La probabilidad

La probabilidad es un método por el cual se obtiene la frecuencia de un acontecimiento determinado mediante la realización de un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables.

La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, las ciencias y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad discreta de sucesos potenciales y la mecánica subyacente discreta de sistemas complejos, por lo tanto es la rama de las matemáticas que estudia, mide o determina a los experimentos o fenómenos aleatorios

Experimento aleatorio

En teoría de la probabilidad un experimento aleatorio es aquel que bajo el mismo conjunto aparente de condiciones iniciales, puede presentar resultados diferentes, es decir, no se puede predecir o reproducir el resultado exacto de cada experiencia particular. (Ej: Lanzamiento de un dado).

Este tipo de fenómeno es opuesto al fenómeno determinista, en el que conocer todos los factores de un experimento nos hace predecir exactamente el resultado del mismo. Por ejemplo, conociendo la altura desde la que se arroja un móvil es posible saber exactamente el tiempo que tardará en llegar al suelo en condiciones de vacío

Espacio muestral

En la teoría de probabilidades, el espacio muestral o espacio de muestreo (denotado E, S, Ω o U) consiste en el conjunto de todos los posibles resultados individuales de un experimento aleatorio.

Por ejemplo, si el experimento consiste en lanzar dos monedas, el espacio de muestreo es el conjunto {(cara, cara), (cara, cruz), (cruz, cara) y (cruz, cruz)}. Un evento o suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral con estructura de σ-álgebra,1 llamándose a los sucesos que contengan un único elemento sucesos elementales. En el ejemplo, el suceso "sacar cara en el primer lanzamiento", o {(cara, cara), (cara, cruz)}, estaría formado por los sucesos elementales {(cara, cara)} y {(cara, cruz)}.

Para algunos tipos de experimento puede haber dos o más espacios de muestreo posibles. Por ejemplo, cuando se toma una carta de un mazo normal de 52 cartas, una posibilidad del espacio de muestreo podría ser el número (del as al rey), mientras que otra posibilidad sería el

palo (diamantes, tréboles, corazones y picas). Una descripción completa de los resultados, sin embargo, especificaría ambos valores, número y palo, y se podría construir un espacio de muestreo que describiese cada carta individual como el producto cartesiano de los dos espacios de muestreo descritos.

Los espacios de muestreo aparecen de forma natural en una aproximación elemental a la probabilidad, pero son también importantes en espacios de probabilidad. Un espacio de probabilidad (Ω, F, P) incorpora un espacio de muestreo de resultados, Ω, pero define un conjunto de sucesos de interés, la σ-álgebra F, por la cuál se define la medida de probabilidad P.

Compuesto

Un experimento, en estadística, es cualquier proceso que proporciona datos, numéricos o no numéricos.

Un conjunto cuyos elementos representan todos los posibles resultados de un experimento se llama espacio muestral y se representa como S. El espacio muestral de un experimento siempre existe y no es necesariamente único pues, dependiendo de nuestra valoración de los resultados, podemos construir diferentes espacios muestrales.

Los elementos del espacio muestral se llaman puntos muestrales y son los distintos resultados del experimento.

Si consideramos el conjunto de las partes de (P(S)) sus elementos son los sucesos. Un suceso, por tanto, es un subconjunto del espacio muestral.

Existen dos tipos de sucesos:

· Sucesos simples, que son aquellos que comprenden un sólo punto muestral.

· Sucesos compuestos, que son los que engloban más de un punto del espacio muestral. Todo suceso compuesto se puede considerar como unión de puntos del espacio muestral o unión de sucesos simples.

EVENTO

Un evento o suceso es un subconjunto de un espacio muestral, es decir, un conjunto de posibles resultados que se pueden dar en un experimento aleatorio.

Tipos de eventos

Evento o suceso elemental: Un suceso o evento elemental es un subconjunto del espacio muestral que contiene un único elemento.

Ejemplos de espacios muestrales y sucesos elementales:

Si se trata de contar objetos y el espacio muestral S = {0, 1, 2, 3, ...} (los números naturales), entonces los sucesos elementales son cada uno de los conjuntos {k}, donde k ∈ N.

Si se lanza una moneda dos veces, S = {cc, cs, sc, ss}, donde (c representa "sale cara" y s, "sale cruz"), los sucesos elementales son {cc}, {cs}, {sc} y {ss}.

Si X es una variable aleatoria normalmente distribuida, S = (-∞, +∞), los números reales, los sucesos elementales son todos los conjuntos {x}, donde x ∈ .

Los sucesos elementales pueden tener probabilidades que son estrictamente mayores que cero, cero, no definidas o cualquier combinación de estas. Por ejemplo, la probabilidad de cualquier variable aleatoria discreta está determinada por las probabilidades asignadas a los sucesos elementales del experimento que determina la variable. Por otra parte, cualquier suceso elemental tiene probabilidad cero en cualquier variable aleatoria continua. Existen distribuciones mixtas que no son completamente continuas, ni completamente discretas, entre las que pueden darse ambas situaciones.

Selección aleatoria

La selección aleatoria es el proceso de selección de un grupo de individuos a partir de un grupo mayor de participantes en un estudio. Cada persona tiene la misma oportunidad de ser seleccionado, lo que permite que cada uno tenga la misma oportunidad de participar. Este es un ejemplo de selección al azar:

Un investigador selecciona 200 nombres de una lista de 50,000 mujeres latinas poniéndolos en un sombrero. Anota cada nombre en una hoja hasta llegar a 200. Este procedimiento de selección al azar también puede hacerse con programas especiales en la computadora. Probablemente se usaría un programa en caso de que tuvieran que elegir cientos de participantes al azar.

TIPOS DE EVENTOS

eventos mutuamente excluyentes y eventos no excluyentes

Los eventos son mutuamente excluyentes si sólo uno de ellos puede ocurrir cuando realizamos una prueba”. Pero cuando pueden ocurrir dos o más eventos al realizar una prueba cabe decir que son eventos no excluyentes. Pensemos en el ejemplo de la baraja inglesa y en los siguientes eventos:

Eventos no excluyentes

Sacar un 5 y una carta de espadas. Son eventos no excluyentes pues podemos tomar un 5 de espadas.

Sacar una carta roja y una carta de corazones. Son eventos no excluyentes pues las cartas de corazones son uno de los palos rojos.

Sacar un 9 y una carta negra. Son eventos no excluyentes pues podemos tomar el 9 de espadas o el 9 de tréboles.

Para los tres ejemplos es posible encontrar por lo menos una carta que hace posible que los dos eventos ocurran a la vez.

Eventos mutuamente excluyentes

Sacar una carta de corazones y una carta de espadas. Son eventos mutuamente excluyentes, las cartas o son de corazones o son de espadas.

Sacar una carta numerada y una carta de letras. Son eventos mutuamente excluyentes, las cartas o son numeradas o son cartas con letra.

Sacar una carta de tréboles roja. Son eventos mutuamente excluyentes pues las cartas de tréboles son exclusivamente negras.

No es posible encontrar una sola carta que haga posible que los eventos sucedan a la vez.

Eventos Independientes y Dependientes

Eventos Independientes

Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos). Un caso típico de eventos independiente es el muestreo con reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la población donde se obtuvo.

Ejemplo:

lanzar al aire dos veces una moneda son eventos independientes por que el resultado del primer evento no afecta sobre las probabilidades efectivas de que ocurra cara o sello, en el segundo lanzamiento.

Eventos dependientes

Dos o más eventos serán dependientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (o otros). Cuando tenemos este caso, empleamos entonces, el concepto de probabilidad condicional para denominar la probabilidad del evento relacionado. La expresión P(A|B) indica la probabilidad de ocurrencia del evento A sí el evento B ya ocurrió.

Se debe tener claro que A|B no es una fracción.

Parámetros estadísticos

En estadística, un parámetro es un número que resume la gran cantidad de datos que pueden derivarse del estudio de una variable estadística.1 El cálculo de este número está bien definido, usualmente mediante una fórmula aritmética obtenida a partir de datos de la población.2 3

Los parámetros estadísticos son una consecuencia inevitable del propósito esencial de la estadística: crear un modelo de la realidad.4

El estudio de una gran cantidad de datos individuales de una población puede ser farragoso e inoperativo, por lo que se hace necesario realizar un resumen que permita tener una idea global de la población, compararla con otras, comprobar su ajuste a un modelo ideal, realizar estimaciones sobre datos desconocidos de la misma y, en definitiva, tomar decisiones. A estas tareas contribuyen de modo esencial los parámetros estadísticos.

Por ejemplo, suele ofrecerse como resumen de la juventud de una población la media aritmética de las edades de sus miembros, esto es, la suma de todas ellas, dividida por el total de individuos que componen tal población

Enfoque matemático

Generalidades

Sumamente relacionada con la escuela de toma de decisiones, el enfoque matemático postula que la administración es una entidad lógica cuyas acciones puedenexpresarse en términos de símbolos matemáticos, como relaciones y datos que se pueden medir. Su aplicación es básica en el proceso decisional.

Surge en Inglaterra, en la década de los años 1940, comoantecedente de la necesidad de resolver problemas militares estratégicos y tácticos.

Una de las principales funciones que debe realizar el administrador es tomar decisiones. Esto quiere decir quenecesita conocer las herramientas contables, financieras, matemáticas y de econometría para ello.

Beneficios

1. Proporcionan a quienes toman las decisiones un conjunto de conceptos y herramientasque los capacitan para tomar decisiones de una manera lógica consistente y con tanta precisión como sea posible. Un enfoque racional genera una mejor decisión.

2. Suministra una visión mejoradadel proceso de toma de decisiones

3. La formalización y cuantificación del problema facilita la comunicación y coordinación

4. La formalización de problemas de decisión rutinarios yrepetitivos libera a los gerentes para que se concentren en asuntos de más presión. De esta manera los gerentes logran mejor control de sus operaciones y pueden asignar su tiempo más eficientemente

5.Facilita el desarrollo de mejores sistemas de planeación organizacional, de control y de operación

6. Sirve para mantener registros, que es de gran valor histórico y corriente

Limitaciones

Noimporta que tan sofisticado sea el diseño del sistema, un enfoque formal rara vez proporciona toda la información para la acción. Incluye un modelo y un modelo no es una realidad sino una abstracción dela realidad. El proceso mismo involucra subjetividad además de la manipulación lógica de los símbolos y datos.

Antecedentes

A grandes rasgos la teoría matemática surgió en la administración a...

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