Introducción a la estadística.
Estadstica Bsica
Estadstica BsicaEl uso de herramientas cuantitativas para el
tratamiento de datos, tiene origen en pocas remotas.
Las antiguas civilizaciones, como la Egipcia, aplicaron
continuamente censos que ayudaban a la organizacin del estado y la
construccin de las pirmides.
En la antigua Grecia y el Imperio Romano, era comn la aplicacin
de censos para la planificacin de impuestos y la prestacin del
servicio militar.
Estadstica BsicaA comienzos del siglo XIX, la palabra estadstica
adopta un significado ms generalizado hacia la recoleccin y
clasificacin de cualquier tipo de datos cuantitativos.
Estadstica BsicaLa primera persona que introdujo el trmino
estadstica en Inglaterra fue Sir John Sinclair (1754-1835) con su
trabajo Statistical Account of Scotland (1791-,1799) trabajo
compilado en 21 volumenes.
La emple como generadora de informacin interna para encontrar
quiebras y proponer mejoras en el pas.
Estadstica BsicaSir Francis Galton (1822-1911) cre los conceptos
estadsticos de regresin y correlacin, y fue el primero en aplicar
mtodos estadsticos para estudiar las diferencias humanas basado en
el uso de cuestionarios y entrevistas para recolectar los
datos.
Estadstica BsicaMajor Greenwood (1880-1949) investig los
problemas de salud asociados al trabajo en fbricas.
Desarroll la Epidemiologa y en 1919 cre el Ministerio de la
Salud en Inglaterra, responsable de datos estadsticos mdicos.
Estadstica BsicaDefinicin de Estadstica;
Ciencia encargada de recolectar, analizar, presentar e
interpretar datos.
Enciclopedia Britnica
Estadstica BsicaDefinicin de Estadstica;
rea de la matemtica dedicada a la recoleccin e interpretacin de
datos cuantitativos y al uso de la teora de la probabilidad para
calcular los parmetros de una poblacin.
Diccionario Ingles Word Reference
Estadstica BsicaDefinicin de Estadstico;Cualquier caracterstica
medible calculada sobre una muestrao poblacin.
Definicin de Muestra;Es un subconjunto de una poblacin.
Estadstica Bsica
Una muestra es representativa cuando los elementos son
seleccionados de tal forma que pongan de manifiesto las
caractersticas de una poblacin.
Clasificacin de la EstadsticaEstadstica descriptiva:se emplea
para resumir de forma numrica o grfica un conjunto de datos,
describe los datos que se analizan, no generaliza la informacin
hacia la poblacin.
Estadstica inferencial:permite realizar conclusiones o
inferencias, basndose en los datos simplificados y analizados de
una muestra hacia la poblacin.Error de aproximacin
Grficos EstadsticosSon representaciones visuales que emplean
smbolos, barras, polgonos y sectores, de los datos contenidos en
tablas de frecuencias, algunos son :
Grfico de sectores o pastelGrficos de columnasHistograma
EjercicioUna muestra de 100 estudiantes del programa de
ingeniera de una universidad, mostraron sus preferencias respecto a
la creacin de un nuevo laboratorio en una encuesta para el diario
estudiantil:
Muestre los datos grficamente empleando:Un grfico de columnaUn
grfico de sectores
Caso para resolverUna importante empresa desea contratar el
suministro de tubos de acero.
Para la licitacin se presentaron tres empresas (A, B y C), las
cuales venden la unidad al mismo precio y con las mismas
especificaciones del material.
La empresa solicita que el proveedor mantenga un dimetro
promedio por cada 30 tubos entregados de 200 mm; para lo cual
solicit a cada empresa una muestra de este tamao, obteniendo los
siguientes dimetros (las unidades estn en milmetros):
Cul de los tres proveedores escogera usted?
Justifique su respuesta
Variabilidad
Como disciplina, podemos decir informalmenteque la estadstica es
el estudio de lavariabilidad. Las tcnicas estadsticas permiten
describir lavariabilidad y plantear hiptesis con el objetivode
comprenderla.
VariabilidadEjemplos:
Masa corporal, estatura, metabolismoReaccin ante un
medicamentoResultados de un experimentoProducto de un proceso
industrialCriterio en la eleccin de un producto o servicio
VariabilidadDe acuerdo con los ejemplos anteriores,podemos
distinguir dos tipos de variabilidad:
Variabilidad debido a diferencias entre individuos respeto de
alguna caracterstica. 2) Variabilidad debida a errores de
medicin.
DatosSon los valores de la variable en estudio, pueden ser
cuantitativos (numrico) o categricos (cualitativo o de
atributo).
Ejemplo. Consideremos el voltaje de salida de cierto tipo de
generadores:5.10, 5.25, 5.80, 4.92, 6.10, 5.71, 5.94 los datos son
una medida, son cuantitativos y debemos expresarlos en unidades de
voltaje
Datos
Supongamos que las normas especifican que el voltaje desalida
debe estar en un rango de 5.1 a 5.9 yconsideramos las
categoras:
cumple con las normas no con las normas
tendremos datos categricos.
DatosSi adems, se asigna 1 cuando el generadorcumple con los
requerimientos y 0 si no cumple,obtendremos los siguientes datos:
1, 1, 1, 0, 0, 1, 0(5.10, 5.25, 5.80, 4.92, 6.10, 5.71, 5.94)
CalidadUna definicin moderna de Calidad es:Aquella que es
inversamente proporcional a la variabilidad
Por lo tanto la Mejora de la Calidad consiste en la reduccin de
la variabilidad en procesos y productos
DatosPara presentar datos cualitativos se utilizan los diagramas
de pastel y las grficas de barras.
Una de las grficas de barras que es muy importante y se utiliza
como herramienta de la calidad es el llamado Diagrama de Pareto
Historia del principio de ParetoEn 1909 el economista y socilogo
Vilfredo Pareto(1848 1923) public los resultados de sus estudios
sobre la distribucin de la riqueza, observando que el 80% de la
misma se encontraba concentrada en el 20% de la poblacin.En la
dcada de 1930, Joseph M. Juran analizaba mediante tcnicas
estadsticas la produccin defectuosa y observ que los defectos se
concentraban en unos cuantos tipos.
La relacin 80/20 ha sido encontrada en distintos campos. Por
ejemplo, el 80% de los problemas de una organizacin son debidos a
un 20% de las causas posibles. El 80% de los defectos de un
producto se debe al 20% de causas potenciales, la relacin no debe
ser exactamente 80/20, pero s se puede aventurar que unas pocas
causas son responsables de la mayor parte de los problemas.
Diagrama de ParetoGrfica de barras dispuestas de la categora mas
numerosa a la menos numerosa.
Incluye una grfica hecha a base de rectas que muestra los
porcentajes acumulados y la cantidad de datos representada en cada
barra.
El eje vertical izquierdo es la frecuencia con la que ocurren
los valores individuales y el eje vertical derecho es el porcentaje
acumulado.
Elaboracin del Diagrama de Pareto
Los pasos a seguir para la elaboracin de un diagrama de Pareto
son:1.Seleccionar los datosque se van a analizar, as como el
periodo de tiempo al que se refieren dichos datos.2.Agrupar los
datospor categoras, de acuerdo con un criterio determinado.
Elaboracin del Diagrama de Pareto
3.Tabular los datos.Comenzando por la categora que contenga ms
elementos y, siguiendo en orden descendente, calcular:Frecuencia
absoluta.Frecuencia absoluta acumulada.Frecuencia relativa
unitaria.Frecuencia relativa acumulada.
Elaboracin del Diagrama de Pareto
4. Dibujar el diagrama de Pareto.5. Representar el grfico de
barrascorrespondiente que, en el eje horizontal, aparecer tambin en
orden descendente.
Elaboracin del Diagrama de Pareto
6.Delinear la curva acumulativa. Se dibuja un punto que
represente el total de cada categora. Tras la conexin de estos
puntos se formar una lnea poligonal.7.Identificar el diagrama,
etiquetndolo con datos como: ttulo, fecha de realizacin, periodo
estudiado,8.Analizar el diagrama de Pareto.
Ejemplo de la aplicacin del diagrama de Pareto
Diagrama de Pareto
Otro Ejemplo de unDiagrama de Pareto
Los datos se preparan y ordenan como en la siguiente tabla
EjercicioElabore el Diagrama de Pareto
Respuesta
Conclusin
Distribucin
Listado, a menudo expresado en forma de diagrama, que asocia
cada valor de una variable con su frecuencia.
La frecuencia f es el nmero de veces que aparece el valor x en
la muestra.
Frecuencias no agrupadasFrecuencias agrupadas
Diagrama de Tallos y Hojas
Permite obtener simultneamente una distribucin de frecuencias de
la variable y su representacin grfica.
Para construirlo basta separar en cada dato el ltimo dgito de la
derecha (que constituye lahoja) del bloque de cifras restantes (que
formar eltallo).
Esta representacin de los datos presenta ms informacin que un
histograma.
Diagrama de Tallos y Hojas
Como ejemplo expongamos los horarios de los trenes de una cierta
ruta de Espaa
Diagrama de Tallos y Hojas
Para elaborarlo, se representa lahoraa la izquierda de la barra
de separacin|y los minutosde la salida de cada tren a la
derecha.
Lafrecuenciade los trenes se deduce fcilmente de lalongitud de
las filasy es muy fcil ver en que minutos de cada hora pasan
tpicamente los mismos.
Diagrama de Tallos y Hojas
Diagrama de Tallos y Hojas(reducido)
Diagrama de Tallos y Hojas
Tambin puede utilizarse para comparar dos distribuciones, por
ejemplo si tenemos las dos siguientes distribuciones (edades de 20
personas):Distrib. 1
Distrib. 2
Diagrama de Tallos y Hojas
El resultado es el siguiente:
Distrib. 2 Distrib. 1
Ejercicio
Respuesta
Grfica de puntos
Muestra cada elemento de un conjunto de datos numricos por
encima de una recta numrica, o eje horizontal.
Las grficas de puntos facilitan ver los espacios vacos y los
agrupamientos en un conjunto de datos, as como la manera en que se
distribuyen los datos a lo largo del eje.
Grfica de puntos
Ejemplo:
El pulso vara de una persona a otra, pero por lo general, el
pulso de una persona saludable en reposo se mantiene entre ciertos
valores. Una persona con un pulso muy rpido o muy lento podra
necesitar atencin mdica.
Grfica de puntos
El siguiente conjunto de datos refleja las pulsaciones por
minuto de un grupo de 30 estudiantes:
68 60 76 68 64 80 72 76 92 68 56 72 68 60 8472 56 88 76 80 68 80
84 64 80 72 64 68 76 72
Elaborando la grfica de puntos nos queda como sigue.
Grfica de puntos
Diagrama o grfica de caja y bigotes
Es una presentacin visual que describe varias caractersticas
importantes, al mismo tiempo, tales como la dispersin y
simetra.
Para su realizacin se representanlos tres cuartilesy los
valoresmnimoymximode los datos, sobre un rectngulo, alineado
horizontal o verticalmente.
Diagrama o grfica de caja y bigotes
Una grfica de este tipo consiste en unacajarectangular, donde
los lados ms largos muestran elrecorrido intercuartlico.
Este rectngulo est dividido por un segmento vertical que indica
donde se posiciona la mediana y por lo tanto su relacin con los
cuartiles primero y tercero (el segundo cuartil coincide con la
mediana).
Diagrama o grfica de caja y bigotes
Esta caja se ubica a escala sobre un segmento que tiene como
extremos los valores mnimo y mximo de la variable. Las lineas que
sobresalen de la caja se llamanbigotes.
Diagrama o grfica de caja y bigotes
Ejemplo: la distribucin de frecuencias que representan la edad
de un colectivo de 20 personas.
Para elaborar el diagrama, se siguen los pasos descritos a
continuacin:
Diagrama o grfica de caja y bigotes
1. ORDENAR LOS DATOS20 23 24 24 24 25 29 31 31 33 34 36 36 37 39
39 40 40 41 45
2. CALCULar los CUARTILESQ1, el cuartil Primero es el valor
mayor que el 25% de los valores de la distribucin.
Como N = 20 resulta que N/4 = 5; el primer cuartil es la media
aritmtica de dicho valor y el siguiente:
Q1=(24 + 25) / 2 = 24,5
Diagrama o grfica de caja y bigotes
Q2, el Segundo Cuartil es, evidentemente, la mediana de la
distribucin, es el valor de la variable que ocupa el lugar central
en un conjunto de datos ordenados. Como N/2 =10 ; la mediana es la
media aritmtica de dicho valor y el siguiente:
Q2= (33 + 34)/ 2 = 33,5
Q3, el Tercer Cuartil, es el valor que sobrepasa al 75% de los
valores de la distribucin. En nuestro caso, como 3N / 4 = 15,
resulta:
Q3 = (39 + 39) / 2 = 39
Diagrama o grfica de caja y bigotes
3. Dibujar la caja y los bigotes:
Informacin del Diagrama
La parte izquierda de la caja es mayor que la de la derecha;
ello quiere decir que las edades comprendidas entre el 25% y el 50%
de la poblacin est ms dispersa que entre el 50% y el 75%.
El bigote de la izquierda (Xmm, Q1) es ms corto que el de la
derecha; por ello el 25% de los ms jvenes estn ms concentrados que
el 25% de los mayores.
Elrango intercuartlico= Q3- Q1= 14,5; es decir, el 50% de la
poblacin est comprendido en 14,5 aos.
Comparando dos distribuciones
Realice el diagrama de caja y bigotes de la segunda distribucin
, compare con la primera, compruebe que el resultado debe ser como
sigue:
Diagrama o grfica de caja y bigotes (comparando dos
distribuciones)
Ejercicio
Los datos a continuacin representan lecturas de viscosidad en
tres diferentes mezclas de material sin procesar en una lnea de
manufactura:Mezcla 1 Mezcla 2 Mezcla 3 22.02 21.49 20.3323.83 22.67
21.6726.67 24.62 24.6725.38 24.18 22.4525.49 22.78 22.2823.50 22.56
21.9525.90 24.46 20.4924.98 23.79 21.81
Elabore diagramas de cajas para los datos de viscosidad de
mezclas y compare.
Aplicaciones en el Control de Calidad
Parte de un estudio de control de calidad tuvo como objetivo
mejorar una lnea de produccin. Se midieron los pesos (en onzas) de
50 barras de jabn. Los resultados son los siguientes, ordenados de
menor a mayor:
11.7 12.2 13.2 13.4 14.4 14.4 14.7 14.7 14.8 14.8 15.1 15.2 15.3
15.4 15.5 15.7 15.7 15.8 15.8 15.9 15.9 15.9 15.9 16.0 16.2 16.4
16.7 16.7 16.8 16.8 16.8 17.0 17.1 17.2 17.2 17.2 17.4 17.5 17.5
17.5 17.6 17.6 17.8 17.8 17.9 18.2 18.2 18.7 19.0 19.1
Aplicaciones en el Control de Calidad
a) Construye un diagrama de tallos y hojas para estos datos.b)
Construye un histograma para estos datos.c) Construye un diagrama
de cajas para estos datos.d) Construye un grfico de puntos para
estos datos.e) Realiza un reporte con tus conclusiones.
* Investiga paquetes computacionales, softwares, excel, etc para
realizar clculos y grficos de esta Unidad de Aprendizaje, aprende a
usarlos y preprate para resolver tareas y quiz una presentacin en
power point.
Medidas de tendencia centralMediaMedianaRango medioModa
Medidas de dispersinRango
Varianza
Desviacin estndar
Desviacin con respecto a la mediaEs la diferencia entre el valor
de un dato y la media de los datos.
El valor promedio de estas desviaciones siempre resultar en cero
(por lo cual no es un estadstico de calidad).
Las desviaciones al cuadrado se usan para determinar la
varianza.
Varianza muestral Se puede definir como la media de las
desviaciones al cuadrado de los datos con respecto a la media
muestral, calculada usando como divisor n-1. Su formula matemtica
para el caso de datos referentes a una muestra es:
Dos propiedades importantes de la varianza son:
La varianza de una constante es cero
Si se tiene la varianzade un conjunto de datos y a cada
observacin se multiplica por una constanteb, entonces la nueva
varianza de los datos se obtiene multiplicando a la varianza de los
datos porb al cuadrado.
Desviacin estndar muestralSe define como la raz cuadrada de la
varianza:
Coeficiente de variacinEs una medida que se emplea
fundamentalmente para:
Comparar la variabilidad entre dos grupos de datos referidos a
distintos sistemas de unidades de medida.Comparar la variabilidad
entre dos grupos de datos obtenidos por dos o ms personas
distintas.Comparar dos grupos de datos que tienen distinta
media.Determinar si cierta media es consistente con cierta
varianza.
Coeficiente de variacin
Se define con la siguiente ecuacin:
EjemploCon un micrmetro, se realizan mediciones del dimetro de
un balero, que tienen una media de 4.03 mm y una desviacin estndar
de 0.012 mm; con otro micrmetro se toman mediciones de la longitud
de un tornillo que tiene una media de 1.76 pulgadas y una desviacin
estndar de 0.0075 pulgadas. Cul de los dos micrmetros presenta una
variabilidad relativamente menor?.
Respuesta
En consecuencia, las mediciones hechas por el primer micrmetro
exhiben una variabilidad relativamente menor con respecto a su
media que las efectuadas por el otro.
Distribucin Normal Es la distribucin de probabilidad mas
importante.
Aunque la desviacin estndar proporciona una medida de la
dispersin de un conjunto de resultados alrededor del valor medio,
no indica la forma de la distribucin.
Ejemplo de sistemas que siguen una distribucin normal
Distribucin Normal Para describir la forma de la poblacin (de la
que se extrae una muestra) de los datos de concentracin de ion
nitrato, se necesita una curva continua.
El modelo matemtico que habitualmente se emplea es la
distribucin normal o Gausiana.
Distribucin Normal Es descrita por la siguiente ecuacin:
Curva acampanada o Gausiana
Propiedades de la Distribucin Normal
Distribucin Normal estndar
Obtencin de el valor estandarizado z
Propiedades de la Distribucin Normal Estndar El rea bajo la
curva normal es igual a 1La distribucin es simtricaLa distribucin
tiene una media de 0 y una desviacin estndar de 1La media divide el
rea a la mitad (0.5 de cada lado)Casi toda el rea est entre z = -3
y z = 3
Ejercicios Determinar el valor del rea bajo la curva normal
Entre z = 0 y z = 1.52, P(0
