1

ESERCIZIO 1 Risolvere la struttura e tracciare in modo CORRETTO la deformata strutturale;

determinare i valori delle caratteristiche della sollecitazione e tracciare i relativi diagrammi;

calcolare le reazioni vincolari.

DATI

L1 = 5,00m; L2 = 6,00m; Ls = 1,80m; materiale: c.a.;

sez. BxH 400x600 [mm]; E = 30000 MPa; P = 5 kN; q1 = 40 kN/m;

q2 = 10 kN/m

A

B C D

2

ESERCIZIO 1

A

B C

M=PLs

Metodo delle forze: cerniera in A e B

XB XB XA 1

1 2

0 ( ; ; )

( ; ; ) ( ; ; )

A A A B

sx dx

B B A B B B B

q X X

q X X q X

M

equazioni di congruenza:

rotazioni +

3

1 1 1 1

3 3

1 1 1 1 2 2 2 2

03 6 24

6 3 24 3 6 24

A B

A B B

X L X L q L

EI EI EI

X L X L q L X L L q L

EI EI EI EI EI EI

M

= 5·1,8= 9kNm

1

1 2

5 5 125

3 6 24

5 11 125 216 6

6 3 2

96

74 6

5

2

,

54

A B

A B

A

B

X X q

X X q q

X kNm

X kNm

M

3

ESERCIZIO 1 Campata AB:

B C

M=PLs

A

B

MB MA

1

1

1

1

7,90 100 107,902

7,90 100 92,102

A BA

sx A BB

M M qLT kN

L

M M qLT kN

L

Campata BC:

B C

M=PLs

A

B

MB

2

2

1

1

8 30 382

8 30 222

dx MB

A BC

M qLT kN

L

M M qLT kN

L

M

107,90

92,10 38 130,10

22 5 27

A

sx dx

B B B

C C

R kN

R T T kN

R T P kN

Reazioni vincolari della struttura completa:

4

ESERCIZIO 1 Equilibrio globale:

A

B C D

RA RB RC

MA

1 1 2 2

2

1 1 21 1 2 2 2 1 1 2

0 ( ) ( )

107,90 130,10 27 200 60 5 0

0 ( ) ( )2 2

96,5 650,5 297 500 480 64 0

V A B C

A A B C s

F R R R q L q L P

OK

q L LM M R L R L L q L L P L L L

OK

5

ESERCIZIO 1

1

2

2

( ) 107,90(0 ) 107,90

(0 ) 96,50 ( ) 107,90 96,502

T x qxT kN c

qM kNm c M x x x

2

( ) 0 107,90 0 107,90 / 2,69

( ) 2,69 107,9 2,69 96,5 492

T x qx x q m

qM M x kNm

Caratterizzazione dei diagrammi del momento flettente e del taglio: leggi di variazione

Campata AB

B C

M=PLs

A

B

MB MA

2

2

2

1 1 2

; ;

( ) ( )2

dT dM d Mq T q

dx dx dx

qT x qx c M x x c x c

Ascissa Mmax,+

Mmax,+

Punti di nullo del diagramma

del momento

12

2

1,13( ) 107,9 96,5 0

4,262

x mqM x x x

x m

6

ESERCIZIO 1 Caratterizzazione dei diagrammi del momento flettente e del taglio: leggi di variazione

Campata BC

Ascissa Mmax,+

Mmax,+

Punti di nullo del diagramma

del momento

B C

M=PLs

A

B

MB

1

2

2

( ) 38(0 ) 38

(0 ) 57 ( ) 38 672

T x qxT kN c

qM kNm c M x x x

2

( ) 0 38 0 38 / 3,8

( ) 3,8 38 3,8 57 15,22

T x qx x q m

qM M x kNm

2

2

2

1 1 2

; ;

( ) ( )2

dT dM d Mq T q

dx dx dx

qT x qx c M x x c x c

12

2

2,06( ) 38 57 0

5,542

x mqM x x x

x m

7

ESERCIZIO 1 Controllo della congruenza: rotazioni in B ed in C:

Campata AB

B C

M=PLs

A

B

MB MA

3

1 1 1 1

6 3 24

96,5 5 57 5 40 1250,0001525

6 216000 3 216000 24 216000

sx A BB

M L M L q L

EI EI EI

rad

340,4 0,6

0,007212

I m

2EI = 216000kNm

B C

M=PLs

A

B

MB

Campata BC:

3

2 2 2 2

3

2 2 2 2

3 6 24

57 6 9 6 10 2160,0001525

3 216000 6 216000 24 216000

6 3 24

57 6 9 6 10 2160,0000695

6 216000 3 216000 24 216000

dx BB

BC

M L L q L

EI EI EI

rad

M L L q L

EI EI EI

rad

M

M

antioraria

antioraria

8

ESERCIZIO 1

T

M

D

Diagramma del taglio, del momento flettente e deformata della struttura

9

ESERCIZIO 2 Risolvere la struttura e tracciare in modo CORRETTO la deformata strutturale;

determinare i valori delle caratteristiche della sollecitazione e tracciare i relativi diagrammi;

calcolare le reazioni vincolari.

A

B C D

DATI

L1 = 5,00m; L2 = 6,00m; Ls = 1,80m; materiale: c.a.

sez. BxH 400x600 [mm]; E = 30000 MPa; P = 15kN; q = 40 kN/m;

T = + 25 °C;

a = 0,00001 [1/°C]

10

ESERCIZIO 2 Metodo delle forze: cerniera in A e B

( ; ) ( ; ; )sx dx

B B B B B Bq X T X Mequazione di congruenza:

rotazioni +

= 15·1,8= 27kNm

A

B C

M=PLs

3

1 1 1 2 2 2

3 24 3 6

5 6 40 125 27 6 0,00001 25 6 216000

3 3 24 6 0,6

3 40 125 27 6 0,00001 25 6 216000

11 24 6 0,697,82

B B

B B

B

X L q L X L L T L

EI EI EI EI h

X X

X kNm

a

M

340,4 0,6

0,007212

I m

2EI = 216000kNm

Verso opposto a

quello ipotizzato

XB XB

11

ESERCIZIO 2

A B

B C

M=PLs

Campata AB:

Campata BC:

A B

B C

M=PLs

1

1

1

1

19,56 100 119,562

19,56 100 80,442

BA

sx BB

M qLT kN

L

M qLT kN

L

MB

2

2

20,80

20,80

dx BB

BC

MT kN

L

MT kN

L

M

M

MB

119,56

80,44 20,80 59,64

20,80 15 35,80

A

sx dx

B B B

C C

R kN

R T T kN

R T P kN

Reazioni vincolari della struttura completa:

12

ESERCIZIO 2 Equilibrio globale:

RA RB RC

1 1

2

1 11 1 2 1 2

0 ( )

119,56 59,64 35,80 200 15 0

0 ( ) ( )2

298,2 393,8 500 192 0

V A B C

A B C s

F R R R q L P

OK

q LM R L R L L P L L L

OK

A

B C D

13

ESERCIZIO 2 Caratterizzazione dei diagrammi del momento flettente e del taglio: leggi di variazione

Campata AB

Ascissa Mmax,+

Mmax,+

Punti di nullo del diagramma

del momento

1

2

2

( ) 119,56(0 ) 119,56

(0 ) 0 0 ( ) 119,562

T x qxT kN c

qM c M x x x

2

( ) 0 119,56 0 119,56 / 2,99

( ) 2,99 119,56 2,9 178,682

T x qx x q m

qM M x kNm

2

2

2

1 1 2

; ;

( ) ( )2

dT dM d Mq T q

dx dx dx

qT x qx c M x x c x c

2 1

120

( ) 119,568

02 5,9

xqM

Lx

mx

xx

A B

B C

M=PLs

MB

14

ESERCIZIO 2 Caratterizzazione dei diagrammi del momento flettente e del taglio: leggi di variazione

Campata BC 2

2

2

1 1 2

; ;

( ) ( )2

dT dM d Mq T q

dx dx dx

qT x qx c M x x c x c

A B

B C

M=PLsMB

Non è presente nessun carico distribuito, ne consegue che il diagramma del taglio è

costante, mentre il diagramma del momento varia linearmente.

In dettaglio, il valore del momento flettente in B è +97,82kNm mentre in C vale -27kNm, il

punto di nullo si può ricavare da una semplice proporzione:

2

2

97,826 4,70

97,82 27

B B B

B

M M Mx L m

x L M

MM

15

ESERCIZIO 2

3

1 1 1

3 24

97,82 5 40 1250,00172

3 216000 24 216000

sx BB

M L q L

EI EI

rad

Campata BC:

2 2 2 97,82 6 9 6 0,00001 25 6

6 3 6 216000 3 216000 0,6

0,00213

BC

M L L T L

EI EI h

rad

a

M

antioraria

antioraria

Controllo della congruenza: rotazioni in B ed in C:

Campata AB

A B

B C

M=PLs

MB

A B

B C

M=PLsMB 2 2 2

3 6

97,82 6 9 6 0,00001 25 6

3 216000 6 216000 0,6

0,00172

dx BB

M L L T L

EI EI h

rad

a

M

oraria

16

ESERCIZIO 2 Diagramma del taglio, del momento flettente e deformata della struttura

T

M

D

17

ESERCIZIO 3 Risolvere la struttura e tracciare in modo CORRETTO la deformata strutturale;

determinare i valori delle caratteristiche della sollecitazione e tracciare i relativi diagrammi;

calcolare le reazioni vincolari.

A

DKM

B C

DATI

L = 6,00m;Ls = 2,00m; materiale: acciaio; sez. HE 400 B (h sez. 400mm) I = 576800000 mm4; E = 210000 MPa; P = 15kN; q = 40 kN/m; KM = 6000 kN/m

18

ESERCIZIO 3 Metodo delle forze: può risultare più conveniente, dal punto di vista computazionale,

rimuovere il vincolo in B ed inserire la reazione incognita iperstatica.

A

C

B

M=PLs

XB

rotazioni

+

spostamenti

( ; ; )M BB B B B

M

Xv v v q X

K M

equazione di congruenza: KM

B

XB Azione della struttura

sulla molla

Azione della molla sulla

struttura

3 2( 2 ) 3 ( 2 );

48 48

BX L L

EI EI

M

= +

simmetrico emisimmetrico

C

B

A

C

B

A

C

B

A

2EI = 121128kNm

19

ESERCIZIO 3

45 ( 2 )

384 2B

q Lv

EI

= +

simmetrico emisimmetrico

C

B

A

C

B

A

C

B

A

0Bv

4 2 3 3 4 25 1 5

48 4 6 6 48 4

91,30

B BB

M M

B

qL L X L X L qL LX

EI EI EI K EI K EI EI

X kN

M Mequazione di congruenza:

2 2

2 2 0 31,852 2 4 2

SBB C S C

L LL R LR L R L q P L L R q P kN

L

0 131,85A B C A B CR R R qL P R R R qL P kN

Equilibrio alla rotazione: polo A

Equilibrio alla traslazione verticale

20

ESERCIZIO 3 Taglio e momento nelle sezioni significative

2

131,85 ; 108,15 ; 16,85

16,85

0; 71,10 ; 302

sx dx sx

A A B A B B B

sx

C C

A B A C S

T R kN T R qL kN T T R kN

T P R kN

LM M R L q kNm M PL kNm

Nella campata BC non è presente nessun carico

distribuito il diagramma del momento varia

linearmente. Il punto di nullo si ricava dalla

proporzione tra il momento in B ed il momento in C

1

2

2

( ) 131,85(0 ) 131,85

(0 ) 0 0 ( ) 131,852

T x qxT kN c

qM c M x x x

2

( ) 0 131,85 0 131,85 / 3,29

( ) 3,29 131,85 3,29 217,302

T x qx x q m

qM M x kNm

2

2

71,16 4,22

71,1 30

B B B

B

M M Mx L

x L M

m

MM

21

ESERCIZIO 3 Diagramma del taglio, del momento flettente e deformata della struttura

T

M

D