Esercizi di Matematica Finanziaria

su foglio elettronico Excel™

Antonella Basso Pierangelo Ciurlia

<basso@unive.it> <ciurlia@unive.it>Riccardo Gusso

<rgusso@unive.it>

Dipartimento di Matematica Applicata e SSAV

Universita Ca’ Foscari di Venezia

(Maggio 2006)

I Quaderni di Didattica sono pubblicati a cura del Dipartimento di Matematica Applicata dell’U-

niversita di Venezia. I lavori riflettono esclusivamente le opinioni degli autori e non impegnano la

responsabilita del Dipartimento. I Quaderni di Didattica vogliono promuovere la circolazione di ap-

punti e note a scopo didattico. Si richiede di tener conto della loro natura provvisoria per eventuali

citazioni o ogni altro uso.

Introduzione

Questa dispensa si propone di presentare e commentare lo svolgimento di alcuni esercizidi matematica finanziaria con l’ausilio di un foglio di calcolo elettronico. Data la grandediffusione del software per ufficio Microsoft Office™ si e scelto nell’esposizione di utilizzareil foglio elettronico Excel™. Tuttavia, quasi tutte le procedure risolutive utilizzate possonoessere implementate allo stesso modo anche su altri fogli di calcolo, ad esempio sul foglioelettronico Calc del software gratuito per ufficio Openoffice™.

La maggior parte degli esercizi sono tratti dai compiti d’esame dei corsi di MatematicaFinanziaria I e Metodi Matematici dell’Economia e delle Scienze Attuariali e FinanziarieI dell’Universita Ca’ Foscari di Venezia, e presuppongono la conoscenza degli argomentitrattati nel libro di testo “Basso A., P. Pianca (2004), Appunti di Matematica Finanziaria,CEDAM, Padova”.

Questa dispensa e rivolta principalmente agli studenti del corso di Matematica Finan-ziaria I. Tuttavia riteniamo che, per gli argomenti trattati negli esercizi e per l’utilizzo distrumenti software di uso ricorrente nella pratica finanziaria, essa possa essere utile an-che a chi, nella propria attivita lavorativa, e chiamato a risolvere problemi di matematicafinanziaria.

1 Esercizio sui regimi finanziari

Tra le diverse forme di investimento proposte ai risparmiatori dalle Poste Italiane, figuranoi Buoni Fruttiferi Postali Ordinari. Questa tipologia di investimento ha una durata mas-sima di venti anni nei quali frutta interessi in regime di interesse composto in base ad untasso annuo crescente nel tempo. I Buoni Postali Ordinari diventano infruttiferi dal giornosuccessivo alla scadenza di 20 anni e trascorsi ulteriori 10 da tale scadenza si prescrivono.Nella tabella che segue sono riportati i tassi nominali annui (lordi) di interesse dei BuoniFruttiferi Postali Ordinari serie B17:

Tasso annui lordi Periodo di possesso

1.70% alla fine del 1° anno

1.80% nel 2° anno

1.90% nel 3° anno

2.15% nel 4° e 5° anno

2.55% nel 6° e 7° anno

2.85% nel 8° e 9° anno

3.05% negli anni dal 10° al 14°

3.70% negli anni dal 15° al 20°

Si determinino il montante e il tasso di rendimento medio annuo (al lordo e al nettodella ritenuta fiscale del 12.5% sugli interessi maturati), supponendo che un risparmiatoreintenda detenere i Buoni Postali Ordinari per un durata di T anni, con T = 1, . . . , 20.

1

Si calcoli inoltre dopo quanto tempo il montante fornito dai Buoni Fruttiferi PostaliOrdinari supera del 50% il capitale iniziale.

Soluzione. Nella figura 1 sono mostrati i montanti finali M lT e Mn

T e i tassi effettivi direndimento ileff e ineff , rispettivamente al lordo e al netto della ritenuta fiscale, effettuataapplicando l’aliquota γ = 12.5%, ottenuti impostando i calcoli su un foglio elettronico apartire dalla tabella dei tassi annui lordi, riportata per ogni durata T nella colonna B, esupponendo che il risparmiatore abbia investito un capitale iniziale C0 = 1000 euro.

Figura 1: Montanti finali e tassi effettivi di rendimento (lordi e netti) dell’investimento inBuoni Postali Fruttiferi Ordinari (Esercizio 1).

Indicati con ik, con k = 1, . . . , T , i tassi annui (lordi) di interesse, in regime di interessecomposto il montante finale lordo al tempo T , con T = 1, . . . , 20, e definito dalla seguenterelazione

M lT = M0

T∏

k=1

(1 + ik), (1)

dove M0 = C0 e il capitale iniziale depositato all’epoca 0. Sfruttando la proprieta discindibilita, e possibile riscrivere la precedente equazione nella forma

2

M lT = M0

T−1∏

k=1

(1 + ik)(1 + iT )

= M lT−1(1 + iT ). (2)

Pertanto, fissato il valore del capitale iniziale C0 (cella B2) e calcolato il montante finalealla epoca T = 1 con la formula

C10 = C9*(1+B10),

si puo ricavare facilmente la colonna dei montanti finali lordi copiando la formula della cellaC10 nelle celle da C11 a C29.

Per la determinazione del montante finale netto all’epoca T , MnT , si puo utilizzare la

seguente relazioneMn

T = C0 + (1 − γ)(

M lT − C0

)

, (3)

da cui si ricava che la formula per il calcolo di Mn1 e

D10 = $D$9 + (1−$B$3)*(C10−$D$9).

Analogamente, copiando nelle celle da D11 a D29 la formula della cella D10, si ottengono imontanti finali netti.

Noti i montanti finali lordo e netto si possono determinare i corrispondenti tassi effettividi rendimento in regime di interesse composto in base alle seguenti relazioni

ileff =

(

M lT

C

)

1

T

− 1, (4)

ineff =

(

MnT

C

)1

T

− 1. (5)

Con riferimento all’epoca T = 1, i tassi effettivi di rendimento lordo e netto sono calcolatirispettivamente con le formule

E10 = (C10/$C$9)ˆ(1/A10) − 1,

F10 = (D10/$D$9)ˆ(1/A10) − 1.

Le celle da E11 a E29 e da F11 a F29 si ricavano copiando le formule delle celle E10 e F10,rispettivamente.

Per determinare la durata in corrispondenza alla quale il montante netto dei BuoniPostali supera del 50% il capitale iniziale, supponiamo di utilizzare il regime dell’interessecomposto per il calcolo degli interessi anche nel caso in cui il montante venga prelevato incorso d’anno. Come si osserva nella figura 1, tale durata T ∗ e compresa tra 16 e 17 anni.Possiamo percio scrivere T ∗ = 16 + τ , dove 0 < τ < 1 rappresenta la frazione di anno oltre

3

il 16° e si puo determinare utilizzando l’equazione (3) con MnT ∗ = 3

2 C0. Pertanto, il valoredi τ si puo ricavare risolvendo l’equazione

C0

2=

(

M lT ∗ − C0

)

(1 − γ), (6)

doveM l

T ∗ = M l16 · 1.037 τ = 1 530.37 · 1.037 τ .

Sostituendo tale espressione nell’equazione (6) si ottiene

500 = (1 530.37 · 1.037 τ − 1000) 0.875,

e con alcuni passaggi algebrici si ricava

1.037 τ =1

2·0.875 + 1

1.53037= 1.026829179

e quindi risulta

τ =log 1.026829179

log 1.53037= 0.728714.

Pertanto, il montante netto dei Buoni Postali Fruttiferi Ordinari supera del 50% il capitaleiniziale per durate superori a T ∗ = 16 anni + 263 giorni. 2

2 Esercizio sui regimi finanziari

In previsione di intraprendere un nuovo progetto di investimento, un imprenditore program-ma di costituire un capitale di 200 000 euro tra 5 anni e mezzo mediante cinque versamentidi ammontare decrescente in progressione aritmetica di ragione pari a 1500 euro. Si trovil’ammontare dei singoli versamenti sapendo che il primo viene versato subito, il secondo fraun anno e mezzo, il terzo fra 3 anni, il quarto fra 4 anni e mezzo e il quinto alla scadenzae che la societa finanziaria italiana presso cui i versamenti vengono depositati remunera ifondi in base alla legge di capitalizzazione continua ad un tasso anno istantaneo δ = 0.065.

Si consideri inoltre l’alternativa che prevede di effettuare, alle stesse epoche e in modoche risultino ancora decrescenti in progressione aritmetica di ragione pari a 1500 euro, deiversamenti presso una societa finanziaria statunitense che remunera i depositi in dollariin base alla legge di capitalizzazione composta ad un tasso annuo del 5.5%. Si calcolil’ammontare in euro delle rate da versare con questa alternativa e il loro controvalore indollari, sapendo che il tasso di cambio euro/dollaro all’epoca del primo versamento e 1euro = 1.197 dollari e che nei prossimi anni ci si attende una rivalutazione del dollaro neiconfronti dell’euro in base ad un tasso medio annuo del 2%.

Si stabilisca infine quale delle due alternative e piu vantaggiosa.

Soluzione. Indicato con R1 l’importo del primo versamento e con z = 1500 euro laragione della progressione aritmetica, i versamenti da effettuare presso la societa finanziaria

4

italiana possono essere scritti in funzione di R1 e z come segue

Rk = R1 − (k − 1)z, k = 1, 2, 3, 4, 5.

Figura 2: Importo dei versamenti Rk da effettuare presso la societa finanziaria italiana(Esercizio 2).

L’equivalenza finanziaria richiede che all’epoca finale T = 5.5 e in regime di interessecomposto al tasso istantaneo di interesse δ = 0.065, il montante M = 200 000 euro eguaglila somma dei montanti dei versamenti effettuati {(Rk, tk), k = 1, . . . , 5}, ossia

M = R1 eδ(T−t1) + R2 eδ(T−t2) + R3 eδ(T−t3) + R4 eδ(T−t4) + R5 eδ(T−t5)

= R1 eδ·5.5 + (R1 − z)eδ·4 + (R1 − 2z)eδ·2.5 + (R1 − 3z)eδ + (R1 − 4z)

= R1

[

eδ·5.5 + eδ·4 + eδ·2.5 + eδ + 1]

− z[

eδ·4 + 2eδ·2.5 + 3eδ + 4]

. (7)

Nella figura 2 sono riportati i risultati ottenuti impostando i calcoli con un foglio elet-tronico. Le celle da C2 a C7 sono relative ai dati del problema mentre nelle celle da C20 aC24 sono mostrati gli importi dei versamenti Rk. Al fine di determinare il valore del primoversamento R1, occorre procedere al calcolo delle due sommatorie raccolte all’interno delleparentesi quadre dell’equazione (7). Per far questo e sufficiente calcolare il primo terminedella 1a e della 2a sommatoria come segue

C10 = EXP($C$4*($B$14−B10)),

D10 = (A10−1)*EXP($C$4*($B$14−B10)),

5

e ricavare tutti gli altri termini copiando nelle celle da C11 a C14 e da D11 a D14 le formuledelle celle C10 e D10, rispettivamente. E’ ora possibile determinare il valore di R1 nelseguente modo

C20 = (C2 + C3*SOMMA(D10:D14))/SOMMA(C10:C14).

Noto il valore di R1 = 36225.55 e calcolato l’importo di R2 con la formula

C21 = $C$20−(A21−1)*$C$3,

si ricavano agevolmente gli importi degli altri versamenti Rk copiando nelle celle da C22 aC24 la formula della cella C21.

Scriviamo ora l’equivalenza finanziaria nell’ipotesi che i versamenti, indicati con R′k e

ancora decrescenti in progressione aritmetica di ragione z, siano effettuati alle stesse epochetk presso la societa finanziaria statunitense. Indicato con St1 = 1

1.197 il tasso di cambiovigente all’epoca t1 = 0, espresso in termini di unita di moneta nazionale (euro) necessarieper acquistare un’unita di valuta estera (dollari), l’andamento nel tempo del tasso di cambioStk e del tipo

Stk = St1(1 + ex)tk−t1 , k = 1, . . . , 5

dove ex = 0.02 e il tasso medio annuo previsto per la rivalutazione del dollaro. Ne segue che1/Stk e il tasso di cambio all’epoca tk espresso in termini di unita di valuta estera ottenibilecedendo un’unita di moneta nazionale. Tenendo conto delle variazioni nel tempo del tassodi cambio, il controvalore in dollari del montante M deve eguagliare la somma dei montantidei controvalori in dollari dei versamenti {(R′

k, tk), k = 1, . . . , 5}, dove la capitalizzazionee effettuata in regime di interesse composto al tasso annuo di interesse per i depositi indollari iF = 5.5%. Deve percio valere l’equazione

R′1

1

St1

(1 + iF )(T−t1) + R′2

1

St2

(1 + iF )(T−t2) + R′3

1

St3

(1 + iF )(T−t3) +

+ R′4

1

St4

(1 + iF )(T−t4) + R′5

1

St5

(1 + iF )(T−t5) = M1

ST. (8)

Pertanto, l’importo in euro del primo versamento R′1, nell’ipotesi che i versamenti vengano

effettuati presso la societa finanziaria statunitense, si trova risolvendo la seguente equazione:

R′1

[

1

St1

(1 + iF )5.5 +1

St2

(1 + iF )4 +1

St3

(1 + iF )2.5 +1

St4

(1 + iF ) +1

St5

]

= M1

ST+ z

[

1

St2

(1 + iF )4 +2

St3

(1 + iF )2.5 +3

St4

(1 + iF ) +4

St5

]

. (9)

Nella figura 3 sono mostrati i tassi di cambio, Stk e 1/Stk , e gli importi R′ek = R′

k e R′$k ,

rispettivamente in euro e in dollari, dei versamenti da effettuare alle epoche tk presso lasocieta finanziaria statunitense. All’epoca iniziale t1 = 0, i tassi di cambio St1 e 1/St1 sonorispettivamente ottenuti come segue

6

C28 = $C$6*(1+$C$7)ˆ(B28),

D28 = 1/C28.

Copiando nelle celle da C29 a C32 e da D29 a D32 rispettivamente le formule delle celleC28 e D28, si ricavano i valori delle due formulazioni dei tassi di cambio in corrispondenzadelle diverse epoche di pagamento tk.

Al fine di determinare agevolmente l’importo in euro del primo versamento R′1, sono

stati calcolati e mostrati sul foglio elettronico i valori dei termini all’interno delle parentesiquadre presenti in entrambi i membri dell’ultima equazione. Per calcolare il primo terminedel membro di sinistra e del membro di destra si utilizzano rispettivamente le seguentiformule

C36 = D28*(1+$C$5)ˆ($B$40−B36),

D36 = (A28−1)*D28*(1+$C$5)ˆ($B$32−B28).

Figura 3: Importo dei versamenti R′k da effettuare presso la societa finanziaria statunitense

(Esercizio 2).

Gli altri termini si ottengono copiando nelle celle da C37 a C40 e da D37 a D40 le formuledelle celle C36 e D36, rispettivamente. Ne segue che, ottenuto R′

1 = 35396.78 con la formula

C47 = (C2*D32 + C3*SOMMA(D36:D40))/SOMMA(C36:C40),

7

gli importi in euro degli altri versamenti si ricavano in modo analogo a quanto visto inprecedenza per i versamenti Rk. Il controvalore in dollari dei versamenti in euro e

R′$k = R′e

k

1

Stk

, k = 1, . . . , 5.

Pertanto, e sufficiente calcolare il primo importo R′$1 mediante la formula

D47 = C47*D28;

copiando nelle celle da D48 a D51 la formula della cella D47 si ottengono gli importi indollari degli altri versamenti. Dal confronto dell’ammontare dei versamenti in euro dovutialle diverse epoche di pagamento (ossia, confrontando le celle da C20 a C24 per l’alternativaI con le corrispondenti celle da C47 a C51 per l’alternativa II), si evince che l’alternativaI richiede versamenti tutti di importo superiore rispetto a quelli della seconda; e percioquest’ultima l’alternativa da preferire. 2

3 Esercizio sulle rendite

Un risparmiatore versa in banca alla fine di ogni mese e per tre anni delle somme in pro-gressione aritmetica di ragione 100 e primo versamento pari a 500 euro. Nei successivi dueanni versa alla fine di ogni trimestre delle somme in progressione geometrica di ragione 1.2con primo versamento pari a 700 euro. Sapendo che la banca remunera il denaro con untasso annuo di interesse del 3% nel primo triennio e del 4% nel biennio successivo, si calcoliil montante alla fine del quinquennio.Si calcoli inoltre quante rate mensili posticipate di 1 000 euro ciascuna il risparmiatore potraprelevare a partire dalla fine del quinquennio prima di esaurire la somma accumulata se iltasso d’interesse dopo il quinquennio continua ad essere del 4%.

Soluzione. Il montante della rendita con rate variabili in progressione aritmetica diragione z = 100 e primo versamento R1 = 500 alla fine del quinquennio e

Ma5 = V a

0

(

1 + i)3 (

1 + i)2

, (10)

dove i = 0.03, i = 0.04 e V a0 si puo calcolare con la formula sintetica

V a0 = R1 an|i12 + z

an|i12 − nvn

i12, (11)

con n = 36, i12 = (1 + i)1/12 − 1 ≃ 0.0024662698 e v = (1 + i12)−1. Notiamo che il valore

attuale della rendita con rate variabili in progressione aritmetica V a0 si puo calcolare in

modo equivalente con la formula estesa

V a0 =

36∑

k=1

[

R1 + (k − 1)z](

1 + i12)−k

. (12)

8

Figura 4: Calcolo del valore attuale e del montante della rendita con rate variabili inprogressione aritmetica (Esercizio 3).

Nella figura 4 sono riportati i risultati ottenuti impostando i calcoli con un foglio elet-tronico. Nelle celle da C3 a C7 sono mostrati i dati relativi alla rendita in progressionearitmetica mentre nella cella C9 e calcolato il tasso mensile.

Al fine di determinare il valore attuale della rendita V a0 in base all’equazione (12),

occorre procedere al calcolo dell’importo e del valore attuale delle singole rate Rk, conk = 1, . . . , 36. Noto il valore della prima rata R1, copiato nella cella C13, e calcolatol’importo della seconda rata R2 con la formula

C14 = C13+$C$4,

si ricavano agevolmente gli importi degli altri versamenti Rk copiando nelle celle da C15a C48 la formula della cella C14. Per determinare il valore attuale delle singole rate esufficiente calcolare il valore attuale della prima rata mediante la formula

D13 = C13*(1 + $C$9)ˆ(− B13),

e ricavare tutti gli altri termini copiando nelle celle da D14 a D48 la formula della cellaD13. Sommando i valori delle celle da D13 a D48 si trova V a

0 = 76 502.21 e applicandol’equazione (10) otteniamo Ma

5 = 90 417.82.

9

Per il calcolo del valore attuale all’inizio del quarto anno della rendita con rate variabiliin progressione geometrica di ragione q = 1.2 e primo versamento R1 = 700, si utilizza laseguente formula

V b3 =

R1v1 − (qv)n

1 − qv, se qv 6= 1

nR1v, se qv = 1.

(13)

dove n = 8, v = (1+ i4)−1 e i4 = (1+ i)1/4−1 ≃ 0.009853407. Equivalentemente, e possibile

ricavare il valore V b4 utilizzando la seguente espressione

V b4 =

8∑

j=1

(

R1 · qj−1

)(

1 + i4)−j

. (14)

La figura 5 mostra i calcoli relativi alla determinazione del valore attuale e del montantedella rendita in progressione geometrica. Nelle celle da C56 a C59 sono riportati i dati dellarendita e nella cella C61 e determinato il tasso trimestrale.

Noto il valore della prima rata R1, si procede al calcolo dell’importo della seconda rataR2 con la formula ricorsiva

C66 = C65*$C$57,

e successivamente si ricavano gli importi delle altre rate Rj copiando nelle celle da C67 aC72 la formula della cella C66. In modo analogo a quanto fatto in precedenza, si calcolail valore attuale delle singole rate nelle celle da D65 a D72 e sommando gli importi cosıottenuti si ricava V b

4 = 10 953.63. Il montante alla fine del quinquennio della rendita conrate variabili in progressione geometrica e dato da

M b5 = V b

4

(

1 + i)2

= 11 847.45.

Per il calcolo del montante complessivo alla fine del quinquennio e sufficiente sommarei montanti alla fine del 5° anno della prima rendita e della seconda rendita, ossia

M5 = Ma5 + M b

5 = 102 265.27.

10

Figura 5: Calcolo del valore attuale e del montante della rendita con rate variabili inprogressione geometrica (Esercizio 3).

Cerchiamo ora di determinare il numero massimo di rate di uguale importo P = 1 000euro che si possono prelevare alla fine di ogni mese prima di esaurire la somma S = M5

accumulata alla fine del quinquennio. Indicato con n∗ tale numero, deve essere rispettatala limitazione

S ≥ Pan∗| i12,

dove i12 = (1 + i)1/12 − 1 ≃ 0.00327374. Con alcuni passaggi si ricava la seguente formula

n∗ =

⌊

−log

(

1 − Si12/P)

log(

1 + i12)

⌋

, (15)

dove ⌊x⌋ indica la parte intera del numero reale x. Notiamo che l’interesse maturato suldeposito iniziale, S i12 ≃ 334.79, risulta minore dell’importo P , per cui non e possibileeffettuare un numero illimitato di prelievi periodici.

11

Figura 6: Ricerca del numero di rate della rendita mensile posticipata a rata costante(Esercizio 3).

I calcoli relativi alla determinazione del numero massimo di rate n∗ sono mostrati nellafigura 6. Le celle da C84 a C87 riportano i dati del problema e nelle celle C90 e C91 sonocalcolati rispettivamente il tasso mensile i12 e l’interesse mensile maturato sulla somma S.Per la determinazione del numero di rate n∗ si puo utilizzare la seguente funzione finanziariadi Excel

NUM.RATE(Tasso interesse; Pagamento; Valore attuale; [Valore futuro]; [Tipo]),

la quale restituisce il numero di periodi relativi a un investimento che prevede pagamentiperiodici di importo costante e un tasso di interesse costante. L’ultimo argomento dellafunzione NUM.RATE indica la scadenza dei pagamenti ed assume il valore logico 1 o 0 aseconda che i pagamenti vengano effettuati rispettivamente all’inizio o alla fine del periodo ditempo considerato. Notiamo inoltre che gli argomenti indicati tra parentesi quadre possonoessere omessi e che gli argomenti che rappresentano esborsi in contanti, quali ad esempioi pagamenti, devono essere rappresentati da numeri negativi. Sostituendo agli argomentispecificati nell’apposita finestra della funzione NUM.RATE i valori relativi al problemaotteniamo il seguente risultato

C94 = NUM.RATE(C90;-C84;C85;;0) = 124.7256...

Pertanto, possono essere effettuati 124 prelievi mensili. 2

12

4 Esercizio sulle rendite

All’eta di 45 anni un lavoratore stipula con una societa finanziaria un contratto che loimpegna ad effettuare per 20 anni dei versamenti all’inizio di ogni semestre di importo paria 1000 euro in un Fondo remunerato al tasso del 4% annuo.In cambio, a carico della societa finanziaria e a favore del lavoratore sono previste le seguentiprestazioni: il pagamento all’epoca del pensionamento del lavoratore (alla fine del 65° annodi eta) del 50% dell’ammontare raggiunto dal Fondo e la corresponsione nei successivi 20anni di una rendita mensile a rata costante posticipata. Si calcoli il valore di tale rata.Si determini inoltre quale dovrebbe essere l’epoca di pensionamento affinche l’importo dellarata mensile fosse di 250 euro, supponendo che il pensionamento possa avvenire solo incorrispondenza del 30 giugno e del 31 dicembre di ciascun anno.

Soluzione. L’ammontare raggiunto dal Fondo all’epoca del pensionamento del lavoratore(alla fine del 65° anno di eta) rappresenta il montante di una rendita semestrale anticipataa rata costante R = 1 000, ossia:

M = R · sn|i2 , (16)

dove n = 40 e i2 = (1 + i)1/2 − 1 ≃ 0.019803903, con i = 0.04.

Figura 7: Calcolo del montante della rendita semestrale anticipata (Esercizio 4).

Nella figura 7 sono mostrati i calcoli ottenuti con il foglio elettronico. I dati del problema

13

sono indicati nelle celle da C3 a C5 mentre nella cella C7 e calcolato il tasso semestrale equi-valente al tasso i. Per la determinazione del montante della rendita semestrale anticipatasi puo applicare la funzione finanziaria di Excel

VAL.FUT(Tasso interesse; Periodi; Pagamento; [Valore attuale]; [Tipo]),

che restituisce il valore futuro di un investimento sulla base di pagamenti periodici di importocostante e di un tasso di interesse costante. Sostituendo agli argomenti della funzione i datirelativi al problema si ottiene

C9 = VAL.FUT(C7;C5;-C3;;1) = 61 337.

Figura 8: Calcolo della rata costante della rendita mensile posticipata (Esercizio 4).

Si noti che all’argomento “Tipo” e stato attribuito il valore logico 1, essendo i pagamentieffettuati all’inizio di ogni semestre. Per calcolare invece il valore attuale di un investimentosulla base di pagamenti periodici di importo costante e di un tasso di interesse costante sipuo ricorrere alla seguente funzione finanziaria di Excel

VA(Tasso interesse; Periodi; Pagamento; [Valore futuro]; [Tipo]).

La rata costante R′ della rendita mensile posticipata, corrisposta al termine della vitalavorativa per una durata di 20 anni, e data da

R′ =S

an′|i12

, (17)

14

dove S = (1 − 0.5)M , n′ = 240 e i12 = (1 + i)1/12 − 1 ≃ 0.00327374.La figura 8 riporta i calcoli effettuati sul foglio elettronico. In Excel, per la determina-

zione della rata costante R′ si puo utilizzare la seguente funzione finanziaria

RATA(Tasso interesse; Periodi; Valore attuale; [Valore futuro]; [Tipo]),

che calcola la rata di pagamento di un prestito sulla base di pagamenti di importo costantee di un tasso di interesse costante. Assegnati i valori del problema agli argomenti specificatinella finestra della funzione RATA si ottiene il risultato

C19 = RATA(C17;C15;-C14;;0) = 184.69.

Per poter invece percepire una rendita mensile posticipata a rata costante R′ = 250, illavoratore dovrebbe corrispondere durante l’eta lavorativa un numero n∗ di rate semestralianticipate di importo costante R = 1000 euro tale che

1

2R · sn∗|i2

≥ 250 · an′|i12, (18)

cioe

n∗ =

log

[

i2 · 250 · an′|i12

(1 + i2)R/2+ 1

]

log(1 + i2)

=⌊

48.96579622⌋

= 49.

Pertanto, il lavoratore dovrebbe andare in pensione all’eta di 45+24.5=69.5 anni, ossia il30 giugno del suo 70° anno di vita. 2

5 Esercizio sulle rendite

Al fine di promuovere e sostenere lo sviluppo delle piccole e medie imprese del settoreterziario una banca persegue un programma di finanziamenti agevolati. Nel caso specificodi un’impresa di commercio, che aveva la necessita di rifornire il proprio magazzino dinuove scorte, e stato concesso un finanziamento di 12 500 euro con l’impegno di restituirlomediante 14 versamenti mensili posticipati di 1000 euro ciascuno. Si vuole determinare iltasso di costo del finanziamento.

Soluzione. Il fattore an|i12 puo essere espresso come funzione del tasso di costo delfinanziamento su base mensile i12, ossia

an|i12 = f(i12) =1 − (1 + i12)

−n

i12. (19)

Ne segue che, per determinare il tasso incognito i12, occorre risolvere l’equazione

an|i12 =V0

R, (20)

15

dove n = 14, V0 = 12 500 e R = 1 000, rispetto al tasso di interesse mensile i12.

Figura 9: Ricerca del tasso di costo del finanziamento mediante il comando “Ricercaobiettivo” (Esercizio 5).

Nella figura 9 sono riportati i calcoli effettuati sul foglio elettronico. Le celle da C3 a C5contengono i dati relativi al problema e nella cella C8 e calcolato il valore V0/R. Utilizzandol’espressione (19) e un valore iniziale del tasso mensile i12, ad esempio 0.01 come riportatonella cella C13, si puo calcolare il valore del fattore an|i12 mediante la formula

C10 = (1 − (1 + C13)ˆ(−C5))/C13.

Si noti che nella cella C14 e stato calcolato il tasso di costo del finanziamento su base annuasfruttando la relazione tra tassi equivalenti e il valore iniziale di i12.

Al fine di determinare il valore di i12 tale per cui an|i12 = 12.5 si puo ricorrere al comando“Ricerca obiettivo” del menu Strumenti di Excel, che permette di ricavare il valore di unavariabile che risolve un’equazione assegnata, ossia il valore di x tale per cui f(x) = b. Nellafinestra di dialogo “Ricerca obiettivo” la voce “Imposta la cella” rappresenta il riferimentoalla forma della funzione, la cella “Al valore” rappresenta il valore che vogliamo assumala funzione data e infine la cella “Cambiando la cella” rappresenta il riferimento al valoreiniziale della variabile. Si noti che la prima voce deve contenere una formula mentre lerestanti due voci richiedono dei valori.

16

Figura 10: Ricerca del tasso di costo del finanziamento mediante la funzione finanziariaTASSO (Esercizio 5).

Dopo aver inserito nelle voci della finestra di dialogo gli opportuni riferimenti di cella,come mostrato in figura 9, si ottiene che il tasso cercato e i∗12 = 0.01548..., che corrisponde adun tasso del 20.25% su base annua. Come si osserva nella figura 10, il valore di i∗12 trovatomediante l’utilizzo del comando “Ricerca obiettivo” viene sostituito automaticamente alvalore iniziale i12 = 0.01 (cella C13).

Un modo equivalente per trovare il tasso di costo del finanziamento i12 si basa sull’uti-lizzo della seguente funzione finanziaria di Excel

TASSO(Periodi; Pagamento; Valore attuale, [Valore futuro]; [Tipo]; [Ipotesi]),

che restituisce il tasso di interesse periodico di un investimento con pagamenti di importocostante in ciascun periodo. Inserendo nella finestra di dialogo, come mostrato in figura 10,gli opportuni valori degli argomenti richiesti dalla funzione si ottiene il valore di i∗12

C19 = TASSO(C5;-C4;C3;;0) = 0.01548...

2

17

6 Esercizio sugli ammortamenti

Un imprenditore ottiene da un istituto di credito un prestito di 130 000 euro, che rimborserain 4 rate semestrali anticipate di importo costante in base al tasso di interesse annuo dell’ 8%.Si rediga il piano di ammortamento del prestito, indicando per esteso come sono statieffettuati i calcoli di almeno due righe del piano stesso.

Si valuti inoltre il valore residuo del prestito dopo undici mesi al tasso di valutazionedel 7% annuo.

Si calcoli infine l’importo che l’imprenditore avrebbe dovuto richiedere a prestito perricevere all’epoca iniziale un importo effettivo di 130000 euro (al netto della rata iniziale).

Soluzione. Innanzitutto, data la periodicita delle rate e necessario calcolare il tasso

equivalente su base semestrale i2 = (1 + i)12 − 1 ≃ 0.03923. Per determinare poi l’importo

della rata costante possiamo sfruttare l’equivalenza finanziaria fra la somma mutuata e ilvalore attuale delle rate

S =

3∑

k=0

Rk(1 + i2)−k = R a4|i2

(21)

da cui si ricava immediatamente l’importo

R =S

a4|i2

=13000

3.7791≃ 34399.28 (22)

Per completare il piano di ammortamento, dato che siamo nel caso di rate anticipate,e opportuno cominciare dalla fine. Dovendo essere D3 = 0, dalla relazione generale Ik =Dki21 + i2

, si ha immediatamente I3 = 0, e quindi C3 = R − I3 = R; ed inoltre si ha subito

D2 = D−3 = D3 + C3 = C3 = R. Possiamo a questo punto ricavare I2 da D2 e ripetere il

ragionamento appena visto, fino a completare tutto il piano.Vediamo come e possibile completare il piano attraverso l’utilizzo di Excel. Innanzitutto

scriviamo la colonna relativa agli importi delle rate, costanti per ogni epoca, che abbiamosopra calcolato.

18

Figura 11: Inserimento della rata costante (Esercizio 6).

Dopodiche cominciamo a riempire dal basso la tabella inserendo in ogni cella la formulache permette di calcolare l’importo della grandezza corrispondente: nella cella K5 inseriremoil valore corretto per D3, cioe 0; nella cella I5 la formula per l’interesse, cioe = K5 ∗ $B$3;nella cella H5 la formula per la quota capitale, cioe = G5 − I5, ed infine nella cella J5 laformula per il debito residuo immediatamente prima del pagamento della terza rata, cioe= K5 + H5.

Figura 12: Completamento dell’ultima riga del piano di ammortamento (Esercizio 6).

A questo punto per completare in modo semi-automatico il piano, basta spostarsi nellacella K4 ed inserire la formula che esprime il fatto che il debito residuo subito dopo ilpagamento della seconda rata e uguale a quello immediatamente prima del pagamento dellaterza rata, cioe = J5, e successivamente fare copia e incolla nelle celle della penultima rigausando quelle dell’ultima riga, mantenendo l’ordine visto sopra: cioe prima copiamo I5 inI4, poi H5 in H4, e cosı via fino alla prima riga. Se non abbiamo commesso errori, l’ultimacella che andremo a riempire, cioe J2, dovra restituire il valore della somma mutuata.

19

Figura 13: Completamento del piano di ammortamento (Esercizio 6).

Questo metodo pero puo andar bene quando il numero di epoche non e elevato, altrimentie preferibile avere a disposizione un modo completamente automatico per redigere il pianodi ammortamento. A tale scopo ricordiamo che per i piani a rate anticipate vale la relazioneD−

k+1 = (D−k − Rk)(1 + i2), da cui e possibile ricavare i debiti residui alle varie epoche note

le rate. Possiamo dunque procedere in questo modo: una volta inseriti i valori nella colonnadelle rate, immettiamo il valore noto 130000 di D−

0 nella cella J2, dopodiche inseriamonella cella J3 la formula precedente, cioe = (J2−G2) ∗ (1+$B$2), e con un copia e incollanelle celle sottostanti ricaviamo immediatamente i valori di D−

k alle varie epoche (si vedala Figura 14).

Figura 14: Calcolo dei debiti residui (Esercizio 6).

A questo punto possiamo ricavare le quote capitale come differenza tra debiti residui adepoche successive; immettendo la formula J2−J3 nella cella H2 e copiandola ed incollandolanelle celle sottostanti ricaviamo quindi tutte le quote capitale. In modo analogo si ottengonole quote interesse e i debiti residui immediatamente dopo il pagamento delle rate.

20

Figura 15: Completamento automatico del piano di ammortamento (Esercizio 6).

Per calcolare il valore residuo del prestito osserviamo che dopo 11 mesi resteranno dapagare solo due rate, e quindi il valore residuo sara

V = R((1 + r)−112 + (1 + r)−

712 ) ≃ 67273.94, (23)

dove r e il tasso di valutazione annuo.Infine, per rispondere all’ultima domanda osserviamo che per ricevere 130000 euro al

netto della prima rata si sarebbe dovuto richiedere una cifra S′ tale che S′ = 130000 + R′,dove R′ e la nuova rata costante del piano di ammortamento, che quindi deve soddisfareall’equivalenza finanziaria S′ = R′a4|i2

. Queste due relazioni insieme formano un sistemalineare di due equazioni in due incognite facile da risolvere, che fornisce come soluzioneS′ = 176776.91. 2

7 Esercizio sui prestiti obbligazionari

Il giorno 19/12/2005 un B.T.P. di valore nominale 100 che paga cedole semestrali in data01/01 e 01/07 in base al tasso nominale annuo convertibile semestralmente dell’8.75% everra rimborsato alla pari il 01/07/2006 e quotato 103.24 euro (corso secco); l’aliquota ditassazione e pari al 12.5%.

Si calcolino il tasso di rendimento alla scadenza su base annua e la durata media finan-ziaria dell’obbligazione in tale data (nell’ipotesi che questa sia la data di regolazione degliscambi). Si dia inoltre una stima della variazione che il prezzo del titolo subisce in seguitoad un aumento del tasso di interesse di mercato di 0.0025 su base annua.

Soluzione. L’ammontare netto delle cedole e dato da

Ced = F ·r

2· 0.0875 ≃ 3.8281.

21

Per calcolare i dietimi di interesse osserviamo che dallo stacco dell’ultima cedola sonotrascorsi 150 + 18 = 168 giorni (usando la regola 30/360) per cui essi sono dati da

Die = Ced ·168

180≃ 3.5729.

Possiamo a questo punto ricavarci il prezzo tel quel:

Ptq = Ps + Die = 106.8129.

Dato che il B.T.P. viene rimborsato alla pari si ha che il prezzo di rimborso netto e dato da

CN = 100 − max{0, 100 − 103.24} · 0.125 = 100.

Per trovare il tasso semestrale di rendimento alla scadenza, dato che mancano solodue cedole alla scadenza del B.T.P., dobbiamo quindi trovare il valore di i2 che verifical’equivalenza finanziaria

106.8129 = 3.8281 · a2|i2(1 + i2)

168180 + 100(1 + i2)

−“

2−168180

”

. (24)

Definiamo f(i2) := 3.8281 · a2|i2(1 + i2)

168180 + 100(1 + i2)

−“

2−168180

”

− 106.8129. Osserviamoche

d

dian|i(1+ i)t =

d

di[(1+ i)t−1 + · · ·+(1+ i)t−n] = −(1− t)(1+ i)t−2−· · ·− (n− t)(1+ i)t−n−1

e quindi se 0 < t < 1 si ha ddian|i(1 + i)t < 0, da cui ovviamente deduciamo subito anche

dfdi2

< 0. A questo punto, sfruttando la decrescenza di f rispetto ad i2 possiamo calcolare iltasso di rendimento alla scadenza tramite una procedura iterativa: utilizziamo come stimainiziale

i(0)2 =

Ced + (CN − Ps)/2

(CN + Ps)/3≃ 0.021614379

e cerchiamo uno zero di f(i2); si ha f(i(0)2 ) ≃ −1.503603572; dato che f(i

(0)2 ) < 0 per

avvicinarci allo zero della funzione dovremo prendere un valore i(1)2 un po’ piu piccolo di

i(0)2 ; provando con i

(1)2 = 0.001 si ottiene f(i

(1)2 ) ≃ −0.255376873. Diminuendo ancora

un po’ scegliamo i(2)2 = 0.008, e otteniamo f(i

(2)2 ) ≃ −0.037434816 che puo gia, ai nostri

fini, essere considerata una buona approssimazione dello zero della funzione. Tuttavia,allo scopo di ottenere una migliore precisione, effettuiamo un’altra iterazione prendendo

i(3)2 = 0.007, ottenendo f(i

(3)2 ) ≃ 0, 071871312, da cui deduciamo che lo zero della funzione

verra realizzato da un valore compreso fra 0.008 e 0.007, e dunque una stima migliore siavra prendendo la media di questi due valori, cioe i2 = 0.0075, cui corrisponde su il tassosu base annua i = 0.0150625.

Il procedimento sopra descritto si puo facilmente implementare in Excel, inserendo inuna colonna la formula della funzione, e nell’altra il valore iniziale del tasso, dopodiche

22

bastera inserire i successivi valori del tasso sotto quello iniziale e nell’altra colonna con unsemplice copia e incolla otterremo il valore corrispondente della nostra funzione.

Figura 16: Metodo iterativo (Esercizio 7).

Possiamo tuttavia ottenere una migliore stima di i2 utilizzando il risolutore1 di Excel:a tale scopo copiamo il valore di partenza per il tasso di interesse nel metodo iterativoe l’espressione della funzione f(i2) nelle celle F8 e H8 rispettivamente, e applichiamo aquest’ultima il risolutore imponendo che la cella obiettivo assuma il valore 0 cambiandola cella F8 corrispondente al tasso di interesse (si veda la figura Figura 17). Si ottiene inquesto modo un valore di i2 ≃ 0.007657293, per il quale la nostra funzione assume il valore−3, 80392×10−8, e dunque ci siamo avvicinati molto di piu allo zero. Su base annua questocorrisponde a un tasso di rendimento alla scadenza i = 0.01537322.

Un metodo alternativo e quello di utilizzare la funzione REND che fa parte delle funzionifinanziarie di Excel: per utilizzarla clicchiamo sul pulsante con il simbolo di funzione nellabarra della formula, e nella maschera di scelta che compare a video selezioniamo la categoria“funzioni finanziarie”, e poi la funzione REND. A questo punto dobbiamo inserire i valorinecessari per il calcolo dello ytm; si noti che come tasso di interesse va inserito il tassocedolare netto, il numero di rate deve essere posto uguale a 2, dato che stiamo considerandocedole semestrali, e la base va posta uguale a 0, dato che stiamo utilizzando la convenzionedell’anno commerciale; per maggiori dettagli si consulti la guida di Excel relativa a questafunzione. Si noti bene che il risultato fornito dalla funzione REND segue la convenzionestatunitense, e quindi si tratta di un tasso nominale annuo convertibile semestralmente,per cui per ottenere lo ytm su base semestrale da noi cercato dovremo dividere il risultatoottenuto per 2, e lo ytm su base annua puo poi essere ottenuto attraverso la formula i =

1In realta e sufficiente utilizzare lo strumento ’Ricerca obiettivo’ visto nell’Esercizio 5; qui si e utilizzato

il risolutore per offrire una maggiore panoramica delle possibilita risolutive. Si noti che in Openoffice Calc

il risolutore non e ancora stato compiutamente implementato, per cui in tal caso e opportuno utilizzare la

ricerca obiettivo.

23

(1 + i2)2 − 1. Osserviamo nella figura Figura 18 come i risultati ottenuti sono pressoche

identici a quelli ottenuti attraverso l’uso del risolutore.

Figura 17: Utilizzo del risolutore (Esercizio 7).

Figura 18: Utilizzo della funzione REND (Esercizio 7).

Un’ulteriore possibilita e costituita dall’utilizzo della funzione TIR.X di Excel, che cal-cola il tasso di rendimento interno di un impiego di flussi di cassa. Tuttavia questa funzionenon utilizza la base 30/360 bensı la convenzione dell’anno civile; dunque dovremo tenerneconto nel calcolo dei dietimi di interesse e del prezzo tel quel che risultano essere rispettiva-

mente Ced ·171

184≃ 3.5577 e 103.24+3.5577 = 106.7977, e otterremo comunque dei risultati

leggermente diversi da quelli sin qui ricavati. Considerando dunque il B.T.P. come un pro-

24

getto finanziario, i suoi flussi di cassa consistono con il pagamento iniziale del prezzo tel quela fronte della corresponsione delle cedole e del rimborso finale. Inseriamo questi valori inuna colonna di Excel, con a fianco le date corrispondenti a ciascun flusso, e successivamenteapplichiamo la funzione TIR.X.

Figura 19: Utilizzo della funzione TIR.X (Esercizio 7).

Come possiamo osservare nella Figura 19, il valore ottenuto per lo ytm su base an-nua, 0.015706238, e leggermente diverso da quello ottenuto in precedenza, per via delladiversa convenzione nel computo dei giorni. Si puo facilmente verificare che lo stesso risul-tato si otterrebbe utilizzando il risolutore come descritto in precedenza, questa volta pero

applicandolo alla funzione g(i) := 3.8281(1 + i)−13365 + (100 + 3.8281)(1 + i)−

194365 − 106.7977.

Per quanto riguarda la durata media finanziaria del titolo espressa su base semestrale,ricordiamo che essa e data dalla formula:

MD2 =

∑nk=1(tk − t)Ced(1 + i2)

−(tk−t) + (tn − t)CN(1 + i2)−(tn−t)

Ptq(25)

dove n e il numero di semestri che mancano alla scadenza del titolo, tk sono le epoche digodimento delle cedole espresse in base semestrale, e t e la data in cui si fa la valutazione.Nel nostro caso dunque la formula diventa:

MD2 =(1 − 168

180)3.8281(1 + i2)−

“

1−168180

”

+ (2 − 168180)103.8281(1 + i2)

−“

2−168180

”

106.8129≃ 1.0308

(26)Per calcolare la durata media finanziaria con Excel la cosa migliore da fare e riportare in unacolonna le epoche tk di godimento delle cedole e del rimborso finale, a fianco le differenzetk−t, e ancora a fianco i termini della sommatoria corrispondenti ad ogni epoca. Dopodiche

25

bastera fare la somma dei valori di questa colonna e dividere per Ptq; si veda a tale propositola figura Figura 20, dove come stima dello ytm su base semestrale abbiamo utilizzato quellacalcolata con il risolutore.

Figura 20: Calcolo della durata media finanziaria (Esercizio 7).

Un’alternativa e costituita dall’usare la funzione DURATA di Excel, che calcola la du-rata media finanziaria di un’obbligazione noti la data di liquidazione, la data di scadenza, iltasso cedolare netto, il tasso di rendimento alla scadenza su base annua, il numero di rate ela base utilizzata per il calcolo. Anche qui, dato che l’implementazione di questa funzione estata fatta secondo la pratica statunitense, come stima del tasso di rendimento alla scadenzasu base annua andra utilizzato quello nominale annuo convertibile semestralmente calcolatoattraverso la funzione REND visto in precedenza. Il valore ottenuto sara espresso su baseannua, e si ottiene MD1 ≃ 0.5154. Dovremo ricordarci di moltiplicarlo per due per con-frontarlo con il valore ottenuto in precedenza, secondo la nota relazione MDm = m · MD1

(si veda la figura Figura 21).Per calcolare la stima della variazione che il prezzo del B.T.P. ha in seguito ad un

aumento del tasso di interesse di mercato dello 0.0025 su base annua a questo punto esufficiente utilizzare la stima ∆Ptq ≃ MD1

1+i ∆iPtq, e con i dati a nostra disposizione si ottiene∆Ptq ≃ −0.1356.

2

26

Figura 21: Uso della funzione DURATA (Esercizio 7).

8 Esercizio sui problemi di scelta fra progetti finanziari certi

Si analizzi la convenienza dei progetti di investimento alternativi A, B e C che presentanoi seguenti flussi di cassa (in euro) in corrispondenza delle epoche t = 0, 1, 2, 3, 4:

Epoca 0 1 2 3 4

Progetto A -30000 14400 9900 9900 0Progetto B -30000 12000 12000 12000 0Progetto C -30000 12000 0 12000 13500

Soluzione. Le espressioni analitiche dei REA dei tre progetti sono date da:

REAA = − 30000 + 14400(1 + i)−1 + 9900(1 + i)−2 + 9900(1 + i)−3

REAB = − 30000 + 12000(1 + i)−1 + 12000(1 + i)−2 + 12000(1 + i)−3

REAC = − 30000 + 12000(1 + i)−1 + 12000(1 + i)−3 + 13500(1 + i)−4.

(27)

27

Cominciamo con il confrontare i primi due progetti; la differenza fra i due REA e:

REAA − REAB = 2400(1 + i)−1 − 2100(1 + i)−2 + −2100(1 + i)−3. (28)

Per studiarne il segno effettuiamo la sostituzione (1 + i)−1 = v e cerchiamo gli zeri delpolinomio v(2400−2100v−2100v2); con facili calcoli si trova che le radici sono v1 = 0, v2 =0.6802, v3 = −1.6802, da cui si deduce che la differenza e positiva per v < −1.6802 e0 < v < 0.6802, negativa per −1.6802 < v < 0 e v > 0.6802. Siccome siamo interessati soloa valori di i positivi, ci restringiamo a considerare per v i valori dell’intervallo ]0, 1], per cuialla fine si ricava che A e preferibile a B per 0 < v < 0.6802, che corrisponde a i > 47.02%,ed e dominato da B per 0.6802 < v ≤ 1, che corrisponde a 0 ≤ i < 47.02%, mentre si haindifferenza fra i due progetti nel caso i = 47.02%. In modo analogo si puo procedere pergli altri due casi.

Per vedere come effettuare il confronto fra i progetti finanziari usando Excel, iniziamocon il riportare i dati del problema, cioe i flussi di cassa relativi ai REA dei tre progetti ealle differenze tra essi:

Figura 22: REA dei progetti A, B e C e differenze fra essi (Esercizio 8).

Dopodiche costruiamo delle tabelle del variare dei REA al variare del tasso di interesse i:in una colonna inseriamo il valore 0 di partenza e lo incrementiamo nella casella sottostantedi 0.005; in questo modo trascinando con il mouse la casella selezionata lungo la colonnaotterremo tutti i valori di i da 0 al valore finale desiderato (0.5 nel nostro caso). Nelletre colonne adiacenti, dopo aver inserito nella prima riga l’espressione del REA dei treprogetti, con un semplice procedimento di copia e incolla otterremo i valori dei tre REAcorrispondenti al variare del tasso di interesse.

28

Figura 23: Tabella dei REA al variare di i (Esercizio 8).

Per cominciare il confronto da un punto di vista qualitativo, e utile disegnare un graficoin cui sia rappresentato simultaneamente l’andamento dei tre REA; a tale scopo utilizziamoil menu Inserisci → Grafico di Excel, scegliamo il tipo ‘Dispers. (XY)’ e fra le sceltepossibili utilizziamo ‘Dispersione con coordinate unite da linee, senza indicatori di dati’.Dopo aver cliccato su avanti, nella finestra successiva clicchiamo nella casella ‘Intervallodati’ e successivamente selezioniamo nel foglio di calcolo le celle da B14 A E115 contenentii nostri dati, ed Excel automaticamente creera un grafico in cui in ascissa verra inserita laprima colonna, e per i valori delle ordinate verranno presi quelli delle altre tre colonne.

Figura 24: Inserimento del grafico (Esercizio 8).

29

2

Proseguendo nella creazione del grafico, aggiungiamo un titolo e lo inseriamo in un nuovofoglio di calcolo:

Figura 25: Grafico per il confronto dei REA dei progetti A, B e C (Esercizio 8).

Si osserva cosı che il progetto C e preferibile agli altri due per tassi di interesse esterni finoall’incirca al 6%, mentre per tassi maggiori e fino all’incirca al 50% il progetto preferibile eB, e per valori ancora piu grandi il progetto migliore diventa A. Per verificare con precisionequali sono i valori di discrimine possiamo utilizzare la funzione TIR.COST di Excel, checalcola il tasso interno di rendimento relativo ad una serie di flussi di cassa che occorronoa intervalli regolari di tempo, applicandola alle differenze dei REA. Come si puo osservarenella Figura 26, il tasso che rende indifferenti i progetti A e B e il 47.02%, quello per iprogetti A e C e il 12.21%, ed infine quello per i progetti B e C e il 6.07%.

30

Figura 26: Calcolo dei tassi di indifferenza fra i progetti A, B e C (Esercizio 8).

Per terminare il confronto, possiamo, sempre con l’utilizzo della funzione TIR.COST,calcolare i tassi interni di rendimento dei tre progetti di investimento per confrontare la lororedditivita con le opportunita di investimento al tasso esterno (si veda la Figura 27).

Figura 27: Calcolo dei TIR per i progetti A, B e C (Esercizio 8).

Riassumendo si ha dunque che:

• Il progetto C e preferibile per tassi esterni i0 compresi fra 0 e 6.07%; per quest’ultimovalore si ha indifferenza fra i progetti C e B;

31

• per tassi esterni 6.07% < i0 < 9.70% = TIRB il progetto preferibile e B; per i0 =TIRB si ha indifferenza fra esso e l’investimento al tasso esterno;

• per tassi esterni i0 > 9.70% nessuno dei tre progetti e preferibile rispetto all’investi-mento al tasso esterno.

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