Essendo le materie scientifiche e tecniche la linfa vitale per noi “periti elettrotecnici”, non possiamo fare a meno di utilizzare quel linguaggio universale, che normalmentechiamiamo matematica, per esprimere e capire a fondo le varie problematiche che quotidianamente siamo costretti ad affrontare.

Una di queste problematiche è proprio il comportamento del motore a corrente continua: Al fine di capirne e ricrearne, attraverso un linguaggio rigoroso, il funzionamento sia quando non è applicato ad esso alcun carico e sotto-carico, sia a regime, è necessario:

DETERMINARE E STUDIARE IL MODELLO MATEMATICO

Tale modello è quindi la descrizione della nostra macchina elettrica dal punto di vista matematico. Il percorso logico che abbiamo seguito è il seguente:

1)Rappresentazione del motore a c.c. dal punto di vista elettrico

2) Analogia meccanica

3) Formulazione delle equazioni che ne derivano

4) Applicazione della trasformata di Laplace

5) Costruzione dello schema a blocchi

6) Analisi a regime in assenza di una coppia resistente

7) Analisi a regime con carico applicato al motore

8) Grafici con MatLab che ne descrivono il comportamento

ga

aaaa edt

diLiRV

Rappresentazione del motore a c.c. dal punto di vista elettrico

Va: forza elettro-motrice,

variabile d’ingresso

Ra: resistenza elettrica degli

avvolgimenti del motore

La: induttanza (energia

conservativa) degli avvolgimenti,è quella che si oppone alle variazioni della corrente.

eg: forza contro-elettromotrice, è

legata alla velocità di rotazione ω

ia: corrente che assorbe il motore

(la stessa che attraversa gli avvolgimenti).

Applicando al circuito in figura il secondo principio di Kirkhoff otteniamo l’equazione:

Dalla prima legge di Ohm sappiamo che:

rappresenta la caduta di tensione che si ha su una resistenza R.

rappresenta la variazione di tensione ai

capi di un’induttanza.

ga

aaaa edt

diLiRV

dt

diL a

a

aa iR

ANALOGIA MECCANICA

tm: coppia motrice

B: coefficiente di attrito

J: inerzia

tr: coppia resistente

rm tdtd

JBt

Sfruttando l’analogia tra grandezze meccaniche ed elettriche, si ottiene:

ω : velocità angolare del motore

APPLICHIAMO LA TRASFORMATA DI LAPLACE

Trovare le soluzioni di un’equazione differenziale non è sempre facile. In alcuni casi si può utilizzare la “trasformata di Laplace”, ossia:un operatore che trasforma una funzione della variabile reale (y = f(x)) in una funzione della variabile complessa (y = F(s)).Praticamente questo operatore trasforma l’equazione differenzialein un’equazione algebrica facilmente risolvibile L: f(x) F(s)

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

)()(

sTtt

sEte

sTtt

st

sIti

sVtV

rr

gg

mm

aa

aa

ke

ikt

g

atm

rm tdtd

JBt

ga

aaaa edt

diLiRV

Sostituendo le variabili in funzione di s nelle nostre equazioni abbiamo:

rm TJsBT

gaaaaa EILsIRV

atm IkT

kE g

SCHEMA A BLOCCHI

Per ricavare lo schema a blocchi iniziamo a ricavare Ia da questa formula:

E ricordando che Possiamo disegnare la prima parte dello schema:

Come possiamo notare, l’uscita del blocco kt è tm e quindi …

gaaaaa EILsIRV aLsaRaIgEaV

gaaa

a EVLsR

I

1 atm IkT

Ricordando che:

e ricavando da tale formula Ω abbiamo:

In questa formula compare Tm, che

sottratta a Tr e moltiplicata per la f. di

trasferimento dà la velocità Ω. Quindi aggiungendo lo schema a blocchi precedentemente illustrato a quello che si ricava da questa formula otteniamo:

rm TJsBT

rm TTJsB

1

Inserendo nello schema a blocchi la formula:

Otteniamo lo schema a blocchi finale del Motore C.C.

kE g

ANALISI A REGIME Con coppia resistente

Facendo trascorrere molto tempo, in modo tale che i sistemi in regimi transitori siano sicuramente esauriti, abbiamo:

t ∞ slim f(t) = lim F(s) = F(s = 0)

0

0rT

Ponendo s = 0, lo schema a blocchi del motore a regime con sarà il seguente:

La velocità Ω in questo caso sarà:

0rT

ata

ta

a

t

a

t

VkkBR

kV

BR

kkBR

k

1

LA CARATTERISTICA DEL MOTORE C.C.

Grafico coppia – velocità

Dalle relazioni a sinistra possiamo ricavare l’equazione della retta

Da qui ricaviamo le intersezioni con gli assi

Quando Ω = 0

Quando Tm = 0Riportando questi valori sul grafico otteniamo …

kE

R

EVI

IkT

g

a

gaa

atm

a

atm R

kVkT

a

t

a

atm R

kk

R

VkT

a

atm R

IkT

k

Va

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10Caratteristica statica coppia - velocità

omega [rad/s]

Tm

[N

m]

Punto di lavoro statico

Caratteristica di funzionamento statico

Coppia resistente

Nel grafico che segue,infine, riportiamo la corrente assorbita dal motore e la variazione della velocità nel tempo.Notiamo che all’inizio la corrente è molto elevata(questa è detta corrente di spunto), nello stesso tempo vediamo che la curva della velocità sale molto più lentamente della corrente (essendo la sua costantedi tempo una costante meccanica). Dopo la fase transitoria, quando interviene una coppia frenante, vediamo che la velocità diminuisce e la coppia aumenta. Tutto ciò viene svolto autonomamente dal motore.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

10

20

30

40

50

60

70

80Velocità angolare - Corrente assorbita

Tempo [s]

omeg

a [r

ad/s

] -

Ia [

A]

Corrente di spunto

Transitorio di velocità Effetto di una coppia frenante

Ringraziamo i docenti responsabili del “Progetto Lauree Scientifiche”:

Prof.ssa Rossella Fatatis

Prof.re Antonio Barbato

Un ringraziamento particolare va al prof. Antonio Palumbo per la sua supervisione del lavoro da noi svolto