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Curso: Estadística
Ciclo: III
Grupo: A
Tema: Probabilidad
Docente: MBA. Luis Calderón
Estudiantes:
Arévalo Oliva María
Avalos Ludeña Jenry
Huisa Lucio Jirko
Javier Villanueva Magda
Laveriano Pinedo Fiorela
Ponte Ramírez Reynaldo
Rodríguez Sánchez Natanael
Saavedra Pérez Giuliana
Torres Villanueva Mitshell
Chimbote – Perú
2014
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA FACULTAD DE INGENIERÍA INGENIERÍA AGROINDUSTRIAL
[UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA] 2 de junio de 2014
Estadística Página 2
Índice
Páginas
INTRODUCCIÓN………………………………………………………………. 3
CAPITULO 1: DEFINICIONES………….…………………………………… 6
1.1. Historia……………………………………………………………… 7
1.2. Definiciones……….……………………………………………….. 8
CAPITULO 2: PROPIEDADES DE LAS PROBABILIDADES…………...13
CAPITULO 3: AXIOMAS O LEYES………….…………………………. 17
CAPITULO 4: ALGEBRA DE PROBABILIDADES……………………. 35
CAPITULO 5: BIBLIOGRAFÍA………….…………………………….… 44
CAPITULO 6: EJEMPLOS………….…………………………………... 46
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Introducción a la Probabilidad
En la interpretación del concepto de probabilidad , se
han seguido dos escuelas , La primera , clásica u
objetivista , interpreta la probabilidad como la
frecuencia relativa de la ocurrencia de algún evento o
resultado (consecuencia) en el desempeño final o la
repetición de un experimento , entendida esta última
palabra como una actividad que pudiera conducir a
los resultados previstos , sin olvidar que el resultado
particular observado en cualquier etapa del
experimento también está generado por el azar .
La escuela clásica u objetivista, del siglo XVII, tendría como principal interés
determinar la probabilidad de éxito en los juegos de azar. En este caso, los
experimentos en cuestión eran tirar un dado, girar la ruleta, manejar las carta,
etc.
Los matemáticos de este siglo B. Pascal, P, Ferment y P.S, Laplace, entre
otros fuero los que más contribuyeron a formalizar los conceptos de
probabilidad.
La segunda escuela es la subjetivista o bayesiana, la cual utiliza los resultados
a priori para calcular la probabilidad de ocurrencia de varios estados del
universo (también llamado espacio de eventos), en una etapa particular del
experimento que se trata.
El conocimiento a prior es la forma en que emergerá la distribución de
probabilidades, dado el conocimiento de la naturaleza del experimento que se
va a realizar.
El enfoque subjetivista permite al investigador asignar probabilidades o eventos
particulares (algunos posibles resultados del experimento que se esté llevando
a cabo)
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Como mencionamos, la escuela subjetivista también se conoce como
bayesiana , ( en este libro , la etiqueta bayesiana significa deseo de incorporar
probabilidades subjetivas en el análisis estadístico ) , en contraparte con los
seguidores de la escuela objetivista , que no desean incorporar presentimientos
subjetivos en probabilidad a la estructura formal del análisis estadístico , pues
no creen que el concepto de probabilidad pueda aplicarse a la verosimilitud de
ocurrencia de varios acontecimientos en un experimento sin repetición.
El uso de las probabilidades a posteriori implica la aceptación de la creencia de
que ciertas fuerzas que operaron en el pasado causan que un modelo
particular de distribución de probabilidad continúe de la misma manera.
Como muchos sistemas matemáticos, la teoría de probabilidad se convierte en
un modelo útil cuando sus elementos se relacionan e identifican con cosas
particulares; en este caso, los resultados de experimentos reales o
conceptuales. De este modo, la teoría nos permite deducir ciertas
proposiciones acerca de la verosimilitud de varios resultados.
Debido a que el observador tiene una ignorancia total o parcial, es decir, una
incertidumbre acerca del resultado de una investigación, su actitud será
eventualmente inferior a adivinar qué ocurrirá. En un sentido, la probabilidad
refleja la incertidumbre acerca del resultado de un experimento, por lo que la
probabilidad puede pensarse como el lenguaje matemático de la incertidumbre,
y esta es igual para el investigador y para el jugador de azar
En los últimos años se ha incrementado el uso de los modelos probabilísticos,
debido a que presentan muchas ventajas al aplicarse a situaciones reales. En
los modelos probabilísticos interviene un conjunto de variables aleatorios, las
cuales se rigen por algún parámetro, como tiempo o espacio. A los procesos
aleatorios también se les conoce como procesos estadísticos
En toda investigación o estudio, una vez que se han recopilado datos empíricos
se adopta un modelo teórico (alguna distribución teórica), con el objeto de
extraer más información de los datos, si la adaptación es buena, las
propiedades del conjunto de datos pueden aproximarse a las del modelo
teórico. De manera similar, a un proceso real que posea la característica de un
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proceso aleatorio se le podrá adaptar un proceso estocástico .De este modo, el
conocimiento de las propiedades y característica del proceso estocástico es
altamente deseable para una mejor comprensión del fenómeno real en estudio
Las incertidumbres asociadas con el comportamiento humano, en diferentes
situaciones, se adaptan de una manera adecuada a los modelos
probabilísticos y a los procesos estocásticos.
Estos modelos podrían utilizarse para analizar:
ⱷ Movilidad social de los individuos
ⱷ Movilidad industrial de trabajadores o empleados
ⱷ Sistemas educativos
ⱷ Procesos de una enfermedad
ⱷ Sistemas de información
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CAPITULO 1
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HISTORIA
La teoría del cálculo de probabilidades comenzó con una correspondencia
entre dos matemáticos franceses , Blaise Pascal ( 1623 -1662 ) y Pierre Fernat
(1602 -1665 ) , en 1654 , con respecto a dos problemas formulados por un
jugador compulsivo , el Chevalier de Méré ( título del Barón A.G. Méré (1610 –
1685 ) . A partir de ese momento se realizan estudios de modelos matemáticos
con ejemplos, esencialmente de juegos de azar (finalmente esa era la
motivación de la época). Por desgracias, tal enfoque se propagó hasta nuestros
días, conllevando a que los libros de probabilidad traigan una serie de ejemplos
que se refieren a los juegos de azar, a la extracción de bolas de las urnas, en el
lanzamiento de los dados y en la aparición de determinadas cartas de la baraja,
en especial, los ases y los reyes. Además, al aparecer la enseñanza de la
teoría de conjuntos en las escuelas brasileñas en la década de 1960, se hizo
énfasis en la asociación entre los conceptos probabilísticos y los de tal teoría
con la intención de facilitar el raciocinio estadístico a partir de otros modelos
aparentemente más estructurados y de conocimiento general. De todos modos,
los dos enfoques tuvieron su importancia hasta la década de 1980, y sus
seguidores estaban preocupados por proporcionar una mejor comprensión de
los conceptos teóricos por medio de estructuras que, a su entender, facilitarían
la comprensión de los modelos existentes. En nuestros días, tal visión
asociativa ya no es válida, especialmente por la variedad de aplicaciones (no
solamente en los juegos de azar) y por la absoluta necesidad de que las
personas comprendan cómo utilizar
los conceptos estadísticos en la vida
diaria
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DEFINICIONES
1. En cualquier experimento aleatorio siempre hay incertidumbre sobre si
un suceso específico sobre si un suceso especifico ocurrirá o no .Como
medida de la oportunidad o probabilidad con la que podemos esperar
que un suceso ocurra es conveniente asignar un número entre 0 y 1. Si
estamos seguros de que el suceso ocurrirá decimo que su probabilidad
es 100% o 1, pero si estamos seguros de que el suceso no ocurrirá
decimos que su probabilidad es cero. Por ejemplo , si la probabilidad es
de ¼ , diríamos que hay un 25%de oportunidad de que ocurra y un
75%de oportunidad que no ocurra .Equivale a decir que la probabilidad
contra su ocurrencia es del 75% al 25% o de 3 a 1
Fuente: Murray R. Spiegel , Teoría y problemas de probabilidad y
Estadística , Mc. GRAW –HILL , Bogotá –Colombia , 1936
2. La definición de probabilidad fue dada por Laplace y desde entonces se
ha repetido en casi todos los libros sobre teoría de probabilidades. En su
forma dice : “Probabilidad es la razón del número de casos
favorables al número total de casos igualmente posibles “
La probabilidad se puede estudiar desde dos puntos de vista:
1. A priori o clásico: a priori significa aquello que se puede deducir
usando la razón , sin la experiencia .Desde este punto de vista se
define la probabilidad:
( )
El símbolo P(A) se lee como “La probabilidad de ocurrencia del evento A
“ .Así , la ecuación establece que la probabilidad de ocurrencia del
evento A es igual al número de eventos clasificables como A divida entre
la cantidad de eventos posibles
El número de eventos clasificados como A, es el número de casos
favorables y la cantidad total de eventos posibles es el número de casos
posibles
( ) ( )
( )
2. A posteriori: A posteriori significa “después del hecho”, en el
contenido de la probabilidad, significa después de reunir algunos
datos. desde el punto de vista a posteriori se define como:
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( )
Fuente: Guillermo Gamarra, Jorge Berrospi F., Oscar Pujay C.,
Rudy Cuevas C., Estadística e investigación, San Marcos, Lima
3. La probabilidad desempeña un papel importante en la toma de
decisiones, por ejemplo, suponga que tiene una oportunidad de invertir
en una compañía de exploración petrolera. los antecedentes indican que
10 de las últimas 10 perforaciones en busca de petróleo (una muestra de
las experiencias de la compañía) resultaron en pozos secos ¿cuál es su
conclusión? ¿cree usted que las posibilidades de que la compañía dé con
un pozo productor son menores que 50-50? ¿debería usted invertir en
esta compañía ? creemos que su respuesta sería un decidido “ no “
Fuente: William Mendehall, Terry Sincig, Probabilidad estadística,
para ingeniería y ciencias 4ta edición, México, 1997
4. En la vida real la posibilidad de que un evento suceda puede estar entre
lo virtualmente cierto y lo virtualmente imposibles. la teoría de
probabilidades ofrece un marco para asignar números reales a la
posibilidad de ocurrencia de diferentes eventos, de tal manera que sus
posibilidades puedan ser comparadas y evaluadas.
Conceptualmente, existen tres maneras de determinar la probabilidad de
una ocurrencia: objetiva, experimental y subjetiva.
A. Probabilidad objetiva:
Depende de las características físicas del objeto de estudio. Esta
manera de asignar probabilidad es conveniente para resolver
problemas que involucran el uso de objetos físicos. Así, por
ejemplo, la posibilidad de obtener un 4 al lanzar un dado es 1/6.
Como se puede deducir, esta metodología no será apropiada
para tratar problemas económicos o administrativos
B. Probabilidad experimental:
Se le llama también frecuencia relativa de una ocurrencia. En
algunos casos es posible estimar la probabilidad de ocurrencia de
un evento observando el número de veces que ocurrió en un
periodo largo.
Esta probabilidad experimental supone que una misma situación
pueda repetirse varias veces, y sobre todo, se presume que tal
situación no cambiaría en el futuro. Circunstancias de este tipo no
son muy frecuentes en las áreas de administración y economía, y
por tanto no se pueden calcular probabilidades a través de una
serie de repeticiones de un experimento.
C. Probabilidad subjetiva :
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Es la medida asignada a la valoración subjetiva hecha por un
individuo de la probable ocurrencia de un evento. Se basa en la
información de que dispone esta persona en un momento dado,
es decir en su estado de información.
La idea fundamental en este tipo de asignación es que la
probabilidad es un número que usamos para describir nuestra
certeza sobre la ocurrencia de un evento. El grado de certidumbre
depende de la información de que disponemos con respecto al
evento. Al depender esa medida del estado de información, ella
puede cambiar con la disponibilidad de nueva información.
Fuente: José Salinas Ortiz, Análisis Estadístico para la toma de
decisiones en Administración y Economía, Universal del Pacifico,
Lima –Perú, 2001
5. El termino probabilidad se refiere al estudio de la aleatoriedad y la
incertidumbre. en cualquier situación donde se produzca alguno de
varios resultados posibles, la teoría de la probabilidad proporciona
métodos para cuantificar las oportunidades o probabilidades, asociadas
con varios resultados.
El lenguaje de probabilidades se utiliza constantemente de una manera
informal, tanto en contextos verbales como escritos, por ejemplo “es
probable que el promedio Dow – Jones aumente a fines de año “, “Hay
50 -50 de posibilidades de que el titular busque la reelección “
Fuente: Jay L. Devore, Probabilidad y estadística para ingeniería
y ciencias, quinta edición, Thomnson Editores S.A., México, 2001
6. El concepto de la probabilidad de un evento particular en un experimento
está sujeto a varios significados o interpretaciones. Por ejemplo, si se
dice que un geólogo manifestó “Que hay una posibilidad de 60 por ciento
de encontrar petróleo en una determinada región “, probablemente todos
nosotros tendremos una idea de lo que está diciendo. En efecto, la
mayoría de nosotros interpretará esto de una de estas dos maneras
suponiendo que:
i. El geólogo siente que , a la larga , en el 60 por ciento de las
regiones en las que las condiciones ambientales sean muy
semejantes a las condiciones en la región en consideración ,
habrá petróleo
O suponiendo que
ii. El geólogo cree que es más probable que haya petróleo en la
región, a que no haya.
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Fuente: Sheldon M.Ross, Probabilidad y estadística para
ingenieros, 2 da edición, MC Graw Hill, México, 2002
7. La teoría moderna define la probabilidad como un número que satisface
una serie de postulados, pero no indica cómo se debe obtener ese
número simplemente establece las reglas que debemos obedecer al
manipular las probabilidades obtenidas. en consecuencia , hay dos
grandes corrientes al respecto del problema de la determinación de la
probabilidad
ⱦ La escuela objetivista o frecuencialista considera que la
probabilidad solo puede obtenerse por medio de las frecuencias
relativas y, por consiguiente, solamente es aplicable a las
situaciones en las que la experiencia puede repetirse varias
veces, en las mismas condiciones.
ⱦ La escuela subjetivista o personalista considera a la
probabilidad como una medida de la creencia de una persona
racional en una determinada proposición. diferentes individuos
racionales pueden tener grados diferentes de credulidad, aun al
frente de una misma evidencia y, por consiguiente, las
probabilidades personales para el mismo evento pueden ser
diferentes.
Fuente: Paulo Alonso López, Probabilidad y estadística,
concepto, modelos y aplicaciones en Excel, Prentice Hall,
Colombia, 2000
8. Cuando queremos hablar de probabilidades, estamos tratando con
procedimientos (como tirar un dado, contestar una pregunta de opción
múltiple en un examen o aplicar una prueba de embarazo) que producen
resultados.
Fuente: Mario F. Triola, Estadística, novena edición
9. La expresión matemática de la probabilidad como un número entre 0 y 1
es un concepto importante. esta forma de expresión es fundamental y
común en los procedimientos estadísticos
Fuente: Mario F. Triola, Estadística, novena edición
10. Una definición clásica de la probabilidad consiste en considerar un
experimento aleatorio, cuyo correspondiente espacio muestra E está
formado por un número n, finito, de posibles resultados distintos y con la
misma posibilidad de ocurrir * + . Entonces si resultados
constituyen el subconjunto o suceso resultados constituyen el
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suceso resultados constituyen el suceso de tal manera
que :
Y las probabilidades de los sucesos
( )
( )
( )
Es decir, la probabilidad de cualquier suceso A es igual al cociente entre el
número de resultados que integran el suceso A y el número total de elementos
o posibles resultados del espacio muestral E. Luego una fórmula para calcular
la probabilidad de un suceso cuando todos los posibles resultados tienen la
misma probabilidad de ocurrir será:
( )
Que se conoce con el nombre de la regla de Laplace para espacios muéstrales
finitos
Fuente: Estadística I Probabilidad y distribución José M. Casas
Sanchez, Editorial centreo de estudios Ramón Areces / S.A.,
Madrid, 2000
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CAPITULO 2
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PROPIEDADES DE LA PROBABILIDADES
1. La suma de las probabilidades de un suceso y su contrario
vale 1, por tanto la probabilidad del suceso contrario es:
Ejemplo: Se sabe que la probabilidad de curar la leucemia infantil es
de 1/3. Por lo tanto, la probabilidad de que no se cure la enfermedad
será de:
1 − 1 / 3 = 2 /3
2. Probabilidad del suceso imposible es cero.
Ejemplo. Consideramos el experimento de lanzar un dado.
La probabilidad de obtener 9 en una cara es igual a cero.
3. La probabilidad de la unión de dos sucesos es la suma de
sus probabilidades restándole la probabilidad de su
intersección.
Ejemplo. En una población el 4% de las personas son daltónicas, el
18% hipertensas y el 0.5% daltónicas e hipertensas. ¿Cuál es la
probabilidad de que una persona sea daltónica o hipertensa?
Α = Daltónico, B = Hipertenso
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4. Si un suceso está incluido en otro, su probabilidad es
menor o igual a la de éste.
Ejemplo. En el experimento anterior, sea A el suceso obtener un número
mayor que 4, y B obtener un número mayor que 2
5.
Ejemplo. “En el experimento anterior, sea A el suceso obtener un
número menor que 5 y B el suceso obtener un numero par”
P (A – B) = P ( A ) – P (A ∩B)
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6. Si el espacio muestral E es finito y un suceso es S = x 1, x2,
..., xn entonces:
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CAPITULO 3
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AXIOMAS O LEYES
Propiedades de las operaciones
• Conmutativa: A ∪ B = B ∪ A y A ∩ B = B ∩ A
• Distributiva: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) y A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩
C)
• ∀A suceso se verifica: A ∪ E = E y A ∪ ∅ = A
• ∀A suceso se verifica: A ∩ E = A y A ∩ ∅ = ∅
• ∀A suceso se verifica: A ∪ Ac = E y A ∩ Ac = ∅
• El contrario del contrario de un suceso es el mismo suceso: (Ac)c = A
• Idempotencia: A ∪ A = A ∩ A = A
• Absorcion: A ∪ (A ∩ B) = A ∩ (A ∪ B) = A
Leyes de Morgan
1. El contrario de la unión de dos sucesos es igual a la intersección de los
contrarios. (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc 2. El contrario de la intersección de dos sucesos es igual a la unión de los
contrarios. (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc
Álgebra de sucesos
Definición: Consideremos un subconjunto del espacio de sucesos, S ⊆ P(E),
con las operaciones unión,
Intersección y contrario, diremos que es un algebra de sucesos si verifica los
axiomas:
Axioma 1 S 6= ∅. Debe tener, al menos, un suceso.
Axioma 2 ∀A, B ∈ S entonces A ∪ B ∈ S
Axioma 3 ∀A ∈ S entonces Ac ∈ S
Si el espacio muestral es infinito, el axioma 2, se debe generalizar para infinitos
sucesos:
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Consecuencias de la definición
1. Si A,B ∈ S entonces A ∩ B ∈ S
Demostración
Aplicando las leyes de Morgan:
2. Si A,B ∈ S entonces A \ B ∈ S
Demostración
Por definición:
3. ∅ ∈ S. El suceso imposible pertenece al ´algebra de sucesos.
Demostración:
4. E ∈ S. El suceso seguro pertenece al ´algebra de sucesos.
Demostración:
Es trivial aplicando la propiedad anterior y el axioma 3.
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Espacio probabilístico
En los experimentos aleatorios donde el espacio muestral es finito,
consideraremos, sin perder rigor, que S = P(E).
Definición axiomática de la probabilidad
Definición: Sea E un espacio muestral finito y S un ´algebra de sucesos. Se
llama probabilidad a una
Aplicación:
P: S@ >> > R
Verificando los siguientes axiomas de definición:
Axioma 1 ∀A ∈ S su P(A) ≥ 0.
Axioma 2 ∀A,B ∈ S y A ∩ B = ∅ entonces P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Axioma 3 El suceso seguro tiene de probabilidad uno: P(E) = 1.
El Axioma 2, se puede generalizar a n-sucesos incompatibles dos a dos:
Sean ∀A1,A2, · · · ,An ∈ S incompatibles dos a dos, Ai ∩ Aj = ∅ si i 6= j
entonces:
La definición axiomática es debida al matemático ruso Kolmogoroff.
Consecuencias de la definición
1. Si A ∈ S entonces P (Ac) = 1 − P(A).
Demostración
Aplicando las propiedades de las operaciones con sucesos:
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Por lo tanto:
2. La probabilidad del suceso imposible es cero: P(∅) = 0
Demostración:
P (∅) = 1 − P(∅c) = 1 − P(E) = 1 − 1 = 0
3. P(A \ B) = P(A) − P(A ∩ B)
Demostración:
4. Si B ⊂ A entonces P(B) ≤ P(A)
Demostración
Si B ⊂ A entonces B ∩ A = B por lo tanto:
Consecuencia inmediata de las dos ´ultimas propiedades:
0 ≤ P(A) ≤ 1 ∀A ∈ S
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La demostración es inmediata.
5. Generalización del Axioma 2:
∀A,B ∈ S entonces P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Espacio probabilístico
Definición A la terna (E, S, P) formada por el espacio muestral, el ´algebra de
sucesos y la función
Probabilidad definida sobre S, recibe el nombre de espacio probabilístico.
Espacio finito de probabilidad
Sea E un espacio muestral finito asociado a un determinado experimento
aleatorio.
E = a1, a2, a3, ・ ・ ・ , an, , cada comportamiento elemental es un suceso.
Un espacio finito de probabilidad se obtiene al asignar a cada suceso ai ∈ E un
número real pi, llamado probabilidad de ai que verifica:
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Estas dos condiciones son equivalentes a los axiomas de definición de
probabilidad.
Ejemplo
Consideremos el experimento aleatorio lanzar un dado. El espacio muestral es
finito E= 1, 2, 3, 4, 5, 6. Es Posible que las probabilidades de obtener las
caras del dado sean las siguientes?
P(1) = 0, 1 P(2) = 0, 3 P(3) = 0, 1 P(4) = 0, 2 P(5) = 0, 3 P(6) = 0, 1
Es evidente que se trata de un espacio finito de probabilidad, por lo tanto debe
verificar las dos condiciones:
• pi ≥ 0 ∀ai ∈ E . Efectivamente todas las probabilidades son positivas.
Por lo tanto no es un espacio finito de probabilidad.
Ejemplo
En una competición de tenis hay cuatro jugadores A,B,C,D las probabilidades
de ganar el torneo son las siguientes:
• El jugador A tiene el doble de probabilidad que el B.
• El jugador B tiene el triple de probabilidad que el C.
• El jugador C tiene la mitad de probabilidad que el D.
1. Hallar las probabilidades que tienen de ganar cada uno de los jugadores.
2. Hallar la probabilidad que el torneo lo gane el jugador A o el B.
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Determinación de la probabilidad
La definición axiomática de la probabilidad resuelve el concepto matemático.
En la parte práctica debemos Determinar la probabilidad de un suceso
cuantitativamente.
Regla de Laplace
La probabilidad de un suceso es el cociente entre los casos favorables y el
n´umero de casos posibles.
p(A) = Número de casos favorables
Número de casos posibles
Para poder aplicar la definición de Laplace todos los sucesos deben ser
equiprobables. No es válida la definición en el caso de sucesos compuestos.
En la práctica se usa la definición de Laplace siempre que sean equiprobables.
Concepción frecuencial u objetivista. Definición de Von Misses
Definición: Se llama frecuencia absoluta de un suceso al número n′ de veces
que se verifica en n pruebas.
Definición: Se llama frecuencia relativa de un suceso A al cociente entre la
frecuencia absoluta y el número de veces que se realiza el experimento.
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Verifica los axiomas de la definición axiomática de probabilidad.
Definición: Se llama probabilidad de un suceso A al límite de la frecuencia
relativa cuando el número de pruebas efectuadas tiende a infinito.
Para poder aplicar esta definición el experimento debe realizarse un gran
número de veces para obtener, aproximadamente, la probabilidad del suceso.
Con la ayuda de un ordenador se pueden efectuar simulaciones de
experimentos aleatorios y calcular su probabilidad por la definición de Von
Misses.
Probabilidad condicionada. Teorema de Bayes
Probabilidad condicionada
La probabilidad condicionada aparece cuando la realización de un suceso
depende de la realización de otro suceso.
Ejemplo
Se extrae una carta de una baraja y se deposita en la mesa. Hallar la
probabilidad que al extraer una nueva carta esta sea una espada. La
realización del segundo suceso está condicionada por el suceso si en la
primera extracción ha salido o no, una espada.
Vamos a considerar un espacio probabilístico: (E, S, P)
Definición Sean dos sucesos A y B con P(B) > 0, llamamos probabilidad de A
condicionada al suceso B y lo escribiremos P (A|B) al cociente entre la
probabilidad de la intersección de A y B y la probabilidad del suceso B.
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Axioma 1: ∀A ∈ S su P(A|B) ≥ 0.
En efecto: P(A ∩ B) ≥ 0 por definición de probabilidad.
P(B) > 0 por hipótesis.
Por lo tanto P(A|B) =
Axioma 2: ∀A1,A2 ∈ S y A1 ∩ A2 = ∅ entonces P((A1 ∪ A2)|B) = P(A1|B) +
P(A2|B)
En efecto:
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Axioma 3: El suceso seguro tiene de probabilidad uno: P(E|B) = 1.
En efecto:
El Ax.2 se generaliza para n sucesos: Sean A1, A2, ・ ・ ・, An sucesos
incompatibles dos a dos entonces:
Consecuencia
Por definición:
Si P(A) > 0 entonces:
Por lo tanto:
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Teorema De la multiplicación para la probabilidad condicionada:
Generalizando por inducción el resultado anterior obtendríamos:
Dados A1,A2, ...,An un conjunto de sucesos, entonces: P(A1 ∩ A2 ∩ ・ ・ ・ ∩
An) = P(A1) ・ P(A2|A1) ・ P(A3|A1 ∩ A2) ・ P(A4|A1 ∩ A2 ∩ A3) ・ ・ ・
P(An|A1 ∩ A2 ∩ ...An−1)
Definición: A un proceso en el que tengamos una sucesión finita de
experimentos, en los cuales cada experimento tenga un número finito de
resultados se le denomina proceso estocástico finito que se resuelve mediante
diagramas en árbol y como aplicación del teorema anterior.
Sucesos independientes
Definición Dos sucesos A y B son independientes si P (A|B) = P(A) ´o P(B|A) =
P(B).
Teorema de Bayes
Teorema de la probabilidad total
Definición Una familia de sucesos A1,A2, ・ ・ ・ ,An del espacio E es un
sistema completo de sucesos si verifican:
1. La unión de todos los sucesos es el espacio muestral:
2. Son incompatibles dos a dos
Ai ∩ Aj = ∅ i 6= j
3. Tiene probabilidad estrictamente positiva:
P(Ai) > 0 ∀i = 1, ・ ・ ・ , n
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Teorema de la probabilidad total
Teorema Sea un espacio completo de sucesos entonces la probabilidad de un
suceso B, que puede tener lugar simultáneamente con uno o más de los
sucesos Ai es igual:
Demostración
El suceso B = B ∩ E y los sucesos B ∩ Ai y B ∩ Aj son incompatibles siempre
que
6≠j.
En efecto:
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• Los sucesos Ai son las causas o condiciones.
• Las P(Ai) son las probabilidades a priori de las causas.
• Las P(B|Ai) es la probabilidad que se verifique el suceso B si ha ocurrido Ai.
• Las P(Ai|B) son las probabilidades a posteriori de las causas una vez que se
ha efectuado el suceso B
Teorema de Bayes
Con las mismas hipótesis del teorema de la probabilidad total.
Teorema Las probabilidades a posteriori de los sucesos Ak una vez efectuado
el suceso B son iguales a:
Figura: Teorema de Bayes
Demostración
Es una consecuencia inmediata de la definición de probabilidad condicionada y
del teorema de la probabilidad total.
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El teorema de Bayes se aplica cuando se quiere determinar en qué medida la
realización del suceso B, confirma o rechaza, ciertas hipótesis.
Ejemplo
Un psicólogo industrial conoce, por experiencias anteriores, que el 90% de las
personas que inician un determinado entrenamiento técnico terminan con éxito.
La proporción de personas en entrenamiento y con experiencia previa es del
10% de entre las personas que completaron con ´exito su entrenamiento y del
25% de entre aquellos que no terminaron con éxito el entrenamiento.
1. Probabilidad de que una persona con experiencia anterior supere el
entrenamiento con éxito.
2. ¿La experiencia previa influye en el éxito del entrenamiento?
Sean los sucesos:
A: Una persona supera con éxito el entrenamiento.
Ac: Una persona no supera con éxito el entrenamiento.
B: Una persona posee experiencia previa.
Las probabilidades de los sucesos son:
P(A) = 0, 9 P(Ac) = 0, 1 P(B|A) = 0, 1 P(B|Ac) = 0, 25
1. Es una probabilidad a posteriori, aplicando el teorema de Bayes:
Es decir un 78%
2. La P(A) > P(A|B) por lo tanto el tener experiencia previa no influye en el
éxito del entrenamiento.
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Una ley de probabilidad , o distribución de probabilidad, es una función que
a un evento asocia un número , su probabilidad. Este número traduce
la oportunidad que tiene el evento de producirse. La forma más intuitiva de
definir una tal función es repetir el experimento aleatorio y asociar a cada
evento su frecuencia experimental. . Si es el número de
experimentos, el número de veces que se produce el evento , la
frecuencia experimental de es la razón . Aquí tenemos, como
ejemplo, repeticiones de un experimento cuyas eventualidades son
0, y .
En este ejemplo la frecuencia experimental de 0 es 8/20 , la de
1,2 es 12/20. El inconveniente es que la frecuencia experimental cambiará si
rehacemos los experimentos. En otras palabras el conjunto de
las repeticiones constituye un nuevo experimento aleatorio. Sin embargo
todos tenemos en nuestra mente una idea de la Ley de los Grandes
Números según la cual las frecuencias experimentales varían poco cuando el
número de repeticiones es grande. Veamos cuatro cálculos sucesivos de la
frecuencia experimental de 0 , en repeticiones del mismo
experimento anterior.
Las propiedades que esperamos de una ley de probabilidad son las mismas
que las de las frecuencias experimentales. Las consideraremos como los
axiomas de la definición.
A1
Para todo evento , .
A2
La probabilidad del evento cierto es : .
A3
Si es una sucesión de eventos disjuntos dos a dos ( y
no pueden suceder a la vez si ), entonces:
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Estadística Página 33
Una consecuencia inmediata de los axiomas A2 y A3 es la relación entre la
probabilidad de un evento y la de su opuesto, denotado .
Una ley de probabilidad es creciente por inclusión, según A1 y A3: si ,
entonces .
AXIOMAS DE KOLMOGÓROV
Dado un conjunto de sucesos elementales, Ω, sobre el que se ha definida una
σ-álgebra (léase sigma-álgebra) σ de subconjuntos de Ω y una función P que
asigna valores reales a los miembros de σ, a los que denominamos "sucesos",
se dice que P es una probabilidad sobre ñ (Ω,σ) si se cumplen los siguientes
tres axiomas.
Primer axioma
La probabilidad de un suceso A es un número real mayor o igual que 0.
P(A) ≥ 0
Segundo axioma
La probabilidad del total, Ω es igual a 1, es decir,
P (Ω) = 1
Tenemos un resultado de x1
Tercer axioma
Si A1, A2,… son sucesos mutuamente excluyentes (incompatibles dos a dos,
disjuntos o de intersección vacía dos a dos), entonces:
P (A1 U A2 U…) = ∑ ( )
Según este axioma se puede calcular la probabilidad de un suceso compuesto
de varias alternativas mutuamente excluyentes sumando las probabilidades de
sus componentes.
En términos más formales, una probabilidad es una medida sobre una σ-
álgebra de subconjuntos del espacio muestral, siendo los subconjuntos
miembros de la σ-álgebra los sucesos y definida de tal manera que la medida
del total sea 1. Tal medida, gracias a su definición matemática, verifica
igualmente los tres axiomas de Kolmogórov. A la terna formada por el espacio
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muestral, la σ-álgebra y la función de probabilidad se la denomina Espacio
probabilístico, esto es, un "espacio de sucesos" (el espacio muestral) en el que
se han definido los posibles sucesos a considerar (la σ-álgebra) y la
probabilidad de cada suceso (la función de probabilidad).
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CAPITULO 4
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ÁLGEBRA DE PROBABILIDADES
CONJUNTO: Un conjunto es una colección de objetos bien claros y
definidos, los cuales tienen una característica en común. A los objetos
se les llama elementos del conjunto.
Ejemplos:
- El conjunto de los días de la semana, los que representaremos por la
letra S: S=Domingo, Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes,
Sábado
- El conjunto de números de dígitos representados por D:
D=0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9
LEYES DE ALGEBRA DE SUCESOS:
Ω x Ω Ω A∪B es el uso que se verifica si y sólo si se
(A, B) A∪B verifica uno de los dos
Ω x Ω Ω A B es el suceso que se verifica cuando se
(A, B) A B verifican a la vez
Ω Ω Ac, complementario de A, es el suceso que se
A Ac verifica cuando no se verifica A
Como las definiciones de unión, intersección y complementación de
sucesos son idénticas a las de los conjuntos, estas operaciones para
sucesos cumplen las mismas propiedades que para los conjuntos.
∪
𝐶
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Un conjunto dotado con dos leyes de composición (operaciones) que
cumple la conmutatividad, distributividad, existencia de elemento neutro
y existencia de complementario, se llama álgebra de Boole.
Así pues, ( ; , ) es un álgebra de Boole.
Dos sucesos se dicen incompatibles si A B =.
Un sistema completo de sucesos son n sucesos A, A,..., A que verifican
las dos siguientes condiciones A A... A = E A A =, i, j = 1, 2, ..., n,
para i j.
Ejemplos:
- Conmutativa: AB = BA AB = BA - Asociativa: A (BC) = (AB)C A (BC) = (AB) C - Idempotente: AA = A AA = A - Simplificación: A (AB) = AB A (AB) = AB - Distributiva: A (BC) = (AB) (AC) A (BC) = (AB) (AC) - Existencia de elemento neutro: A = A A E = A - Absorción: A E = E A =
- Complementación: E C = C = E
- Involución: (A C ) C = A
- Leyes de Morgan: (AB) C = A C B C (AB) C = A C
B C
La distribución de los tipos de sangre en un país entre los individuos de raza blanca es
aproximadamente la siguiente:
Tras un accidente de automóvil, un individuo de raza blanca es conducido a una clínica de
urgencia. Se le hace un análisis de sangre para establecer el grupo al que pertenece. Cuál es la
probabilidad de que sea del tipo A, o B o AB?
Hay una probabilidad de 0.55 de que el paciente tenga uno de los tres grupos sanguíneos
mencionados.
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ALGEBRA DE PROBABILIDADES Si A y B son eventos de un cierto espacio de probabilidad y, la probabilidad condicional de A dado B está definida por
(
)
( )
( )
Y se lee “la probabilidad de A dado B”. El evento B es el evento condicionante y A es el evento condicionado.
Si tomamos en cuenta los eventos complementarios de A y B dados por respectivamente, y sin olvidar que los denominadores se suponen diferentes de cero, todas las relaciones de probabilidad condicional que se pueden establecer son las siguientes:
(
)
( )
( ) (
)
( )
( )
(
)
( )
( ) (
)
( )
( )
(
)
( )
( ) (
)
( )
( )
(
)
( )
( ) (
)
( )
( )
En una universidad el de los alumnos habla inglés, el francés y el los dos
idiomas ¿Cuál es la probabilidad de encontrar alumnos que hablen alguna lengua extranjera?
Solución:
Sea A el suceso hablar inglés: .
Sea B el suceso hablar francés: .
El suceso hablar francés e inglés es : .
Así:
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Las 8 relaciones anteriores dan cuenta de cualquier problema de probabilidad
condicional asociado a dos eventos básicos y sus complementos. Ahora bien,
si identificamos las probabilidades de la forma (
) como condicionales, las
de la forma ( ) como intersecciones y las de la forma ( ) como
marginales tenemos que toda la información que puede presentarse en este
tipo de problemas de probabilidad condicional es: 8 condicionales, 4
intersecciones y 4 marginales. Es decir, todo el conocimiento posible lo
constituyen 16 elementos. Como obviamente un problema no puede contener
toda la información, la pregunta que surge es la siguiente: ¿cuál es el número
mínimo de elementos que debe poseer un problema de probabilidad
condicional para que se puedan encontrar los demás? O en otras palabras, si
decimos que un problema de probabilidad condicional se resuelve
completamente cuando se obtienen todos los 16 elementos, ¿cuál es el
número mínimo de elementos que debe suministrar el problema para ser
resuelto completamente? y ¿cuáles pueden ser esos elementos? Para
responder estas preguntas, es necesario recordar algunas relaciones básicas
de la teoría de probabilidades que son satisfechas entre algunos de los
elementos mencionados
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
(
) (
) ( )
Y que tomamos como base para algunas definiciones que son importantes en
la solución de los diferentes tipos de problemas tal como veremos más
adelante:
• Dos marginales, dos intersecciones y dos condicionales que satisfacen (2) (3)
y (4) respectivamente, decimos que son complementarias.
• Una marginal y una intersección (o dos) que satisfacen (3) decimos que están
asociadas.
• Una condicional está asociada a una marginal cuando su evento
condicionante es la marginal considerada.
• Una condicional está asociada a dos intersecciones cuando éstas a su vez
están asociadas y la marginal correspondiente es el evento condicionante de la
condicional.
Para responder la primera pregunta obsérvese que:
• Por la igualdad (2), para obtener las cuatro marginales sólo se requieren dos
de ellas no complementarias.
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• Por la igualdad (3), dos marginales no complementarias y las cuatro
intersecciones se reducen a dos marginales no complementarias y una
intersección, o a dos intersecciones y una marginal no asociadas, o a tres
intersecciones.
• Por la igualdad (4) para obtener las ocho marginales sólo se requieren cuatro
que no sean complementarias.
• Además, con la igualdad (1) se pueden obtener todas las condicionales si se
conocen los elementos necesarios de intersecciones y marginales.
De esta forma podemos ya afirmar que, cuando se tienen 3 elementos tomados
adecuadamente de las intersecciones y de las marginales, se puede resolver
totalmente un problema de probabilidad condicional. Sin embargo, queda
pendiente la solución de problemas que suministren información de las
condicionales: ¿Si sólo se posee información sobre condicionales se puede
resolver el problema? ¿Cuánto condicionales mínimos se requieren para
resolver completamente un problema de probabilidad condicional? Si el
problema incluye información sobre marginales, intersecciones y condicionales,
¿cuál es el número mínimo de elementos que se requieren y cuáles? Para
responder estas preguntas tomamos un grupo de elementos constituido por
dos marginales no complementarias, una intersección y 4 condicionales no
complementarias.
Dos marginales no complementarias
( ) ( )
Una intersección:
( )
Cuatro condicionales no complementarias:
( ) (
) (
) (
)
Utilizando las igualdades (1), (2), (3) y (4) se encuentra que estos elementos
satisfacen el siguiente sistema de 4 ecuaciones con 7 incógnitas, que, como
son probabilidades, toman valores entre 0 y 1
Z1X1 = Y
Z2(1-X2) = X1 – Y1 (5)
Z3X1 = y
Z4 (1-X1 ) = X2 – Y
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En caso de elegir otro de los grupos de siete variables que incluyan las cuatro
condicionales, el sistema de ecuaciones asociado es equivalente al sistema (5)
del cual se puede obtener con adecuados cambios de variables. El sistema
anterior permite ver que el número mínimo de elementos necesarios y
suficientes para resolver completamente un problema de probabilidad
condicional se reduce a 3 elementos no complementarios. Precisamente la
escogencia de estos tres elementos permite obtener no solamente los diversos
tipos de problemas de probabilidad condicional que se pueden plantear, sino
que también permite realizar una clasificación de su nivel de dificultad tal como
mostramos en el apartado 5 más adelante
Un rápido conteo produce la siguiente clasificación, donde cada caso se
identifica con la información que suministra
1) Tres intersecciones.
2) Dos intersecciones y una marginal.
3) Dos marginales y una intersección.
4) Dos marginales y una condicional.
5) Dos intersecciones y una condicional.
6) Una intersección, una marginal y una condicional.
7) Una marginal y dos condicionales.
8) Una intersección y dos condicionales.
9) Tres condicionales
Si bien es cierto que cualquiera de estos problemas se puede resolver
utilizando el sistema de ecuaciones (5), la idea es analizar si las tablas y los
árboles permiten su solución y de qué forma. Esto nos puede conducir a poner
en práctica una estrategia didáctica para la enseñanza de estos temas con un
mejor conocimiento de causa y aprovechando la agilidad que brindan estos
registros comparados con el registro algebraico.
Sea Ω un conjunto. Definiremos el conjunto partes de Ω, por: P (Ω) = A: A
⊂ Ω.
Dado un conjunto A, denotaremos por Ac el complemento de A.
Definición 1.1 Sea una familia A de subconjuntos de Ω, es decir A ⊂ P (Ω).Se
dice que A es una σ-álgebra sobre Ω si satisface las siguientes propiedades.
A1. Ω ∈ A.
A2. Dado A ∈ A se tiene Ac ∈ A.
A3. Sea A1,...,An,... una sucesión de elementos de A. Entonces
⋃ ∈
Propiedades de σ− álgebras
Propiedad 1.1 ∅ ∈ A.
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Demostración. Resulta de A1 y A2.
Propiedad 1.2 Si A1,..., An son elementos de A entonces
⋃ ∈
Demostración.
Para ver esto supongamos que Ai ∈ A; i = 1,2,..., n. Probaremos que
⋃ ∈
Definamos una sucesión numerable (Bi)i≥1 agregando el conjunto ∅ de la
siguiente manera
Bj = Aj, 1 ≤ j ≤ n,
Bk = ∅ si k > n.
Entonces por ser A una σ-álgebra se tendrá que
⋃ ∈
Bi ∈ A y por lo tanto
⋃ ⋃ ∈
Propiedad 1.3
Si A es una σ-álgebra, y A1,..., An,... es una sucesión de elementos de A
entonces
⋂ ∈
Demostración. Esto resulta de que
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(⋃
)
Propiedad 1.4 Si A es una σ-álgebra, y A1, ..., An son elementos de A
entonces :
⋂ ∈
Demostración. Se demuestra igual que la Propiedad 1.2. 2
Propiedad 1.5 Si A es una σ-álgebra, y A1 y A2 son elementos de A,
entonces A1 −A2 ∈ A.
Demostración. En efecto A1 −A2 = A1 ∩A2c E ∈ A
Propiedad 1.6 La σ−álgebra sobre Ω más chica posible es
A0 = Ω,∅,
y la más grande es
A1 = P(Ω).
Luego si A es una σ-álgebra sobre Ω, se tendrá
A0 ⊂ A ⊂ A1.
Observación. En el contexto de la teoría de la medida, un elemento de la
σ−álgebra A se llama un conjunto medible.
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CAPITULO 5
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BIBLIOGRAFÍA
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Mc. GRAW –HILL , Bogotá –Colombia , 1936.
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Administración y Economía, Universal del Pacifico, Lima –Perú, 2001.
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quinta edición, Thomnson Editores S.A., México, 2001.
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11. Mario F. Triola, Estadística, novena edición
12. Estadística I Probabilidad y distribución José M. Casas Sanchez,
Editorial centreo de estudios Ramón Areces / S.A., Madrid, 2000
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CAPITULO 6
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EJEMPLOS DE GRUPO
1. ¿Cuál es la probabilidad de que un matrimonio tenga dos hijas
mujeres seguidas?
Solución:
Evento favorable A: primer nacimiento sea mujer.
Evento favorable B: segundo nacimiento sea mujer.
Luego: P(A) =
= 0,50
P (B) =
= 0,50
Por lo tanto, para dos nacimientos se tiene:
P (AᴖB) = (
) x (
)=
= 0., 25
P (AᴖB) = 25%
2. De los pacientes del hospital Carrión, el 40% son varones y el 9%
padecen de gripe desde la infancia. Si se elige un paciente al azar, ¿Cuál
es la probabilidad de que padezca de gripe, dado que es varón?
Solución:
Sean los eventos:
A: Pacientes varones.
B: Pacientes que padecen gripe.
AᴖB: Pacientes varones que padecen gripe.
Según los datos:
P(A) = 0,40
P (AᴖB)= 0,09
El problema nos pide: P ( ⁄ )= ( ᴖ )
( )
P ( ⁄ )=
=0.225
P ( ⁄ )= 22,5%
Entonces la probabilidad de que un paciente padezca de gripe, dado que es
varón, es de 22,5%.
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3. Las probabilidades que tienen Alejandro, Benito y Carlos de resolver un
mismo problema son:
,
y
respectivamente. Si intentan hacerlo los
tres, determinar la probabilidad de que se resuelva el problema.
Solución:
Como P(A), P (B) y P(C) son las probabilidades de resolver el problema,
entonces P(A’), P(B’) Y P(C’) serán las probabilidades de que no puedan
resolver el problema, luego:
P (A) = 1 - P (A’)
P (A’) = 1 – P (A) → P (A’) = 1 -
=
P (B’) = 1 - P (B) → P (B’) = 1 -
=
P (C’) = 1 – P(C) → P (C’) = 1 –
=
La probabilidad de que no puedan resolver el problema los tres juntos será:
P (A´B´C´) = P(A´) x P(B’) x P(C´)
=
x
x
=
La probabilidad de que resuelvan los tres juntos:
P (Resuelvan los tres juntos) = 1 - P (A´B´C´)
= 1 -
=
o 83, 33%
4. Al lanzar un dado que no está cargado una vez, ¿Cuál es la
probabilidad de obtener 1 o un número par?
Solución:
Como los eventos son mutuamente excluyentes y el problema pide uno o un
número par:
Eventos favorables a A: Eventos favorables a B:
n(A)=1 n(B) = 3
P(A O B) = P(A) + P(B)
P(A O B) =
+
P(A O B) = 0,0667
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5. Se tiene un juego de 50 cartas con las siguientes características:
25 son rojas y 25 son verdes
36 son numéricas.
12 son letras.
Hay 4 grupos de letras (A-D).
Se tiene número de 1-9.
Tiene 2 comodines.
Cuál es la probabilidad de obtener lo siguiente:
P (roja)
P (números)
P (letra D)
P (comodín)
Solución
P (R)
( )
( )
La probabilidad sería de un 50%
P (numérico)
( )
( )
( )
P (D)
P (com):
P(com) :
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6. Tres caballos A, B y C participan en una carrera. El suceso “A vence a B”
se designa por AB, el suceso “A vence a B, el cual vence a C” como ABC, y
así sucesivamente. Se sabe que P (AB) = 2=3, P (AC) = 2=3 y P (BC) =
1=2. Además P (ABC) = P (ACB), P (BAC) = P (BCA) y P (CAB) = P (CBA).
Calcular P(A venza), P (B venza), P(C venza). ¿Son AB, AC y CB
independientes?
Solución
En este problema se asume que no existen los empates. Por ello, los sucesos
elementales son las permutaciones de las letras A; B y C, y un simple espacio
muestral es:
Ω = ABC; ACB; BAC; BCA; CAB; CBA : |Ω| = 3! = 6
Dicho espacio tiene |Ω| = 3! = 6 elementos pero no es necesariamente
equiprobable. Además:
AB = ABC; ACB; CAB
AC = ABC; ACB; BAC
BC = ABC; BAC; BCA
Denotemos las probabilidades de los sucesos elementales:
P (ABC) = P (ACB) = p1; P (BAC) = P (BCA) = p2; P (CAB) = P (CBA) = p3:
Y resolvamos:
P (AB) = 2/3 2.p1 + p3 = 2/3
P (AC) = 2/3 2.p1 + p2 = 2/3
P (BC) = 1/2 p1 + 2.p2 = ½
Se obtiene así que p1 = 5/18; p2= 1/9 y p3 = 1/9. Por tanto, las probabilidades que pide el problema son:
P(A venza) = P (ABC) + P (ACB) = 2.p1 = 5/9
P(B venza) = P (BAC) + P (BCA) = 2p2 = 2/9
P(C venza) = P (CAB) + P (CBA) = 2.p3 = 2/9
Por último, para ver si AB, AC y CB son independientes, calculemos:
P (AB AC) = P (ABC; ACB) = P (ABC) + P (ACB) = 5/9
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P (AB). P (AC) =
.
=
Dado que P (AB AC) P (AB). P (AC), se concluye que no son
independientes.
7. En una clase infantil hay 6 niñas y 10 niños. Si se escoge a 3 alumnos al
azar, halla la probabilidad de:
a) Seleccionar 3 niños.
b) Seleccionar 2 niños y una niña.
c) Seleccionar, al menos, un niño.
Solución:
Este ejercicio es similar al anterior. Observemos el siguiente diagrama:
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8. Si los sucesos A y B son independientes y compatibles, ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas?
a) P (A Ç B) = P (B) b) P (B È A) = P (A) + P (B) c) P(A /B) = P(A)
Solución:
a) Como A y B son independientes P(A B) = P(A) · P (B). Esta última expresión solamente es igual a P (B) si P(A) = 1. b) P (B A) = P (B) + P (A) P (B A). Si fuera cierta la afirmación entonces P(A) + P (B) = P (B) + P(A) P (B A) P (B A) = 0 B A = y esto es imposible pues A y B son compatibles. Así pues la afirmación no es cierta.
c) (
)
( )
( )
[ ( ) ( )]
( ) ( ) y la afirmación es cierta.
Obsérvese que ( ) ( ) ( ) porque al ser A y B independientes también lo son A’ y B
9. ¿Cuántos números de 4 dígitos se pueden formar con las cifras 0, 1,.
. . ,9?
1. Permitiendo repeticiones;
2. Sin repeticiones;
3. Si el ultimo digito ha de ser 0 y no se permiten repeticiones?
Solución
Asumamos que para que un número sea de 4 dígitos su primer digito debe ser
distinto de cero.
1. Puesto que debe formarse un número de 4 dígitos, el primero de
estos no puede ser cero. Por lo tanto, hay nueve posibilidades para el
primer digito y diez para cada uno de los tres dígitos restantes,
obteniéndose un total de 9 · 103 = 9000 números posibles.
2. Al igual que en el apartado anterior, el primer digito no puede ser cero.
Como además no se permiten repeticiones, hay nueve posibilidades para el
segundo digito: el cero y las ocho no escogidas para el primer digito. Por
tanto, se pueden formar 92 · 8 · 7 = 4536 números.
3. Fijamos el ultimo digito y, como no puede haber repeticiones, se
obtiene un total de 9 · 8 · 7 · 1 = 504 números.
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10. ¿Cuántas letras de 5 signos con 3 rayas y 2 puntos podría tener el
alfabeto Morse?
Solución
Si se consideran como cinco símbolos diferentes entonces, dado que
importa el orden en que se coloquen y que han de distribuirse en cinco
posiciones, se tendría un total de P5 = 5! posibles ordenaciones. Pero,
dado que de los cinco elementos tan solo hay dos diferentes (rayas y
puntos) que se repiten 3 y 2 veces, respectivamente, dividiremos por las
posibles permutaciones de cada uno de ellos, obteniendo así un total de
C5,3 = 5!/ (3! · 2!) = 5 · 4/2 = 10 letras. Nótese que ´este es el número de
posiciones (entre las cinco posibles) en que pueden ponerse las letras, y
además coincide con el número de posiciones para los puntos (C5,2 ).
11. El gerente de un restaurante que sólo da servicio mediante reservas sabe,
por experiencia, que el 20% de las personas que reservan una mesa no
asistirán. Si el restaurante acepta 25 reservas pero sólo dispone de 20
mesas, ¿Cuál es la probabilidad de que a todas las personas que
asistan al restaurante se les asigne una mesa?
Solución:
Representemos por la variable aleatoria δ la decisión de asistir (δ = 0) o no (δ
= 1) finalmente al restaurante por parte de una persona que ha hecho una
reserva. Esta variable sigue una distribución de Bernoulli de parámetro p =
0,2, de acuerdo con el enunciado del ejercicio. Suponiendo que las distintas
reservas son independientes entre sí, se tiene que, de un total de n reservas
(δ 1….δ n), el número de ellas que acuden finalmente al restaurante es una
variable aleatoria Yn = ∑ , con distribución binomial de parámetros n y
p=0,2. En el caso particular del problema, n=25. Entonces, para aquellas
personas que asistan al restaurante de las 25 que han hecho la reserva
puedan disponer de una mesa, debe ocurrir que acudan 20 o menos. Así se
tiene que:
12. Cuando se arrojan simultáneamente 4 monedas:
a. ¿Cuáles son los resultados posibles que se pueden obtener?
b. ¿Cuántos casos hay en que salgan 2 caras y 2 cruces?
Solución
Suponiendo que las monedas son iguales:
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1. Dado que un mismo resultado individual (cara o cruz) puede obtenerse en
varias monedas a la vez, y que las monedas no pueden distinguirse entre sí,
existen CR2; 4 = 5 resultados posibles. Estos casos son: “4 caras y 0 cruces”, “3
caras y 1 cruz”, “2 caras y 2 cruces”, “1 cara y 3 cruces”, y “0 caras y 4
cruces”.
2. Como las monedas se arrojan simultáneamente, sólo habrá un caso posible
con 2 caras y 2 cruces.
Suponiendo que las monedas son distintas:
1. En este caso, puesto que se distinguen las monedas entre sí y en una tirada
pueden haber varias con el mismo resultado individual, hay un total de V R2;4
= 24 = 16 resultados posibles. Estos casos son: “cara, cara, cara, cara”, “cara,
cara, cara, cruz”, “cara, cara, cruz, cara”, “cara, cara, cruz, cruz”, etc.
2. Se calcula el número de combinaciones posibles de dos monedas distintas,
que supondremos serán las de resultado “cara” (siendo así las dos restantes
de resultado “cruz”), es decir, hay C4; 2 = 6 resultados de dos caras y dos
cruces.
13. Si se extrae una carta de un paquete de 52 cartas de las cuales 26 son
negras (13 espadas A, 2, 3, ¼, 10, J, Q, K; 13 son tréboles); y 26 son rojas
(13 corazones y 13 diamantes), la probabilidad de que la carta sea un as
es porque el evento de "extraer un as" consta de 4 de los 52
resultados igualmente probables. La probabilidad de que la carta sea
negra es y la probabilidad de que sea un diamante es .
14. Al lanzar un dado, ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par?
Solución:
S = 1, 2, 3, 4, 5, 6, y hay tres pares, luego,
15. ¿Cuál es la probabilidad de que una familia que tiene tres hijos,
hayan dos niñas y un niño, si se considera igualmente probable el
nacimiento de un niño o niña?
Solución:
Usando "a" para niña y "o" para niño, el espacio muestra es:
S = aaa, aao, aoa, aoo, oaa, oao, ooa, ooo n(S) = 8
El evento A en que haya dos niñas y un niño es
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Estadística Página 55
A = aao, aoa, oaa, n(A) = 3
Obsérvese que siempre 0 < P(A) < 1, puesto que 0 < n(A) < n(S).
16. Un dado de seis caras está trucado, de forma que la probabilidad de que
salga cada cara es proporcional al número de ésta. ¿Cuál es la
probabilidad de sacar un 6?
Solución:
En este caso, nos dicen que la probabilidad de que salga cada cara no es la
misma, por lo que no podemos aplicar directamente la regla de Laplace. Si
observamos el enunciado, nos dice que la probabilidad de que salga cada
cara es proporcional al número de ésta, esto quiere decir, si decimos que la
probabilidad de que salga un 1 es k, que desconocemos, entonces:
P (1)=k, P (2)=2k, P (3)=3k, P (4)=4k,
P (5)=5k, P (6)=6k.
Ahora, como 1, 2, 3, 4, 5, 6 forman un sistema completo de
sucesos, necesariamente
P (1)+P (2)+P (3)+P (4)+P (5)+P (6)=1
Por lo tanto,
k+2k+3k+4k+5k+6k=1
que es una ecuación que ya sabemos resolver:
21k=1
por lo que
k=121
Así pues, la probabilidad de sacar un 6 es P (6)=6k=6⋅121=621.
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