Estadística descriptiva

1

La Estadstica Descriptiva, tiene por objeto describir, reducir y clasificar informaciones obtenidas de una poblacin. (1)

Una Poblacin puede considerarse como un conjunto de elementos perfectamente definidos (unidades estadsticas)(1)

Se llama carcter a cualquier aspecto objeto de estudio en la poblacin que permite clasificar las unidades estadsticas(1)

Las distintas formas (o clases) que puede presentar un carcter se denomina modalidades del carcter(1)

(1) Lucinio Judz Asensio

DEFINICIONES DE ESTADISTICA DESCRIPTIVA

i-1 i sX

F(X)

F=1X1Xi-1

CAPTULO I: ESTADISTICA DESCRIPTIVA

2

DEFINICIONES DE ESTADISTICA DESCRIPTIVA

i-1 i sX

F(X)

F=1X1Xi-1

Poblacin Carcter Modalidades

Estado civil Casado, soltero, viudo, divorciado Sexo Masculino, femenino

Personas de nacionalidad

espaola Categora socioprofesional

Profesin liberal, empresario,

empleado, obrero

Dimensin de las explotaciones 10 Ha Conjunto de polgonos industriales de una regin Nmero de empleados por nave

industrial 0, 1, 2, 3, 4 >5.

Automviles producidos en un

pas

Rendimiento de produccin por empleado y ao

40

Vehculos de transporte por

carretera

Consumo especfico (kWcombustible / kWmecnico)

2


3

Tema 1: Un Carcter

i-1 i sX

F(X)

F=1X1Xi-1

Tipos de carcteres:I. Carcteres cualitativos

II. Carcteres cuantitativos (variable estadstica)

i. Carcteres cuantitativos discretos

ii. Carcteres cuantitativos continuos


4

Cuadros estadsticos y Representaciones grficas

I. Para el estudio de poblaciones con carcteres cualitativos (sus modalidades no son medibles)

I1, I2, ...,Is : modalidades del carcter cuantitativo

Ni: Nmero de unidades estadsticas de la poblacin frecuencia absoluta, que posee la modalidad Ii

N: Nmero total de unidades estadsticas de la poblacin.

f(Ii) = fi: tanto por uno de unidades estadsticas de la poblacin, que poseen la modalidad Ii.

Tema 1: Un CarcterCAPTULO I: ESTADISTICA DESCRIPTIVA

5


I. Para el estudio de poblaciones con carcteres cualitativos (sus modalidades no son medibles)

Relaciones entre frecuencia absoluta y relativa:

1NiN1fi;

NNf;NN

s

1i

s

1i

ii

s

1ii

propiedades (base emprica para el establecimiento de la axiomtica de clculo de Probabilidades):

1)I(f)I....III(f.3

'iipara)I(f)I(f)II(f.2i0)I(f.1

s

1iis321

'ii'ii

i


6

Cuadros estadsticos y Representaciones grficasI. Para el estudio de poblaciones con caracteres cualitativos

(sus modalidades no son medibles)

Cuadro estadstico de un carcter cualitativoModalidad Efectivos Frecuencias

I1 N1 f1 I2 N2 f3 . . . . . . Ii Ni fi . . . . . . . . . Is Ns fs


7

I1 I2 I3 I4

f1

2f

3f4f

Frecuencias

Modalidades

Cuadros estadsticos y Representaciones grficasI. Para el estudio de poblaciones con carcteres cualitativos

(sus modalidades no son medibles)Representaciones grficas:

Grficos de sectores Diagramas de rectngulos

1 I1

2 2I

i iI

360f360

f360s

1i

s

1iii

ii


8

Cuadros estadsticos y Representaciones grficasII. Para el estudio de poblaciones con caracteres cuantitativos

(variable estadstica)i. Caracteres cuantitativos discretos

k: Subndice que representa una unidad estadstica numerada

I1 a Is: modalidades que toma el carcter

Xk: Valor que toma la unidad estadstica k, el cual ser una de las s modalidades, de manera que Xk=Ii.

Ejm.: Poblacin: familias espaolas. Carcter: nmero de hijos menores de 16 aos. Modalidades: I1=0 hijos, I2= 1 hijo, I3= 2 hijos, I4= 3 hijos, ....., I15= 15 hijos. La familia Prez Gonzlez es la unidad estadstica k=100, que toma la

modalidad I3=3 hijos, por tanto X100=3


9


II. Para el estudio de poblaciones con caracteres cuantitativos(variable estadstica)

i. Caracteres cuantitativos discretosFrecuencias absolutas y relativas:

Frecuencias acumuladas:

1NiN1fi;

NNf;NN

s

1i

s

1i

ii

s

1ii

1fF;fFs

1jjs

s

1jji


10



Cuadro estadstico de variable discreta:

Modalidad=Valores posibles de X Efectivos Frecuencias

Frecuencias acumuladas

I1X1 N1 f1 F1 I2X2 N2 f3 F3

. . . .

. . . . IiXi Ni fi Fi

. . . .

. . . .

. . . . IsXs Ns fs Fs


11

F1

Modalidades valores de la variable estadistica

i+1F

iF

i-11 XX i i+1XX sX

i-1F

F =1s

fi



Representaciones grficas:

Frecuencias

i+1

i

i-1

1f

ff

f

Modalidades valores de la variable estadisticai-1X1X i+1XiX sX

sf

Curva diferencial Curva acumulativa


12


(variable estadstica)ii. Caracteres cuantitativos continuos

Frecuencias: las modalidades toman valores en toda la potencia del continuo por lo que se asignan a cada modalidad Ii el intervalo Ii-1 < X Ii ; llamandose para los valores de X: Ii-1 e Ii extremos superior e inferior, respectivamente de la modalidad Ii.

Ni: Efectivos de la modalidad Ii nmero de unidades estadsticas que posee el valor de la variable estadstica X tal que Ii-1 < X Ii

fi: Frecuencia de la modalidad IiFi: Frecuencia acumulada de las unidades estadsticas que tiene un valor de la

variable inferior o igual a Ii ai: Amplitud de la clase modalidad: Xi: Centro de clase o modalidad

1 iii lla

21

ii

illX


13


(variable estadstica)ii. Caracteres cuantitativos continuos

Cuadro estadstico de de variable continua

Modalidades = clases de X

Centro de clases o marcas

de clases

Amplitud de la clase Efectivos Frecuencias

Frecuencias acumuladas

I0 I1

I1 I2

I2 . . .

Ii-1 Ii

Ii . . .

Is-1 Is

Is

x1

x2 . . .

xi . . .

xs

a1

a2 . . .

a2 . . .

as

N1

N2 . . .

Ni . . .

Ns

f1

f2 . . . fi . . .

fs

0

F1

F2 . . .

Fi-1

Fi . . .

Fs-1

Fs Total --- --- N 1 ---


14


II. Para el estudio de poblaciones con caracteres cuantitativos(variable estadstica)

ii. Caracteres cuantitativos continuosRepresentaciones grficas

Curva diferencial Curva acumulativaf/a

f1/a1

li-1 li

fi

lsX Xai

F=1sFiFi-1

sX I i-1 I i Is X


15

Valores que ponen de manifiesto alguna particularidad de su distribucin de frecuencias

RESUMEN NUMRICO

Caractersticas de la variable estadstica

I. Tendencia central, p.e.: media aritmtica, mediana y moda.

II. Dispersin, p.e.: desviaciones absolutas, varianza y desviacin tpica.

III. Forma, p.e.: coeficiente de asimetra y coeficiente de Kurtosis

I. y II. Se engloban en los cuantiles y momentos


16


RESUMEN NUMRICO


Cuantiles:

Se llama cuantil de orden al valor de la variable estadstica x que separa la poblacin en 100% de unidades estadsticas con valores de la variable estadstica ms pequeos que x y (1- )100% con valores ms elevados que x. Con 0 1.

: Tener en cuenta que las unidades estadsticas son son enteras y no divisibles:Puede que: N N

OJOOJO


17


RESUMEN NUMRICO


Cuantiles de datos individuales en que no se puede dividir la poblacin exactamente en N y (1- )N unidades estadsticas exactamente:

Se toma la unidad estadstica superior a la posicin intermedia en que quedara N, siendo el cuantil el valor X que toma esta.


18


RESUMEN NUMRICO


Cuantiles de datos individuales en que se puede dividir la poblacin exactamente en N y (1- )N unidades :

Se toma la unidad estadstica siendo el cuantil el valor X que toma esta.

En caso de que varias unidades estadsticas posean el mismo valor de esta variable estadstica este ser el cuantil, en caso contrario se tomar:

21

hh XXX


19


RESUMEN NUMRICO


Cuantiles de datos agrupadospor modalidades de caracteresdiscretos:

Se toma la funcin acumulativa:Si intervalo cuantil

),( 11 iii XXF


20


RESUMEN NUMRICO


Cuantiles de datos agrupados por modalidades de caracteres discretos:

Se toma la funcin acumulativa:Si

iii XXFF 1


21


RESUMEN NUMRICO


Cuantiles de datos agrupados por modalidades de caracteres continuos:

Se toma la funcin acumulativa extrapolando:

1

111 )(

ii

iiii FF

IIFIX

Fi-1

Fi

F(x)

xIi-1 Ii

x


22


RESUMEN NUMRICO


Observaciones:Los cuantiles mas utilizados son los cuartiles (entre los que

se encuentra la media) y los deciles:

Cuartiles: valores de X para = , 2/4, y 4/4 llamndose primero, segundo, tercero y cuarto cuartil respectivamente.

Deciles: valores de X para = 1/10, 2/10, 3/10, 4/10,..., 9/10 y 10/10 llamndose primero, segundo,...,noveno y dcimo decil respectivamente.


23


RESUMEN NUMRICO


Momentos: Momento de orden r respecto a una constante de una variable estadstica X:

Datos individuales:

Datos agrupados:

N

k

rk

cr cXN

M1

1

s

i

rii

s

i

ri

cr cXfcXN

M11

1

Xi: Valor de la modalidad Ii si esvariable discreta y centro de clasesi es continua

mr: Momento en que c = 0r: Momento en que c = mr

Momentos mas usuales


24


RESUMEN NUMRICO


I. Caractersticas de tendencia central

Dan idea del entrono en que se encuentra el centro de la distribucin de frecuencias, las ms importantes son:

Mediana Media Aritmtica Moda


25


RESUMEN NUMRICO


I. Caractersticas de tendencia centralI. Moda

A partir de la curva diferencial.1. Para variable discreta

Valor de la variable xi para el que se verifica:

2. Variable continuaSe habla de Clase o modalidad modal.

1ii1ii ffyff

1i

1i

i

i

1i

1i

i

i

af

afy

af

af


26


RESUMEN NUMRICO


I. Caractersticas de tendencia centrali. Moda

A partir de la curva diferencial.

1. Para variable discreta 2. Variable continuaModa 1

Moda 2

Moda 1Moda 2


27


RESUMEN NUMRICO


I. Caractersticas de tendencia centralii. Mediana: cuantil de orden . X

G1: 50% de unidades estadstica con valores de la variable estadstica < XG2: 50% de unidades estadstica con valores de la variable estadstica > X

OJOOJOAunque se varen los valores de las variables estadsticas contenidas en los dos conjuntos separados por la mediana, siempre que en G1 no se superen el valor de X y G2 no se descienda bajo el valor X, la mediana no vara.

Unidad Estadstica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Valor de la Variable estadstica Xi 3 5 6 8 10 11 34 36 36

Posicin de la mediana Valor de la mediana 10

Cambios en Xi 5 5 8 9 10 56 89 100 200


la mediana es independiente de los valores extremos de la poblacin


28


RESUMEN NUMRICO


I. Caractersticas de tendencia centraliii. Media aritmtica: momento no centrado (c=0) de orden 1 (r=1).

Datos individuales Datos agrupados

N

1kkXN

1m

Propiedades de la media aritmtica:a. Sean dos variables estadsticas relacionadas de la siguiente forma:

Y=a+bX; a y b constantesEntonces: my=a+bmx.

b. Si Y=X-mx : my=0. Caso particular de a. en que a=-mx y b=-1.

xN

1kk

N

1kk

N

1kky mbaxN

1bNaNxba

N1y

N1m

s

1iii

s

1iii xfxNN

1m


29


RESUMEN NUMRICO


I. Caractersticas de tendencia centraliii. Media aritmtica: momento no centrado (c=0) de orden 1 (r=1).

OJOOJO El valor de la media est fuertemente afectado por los valores extremos de la variable estadstica que posee la poblacin.As se pueden dar disparates, al contrario que en la mediana, en que los Madrileos cobran un sueldo medio de 1800 / habitante, cuando existe mucha gente que no cobra nada poca gente que cobra mucho.


30


RESUMEN NUMRICO


I. Caractersticas de tendencia centraliv. Otras medias.

1. Datos individuales

a. Media geomtrica

b. Media armnica

c. Media cuadrtica

NN

1kkg xm

N

1k k

a

x1

Nm

N

1k

2kg xN

1m


31


RESUMEN NUMRICO


I. Caractersticas de tendencia centraliv. Otras medias.

2. Datos agrupados

a. Media geomtrica

b. Media armnica

c. Media cuadrtica

Ns

1i

Ni

s

1i

fig

ii xxm

s

1i ii

s

1i ii

a

x1N

N

x1f

1m

s

1i

2ii

s

1i

2iig xNN

1xfm


32


RESUMEN NUMRICO


II. Caractersticas de dispersin.Se pretende desenmascarar la dispersin entre las variables estadsticas pertenecientes a las unidades estadsticas, las cuales no resuelven las caractersticas de tendencia central.

Recordatorio:OJOOJO

Aunque se varen los valores de las variables estadsticas contenidas en los dos conjuntos separados por la mediana, siempre que en G1 no se superen el valor de X y G2 no se descienda bajo el valor X, la mediana no vara.

Unidad Estadstica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Valor de la Variable estadstica Xi 3 5 6 8 10 11 34 36 36


Cambios en Xi 5 5 8 9 10 56 89 100 200


la mediana es independiente de los valores extremos de la poblacinCon la mediana


33


RESUMEN NUMRICO


II. Caractersticas de dispersin.i.Desviaciones absolutas mediasMedimos la diferencia que existe entre las variables estadsticas asignadas a cada unidad estadstica respecto a su media aritmtica y calculamos su media?

No por la propiedad bYa que Y=X-m

?xN1x

N1mx

N1

N

1kk

N

1kk

N

1kk

Propiedades de la media aritmtica:a. Sean dos variables estadsticas relacionadas de la siguiente forma:

Y=a+bX; a y b constantesEntonces: my=a+bmx.

b. Si Y=X-mx : my=0. Caso particular de a. en que a=-mx y b=-1.

xN

1kk

N

1kk

N

1kky mbaxN

1bNaNxba

N1y

N1m

OJOOJO


34


RESUMEN NUMRICO


II. Caractersticas de dispersin.i.Desviaciones absolutas mediasPara evitar este inconveniente se establece en valores absolutos.Desviacin absoluta media respecto a la mediana (DAM):

Desviacin absoluta media respecto a la media (DAm):

N

1k 21kM XxN

1DA

N

1kkm mxN

1DA


35


RESUMEN NUMRICO


II. Caractersticas de dispersin.ii.Varianza y desviacin tpicaTambin se pueden evitar el uso de valores absolutos si en su lugar se calcula el cuadrado de la diferencia, que ser siempre positivo. Deshaciendo, despus, el cuadrado, con una raz cuadrada.

Llamndose desviacin tpica ().

El cuadrado de la desviacin tpica se le llama varianza (V(x))

N

1k

2k mxN

1

N

1k

2k

2 mxN1)x(V


36


RESUMEN NUMRICO


II. Caractersticas de dispersin.ii. Varianza y desviacin tpica

1. Propiedadesa. Si Y=a+bX / a y b 2y es la varianza de y, se verifica que: 2y=b22Efectivamente:

22N1k

2xk

N

1k

2xk

N

1k

2N

1kkk

N

1k

2N

1kkk

N

1k

2N

1kkk

N

1k

2yk

2y

bmbxbN1

mbaxbaN1

xN1baN

N1)xba(

N1

)xba(N1)xba(

N1

yN1y

N1my

N1


37


RESUMEN NUMRICO



1. Propiedadesb. Teorema de Koning:

2. Datos agrupadosPara s modalidades o clases:

N

1k

22k

2 mxN1

s

1i

2ki

2 )mx(NN1

OJOOJO

igualesuestassup,Amplitud:a12a22

g2sg

En el caso de variable discreta, mantendr su valor; pero en variable continua este puede diferir, por ello se puede corregir con el coeficiente de SHEPPARD:


38


RESUMEN NUMRICO



3. Centrar y reducir variablesSe usa el cambio:

As se pueden comenzar a comparar dos o mas variables estadsticas: Notas de diferentes asignaturas de los alumnos de un curso de la UCAV.

iii. Coeficiente de variacin

Sirve para comparar la dispersin de la misma variable estadstica en diferentes poblaciones: Notas de estadistas en la misma convocatoria entre Agrcolas y Tcnicos industriales.

1y0mmxy yyx

x

mcv


39


RESUMEN NUMRICO


II. Caractersticas de dispersin.iii. El recorrido:

Diferencia entre el valor mximo y mnimo de la variable estadstica

III. Caractersticas de formai. Coeficiente de asimetra:

ii. Coeficiente de Kurtosis:

iii. Cuando la variable estadstica pertenece a una distribucin Normal 2=0.

33

1

344

2


40

Distribucin de efectivos de una poblacin de N unidades estadsticas con 2 caracteres

I. Notacin:

Poblacin: N unidades estadsticas , agrupadas en modalidadesModalidades:

Carcter A: Ii :(i=1,2,...,s)Carcter B: Jj:(j=1,2,...,t)

Modalidades combinadas: (Ii, Jj)Cuadro de contingencia: distribucin de efectivos por modalidades

para caracteres cuantitativos.Cuadro de correlacin: distribucin de efectivos por modalidades

para caracteres cualitativos.

Tema 2: Dos CaracteresCAPTULO I: ESTADISTICA DESCRIPTIVA

41


I. Notacin:Cuadro de contingencia (caracteres cuantitativos) cuadro de

correlacin (cualitativos)


Modalidades Carcter B

J1 J2 ........ Jj ......... Jt Total

columna Modalidades Carcter A

I1 N11 N12 ........ N1j ........ N1t N1. I2 N21 N22 ........ N2j ........ N2t N2. . . .

.

.

.

.

.

.

........

........

........

.

.

.

........

........

........

.

.

.

.

.

. Ii Ni1 Ni2 ........ Nij ........ Nit Ni. . . . .

.

.

.

.

.

.

.

.

........

........

........

........

.

.

.

.

........

........

........

........

.

.

.

.

.

.

.

. Is Ns1 Ns2 ........ Nsj ........ Nst Ns.

Total filas N.1 N.2 ........ N.j ........ N.t N

Mas fcil todava!

42



correlacin (cualitativos)


Nij: N de unidades estadsticas de la poblacin en la modalidad Ii del carcter A y en la modalidad Jj del carcter B.

: N de unidades estadsticas existentes en la modalidad Ii del carcter A.

: N de unidades estadsticas existentes en la modalidad Jj del carcter B.

t

1jij.i NN

s

1iijj. NN

NNNNt

1jj.

s

1i.i

s

1i

t

1jij

43



correlacin (cualitativos). Distribuciones marginales:


Efectivos Modalidades Carcter A

I1 N1. I2 N2. . . .

.

.

. Ii Ni. . . . .

.

.

.

. Is Ns.

Total filas N

Efectivos Modalidades Carcter B

J1 N.1 J2 N.2 . . .

.

.

. Jj N.j . . . .

.

.

.

. Jt N.t

Total filas N

44



correlacin (cualitativos). Distribuciones condicionales:


Efectivos Jj Modalidades Carcter A

I1 N1j I2 N2j . . .

.

.

. Ii Nij . . . .

.

.

.

. Is Nsj

Total filas N.j

Efectivos Ij Modalidades Carcter B

J1 Ni1 J2 Ni2 . . .

.

.

. Jj Nij . . . .

.

.

.

. Jt N1t

Total filas Ni.

45



correlacin (cualitativos).

Cuadro de frecuencias:


1fff

fNN

f

fNNf

NN

f

t

1jj.

s

1i.i

s

1i

t

1jij

s

1iij

j.j.

t

1jij

.i.i

ijij

46



correlacin (cualitativos). Cuadro de frecuencias:


Modalidades Carcter B

J1 J2 ........ Jj ......... Jt Total columna Modalidades Carcter A

I1 N11 N12 ........ N1j ........ N1t N1. I2 N21 N22 ........ N2j ........ N2t N2. . . .

.

.

.

.

.

.

........

........

........

.

.

.

........

........

........

.

.

.

.

.

. Ii Ni1 Ni2 ........ Nij ........ Nit Ni. . . . .

.

.

.

.

.

.

.

.

........

........

........

........

.

.

.

.

........

........

........

........

.

.

.

.

.

.

.

. Is Ns1 Ns2 ........ Nsj ........ Nst Ns.

Total filas N.1 N.2 ........ N.j ........ N.t N

47



correlacin (cualitativos). Distribuciones marginales:


Efectivos Modalidades Carcter A

I1 f1. I2 f2. . . .

.

.

. Ii fi. . . . .

.

.

.

. Is fs.

Total filas 1

Efectivos Modalidades Carcter B

J1 f.1 J2 f.2 . . .

.

.

. Jj f.j . . . .

.

.

.

. Jt f.t

Total filas 1

48



correlacin (cualitativos). Distribuciones condicionales:


Efectivos Jj Modalidades Carcter A

I1 f1j I2 f2j . . .

.

.

. Ij fij . . . .

.

.

.

. Is fsj

Total filas f.j

Efectivos Ij Modalidades Carcter B

J1 fi1 J2 fi2 . . .

.

.

. Jj fij . . . .

.

.

.

. Jt f1t

Total filas fi.

49


II. Relaciones entre caracteres

i. Dos caracteres son independientes si se verifica:

ii. Dos caracteres estn ligados funcionalmente si a cada modalidad del carcter B le corresponde una sola modalidad del carcter A; para cada columna Jj slo habr un Nij0.

iii. Caractersticas de las variables bidimensionales: adems del estudio de caractersticas para cada carcter, las conjuntas sern: la covarianza, el coeficiente de correlacin y como resultado la recta de mnimos cuadrados.


NNN

NN

fff

j..iij

j..iij

50


II. Relaciones entre caracteresi. Caractersticas de las variables bidimensionales.

1. Covarianza:a. Datos individuales:

b. Datos agrupados:


N

1kykxkxy mymxN

1)y,x(Cov

s

1i

t

1jyjijxiijxy myfmxf)y,x(Cov

51



1. Covarianza:c. Interpretacin:


Traslacin del origen de coordedas a (mx,my):

(xk-mx)(yk-my) > 0 si (xk, yk) I III (xk-mx)(yk-my) < 0 si (xk, yk) II IV

Luego la expresin:

Ser >0 si predominan los puntos en I y IIISer

52



1. Covarianza:c. Interpretacin:


0xy 0xy 0xy

53



1. Covarianza:d. Propiedades:

La covarianza de un mismo carcter:

Operando se demuestra:

Si: Y = a + b X, con a y b constantes:

Si: Z = a1 + b1 X; y W = a2 + b2 Y, con a1, a2, b1 y b2 constantes:


2xxx

N

1kyxkk

N

1kykxkxy mmyxN

1mymxN1

2xxy b

xy21zw bb

54



2. Coeficiente de correlacin: en el caso de que las unidades de medida de las variables X e Y cambien, su covarianza cambia, esto se evita mediante el cambio:

a. Propiedades: su valor absoluto se acercar

mas a 1 cuanto mas se aproxime la nube de puntos a una recta


yx

xyN

1k y

yk

x

xkxy

mymxN1

1xx 11 xy

1xy

1xy

55



2. Coeficiente de correlacin:a. Propiedades:

Si Y = a + b X, con a y b constantes tal que:

Si: Z = a1 + b1 X; y W = a2 + b2 Y, con a1, a2, b1 y b2 constantes y Reales:


10bSi10bSi

xy

xy

zwxy

56



3. Rectas de mnimos cuadrados:

a. La ordenada, Yk de P, vale:

b. Cada segmento obtiene su valor de:

c. Llamndose a ek residuo


''P'P'PP''PPyk

kkk

k

exy''P'P''PP'PP

x''PP

kk xy

57



3. Rectas de mnimos cuadrados:

Objetivo: encontrar la recta del plano que hace mnimo la suma de residuos al cuadrado:

Lo cual supone cumplir las condiciones de mnimo, respecto a y :


kk xy

N

1k

2kk

N

1k

2k xyeM

0xyx0M0xy0M

N

1kkkk

N

1kkk

58



4. Coeficiente de determinacin:

Adems de rectas es susceptible de usar otras curvas cul ser la ms adecuada y representativa del ajuste por mnimos cuadrados?

La respuesta la da el Coeficiente De Determinacin:cuadrado del coeficiente de correlacin 2 Para cualquier curva a la que se pretenda ajustar por mnimos cuadrados del tipo y = h(, , x), minimizando la expresin:


N

kk

N

kk xhyeM

1

2

1

2 ,,

59



4. Coeficiente de determinacin:a. h Es lineal: y = + x

se demuestra:


xx

yy

y

x

x

xy

yx

xy

xx

xyy

xyx

xy

mxmy

mxmy

mm

2

2

2 ;)4(kk exy

)5(xy mm

60




restando (4) y (5):


222

2

2

2

4

2

1

2

1

2

2

1

2

1

2

1

2

2

1

2

1

2

1

2

1

22

1

2

)6(1

)(

yx

xy

y

x

x

xyN

kyk

N

kxk

N

kyk

N

kk

N

kxk

N

kyk

N

kyk

N

kk

N

kxk

N

kyk

kxkyk

my

mx

bmy

emx

my

my

emxmy

sumatorioelrealizandoycuadradoalElevandoemxmy

61




La ecuacin (6b) se transforma en


11

2

1

2

2

N

kyk

N

kk

my

e

62




0 2 1 Cuanto menor sea la suma de los cuadrados de los residuos, 2 ms

se aproxima a la unidad. Hay que tener en cuenta que el coeficiente de determinacin slo es

vlido si la recta de mnimos cuadrados tiene termino independiente .


11

2

1

2

2

N

kyk

N

kk

my

e

63



4. Coeficiente de determinacin:b. h Es linealizable: y = x

Aplicando logaritmos:lny = ln + ln x

Realizando el cambio:lnx = z ln = 0 ln y = w


64



4. Razn de correlacin y curva de regresin: Curva de regresin lugar geomtrico de los puntos

cuyas ordenadas son las medias de las distribuciones condicionales de Y para los citados valores de X.


21

2.

2/

)(1

y

s

iyii

yx

mmNN

Diapositiva 1Diapositiva 2Diapositiva 3Diapositiva 4Diapositiva 5Diapositiva 6Diapositiva 7Diapositiva 8Diapositiva 9Diapositiva 10Diapositiva 11Diapositiva 12Diapositiva 13Diapositiva 14Diapositiva 15Diapositiva 16Diapositiva 17Diapositiva 18Diapositiva 19Diapositiva 20Diapositiva 21Diapositiva 22Diapositiva 23Diapositiva 24Diapositiva 25Diapositiva 26Diapositiva 27Diapositiva 28Diapositiva 29Diapositiva 30Diapositiva 31Diapositiva 32Diapositiva 33Diapositiva 34Diapositiva 35Diapositiva 36Diapositiva 37Diapositiva 38Diapositiva 39Diapositiva 40Diapositiva 41Diapositiva 42Diapositiva 43Diapositiva 44Diapositiva 45Diapositiva 46Diapositiva 47Diapositiva 48Diapositiva 49Diapositiva 50Diapositiva 51Diapositiva 52Diapositiva 53Diapositiva 54Diapositiva 55Diapositiva 56Diapositiva 57Diapositiva 58Diapositiva 59Diapositiva 60Diapositiva 61Diapositiva 62Diapositiva 63Diapositiva 64

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Estadística descriptiva