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Descriptiva y probabilidades
UTPL
Julio del 2007
Ing. Segundo Benítez Hurtado
Estadística
Contenido:
• Distribuciones discretas
•Binomial
•Poisson
• Distribuciones continuas
• Normal
• Estimadores
•Intervalos de confianza
• Hipótesis
Distribución Binomial
La distribución de Bernouiili se aplica cuando se realiza una sola vez un experimento que tiene únicamente dos posibles resultados (éxito o fracaso), por lo que la variable sólo puede tomar dos valores: el 1 y el 0
La distribución binomial se aplica cuando se realizan un número"n" de veces el experimento de Bernouiili, siendo cada ensayo independiente del anterior. La variable puede tomar valores entre
Distribución Binomial
Ejemplo 1: ¿Cuál es la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda 10 veces? " k " es el número de aciertos. En este ejemplo
" k " igual a 6 (en cada acierto decíamos que la variable toma el valor 1: como son 6 aciertos, entonces k = 6)
" n" es el número de ensayos. En nuestro ejemplo son 10
" p " es la probabilidad de éxito, es decir, que salga "cara" al lanzar la moneda. Por lo tanto p = 0,5
Distribución Poisson
Cuando en una distribución binomial se realiza el experimento un número "n" muy elevado de veces y la probabilidad de éxito "p" en cada ensayo es reducida, entonces se aplica el modelo de distribución de Poisson:
Se tiene que cumplir que: " p " < 0,10 " p * n " < 10
Distribución Poisson
La distribución de Poisson sigue el siguiente modelo:
Vamos a explicarla: El número "e" es 2,71828 " l " = n * p (es decir, el número de veces " n "
que se realiza el experimento multiplicado por la probabilidad " p " de éxito en cada ensayo)
" k " es el número de éxito cuya probabilidad se está calculando
Distribución Poisson
La probabilidad de que un niño nazca pelirrojo es de 0,012. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 800 recien nacidos haya 5 pelirrojos?
Luego, P (x = 5) = 4,602 Por lo tanto, la probabilidad de que haya 5
pelirrojos entre 800 recien nacidos es del 4,6%.
Distribución Normal
Distribución Normal
El salario medio de los empleados de una empresa se distribuye según una distribución normal, con media 5 mil USD. y desviación estándar mil USD. Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de ptas.
valor = 0,97725
Intervalos de confianzaun intervalo de confianza es un rango de
valores (calculado en una muestra) en el cual se encuentra el verdadero valor del parámetro, con una probabilidad determinada.
La probabilidad de que el verdadero valor del parámetro se encuentre en el intervalo construido se denomina nivel de confianza
Distribución muestral
Consideremos todas las posibles muestras de tamaño n en una población. Para cada muestra podemos calcular un estadístico (media, desviación típica, proporción,...) que variará de una a otra. Así obtenemos una distribución del estadístico que se llama distribución muestral.
Y la media de todas las distrubuciones muestrales se denomina media muestral
Hipótesis
Tratar de determinar cuándo es razonable concluir, a partir del análisis de una muestra, que la población entera posee determinada propiedad y cuando ésto no es razonable.
Tipos de error
Rechazar una hipótesis no significa que ésta sea falsa, como tampoco el no rechazarla significa que sea verdadera. La decisión tomada no esta libre de error.
Error I: Rechazar una hipótesis que es verdadera .
Error II: No rechazar una hipótesis que es falsa .
Tipos
La prueba de hipótesis es un procedimiento de toma de decisiones, relacionada principalmente con la elección de una acción entre dos conjuntos posibles de valores del parámetro, es decir, en dos hipótesis estadísticas, a las cuales llamaremos:
Hipótesis nula H0 Hipótesis alternativa H1
Hipótesis nula corresponde a la ausencia de una modificación en la variable investigada, y por lo tanto se especifica de una forma exacta:
H0 : = 0 Hipótesis alternativa se especifica de manera
más general :
H1: 0 H1: > 0 H1: < 0.
Errores y riesgos
La práctica de probar la hipótesis nula contra una alternativa, sobre la base de la información de la muestra, conduce a dos tipos posibles de error, debido a fluctuaciones al azar en el muestreo. Es posible que la hipótesis nula sea verdadera pero rechazada debido a que los datos obtenidos en la muestra sean incompatibles con ella; como puede ocurrir que la hipótesis nula sea falsa pero no se la rechace debido a que la muestra obtenida no fuese incompatible con ella.
Errores
Ho Ho
Rechazar Ho Incorrecto error I
Correcto
No Rechazar Ho
Correcto Incorrecto error II
PRUEBA SIGNIFICATIVA
Las probabilidades de cometer errores de tipo I y II se consideran los "riesgos" de decisiones incorrectas.
Al realizar la prueba se toma en cuenta el error de tipo I. Por lo tanto, la prueba es significativa si se rechaza la hipótesis nula, pues en este caso se conoce la probabilidad de haber cometido un error.
Valor p
“p” es la Probabilidad de obtener una discrepancia mayor o igual que la observada en la muestra n cuando Ho es cierta
El valor de “p” no se fija a priori, sino que se determina a partir de la muestra
A menor valor de “p” , menor es la credibilidad de Ho
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