Espacios de Banach y teorema del punto fijo de Banach dentro de las Matemáticas.

Introducción

La matemática es una ciencia que, a partir de notaciones básicas exactas y a través del razonamiento lógico, estudia las propiedades y relaciones entre los entes abstractos (números, figuras geométricas, símbolos). Mediante las matemáticas conocemos las cantidades, las estructuras, el espacio y los cambios. Los matemáticos buscan patrones, formulan nuevas conjeturas e intentan alcanzar la verdad matemática mediante rigurosas deducciones. Éstas les permiten establecer los axiomas y las definiciones apropiados para dicho fin. Mediante la abstracción y el uso de la lógica en el razonamiento, las matemáticas han evolucionado basándose en las cuentas, el cálculo y las mediciones, junto con el estudio sistemático de la forma y el movimiento de los objetos físicos. Las matemáticas, desde sus comienzos, han tenido un fin práctico. Las explicaciones que se apoyaban en la lógica aparecieron por primera vez con la matemática helénica, especialmente con los Elementos de Euclides. Las matemáticas siguieron desarrollándose, con continuas interrupciones, hasta que en el Renacimiento las innovaciones matemáticas interactuaron con los nuevos descubrimientos científicos. Como consecuencia, hubo una aceleración en la investigación que continúa hasta la actualidad. En este artículo se introducirá el Análisis funcional, dentro de éste situaremos los espacios completos y de Banach. Estaremos, pues, preparados para introducir el teorema del punto fijo de Banach y sus numerosas aplicaciones, sobre todo, en la Naturaleza.

1.- Análisis Funcional. Espacios métricos. Espacios de Banach.

El Análisis funcional es la rama de las matemáticas, y específicamente del análisis, que trata del estudio de espacios de funciones. Cuando nosotros vamos a parques de atracciones, éstas son seguras ya essas trayectorias han sido escogidas de entre todas las funciones posibles (espacios de funciones).

Tienen sus raíces históricas en el estudio de transformaciones tales como transformación de Fourier y en el estudio de las ecuaciones diferenciales y ecuaciones integrales. La palabra funcional se remonta al cálculo de variaciones, implicando una función cuyo argumento es una función.

Su uso en general se ha atribuido a Volterra.

Vito Volterra (Ancona, 1860 - Roma, 1940) Matemático italiano cuyas investigaciones propiciaron el desarrollo del modelo de análisis matemático. Realizó estudios de matemáticas y física en la Universidad de Pisa bajo la dirección de Enrico Betti entre los años 1878 y 1882. Un año más tarde era ya profesor de mecánica racional en dicha institución.

Comenzó por entonces a trabajar en el análisis de funcionales, aplicaciones matemáticas entre funciones reales y complejas que condujo al desarrollo de un nuevo campo del análisis, de gran aplicación en las ecuaciones integrales e integro-diferenciales y con el que supo resolver con éxito determinados problemas físicos en campos como la óptica, el electromagnetismo y la elasticidad de los materiales. Tras la guerra, Volterra retornó a sus investigaciones y volcó su atención en el análisis matemático de los modelos biológicos. Desconocedor del trabajo realizado en este campo por los investigadores anteriores a él, la mayor parte de sus investigaciones eran meras réplicas de aquellos, pero sus modelos matemáticos abstractos de asociaciones biológicas y convivencia de especies diferentes en un mismo ecosistema encontraron gran aplicación en otros campos de la ciencia, como la física. También desarrolló modelos matemáticos de la herencia biológica. Entre sus obras y publicaciones más importantes se encuentran Principi di calcolo integrale (1883), Vibrazioni dei corpi elastici (1893), Variazioni e fluttuazione del numero d'individui in specie animali conviventi (1927) y Teoria dei funzionali: ecuazioni integrali ed integro-diferenziali (1930).

Un espacio métrico es un conjunto M (a cuyos elementos se les denomina puntos) con una función distancia asociada (métrica)

Para todo x, y, z en M, esta función debe satisfacer las siguientes condiciones: d(x, y) ≥ 0 d(x, x) = 0 (reflexividad) Si d(x, y) = 0 entonces x = y d(x, y) = d(y, x) (simetría) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (desigualdad triangular).

Todo espacio métrico es espacio de Haussdorff. Sean X y Y dos subconjuntos compactos de un espacio métrico M. Entonces la distancia de Hausdorff

La distancia de Hausdorff se puede definir de la misma manera para subconjuntos cerrados no compactos de M, pero en este caso la distancia pueden tomar valor infinito y la topología de F(M) comienza a depender de la métrica particular de M (no solamente de su topología). La distancia de Hausdorff entre los subconjuntos no cerrados se puede definir como la distancia de Hausdorff entre sus clausuras. Da una pre-métrica (o seudométrica) en el conjunto de todos los subconjuntos de M (la distancia de Hausdorff entre cualesquiera dos conjuntos y con las mismas clausuras es cero). En geometría euclidiana a menudo se utiliza su análogo, distancia de Hausdorff módulo isometría. Es decir, sean X y Y dos figuras compactas en un espacio euclidiano, entonces DH(X, Y) es el mínimo de dH(I(X), Y) sobre todas las isometrías I del espacio euclidiano. Esta distancia mide cuan lejos están X y Y de ser isométricos.

Felix Hausdorff (8 de noviembre de 1868, 26 de enero de 1942) fue un matemático alemán que está considerado como uno de los fundadores de la moderna Topología y que ha contribuido significativamente a la teoría de conjuntos, la teoría descriptiva de conjuntos, la teoría de la medida, el análisis funcional y la teoría de funciones.

Un espacio de Banach es un espacio V donde toda sucesión de Cauchy (con respecto a la métrica d(x, y) = ||x - y||) en V es convergente (tiene un límite en V.). La implicación contraria se da siempre.

Recordemos que una sucesión de Cauchy es una sucesión tal que la distancia entre dos términos se va reduciendo a medida que se avanza en la sucesión.

Se llaman así en honor al matemático francés Augustin Louis Cauchy (1805).

El interés de las sucesiones de Cauchy radica en que en un espacio métrico completo todas las sucesiones de Cauchy son convergentes, siendo en general más fácil verificar que una sucesión es de Cauchy que obtener el punto de convergencia.Una sucesión

de números reales se dice que es de Cauchy, si para todo número real ε > 0 existe un entero positivo N tal que para todos los números naturales m,n > N

Las sucesiones de Cauchy de números reales tienen las siguientes propiedades:

1. Toda sucesión convergente es una sucesión de Cauchy. 2. Toda sucesión de Cauchy está acotada 3. Criterio de convergencia de Cauchy: Una sucesión de números reales es

convergente si y sólo si es una sucesión de Cauchy. Es decir, el conjunto de los números reales es un espacio métrico completo.

Formalmente, en un espacio métrico, una sucesión {xk} se dice de Cauchy si para todo existe un N en los naturales, tal que para todos n,m > N se verifica que la

distancia entre dos términos d(xn,xm) es menor que . En Q las sucesiones de Cauchy no tienen porque ser convergentes. El ejemplo clásico es a(n) = (1 + 1 / n)n que es de Cauchy pero cuyo limite (e) no es racional. Al parecer de lo trivial del ejemplo anterior donde la sucesión de Cauchy no convergía, en espacios más abstractos pero no por eso menos familiares, como los espacios de funciones, demostrar la completitud a veces no es tan trivial; una de las razones de esto es que la completitud no se preserva necesariamente con homeomorfismos como pasa con la conexidad y la compacidad.

Intuitivamente, un conjunto conexo es aquel formado por una sola 'pieza', que no se puede 'dividir'. Cuando un conjunto no sea conexo, diremos que es disconexo.

Formalmente, es un conjunto conexo si

implica

Si se tiene que (X,d) es un espacio métrico, entonces, para , las siguientes proposiciones son todas equivalentes:

1. K es compacto 2. K es secuencialmente compacto 3. K es completo y totalmente acotado

Además, se tiene que K será siempre cerrado y acotado.

El teorema de Heine-Borel da una caracterización útil en los espacios vectoriales normados de dimensión finita: K es compacto si y solo si es cerrado y acotado. Sin embargo, en dimensión infinita, esto no es verdad, y, de hecho, en este contexto la bola unitaria cerrada jamás será compacta; por lo mismo, es mucho más difícil verificar compacidad. Los conjuntos compactos tienen gran importancia en diversos resultados del análisis, siendo uno de los más importantes el teorema de Weierstrass: toda función real continua definida sobre un espacio compacto alcanza su máximo y su mínimo. Otro resultado importante es el teorema de Heine, que indica que toda función continua cuyo dominio sea un conjunto compacto, será uniformemente continua.

Stefan Banach (1892-1945), matemático polaco de Low (Polonia). Cuando la Segunda Guerra Mundial comenzó, Banach era el presidente de la Sociedad Matemática Polaca y miembro de la Academia de las Ciencias de la República Socialista Soviética de Ucrania, y por otra parte mantenía una buena relación con los matemáticos soviéticos, y se le permitió permanecer en su cargo a pesar de la ocupación soviética, desde 1939, de la ciudad. Banach sobrevivió la posterior ocupación alemana ganándose la vida alimentando un piojo con su sangre para el Instituto de Investigación sobre el Tifus del profesor Rudolf Weigl. Su salud empeoró durante la ocupación, y desarrolló un cáncer de pulmón. Tras la guerra, Leópolis se incorporó a la Unión Soviética, y Banach murió allí antes de que pudiera ser repatriado a Polonia.

2.- Teorema del punto fijo de Banach. Aplicaciones.

En matemáticas, un teorema del punto fijo es un resultado sobre si una función f tendrá al menos un punto fijo (un punto x para el que f(x) = x), bajo algunas condiciones generales sobre la función. Teorema del Punto Fijo de Banach: Si en un espacio métrico X completo tenemos una función de X en X contractiva, es decir, tal que existe K<1 tal que

para cualesquiera , entonces existe un único punto fijo , es decir, que satisface f(x0) = x0.

Se trata de una herramienta básica en la prueba de la existencia de soluciones de ecuaciones diferenciales. Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el modelamiento de fenómenos físicos. Su uso es común tanto en ciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales (física, química, biología) o matemáticas, como en economía.

En dinámica estructural, la ecuación diferencial que define el movimiento de una estructura es:

Donde M es la matriz que describe la masa de la estructura, C es la matriz que describe el amortiguamiento de la estructura, K es la matriz de rigidez que describe la rigidez de la estructura, x es vector de desplazamientos [nodales] de la estructura, P es el vector de fuerzas (nodales equivalentes), y t indica tiempo. Esta es una ecuación de segundo orden debido a que se tiene el desplazamiento x y su primera y segunda derivada con respecto al tiempo.

La vibración de una cuerda está descrita por la siguiente ecuación diferencial en derivadas parciales de segundo orden:

dónde es el tiempo y es la coordenada del punto sobre la cuerda. A esta ecuación se le llama ecuación de onda.

Otro de los usos de este resultado radica en el análisis de sistemas dinámicos, que tiene numerosas aplicaciones, por ejemplo en el estudio de modelos de población, modelos caóticos, etcétera.

Un sistema dinámico es un sistema complejo que presenta un cambio o evolución de su estado en un tiempo, el comportamiento en dicho estado se puede caracterizar determinando los límites del sistema, los elementos y sus relaciones; de esta forma se puede elaborar modelos que buscan representar la estructura del mismo sistema.

Al definir los límites del sistema se hace, en primer lugar, una selección de aquellos componentes que contribuyan a generar los modos de comportamiento, y luego se determina el espacio donde se llevará a cabo el estudio, omitiendo toda clase de aspectos irrelevantes.

En cuanto a la elaboración de los modelos, los elementos y sus relaciones, se debe tener en cuenta:

1. Un sistema está formado por un conjunto de elementos en interacción. 2. El comportamiento del sistema se puede mostrar a través de diagramas

causales (un tipo de diagrama que muestra de gráficamente las entradas o inputs, el proceso, y las salidas o outputs de un sistema (causa-efecto), con su respectiva retroalimentación (feedback) para el subsistema de control).

3. Hay varios tipos de variables: variables exógenas (son aquellas que afectan al sistema sin que éste las provoque) y las variables endógenas (afectan al sistema pero éste sí las provoca).

Un ejemplo de un sistema dinámico se puede ver en una especie de peces que se reproduce de tal forma que este año la cantidad de peces es Xk, el año próximo será Xk + 1. De esta manera podemos poner nombres a las cantidades de peces que habrá cada año, así: año inicial X0, año primero X1,........... ......, año k Xk.

Como se puede observar:

se cumple para cualquier año k; lo cual significa que la cantidad de peces se puede determinar si se sabe la cantidad del año anterior. Por consiguiente esta ecuación representa un sistema dinámico.

Un sistema dinámico se dice discreto si el tiempo se mide en pequeños lapsos; éstos son modelados como relaciones recursivas, tal como la ecuación logística:

dónde t denota los pasos discretos del tiempo y x es la variable que cambia con éste. Si el tiempo es medido en forma continua, el sistema dinámico continuo resultante es expresado como una ecuación diferencial ordinaria; por ejemplo:

donde x es la variable que cambia con el tiempo t.

La variable cambiante x es normalmente un número real, aunque también puede ser un vector. Los viajes de bandadas de pájaros en su característica V se ajustan a este tipo de ecuaciones.

Se distingue entre sistemas dinámicos lineales y sistemas dinámicos no lineales. En los sistemas lineales, el lado derecho de la ecuación es una expresión que depende en forma lineal de x, tal como:

Si se conocen dos soluciones para un sistema lineal, la suma de ellas es también una solución; esto se conoce como principio de superposición. En general, las soluciones provenientes de un espacio vectorial permiten el uso del álgebra lineal y simplifican significativamente el análisis. Para sistemas lineales continuos, el método de la transformada de Laplace también puede ser usado para transformar la ecuación diferencial en una ecuación algebraica; así mismo que para los sistemas lineales discretos, el método de la transformada Z también puede ser usado para transformar la ecuación diferencial en una ecuación algebraica.

Los sistemas no lineales son mucho más difíciles de analizar y a menudo exhiben un fenómeno conocido como caos, con comportamientos totalmente impredecibles; ver también no linealidad.

También es importante en el estudio de métodos iterativos utilizados en el cálculo numérico, por ejemplo en algunos problemas de Ingeniería y Biología.

En matemática computacional, un método iterativo trata de resolver un problema (como una ecuación o un sistema de ecuaciones) mediante aproximaciones sucesivas a la solución, empezando desde una estimación inicial. Esta aproximación contrasta con los métodos directos, que tratan de resolver el problema de una sola vez (como resolver un sistema de ecuaciones Ax=b encontrando la inversa de la matriz A). Los métodos iterativos son útiles para resolver problemas que involucran un número grande de variables (a veces del orden de millones), donde los métodos directos tendrían un coste prohibitivo incluso con la potencia del mejor computador disponible. En numerosas bandadas de pájaros se observan cambios de posición sin ningún motivo aparente.

Si una ecuación puede ponerse en la forma f(x) = x, y una solución x es un punto fijo atractivo de la función f, entonces puede empezar con un punto x1 en la base de atracción de x, y sea xn+1 = f(xn) para n ≥ 1, y la sucesión {xn}n ≥ 1 convergerá a la solución x.

Incluso determinados fractales son puntos fijos de ciertas contracciones. En la naturaleza también aparece la geometría fractal, como en este romanescu.

Un fractal es un objeto semi geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. El término fue propuesto por el matemático, que aparece en la foto, Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal.

A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características

Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales. Posee detalle a cualquier escala de observación.

Es autosimilar (exacta, aproximada o estadística). Se define mediante un simple algoritmo recursivo.

No nos basta con una sola de estas características para definir un fractal. Por ejemplo, la recta real no se considera un fractal, pues a pesar de ser un objeto autosimilar carece del resto de características exigidas.Un famoso ejemplo lo da en 1915, Waclaw Sierpinski, en el cual se observa que la semilla es un punto fijo.

Construcción de la alfombra de Sierpinski:

Paso 1 (semilla) Paso 2 Paso 3 Paso 4 Paso 5

Otros fractales construidos con algoritmos de tiempo de escape, en que cada pixel se colorea según el número de iteraciones necesarias para escapar. Suele usarse un color especial, a menudo el negro, para representar los puntos que no han escapado tras un número grande y prefijado de iteraciones, contienen puntos fijos:

Bibliografía

Webs: http://www.wikipedia.org http://www.google.com Libros y artículos de consulta: Rivera, Juan Antonio “Estructura Normal en Espacios de Banach”. Catálogo Fama de la Universidad de Sevilla. Edelstein, M. “Fixed point theorems in uniformily Banach Spaces” Proc. Amer.Math. Soc. 44 (1974), 369-374. Beauzanmy, B. “Introduction to Banach Spaces”. North-Holland, 1982.