Espacio afin

Espacio afín

2º Bachillerato

Coordenadas en el espacio

• Un punto O y una base B = {→i ,

→j ,

→k } de los vectores libres del

espacio constituyen un sistema de referencia en el espacio.

Se escribe S = {O;→i ,

→j ,

→k }.

• En lo que sigue, por comodidad, trabajaremos en la base ortonormal.

[→OP] = x .

→i + y .

→j + z .

→k

(x, y, z) son las coordenadas de P respecto del sistema de referencia S.

Vector de posición de P

Origen de coordenadas

Ejes coordenados. Planos coordenados

• Los tres vectores de la base B determinan con el origen O tres ejes de coordenadas OX, OY, y OZ.

• Los planos OXY, OYZ y OZX se denominan planos coordenados del sistema de referencia.

Coordenadas de un vector libre cualquiera

• →PQ =

→OQ –

→OP

• [→PQ] =

→OQ –

→OP =

= (b – a, b' – a' , b" – a")

• Los puntos P y Q determinan el

vector fijo →PQ

• →OP +

→PQ =

→OQ

Las coordenadas de un vector libre →u = [ →PQ] respecto de la base B =

{→i , →j , →k } se obtienen restando las coordenadas del punto P de las

correspondientes de Q en el sistema de referencia S = {O;→i , →j , →k }.

→m =

→a +

→AM =

→a +

12 →AB =

= →a +

12 (→b –→a ) =

12 (→a +→b )

Coordenadas del punto medio de un segmento

xm =

12 (x1 + x2)

ym = 12 (y1 + y2)

zm = 12 (z1 + z2)

Elementos geométricos

Los objetos o elementos geométricos elementales del espacio tridimensional son los puntos, las rectas, los planos, las curvas y las superficies.

Estos elementos geométricos pueden determinarse mediante ecuaciones paramétrica. La dimensión del elemento coincide con el número de parámetros.

Dimensión

Rectas y curvas(dimensión 1)

Planos y superficies(dimensión 2)

Rectas en el espacio: ecuación vectorial

• Una recta viene determinada por un punto y una dirección. La dirección está

marcada por un vector libre →u llamado

vector director.

• Un punto X está en la recta si y sólo si →PX

y →u son proporcionales: [

→PX] = t ·

→u

• Si →p es el vector de posición de P,

→x es

el vector de posición de X, quedará: →x –

→p = t ·

→u es decir:

→x =

→p + t ·

→u

La expresión →x =

→p + t ·

→u con t ∈ R es la ecuación vectorial de la recta que

pasa por P y tal que →u es un vector director de la misma.

Rectas en el espacio: ecuaciones paramétricas

• La recta que pasa por P de vector director→v (v1, v2, v3) se puede poner así:

(x, y, z) = (xo, yo, zo) + t (v1, v2, v3)

• Al igualar coordenadas obtenemos:

Las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por P(xo, yo, zo) y que tiene

por vector director →v (v1, v2, v3) son

x = xo + t.v1y = yo + t.v2

z = zo + t.v3

x = xo + t.v1y = yo + t.v2

z = zo + t.v3

Rectas en el espacio: ecuación en forma continua

Las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto P (x0,y0,z0) y tienen por vector director (v1,v2,v3) son:

+=+=+=

30

20

10

tvzz

tvyy

tvxx

Las ecuaciones en forma continua de la recta r que pasa por P(xo, yo, zo) y que

tiene por vector director (v1, v2, v3) son:

Despejando t en cada una de ellas e igualando, obtenemos las ecuaciones de la recta que no dependen de ningún parámetro

Rectas en el espacio: ecuación implícita

Las ecuaciones en forma contínua de la recta r que pasa por P(xo, yo, zo) y que

tiene por vector director →v (v1, v2, v3) son

x – xo

v1 =

y – yo

v2 =

z – zo

v3

1 1

1 2

x x y y

v v

− −= 1 1

3 1

z z x x

v v

− −= 1 1

2 3

y y z z

v v

− −=

De aquí obtenemos tres ecuaciones:

Como la tercera ecuación es combinación lineal de la otras dos, suprimiendo una ellas, la tercera por ejemplo, y operando obtenemos:

2 1 1 1 1 2

3 2 1 2 1 3

0

0

v x v y y v x v

v y v z z v y v

− + − = − + − =

Este par de ecuaciones es la ecuación de la recta en forma implícita. En general :

=+++=+++

0D'zC'yB'xA'

0D Cz By Ax

Ecuaciones de los ejes coordenados

Vectorial Paramétrica Continua

Eje OX →x = t

→i

x = t

y = 0z = 0

x1 =

y0 =

z0

Eje OY →x = t

→j

x = 0

y = tz = 0

x0 =

y1 =

z0

Eje OZ →x = t

→k

x = 0

y = 0z = t

x0 =

y0 =

z1

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

(a1, a2, a3)

(b1, b2, b3)

Por tanto la ecuación de la recta será:(x, y, z) = (a1, a2, a3) + t (b1–a1, b2–a2, b3–a3 )

La recta r queda determinada por la siguiente

determinación lineal: r(A, ) o por(B, )AB→−−

AB→−−

Planos: ecuación vectorial

Un plano queda determinado por un punto y dos vectores linealmente independientes. Se dice que a (A, v, w ) es una determinación lineal del plano alfa.

→→

X está en α si y solo si AX es

combinación lineal de v y w. Por tanto

existirán dos números reales s y t tales

que: AX = s v + t w

→ →

→→ →

Por tanto x – a = s v + t w→ → → →

Y de aquí se obtiene la ecuación vectorial del plano:

x = a + s v + t w, con s ∈R y t ∈R →→ → →

Se observa además que X ∈α ⇔ rango (AX, v, w) = 2 ⇔ det (AX, v, w) = 0→ →→→→→

Planos: ecuaciones paramétricas

Partiendo de la ecuación vectorial del plano: (x, y, z) = (x1, y1, x1) + t (a, b, c) + s (a', b', c')

obtenemos las ecuaciones paramétricas utilizando las operaciones con ternas de números de R3 e igualando después. Por tanto las ecuaciones paramétricas del plano son las siguientes:

x = x1 + ta + sa'y = y1 + tb + sb'z = z1 + tc + sc'

Vector normal a un plano

Observamos que: →AB = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1)

Como A (x1,y1,z1)∈ π y B (x2,y2,z2)∈ π tenemos que:

ax1 + by1 + cz1 + d = 0 ax2 + by2 + cz2 + d = 0

Restando término a término obtenemos: a(x2 – x1) + b(y2 – y1) + c(z2 – z1) = 0

(a, b, c) . (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) = 0→n . [

→AB] = 0

El vector →n es perpendicular a cualquier vector contenido en el plano, es

decir está en una dirección perpendicular al plano. Recibe el nombre de vector normal al plano. Sus coordenadas son (a,b,c)

Planos: ecuación normal

Un punto X(x, y, z) está en el plano si y

sólo si →n es perpendicular a

→ MX . Por tanto:

→n ·

→MX = 0 ⇔

→n · (

→x –

→m ) = 0

que es la ecuación normal del plano.

Sea M un punto cualquiera del plano α, y sea (A, B, C) un vector normal al plano.

Desarrollando la expresión anterior obtenemos:

(A, B, C) · (x – x1 , y – y1 , z – z1 ) = 0A( x – x1 ) + B(y – y1 ) + C(z – z1 ) = 0

o bienA x + B y + C z + D = 0

donde A, B, y C son las componentes del vector normal al plano.

Planos: ecuaciones de los planos coordenados

Vectorial Paramétrica Implícia

Plano OXY →x = t →i + s →jx = t

y = sz = 0

z = 0

Plano OXZ →x = t →i + s →kx = t

y = 0z = s

y = 0

Plano OYZ →x = t →j + s →kx = 0

y = tz = s

x = 0

Ecuación del plano que pasa por tres puntos

La determinación lineal de dicho plano será:

Como los tres vectores están en el mismo plano, son dependientes y por lo tanto su ecuación se obtendrá desarrollando el siguiente determinante:

Sean A, B y C tres puntos no alineados. Por tanto los vectores AB y AC no son paralelos.

→ →

Si A(a, b, c), B(a', b', c') y C(a", b", c") entonces α tendrá de ecuación:

x – a y – b z – c a'–a b'–b c'–c a"–a b"–b c"–c

= 0

α (A, →AB,

→AC)

det (→AX,

→AB,

→AC) = 0

(a, b, c)

(a", b", c")(a

', b'

, c')X

(x, y, z)

Posiciones relativas: recta y plano

Sean el plano p: ax + by + cz + d = 0 y la recta r dada como intersección de p': a'x + b'y + c'z + d' = 0 y p": a"x + b"y + c"z + d" = 0 . Estudiar las posiciones relativas de recta y plano equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman las tres ecuaciones anteriores. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema.

Sistema compatible determinado

Sistema compatibleindeterminado de rango 2 Sistema incompatible

rango(A) = rango (B) = 3 rango(A) = 2; rango (B) = 2 rango(A) = 2; rango (B) = 3

Recta y planosecantes

Recta contenidaen el plano

Recta y planoparalelos

1 2 3

Posiciones relativas: dos planos

Sean dos planos p: ax + by + cz + d = 0 y p': a'x + b'y + c'z + d' = 0. Estudiar las posiciones relativas de ambos planos equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman sus ecuaciones. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema.

Sistema compatible indeterminado de rango 2 Sistema incompatible Sistema compatible

indeterminado de rango 1

rango(A) = rango(B) = 2 rango(A) = 1; rango(B) = 2 rango(A) = rango(B) = 1

a a' ≠

b b' ó

a a' ≠

c c' ó

b b' ≠

c c'

a a' =

b b' =

c c' ≠

d d'

a a' =

b b' =

c c' =

d d'

1 2 3

Posiciones relativas: tres planos (I)

Sean p: ax + by + cz + d = 0 y p': a'x + b'y + c'z + d' = 0 y p": a"x + b"y + c"z + d" = 0. Estudiar las posiciones relativas de estos planos equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman sus ecuaciones. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema.

Los tres planos tienenun punto en común

Sistema compatibledeterminado de rango 3

rango(A) = rango(B) = 3

Triedro

1 2a

2b

Prisma

Los tres planos no tienenpuntos en común

Sistema incompatible

rango(A) = 2; rango(B) = 3

Dos planos paralelosy un tercero secante a ellos




Sean p: ax + by + cz + d = 0 y p': a'x + b'y + c'z + d' = 0 y p": a"x + b"y + c"z + d" = 0. Estudiar las posiciones relativas de ambos planos equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman sus ecuaciones. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema.

Posiciones relativas: tres planos (II)

Los tres planos tieneninfinitos puntos

en común

Sistema compatibleindeterminado

de rango 1


Tres planos coincidentes

3a 43b

Tres planos distintos

Los tres planos tienenuna recta en común


de rango 2


Dos planos coincidentesy un tercero secante a ellos

Los tres planos tienenuna recta en común


de rango 2








Tres planos paralelosDos planos coincidentes

y un tercero paralelo a ellos

5a

Sean p: ax + by + cz + d = 0 y p': a'x + b'y + c'z + d' = 0 y p": a"x + b"y + c"z + d" = 0.Estudiar las posiciones relativas de ambos planos equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman sus ecuaciones. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema.

5b

Posiciones relativas: tres planos (III)

Posiciones relativas: dos rectas (I)

Sea r dada como intersección de los planos a1x + a2y + a3z + a4 = 0 y b1x + b2y + b3z + b4 = 0. Sea la recta s dada como intersección de c1x + c2y + c3z + c4 = 0 y d1x + d2y + d3z + d4 = 0. Estudiar las posiciones relativas de ambas rectas equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman las cuatro ecuaciones anteriores. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema.

Las rectas tienen todossus puntos comunes

Sistema compatibleindeterminado de rango 2


Rectas coincidentes

1 2

Rectas paralelas

Las rectas no tienenpuntos en común



Sea r dada como intersección de los planos a1x + a2y + a3z + a4 = 0 y b1x + b2y + b3z + b4 = 0. Sea la recta s dada como intersección de c1x + c2y + c3z + c4 = 0 y d1x + d2y + d3z + d4 = 0. Estudiar las posiciones relativas de ambas rectas equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman las cuatro ecuaciones anteriores. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema.


43

Rectas que se cruzan


Las rectas no tienenpuntos en común

Posiciones relativas: dos rectas (II)

Rectas secantes

Las dos rectas tienenun punto en común

Sistema compatibledeterminado


Haces de planos

Dado ≡Ax+By+Cz+D=0

1 Haz de planos paralelos 2 Haz de planos secantes

Los haces de planos se pueden expresar

como Ax+By+Cz+λ=0 con λ є R.

Dados π≡Ax+By+Cz+D=0

π ′≡ A′x+B′y+C′z+D ′ =0

Los haces de planos se pueden expresar

como Ax+By+Cz+D+ λ(A′x+B′y+C′z+D ′)=0

Para que el haz quede completo hay que

añadir: A′x+B′y+C′z+D ′ =0

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