, tale sollecitazione si scarica sullasse equindi sui cuscinetti (o supporti). In corrispondenza della sezione critica (momento massimo,sezione minima) si ha essione rotante, e concentrazione di tensione kt, dovuta ad una variazio-ne di sezione, anche se mitigata da un evidente raggio di raccordo.Determinare il diametro d tale che lasse sia in grado di sostenere la sollecitazione di essionerotante.

Dati:

SU = 900MPaSY = 800MPakt = 2.0L = 370mmT0 = 1200N = 30

Soluzione:Il diametro che garantisce un coefciente di sicurezza unitario e` pari a: d = 36.8 mm.Tuttavia, nella fatica e` particolarmente importante sovradimensionare. Un valore afdabile didiametro e` pertanto: d = 50 mm, a cui corrisponde un coefciente di sicurezza pari a 2.5.

6


Esercitazione 08:

Introduzione alla cinematica e dinamicadel punto materiale e del corpo rigido

Indice

1 Dinamica del punto materiale 1

2 Cinematica del corpo rigido 4

1 Dinamica del punto materiale

Il punto materiale e` unastrazione concettuale di un sistema le cui dimensioni sono piccole ri-spetto alle dimensioni della traiettoria del moto che realizza. Addirittura la terra puo` essereconsiderata un punto materiale studiandone il moto intorno al sole.Il punto materiale e` caratterizzato da dimensioni di ingombro nulle, per cui la sua posizione(rispetto ad un qualsiasi sistema di riferimento) e` denita, semplicemente, da una terna di coor-dinate: x,y,z. Il punto materiale inoltre e` caratterizzato da una massa m.Le note denizioni della cinematica sono:

Velocita` vx,vy,vz:

vx =dxdt

vy =dydt

vz =dzdt

in cui t e` il tempo.

Accelerazione ax,ay,az:

ax =dvxdt

=d2xdt2

ay =dvydt

=d2ydt2

az =dvzdt

=d2zdt2

La legge fondamentale della dinamica lega le componenti della risultante delle forze che agisco-no sul punto materiale alle componenti dellaccelerazione rispetto ad un sistema di coordinateinerziale:

Fx = max Fy = may Fz = maz

1

Per le applicazioni di interesse del presente corso, un sistema di coordinate inerziale e` il suoloterrestre, e quindi anche un qualsiasi altro sistema che trasla, in modo uniforme e senza ruotare,rispetto al suolo.

In Fig.1 si mostra un punto materiale di massa m che si muove lungo una traiettoria circolare,sul quale agisce lazione F esercitata da un lo.

v

rF

m

Figura 1: Punto materiale in moto lungo una traiettoria circolare.

Nel caso in cui il moto circolare sia uniforme, determinare:

1. langolo formato dal cavo con la tangente della traiettoria;

2. la massima velocita` di rotazione senza causare il cedimento del cavo (resistenza materialeSU, diametro lo ).


m = 10 kgr = 1 mSU = 300 MPa = 2 mm

Soluzione:La velocita` periferica a cui il lo si rompe e` pari a: vr = 9.71 m/s.

2

Si consideri nuovamente il punto materiale di Fig.1 che si muove lungo una traiettoria circolare,e a cui viene imposto un moto vario di accelerazione tangenziale a costante, mediante lazioneF del lo.La velocita` moto e` variabile nel tempo:

v = v0 +at [m/s ]

Le componenti di accelerazione, tangenziale e centrifuga, sono rispettivamente:

at = a

ac =v2

r

Allistante iniziale t0 = 0 s, il corpo si muove di velocita` v0 = 0.5 m/s, e si imprime unaccele-razione tangenziale costante a = 0.1 m/s2.Determinare:

La tensione agente nel cavo al tempo t1 = 5 s. Langolo formato dal cavo con la tangente alla traiettoria al tempo t1. Il tempo tr necessario per raggiungere la condizione di rottura del lo.

Soluzione:Al tempo t1 = 5 s la tensione sul cavo e`: 1 = 3.199 MPa, langolo formato con la tangente e`:1 = 84.29. Inne, mantenendo laccelerazione imposta, il tempo necessario per raggiungerela rottura del lo e`: tr = 92.1 s.

3

2 Cinematica del corpo rigido

Un corpo rigido e` linsieme di piu` punti materiali i quali non possono modicare la loro po-sizione relativa. Tutti i materiali di fatto sono invece deformabili, tuttavia il modello di corporigido e` spesso molto efcace per descrivere fenomeni dinamici dove la deformazione dei corpie` trascurabile.Il campo di velocita` istantaneo di un corpo rigido puo` essere espresso nella forma:

vP =vO +rOP (1)Dove: vO e` la velocita` di un qualsiasi punto O del corpo rigido, vP e` la velocita` di un qualsiasialtro punto P del corpo rigido, rispetto ad un sistema di riferimento,rOP e` il vettore dal puntoO al punto P, inne e` il vettore velocita` angolare, rispetto allo stesso sistema di riferimento,ossia come varia nel tempo lorientamento del corpo rigido.

In Fig.2 si mostra una ruota che rotola su un piano. Dato che il moto e` di rotolamento il puntodella ruota a contatto con il suolo e` fermo. Quindi, assumendo il sistema di riferimento x,ysolidale al suolo la sua velocita` e` nulla: vO = 0. Inoltre la velocita` del punto centrale della ruotae` vC con orientamento orizzontale.

Pr

O 0v

r

O

C Cv

PD

xy

z

Figura 2: Moto di rotolamento di una ruota rispetto ad un piano.

Determinare la velocita` angolare , conoscendo vC e r, e tenendo conto che il moto della ruotae` piano. Inoltre determinare la velocita` vP del punto P.

Soluzione:La velocita` angolare e`:

=(0,0,vC

r

)La velocita` del punto P e`:

vP =(vC + vC

rPr

sin,vC rPr cos,0)

4

Derivando, nel tempo, lEq.1 si puo` scrivere il campo di accelerazione istantaneo di un corporigido:

aP =aO +rOP + (rOP) (2)in cui e` il vettore derivata della velocita` angolare, ossia laccelerazione angolare:

=ddt

Nel caso in cui il punto O sia fermo e abbia accelerazione nulla, il termine rOP rappresentalaccelerazione tangenziale e il termine (rOP) rappresenta laccelerazione centripeta.

Con riferimento alla Fig.2, assumendo che laccelerazione del punto C sia nulla, determinarelaccelerazione del punto P.

Soluzione:Laccelerazione del punto P e`:

aP =(vC

r

)2rCP

5

Nel caso in cui il punto C sia dotato di velocita` vC e di accelerazione tangenziale aC, determinarelaccelerazione del punto P.

Soluzione:

aP =

aC0

0

+

aC(rP/r)sinaC(rP/r)cos

0

(vC

r

)2 rP cosrP sin0

Se al punto P e` ssata una massa m, determinare lazione che la ruota esercita su tale puntomateriale.Dati:

m = 10 gvC = 70 km/haC = 0.15 m/s2

r = 200 mmrP = 150 mm = 30

Soluzione:

FP = 14.177 N

6


Esercitazione 09:

Forze dinerzia e oscillatore armonico

Indice

1 Moto relativo 1

2 Utilizzo delle forze dinerzia 22.1 Dinamica del meccanismo biellamanovella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Modello di un oscillatore ad un grado di liberta` 53.1 Oscillatore smorzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1 Moto relativo

Dati due sistemi di riferimento, un primo sistema i, j, k ed un secondo sistema i, j, k, la velocita`di un generico punto materiale puo` essere espressa sia rispetto al primo sistema: va, sia rispettoallaltro sistema: vr. In generale, le velocita` dello stesso punto materiale, osservate dai duesistemi sono diverse, e legate dalla relazione:

va =vt +vr

in cuivt e` la velocita` osservata dal primo sistema di riferimento del punto appartenente al secon-do sistema in cui istantaneamente cade il punto materiale. Le velocita`va,vt,vr vengono indicatecome velocita` assoluta, di trascinamento e relativa, rispettivamente.Una relazione analoga vale per le accelerazioni. Sianoaa ear le accelerazioni assoluta e relativadel punto materiale osservate rispetto a due sistemi di riferimento diversi, vale la relazione:

aa =at +ac +ar (1)

in cui: laccelerazione di trascinamentoat e` laccelerazione osservata dal primo sistema di riferi-mento del punto appartenente al secondo sistema in cui istantaneamente cade il punto materiale,mentre il termine ac e` laccelerazione di Coriolis (che non ha un corrispettivo nella relazioneprecedente relativa alle velocita`) e che e` pari a:

ac = 2vr

1

in cui e` la velocita` angolare del secondo sistema di riferimento osservata dal primo.In alcune situazioni il termine ac e` nullo, ad esempio se vr = 0, ossia se il punto materiale e`fermo rispetto al secondo sistema di riferimento, oppure se = 0, ossia se il secondo sistemarispetto al primo non ruota, pur eventualmente spostandosi.

2 Utilizzo delle forze dinerzia

La legge fondamentale della dinamica:

F = ma

e` valida qualoraa venga osservata rispetto ad un sistema inerziale.Supponendo di avere laccelerazione ar rispetto ad un sistema non inerziale, preso un secondosistema inerziale, le accelerazioni sono legate dallEq.1 (tale equazione e` di natura cinematicaper cui vale per qualsiasi coppia di sistemi di riferimento, anche entrambi non inerziali):

mar = Fmatmac (2)I due termini mat,mac sono deniti come forze dinerzia di trascinamento e di Coriolis.Le forze dinerzia vengono talvolta dette apparenti, in quanto sono appunto solo componentidellaccelerazione e non effettive forze esercitate sul punto materiale. Laspetto fondamentaleche distingue le forze dinerzia apparenti da quelle vere e` che per le forze dinerzia non vale ilprincipio di azione e reazione, dato che non si tratta di una interazione con un altro corpo.Per quanto lutilizzo delle forze dinerzia possa sembrare uninutile complicazione, molti pro-blemi di dinamica possono essere risolti in modo piu` agevole osservando il moto rispetto ad unsistema non inerziale.

In Fig.1 si mostra lesempio piu` classico di utilizzo del concetto di forze dinerzia. Un puntomateriale che si muove lungo una traiettoria circolare, di moto rettilineo uniforme e il cui motoviene osservato da un sistema di riferimento non inerziale, che ruota intorno al centro della tra-iettoria con la stessa velocita` angolare del punto materiale.

v

ri

mj 'i 'jFG

tmaG

Figura 1: Punto materiale in moto lungo una traiettoria circolare. Utilizzo di un secondo sistemadi riferimento non inerziale.

Sapendo che i, j costituisce un sistema inerziale, considerando invece il sistema non inerzialei, j, individuare i termini dellEq.2.

2

Osservazione:Il termine forza centrifuga rappresenta appunto la forza dinerziamat e quindi non e` una forzavera ma una forza apparente.

In Fig.2 si mostra un cilindro con elementi longitudinali sulla supercie laterale, posto in rota-zione con velocita` angolare .

ZG

,m lr

Figura 2: Cilindro con elementi longitudinali in rotazione.

Ogni singolo elemento laterale, di massa m e di lunghezza l, e` obbligato ad eseguire una traiet-toria circolare di raggio r per cui e` sottoposto ad unaccelerazione.Determinare le caratteristiche della sollecitazione del generico elemento laterale (considerando-lo come trave), e sfruttando il concetto di forza centrifuga.Determinare, inoltre, la massima tensione di essione nel caso in cui lelemento laterale abbiasezione bh.I dati del problema sono:

l = 350 mmb = 15 mmh = 25 mmr = 200 mm = 7.86 kg/dm3n = 3000 giri/min

in cui: e` la densita` (in questo esempio si considera la densita` dellacciaio) e n e` il numero digiri al minuto.

Soluzione:La massima tensione di essione e`: (max) = 570 MPa.

3

2.1 Dinamica del meccanismo biellamanovella

In Fig.3 si mostra il meccanismo biellamanovella, in grado di trasformare un moto alternatolongitudinale in rotatorio, o viceversa.

r

t- Z ,m l

O

A

B

costZ

Figura 3: Meccanismo biellamanovella.

Determinare le caratteristiche della sollecitazione dellelemento biella (modello a trave), nellecongurazioni notevoli del meccanismo, considerando soltanto gli effetti dinamici, quindi inassenza di carichi esterni.

Suggerimento:Semplicare la cinematica del meccanismo al primo ordine, in particolare considerando la lun-ghezza dellelemento biella molto piu` grande del raggio della manovella (anche se invece spessoqueste due lunghezze sono confrontabili, ad esempio nei motori automobilistici). Determinarele accelerazioni alle estremita` della biella ed estrapolare linearmente le accelerazioni nei puntiintermedi.

4

3 Modello di un oscillatore ad un grado di liberta`

Sistemi dinamici molto importanti sono gli oscillatori ossia quei sistemi che vibrano nellin-torno della loro congurazione di riferimento.Loscillatore ad un grado di liberta` e` costituito da un elemento ad elasticita` concentrata (molla)ed un elemento ad inerzia concentrata (massa), Fig.4.

x m

k

x m

k

( )F t

(a) (b)

Figura 4: Oscillatore ad un grado di liberta`: (a) moto libero, (a) moto forzato.

Lequazione differenziale del moto e`:

mx+ kx = F(t) (3)

in cui: k e` la rigidezza della molla, m e` la massa, x e` il discostamento dalla posizione di riposoe F(t) e` la forza applicata alla molla variabile nel tempo.Nel caso in cui loscillatore sia abbandonato a se stesso (F(t) = 0), la massa oscilla con unafrequenza naturale pari a:

n =

km

quindi:

x(t) = Acos(nt +0) (4)

in cui A,0 dipendono dalle condizioni iniziali. Ovviamente il sistema oscilla solo se vieneabbandonato o in una posizione diversa da quella di riposo, oppure ad una velocita` non nulla.Quindi A = 0 soltanto se inizialmente il corpo ha velocita` nulla e si trova nella congurazionedi riferimento.Nel caso in cui loscillatore sia sollecitato da una forza esterna F(t) il moto e` ovviamente di-pendente da tale forza, oltre che comunque dalle condizioni iniziali. Tuttavia, le condizioniiniziali hanno un ruolo sulla dinamica delloscillatore limitato nel tempo. Nel caso in cui laforza esterna sia di tipo armonico:

F(t) = F cos(t +)

con: = n la risposta delloscillatore e` (dopo che il transitorio delle condizioni iniziali si e`estinto):

x(t) =F/k

1 (/n)2 cos(t +) (5)

Come ben noto, la forma della soluzione appena trovata mette in evidenza la possibilita` divericarsi la condizione di risonanza per = n. In tale condizione loscillazione si amplicaindenitivamente.

5

3.1 Oscillatore smorzato

Nel caso il moto venga impedito da un effetto di dissipazione, interviene un ulteriore parametroconcentrato che e` la viscosita` c, Fig.5.

x m

kc

x m

k

( )F t

c

(a) (b)

Figura 5: Oscillatore ad un grado di liberta` smorzato: (a) moto libero, (a) moto forzato.

Nellipotesi di viscosita` proporzionale alla velocita` il moto dello smorzatore e` descritto dale-quazione:

mx+ cx+ kx = F(t) (6)

Nel caso in cui loscillatore sia abbandonato a se stesso (F(t) = 0), analogamente a prima, lamassa oscilla, ma con un progressivo rallentamento. Lequazione del moto e`:

x(t) = Aent cos( t +0) (7)

in cui: n e` denita come sopra e:

=c

2mn = n

1 2

In realta` questa soluzione e` valida soltanto se lo smorzamento e` piccolo, ossia se < 1, cheequivale alla condizione c < cc, in cui cc e` la viscosita` critica pari a: cc = 2mn.Nel caso in cui leccitazione esterna sia di tipo armonico:

F(t) = F cos(t +)

la soluzione (dopo transitorio iniziale) e`:

x(t) =F/k

(1 (/n)2)2 +4 2(/n)2cos(t ++c) (8)

in cui:

tanc =2 (/n)1 (/n)2Da notare che, nel caso di viscosita` non nulla, la condizione di risonanza ( = n) non causauna soluzione singolare, ma semplicemente unampiezza di oscillazione molto grande.E` bene inoltre ricordare che un certo valore minimo di viscosita` e` intrinseco in ogni sistema equindi la risonanza non e` mai una singolarita`, ma comunque un problema pratico importante.Inne, la presenza di una certa viscosita` (anche se piccola) giustica la possibilita` di trascurareil transitorio relativo alle condizioni iniziali, che appunto si estingue per effetto dissipativo.

6

Determinare la frequenza propria del sistema dinamico costituito da una trave incastrata adunestremita`, Fig.6.

G

Sez.:Lungh.:

b hL

u Rigidezza:Densit:

EU

Figura 6: Oscillazione trave incastrata.


b = 12 mmh = 18 mmL = 1.2 m = 7.86 kg/dm3E = 205000 MPa

Suggerimento:Ricondurre il sistema ad un oscillatore ad un grado di liberta`, determinando la rigidezza alle-stremita` della trave e considerando una frazione di tutta la massa concentrata allestremita` (adesempio pari a meta` massa totale).

Soluzione:La frequenza propria stimata e`: fn = n/(2) = 7.2 Hz.

Con riferimento allesercizio precedente, partendo dallinformazione che il sistema lasciato li-bero di vibrare, riduce la propria ampiezza di oscillazione di un fattore 2, dopo un certo tempo:t2 = 3 s, determinare il coefciente di viscosita` c, rifacendosi al sistema oscillatore smorzato.

Soluzione:La viscosita` e`: c = 0.471 kg/s.Lo smorzamento relativo = c/cc e` pertanto: = 5.119103.

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