Esfuerzo y Deformacion

Tema IEstudios de los esfuerzos y deformaciones en la regin elstica

Fuerzas InternasLas fuerzas internas, se pueden considerar como fuerzas de interaccin entre las partculas de los materiales . Adems se puede imaginar que estas fuerzas quedan expuestas al pasar diferentes planos cortantes a travs del cuerpo.Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Fuerzo resultante y momento resultanteMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

EsfuerzoLas fuerzas internas que actan en diferentes puntos de un plano cortante se describen en funcin de una cantidad llamada esfuerzo que representa la intensidad de las fuerzas internas por unidad de rea. Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Fuerzas que actan sobre un punto o una porcin de rea referido al plano de cortePMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Esfuerzo PromedioSea F la fuerza resultante del sistema de fuerzas interiores anteriormente mostrado, se define esfuerzo promedio sobre la seccin, al cociente de la fuerza F sobre la seccin A. Asimismo se debe considerar una porcin A sobre la cual acta la fuerza F siendo el esfuerzo promedio el cociente de F entre A Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Esfuerzo en un punto de la seccin ASi P es un punto perteneciente al rea A, se define el esfuerzo en este punto como el lmite del cociente de F entre A cuando A tiende a cero.Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Esfuerzo NormalLa componente vectorial de F sobre la normal a la seccin trazada por el centroide se representa por el vector N. A partir de ella se define el esfuerzo promedio sobre toda la superficie como el cociente de N y A, igualmente se hace para una porcin de rea A donde acta la fuerza N que es la componente vectorial de F sobre la normal al plano.Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Esfuerzo normal en un puntoSea P un punto perteneciente al rea A, el esfuerzo normal en dicho punto se define como:Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Direccin normal al plano que pasa por el punto PMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Como se vio anteriormente, la direccin normal al plano se representa de la siguiente manera:La componente escalar del esfuerzo normal medio sobre toda la superficie se define como:La componente escalar del esfuerzo normal en un punto se define como:

Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacinesfuerzo normalDonde es el ngulo entre s y n

La componente vectorial del esfuerzo normal se haya por medio del teorema de CauchyEl esfuerzo normal es a tensin si tiene el mismo sentido de la normal (se considera positivo).

El esfuerzo normal es a compresin si tiene sentido contrario al de la normal (se considera negativo).Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacinesfuerzo normal

Esfuerzo TangencialLa componente vectorial de la fuerza F en direccin de la recta t a la seccin trazada por el centroide se representa con el vector T. El esfuerzo tangencial promedio sobre la seccin A se define como:El esfuerzo tangencial promedio sobre la porcin de rea AMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Esfuerzo Tangencial en un puntoSea P un punto perteneciente a la porcin de rea A, se define el esfuerzo tangencial sobre dicho punto como:Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

La direccin tangente viene dada por:

La componente escalar del esfuerzo tangencial viene dada por:La componente vectorial del esfuerzo tangencial en direccin de la recta t se define como:Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacinesfuerzo tangencial

Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacinComponentes vectoriales del esfuerzo resultante

ngulo entre el vector esfuerzo resultante y el vector esfuerzo normalMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Componentes normal y tangencial del esfuerzo sEl vector esfuerzo referido a la seccin A, a la porcin de rea A o al punto P tiene dos componentes escalares, una componente normal y otra tangencial. Como las direcciones normal y tangencial son perpendiculares entre si, podemos decir que:Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Componentes escalares del esfuerzo s si la seccin es un plano coordenadoPara determinar las componentes cartesianas del esfuerzo s, es necesario definir un sistema de ejes cartesianos. De manera que el plano corresponde a un plano coordenado, la normal a este plano que pasa por el origen es un eje coordenado; Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacinCortes del elemento de volumen paralelos a los planos coordenados

Componentes escalares de para los diferentes planos coordenadosMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacinComponentes escalares de para los diferentes planos coordenados

Para establecer el estado de esfuerzo en un punto se ha de definir nueve cantidades, sin embargo es posible cierta simplificacin, para esto se busca una relacin entre los esfuerzos tangenciales que actan en planos perpendiculares entre si colocados en un cuerpo en equilibrio el cual es un paraleleppedo con aristas x, y, z en direccin de cada eje con las caras respectivas paralelas a los planos coordenados. A continuacin se hace un ejemplo para los esfuerzos cortantes zy y yz, para los demas se sigue el mismo procedimientoMecnica de materiales Esfuerzo y deformacinEstado de esfuerzo

Las fuerzas asociadas con los esfuerzos zy y yz ejercen su accin sobre las caras correspondientes del paraleleppedo, sus valores corresponden al producto del esfuerzo por el rea de la cara. F1 = zyxy F2 = yzxz igualmente para F3 y F4Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacinestado de esfuerzo

El paraleleppedo es una porcin del cuerpo en equilibrio, por lo que la sumatoria de fuerzas verticales y la sumatoria de fuerzas horizontales debe ser cero.

F1 + F3 = 0 F1 = -F3F2 + F4 = 0 F2 = - F4Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacinestado de esfuerzo

Las fuerzas F1 y F3 forman un par, igualmente las fuerzas F2 y F4, para que el paraleleppedo est en equilibrio los dos pares deben producir momentos iguales y de signo contrario, la suma de ambos debe ser nula:

zyxyz - yzxyz = 0

de donde zy = yz

Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacinestado de esfuerzo

Se sigue el mismo procedimiento para los dems esfuerzos cortantes, entonces se afirma lo siguiente

xy = yx xz = zx yz = zyEl estado de esfuerzos para un punto cualquiera de un slido sometido a cargas se define entonces con seis componentes

x, y, z, xy, xz, yz

Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacinestado de esfuerzo

Convencin de signosPlanos: Se considera que un plano coordenado es positivo si su normal (saliente del elemento de volumen) apunta en la direccin positiva de un eje coordenado. En caso contrario el plano ser considerado negativo.

Esfuerzos normales: Un esfuerzo normal se considera positivo si es de traccin y negativo si es de compresin.

Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Esfuerzos tangenciales: un esfuerzo tangencial es positivo si, actuando en un plano positivo (o negativo), apunta en la direccin positiva (o negativa) de un eje coordenado. Por el contrario un esfuerzo tangencial ser negativo si, actuando en un plano positivo ( o negativo), apunta en la direccin negativa (o positiva) de un eje coordenado.

Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacinconvencin de signos

Estado de esfuerzo en el punto PConocidos los esfuerzos en planos paralelos a los planos coordenados que pasan por un punto interior P en un cuerpo en equilibrio se desea conocer el vector esfuerzo que acta en ese punto, referido a un plano que es perpendicular a la direccin definida por el vector y que pasa por dicho punto:Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Esfuerzo vectorial resultante en el punto PMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Cosenos directores que definen la lnea de accin del esfuerzo resultante sobre el punto PMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Si las dimensiones del tetraedro fueran constantes y finitas, adems de las fuerzas sobre las caras habra que considerar el peso del material encerrado en su volumen, sin embargo, en el lmite, el peso del material es despreciable, por eso no aparece en el siguiente sistema de fuerzas equivalentesMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacinabcoeoaeA1A2An

Componentes cartesianas del esfuerzo resultante en el punto PMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Esfuerzos y fuerzas en las caras del tetraedro elementalCararea

Componentes de esfuerzo

Componentes de fuerzaMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Tensor de esfuerzos de Cauchy (estado de esfuerzo en el punto P)Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Esfuerzo normal sobre el punto P referido al plano en cuestinMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Si en la ecuacin anterior sustituimos los valores de:Obtendramos:Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Esfuerzo tangencial en el punto P referido al plano en cuestin (vectorial)Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Esfuerzo tangencial en el punto P referido al plano en cuestin (escalar)Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Esfuerzos PrincipalesPara cualquier estado de esfuerzos en un punto P de un cuerpo, existen tres planos que pasan por ese punto sobre los cuales los esfuerzos tangenciales o cortantes son nulos y los nicos esfuerzos que actan sobre ellos son esfuerzos normales. Estos planos son los planos principales y los esfuerzos normales a esos planos se les llama esfuerzos principalesMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacinesfuerzos principales

El procedimiento es maximizar la ecuacin del esfuerzo normal, haciendo uso del mtodo de Lagrange donde la condicin es:

Solamente l y m pueden ser consideradas como variables independientes de tal manera que:Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacinesfuerzos principales

Los valores extremos sobre los ejes principales se designan como una condicin estacionaria y esta dada por:

Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacinesfuerzos principales

De lo anterior se obtiene la siguiente relacin entre las componentes del esfuerzo resultante y los cosenos directores

La proporcionalidad de la ecuacin anterior genera el siguiente postulado: cuando sobre un plano se tiene un valor extremo o principal del esfuerzo normal, sobre este plano (Plano Principal) el esfuerzo cortante es nulo.Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacinesfuerzos principales

De la proporcionalidad anterior salen las siguientes ecuacionesLa condicin para que este sistema de ecuaciones lineales homogneas no presente soluciones triviales, es el que determinante de sus coeficientes sea igual a ceroMecnica de materiales Esfuerzo y deformacinesfuerzos principales

El desarrollo del determinante proporciona una ecuacin caracterstica de tercer gradoMecnica de materiales Esfuerzo y deformacinEcuacin caracterstica

Como los esfuerzos principales son independientes de la orientacin del sistema de referencia, los coeficientes de la expresin anterior tienen que ser tambin independientes de la orientacin del sistema de referencia; las expresiones de ste tipo se denominan invariantes. Los coeficientes I1, I2, I3, se denominan invariantes de los esfuerzos.

Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacinInvariantes de esfuerzos

Invariantes de esfuerzoEl trmino I3 es el resultado de resolver el determinante del tensor de esfuerzosMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Segn el teorema fundamental del lgebra la ecuacin caracterstica se puede escribir como el producto de las diferencias entre la incgnita y las races de la ecuacinDe lo anterior tendramos que los invariantes de esfuerzos pueden escribirse de la siguiente formaMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Es sumamente importante ordenar los esfuerzos principales de manera que:

1 > 2> 3

algebraicamenteMecnica de materiales Esfuerzo y deformacinOrden de los esfuerzos principales

Direcciones PrincipalesUna vez determinados los esfuerzos principales se deben determinar los cosenos directores de los ejes principales (1), (2), (3), con respecto a los ejes de referencia X, Y, Z. Para este estudio, las tres direcciones principales se definen por medio de los vectores n1, n2, n3, dirigidos segn la normal a cada unos de los planos principales. De esta forma se tiene: Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Cosenos directores para el eje (1)Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

En resumen tendramos:


Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacinZXY

Clculo de las direcciones principalesMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacincalculo de las direcciones principales

Se demuestra asimismo que para dos planos principales cualesquiera :lo cual significa que estos planos son perpendiculares entre si .Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacincalculo de las direcciones principales

Direcciones principales referidas al sistema coordenado ortogonal 1,2,3Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Esfuerzo resultante (vectorial y escalar) en el punto P en funcin de los esfuerzos principalesMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Esfuerzo normal (vectorial y escalar) en el punto P en funcin de los esfuerzos principalesMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Esfuerzo cortante (vectorial y escalar) en el punto P en funcin de los esfuerzos principalesMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Estado de esfuerzo triaxial, cilndrico y esfricoSi 1, 2, 3 son distintos, por lo tanto n1, n2, y n3 son nicos y mutuamente perpendiculares (estado triaxial).Si 1 = 2 3, por lo tanto n3 es nico y cada direccin perpendicular a n3 es una direccin principal asociado con 1 = 2 (estado de esfuerzos cilndrico).Si 1= 2 = 3, por lo tanto cada direccin es una direccin principal (estado esfrico).Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Estados de esfuerzos triaxial, cilndrico y esfricoMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Valores extremos del esfuerzo cortante o esfuerzos cortantes principalesPoniendo la ecuacin anterior en funcin de L y M solamente se obtiene:Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

El objetivo es maximizar la ecuacin anterior, esto se hace diferenciando con respecto a L y M e igualando a ceroMecnica de materiales Esfuerzo y deformacinesfuerzos cortantes principales

Posibles soluciones del sistema anteriorCaso 1: L=1 M=0 N=0Caso 2: L=0 M= 1 N=0Caso 3: L=0 M=0 N= 1Caso 4: L= 2/2 M= 2/2 N=0 Caso 5: L= 2/2 M=0 N= 2/2Caso 6: L=0 M= 2/2 N= 2/2 Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Esfuerzos cortantes mximos para los casos anterioresMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Esfuerzos cortantes principalesSi los cosenos directores de los tres ltimos casos son sustituidos por turno en la ecuacinSe obtienen los valores mximos del esfuerzo de corteMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Si los valores de los cosenos directores para los planos sobre los cuales actan los esfuerzos de corte principales son sustituidos en la ecuacin del esfuerzo normal, se obtendran los valores del esfuerzo normal sobre esos planos:Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

La ecuacin que se presenta a continuacin es muy importante en las teoras de falla, ya que esta muestra que cuando se alcanza la fluencia, el proceso de deformacin plstica que prosigue es netamente de cizallamiento.Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Forma general de las componentes escalares del esfuerzo resultante en un punto P sobre un plano cualquieraLa normal en el punto P a la superficie plana de la seccin y los dos ejes perpendiculares entre s trazados en el plano , forman un sistema de ejes cartesianos ortogonales PX1, PY1, PZ1. Estos ejes cambian con la posicin del punto P y con la inclinacin del plano .Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

La direccin y sentido de cada eje con relacin a los ejes de referencia Ox, Oy, Oz estn determinados respectivamente por los vectores unitariosMecnica de materiales Esfuerzo y deformacinComponentes del esfuerzo cortante

O tambinMecnica de materiales Esfuerzo y deformacincomponentes del esfuerzo cortante

Componentes del esfuerzo cortanteMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

El vector esfuerzo resultante tiene dos conjuntos de componentes escalares (Sx, Sy, Sz) son las componentes con relacin al sistema coordenado de referencia (fijo) Oxyz; (1, 2, n) son las componentes con relacin al sistema variable Px1y1z1. Estas ltimas se calculan usando las igualdades siguientes:Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacincomponentes del esfuerzo cortante

En funcin de los elementos del tensor se tendraMecnica de materiales Esfuerzo y deformacincomponentes del esfuerzo cortante

Escribindolo de forma matricial se tendra:Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacincomponentes del esfuerzo cortante

Transformacin de ejesMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

transformacin de ejesMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Esfuerzos normales despus de la transformacin de ejesResolviendo lo anterior podemos encontrar los elementos del tensor para la nueva ubicacin de los ejes:Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Esfuerzos cortantes despus de la transformacin de ejesMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Esfuerzo normal octadrico y esfuerzo de corte octadricoMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Desviador de esfuerzos y esfuerzo hidrostticoEl estado de esfuerzo en un punto interior de un cuerpo, se puede dividir en dos componentes, un estado de esfuerzo que produce distorsin o cambio de forma (desviador de esfuerzo) y un estado de esfuerzo que produce variacin de volumen (esfuerzo esfrico o hidrosttico).Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Componentes del desviador de esfuerzosMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

La direccin del esfuerzo principal del desviador de esfuerzos es la misma que la del esfuerzo principal del esfuerzo total, es decir, 1 tiene la misma direccin de 1. Puesto que un cuerpo isotrpico incompresible no se deforma por la presin hidrosttica, la deformacin depende solamente del desviador de esfuerzo, sin la contribucin del componente esfricoMecnica de materiales Esfuerzo y deformacinDireccin del desviador de esfuerzos

Desviadores de esfuerzo principalMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Circulos de MohrLa ecuacin del que representa al crculo de Mohr es la ecuacin de una circunferencia del tipo:Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Centros y radios de los crculos de MohrMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Observando las ecuaciones de centros y radios dadas anteriormente podemos afirmar que los centros de los crculos de Mohr equivalen a los esfuerzos normales, y los radios de dichos crculos equivalen a los esfuerzo cortantes.Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacinRelacin entre radios y centros de Mohr y el estado de esfuerzo

Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacinCrculos de Mohr

Pasos para conseguir n,s, y tSe dibujan los tres crculos de Mohr, con los centros y radios dados por las ecuaciones anteriores.

Se mide el ngulo =arc cos(L) a partir de una vertical trazada por 1 y hacia la izquierda, se traza una recta con ste ngulo que corta las circunferencias 2 y 3 en Q2 y Q3.

Con centro en C1 se traza el arco Q2Q3


Se mide el ngulo =arc cos(N) a partir de una vertical trazada por 3 y hacia la derecha, se traza una recta con este ngulo que corta a las crculos 1 y 2 en los puntos S1 y S2.

Con centro en C3 se traza el arco S1S2. Los dos arcos se interceptan en el punto A cuyas componentes son los esfuerzos buscados.

Como un chequeo de la precisin en el trabajo, se mide el ngulo =arccos(M) en cada lado de la vertical trazada por 2, se cortan los crculos C1 y C3 en T1 y T3. Con centro en C2 y radio C2T1 se traza el arco T1AT3. Si el diagrama es preciso, los tres arcos deben encontrarse en un punto comn (A).


Solucin grficaMecnica de materiales Esfuerzo y deformacinQ2Q3S1S2Asnttssag

Ecuaciones de equilibrioEn esta parte se van a obtener las ecuaciones que deben verificar las fuerzas que actan sobre un elemento de volumen en el interior de un cuerpo, de manera que este se encuentre en equilibrio. Para hacer este estudio se deben tomar un punto P y un punto Q ubicados en vrtices opuestos del paraleleppedo elemental, como se muestra en la figura.ABCDEFPQMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Esfuerzos sobre las caras que concurren en el punto PMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Esfuerzos que concurren en el punto QMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Ecuaciones de equilibrioMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Deformaciones en tres dimensionesSi un sistema de fuerzas exteriores acta sobre un cuerpo que est impedido de moverse por las restricciones que imponen las condiciones de borde, o si por un medio fsico-qumico cualquiera se altera su temperatura, bajo estas circunstancias el cuerpo sufre cambios en su geometra que se llaman comnmente deformaciones. Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

deformaciones en tres dimensionesLa teora que se va a presentar sobre las deformaciones esta basada en un conjunto de suposiciones que caracterizan el modelo fsico descrito a partir de los siguientes postulados:

a) El cuerpo tiene una distribucin continua de la materia (homogneo).

b) Cuando aparecen en los clculos ngulos pequeos expresados en radianes, se pueden sustituir por el seno o la tangente trigonomtrica respectiva.Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

deformaciones en tres dimensionesc) Las deformaciones son pequeas. Los desarrollos de las relaciones donde intervienen se interrumpen en los trminos de primer grado desprecindose todos los dems, desde aquellos en donde aparecen cuadrados o productos de las mismas deformaciones; la teora basada en estas suposiciones se conoce como la teora linealizada de la deformacin.


d) Los planos y rectas en el cuerpo antes de la deformacin quedan como tales despus de la misma.

e) La teora es aplicable nicamente a regiones pequeas dentro del cuerpo y el anlisis de las deformaciones slo se refiere a las cercanas inmediatas de un punto determinado.Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacindeformaciones en tres dimensiones

Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacindeformaciones en tres dimensiones

Supongamos que A y B son dos puntos en un material cualquiera, la distancia entre ellos es lo, cuando no se han aplicado fuerzas externas al cuerpo. Ahora, si lo sometemos a fuerzas, el mismo tomar una nueva posicin (lneas punteadas), en la cual AB se movi a AB. La distancia AA ha sido el desplazamiento del punto A y similarmente BB es el desplazamiento de B.deformaciones en tres dimensionesMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Si AB es paralela e igual que AB el desplazamiento ha sido solamente de traslacin; pero si no es paralela, entonces incluye rotacin y traslacin.

Si la distancia l entre A y B no es igual a lo entonces ha existido desplazamiento relativo de B con respecto a A y por lo tanto ha sucedido un estado de deformacin.deformaciones en tres dimensionesMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

La posicin de cualquier punto y su desplazamiento pude ser especificada con respecto a cualquier sistema de coordenadas X, Y, Z. As en tres dimensiones el punto A tiene coordenadas XA, YA, ZA de manera que el desplazamiento de A a A puede ser representado por XA, YA, ZA, proyectando el desplazamiento sobre los ejes X, Y, Z respectivamente.deformaciones en tres dimensionesMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

La notacin que debe usarse es:

X=u Y=v Z=wDe manera que las cantidades u, v y w son usualmente referidas a desplazamientosdeformaciones en tres dimensionesMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Para realizar el estudio de las deformaciones se va a considerar el siguiente elemento diferencial de volumendeformaciones en tres dimensionesdxdxdydy

Relacin entre desplazamientos y deformacionesSea u = f(x,y,z) ; v = f (x,y,z) ; w = f (x,y,z)Existe traslacinExiste deformacinXMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacinDesplazamiento del punto 1 y el punto 2

Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacinDesplazamiento de los puntos 1 y 3

Anlogamente en la tercera dimensin se tiene: z = w/z.

Por lo tanto:Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacinDeformaciones en direccin de los ejes coordenados

Lo que realmente ocurre es:Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Desplazamiento de la arista 1-2=(v/x)dxMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Desplazamiento de la arista 1-3(u/y)dyMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin(u/y)dy(v/x)dxu+(u/x)dxdx+(u/x)dxv+(v/y)dydy+(v/y)dy(v/x)dx(u/y)dy

La deformacin de corte xy sobre un punto es definido como el cambio en el valor del ngulo entre los dos elementos originalmente paralelos al eje X e Y sobre ese punto (12 y 13), de manera que en nuestro caso.Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacinDeformacin angular

Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacinDeformacin angular

De manera similar se hace para yz y para xz entonces tendramos:Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacinDeformaciones angulares

El alargamiento u en la direccin X se dijo que era igual a (u/x)dx, pero esto sucede anlogamente en tres dimensionesMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin(w/x)dx(v/x)dxdx+(u/x)dx

Haciendo superposicin en el plano XY, se tiene:Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Haciendo superposicin en las tres dimensiones:Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Lo anterior puede ser escrito como el producto de dos matricesMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Matriz de los desplazamientos relativosMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Aplicando la identidad matricial:Se obtiene el siguiente resultadoMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

O tambin:Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacinDonde ij es el tensor de deformacin y ij es el tensor de rotacin

Tensor de deformacin Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Tensor de deformacin Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacinO tambin

Tensor de rotacin Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Deformacin normal unitaria en cualquier direccinMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Segn Pitgoras, para tres dimensiones tenemos:Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Si restamos las dos ecuaciones anteriores (la segunda de la primera) obtenemos:Dividiendo por 2rMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin2

Sabemos que:Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Despreciando trminos cuadrticos por ser muy pequeos se tiene:Entonces la ecuacin quedara:Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Sustituyendo los valores de u, v, w se tiene:Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Sabiendo que:Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Deformacin normalSi comparamos esta ecuacin con la ecuacin del esfuerzo normal

podemos observar la estrecha relacin que guardan ambas ecuaciones y por consiguiente se da el siguiente diccionario.Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacinCorrespondencia entre esfuerzos y deformaciones

Correspondencia entre esfuerzos y deformacionesMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Ecuaciones de compatibilidad para las deformacionesLos desplazamientos de un punto en un cuerpo deformado estn dados por las tres componentes u v y w, como funciones continuas de x, y, z y las deformaciones estn definidas por seis componentes x, y, z, xy, xz, yz. Si se tienen las tres componentes de los desplazamientos, todas las componentes de la deformacin pueden ser determinadas mediante el siguiente procedimiento.Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

ecuaciones de compatibilidad para las deformacionesLas tres primeras ecuaciones se deducen de la siguiente manera:

Se parte de las expresiones de las deformaciones angulares xy, xz, yz.Se derivan cada una de ellas dos veces en relacin a las variables que aparecen como subndices.En los resultados se sustituyen las derivadas u/x, v/y, w/z por sus respectivas expresiones x, y, z.Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

ecuaciones de compatibilidad para las deformacionesMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Se parte tambin de las expresiones de las deformaciones angulares xy, xz, yz.Se deriva cada una de ellas con respecto a la variable que no aparece en el subndice.Se suman los resultados obtenidos.A esta suma se resta cada vez el doble de cada una de las derivadas, obtenindose tres expresiones en donde aparecen en los segundos miembros las derivadas segundas de las componentes u, v y w.Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacinecuaciones de compatibilidad para las deformaciones

Se deriva cada una de estas tres igualdades respectivamente con respecto a la tercera variable x, y o z que no aparecen en las segundas derivadas.

En los resultados se sustituyen las derivadas u/x, v/y, w/z por sus expresiones x, y, zMecnica de materiales Esfuerzo y deformacinecuaciones de compatibilidad para las deformaciones

ecuaciones de compatibilidad para las deformacionesMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Deformaciones principalesPara hallar las deformaciones principales se hace el mismo procedimiento que con los esfuerzos principales, esto es debido a la analoga de las ecuaciones.Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

La condicin para que el anterior sistema de ecuaciones lineales homogneas presente soluciones no triviales es el que determinante de sus coeficientes sea igual a cero, es decir:Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacindeformaciones principales

Ecuacin caractersticaDesarrollar el determinante anterior proporciona una ecuacin caracterstica de tercer grado.Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Invariantes del tensor de las deformacionesMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Invariantes del tensor de las deformacionesMecnica de materiales Esfuerzo y deformacinEl invariante J3 es el determinante del tensor de deformacin

Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacinComoEntonces los invariantes se escriben:

Invariantes de las deformaciones en funcin de las deformaciones principales.Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Direcciones principalesTomando las dos ltimas ecuaciones del sistema lineal homogneo y resolviendo se pueden hallar los cosenos directores:Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Si llamamos:Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacindirecciones principales

Entonces los cosenos directores seran:Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacindirecciones principales

Estado de deformacin en el punto P referido al sistema coordenado ortogonalEl estado de deformacin en el punto P viene dado por:

Deformacin resultante.Deformacin normal.Deformacin angular.Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Deformacin resultante en el punto P (vectorial y escalar)Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Deformacin normal en el punto P (vectorial y escalar)Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Deformacin angular en el punto P (vectorial y escalar)Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Deformaciones normales mximasMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Deformaciones angulares mximasMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Circulo de Mohr para deformacionesEn el circulo de Mohr para el caso de deformaciones, las coordenadas del punto A corresponden a las componentes cartesianas ( , /2) del vector s. Estas componentes estan relacionadas con las deformaciones principales y con los cosenos directores del vector normal.Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Al resolver el sistema de ecuaciones anterior se obtiene:Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Tomando, por ejemplo, la primera ecuacin, podemos observar lo siguiente: como L20 y (1-2)(1-3) > 0 entonces podemos decir que:Anlogamente se hace para las otras dos ecuaciones, obtenindose lo siguiente:Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Centros de los crculos de Mohr para deformacionesMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Radios de los crculos de Mohr para deformacionesMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Crculos de Mohr para deformacionesMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Pasos a seguir para obtener la ubicacin del punto ASe dibujan los tres crculos de Mohr, con los centros y radios dados por las ecuaciones anteriores.

Se mide el ngulo =arc cos(L) a partir de una vertical trazada por 1 y hacia la izquierda, se traza una recta con ste ngulo que corta las circunferencias 2 y 3 en Q2 y Q3.

Con centro en C1 se traza el arco Q2Q3.


Pasos a seguir para obtener la ubicacin del punto ASe mide el ngulo = arc cos(N) a partir de una vertical trazada por 3 y hacia la derecha, se traza una recta con este ngulo que corta a las crculos 1 y 2 en los puntos S1 y S2.

Con centro en C3 se traza el arco S1S2.

Los dos arcos se interceptan en el punto A cuyas componentes son las deformaciones buscadas.


Como un chequeo de la precisin en el trabajo, se mide el ngulo =arccos(M) en cada lado de la vertical trazada por 2, se cortan los crculos C1 y C3 en T1 y T3. Con centro en C2 y radio C2T1 se traza el arco T1AT3. Si el diagrama es preciso, los tres arcos deben encontrarse en un punto comn (A).Pasos a seguir para obtener la ubicacin del punto AMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacinSolucin grficaQ2Q3S1S2Aen(g/2)tesag

Cambio unitario de volumenEl cambio unitario de volumen en un punto de un cuerpo sometido a un estado de esfuerzo triaxial se puede determinar considerando un elemento de volumen. El volumen original que tiene este elemento es Vo = dxdydz y el volumen fianl esta dado por Vf = Lfx Lfy Lfz donde:Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Las anteriores son las longitudes finales de cada arista, de esta forma el volumen final sera:Por lo tanto el cambio de volumen sera:Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacincambio unitario de volumen

El cambio unitario de volumen o deformacin volumtrica sera:Despreciando el producto de cantidades pequeas:Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacincambio unitario de volumen

Relacin de PoissonCuando una pieza se somete a un esfuerzo normal de tensin en una direccin dada, en la direccin del esfuerzo se produce un alargamiento y en cada una de las direcciones perpendiculares aparece una contraccin. Si la pieza se somete a un esfuerzo de compresin, sucede lo contrario, hay una contraccin en direccin del esfuerzo y un alargamiento en cada una de las direcciones perpendiculares.Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

A la direccin del esfuerzo se le llama axial, y a las direcciones perpendiculares se les llama transversales. Se le da el nombre de Relacin de Poisson (u) al cociente de la deformacin unitaria transversal y la deformacin unitaria axialMecnica de materiales Esfuerzo y deformacinrelacin de Poisson

Dando a los alargamientos el signo positivo y a las contracciones un signo negativo tendramos:

Esfuerzo a traccin en la direccin Ox

Esfuerzo a compresin en la direccin OxMecnica de materiales Esfuerzo y deformacinrelacin de Poisson

Mdulo de ElasticidadLa relacin entre el esfuerzo y la deformacin en la regin elstica es una relacin lineal. Esta idealizacin amplia y su generalizacin aplicable a todos los materiales se conoce como Ley de Hooke ( = E), que significa simplemente que el esfuerzo es directamente proporcional a la deformacin, donde la constante de proporcionalidad (E) es el mdulo de elasticidad o mdulo de Young.Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacinmdulo de elasticidad

Mdulo de RigidezIgualmente que para el mdulo de elasticidad, se sabe que existe una relacin lineal entre el esfuerzo tangencial o de corte y la deformacin angular. Se llama Mdulo de Rigidez al cociente del esfuerzo de corte y la deformacin angular (G = /)Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

mdulo de rigidezMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Ley de Hooke en tres dimensionesTodo esfuerzo normal actuando en dos caras opuestas de un elemento cbico produce una deformacin longitudinal proporcional al esfuerzo aplicado y del mismo signo.

Dicho esfuerzo normal ocasiona al mismo tiempo una deformacin transversal de signo opuesto al esfuerzo aplicado, y cuya magnitud es una fraccin de la deformacin longitudinal.

Si en dos caras contiguas de un elemento cbico y en sus caras opuestas actan esfuerzos tangenciales en equilibrio, se produce una deformacin angular, proporcional al esfuerzo tangencial actuante.Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Es decir:Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacinA los alargamientos se les ha dado un signo positivo y al acortamiento un signo negativo, entonces se tiene

Ecuaciones de deformaciones en funcin de esfuerzosMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacinEcuaciones de esfuerzos en funcin de deformaciones

Otra forma de escribirlo sera:Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Esfuerzos cortantesMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Para hallar los esfuerzos principales a partir de las deformaciones principales se procede de la siguiente maneraMecnica de materiales Esfuerzo y deformacinEsfuerzos principales en funcin de las deformaciones principales

Constante de LameMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Esfuerzos en funcin de la constante de LameMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Esfuerzos principales en funcin de la constante de LameMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

Relacin entre esfuerzos y deformaciones en el circulo de Mohr Mecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

RosetasMecnica de materiales Esfuerzo y deformacinabc

Ecuaciones de rosetasMecnica de materiales Esfuerzo y deformacin

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