8/16/2019 ¿Está cerca el final de la humanidad? (2)
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90 INVESTIGACIÓN Y CIENCIA, marzo 2016
Juegos matemáticos
¿Está cerca el inalde la humanidad? (2)
E n mi última columna consideramosun argumento cuya conclusión
resul-taba sorprendente: que, solo por aprendercuántas personas han
nacido antes queusted, su nivel de creencia en que la hu-manidad se
extinguirá pronto debería ser
bastante mayor que su nivel de creencia
[véase -dad?», por A. Pérez Carballo; -
, diciembre de 2015].Recordemos brevemente lo que dedu-
jimos entonces. Llamemos M al númerode seres humanos que habrán
existido una
m al número de seres humanos nacidos antesque usted. La
hipótesis pesimista, H p , es elenunciado según el cual m
corresponde al95 por ciento de M . Si H p fuese verdade-
ocurrirá «pronto», pues la gran mayoríade los seres humanos
habría nacido ya. Porsu parte, la hipótesis optimista, H o que m
tan solo representa el 5 por cientode M . Si fuese cierta, querría
decir que lainmensa mayoría de los seres humanosestá aún por
nacer.
Supongamos que la función de pro- babilidad P corresponde a su
función decreencia antes de aprender cuánto valem . En otras
palabras, si X es un enuncia-do cualquiera, P ( X ) nos dice qué
nivel decreencia asigna usted a la posibilidad deque X sea cierto
antes de saber cuántaspersonas nacieron antes que usted. Lla-memos
M j número total de seres humanos pasados
y futuros es j , y, para cada i j , llamemos E i usted han
nacido i personas.
Con cifras concretas a modo de ejem-plo, el argumento de la
columna anteriornos permitía concluir lo siguiente. Supon-gamos
que, antes de saber cuántos sereshumanos han nacido hasta ahora,
ustedconsidera igual de probables los enuncia-dos M 60·109 (que M
valga 60.000 millones)
y M 1,14·1012 (que M valga 1,14 billones). Ade-más, se halla
convencido de que una deestas dos hipótesis es cierta, por lo
queasigna a cada una de ellas un nivel decreencia de 0,5. Si ahora
alguien le ase-gurase que antes que usted han nacido57.000 millones
de personas ( E
57·109), su
nivel de creencia en M 60·109 debería aumen-tar... ¡hasta
0,95!
La razón para llegar a esta conclusiónera similar al argumento
que nos diceque, por ejemplo, es más probable extraerel número 7 de
una pila que contiene 10
boletos (numerados del 1 al 10) que de
una que contiene 100 (numerados del 1al 100). Sin embargo, no
deja de resultarextraño que, solo por saber cuántas per-sonas
nacieron antes que usted, resulteposible extraer tales conclusiones
sobreel tamaño total de la humanidad.
Un argumento más generalUna respuesta natural es que nuestro
ra-zonamiento depende de algunos supues-
las dos únicas hipótesis sobre el valor de
M son 60·109 y 1,14·1012. Sin embargo, nohace falta partir de
dicho supuesto parallegar a la misma conclusión.
Para verlo, observemos primero quesu nivel de creencia en el
enunciado E i
nacido i personas) bajo la hipótesis M j
(según la cual M = j ) debería ser igual a1/ j . Es decir, para
todo i j :
(1) P ( E i | M j ) = 1/ j .
Ello se debe a que su posición exactaen la historia de la
humanidad es, a efec-tos prácticos, aleatoria: dado el númerototal
j de personas pasadas y futuras, nohay ninguna razón para pensar
que seamás probable haber nacido en una posi-ción que en otra.
Supongamos además que usted sabeque M ha de ser menor que un
número K dado. K puede ser tan grande como de-seemos: tal vez el
número de átomos queexisten en el universo multiplicado por elde
segundos que pasarán antes de que -
ciones más optimistas de la física teórica.Da igual. Lo único
importante es que M
sea menor que algún número K . Este su-puesto corresponde a la
siguiente propie-dad de nuestra función de creencia P :
(2)
Por último, supongamos que, antes deaprender el valor de m ,
cada una de las hi-pótesis M j con j K le resultan
igualmenteprobables; es decir, que para todo j , k K :
(3) P ( M j ) = P ( M k) .
¿Qué sucede antes de aprender cuán-tos seres humanos han nacido
antes queusted? Notemos primero que, antes deaprender E i, la
hipótesis optimista equi-
vale al siguiente enunciado (donde, porsimplicidad y sin pérdida
de generalidad,supondremos que K es múltiplo de 20):
( E 1& M 20) ( E 2& M 40) ... ( E K /20& M K ).
Por su parte, la hipótesis pesimista equi- vale a:
( E 19& M 20) ( E 38& M 40) ... ( E 19 K /20& M K )
.
-dad condicionada y de los supuestos (1),
Alejandro Pérez Carballoes profesor delosofíaen la Universidad
de Massachusetts en Amherst.
j =1
K
P ( M 1 M 2 ... M K ) =∑ P ( M j )= 1 .
