Lic.Mgr.ManuelTuestaMoreno

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA AMAZONA PERUANAFACULTAD DE INGENIERA DE SISTEMAS E INFORMTICA

ESTADSTICA Y PROBABILIDAD 1

Lic. Mgr. MANUEL TUESTA MORENODOCENTE FISI - UNAP

MISCELNEASVARIABLE ALEATORIA DISCRETA Y CONTINUA

UNA Y DOS VARIABLES

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1. Una urna contiene 6 bolas numeradasde uno a seis. Se extraen al azar dosbolas, una despus de otra conreposicin. Sea el menor de los dosnmeros obtenidos.a. Encuentre la funcin de probabilidadde .b. A partir de la funcin de distribucinacumulada de , calcular .

; , , , , ,

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2. Sea (X,Y) una variable aleatoriabidimensional continua con funcinde densidad conjunta:

, ; , ;

a. Hallar la densidades marginales de.

b. Son independientes?

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3. La funcin de distribucin de lavariable aleatoria X esta dado por:

;

. ; . ; ;

Determinar:a) . . .b) La distribucin de probabilidad(funcin de cuanta) de .

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4. Un experimento consiste en lanzar dosbolas en cuatro cajas de tal manera quecada bola tiene igual probabilidad decaer en cualquier caja. Si denota elnmero de bolas en la primera caja.

a. cul es la funcin de probabilidad?b. Hallar la media y la varianza de .

x 0 1 2

p(x) 0.5625 0.375 0.0625

Ra)

Rb) ; 5

5. La funcin de densidad de lavariable aleatoria es:

;

; a. Si se obtienen dos valores de . cul

es la probabilidad que ambos seanmayores que uno?

b. Si se obtienen tres valores de . cules la probabilidad que precisamentedos de ellos sean mayores que uno?

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6. Una empresa saca al mercado cadasbado un nuevo producto cuyademanda semanal (en miles deunidades) es una variable aleatoria Dcon funcin de probabilidad:

! ; , ,

a. Calcular el valor de y la demandaesperada del producto.

;

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b. El costo de produccin semanal tieneun costo base fijo de $5000 y un costovariable de $1 por unidad producida. Laempresa recibe $8 por unidad vendida, loque no se vende durante la semana sedescarta sin prdida alguna. Calcular laganancia esperada de la empresa si cadasemana produce 2000 nuevas unidades.c. Cuntas unidades debera producir laempresa para maximizar su gananciaesperada? Utilice slo valores de lademanda.

$ ; ;

7. El nmero de das requeridos para laterminacin de un proyecto deconstruccin se denota por y seconsidera como una variablealeatoria con la distribucinsiguiente:

X 10 11 12 13 14p(x) 0.2 0.3 0.3 0.1 0.1

y ; ..El beneficio de la contratista es

.Hallar la distribucin de probabilidadde . 9

8. Una urna contiene cuatro bolasrojas, seis negras, ocho verdes y dosblancas. Se saca una bola de la urna.Si sta es roja usted gana 30 soles y sies negra usted gana 20 soles. Cuntodebera pagar usted si saca una bolaverde y cuanto, si saca una bola blancapara que el juego fuera equitativo?Adems si saca una bola verde ustedpaga la cuarta parte de lo que pagacuando saca una bola blanca.

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9. Un actuario, que es un estadsticoempleado por una compaa deseguros, determina las primas deseguro que la compaa debe cobrarpor determinada proteccin.Considere el problema de determinarla prima anual para un seguro dedaos de automvil de 20000 soles.La pliza cubre un tipo de eventos(siniestros) que por experienciapasada se sabe que ocurren a tres decada 5000 automovilistas cada ao.

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10.Sea una variable aleatoria confuncin de densidad

; .

Calcular:a. La medianab. La modac. El momento de orden 3 alrededor

de la media.

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11. Supongamos que el jugador A tiene dos monedas yel jugador B tiene una moneda. Se lanza una moneda. Sisale cara, el jugador A recibe una moneda de B, si salesello B recibe una moneda de A. Se contina lanzando lamoneda, independientemente hasta que uno de ellostiene las tres monedas. Si X denota el nmero de juegosrequeridos hasta que finalice el juego.a. CuleslafuncindeprobabilidaddeX?b. EncuentrelamediaylavarianzadeXc. CuleslaprobabilidadqueBganeeljuego?

R.a.P[X=j]=(1/2)j,j=1,2,R.b. =2,2 =2R.c.1/3

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12. La cantidad de dinero ahorrada, aleatoria, por unapersona en un mes, sigue la ley de probabilidad dada por lafuncin de distribucin acumulada.

6 xsi 1,6x3 si ,18

123)-x(91

3x2 si ,183)2

x-4x(91

2x23 si ,18

15)2x-x2

5(94

23x1 si ,6

1)2x

2x(9

41x0 si x),2

x(91

0 xsi 0,

F(x)2

2

2

2donde x viene expresadaen miles de solesa)Determinarlaprobabilidaddeque,enunmes,lacantidaddedineroahorradaseasuperiora2000soles.b)Hallarelpromediodedineroahorradoenunmes.

R.a.0.5R.b.2500soles

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13. La ganancia de un distribuidor en unidadesde $5000 en un automvil nuevo es unavariable aleatoria X que tiene la funcin dedensidad:

caso. otrocualquier en ,0

10 x),-2(1(x)f xa. Encuentrelavarianzadelagananciadel

distribuidor.b. DemuestrequeladesigualdaddeChebyshev

esvalidaparak=2conlafuncindedensidadanterior.

c. Culeslaprobabilidaddequelagananciaexceda$500? 15

14. Considere la siguiente funcin de densidadde probabilidad conjunta de las variablesaleatoria X y Y:

caso. otrocualquier en ,02y1 3,x1 ,9

y-3x)y,(xf

a. EncuentrelasdistribucionesmarginalesdeXyY.

b. sonindependientesXyY?c. EncuentreP(X>2).

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Teorema: (Teorema de Chebyshev). Sea X unavariable aleatoria y g una funcin real tal queg(x) 0, xR, entonces

0k ,kE[g(x)] k] P[g(x)

Teorema: (Desigualdad de Markov). Si X es unavariable aleatoria no negativa, esto es, P[x 0] =1. Entonces para cualquier nmero a > 0. setiene

aE[x] a]P[x

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Teorema:(DesigualdaddeChebyshev).SiXesunavariablealeatoriaconmediaE[x]=(finita)yvarianzaVar[x]=20,

22 k1]k|-xP[| k

Var[x] k]|xP[|

15. Supongamos que x es una variable aleatoriacon media y varianza ambos iguales a 20. qupuede decirse acerca de P[0 x 40]?

R.p19/2018

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16. De experiencias pasadas un profesor conoceque los puntajes de los estudiantes despusdel examen final es una variable aleatoria conmedia 75.

a. Darunacotasuperiorparalaprobabilidaddequeelpuntajedeunestudianteexcedera85.

b. Supongamosadicionalmentequeelprofesorconocequelasvarianzasdelospuntajesdelosestudiantesesiguala25.qupuededecirsedelaprobabilidaddequeunestudiantetengapuntajeentre65y85?

R.a.15/17 R.b.p19