ESERCIZIO

Studiare il grafico della seguente funzione fratta:

𝑦 =𝑥2 + 𝑥 + 1

𝑥2 − 1

1. Calcolo del dominio della funzione.

Il dominio di una funzione razionale fratta è data da tutti i numeri reali eccetto quelli che annullano

il denominatore. Questo perché una frazione che ha al denominatore lo zero (e al numeratore un

numero diverso da zero) è priva di significato.

Quindi possiamo scrivere:

𝐷 = ∀ 𝑥 ∈ 𝑅 − {𝑥 ∶ 𝑥2 − 1 = 0}

Che si legge: campo di esistenza uguale ad ogni x appartenente all’insieme dei numeri reali meno

l’insieme delle x che annullano il denominatore.

In definitiva bisogna risolvere l’equazione:

𝑥2 − 1 = 0 𝑥2 = 1 ⇒ 𝑥 = ±1

In definitiva il dominio della nostra funzione è:

𝐷 = ∀𝑥 ∈ ℝ − {−1,1}

2. Intersezione con gli assi.

Intersezione con l’asse delle x

Ricordiamo che l’asse delle x ha equazione y = 0, pertanto per ricercare l’intersezione con

l’asse delle x è sufficiente risolvere il sistema:

{𝑦 =𝑥2 + 𝑥 + 1

𝑥2 − 1𝑦 = 0

Il sistema si riconduce al calcolo dell’equazione:

𝑥2 + 𝑥 + 1

𝑥2 − 1= 0

Per risolvere questo tipo di equazioni dobbiamo per prima cosa riuscire a scriverle come

𝑁(𝑥)

𝐷(𝑥)= 0

N(x) e D(x) sono rispettivamente numeratore e denominatore della nostra frazione.

A questo punto sarà sufficiente:

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porre D(x) ≠ 0 perché non possiamo dividere per zero;

risolvere N(x) = 0;

infine confronteremo le soluzioni di N(x) = 0, con i valori che avevamo escluso ponendo

D (x) ≠ 0. Se le soluzioni del numeratore sono diverse da quelle del denominatore, allora le

chiameremo accettabili, e saranno soluzioni, altrimenti le dovremo scartare.

Nel nostro caso:

𝐷(𝑥) = 𝑥2 − 1 ≠ 0 ⇒ 𝑥 = ±1

𝑁(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 + 1 = 0

𝛥 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 12 − 4(1)(1) = −3 < 0

Siccome ∆ < 0 l’equazione non ammette soluzioni e ciò significa che il grafico NON INTERSECA

L’ASSE DELLE x.

Intersezione con l’asse delle y

Ricordiamo che l’asse delle y ha equazione x = 0, pertanto per ricercare l’intersezione con

l’asse delle y è sufficiente risolvere il sistema:

{𝑦 =𝑥2 + 𝑥 + 1

𝑥2 − 1𝑥 = 0

Il sistema si riconduce al calcolo dell’equazione:

𝑦 = 02 + 0 + 1

02 − 1= −1

3. Segno della funzione

Studiare il segno della funzione y = f(x) assegnata serve a capire dove la funzione è positiva o nega-

tiva, e quindi a capire in quali intervalli del suo dominio il grafico si trova al di sopra dell'asse delle

ascisse e dove al di sotto di esso. Nelle intersezioni con l'asse delle x, invece, la funzione cambia

segno. Per conoscere il segno della funzione, basta risolvere la disequazione:

𝑦 > 0

e ricordare che bisogna prendere in considerazione solamente le soluzioni che rientrano nel domi-

nio della funzione. Tutte le altre vanno scartate.

Nel nostro caso occorre risolvere la disequazione:

𝑥2 + 𝑥 + 1

𝑥2 − 1> 0

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Qualunque sia il tipo di disequazione frazionaria essa è sempre riconducibile al RAPPORTO tra DUE

POLINOMI del tipo:

Ovviamente, al posto del simbolo minore e maggiore, ci potranno essere i simboli minore uguale e

maggiore uguale.

Per risolvere questo tipo di disequazione è sufficiente STUDIARE il SEGNO DEL NUMERATORE e il

SEGNO DEL DENOMINATORE e il SEGNO DELLA FRAZIONE.

Per farlo, a prescindere dal simbolo di disequazione, poniamo il numeratore maggiore di zero (o

maggiore-uguale, se l'uguale compare anche nella disequazione) e il denominatore strettamente

maggiore di zero (in modo da escludere i punti in cui annulla).

ln questo modo potremo capire dove numeratore e denominatore sono - separatamente - positivi,

negativi o nulli. ln sostanza dobbiamo risolvere sempre, indipendentemente dal verso del simbolo

di disequazione: N(x) > 0 o eventualmente N(x) > 0. Avremo cosi individuato gli intervalli su cui nu-

meratore e denominatore sono rispettivamente positivi oppure entrambi negativi.

Studio del segno del rapporto.

Ora viene il bello: Per studiare il segno del rapporto ci serviremo di un’apposita tabella dei segni,

formata da tre righe orizzontali e parallele:

la prima riga individuerà l'insieme dei numeri reali;

la seconda riga individuerà gli intervalli su cui il numeratore è positivo, nullo o negativo;

la terza riga individuerà gli intervalli su cui il denominatore è positivo, nullo o negativo.

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Richiamo di teoria:

Le disequazioni di secondo grado si presentano sotto questa forma:

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0

a, b, c e R numeri reali e a ≠ 0 Importante: il coefficiente del termine di grado massimo (si chiama

coefficiente direttore) deve essere diverso da zero, altrimenti la disequazione non sarebbe più di

secondo grado, ma diventerebbe una disequazione di primo grado.

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Risolviamo le nostre disequazioni:

𝑁(𝑥) > 0 𝑥2 + 𝑥 + 1 > 0

Risultando:

𝛥 < 0 𝑎 > 0

La disequazione risulta sempre positiva

𝐷(𝑥) > 0 𝑥2 − 1 > 0

La soluzione è: 𝑥 < −1 ⋃ 𝑥 > 1

Riportiamo i risultati ottenuti così come riportato nella tabelle sottostante

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Dall’esame del grafico risulta che la funzione risulta positiva: per x < -1 U x > 1 e negativa per -1 < x < 1

4. Limite agli estremi del campo di esistenza.

Il dominio (o campo di esistenza) della nostra funzione risulta: 𝐷 = ∀𝑥 ∈ ℝ − {−1,1}

𝑙𝑖𝑚𝑥→±∞

𝑥2 + 𝑥 + 1

𝑥2 − 1= 𝑙𝑖𝑚

𝑥→±∞

𝑥2 (1 +1𝑥 +

1𝑥2)

𝑥2 (1 −1𝑥 2)

= 1

𝑙𝑖𝑚𝑥→−1−

𝑥2 + 𝑥 + 1

𝑥2 − 1= 𝑙𝑖𝑚

𝑥→±∞

𝑥2 (1 +1𝑥 +

1𝑥2)

𝑥2 (1 −1𝑥 2)

= 1

𝑙𝑖𝑚𝑥→−1−

𝑥2 + 𝑥 + 1

𝑥2 − 1= +∞

𝑙𝑖𝑚𝑥→−1+

𝑥2 + 𝑥 + 1

𝑥2 − 1= −∞

5. Ricerca dei punti di minimo e massimo della funzione.

Per spiegare il metodo per calcolare i massimi e minimi di una funzione ripartiamo da qui: "Per essere sintetici dovremmo dire che l'annullamento della derivata prima di una funzione in un punto xc del dominio è condizione necessaria affinché sia un punto di massimo o minimo relativo (quindi eventual-mente anche assoluto) per la funzione." Cosa dobbiamo fare praticamente per trovare i punti candidati ad essere massimi e minimi relativi per una funzione derivabile y = f(x)?

1) Calcoliamo la derivata prima y’ = f’(x) 2) Risolviamo l'equazione f’(x) = 0 Le soluzioni x„.., xn di questa equazione sono i punti candidati al ruolo di punti estremanti relativi che cer-cavamo. Questo significa che i punti di massimo e minimo relativo vanno cercati tra questi punti, ma non è detto che tutti questi punti siano effettivamente massimi e minimi relativi. Detto in modo più elegante: l'annullarsi della derivata prima in un punto è condizione necessaria per avere un massimo o un minimo relativo, ma non è condizione sufficiente. Per il calcolo della derivata ricordiamo che:

𝑠𝑒 𝑦 = 𝑐𝑥𝑛 ⇒ 𝑦′ = 𝑛𝑐𝑥𝑛−1

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𝑠𝑒: 𝑦 =𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥) ⇒ 𝑦′ =

𝑓′𝑔 − 𝑔′𝑓

𝑔2

La derivata prima della nostra funzione:

𝑦 = 𝑥2 + 𝑥 + 1

𝑥2 − 1

è:

𝑦′ =(2𝑥+1)(𝑥2−1)−(𝑥2+𝑥+1)(2𝑥)

(𝑥2−1)2 =2𝑥3−2𝑥+𝑥2−1−(2𝑥3+2𝑥2+2𝑥)

(𝑥2−1)2 =2𝑥3 − 2𝑥 + 𝑥2 − 1 − 2𝑥3 − 2𝑥2 − 2𝑥

(𝑥2−1)2 =

=−𝑥2 −4𝑥 −1

(𝑥2−1)2 = −𝑥2 + 4𝑥 +1

(𝑥2−1)2 = 0

Risolvere questa equazione equivale a risolvere l’equazione: −𝑥2 − 4𝑥 − 1 = 0 avendo cura di scar-tare le eventuali soluzioni che annullano il denominatore:

𝛥 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = (−4)2 − 4(1)(1) = 12

X1 = - 0.27

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 𝛼𝑎𝑐

2𝑎=

4 ± √12

−2=

X2 = - 3.73

I valori di x1 e x2 ora trovati rappresentano le ascisse degli eventuali minimi o massimi, per trovare le loro ordinate basta porre tali valori al posto della x della nostra funzione:

𝑓(𝑥1) =(−0.27)2 + (−0,27) + 1

(−0,27)2 − 1= −0,866𝑓(𝑥2) =

(−3,73)2 + (−3,73) + 1

(−3,73)2 − 1= 0,866

6. Studio del segno della derivata prima

𝑦′ = −𝑥2 + 4𝑥 + 1

(𝑥2 − 1)2

Risolviamo: −(𝑥2 + 4𝑥𝑦1) > 0 ⇒ 𝑥2 + 4𝑥 + 1 < 0 Per la risoluzione di questa disequazione si procede allo stesso modo visto in precedenza.

𝑥1 = −0,27 𝑒 𝑥2 = −3,73

−3.73 < 𝑥 < −0.27

La disequazione al denominatore: (𝑥2 − 1)2 > 0 è verificata per qualsiasi valore di x.

Riportando i risultati sul solito grafico si ottiene:

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Riportando su un sistema di assi cartesiani i risultati ottenuti si ottiene il grafico della funzione:

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