Estabilidad de los sistemas realimentados y su compensación

Estabilidad de un sistema mecánico

Estable Indiferente Inestable

Amplificador de audio de potencia

Señal de entrada sinusoidal

Medición con señal de entrada sinusoidal

Respuesta con pobre compensación

ENTRADA

SALIDA

Respuesta en frecuencia insuficientemente compensadoMedición con señal de entrada sinusoidal desde 1Hz a 1GHz (por simulación)

30dB─

0dB─

Frecuencia

17dBGanancia

Respuesta en frecuencia sub compensado

30dB─

0dB─

Frecuencia

6dB

Medición con señal de entrada sinusoidal desde 1Hz a 1GHz (por simulación)

Ganancia

Respuesta en frecuencia compensado

30dB─

0dB─

Frecuencia

Medición con señal de entrada sinusoidal desde 1Hz a 1GHz (por simulación)

Ganancia

Amplificador de audio de potencia

Señal de entrada cuadrada

Medición con señal de entrada cuadrada

Señal de entrada cuadrada (escalón)

Respuesta al escalón

Respuesta al escalón pobremente compensado

Respuesta al escalón sub compensado

Respuesta al escalón aceptablemente compensado

Respuesta al escalón compensado

Respuesta al escalón sobre compensado

Circuitos de compensación del amplificador

Efecto de polos y ceros en la respuesta en frecuencia

a

a

(del amplificador sin realimentar)

Respuesta del amplificador con un polo

a

aaa

Realimentándolo, siempre resulta estable

a

a

Realimentándolo resulta estable, pudiendo presentar respuestastransitorias oscilatorias, sobrepicos en la amplitud y no planicidad enla respuesta en frecuencia

Respuesta del amplificador con dos polos

Realimentándolo puede ser estable o inestable, pudiendo presentarrespuestas con oscilaciones transitorias, sobrepicos en amplitud y noplanicidad en la respuesta en frecuencia.

Respuesta del amplificador con tres polos

Inestabilidad de un sistema realimentado

f(s)a1(s)aA

+=

XAY =

f

a(s)

∞=+−→ fsa1

sa1fsa

lim)()(

)(

• Una pequeña señal de frecuencia ω1 excita la entrada

• Llega a la salida con la fase invertida• Regresa al sumador de entrada resultando

en una señal error de mayor amplitud que la de entrada

• Llega a la salida con mayor amplitud, y así sucesivamente

Ante una excitación que contenga lafrecuencia ω1 (como el ruido térmico en elsumador + ) se genera una señal de salidaoscilante de amplitud creciente

Sistema inestable

La amplitud de la oscilación quedará limitada por la fuente de alimentación u otro mecanismo desaturación del circuito

ω1

ω1

a(s)

f

Proceso de crecimiento de la amplitud de salida

El sistema será inestable si existe s = jω1 tal que:

( ) 11 −=ωjaf

( ) 11 =ωjaf ( ) º1801 −=∠ ωjaf

En forma equivalente:

( ) 0jωaflog 1 =

y

O también:

( ) º1801 −=∠ ωjafy

Criterio de Barkhausen

El término a(s)f se conoce como ganancia de lazo y suele denominarse T(s)

a(s) f = ganancia de lazo = T(s)

f

Medición de la ganancia de lazo

a(s)

Se puede calcular o medir con el siguiente esquema:

a(s)

f

vPRUEBA

SALV ( )SAL

PRUEBA

V-a s f =v

Circuito para simular la ganancia de lazo T(s)

Circuito bien compensado

Ganancia

Fase

Abriendo el lazo e

inyectando señal de prueba

Midiendo

−180°

60dB− Ganancia de Lazo

Fase de la ganancia de lazo

Frecuencia

0dB

Amplitud y fase de la ganancia de lazo T(s)Ver que |T| llega a 0dB antes que la fase alcance -180°

Y que la fase llega a -180° cuando |T| < 0dB

−

0°-

−180°

60dB− Ganancia de Lazo

Fase de la ganancia de lazo

Frecuencia

Frecuencias de cruce

Frecuencia de cruce de la fase

Frecuencia de cruce de la ganancia

0dB

La condición para la oscilación de un sistema realimentado es( ) º1801 −≤∠ ωja( ) 11 ≥ωjaf ∧

−

0°-

−180°

60dB− Ganancia de Lazo

Fase de la ganancia de lazo

Frecuencia

Margen de fase y Margen de ganancia

Margen de fase

Margen de ganancia

0dB

La condición para la oscilación de un sistema realimentado es( ) º1801 −≤∠ ωja( ) 11 ≥ωjaf ∧

−

0°-

Margen de fase de 90° :

Margen de fase de 45° :

0f

Respuesta en frecuencia del amplificador

( )

1

0

ps1

asa−

=

( )( )01

0

T1ps1

AsA

+−

=

( )ωjA

0A

0a

( )01 T1p +1p

0T ( )ωjT

ωlog

[ ]dB

0A

0a

( )ωja

( )ωja

( )ωjA

f1

T1aA

0

00 ≅+=

faT 00 =

Comportamiento de un sistema realimentado con 1 polo

10 pa≅

OAlogalogf1logalogfalogTlog −≅−==

( )fsa1

sasA)()(

+=

Ejemplo de margen de fase con 1 polo

( ) ( ) ( ) ( ) 0101010101010 log20log201log20log20log20log20 AjafjafjajT −≅−== ωωωω

( ) [ ]dBja ω

0A

0a

Ejemplo de margen de fase en sistemas de más de 1 polo:

( ) =ωjT10log20

( ) == fja ω10log20

( ) ≅−= fja 1log20log20 1010 ω

( ) 01010 log20log20 Aja −≅ ω

Respuesta de sistemas realimentados con dos polosSe tiene un sistema con margen de fase = 45° en la frecuencia decruce de la ganancia de lazo ωO

( ) º135−= ejT Oω

La fase de T a esa frecuencia será

( ) ( ) 1O OT j a j fω ω= =

La ganancia del sistema es ( ) ( )( )ωωωjT

jajA O +=

1

Reemplazando por

( ) º135−=∠ OjT ω

( ) ( )º1351 −+= ejajA OOωω

( ) ( ) ( )j

jaj

jajA OOO 7,03,07,07,01 −=

−−=

ωωω ( ) ( )f

jajA OO

3,176,0

==ω

ω

y operando se tiene ⇒

⇒ y tomando módulo

Análogamente para un margen de fase de 60° es ( )f

jA O1

=ω

( )f

jA O7,0

=ωY para un margen de fase de 90° es

Con lo que será

O

O

Ganancia relativa en función de la frecuencia relativa para distintos márgenes de fase

0AAlog20

0ff

Estabilidad de un sistema de tres polos según la magnitud de la realimentación “f “

ESTABLE INESTABLEINESTABLE CRÍTICO

f pequeño f grandef intermedio

0 ≤ f ≤ 1 para el circuito del ejemplo, con realimentación serie paralelo

Compensación por polo dominante

• Creando un polo nuevo en baja frecuencia demanera de llevar la frecuencia de cruce (gananciade lazo=0dB) a la frecuencia del primer polooriginal y lograr un margen de fase de 45°

• Desplazando del primer polo hacia las bajasfrecuencias de manera de llevar la frecuencia decruce de la ganancia (T=1) a la frecuencia delsegundo polo y lograr un margen de fase de 45°

Ejemplo: creando nuevo polo

T=0dB

Ejemplo: desplazando polo

T=0dB

Creación del polo dominante

• Una forma es agregar capacidad en algunaparte del circuito, o aumentar algunacapacidad existente, pero esto requierecapacitores grandes

• Otra forma es agregar capacitores pequeñosusando la técnica de multiplicación de Miller,lo que a su vez permite partir polos, o seacorrer el polo inferior hacia abajo y el superiorhacia arriba

Caso típico en un amplificador• Agregando un capacitor:

RCPD

1= RiRR //1= πrrRi b +=

C resulta muy grande, aproximadamente 1000 pF

• Multiplicando por Miller:

El efecto Miller es una realimentación local en la segunda etapa

• Esquematizando:

( )CgmRC LM += 1• Se aplica Miller:

• Con lo que desplaza el primer polo hacia las bajas frecuencias con capacitores de pequeño valor, típicamente < 100 pF.

↓1p⇒

• El segundo polo (a la salida de la segunda etapa) también se desplaza debido a la reducción de la impedancia de salida RO :

2

2

1 TO T

RR+

=1

12

.CC

CCCCTOTAL ++=

• Resultando:

TOTALOCRp 12 −=

2p 1p

222

1CR

p −=11

11CR

p −=CRgmR

p21

11

−=( )12212 CCCCCgmCp

++−=

σ

ωj

• O bien calculado resolviendo el circuito:

• Gráficamente:( )12212 CCCCC

gmCp++

−=

Compensación por adelanto de fase

• Consiste en agregar un cero en el realimentador demanera de compensar un polo del amplificador

• Un caso típico es un realimentador con un polo y uncero, en un amplificador con 3 polos

( ) ( ) ( )

+

+

+

+

+

==

321

0

1111

1

PPPP

Z

jjjj

jTjfjajT

ωω

ωω

ωω

ωω

ωω

ωωω

Un amplificador tiene una ganancia en baja frecuencia de 32000 yuna función transferencia con tres polos reales negativos demagnitudes 1KHz, 0,5MHz y 100 MHz.

a) Dibujar el diagrama de módulo y fase de la función transferencia.b) Determinar el margen de fase en caso de utilizarse el

amplificador en un sistema realimentado con ganancia detensión de 50dB

c) Determinar el ancho de banda del sistema del punto bd) Compensar por polo dominante para utilizar el amplificador

realimentado con ganancia unitaria (0dB) y un margen de fasede 45° asumiendo que los polos originales no resultan alterados.

e) Compensar el amplificador realimentado para una ganancia de20dB y un margen de fase de 45°, desplazando el polo inferior yasumiendo que los polos superiores no resultan alterados.

Ejercicio 1:

Un amplificador de tensión se encuentra correctamentecompensado con margen de fase de 45º para una ganancia de 0dBcon ancho de banda de 1MHz y distorsión armónica de 0,005%.Se requiere modificar el amplificador para emplearlo en unpreamplificador de audio con una ganancia de 40dB.

a) ¿Con que margen de fase operará el preamplificador luego de lamodificación de la ganancia del amplificador?

b) ¿Se cumplirá con la calidad requerida en dicha aplicación,justificar?

c) Si fuera posible modificar la compensación del amplificador,¿cómo se haría tal modificación?

Ejercicio 2:

Estabilidad de los sistemas realimentados y su compensaciónEstabilidad de un sistema mecánicoAmplificador de audio de potenciaRespuesta con pobre compensaciónRespuesta en frecuencia insuficientemente compensadoRespuesta en frecuencia sub compensadoRespuesta en frecuencia compensadoAmplificador de audio de potenciaSeñal de entrada cuadrada (escalón)Respuesta al escalónRespuesta al escalón pobremente compensadoRespuesta al escalón sub compensadoRespuesta al escalón aceptablemente compensadoRespuesta al escalón compensadoRespuesta al escalón sobre compensadoCircuitos de compensación del amplificadorEfecto de polos y ceros en la respuesta en frecuenciaRespuesta del amplificador con un poloRespuesta del amplificador con dos polosRespuesta del amplificador con tres polosInestabilidad de un sistema realimentadoAnte una excitación que contenga la frecuencia ω1 (como el ruido térmico en el sumador + ) se genera una señal de salida oscilante de amplitud crecienteCriterio de BarkhausenEl término a(s)f se conoce como ganancia de lazo y suele denominarse T(s)Se puede calcular o medir con el siguiente esquema:Circuito para simular la ganancia de lazo T(s)Amplitud y fase de la ganancia de lazo T(s)La condición para la oscilación de un sistema realimentado esLa condición para la oscilación de un sistema realimentado esNúmero de diapositiva 30Número de diapositiva 31Número de diapositiva 32Número de diapositiva 33Respuesta de sistemas realimentados con dos polosNúmero de diapositiva 35Estabilidad de un sistema de tres polos según la magnitud de la realimentación “f “ Compensación por polo dominanteNúmero de diapositiva 38Número de diapositiva 39Creación del polo dominanteCaso típico en un amplificadorNúmero de diapositiva 42Número de diapositiva 43Número de diapositiva 44Número de diapositiva 45Número de diapositiva 46Número de diapositiva 47