Esercizi di Controlli Automatici - prof. Beghi

Esercizio 1. Dato lo schema in �gura, con RC = 1

R

R

u  y  

-

+

C

C

1. Si calcoli la funzione di trasferimento Wid(s) tra u ed y nell’ipotesi di operazionale ideale;

2. nell’ipotesi di operazionale caratterizzato da G(s) = Ks+1 , cio�e da Y (s) = G(s)[V+(s) � V−(s)], si calcoli

la funzione di trasferimento Wr(s) tra u ed y e se ne studi la stabilit�a al variare di K 2 R.

3. si calcoli la risposta alla rampa del sistema nel caso di operazionale ideale.

Esercizio 2. Si consideri un motore elettrico in corrente continua, rappresentato schematicamente nel suoprincipio di funzionamento nella �gura sottostante

dove si assume che il rotore abbia coe�ciente di inerzia Jm e coe�ciente di attrito viscoso b.

1. Si costruisca un modello di stato del sistema, in cui il vettore di stato �e x(t) = [θm(t) _θm(t) ia(t)]T , lavariabile di ingresso �e la tensione di armatura va(t) e la variabile di uscita �e la posizione angolare dell’alberoθm(t).

Si assuma ora trascurabile La e siano (in opportune unit�a di misura) Kt = Ke = 1, b = 0.1, Ra = 10, Jm = 2

2. utilizzando il modello di stato costruito al punto 1), si determini la funzione di trasferimento G(s) tra vae θm

3. si calcoli la risposta della velocit�a angolare dell’albero del motore ad un gradino di tensione va.

Esercizio 3. Si consideri il sistema dinamico non lineare descritto dal seguente modello in spazio di stato:{_x1(t) = x2(t)_x2(t) = � 1

4 sinx1(t)� x2(t) + u(t)

y(t) = x1(t) + x2(t)

1

1. Si determini l’insieme dei punti di equilibrio del sistema ad ingresso nullo;

2. si linearizzi il sistema attorno al punto di equilibrio nell’origine dello spazio di stato;

3. si calcoli la risposta impulsiva del sistema lineare costruito al punto 2.

Esercizio 4. Data

G(s) = K1 + s

s(s� 2)

1. Si tracci il diagramma di Bode di G(jω) per K = 1;

2. si tracci il diagramma di Nyquist di G(jω) per K = 1, determinando in particolare la posizione di eventualiasintoti ed intersezioni con gli assi coordinati;

3. supponendo che G(s) sia inserita nella catena diretta di un anello a retroazione unitaria negativa, si studila stabilit�a del sistema in catena chiusa al variare di K 2 R ricorrendo al criterio di Nyquist.

Esercizio 5. Data

G(s) = K1 + s2

100

1 + s+ s2

1. Si tracci il diagramma di Bode di G(jω) per K = 1;

2. si tracci il diagramma di Nyquist di G(jω) per K = 1, determinando in particolare la posizione di eventualiasintoti ed intersezioni con gli assi coordinati;

3. supponendo che G(s) sia inserita nella catena diretta di un anello a retroazione unitaria negativa, si studila stabilit�a del sistema in catena chiusa al variare di K 2 R ricorrendo al criterio di Nyquist, determinandoin particolare il numero dei poli a parte reale positiva e nulla della funzione di trasferimento del sistemain catena chiusa.

Esercizio 6. Data

G(s) = Ks+ 1

s(s� 10)

1. Si tracci il diagramma di Bode di G(jω) per K = 1;

2. si tracci il diagramma di Nyquist di G(jω) per K = 1, determinando in particolare la posizione di eventualiasintoti ed intersezioni con gli assi coordinati;

3. supponendo che G(s) sia inserita nella catena diretta di un anello a retroazione unitaria negativa, si studila stabilit�a del sistema in catena chiusa al variare di K 2 R ricorrendo al criterio di Nyquist, determinandoin particolare il numero dei poli a parte reale positiva e nulla della funzione di trasferimento del sistemain catena chiusa.

Esercizio 7. Data

G(s) = K

(1� s

2

)(1 + 2s)

s(1 + s)

�e richiesto di:

1. tracciarne il diagramma di Bode per K = 1;;

2. tracciare il diagramma di Nyquist per K = 1, individuando asintoti ed intersezioni con gli assi;

3. studiare la stabilit�a di W (s) = G(s)1+G(s) ricorrendo al criterio di Nyquist, al variare del parametro reale K,

in particolare individuando il numero di poli a parte reale positiva, negativa e nulla.

2

Esercizio 8. Data

G(s) = Ks� 1

(s� 2)2(s+ 8)

1. supponendo che G(s) sia inserita nella catena diretta di un anello a retroazione unitaria negativa, si tracciil luogo delle radici positivo, determinando la posizione di eventuali asintoti e punti doppi;

2. si determini per quali valori di K > 0 il sistema in catena chiusa �e stabile e per quali valori di K > 0 esso�e privo di modi oscillatori

3. per ogni valore di K > 0 corrispondente ad un punto doppio, si determini la posizione dei rimanenti polidel sistema in catena chiusa.

Esercizio 9. Sia

G(s) = Ks2 � 2s+ 2

s(s+ a)2

la funzione di trasferimento nella catena diretta di un anello a retroazione unitaria negativa.

1. Si determini il valore del parametro a 2 R sapendo che �1 �e punto doppio del luogo delle radici delsistema in catena chiusa.

2. si tracci il luogo delle radici per K > 0, determinando in particolare la posizione di eventuali asintoti epunti doppi;

3. utilizzando il criterio di Routh, si determini per quali valori di K > 0 il sistema in catena chiusa �e stabile.Si determini inoltre per quali valori di K > 0 esso �e privo di modi oscillatori

Esercizio 10. Sia

G(s) = Ks� 1

(s+ 3)(s2 + 2s+ 2)

la funzione di trasferimento nella catena diretta di un anello a retroazione unitaria negativa.

1. si tracci il luogo delle radici per K > 0, determinando in particolare la posizione di eventuali asintoti,punti doppi ed attraversamento dell’asse immaginario. A tale proposito, sia noto che per ogni valore diK > 0 il sistema in catena chiusa ha una coppia di poli complessi coniugati.

2. utilizzando il criterio di Routh, si determini per quali valori di K > 0 il sistema in catena chiusa �e stabile.Si determini inoltre per quali valori di K > 0 esso �e privo di modi oscillatori

Esercizio 11. Sia

G(s) = Ks� 1

(s+ 7)(s� 3)2

la funzione di trasferimento nella catena diretta di un anello a retroazione unitaria negativa.

1. Si dimostri che luogo delle radici del sistema in catena chiusa non ammette punti doppi (ad eccezione diquello banale in s = 3 per K = 0).

2. si tracci il luogo delle radici per K > 0, determinando in particolare la posizione di eventuali asintoti eintersezioni con l’asse immaginario;

3. utilizzando il criterio di Routh, si determini per quali valori di K > 0 il sistema in catena chiusa �e stabile.Si determini inoltre per quali valori di K > 0 esso �e privo di modi oscillatori.

Esercizio 12. Data

G(s) =5

s3 + 6s2 + 5s+ 2

si progetti una rete correttrice in modo da soddisfare le seguenti speci�che:

3

� errore a regime in risposta alla rampa jer,1j � 0.1;

� pulsazione di attraversamento ωc = 1 rad/s;

� margine di fase mφ = 30o.

Esercizio 13. Data

G(s) =s+ 100

(s+ 1)(s+ 10)

si progetti una rete correttrice in modo da soddisfare le seguenti speci�che:

� errore a regime in risposta alla rampa jer,1j � 0.1;

� pulsazione di attraversamento ωc = 10 rad/s;

� margine di fase mφ = 30o.

Esercizio 14. Data

G(s) =10

1 + s200 +

(s

100

)2si progetti una rete correttrice in modo da soddisfare le seguenti speci�che:

� errore a regime in risposta alla rampa unitaria jer,1j � 0.01;

� pulsazione di attraversamento ωc = 10 rad/s;

� margine di fase mφ = 60o.

Esercizio 15. Data

G(s) =1 + s

s(1 + s+ s2)

si progetti una rete correttrice in modo da soddisfare le seguenti speci�che:

� errore a regime in risposta alla rampa jer,1j � 0.1;

� pulsazione di attraversamento ωc = 100 rad/s;

� margine di fase mφ = 60o.

4

1. Si calcoli la funzione di trasferimento G1(s) tra u(t) e y(t);

2. si calcoli la funzione di trasferimento G2(s) tra u(t) e x(t);

3. si detrminino i valori dei parametri k e c sapendo che G1(s) ha un polo doppio, e che G2(s) ha uno zeroin s = −1.

Esercizio 4. Sia

G(s) =s− 1

(s2 + s + 1)(s + 10)

1. Si traccino i diagrammi di Bode di G(jω);

2. si tracci il diagramma di Nyquist di G(jω), determinando in particolare il numero di intersezioni con gliassi coordinati e la posizione di eventuali asintoti;

3. supponendo che KG(s) sia la trasferenza in catena diretta in uno schema in retroazione unitaria negativa,si studi la stabilit�a del sistema in catena chiusa al variare di K > 0 utilizzando il criterio di Nyquist.

Esercizio 5. Sia

G(s) =s + 1

s(s2 − s + 1)

1. Si traccino i diagrammi di Bode di G(jω);

2. si tracci il diagramma di Nyquist di G(jω), determinando in particolare la posizione di eventuali inter-sezioni con gli assi coordinati ed asintoti;

3. supponendo che KG(s) sia la trasferenza in catena diretta in uno schema in retroazione unitaria negativa,si studi la stabilit�a del sistema in catena chiusa al variare di K ∈ R utilizzando il criterio di Nyquist.

Esercizio 6. Sia

G(s) =s(1− s)

(1 + s)3

1. Si traccino i diagrammi di Bode di G(jω);

2

2. si tracci il diagramma di Nyquist di G(jω), determinando in particolare la posizione di eventuali inter-sezioni con gli assi coordinati ed asintoti;

3. supponendo che KG(s) sia la trasferenza in catena diretta in uno schema in retroazione unitaria negativa,si studi la stabilit�a del sistema in catena chiusa al variare di K ∈ R utilizzando il criterio di Nyquist.

Esercizio 7. Sia

G(s) = Ks + 5

3

(s + 2)2(s− 1)

la trasferenza in catena diretta in uno schema in retroazione unitaria negativa.

1. Si tracci il luogo delle radici di G(s), evidenziando in particolare la posizione di eventuali asintoti e puntimultipli;

2. senza utilizzare il criterio di Routh, si determini per quli valori di K il sistema in catena chiusa �e BIBOstabile;

3. si dica per quali valori di K il sistema in catena chiusa ha comportamento dominante del secondo ordine.

Esercizio 8. Sia dato un sistema di controllo in retroazione unitaria in cui nella catena diretta il controlloreD(s) �e in serie al processo G(s), dove

G(s) =1

s(s + 3)D(s) =

1 + 3s

s + p, p ≥ 0 .

1. Si tracci il luogo descritto dalle radici del denominatore della funzione di trasferimento del sistema incatena chiusa al variare del parametro p, evidenziando in particolare la posizione di eventuali asintotie punti multipli;

2. si dica per quali valori di p il sistema in catena chiusa �e BIBO stabile, individuando in particolare laposizione degli eventuali attraversamenti dell’asse immaginario, e per quali valori di p il sistema in catenachiusa non presenta modi oscillatori;

Esercizio 9. Sia

G(s) = Ks + 7

(s + 4)2(s− a)a ∈ R

la trasferenza in catena diretta in uno schema in retroazione unitaria negativa.

1. Si determini il valore di a sapendo che −1 �e punto doppio del luogo delle radici con corrispondente valoredi K > 0;

2. Si tracci il luogo delle radici di G(s), evidenziando in particolare la posizione di eventuali asintoti e puntimultipli;

3. senza utilizzare il criterio di Routh, si determini per quali valori di K il sistema in catena chiusa �e BIBOstabile, dterminando le eventuali intersezioni con l’asse immaginario;

4. si dica per quali valori di K il sistema in catena chiusa non presenta modi oscillatori.

Esercizio 10. Sia D(s)G(s) la trasferenza in catena diretta di un sistema di controllo in retroazione unitarianegativa, dove

G(s) =5

(s + 1)(s + 10).

e D(s) �e la funzione di trasferimento di una rete correttrice. Utilizzando il metodo della sintesi di Bode, sidetermini la struttura di D(s) in modo da soddisfare alle seguenti speci�che:

1. errore a regime alla rampa pari a 1;

3

2. pulsazione di attraversamento ωa = .1 rad/s;

3. margine di fase mφ = 45o.

Esercizio 11. Sia D(s)G(s) la trasferenza in catena diretta di un sistema di controllo in retroazione unitarianegativa, dove

G(s) =10

�1 + s

100

�(1 + s)

�1 + s

10

� .

e D(s) �e la funzione di trasferimento di una rete correttrice. Utilizzando il metodo della sintesi di Bode, sidetermini la struttura di D(s) in modo da soddisfare alle seguenti speci�che:

1. errore a regime al gradino pari a 0.001;

2. pulsazione di attraversamento ωa = 1000 rad/s;

3. margine di fase mφ = 90o.

Esercizio 12. Sia D(s)G(s) la trasferenza in catena diretta di un sistema di controllo in retroazione unitarianegativa, dove

G(s) =100

�1 + s

100

�(1 + s)

�1 + s

10

� .

e D(s) �e la funzione di trasferimento di una rete correttrice. Utilizzando il metodo della sintesi di Bode, sidetermini la struttura di D(s) in modo da soddisfare alle seguenti speci�che:

1. errore a regime al gradino pari a 0.001;

2. pulsazione di attraversamento ωa = 1 rad/s;

3. margine di fase mφ = 90o.

4