Adonai Sant'Anna

Matemática e Sociedade

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sábado, 15 de setembro de 2012Espaço, a Fronteira Final?

Matemáticos precisam tanto de conjuntos da mesma forma como físicos do século 19precisavam do éter?

Esta postagem demanda certos pré-requisitos de teorias de conjuntos que não sãoexplicitamente apresentados. Quaisquer dúvidas podem ser encaminhadas comocomentários. Responderei da forma mais detalhada e imediata possível.

A maneira mais usual de descrever axiomaticamente teorias matemáticas, físicas,biológicas ou econômicas é através dos chamados predicados conjuntistas. Grossomodo, um predicado conjuntista é um predicado descrito em uma linguagem dealguma teoria de conjuntos. Por exemplo, considere uma teoria muito simples queconta com apenas dois conceitos primitivos: um conjunto X e uma função f definidasobre X. Além desses conceitos, ela conta com um único axioma, a saber, "f é umafunção cujos domínio e codomínio são ambos X". Chamemos essa teoria de espaçominimalista.

É fácil provar que espaços minimalistas admitem modelos (interpretações que tornamo axioma dado verdadeiro). Por exemplo, se X é o conjunto dos números reais e f é afunção identidade (f de X em X é tal que f(x) = x, para todo x pertencente a X), fica claroque o axioma é satisfeito.

Por outro lado, naturalmente existem interpretações para os conceitos primitivos X e fque tornam o axioma dado falso. Por exemplo, sejam X o conjunto dos números

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naturais e f uma função constante f(x) = c definida sobre X, de modo que o codomíniode f coincide com a imagem de f. Neste caso, o codomínio de f tem um único elemento(a constante c) e, portanto, é diferente de X (violando o axioma que impõe que domínioe codomínio de f devem ser o mesmo conjunto).

O emprego de modelos em predicados conjuntistas permite, entre outras coisas,responder se existem conceitos primitivos elimináveis na teoria. Trata-se de ummétodo metamatemático originalmente publicado em 1900 pelo italiano AlessandroPadoa e desenvolvido ao longo de décadas por Evert W. Beth e Alfred Tarski, entreoutros.

Já vimos em postagem anterior que definibilidade implica em eliminabilidade, ou seja,se um dado conceito em uma teoria axiomática pode ser definido a partir dos demais,então ele é eliminável, dispensável, supérfluo.

Intuitivamente falando, o método de Padoa funciona como descrito no próximoparágrafo.

Seja S uma teoria axiomática (formulada como predicado conjuntista) cujos conceitosprimitivos são c1, c2, c3, ..., cn, onde n é um número natural. O conceito primitivo c1 éindependente dos demais (não pode ser definido a partir de c2, c3, ..., cn) se, esomente se, existem dois modelos de S nos quais c2, c3, ..., cn têm a mesmainterpretação, mas c1 admite interpretações diferentes.

Diante disso, é possível provar que em um espaço minimalista, como dado acima, oconceito f é independente de X, mas X não é independente de f. Em outras palavras, éa partir de funções que se definem domínio e codomínio e não o contrário. Ressaltoisso porque a maioria esmagadora dos professores de matemática neste país e mesmono exterior insistem, como recurso didático (um eufemismo para ignorante), naafirmação de que funções são definidas a partir de um domínio, um codomínio e uma"regra" que associa elementos do domínio a elementos do codomínio. Com oimpensado objetivo de facilitar o aprendizado da matemática, docentes e autores delivros estupram não apenas esta ciência mas também as mentes de alunos e leitoresde livros, ao fazerem afirmações absurdas como essa.

A demonstração de que o domínio X de f pode ser definido a partir da própria f (e nãoao contrário, como tanto se propaga pelas vozes incoerentes) é muito simples.

Primeiro provamos que f independe de X. Com efeito, considere dois modelos M1 e M2para espaço minimalista. Em M1 interpretamos X como o conjunto dos números reais ef como a função f(x) = x, sendo que o domínio de f é igual ao seu codomínio X, ou seja,o conjunto dos números reais. Em M2 interpretamos X da mesma forma, masmudamos f para f(x) = 2x, sendo que o domínio e o codomínio dessa nova função f sãoos mesmos da função no modelo M1. Isso significa que temos dois modelos para

espaço minimalista, de tal modo que, em ambos, X é interpretado da mesma maneira.Mudamos apenas a interpretação de f. Portanto, não é possível fixar f a partir de X. Naprática isso significa que f não pode ser definida a partir de X.

Agora provamos que X depende de f. Demonstramos isso por redução ao absurdo.Suponha que existem dois modelos, M3 e M4, para espaço minimalista, de tal modoque admitam a mesma interpretação para f, mas diferentes interpretações para X. Emoutras palavras, estamos supondo que X é independente de f. Como X deve serdomínio de f, fica claro que a existência dos modelos M3 e M4 é impossível. Comefeito, se mudarmos a interpretação de X, isso automaticamente implica em mudançade interpretação para f. Afinal, diferentes domínios implicam em diferentes funções.Logo, X não pode ser independente de f, pois isso implica em uma contradição (lembreque precisamos fixar f). Portanto, X é dependente de f, o que significa que X pode serdefinido a partir de f.

A questão natural é: como se define X a partir de f? A solução é trivial. Nas formulaçõesconjuntistas usuais (baseadas em teorias usuais de conjuntos como ZF, ZFC, NBG eoutras) toda função é um conjunto de pares ordenados, sendo que os primeiroselementos desses pares ordenados são exatamente os elementos do domínio dafunção. Portanto, para definirmos X em um espaço minimalista, basta formular que X éo domínio de f. Pronto!

Isso significa que podemos reescrever a definição de espaço minimalista sem fazerqualquer referência explícita a X, uma vez que este conceito é definível e, portanto,eliminável. Logo, um espaço minimalista é simplesmente uma função cujo domíniocoincide com seu codomínio.

Nas teorias matemáticas e físicas mais comuns este fenômeno ocorre com muitafrequência. Na teoria dos espaços vetoriais, por exemplo, o conjunto de vetores é umconceito supérfluo. O que se mostra indispensável é a operação de adição entrevetores e a operação de multiplicação entre escalar e vetor. E tais operações sãosimplesmente funções. Comentário análogo vale para as teorias de corpos, corposordenados, grupos, anéis etc.

Em teorias físicas, certas variedades (casos especiais de espaços topológicos) usadaspara definir espaço ou espaço-tempo são analogamente supérfluas. Os conceitosindispensáveis são aqueles que se interpretam fisicamente como campos, correntes,potenciais e forças. E tais conceitos são matematicamente tratados como funções.

A prática tem mostrado que funções desempenham papel central na matemática enaquelas ciências nas quais a matemática se aplica. Conjuntos usados paracaracterizar os domínios dessas funções são meros palcos para a atuação deelementos genuinamente centrais, as funções.

Newton da Costa e eu publicamos, anos atrás, dois artigos que apontam diretamentepara a dispensabilidade de conceitos como espaço e espaço-tempo em várias teoriasfísicas (como mecânica clássica de partículas, teorias de calibre, eletromagnetismo deMaxwell, relatividade geral de Einstein, teoria do elétron de Dirac e mecânicaestatística clássica). Por isso o título da postagem! Até que ponto podemos realmentelevar a sério conceitos como espaço e espaço-tempo em física teórica?

Em 2006, o filósofo Otávio Bueno e eu desenvolvemos uma abordagem diferente parao problema. Criamos uma teoria formal axiomática de funções, inspirada em ideias deJohn von Neumann, na qual conjuntos são casos particulares de funções. Nas teoriasusuais de conjuntos, é exatamente o oposto que ocorre: funções são casosparticulares de conjuntos.

Neste trabalho desenvolvemos também uma teoria intuitiva de funções que seidentifica com a contraparte formal. Além disso, demonstramos, através de uma sériede lemas, que nossa proposta (chamada de teoria N, em homenagem a von Neumann)permite resgatar tudo aquilo que se faz na teoria usual de Zermelo-Fraenkel (ZF eZFC). Este resultado permite que apliquemos nossa teoria de funções nafundamentação de várias teorias físicas e até mesmo da matemática. O resultadoprincipal é que nossa proposta naturalmente viabiliza axiomatizações de teorias físicase matemáticas com um mínimo de conceitos primitivos supérfluos.

A verdade é que a prática da matemática aplicada não está em sintonia com suafundamentação conjuntista usual. Não se faz matemática ou aplicações da matemáticaapenas com elementos sintáticos. E mesmo as semânticas usuais de teoriasmatemáticas não são suficientes para o profissional que procura realizar aplicações nomundo que chamamos de real. Há uma profunda necessidade de uma contraparteintuitiva tanto em teorias quanto em aplicações. E a intuição usual sobre funções édinâmica. Funções devem ter um caráter dinâmico, não estático. Tanto é verdade queaté hoje se emprega a notação de flechas para funções. No entanto, a fundamentaçãoconjuntista para funções fracassa miseravelmente em relação a essa intuição. Issoporque funções (nas teorias usuais de conjuntos) não passam de conjuntos de paresordenados que satisfazem a certas condições bem conhecidas na literaturaespecializada elementar. Ou seja, funções, em ZF e teorias similares, são objetosestáticos. Não há apelo dinâmico. Por isso optamos por uma fundamentaçãoconjuntista que se identifique com a visão intuitiva de dinâmica.

Quando von Neumann publicou sua teoria de conjuntos em 1925 (aquela que serviu deponto de partida para nosso trabalho), ele apresentou duas grandes novidades: adiferenciação entre classes e conjuntos e a premissa de que funções são maisfundamentais do que conjuntos. Com o passar dos anos as ideias de von Neumannsofreram várias mutações, dando origem à teoria NBG (von Neumann-Bernays-Gödel).Em NBG se preservou a necessidade de distinguir classes de conjuntos. Mas aprioridade de funções sobre conjuntos foi simplesmente esquecida. E, honestamente,

não entendo o motivo disso.

Estamos procurando resgatar essa visão de um dos mais brilhantes nomes da ciênciado século passado, com uma reformulação que consideramos razoavelmente simples.

Submetemos nosso artigo para o periódico Erkenntnis, um dos mais importantes daárea de filosofia da ciência. O trabalho foi aceito. No entanto, na mesma época AlbertoLevi (então aluno de graduação e hoje doutor em matemática) identificou umainconsistência em nossos axiomas para a teoria N. Tal inconsistência não havia sidoidentificada por Bueno, por mim ou mesmo pelos referees de Erkenntnis. Mas Levi apercebeu. A solução para tal inconsistência era bastante simples. Mas eu não gosteidela, por julgá-la excessivamente restritiva.

Como na época eu já estava esgotado com a porca vida acadêmica da UFPR, desistido projeto e retirei a submissão de Erkenntnis.

Esta semana, porém, Otávio Bueno (atualmente Professor Titular e Chefe doDepartamento de Filosofia da University of Miami e Editor-Chefe do prestigiadoperiódico Synthese) pediu para que retomássemos aquele velho projeto, engavetadohá seis anos.

Reexaminei o artigo e percebi que eu estava sendo apenas teimoso na época. A tal dasolução não é tão restritiva assim e, na verdade, está em pleno acordo com a visãohoje existente a respeito da diferença que normalmente se faz entre classes econjuntos.

O artigo foi reescrito, com uma nota de agradecimentos a Alberto Levi, e em breveserá novamente submetido para publicação.

É a segunda vez que anuncio publicamente por escrito a respeito de um artigo queainda será submetido para publicação. A primeira foi há mais de vinte anos. Noentanto, o fato é que este trabalho tem empolgado muito os seus autores.

O julgamento de um pai a respeito de seus filhos é sempre altamente suspeito, porconta do óbvio envolvimento emocional. Mas acredito que conseguimos neste projetouma visão mais madura a respeito do papel de funções e conjuntos na matemática enas ciências reais, incluindo uma possível generalização para as teorias de conjuntosfuzzy.

Assim que o artigo for oficialmente veiculado, ele será disponibilizado neste blog.

Dedico este texto à inesquecível Analice Gebauer Volkov, pesquisadora que cultivavae defendia sonhos semelhantes mas que teve sua vida arrancada pela estupidez quereina neste país.

Adonai às 00:01

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22 comentários:

Leonardo Medeiros 15 de setembro de 2012 01:00Caramba! Eu não sabia nada disso sobre definições, mas, agora que o senhor falou, pareceu-me tãotrivial que eu me pergunto como eu não percebi isso antes. O método de Padoa também parece ser um"ovo de Colombo". Parabéns pelo artigo e estou ansioso para poder lê-lo.Responder

Adonai 15 de setembro de 2012 01:16Leonardo

Quando vi isso pela primeira vez eu também tive o mesmo espanto. Oficialmente o métodode Padoa é creditado ao próprio Padoa. Mas historiadores encontraram evidências de quetalvez o método já fosse conhecido antes de 1900. O fato, porém, é que Padoa foi o primeiroa publicar sobre isso. Ele mesmo demonstrou uma empolgação até exagerada com seutrabalho, apresentado no Congresso Internacional de Filosofia de Paris e no CongressoInternacional de Matemática que ocorreu na mesma cidade e no mesmo ano. Fico feliz quetenha compreendido a ideia intuitiva. Do ponto de formal, porém, o tema éextraordinariamente complexo.

Adonai 15 de setembro de 2012 01:18Erratum

Do ponto de vista formal, porém, o tema é extraordinariamente complexo.

Susan Blum 15 de setembro de 2012 01:12Bela homenagem para a Analice.Sabe, tem uma característica sua que já percebi desde 2005 (quando nos aproximamos justamente porcausa do "espaço" e da literatura): "Reexaminei o artigo e percebi que eu estava sendo apenas teimosona época". Sim. Você é teimoso. Deveria ser teimoso em muitas coisas, mas o problema é que sua teimosia porvezes está no lado "errado" das coisas. Uma pena. Quem perde com isso é você e somos nós. Mas adorei esta notícia que você já havia me dado!!Fico feliz que parte desse seu lado acadêmico tenha despertado. Se foi por causa do Otávio ou daAnalice, não importa. O importante é que alguém despertou coisas boas que vc tem. E fico MUITO felizpor isso! Sempre o admirei e sempre vou apoiá-lo.Sou feliz pelo nosso re-encontro em 2010.Um abraço!

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Adonai 15 de setembro de 2012 05:03Susan

A homenagem a Analice ainda será feita. Estou preparando um texto sobre ela, uma vez queo site que construí em 2000 foi tirado do ar pelo próprio provedor. Inclusive o texto deveincomodar algumas dezenas de pessoas que conheço, pois novamente refletirá a durarealidade hoje vivida neste país.

No entanto, o artigo com Otávio Bueno está saindo principalmente por influência dele e pelofato de eu acreditar que se trata de um bom trabalho. A referência a Analice é devida a doisfatos: 1) ela tinha ideias parecidas a respeito do papel de funções em matemática e 2) ela erauma pessoa realmente admirável e que faz muita falta a todos.

Aliás, o artigo já está oficialmente submetido.

Por último, também sou grato pelo nosso reencontro em 2010.

Susan Blum 9 de abril de 2013 01:20Hoje, 8 de abril vi sua notícia no FB. MARAVILHOSA notícia. Que os estudiosos dessasáreas possam usufruir com gosto e sabedoria do artigo cuidadoso de vocês. Parabéns a vocêe ao Otávio! Sempre grata por ter você como companheiro de vida e de artigos!

FILOGMAICA 15 de setembro de 2012 22:17Caríssimo Adonai,simplesmente maravilhoso. Podemos então falar de uma perspectiva "estática" sobre os fundamentosdas ciências formais, e uma perspectiva "dinâmica" desses mesmos fundamentos. Onde entra aqui ateoria de categorias? Tenho muito interesse nisso!Um abraço,Gilson M.Responder

Adonai 16 de setembro de 2012 01:57Oi, Gilson

Certamente pretendo postar algum texto sobre teoria de categorias. Quanto à sua ideia arespeito de perspectivas dinâmica e estática, a princípio soa como algo interessante.Pensarei a respeito.

FILOGMAICA 17 de setembro de 2012 23:53

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Caro Adonai,no caso estou pensando em duas escolas filosóficas gregas, as dos eleatas, comoParmênides e Zenão, que advogavam a impossibilidade do movimento (ver p.ex., osparadoxos de Zenão sobre a ideia de movimento) no mundo fenomênico e, a escolaheraclítica que afirmava de tudo flui. Penso que a teoria de conjuntos, em suas diversasmatizes, baseada nas noções de "conjunto" e "pertinência" (seja lá o que for isso) não capta anoção intuitiva que temos de "função" como um processo dinâmico. Minha questão é aseguinte: a teoria de categorias, não expressaria melhor esse dinamismo a partir dosconceitos de "objeto" e "morfismo"?

Kynismós! 8 de abril de 2013 18:25Belo texto!Responder

Stafusa 8 de abril de 2013 19:34Definir função como apenas a regra, sem especificar domínio e codomínio, torna o conceito menos útilou leva a alguma inconsistência?Responder

Adonai 9 de abril de 2013 00:43Stafusa

Na teoria N o conceito de função não é definido. Funções, nesta linguagem formal, sãosimplesmente termos de uma linguagem de primeira ordem. Além disso, provamos no artigoque todos os teoremas de Zermelo-Fraenkel, devidamente traduzidos para a linguagem de N,são teoremas em N. Isso, na prática, significa que tudo o que se faz usualmente namatemática tradicional (fundamentada em ZF) pode ser feito em N. Portanto, nossa propostaé tão útil quanto ZF e ainda permite obter outros resultados. No entanto, a partir de nossosistema, é possível axiomatizar teorias matemáticas e físicas de maneira mais econômica eenxuta.

Com relação à consistência de N, não chegamos a fazer as contas. Mas, ao que tudo indica,N é consistente se, e somente se, ZF também for. Demonstrar isso não é uma tarefa tãocomplicada.

Assim que o artigo for publicado, pretendo disponibilizá-lo para eventuais interessados.

Stafusa 9 de abril de 2013 08:56Adonai, me refiro a definir dessa maneira na teoria usual. Há algum problema em definirfunção como sendo apenas a regra?

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Adonai 9 de abril de 2013 19:13Stafusa

Depende do que você entende por regra. A teoria mais usual de conjuntos é a de Zermelo-Fraenkel (ZF). Nesta teoria todos os termos são conjuntos. Portanto, funções são casosparticulares de conjuntos. Se incluir o Axioma da Escolha em ZF, é possível definir funçõesque não correspondem a regra alguma (no sentido de procedimentos efetivos que permitamassociar um elemento de um conjunto a outro). A visão usualmente propagada em livrosdidáticos de que funções podem de alguma forma ser associadas a regras simplesmente nãofaz sentido.

Stafusa 9 de abril de 2013 20:54Ok, obrigado, agora ficou um pouco mais claro.Você já avisou que vai apresentar o trabalho quando for publicado, mas deixe-me fazer umapergunta: na teoria N, um conjunto pode definido através de uma função identidade ou coisaparecida?

Adonai 10 de abril de 2013 03:12Stafusa

Sinta-se livre para fazer quantas perguntas quiser. Na verdade posso enviar o artigo para seue-mail assim que Otávio e eu chegarmos a um acordo sobre a versão final.

Na teoria N apresentamos uma generalização de função-característica, fortemente inspiradana visão usual sobre funções-característica. Um conjunto, em N, é simplesmente uma funçãodeste tipo. No entanto, conjuntos definidos desta forma não se identificam de forma algumacom os conjuntos de Zermelo-Fraenkel. Fomos obrigados a restringir mais ainda o conceitode função-característica para finalmente obtermos algo que chamamos de ZF-conjuntos,estes sim conjuntos no sentido usual.

Hank Lenzi 31 de agosto de 2013 02:09" Em outras palavras, é a partir de funções que se definem domínio e codomínio e não o contrário."

Sabe, é engraçado, outro dia, lendo um livro de uma coleção que se pensaria improvável ser séria (puropreconceito...), a Coleção Schaum, volume de Álgebra Moderna, caiu-me exatamente esta 'ficha', comose diz.

O exemplo foi o seguinte: Seja f de N em N (Naturais), definida por a: 2n+1.

Então, o domínio da função é N, o contradomínio é N, MAS A IMAGEM NÃO É N, são os ímpares.

Acho que o exemplo, bobinho, vai na mesma direção que seus "modelos" M1 e M2 (Nossa! Isso aqui é"model theory"??? Preciso ler isso!).Responder

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Hank Lenzi 31 de agosto de 2013 02:14"Em outras palavras, é a partir de funções que se definem domínio e codomínio e não o contrário."

Esta frase foi uma espécie de revelação para mim.

Digamos, seja f função de N em N, com a: n->2n+1, então, embora o Domínio seja N, o ContradomínioN, a Imagem *não pertence a N*. Seria este exemplo bobinho algo que denunciaria a má prática, algopor aí?

Usar M1 e M2... isto é "model theory"? Se for, preciso ler urgente! Seria possível recomendar livrossobre o assunto, professor?Responder

SEBASTIÃO FRANCISCO DE PAULA VIANA 11 de abril de 2014 21:29

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Adonai 11 de abril de 2014 22:57Eu colocaria outra frase: "Foi divertido."

SEBASTIÃO FRANCISCO DE PAULA VIANA 11 de abril de 2014 23:35

SEBASTIÃO FRANCISCO DE PAULA VIANA 17 de agosto de 2014 20:31.Responder

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Adonai

Professor Associado do Departamento de Matemática da UFPR. Autor de dois livros sobre lógicapublicados no Brasil, e de dezenas de artigos publicados em periódicos especializados dematemática, física e filosofia, no Brasil e no exterior. Atualmente está trabalhando em dois projetos

cinematográficos, sendo que um deles visa uma crítica inédita às universidades federais brasileiras. Para maisdetalhes ver a página "Sobre o autor do blog".Visualizar meu perfil completo

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