UNIDAD NMERO 5PROBABILIDAD Y ESTADSTICA
ESTADISTICA APLICADA
INTRODUCCINPregntate si lo que ests haciendo hoyte acerca al
lugar en el que quieres estar maana.
La Estadstica es por tanto un potente auxiliar en muchas
ciencias y actividades humanas, pues es un lenguaje basado en
resultados cuantitativos y grficos que permite comunicar
informacin, resolver problemas de diseo experimental y ayudar a la
toma de decisiones, en base al anlisis de la informacin muestral y
en situaciones de incertidumbre.La palabra estadstica se origina,
en las tcnicas de recoleccin, organizacin, conservacin, y
tratamiento de los datos propios antiguamente de un estado, con que
los antiguos gobernantes controlaban a sus sbditos y dominios
econmicos. Estas tcnicas evolucionaron a la par con el desarrollo
de las matemticas, utilizando sus herramientas en el proceso del
anlisis e interpretacin de la informacin.Con este trabajo se
pretende formarnos una idea de los conceptos bsicos de la
estadstica aplicada; para facilitar nuestra induccin al curso.Ya
que en nuestros das, la estadstica se ha convertido en un mtodo
efectivo para describir con exactitud los valores de datos
econmicos, polticos, sociales, psicolgicos, biolgicos y fsicos, y
sirve como herramienta para relacionar y analizar dichos datos.Son
de uso cotidiano las diferentes tcnicas estadsticas que partiendo
de observaciones muestrales o histricas, crean modelos
lgico-matemticos que se "aventuran" a describir o pronosticar un
determinado fenmeno con cierto grado de certidumbre medible.
INDICEContenidoINTRODUCCIN21 Inferencia
Estadstica4MUESTREOS5Tipos de Muestreo5PRUEBA DE
HIPTESIS6Conclusiones de una Prueba de Hiptesis72 Estimacin
puntual7Propiedades de un estimador8Estimacin por
intervalo9Estimacin puntual10Estimacin por intervalos10Intervalos
de confianza11Poblacin normal de varianza desconocida.15Intervalo
de confianza para la diferencia entre medias16Intervalo de
confianza para una proporcin17Aproximacin asinttica17Intervalo
exacto18Intervalo de confianza para razones de dos varianzas213
Prueba de Hiptesis25METODOLOGIA PARA LA PRUEBA DE
HIPOTESIS25HIPOTESIS NULA25HIPOTESIS ALTERNATIVA25ERROR TIPO UNO Y
TIPO DOS26ERROR TIPO 126ERROR TIPO 226PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA
MEDIA26PRUEBA DE HIPOTESIS PARA DIFERENCIA DE MEDIAS26EJEMPLOS DE
HIPTESIS NULA Y ALTERNATIVA27ERROR TIPO UNO Y TIPO DOS28ERROR TIPO
128ERROR TIPO 228PRUEBA DE HIPTESIS PARA LA MEDIA28MUESTRAS
GRANDES28EJEMPLO28MUESTRAS PEQUEAS29EJEMPLO29PRUEBA DE HIPOTESIS
PARA DIFERENCIA DE MEDIAS30EJEMPLO31PRUEBA DE HIPOTESIS PARA
PROPORCIONES32EJEMPLO32PRUEBA DE HIPTESIS PARA LA DIFERENCIA DE
PROPORCIONES33EJEMPLO33PRUEBA DE HIPTESIS PARA UNA
VARIANZA34EJEMPLO35PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA RAZON DE
VARIANZAS36EJEMPLO364 Correlacin y Regresin38DISTRIBUCIONES
BIDIMENSIONALES38COVARIANZA40CORRELACIN40COEFICIENTE DE CORRELACIN
LINEAL42RECTA DE REGRESIN43Bibliografa44Conclusin46
1 Inferencia Estadstica
La Inferencia Estadstica es la parte de la estadstica matemtica
que se encarga del estudio de los mtodos para la obtencin del
modelo de probabilidad, que sigue una variable aleatoria de una
determinada poblacin, a travs de una muestra (parte de la misma)
obtenida gracias a las pruebas correctas.Se ocupa de predecir,
sacar conclusiones, para una poblacin tomando como base una muestra
(es decir, una parte) de dicha poblacin. Como todas las
predicciones, siempre han de hacerse bajo un cierto grado de
fiabilidad o confianza. Ser esta ltima vertiente de la estadstica
la que estudiemos en este tema.MUESTREOSHay muchas maneras de
elegir una muestra de una poblacin. Antes de pasar a analizar
dichas formas de extraccin de muestras, lo que si hemos de dejar
claro es que todas las muestras han de cumplir varias condiciones
indispensables. Es evidente que para que el estudio a realizar sea
fiable, hay que cuidar mucho la eleccin de la muestra, para que
represente en la medida de lo posible a la poblacin de la que se
extrae. Si la muestra est mal elegida, diremos que no es
representativa. En este caso, se pueden producir errores
imprevistos e incontrolados. Dichos errores se denominan sesgos y
diremos que la muestra est sesgada.Tipos de MuestreoMuestreo no
probabilstico: El investigador no elige la muestra al azar, sino
mediante determinadosMuestreo probabilstico: Cuando la muestra se
elige al azar. En este caso podemos distinguirVarios tipos:a)
Muestreo aleatorio simple: Aquel en el que cada individuo de la
poblacin tiene las mismasPosibilidades de salir en la muestra.b)
Muestreo sistemtico: En el que se elige un individuo al azar y a
partir de el, a intervalosConstantes, se eligen los dems hasta
completar la muestra.c) Muestreo estratificado: En este muestreo se
divide la poblacin en clases o estratos y seEscoge, aleatoriamente,
un nmero de individuos de cada estrato proporcional al nmero de
componentes de cada estrato.d) Muestreo por conglomerados: Si no
disponemos de la relacin de los elementos de la poblacin, o de los
posibles estratos, no podemos aplicar los muestreos
anteriores.PRUEBA DE HIPTESISUna prueba de hiptesis comprende
cuatro Componentes principales:-Hiptesis Nula-Hiptesis
Alternativa-Estadstica de Prueba-Regin de RechazoLa Hiptesis Nula,
denotada como H0 siempre especifica un solo valor del parmetro de
la poblacin si la hiptesis es simple o un conjunto de valores si es
compuesta (es lo que queremos desacreditar)
La Hiptesis Alternativa, denotada como H1 es la que responde
nuestra pregunta, la que se establece en base a la evidencia que
tenemos. Puede tener cuatro formas:
Como las conclusiones a las que lleguemos se basan en una
muestra, hay posibilidades deQue nos equivoquemos. Dos decisiones
correctas son posibles: Rechazar H0 cuando es falsaNo Rechazar H0
cuando es verdadera.Dos decisiones incorrectas son
posibles:Rechazar H0 cuando es verdaderaNo Rechazar H0 cuando es
falsa.
TAMAOS DE ERRORESH 0 VerdaderaH 0 Falsa
Rechazamos H 0Error Tipo I P(error Tipo I) = P(error Tipo I) =
Decisin Correcta
No Rechazamos H 0Decisin CorrectaError Tipo II Error Tipo II
P(error Tipo II) = P(error Tipo II) =
Conclusiones de una Prueba de HiptesisSi rechazamos la Hiptesis
Nula, concluimos que hay suficiente evidencia estadstica para
inferir que la hiptesis nula es falsaSi no rechazamos la Hiptesis
Nula, concluimos que no hay suficiente evidencia estadstica para
inferir que la hiptesis nula es falsa
2 Estimacin puntualEstimacin puntual consiste en utilizar el
valor de un estadstico para inferir el parmetro de una poblacin. La
media de la poblacin se puede estimar puntualmente mediante la
media de la muestra:
La proporcin de la poblacin se puede estimar puntualmente
mediante la proporcin de la muestra:
La desviacin tpica de la poblacin se puede estimar puntualmente
mediante la desviacin tpica de la muestra, aunque hay mejores
estimadores:
EstimadorUn estimador de un parmetro es un estadstico T=T
(X1,..., Xn)Usado para estimar el valor del parmetro de una
poblacin.El valor observado del estadstico t = T(x1,..., xn) es la
estimacin de , y la representamos por puede ser un solo parmetro o
un conjunto de parmetros desconocidos, = (1, ..., k )Propiedades de
un estimador Insesgado: Un estimador es insesgado cuando la media
de su distribucin muestral asociada coincide con la media de la
poblacin. Esto ocurre, por ejemplo, con el estimador , ya que y con
estimador p ya que De varianza mnima: La variabilidad de un
estimador viene determinada por el cuadrado de su desviacin
estndar. En el caso del estimador , su desviacin estndar es ,
tambin llamada error estndar de .En el caso del error estndar de Se
observara que cuanto mayor sea el tamao de la muestra n, menor ser
la variabilidad del estimador y de p, por tanto, mejor sern
nuestras estimaciones.
Diferencia entre un estimador y una estimacinExiste una
diferencia entre estimador y estimacin. El estimador es un
estadstico y, por tanto, una variable aleatoria y el valor de esta
variable para una muestra concreta () ser la estimacin puntual. El
estimador tendr su distribucin muestral.
ParmetropoblacionalEstimadorEstimacin
Media
Varianza
Proporcin
Estimacin por intervaloEl objetivo que se pretende con los
intervalos de confianza es obtener un intervalo de poca amplitud y
con una alta probabilidad de que el parmetro se encuentre en su
interior. As pues, elegiremos probabilidades cercanas a la unidad,
que se representan por 1- y cuyos valores ms frecuentes suelen ser
0'90, 0'95 y 0'99.
Ejercicio Dada una poblacin X, que sigue una distribucin
cualquiera con media y desviacin estndar . 1. Sabemos (por el TCL)
que, para valores grandes de n, la media muestral sigue una
distribucin aproximadamente normal con media y desviacin estndar 2.
Por otra parte, el Teorema de Chebyshev nos dice que, en una
distribucin normal, aproximadamente un 95% de los datos estaban
situados a una distancia inferior a dos desviaciones estndar de la
media. De lo anterior se deduce que: Por tanto, sta ltima frmula
nos da un intervalo de valores tal que la probabilidad de que la
media de la poblacin est contenida en l es de 0.95.Este tipo de
intervalos se llaman intervalos de confianza de un parmetro
poblacional. El nivel de confianza (1 - ) del intervalo es la
probabilidad de que ste contenga al parmetro poblacional. En el
ejemplo anterior, el nivel de confianza era del 95% ( = 0,05).
Estimacin puntualConsideremos el estimador T(X1, ..., Xn) = Max{X1,
..., Xn} = X(n) para estimar el extremo superior del intervalo.
Queremos determinar si es un estimador insesgado. Necesitamos
conocer su distribucin para calcular su esperanza... La densidad de
una uniforme en (0, ) es f (x) = 1/ , para 0 < x < , y su
funcin de distribucin es F(x) = P(X x) = , para 0 < x < . La
distribucin de X(n) es, para 0 < x < : y por tanto, la funcin
de densidad de la v.a. X(n) es Finalmente, calculamos su esperanza:
es sesgado
Estimacin por intervalos
La estimacin por intervalos es un procedimiento de la estadstica
inferencial mediante el cual se realizan calculos con los datos de
muestra cuyo resultado son dos datos numericos que defnen un rango,
intervalo o conjunto numrico que servir para estimar el parmetro
poblacional.Por ejemplo, si se desea estimar el promedio de edad de
la poblacin estudiantil de una universidad y para ello elegimos una
muestra, utilizando la estimacin por intervalos se obtienen dos
valores, por ejemplo 22.5 y 24.5, lo que quiere decir que el
verdadero valor del promedio de edad de esa poblacin estudiantil se
encontrar dentro del rango de 22.5 a 24.5 aos de edad, aunque nunca
se sabr con exactitud su verdadero valor. Una manera de expresar
formalmente este resultado es utilizando corchetes: [22.5,
24.5].
La estimacin por intervalos tiene varias ventajas; una es que no
ofrece un valor nico, sino un rango donde es muy posible o muy
probable que el parmetro poblacional se encuentre incluido. De esta
manera se supera la limitacin de los estimadores puntuales de que
su resultado nico vara de muestra en muestra; es decir, con la
estimacin por intervalos tenemos ms probabilidad de acertar al
verdadero valor poblacional.La principal ventaja de la estimacin
por intervalos es que su resultado ofrece un nivel de confianza que
permite conocer en cunto le podemos creer o tenerle confianza al
resultado obtenido de la estimacin. Por esta razn, la estimacin por
intervalos tambin es conocida como estimacin por intervalos de
confianza, pues su nivel de confianza seala qu tan posible o qu tan
probable es que el parmetro poblacional se encuentre incluido
dentro del rango definido.
Intervalos de confianza
En los mtodos de estimacin puntual se utiliza una funcin de los
valores de la muestra (estadstico) para dar la estimacin del
parmetro en estudio. Si en vez de esto, se utilizan dos funciones y
se da el valor de dicho parmetro a partir del intervalo que tiene
por extremos los valores de dichas funciones para una muestra, se
dice que se est dando una estimacin por intervalos del parmetro, o
un intervalo de confianza.
En la construccin de estos intervalos, hay dos elementos
fundamentales. La amplitud del intervalo que dar la precisin de la
estimacin, y que por lo tanto deber ser la menor posible, y la
probabilidad de que el intervalo contenga al verdadero valor del
parmetro a estimar, que se llama nivel de confianza o coeficiente
de confianza, y que deber ser lo mayor posible. Est claro que se
puede ganar en precisin a base de perder confianza en la
estimacin.
Ejemplo En el caso de que se seleccione una muestra aleatoria
simple de una poblacin descrita por la funcin f (x;) dependiente
del parmetro que pretendemos estimar. El problema se plantea como
sigue: se fija un nivel de confianza, que se denota por 1 , en
donde 00.5. La hiptesis alternativa a la hiptesis nula se denota
.
ERROR TIPO UNO Y TIPO DOSERROR TIPO 1Se presenta cuando se
rechaza la hiptesis nula siendo cierta y no debera rechazarse. La
probabilidad de que se presente un error tipo 1 es .ERROR TIPO 2Se
presenta cuando no se rechaza la hiptesis nula siendo falsa y
debera rechazarse. La probabilidad de que se presente un error tipo
2 es .PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA MEDIACuando se conoce la
desviacin estndar, , y si la poblacin tiene una distribucin normal,
usted utiliza la prueba Z. si el tamao de la muestra es lo bastante
grande como para que tenga efecto el teorema del lmite central. La
ecuacin define al estadstico de prueba de Z para determinar la
diferencia que existe entre la media maestral y la media
poblacional cuando se conoce la desviacin estndar .PRUEBA DE
HIPOTESIS PARA LA MEDIA ( CONOCIDA)
El denominador es el error estndar de la media, por lo que Z
representa la diferencia que existe entre la en unidades de error
estndar.PRUEBA DE HIPOTESIS PARA DIFERENCIA DE MEDIASSe tienen dos
poblaciones y se toman muestras aleatorias independientes de tamaos
n 1 y n 2, se puede comparar el comportamiento de dichas
poblaciones a travs de los promedios.Se tienen dos tipos de
concretos. Se toma una muestra de tamao 42 de cada uno y se obtiene
un promedio muestral de la conductividad trmica para el primero de
0.486 con una desviacin estndar de 0.187 y un promedio de 0.359 de
conductividad trmica con una desviacin estndar de 0.158 para el
segundo.Esta informacin sugiere que el promedio verdadero de
conductividad trmica del primer concreto es mayor que la del
segundo, con 0.01. EJEMPLOS DE HIPTESIS NULA Y
ALTERNATIVAEstablezca las hiptesis nula y alternativa.a.Las millas
por galn (mpg) promedio de un nuevo modelo de automvil es 32.b.Ms
del 65% de los empleados de un colegio aportan a Fondos Unidos.c.En
promedio, los empleados de cierta compaa viven a no ms de 15 millas
de la misma.d.Al menos un 60% de la poblacin adulta de una
comunidad votar en las prximas elecciones Presidenciales.e.El peso
promedio de un pollo para asar es de al menos cuatro
libras.Solucin:a.H0: = 32b.H0: p .65c.H0: 15H1: 32H1: p < .65H1:
> 15d.H0: p .6e.H0: 4H1: p < .6H1: < 4Si se rechaza la
hiptesis nula y no hay otra opcin, el experimento puede ser
invlido. Por esta razn, la ciencia utiliza una serie de
procesosdeductivos e inductivospara asegurar que no existan errores
en las hiptesis.Para probar si la hiptesis nula es cierta, se toma
una muestra aleatoria y se calcula la informacin, como el promedio,
la proporcin, etc. Esta informacin muestral se llama estadstica de
prueba.Estadstica de Prueba: Una estadstica de prueba se basa en la
informacin de la muestra como la media o la proporcin.ERROR TIPO
UNO Y TIPO DOSERROR TIPO 1Se presenta cuando se rechaza la hiptesis
nula H0 siendo cierta y no debera rechazarse. La probabilidad de
que se presente un error tipo 1 es .Para ser muy cuidadosos en no
cometer el error tipo 1, debemos especificar la probabilidad de
rechazar H0, denotada por . A sta se le llama nivel de
significancia. Nivel de Significancia: La probabilidad ( ms alta de
rechazar H0 cuando H0 es cierto se llama nivel de
significancia.Comentario:Para mantener la probabilidad de cometer
el error tipo 1 baja, debemos escoger un valor pequeo de .ERROR
TIPO 2Se presenta cuando no se rechaza la hiptesis nula H0 siendo
falsa y debera rechazarse. La probabilidad de que se presente un
error tipo 2 es .PRUEBA DE HIPTESIS PARA LA MEDIAMUESTRAS
GRANDESCuando se conoce la desviacin estndar, , y si la poblacin
tiene una distribucin normal, se utiliza la prueba Z solo si el
tamao de la muestra es lo bastante grande. Procedemos a utilizar la
siguiente formula.
EJEMPLOUna muestra aleatoria de 100 muertes registradas en
Estados Unidos el ao pasado muestra una vida promedio de 71.8 aos.
Suponga una desviacin estndar poblacional de 8.9 aos. Queremos
probar si la vida media hoy en da es mayor a 70 aos con base en esa
muestra. La muestra parecera indicar que es as pero Cul es la
probabilidad de que la media de la muestra no refleje la verdadera
media de la poblacin? Utilizar un nivel de significancia de
0.05.Solucin:Se trata de una distribucin muestral de medias con
desviacin estndar conocida.Paso nmero 1. Datos. =70 aoss = 8.9 aos=
71.8 aosn = 100 = 0.05Paso nmero 2. Establecemos la hiptesis.H0; =
70 aos.H1; > 70 aos.Paso nmero 3. Nivel de significancia. =
0.05, = 1.645Paso nmero 4. Regla de decisin.Si z 1.645 no se
rechaza H0.Si z > 1.645 se rechaza H0.Paso nmero 5. Clculos del
valor de z para los datos.
Paso nmero 6. Decisin y justificacin.Como 2.02 > 1.645 se
rechaza H0 y se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que
la vida media hoy en da es mayor que 70 aos.
MUESTRAS PEQUEASPara el caso de muestras pequeas (n -1.796, por
lo tanto no se rechaza H0, y se concluye con un nivel de
significancia del 0.05 que el nmero promedio de kilowatt-hora que
gastan al ao las aspiradoras no es significativamente menor que
46.
PRUEBA DE HIPOTESIS PARA DIFERENCIA DE MEDIASEn la prctica, se
presenta una diversidad de problemas en la industria y en las
ciencias sociales que nos sugieren confrontar cual de dos procesos
es mejor que el otro a la luz de la media que arroja cada uno de
ellos. Se nos podra ocurrir por ejemplo: a) verificar si el consumo
de gasolina entre dos marcas de vehculos se puede considerar
idntico o por el contrario una marca es ms econmica que otra. b)
Verificar si los salarios de la industria metalrgica se pueden
considerar o no superiores a los salarios de la industria textil en
una regin c) Verificar si el contenido de determinada sustancia en
una artculo fabricado por una compaa A es inferior o no al
contenido de dicha sustancia en el mismo artculo fabricado por una
compaa B de la competencia. etc.
Con el fin de resolver las pruebas de hiptesis para la
diferencia de medias, debemos tener en cuenta el mismo
procedimiento y las mismas reglas que seguimos para las pruebas de
hiptesis para la media. Las frmulas para el clculo de los
estadsticos z y t, son las mismas empleadas en el clculo de los
intervalos de confianza para la diferencia de medias.
En cuanto a la distribucin en el muestreo de la diferencia de
medias, recordemos los siguientes tres casos:
1) Si las dos poblaciones son normales, las diferencias de las
medias muestrales tambin se distribuirn normalmente cualquiera sea
el tamao de las muestras. No obstante, si no se conocen las
desviaciones estndar poblacionales (1 y 2), stas pueden ser
reemplazadas por las desviaciones estndar de las muestras (S1 y
S2), si los tamaos de las muestras son mayores que 30 (n1 >30 y
n2 >30 o n1 +n2>60).
2) Segn el teorema central del lmite, si las dos poblaciones no
son normales o no sabemos si se cumple o no ste comportamiento, las
diferencias de las medias muestrales se distribuirn aproximadamente
como una distribucin normal, si los tamaos de las muestras son
mayores que 30 (n1 >30 y n2 >30 o n1 +n2 >60)
3) Si las dos poblaciones son normales o estn muy cerca de ste
comportamiento y por otra parte no conocemos la desviaciones
estndar poblacionales y adems los tamaos de las muestras son
menores que 30 (n1 0 H1: P1 - P230 y n2=300>30, por lo cual segn
el teorema central del lmite, las diferencias de las proporciones
muestrales se distribuirn aproximadamente como una distribucin
normal.
Paso numero 1: Plantear Hiptesis nula e hiptesis alternativa.
H0: PA=PB, H1: PAPB. La prueba es bilateral, puesto que el
especialista en mercado no est afirmando que ciudad tiene ms
proporcin que la otra.
Paso numero 2: Nivel de significacin. 0.05
Paso numero 3: Criterio de decisin.Como las diferencias de las
proporciones muestrales se distribuyen normalmente y la prueba es
bilateral, entonces, segn las tablas el valor de z es: 1.96. Por lo
tanto, el criterio de decisin ser el siguiente: Si el valor de Z
calculado es mayor que +1.96 o menor que 1.96, se rechaza la
hiptesis nula de que la proporcin es idntica en ambas ciudades.
Paso numero 4: Clculo del estadstico sobre el cual se basar la
decisin.n1=500, p1=0.596, n2=300, p2=0.50. En la distribucin el
muestreo de la diferencia de proporciones, correspondiente al valor
de z ser:
Paso numero 5: Tomar la decisin.Como el valor de Z calculado
(+2.65) se encuentra en la zona de rechazo, entonces, con un nivel
de significacin del 5%, debemos rechazar la hiptesis nula de que
las proporciones en ambas ciudades son iguales.
PRUEBA DE HIPTESIS PARA UNA VARIANZAPara una prueba de hiptesis
relativa a una varianza debemos tener en cuenta que la distribucin
Ji-cuadrada se da siempre y cuando se trate de poblaciones normales
y el estadstico de prueba es la variable Ji-cuadrada con (n-1)
grados de libertad y que se expresa como:
Una prueba de hiptesis para la varianza debe tener una hiptesis
nula que ser: H0: =A, siendo A un valor hipottico, por lo cual la
hiptesis alternativa podra ser: H1: A, H1: < A H1:>A, segn la
prueba sea bilateral en el primer caso o unilateral en los dos
casos siguientes. Dado que la varianza mide el grado de
variabilidad de un conjunto poblacional, una prueba de hiptesis
para la varianza puede ser til para comprobar por ejemplo el grado
de variabilidad que presenta un proceso productivo, despus de que
ste ha sido objeto de algunos cambios tcnicos. El proceso que sigue
una prueba de hiptesis para la varianza.
EJEMPLOSe sabe que el contenido en gramos de un producto
fabricado por una compaa, no rene las especificaciones si la
varianza de un lote de produccin se aleja demasiado hacia arriba o
hacia abajo de 6.5. Comprobar si un gran lote de produccin rene las
especificaciones, si una muestra aleatoria de 20 unidades extrada
aleatoriamente de dicho lote arroj una varianza de 7.3. Utilizar un
nivel de significacin del 5%.
Solucin:Se sabe que el contenido del producto se distribuye
normalmente.
Paso numero 1: Hiptesis nula e hiptesis alternativa.H0: = 6.5,
H1: 6.5. La prueba es bilateral, puesto que el problema es claro en
el sentido de que un valor diferente a 6.5 no rene las
especificaciones.
Paso numero 2: Nivel de significacin. 0.05
Paso numero 3: Criterio de decisin.Como la poblacin se
distribuye normalmente y la prueba es bilateral, entonces, segn las
tabla para 19 grados de libertad el valor de = 8.9065 y el valor de
=32.8523. Por lo tanto, el criterio de decisin ser el siguiente: Si
el valor de calculado es menor que 8.90652 o mayor que 32.8523, se
rechaza la hiptesis nula de que la varianza sigue siendo de 6.5,
con un nivel de significacin del 5%.
Paso numero 4: Clculo del estadstico sobre el cual se basar la
decisin.n=20, =7.3. Segn la frmula tenemos:
Paso numero 5: Tomar la decisin.Como el valor de
calculado(21.34) se encuentra en la zona de aceptacin, entonces,
con un nivel de significacin del 5% se acepta la hiptesis nula de
que la variabilidad en el contenido sigue siendo la misma, es decir
= 6.5.
PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA RAZON DE VARIANZASSe define como la
razn de dos variables Ji-cuadrada independientes, provenientes de
dos poblaciones normales, dividida cada una de ellas por sus
respectivos grados de libertad. En stas condiciones la razn de
varianzas se puede expresar como sigue:
El numerador representa a la varianza muestral mayor, mientras
que el denominador representa a la varianza muestral menor. Si el
valor de F segn la frmula anterior es igual a 1, entonces, podemos
afirmar que las dos varianzas poblacionales son iguales, pero si es
diferente de 1, dicha diferencia puede ser no significativa y podra
deberse a problemas aleatorios o del azar. Tambin podra suceder que
si la razn es diferente de 1 dicha diferencia sea significativa
como para pensar que las dos varianzas poblaciones son
diferentes.Las pruebas de hiptesis para la razn de dos varianzas
sigue el mismo proceso visto en las secciones anteriores y el
criterio de decisin F debe buscarse en las tablas
correspondientes.Recordemos adems que para buscar el valor de F en
las tablas, debemos localizar los grados de libertad del numerador
en la primera fila de la tabla y localizar los grados de libertad
del denominador en la primera columna de la tabla
La hiptesis nula ser siempre H0: = = 1.
EJEMPLOSe quiere comprobar si la variabilidad en la duracin de
unas lmparas marca A es igualmente variable que la duracin de otra
marca B de la competencia. Para tal fin, se toma una muestra
aleatoria de 13 lmparas tipo A y se encuentra que la desviacin
estndar muestral es S=8, mientras que en otra muestra aleatoria de
13 lmparas tipo B se encuentra que la desviacin estndar muestral es
de S=4. Se pide probar la hiptesis nula de que la variabilidad es
igual en ambas poblaciones con un nivel de significacin del 5%.
Solucin: Se supone que la duracin de las lmparas se distribuye
normalmente para ambas marcas.
Paso numero 1: Hiptesis nula e hiptesis alternativa para prueba
bilateral.H0: = y H1: .
Paso numero 2: Nivel de significacin. 0.05.
Paso numero 3: Criterio de decisin.Si el valor de F calculado se
encuentra fuera del intervalo sealado por los dos valores de F segn
la tabla, entonces rechazamos la hiptesis nula de que las dos
desviaciones estndar poblacionales son iguales. Es decir, si el
valor de F calculado est fuera del intervalo F(0.025,12,12) =3.28 y
F(0.975,12,12) = = 0.305, entonces se rechaza la hiptesis nula.
Paso numero 4: Clculo del estadstico sobre el cual se basar la
decisin.n1=13, S1=8, n2=13, S2=4F= = 4
Paso numero 5: Decisin.Como 4 se encuentra fuera del intervalo
segn el criterio de decisin, entonces, con un nivel de significacin
del 5%, se rechaza la hiptesis nula de que la variabilidad sea
igual para ambas marcas.
4 Correlacin y Regresin
DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALESDos variables x e y estn
relacionadas funcionalmente cuando conocida la primera se puede
saber con exactitud el valor de la segunda.Dos variables x e y estn
relacionadas estadsticamente cuando conocida la primera se puede
estimar aproximadamente el valor de la segunda.Una variable
bidimensional es una variable en la que cada individuo est definido
por un par de caracteres, (X, Y).Estos dos caracteres son a su vez
variables estadsticas en las que s existe relacin entre ellas, una
de las dos variables es la variable independiente y la otra
variable dependiente.Son aquellas en las que a cada individuo le
corresponden los valores de dos variables, las representamos por el
par.
Si representamos cada par de valores como las coordenadas de un
punto, el conjunto de todos ellos se llama nube de puntos o
diagrama de dispersin.
Sobre la nube de puntos puede trazarse una recta que se ajuste a
ellos lo mejor posible, llamada recta de regresin.
MatemticasFsica
21
33
42
44
54
64
76
74
86
107
109
1010
COVARIANZALa covarianza de una variable bidimensional es la
media aritmtica de los productos de las desviaciones de cada una de
las variables respecto a sus medias respectivas.La covarianza se
representa por sxy o xy.
La covarianza indica el sentido de la correlacin entre las
variables
Si xy > 0 la correlacin es directa.
Si xy < 0 la correlacin es inversa.La covarianza presenta
como inconveniente, el hecho de que su valor depende de la escala
elegida para los ejes.
Es decir, la covarianza variar si expresamos la altura en metros
o en centmetros. Tambin variar si el dinero lo expresamos en euros
o en dlares.
CORRELACINLa correlacin trata de establecer la relacin o
dependencia que existe entre las dos variables que intervienen en
una distribucin bidimensional.Es decir, determinar si los cambios
en una de las variables influyen en los cambios de la otra. En caso
de que suceda, diremos que las variables estn correlacionadas o que
hay correlacin entre ellas.1 Correlacin directaLa correlacin
directa se da cuando al aumentar una de las variables la otra
aumenta.La recta correspondiente a la nube de puntos de la
distribucin es una recta creciente.
2 Correlacin inversaLa correlacin inversa se da cuando al
aumentar una de las variables la otra disminuye.La recta
correspondiente a la nube de puntos de la distribucin es una recta
decreciente.
3 Correlacin nulaLa correlacin nula se da cuando no hay
dependencia de ningn tipo entre las variables.En este caso se dice
que las variables son incorreladas y la nube de puntos tiene una
forma redondeada.
COEFICIENTE DE CORRELACIN LINEALEl coeficiente de correlacin
lineal es el cociente entre la covarianza y el producto de las
desviaciones tpicas de ambas variables.El coeficiente de correlacin
lineal se expresa mediante la letra r.
Propiedades
1. El coeficiente de correlacin no vara al hacerlo la escala de
medicin.Es decir, se expresa a la altura en metros o en centmetros
el coeficiente de correlacin no vara.2. El signo del coeficiente de
correlacin es el mismo que el de la covarianza.Si la covarianza es
positiva, la correlacin es directa.Si la covarianza es negativa, la
correlacin es inversa.Si la covarianza es nula, no existe
correlacin.3. El coeficiente de correlacin lineal es un nmero real
comprendido entre 1 y 1.1 r 14. Si el coeficiente de correlacin
lineal toma valores cercanos a 1 la correlacin es fuerte e inversa,
y ser tanto ms fuerte cuanto ms se aproxime r a 1.5. Si el
coeficiente de correlacin lineal toma valores cercanos a 1 la
correlacin es fuerte y directa, y ser tanto ms fuerte cuanto ms se
aproxime r a 1.6. Si el coeficiente de correlacin lineal toma
valores cercanos a 0, la correlacin es dbil.7. Si r = 1 1, los
puntos de la nube estn sobre la recta creciente o decreciente.
Entre ambas variables hay dependencia funcional.
RECTA DE REGRESINLa recta de regresin es la que mejor se ajusta
a la nube de puntos.La recta de regresin pasa por el punto centro
de gravedad llamado centro de gravedad.Recta de regresin de Y sobre
XLa recta de regresin de Y sobre X se utiliza para estimar los
valores de la Y a partir de los de la X.La pendiente de la recta es
el cociente entre la covarianza y la varianza de la variable X.
Recta de regresin de X sobre YLa recta de regresin de X sobre Y
se utiliza para estimar los valores de la X a partir de los de la
Y.La pendiente de la recta es el cociente entre la covarianza y la
varianza de la variable Y.
BibliografaCovarianza y
Complementoshttp://www.biostat.jhsph.edu/~lcollado/Courses/MEyAdDG/day2/Pruebas%20de%20Hip%C3%B3tesis.pdfGua
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de Probabilidad y
Estadsticahttp://www.mate.unlp.edu.ar/~maron/MaronnaHome_archivos/Probabilidad%20y%20Estadistica%20Elementales.pdfLibro
de Probabilidad y
Estadsticahttp://www.x.edu.uy/inet/EstadisticayProbabilidad.pdf2
Estimacin
Puntualhttp://www.est.uc3m.es/esp/nueva_docencia/getafe/ciencias_estadisticas/TecnicasInferenciaEstadistica/doc_grupo1/Intervalos-Grado%20en%20Est.%20y%20Empr_9.pdfhttp://www.ub.edu/stat/GrupsInnovacio/Statmedia/demo/Temas/Capitulo8/B0C8m1t11.htm
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Prueba de hiptesis para medias. (s.f.). Recuperado el 15 de mayo
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dehttp://www.monografias.com/trabajos91/prueba-hipotesis-medias-excel-y-winstats/prueba-hipotesis-medias-excel-y-winstats.shtml
Formato con autor del documento consultado:Giraldo, Hugo. (Fecha
de revisin o copyright, no disponible). Estadstica. Recuperado el
15 de mayo del 2015, del sitio Web de la Universidad Nacional de
Colombia de la URL:
http://www.bdigital.unal.edu.co/2010/1/hugogomezgiraldo.2009.pdf
Conclusin
A continuacin presentamos nuestro trabajo de investigacin y por
consecuencia de estudio didctico de la unidad nmero cinco de
probabilidad y estadstica, sabemos que no solo basta con leer la
unidad completa, sino que llevarla a cabo con ejercicios, es por
eso que el equipo decidi llevarlo en prctica y saber realmente lo
que estamos estudiando.Somos conscientes de nuestras capacidades de
estudio por eso, hay que estar bien preparados para un futuro y
ejercer nuestra especialidad y comportarnos realmente como
Ingenieros, de manera que somos capaces de analizar y comprender
loes elementos de la unidad 5 a fondo.
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