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Mecanismos de rotura
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Estacas sob aces horizontais estticas
Fundaes de Estruturas
Jaime A. Santos (IST)
Mestrado em Engenharia de Estruturas
Estacas sob aces horizontais
Mecanismos de rotura
Fenda de tracona zona posterior
da estaca
Cunha de roturana zona frontal
da estaca
Estacas sob aces horizontaisMecanismos de rotura
Mecanismos de rotura
RotaoL L
H He
Estacas curtas rotura por insuficiente resistncia do terreno
Fractura Fractura
L L
H He
Mecanismos de rotura
Estacas longas rotura por flexo da estaca
L L
Hu
P
3B LKp 3B LKp
He
Mmx
MmxB
Mtodo de Broms
Estacas curtas em solos incoerentes (areias)
topo livre topo restringido (rotao nula)
Reacodo solo DMF
Mtodo de Broms
Estacas curtas em solos incoerentes (areias)
0
40
80
120
160
200
0 4 8 12 16 20L/B
H
/
K
B
u
p
3
topo livretopo restringido
e/L=0
0.20.40.60.81.01.52.03.0
LeBL0.5K
H3
pu +
=
2pu BL1.5KH =
Mtodo de Broms
Estacas longas em solos incoerentes (areias)
topo livre topo restringido (rotao nula)
L L
e
f f
Mu
MuMuHu HuReaco
do solo DMF
Mtodo de Broms
Estacas longas em solos incoerentes (areias)
1
10
100
1000
0.1 1 10 100 1000 10000
topo livre
topo restringido
H
/
K
B
u
p
3
M /K Bu p 4
e/B=01 2 4 8 16 32
+= f
32eHM uu
p
u
BK1.5Hf
=
3fHM uu =
Mtodo de Broms
estacas curtas em solos coesivos estacas longas em solos coesivos
Foram tambm desenvolvidas equaes simples e bacos para:
M1/r
p
y
p
y
Modelo meio contnuo versus modelo meio discreto
Modelos meio contnuo/meio discreto
Solues algbricas para casos particulares simples meio discreto (meio de Winkler) meio contnuo (solues de Randolph e do EC7)
Comparao das solues e aferio da relao k-(Es,s)
Estacas sob aces horizontais
Meio de Winkler
Fundao em meio de WinklerA anlise do problema de interaco solo-fundao feita habitualmente recorrendo ao conceito do coeficiente de reaco originalmente proposto por Winkler em 1867. Neste modelo o solo assimilado por uma srie de molas independentes com comportamento elstico e linear. A rigidez dessas molas assim caracterizada por uma constante de proporcionalidade entre a presso aplicada (q) e o deslocamento do solo (y), constante essa designada por coeficiente de reaco k.
q
y
O k assim definido como sendo a presso necessria para provocar um deslocamento unitrio e, portanto com as dimenses de [FL-3]. Define-se ainda, habitualmente, uma outra grandeza designada por mdulo dereaco do solo k que igual ao produto do coeficiente de reaco k pela dimenso transversal da fundao B. O mdulo de reaco tem assim as dimenses de [FL-2] tal como o mdulo de deformabilidade de um solo.
Este modelo pode ser utilizado para a anlise de fundaes superficiais ou de estacas sob aces laterais.
O modelo de clculo consiste em assimilar a fundao a uma pea linear (viga) apoiada num meio elstico discreto constitudo por molas infinitamente prximas, mas sem ligao entre elas.
Se analisar o equilbrio de um troo elementar da viga tem-se:
V (V + dV) + p dx q dx = 0, ou seja,dV/dx = k y q ou d2M/dx2 = k y q
q
p
x
y
N q
pdxV V+dV
M M+dM
Admitindo vlida a hiptese dos pequenos deslocamentos vem:M = - EI d2y/dx2
que substituindo na equao de equilbrio conduz a:
A soluo geral desta equao diferencial de 4 ordem para q=0 da forma:
EI d4y/dx4 + k y = q
y = ex (C1 sin x + C2 cos x) + e-x (C3 sin x + C4 cos x)
= (k / 4EI)1/4
com
As constantes C1, C2, C3 e C4 so obtidas tendo em conta as condies de fronteira do problema.
O parmetro com dimenses de [L-1] caracteriza a rigidez relativa solo-fundao. O produto de pelo comprimento L da fundao define uma grandeza adimensional que permite classificar a fundao quanto ao seu comportamento:De acordo com Vesic:
L 0.8 (1) rgida0.8 (1) < L < 3.0 semi-flexvel
L 3.0 flexvel
Fundaes superficiais
A soluo geral vlida para qualquer valor de L bastante trabalhosa (soluo correspondente ao comportamento semi-flexvel):
Para as situaes de comportamento rgido ou flexvel as equaes anteriores transformam-se em equaes mais simples.
a b
xL
N
Fundaes superficiais
Factores que afectam o coeficiente de reaco:a) O comportamento no linear do solob) Efeito da profundidade e da dimenso transversal da fundaoc) Forma da fundaod) Efeito de escala ensaio de placa vs fundao (terreno
estratificado)
Fundaes superficiais
q q
b
o
l
b
o
d
e
t
e
n
s
e
s
:
z
%
B
B
Solo 1
Solo 2
Bp
Num meio elstico e homogneo caracterizado pelas constantes elsticas E e , o assentamento da fundao y induzido pela carga q dado por:
y qBE
If= ( )12
em que If um factor que depende dos dados geomtricos do problema.
Assim, k = q/y % 1/B ou sejaO coeficiente de reaco inversamente proporcional largura Benquanto que o mdulo de reaco (k=kB) no depende de B.
q
b
o
l
b
o
d
e
t
e
n
s
e
s
:
z
%
B
y % B
BFundaes superficiais
Existem na bibliografia diversas propostas para a obteno do valor de k.Quando se utilizam correlaes deduzidas dos ensaios de placa h que ter em ateno o efeito de escala. Ensaio de placa (circular ou quadrangular) com dimenso BpTerzaghi (1955):Fundao com forma circular ou quadrangular (dimenso B)k/kp = Bp/B (em solos argilosos)k/kp= [(B+Bp)/2B]2 (em solos arenosos)
Fundao com forma rectangular (BxL)k/kp = (m+0.5)/1.5m , m = L/Bk e kp coeficientes de reaco solo-fundao e solo-placa, respectivamente
Fundaes superficiais
k EBEI
Ef
=
0 651
412
2. ( )
Relao k-(E,)Comparando a soluo terica da viga em meio de Winkler com a da vigaem meio elstico contnuo, Vesic (1961) props a seguinte correlao:
em que:k mdulo de reacoE mdulo de elasticidade do solo coeficiente de Poisson do solo(EI)f mdulo de flexo da viga (fundao)B largura da viga (fundao)
Fundaes superficiais
Valores tpicos de kp em MN/m3 propostos por Terzaghi para ensaios de placa com Bp=0.3m (1 p) em areias
k0.3 (MN/m3)CompacidadeTerreno
6 a 18SoltaAreia seca ou hmida
18 a 90Medianamente compacta
90 a 300Compacta
7.5SoltaAreia submersa
24Medianamente compacta
90Compacta
Fundaes superficiais
Valores tpicos de kp em MN/m3 propostos por Terzaghi para ensaios de placa com Bp=0.3m (1 p) em argilas duras
k0.3 (MN/m3)ConsistnciaTerreno
15 a 30Dura - qu=100 a 200kPaArgila
30 a 60Muito dura - qu=200 a 400 kPa
> 60Rija qu > 400 kPa
Fundaes superficiais
Para o caso das estacas solicitadas lateralmente o procedimento de anlise com base no modelo de Winkler em tudo anlogo das fundaes superficiais.
Para o caso de um meio homogneo, isto , com mdulo de reaco constante em profundidade, define-se o mesmo parmetro que caracteriza a rigidez relativa solo-estaca. O produto de pelo comprimento L da estaca define uma grandeza adimensional que permite classificar a estaca quanto ao seu comportamento:De acordo com Santos e Gomes Correia (1992):
L 1 rgida ; 1 < L < 3 semi-flexvel ; L 3 flexvel
Estacas sob aces laterais
Comportamento flexvel e rgido das estacas
As solues podem ser equacionadas sob a forma adimensional em funo de trs parmetros: parmetro de rigidez relativa solo-estacaL comprimento da estacaK mdulo de reaco (meio homogneo)
Estas solues simplificam-se para os casos de comportamento flexvel e rgido: flexvel (L ) , k semi-flexvel , k, L rgido (L 0) k , L
Estacas sob aces laterais
Solues analticas (existentes):
Meio com rigidez constante em profundidade k constanteMeio cuja rigidez aumenta linearmente em profundidade k=nh x
Fora horizontal no topo da estacaMomento no topo da estaca
Topo livreTopo com rotao impedida
Estacas sob aces laterais
Indicam-se, a ttulo de exemplo, as solues em termos dos deslocamentos laterais para um meio com r. Para as situaes de comportamento flexvel ou rgido as equaes tornam-se mais simples:
Estaca semi-flexvel 1< L
Comportamento flexvel e rgido
Meio com k constante
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0
2
4
6
8
0 1 2 3 4 5 6
Mm x Vo
yo k Vo
y
o
k
V
o
M
m
x
V
o
L
estacaflexvel
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0
4
8
12
16
0 1 2 3 4 5 6
Mm x V Lo
yo k L Vo
L
M
m
x
V
L
o
y
o
k
L
V
o
estacargida
Estaca semi-flexvel 1< L
Limites propostos com basenos esforos mximos e nos deslocamentos
= (k / 4EI)1/4 = (nh / EI)1/5
L 1,5L 1Rgida1,5 L 41 L 3Semi-flexvel
L 4L 3Flexvelk = nhxk = cte
MeioComportamento da estaca
Comportamento flexvel
L
lc
Vo
Mo
Deformada
x
Exemplo:k=20000kPa (solo)E=29GPa (estaca)=1.0m
para ser flexvel:L 12.3m (3/)
Estacas flexveis Influncia dos parmetrosMeio com k constante
Estaca sujeita fora Vo
681212 44
2
1
1
2
2
2
1
1
02
01 ,kk
kk
k
kyy
===
=
19121
14
1
2
2
1
2
1 ,MM
mx
mx==
=
=
0y
mxM
Vo
21 21 kk =
1100018000Compacta
45006800Mdia
13002300Solta
SubmersaSeca ou hmida
Compacidadeda areia
nh (kN/m3)
Areias:mdulo de reaco k=nh x (em que x = profundidade)
Proposta de Terzaghi (1955)
Estacas sob aces laterais
Argilas normalmente consolidadasmdulo de reaco k=nh x (em que x = profundidade)
Argila mole (NC)nh = 160 a 3450 kN/m3 , Reese e Matlock (1956)nh = 270 a 540 kN/m3 , Davisson e Prakash (1963)
Argila orgnica (NC)nh = 110 a 270 kN/m3 , Peck e Davisson (1962)nh = 110 a 810 kN/m3 , Davisson (1970)
Argilas sobreconsolidadasmdulo de reaco k constante em profundidade
k = 67cu , Davisson (1970)
Estacas sob aces laterais
Estacas sob aces horizontais
Influncia do comportamento no linear
Influncia do comportamento no linearCaso de estudo Fundaes da Ponte de Alccer do Sal
Comportamento no linear devido :L Plastificao do solo (prximo do topo da estaca)L Fendilhao (estacas de beto)
Descrio do modelo:
1) SoloL DiscretoL Elstico perfeitamente plstico
pu
y[L]
k1
p[FL ]-1
k=nh xnh em funo da compacidade relativa (Reese et al.)
Areias
pu = Nc cu BEu/Cu=200 a 400(Poulos e Davis)
Eu, u kArgilas
pukSolo
Parmetros do solo:
N min 3c B
9Cu
= + +
x x05.
;
p 3 tgu2
= +
45 2
x B
(Broms)
(Matlock)
Descrio do modelo:
2) EstacaL Elemento de barra sujeito a flexo (simples ou composta) L Comportamento no linear
Expresso de Branson:
I I M MefI
cr=
Interaco solo-estaca equao diferencial de equilbrio:
x EIyx
k yef22
2 0
+ =
x.profdafunoI)M(fI efef =
02 22
2
2
3
3
4
4
=+
+
+
Eyk
xy
xI
xy
xI
xyI efefef
Critrio de convergncia
Em cada iterao i verificar em todos os pontos nodais e nos elementos se:
upp
( ) ( )( ) 010
1
1 .III
ief
iefief
1)
2)
Bransonderessoexpdaatravs)M(fIef =
Fundaes da Pontede Alccer do Sal
Ensaio 1estaca 1
B=1.00m
B=1.20m B=1.20m
6.40m
6.40m
2.00m
2.00m 2.00m
2
.
0
0
m
2
.
0
0
m
5.00m
3.00m
B=1.00m
estaca 4 estaca 5
estacas 2 e 3
Ensaio 2
2 ensaios estticosde carga horizontal
Caso de estudo
Terreno de fundao
Ensaio 1
Lodos
Argilas
Turfas, cascalhose areias
Lodos
Areias
Bed-rock
14.0
17.0
0.0
3.0
5.0
27.0
31.0
40.0
0.0
3.5
7.0
Lodos Lodos
AreiasAreias
Bed-rock
Ensaio 2
Vale fssil:aluvies sobre
substrato Miocnico
No linearElstico perfeitamente plsticoModelo 2Elstico e linearElstico e linearModelo 1
EstacaSoloModelos
Modelos numricos utilizados
0
200
400
600
F
o
r
a
h
o
r
i
z
o
n
t
a
l
(
k
N
)
0 10 20 30 40 50 60 Deslocamento horizontal (mm)
Ensaio Modelo 1 Modelo 2
Diagrama fora-deslocamento na estaca 1
0200
400
600
F
o
r
a
h
o
r
i
z
o
n
t
a
l
(
k
N
)
0 500 1000 1500 Momento flector mximo (kNm)
Ensaio Modelo 1 Modelo 2
Mcr=267 kNm
Diagrama fora-momento mximo na estaca 1
Caso de estudo Fundaes da Ponte de Alccer do Sal
1) Para estimar esforos mximos:o modelo elstico e linear aceitvel
2) Para estimar deslocamentos: necessrio recorrer a modelos no lineares
A confrontao dos modelos numricos com os resultados dos ensaios de carga permite concluir o seguinte:
Estacas sob aces horizontais
Efeito de grupo
Efeito de grupo
O efeito de interaco estaca-solo-estaca num grupo de estacas vulgarmente designado por efeito de grupo. Estando as estacas
inseridas num meio contnuo, elas interactuam entre si atravs do meio envolvente, pelo que o deslocamento de uma determinada estaca contribui para o deslocamento das restantes.
Assim, a rigidez transversal do conjunto macio-solo-estacas inferior ao somatrio das rigidezes considerando as estacas a funcionar isoladamente. Este efeito de grupo pode ser simulado de forma artificial considerando uma reduo do mdulo de reaco k.
Estacas sob aces laterais
0.25 k3D
D o dimetro da estaca
4D
6D
8D
Espaamento na direco da carga
0.40 k
0.70 k
1.00 k
kgrupo
Reduo artificial da rigidez do solopara ter em conta o efeito de grupo
Estacas sob aces laterais
Canadian Foundation Engineering Manual
Efeito de interaco num grupo de estacas
Modelo do meio contnuo - anlises 3-D
Efeito de interaco num grupo de estacas
Anlise elstica 3-D (M.E.F.)
Concentrao de tenses na
proximidade das estacas perifricas(efeito de sombra na estaca central)
Estaca isolada flexvel em meio elstico contnuoRandolph(1981) desenvolveu solues algbricas simples (yo, Mmx)em funo dos parmetros Gc, c e Ep:
Gc mdulo de distoro representativo do terreno; considera-se o valor mdio de G* ao longo do comprimento crtico (activo) Lc
c grau de homogeneidade
G*=G (1+3/4) Lc=B(Ep/Gc)2/7
c=G*(x=Lc/4)/G*(x=Lc/2)
Ep mdulo de elasticidade da estaca
x - profundidade
+
=
2c
1c
cc
7/1cp
o 2LM3.0
2LH27.0
G)G/(E
yDeslocamento do topo da estaca:
Obs:Estaca flexvel com L LcMeio homogneo G*=cte ; c=1Meio cuja rigidez cresce linearmente em prof. G*/x=cte ; c=0.5
L
Lc
Vo
Mo
DeformadaLc/4
Lc/2
G*
x
y
x
Estaca isolada flexvel em meio elstico contnuo
ij = factor de influncia entre a estaca i e a estaca j(Nota: ii = 1)
m = nmero de estacasHj = carga aplicada na estaca j
Kt = rigidez transversal da estaca isolada
Grupo de Estacas
Coeficiente/Factor de influncia
=
=m
1jjij
ti HK
1y
Mtodo simplificado Hipteses de clculo:L Macio de encabeamento rgidoL Igualdade de deslocamentos ao nvel da cabea das estacasL Equilbrio de foras horizontais
=
=
=
m
1japlicadaj
ji,ji
FH
,yy
=
=m
1jjijF,
ti HK
1y
Efeito de interaco macio-solo-estacas
)cos(10.6)cos(1sr
GE
0.6 22o1/7
c
pcF +=+
=
1FF )4(1valorosetoma5.0Se
>
Factores (coeficientes) de influncia
Valores tpicos de 1/1/Tipo de solo
4GE
:ilaarg1/7
c
p
1c = 5.0c =
3GE
:areia1/7
c
p
L Ep = 29GPa, s/ro=6 (3 dimetros)L Valores correntes de G e de para areias e argilas
5.1 0.3
0.2 0.4
Tipologias analisadas
1x2 e 1x3 estacas(fora segundo o alinhamento das estacas)
2x2, 3x3, 4x4, 5x5 estacas(em malha quadrada)
Variao de em funo de 1/
Variao de Hmx/Hmd em funo de 1/
Reduo artificial do mdulo k
Reduo artificial do mdulo nh
Aumento dos esforos nas estacas mais solicitadas
L O estudo do comportamento de grupos de estacas sob aces horizontais requer anlises 3-D (habitualmente atravs do M.E.F). Estas anlises exigem potentes recursos informticos, o que inviabiliza a sua utilizao a nvel de projecto para a grande maioria das situaes prticas.
L O efeito de interaco pode ser analisado, de uma forma mais expedita, recorrendo ao conceito dos factores de influncia (Ex:soluo de Randolphpara estacas flexveis em meio elstico contnuo).
Efeito de grupo
Efeito de grupo
A aplicao dos factores de influncia para analisar o efeito de interaco num grupo de estacas permite concluir o seguinte:L A interaco entre estacas conduz a uma reduo
da rigidez do conjunto macio-solo-estacas, e este efeito mais notrio quando o nmero de estacas superior a 4.
L A concentrao de carga nas estacas perifricas pode ser significativa num grupo numeroso de estacas (aspecto importante no dimensionamento).