Matematica 3 Esercitazioni

Teoremi di Stokes, della divergenza e di GaussGreen.

Esercizio 1 : Calcolare larea del dominio T avente per frontiera la linea chiusa di equazioniparametriche

:

{x = (1 t)2t

y = (1 t)t, t [0, 1]

Soluzione : Possiamo utilizzare indifferentemente una delle tre formule (giustificate dalteorema di GaussGreen)

Area(T ) =

+

x dy =

+y dx =

+

x

2dy

y

2dx.

Bisogna pero` stabilire se la parametrizzazione assegnata alla frontiera induce su di essa o-rientazione positiva o negativa. Un metodo per farlo e` quello di determinare la direzione e ilverso di un vettore tangente alla curva in un opportuno punto. Il vettore tangente a ha componenti (t) = ((1 t)(1 3t), 1 2t) dunque, per t = 1

2e` = ( 1

4, 0), orizzontale

ed orientato secondo le x decrescenti. Da cio` si deduce che lorientazione su e` quella insenso antiorario e quindi positiva. Calcoliamo quindi larea secondo la prima delle tre formuleprecedenti:

T

dx dy =

+

x dy =

10

x(t)y(t) dt

=

10

(1 t)2t(1 2t) dt =

[1

2t2

4

3t3 +

5

4t4

2

5t5

]10

=1

60.

Esercizio 2 : Calcolare larea del dominio tratteggiato in figura di frontiera = 1 2 3ove 1 = {(x, y) R

2, x2 + y2 x = 0, y 0} e 2 ha equazione in coordinate polari = e

con [0, pi2].

Soluzione : Determiniamo dapprima una parametrizzazione per la frontiera che induca su

1

di essa orientazione positiva. Si ha

1 :

x =1

2+

1

2cos(pi )

y =1

2sin(pi )

, [0, pi],

2 :

{x = e cos

y = e sin , [0,

pi

2]

e

3 :

{x = 0

y = epi

2 t, t [0, e

pi

2 ].

Utilizziamo ora la formula

Area(T ) =

+

x

2dy

y

2dx.

Considerando che il contributo allintegrale del tratto 3 e` nullo, si ha+

x

2dy

y

2dx =

1

x

2dy

y

2dx +

2

x

2dy

y

2dx

=1

2

pi0

[

(1

2+

1

2cos(pi )

)1

2cos(pi )

1

2sin(pi )

1

2sin(pi )

]d

+1

2

pi2

0

[e2 cos (sin + cos ) e2 sin (cos sin )

]d

= 1

2

pi0

(1

4+

1

4cos(pi )

)d +

1

2

pi2

0

e2 d

=

[1

8sin(pi )

1

8

]pi0

+

[1

4e2

]pi2

0

= pi

8+

1

4epi

1

4.

Esercizio 3 : Usando il teorema di GaussGreen, calcolare lintegrale doppio

T

y dx dy

ove T e` il dominio in figura, di frontiera T = 0 1 2 con

0 :

{x = t sin t

y = cos t 1, t [0, 2pi]

1 :

{x = 2pi cos3 t

y = 2pi sin3 t, t [0,

pi

2]

Soluzione : Per poter applicare il teorema di GaussGreen, dobbiamo determinare un campoF = (f1(x, y), f2(x, y)) tale che xf2(x, y)yf1(x, y) = y. Una scelta possibile e` la seguente:

2

f1(x, y) = y2

2, f2(x, y) = 0. Il teorema di GG afferma quindi

T

y dx dy =

T+

y2

2dx.

Non abbiamo bisogno di calcolare una parametrizzazione del tratto 2 poiche su di esso x e`costante dunque x(t) = 0. Inoltre, le parametrizzazioni assegnate ai tratti 0 e 1 induconosu di essi orientazione positiva. Si ha quindi:

T

y dx dy =

0

y2

2dx +

1

y2

2dx

= 1

2

2pi0

(1 cos t)3 dt +

pi2

0

12pi3 sin7 t cos2 t dt

= 1

2

2pi

0

(1 4 cos t + sin2 t cos t +3

2cos(2t) +

3

2) dt +

pi2

0

12pi3 sin6 t cos2 t sin t dt

= 1

2

[5

2t 4 sin t +

1

3sin3 t +

3

4sin(2t)

]2pi0

+

pi2

0

12pi3(cos2 t cos8 t 3 cos4 t + 3 cos6 t) sin t dt

= 5

2pi + 12pi3

[

1

3cos3 t +

1

9cos9 t +

3

5cos5 t

3

7cos7 t

]pi2

0

= 5

2pi + 12pi3(

1

3

1

9

3

5+

3

7)

Esercizio 4 : Dato il campo vettoriale F = (x cos y sinx + cos y cos x)i (x sin x cos y)j,calcolare il flusso di F uscente dalla linea = 1 2 3 usando il teorema della divergenza.

Soluzione : Ricordiamo il teorema della divergenza nel piano:

F,nds =

T

divF dx dy

ove n e` il versore uscente normale al bordo del dominio T . Poiche la retta OB ha equazione

3

y = x e la retta BA ha equazione y = 2x + 2, si haT

divF dx dy

=

T

(x cos y cos x + x sinx sin y) dx dy

=

T

x cos(y x) dx dy =

23

x=0

xy=0

x cos(y x) dy dx +

1x= 2

3

2x+2y=0

x cos(y x) dy dx

=

23

x=0

x sinx dx +

1

x= 23

(x sin(3x + 2) + x sinx) dx

=

1

x=0

x sinx dx +

1

x= 23

x sin(3x + 2) dx

= [x cos x + sinx]10+

[1

3x cos(3x + 2) +

1

9sin(3x + 2)

]12

3

=8

9sin 1

2

3cos 1

2

9.

Esercizio 5 : Sia S la porzione delliperboloide ad una falda di equazioni parametriche

P :

x = coshu cos v

y = cosh u sin v

z = sinhu

,u [ sinh1 1, sinh1 2]

v [pi

2,pi

2].

Si calcoli il flusso del vettore F = xi + yj + zk che attraversa S nel verso delle x crescenti.

Soluzione : In questo esercizio non si puo` usare il teorema della divergenza perche la super-ficie non e` chiusa. Calcoliamo quindi il flusso in base alla definizione:

Flusso =

S

F,nd

ove n e` il versore normale a S orientato nel verso delle x crescenti e d e` lelemento di superficiesu S. Ricordiamo che se P(u, v) e` una parametrizzazione della superficie S con (u, v) D,D R2 e g e` una funzione definita in un intorno di S, lintegrale di superficie si calcola

S

g d =

D

g(P(u, v))Pu Pv du dv

ove Pu Pv e` il prodotto vettoriale dei due vettori tangenti Pu e Pv (ed e` quindi un vettorenormale alla superficie). Calcoliamo nel nostro caso il versore n normale alla superficie. Si ha

Pu = (sinhu cos v, sinhu sin v, cosh u), Pv = ( cosh u sin v, cosh u cos v, 0)

4

da cui

n =Pu PvPu Pv

=1

Pu Pv

i j k

sinhu cos v sinhu sin v coshu coshu sin v cosh u cos v 0

=

1

Pu Pv

(( cosh2 u cos v)i (cosh2 u sin v)j + (sinhu coshu)k

)(Osservazione: Non abbiamo bisogno di calcolare la norma del vettore perche` si sempli-fichera` nellintegrale)

Il versore cos` trovato e` nel verso delle x crescenti? Poiche la componente lungo lasse x delvettore normale Pu Pv e` cosh

2 u cos v < 0 se (u, v) D, il versore NON e` nel verso dellex crescenti dunque dovremo prendere il versore opposto. Abbiamo quindi:

S

F,nd =

D

F(P(u, v)),Pu PvPu Pv

Pu Pv du dv

=

sinh1 2u= sinh1 1

pi2

v=pi2

(cosh3 u cos2 v + cosh3 u sin2 v sinh2 u coshu) du dv

=

sinh1 2u= sinh1 1

pi2

v=pi2

(cosh3 u sinh2 u cosh u) du dv

=

sinh1 2u= sinh1 1

pi2

v=pi2

cosh u du dv

= pi

sinh1 2u= sinh1 1

cosh u du = [pi sinhu] sinh1 2

sinh1 1= 3pi.

Esercizio 6 : Dato il campo F = yi+ zj+xk, calcolare il flusso del rotore di F attraverso laporzione di paraboloide S = {(x, y, z) R3, z = 1x2y2, z 0} sia in base alla definizione,sia usando il teorema di Stokes.

Soluzione : Per il teorema di Stokes, se F = (f1, f2, f3) e` un campo definito in un intornodella superficie S R3, si ha

S

rotF,n d =

S+

f1dx + f2dy + f3dz

ove lorientazione positiva di S e` scelta coerentemente con il verso del versore normale allasuperficie n. Calcoliamo il flusso del rotore di F nel verso delle z crescenti.

Si ha

rotF =

i j k

x y zy z x

= i j k.Determiniamo quindi una parametrizzazione della porzione di paraboloide:

P :

x = u

y = v

z = 1 u2 v2, 0 u2 + v2 1.

5

Il vettore normale alla superficie nel verso delle z crescenti e` quindi

Pu Pv =

i j k

1 0 2u0 1 2v

= 2ui + 2vj + k(si osservi che la componente lungo lasse z e` positiva). Dunque, in base alla definizione:

S

rotF,n d =

S

rotF,Pu PvPu Pv

Pu Pv du dv

=

0u2+v21

(2u 2v 1) du dv = pi.

Applichiamo ora il teorema di Stokes e determiniamo dapprima una parametrizzazione di Sche induce orientazione positiva:

r :

x = sin t

y = cos t

z = 0

, t [0, 2pi]

Si ha quindi:S+

f1dx + f2dy + f3dz =

2pi

0

sin t( sin t) dt =

2pi

0

cos(2t) 1

2dt =

[1

4sin(2t)

1

2t

]2pi0

= pi.

Esercizio 7 : Dato il campo F = x3i + y3j + z3k definito nel dominio E = {(x, y, z) R

3, x2 + y2 1, z [0, 1]}, calcolare il flusso di F uscente dalla frontiera di E sia in base alladefinzione, sia usando il teorema della divergenza.

Soluzione : Per il teorema della divergenza nello spazio:E

F,nd =

E

divF dx dy dz

ove n e` il versore uscente normale al bordo E del dominio E. Determiniamo una parametriz-zazione del bordo E = S1 S2 S3. Per S1 si ha:

P1 :

x = cos

y = sin

z = t

, [0, 2pi], t [0, 1].

Per S2 si ha:

P2 :

x = u

y = v

z = 0

, 0 u2 + v2 1.

Per S3 si ha:

P3 :

x = u

y = v

z = 1

, 0 u2 + v2 1.

6

Calcoliamo ora il versore normale uscente relativo a S1, S2 e S3. Si ha facilmente

n2 = (0, 0,1), n3 = (0, 0, 1)

mentre un vettore normale a S1 e`

P Pt =

i j k

sin cos 00 0 1

= cos i + sin j.Si tratta del vettore uscente dal bordo S1 poiche per = 0 si ha i (si osservi che si tratta diun versore, poiche P Pt = 1). Calcoliamo il flusso uscente tramite la definizione:

E

F,nd =

S1

F,nd +

S2

F,nd +

S3

F,nd

=

0u2+v21

0 du dv +

0u2+v21

1 du dv +

2pi=0

1t=0

(cos4 + sin4 ) d dt = pi +3

2pi =

5

2pi.

Utilizzando ora il teorema della divergenza, poiche divF = 3x2 + 3y2 + 3z2, si haE

divF dx dy dz =

1

z=0

0x2+y21

(3x2 + 3y2 + 3z2) dx dy dz

= 2pi

1=0

33d +

0x2+y21

1z=0

3z2dz dx dy =3

2pi + pi =

5

2pi.

Esercizio 8 : Si calcoliD

x2 dx dy

dove D = {(x, y) R2, 1 x2 + y2 2}, utilizzando il teorema di GaussGreen.

Risultato: 34pi

Esercizio 9 : Applicando il teorema di Stokes, calcolare lintegrale

y2 dx + xy dy + xz dz

ove e` lellisse intersezione tra la superficie cilindrica di equazione x2 + y2 = 2x e il pianoz = y. Il risultato dipende dallorientazione di ?

Risultato: 0, dunque in questo caso particolare non dipende dallorientazione.

Esercizio 10 : Dato il campo vettoriale F = xi + 2yj 3zk, calcolare

a) la circuitazione lungo la linea intersezione delle superfici di equazione

xy = z, e x2 + y2 = 1

b) il flusso uscente dal cubo di lato unitario, avente tre spigoli sugli assi, un verticenellorigine e il vertice opposto nel punto (1, 1, 1).

7

Risultato: sono entrambi nulli.

Esercizio 11 : Si calcoli il flusso del campo F = zi+x2yj+ y2zk uscente dalla superficie delsolido

S = {(x, y, z) R3, 2

x2 + y2 z 1 + x2 + y2}.

Risultato: pi30

.

8