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François Longin www.longin.fr ESSEC Cours FIN 260 Gestion de portefeuille Séance 7 Rappel sur les options

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ESSEC

Cours FIN 260Gestion de portefeuille

Séance 7Rappel sur les options

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Plan

• Les options Présentation des produits de base: calls et puts Fonction pay-off et fonction de profit et de perte

• Modèle binomial (temps discret) Exemple et formalisation

• Modèle de Black Scholes Merton (temps continu)• Etude des variables influençant la valeur de l’option• Sensibilités

Définition et calcul• Utilisation d’un pricer: www.longin.fr

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Options standards• Les options sont des produits dérivés.

Un produit dérivé est un produit dont la valeur est obtenue (dérivée) de la valeur d’un autre produit.

• Deux types d’options Les options d’achat (call options): le droit (mais non

l’obligation) d’acheter un actif à une date donnée (ou pendant une période donnée) à un prix donné (strike price).

Les options de vente (put options): le droit (mais non l’obligation) de vendre un actif à une date donnée (ou pendant une période donnée) à un prix donné.

• Les calls et les puts peuvent être émis (sur le marchéprimaire), exercés et achetés ou vendus (sur le marchésecondaire).

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Principales caractéristiques des options

• Caractéristiques d’un contrat d’option L’actif sous-jacent : action, panier d’actions, indice d’actions,

obligation, indice d’obligations, taux d’intérêt, matière première, produit agricole, taux de change, or, etc.

Le prix d’exercice (strike price ou strike) La maturité Le type d’exercice: européen, américain ou bermudéen Le type de livraison: physique ou cash Le prix de l’option: la prime (montant et modalités de

paiement) Exercice Internet : visiter le site d’une bourse (CME, CBOT,

Liffe, Monep, etc.) et étudier un contrat d’option.

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Le prix d’exercice

• Détermination du prix d’exercice Sur les marchés de gré à gré (over the counter ou OTC), le

prix d’exercice est fixé d’un commun accord entre les parties. Sur les marchés organisés, les bourses fixent un ensemble de

prix d’exercice pour les options cotées selon les conditions de marché (la valeur du sous-jacent à un instant donné).

Exercice Internet : visiter le site d’une bourse (CME, CBOT, Liffe, Monep, etc.) et trouver les prix d’exercice des options actuellement cotées sur les indices d’actions (SP 500, FTSE 100, CAC 40, etc.).

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Le type d’exercice• Option européenne

Une option européenne ne peut être exercée qu’à maturité. • Option américaine

Une option américaine peut être exercée à n’importe quel moment avant maturité.

Exemple: options traitées sur les marchés organisés (en général).

• Options bermudéennes Une option bermudéenne peut être exercée à certaines dates

ou sur certaines périodes avant maturité. Exemple: stock options données par les entreprises à leurs

employés.• Exercice: ranger les prix d’option selon leur type d’exercice.

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Fonction pay-off pour les options standards• La fonction pay-off donne la valeur de l’option à maturité en fonction de

le prix de l’actif sous-jacent à maturité.• Fonction pay-off pour les option standards

Pour l’acheteur d’un call:

Pour l’acheteur d’un put:

où CT et PT sont les valeurs d’un call et d’un put à maturité T, ST le prix de l’actif sous-jacent et K le prix d’exercice.

Exercice: calculer la fonction pay-off pour le vendeur d’un call et pour le vendeur d’un put.

Exercice: représenter graphiquement les fonctions pay-off pour l’acheteur et pour le vendeur dans le cas d’un call et dans le cas d’un put.

0,max KSC TT

0,max TT SKP

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Fonction pay-off pour l’acheteur d’un call

0

10

20

30

40

50

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100Valeur du sous-jacent à l'échéance S T

Val

eur

du c

all à

l'éc

héan

ce C

T

Prix d'exercice K : 50 €

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Fonction pay-off pour l’acheteur d’un put

0

10

20

30

40

50

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100Valeur du sous-jacent à l'échéance S T

Val

eur

du p

ut à

l'éc

héan

ce P

T

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Fonction de profit et de pertepour les options standards

• La fonction de profit et de perte (“profit and loss” or P&L) prend en compte le prix de l’option payé par l’acheteur au vendeur.

• Fonction de profit et de perte pour les options standards Pour l’acheteur d’un call:

Pour l’acheteur d’un put:

où C0 et P0 représentent la valeur à l’émission (date 0) du call et du put. Exercice: déterminer sous quelles conditions l’acheteur d’un call ou d’un put va

exercer son option. Exercice: calculer la fonction de profit et de perte pour le vendeur d’un call et

pour le vendeur d’un put. Exercice: déterminer la perte maximum pour l’acheteur et pour le vendeur dans

le cas d’un call et dans le cas d’un put. Exercice: représenter graphiquement les fonctions de profit et de perte pour

l’acheteur et pour le vendeur dans le cas d’un call et dans le cas d’un put.

,0,max 00 PSKPP TT

00 0,max CKSCC TT

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Fonction de profit et de perte pour un call

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Valeur du sous-jacent à l'échéance S T

Val

eur

du c

allà

l'éc

héan

ce C

T

Acheteur Vendeur

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Fonction de profit et de perte pour un put

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Valeur du sous-jacent à l'échéance S T

Val

eur

du p

ut à

l'éc

héan

ce P

T

Acheteur Vendeur

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Evaluation d’options standards• Le problème

La valeur d’une option est connue à maturité T. Elle est donnée par la fonction pay-off (à partir du contrat).

Quelle est la valeur d’une option à une date quelconque t (t T)? En particulier, quelle est la valeur de l’option à la date d’émission (t = 0)?

• L’approche classique Jusque dans les années 1970, la méthode consistait à valoriser une option en

actualisant ses flux de trésorerie anticipés avec un taux d’actualisation qui prenait en compte le risque de l’option.

Exercice: formaliser l’approche classique pour un call.• L’approche par arbitrage

Sous certaines hypothèses, une position longue dans un call (achat) est équivalente à une position longue dans l’actif sous-jacent (achat) et une position courte dans le titre sans risque (emprunt).

En l’absence d’opportunités d’arbitrage, la valeur de l’option est alors égale à la somme des valeurs de ces positions (observables sur le marché).

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Arbitrage• Stratégie d’arbitrage

Une stratégie d’arbitrage est un ensemble d’opérations financières qui permet de réaliser un profit certain (sans risque) dans le présent.

Exercice: caractériser les flux d’une stratégie d’arbitrage. Exercice: trouver des exemples d’opportunités d’arbitrage. Les stratégies

d’arbitrage permettant d’en profiter sont-elle vraiment sans risque? Exercice: quel est le lien entre les concepts d’arbitrage et d’efficience des

marchés? Quel est l’impact de l’activité d’arbitrage?• Hypothèse d’absence d’opportunités d’arbitrage (AOA)

Par définition, en l’absence d’opportunités d’arbitrage, deux stratégies (deux investissements) caractérisées par des séquences de flux identiques ont la même valeur présente.

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La relation de parité call put (1)• La relation de parité call put (action ne versant pas de dividende)

Considérons une option européenne sur une action (l’actif sous-jacent) ne versant pas de dividendes pendant la vie de l’option.

Considérons la position suivante: Une position courte dans un call européen (vente du call) avec un prix

d’exercice K et une maturité T Une position longue dans un put européen (achat du put) avec même prix

d’exercice et même maturité Une position longue dans une action (achat de l’action).

Exercice: représenter graphiquement la valeur de cette positon à la date T. Exercice: sous l’hypothèse d’absence d’opportunités d’arbitrage, déduire la

relation de parité call put:

où C0, P0 et S0 sont les valeurs du call, du put et de l’action à la date 0 et r le taux d’intérêt sans risque.

,000TreKSPC

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La relation de parité call put (2)• Analyse de la relation de parité call put

Quelque soit l’évolution future du prix de l’actif sous-jacent, la relation de parité call put est valable.

Quelque soit le processus choisi pour modéliser le prix de l’actif sous-jacent, la relation de parité call put doit être vérifiée par le modèle.

Exercice: quelle est une implication pratique de la relation de parité call put pour le travail d’un ingénieur financier?

• Utilisation pratique de la relation de parité call put Exercice: expliciter deux stratégies pour construire une position longue

dans l’action (achat d’une action). Exercice: toute choses égales par ailleurs, quel est l’impact d’une

augmentation de la volatilité de l’action sur la valeur du call et du put? Exercice: toute choses égales par ailleurs, quel est l’impact d’une

augmentation de la rentabilité anticipée de l’action sur la valeur du callet du put?

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Evaluation d’options standards• L’approche par arbitrage

Sous certaines hypothèses, une position longue dans un call (achat) est équivalente à une position longue dans l’actif sous-jacent (achat) et une position courte dans le titre sans risque (emprunt).

En l’absence d’opportunités d’arbitrage, la valeur de l’option est alors égale à la somme des valeurs de ces positions (observables sur le marché).

• Méthodes numériques La formule de Black Scholes (options européennes ne versant pas de

dividendes): modèle en temps continu La formule de Merton (options européennes versant un dividende continu):

modèle en temps continu La méthode binomiale (options américaines et européennes versant des

dividendes discrets): modèle en temps discret La méthode de simulation de Monte Carlo (options européennes ne versant

pas de dividendes): modèle en temps discret Point important en modélisation: choix du processus de prix

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Processus de prix de l’actif sous-jacent• Modèle en temps discret

Exemple: modèle à 1 période et 2 états La valeur de l’actif sous-jacent à la date 0 est égal à S. La valeur de l’actif sous-jacent à la date 1 est égal à u·S avec une

probabilité p et d·S avec une probabilité 1-p.• Modèle en temps continu

Exemple: mouvement brownien

Exercice: simuler à l’aide d’un tableur la trajectoire d’un mouvement brownien.

tt

t dWdtSdS

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La méthode binomiale: exemple• Processus de prix

Le prix de l’action à la date 0 est égal à 50 €. Le prix de l’action à la date 1 est égal à 25 € ou 100 €. Le taux sans risque est égal à 25% (taux prêteur ou emprunteur). Considérons une option sur une action avec un prix d’exercice de 50 € et

expirant à la date 1 (au bout d’une unité de temps). Exercice: calculer la valeur de l’option à maturité (date 1).

• Quel est le prix de l’option à la date 0? Considérons la position suivante:

Une position courte dans 3 calls Une position longue dans 2 actions Un emprunt de 40 €

Exercice: calculer la valeur de cette position à la date 1. En déduire la valeur de cette position à la date 0. En déduire la valeur du call à la date 0.

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La méthode binomiale: hypothèses du modèle• Modèle à 1 période et 2 états

La valeur de l’actif sous-jacent à la date 0 est égal à S. La valeur de l’actif sous-jacent à la date 1 est égal à u·S avec une

probabilité p et d·S avec une probabilité 1-p. Le taux d’intérêt sans risque est noté r (taux prêteur ou emprunteur). Hypothèse: d < r < u. Exercice: commenter l’hypothèse ci-dessus. Le marché est parfait (ni impôts, ni taxes, pas de coût de transaction,

atomicité des acteurs, etc.) Considérons une option sur une action de prix d’exercice K et expirant à

la date 1 (au bout d’une unité de temps). Exercice: calculer la valeur de l’option à la date 1.

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Méthode binomiale: portefeuille de couverture• Définition

Le portefeuille de couverture (hedge portfolio) est un portefeuille composé de l’actif sous-jacent (acheté ou vendu) et de l’actif sans risque (prêt ou emprunt) permettant de reproduire l’option quelque soit le prix futur de l’actif sous-jacent.

• Construction du portefeuille de couverture Position longue dans l’action: achat de actions Position courte dans l’actif sans risque: emprunt d’un montant B sur une

période Exercice: représenter sous la forme d’arbre l’évolution temporelle du

prix de l’action, du call et du portefeuille de couverture. Exercice: calculer les valeurs de et de B telles que la valeur du

portefeuille de couverture correspond à la valeur du call à maturitéquelque soit le prix de l’action.

Exercice: en déduire la valeur du call à l’émission (date 0).

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Méthode binomiale: valeur de l’option (1)• Expression de la valeur de l’option

Exercice: montrer que la valeur du call peut s’écrire

Exercice: exprimer le paramètre p comme une fonction des autres variables et montrer qu’il a la propriété d’une probabilité.

Exercice: trouver quel paramètre n’apparaît pas dans la formule donnant la valeur de l’option.

Exercice: déterminer la valeur du paramètre q si les investisseurs sont neutres au risque?

r

CpCpC du

1

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Méthode binomiale: valeur de l’option (2)• La probabilité historique q n’apparaît pas dans la valeur du call.

Deux investisseurs avec des anticipations différentes du prix futur de l’action (différentes valeurs pour p) seront d’accord sur le même valeur du call.

• La valeur du call ne dépend pas de l’attitude des investisseurs face au risque. Deux investisseurs avec des degrés d’aversion au risque différents seront

d’accord sur le même valeur du call.• La valeur du call est calculée comme si les investisseurs étaient neutres

au risque. La valeur du call dépend seulement du prix de l’action et non d’autres

variables aléatoires. Le call est équivalent à un portefeuille composé d’une position longue

sur l’actif sous-jacent (achat d’actions) et d’une position courte sur l’actif sans risque (emprunt). L’acheteur d’un call s’endette pour acheter des action (effet de levier de la dette ou leverage position).

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Méthode binomiale: extension du modèle• Modèle à 2 périodes et 3 états

Exercice: représenter sous la forme d’arbre l’évolution temporelle du prix de l’action, du call et du portefeuille de couverture.

Exercice: calculer la valeur du call à sa date d’émission (date 0) en effectuant un raisonnement d’arbitrage.

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Méthode binomiale: avantages et inconvénients• Avantage: flexibilité

Possibilité d’utiliser des processus complexes pour décrire l’évolution temporelle de l’actif sous-jacent

Possibilité de prendre en compte les dividendes (de façon discrète ou continue)

Possibilité d’évaluer des options de n’importe quel type (européen, bermudéen et américain)

• Inconvénient Temps de calcul élevé pour certains produits

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Le modèle de Black Scholes Merton• Première approche: limite du cas discret

La formule de Black Scholes Merton peut être obtenue comme la limite de la formule donnée par la méthode binomiale quand le nombre de période croît vers l’infini (passage du modèle en temps discret au modèle en temps continu).

• Deuxième approche: résolution du problème en temps continu Résolution d’une équation aux dérivées partielle (EDP) similaire à

l’équation de diffusion de la chaleur en physique.

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La formule de Black Scholes Merton• Formule pour un call

Le prix d’un call européen de prix d’exercice K et de maturité T à la date t est donné par:

où ln représente le logarithme népérien et N la distribution cumulée de la loi normale (loi de Gauss).

• Formule pour un put

21 dNeK-dNS=C t-T-rtt

t-T

t-T2

+r+KS

=d

2

ln

1t-T-d=d 12

21 dNeKdNS=P tT-rtt

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Modèle de Black Scholes Merton: valeur du call

0

10

20

30

40

50

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100Valeur du sous-jacent

Val

eur

du ca

ll

Valeur minimale Valeur à l'émission

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Modèle de Black Scholes Merton: valeur du put

0

10

20

30

40

50

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100Valeur de l'actif sous-jacent

Val

eur

du p

ut

Valeur minimale Valeur à l'émission

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Modèle de Black Scholes Merton:portefeuille de couverture

• Décomposition du portefeuille de couverture Exercice: montrer à partir de la formule de Black-Scholes-Merton que le

portefeuille de couverture peut s’écrire comme suit:

• Interprétation Cette expression montre qu’un call peut être décomposé comme une

position longue sur l’actif sous-jacent (achat de actions) et une position courte dans l’actif sans risque (emprunt d’un montant B).

ttt BS=C

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Facteurs influençant la valeur de l’option• Le prix de l’actif sous-jacent• Le prix d’exercice• La maturité de l’option• Le type d’exercice de l’option• Le taux d’intérêt sans risque• Les dividendes futurs• La volatilité du prix de l’actif sous-jacent

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Définition des sensibilités (les Grecques)• Sensibilité au prix de l’actif sous-jacent: le delta et le gamma

Le delta et le gamma représentent la première et la deuxième dérivée de la valeur du call par rapport au prix de l’actif sous-jacent.

• Sensibilité au taux sans risque: le rho

• Sensibilité à la volatilité du prix de l’actif sous-jacent: le vega

• Sensibilité au passage du temps: le theta

SC

SC

2

2

rC

C

tC

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Calcul des sensibilités• Modèle de Black Scholes Merton (temps continu)

Les sensibilités de la valeur du call aux différentes variables et paramètres du modèle peuvent être calculées analytiquement.

• Méthode binomial et méthode de simulation de Monte Carlo (temps discret) Les sensibilités de la valeur du call aux différentes variables et

paramètres du modèle sont calculées par différence finie. La valeur de l’option est recalculée en changeant la variable par

rapport à la quelle on calcule la sensibilité. Exemple: calcul du delta:

où correspond à une petite variation du prix de l’actif sous-jacent.

tt SCSC

SC