Estadıstica ITema 4: Probabilidad

Tema 4. Probabilidad

Contenidos

I Experimentos aleatorios, espacio muestral, sucesos elementales ycompuestos.

I Definicion de probabilidad. Propiedades.

I Probabilidad condicionada y ley de la multiplicacion. Independencia.

I Ley de la Probabilidad Total y Teorema de Bayes.

Conceptos basicos

I Experimento aleatorio: proceso de observar un fenomeno cuyosresultados son inciertos.

I Espacio muestral: es el conjunto de todos los posibles resultados deun experimento aleatorio. Se denota por

Ω = e1, e2, . . . , en, . . .

donde cada uno de sus elementos se denomina suceso elemental.Estos son siempre disjuntos dos a dos.

I Suceso: un subconjunto del espacio muestral, es decir, un conjuntode sucesos elementales

A = e1, e3

Ejemplos:

I Resultado al lanzar una moneda.

I Precio de la accion x al cierre de sesion el proximo lunes.

Sucesos: conceptos basicos

Interseccion de sucesos: Si A y B son dos sucesos del espacio muestral Ω,entonces la interseccion, A ∩ B, es el conjunto de todos los sucesos de Ωque estan en A y en B.

Representacion en diagramas de Euler-Venn:

Sucesos: conceptos basicos

A y B son sucesos incompatibles si no tienen ningun suceso elemental encomun i.e., el conjunto A ∩ B es vacıo

Sucesos: conceptos basicos

Union de sucesos: Si A y B son dos sucesos de un espacio muestral Ω,entonces la union, A ∪ B, es el conjunto de todos los sucesos de Ω quepertenecen a cualquiera de los dos, A o B.

Sucesos: conceptos basicos

Sucesos triviales:

I Suceso seguro Ω: conjunto = espacio muestral

I Suceso imposible ∅: conjunto = conjunto vacıo

Complementario o suceso contrarioEl complementario de un suceso A es el conjunto de todos los sucesoselementales de Ω que no estan en A.

Ejemplo: lanzamiento de un dado

Consideremos el experimento aleatorio “resultado observado al lanzar undado”:

I suceso elemental: el 1, el 2, el 3, el 4, el 5, el 6

I espacio muestral: Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6I suceso: A = 2, 4, 6 B = 4, 5, 6

El suceso A es “sale un numero par”.El suceso B es “sale un numero mayor que tres”.

Ejemplo: lanzamiento de un dado

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 A = 2, 4, 6 B = 4, 5, 6

I Complementario:

A = 1, 3, 5 B = 1, 2, 3

I Interseccion:

A ∩ B = 4, 6 A ∩ B = 1, 3 = A ∪ B

I Union:

A ∪ B = 2, 4, 5, 6 A ∪ B = 1, 2, 3, 5 = A ∩ B

A ∪ A = 1, 2, 3, 4, 5, 6 = Ω

I Sucesos incompatibles:A ∩ A = ∅

I Notar que:

A ∩ B ⊂ A A ∩ B ⊂ B

A ⊂ A ∪ B B ⊂ A ∪ B

Probabilidad

Probabilidad clasica (regla de Laplace)Considera un experimento para el que todos los sucesos elementales sonequiprobables. Si tenemos k sucesos elementales,

P(A) =1

k× tamano de A

De esta manera, la probabilidad es una aplicacion que asigna a cadasuceso A un valor numerico P (A) ∈ [0, 1].

Propiedades de la probabilidad

I 0 ≤ P(A) ≤ 1.

I Sea A = e1, e2, . . . , en, entonces P(A) =∑n

i=1 P(ei ).

I P(Ω) = 1 y P(∅) = 0.

I Complementario: P(A) = 1− P(A).

I Union: P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B).

I Si A y B son incompatibles (A ∩ B = ∅), entoncesP(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Ejemplo: lanzamiento de un dado

I Probabilidad de un suceso elemental: P(ei ) = 16 , donde ei = i , para

i = 1, . . . , 6.

I Probabilidad de que salga par: A = 2, 4, 6, luego

P(A) = P(”2”) + P(”4”) + P(”6”) =1

6+

1

6+

1

6=

1

2

I Probabilidad de que salga mayor que 3: B = 4, 5, 6, luego

P(B) = P(”4”) + P(”5”) + P(”6”) =1

6+

1

6+

1

6=

1

2

I Probabilidad de que salga impar

P(A) = 1− P(A) = 1− 1

2=

1

2

Ejemplo: lanzamiento de un dado

I Probabilidad de que salga par (A =“par”) o mayor que tres(B =“mayor que 3”)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)

Como A ∩ B = 4, 6, entonces P(A ∩ B) = 26 = 1

3

P(A ∪ B) =1

2+

1

2− 1

3=

4

6=

2

3

I Probabilidad de que salga par o igual a uno.Los sucesos A = 2, 4, 6 y C = 1 son incompatibles (A ∩ C = ∅)por tanto

P(A ∪ C ) = P(A) + P(C ) =1

2+

1

6=

4

6=

2

3

Ejemplo: probabilidad condicional

I Jugamos a la ruleta y apostamos a los numeros 3, 13 y 22. ¿Cual esla probabilidad de ganar?

I El espacio muestral es Ω = 0, 1, 2, . . . , 36 por lo que el numero desucesos elementales es 37. Definimos el suceso A = ”nuestraapuesta” = 3, 13, 22 que contiene tres sucesos elementales.

I Por lo tanto, la probabilidad de ganar es P (A) = 337 .

I Justo antes de empezar la partida, nos dicen que la ruleta estatrucada de manera que siempre sale un numero impar. ¿Cual esahora nuestra probabilidad de ganar? ¿Es la misma que antes?

Probabilidad condicional

Probabilidad condicionalSean dos sucesos A y B tal que P(B) > 0, la probabilidad condicionadade A dado B es:

P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B)

Ley de la multiplicacionSi P(B) > 0, se tiene que

P(A ∩ B) = P(A|B)P(B)

IndependenciaSe dice que dos sucesos A y B son independientes si

P(A ∩ B) = P(A)P(B).

Ademas, si P(B) > 0, P(A|B) = P(A) y si P(A) > 0, P(B|A) = P(B).

OBS: No confundir sucesos independientes con sucesos incompatibles.

Ejemplo: Probabilidad condicional

I Definimos el suceso B =“Siempre sale impar”= 1, 3, 5, . . . , 35,que contiene 18 sucesos elementales.

I Entonces, puesto que A ∩ B = 3, 13, la probabilidad condicionadanos queda:

P (A|B) =P (A ∩ B)

P (B)=

2371837

=2

18=

1

9

I Notar que cuando nos dicen que la ruleta esta trucada, el espaciomuestral deja de ser el inicial, pues nunca puede aparecer un numeropar, y se transforma en Ω∗ = B = 1, 3, 5, . . . , 35. La probabilidadde A en Ω∗ es ahora 1

9 .

I Puesto que P(A) 6= P (A|B), los sucesos A y B no sonindependientes.

Ejemplos

De una baraja espanola, saco dos cartas sin reposicion. Probabilidad deque:

I la primera carta sea copa: P(A) = 1040 .

I la segunda sea copa, sabiendo que la primera lo fue: P(B|A) = 939 .

I las dos cartas sean copas: P(A ∩ B) = P(B|A)P(A) = 939

1040 .

Tiro dos dados. Probabilidad de que:

I en el primer dado salga un uno: P(C ) = 16 .

I en el segundo dado salga un uno, sabiendo que en el primero saliouno: P(D|C ) = P(D) = 1

6 .

I en el primer dado salga un uno, si en el segundo salio uno:P(C |D) = P(C ) = 1

6 .

I en los dos dados salga uno: P(C ∩ D) = P(D)P(C ) = 1616 (sucesos

independientes)

Ley de la probabilidad totalUn conjunto de sucesos B1,B2, . . . ,Bk son mutuamente excluyentes si

Bi ∩ Bj = ∅, ∀i 6= j .

Si ademas de eso cumplen

Ω = B1 ∪ B2 ∪ . . . ∪ Bk ,

se dice que forman una particion del espacio muestral.

Ejemplo

I En la baraja espanola, los siguientes conjuntos de sucesos definenparticiones del espacio muestral:

I Ω = oros, copas, espadas, bastos .

I Ω = ases, treses, sotas, caballos, reyes, resto de cartas .

Ley de probabilidad total

Dada una particion del espacio muestral, B1,B2, . . . ,Bk , y dado unsuceso A, se tiene que

P(A) = P(A ∩ B1) + P(A ∩ B2) + . . . + P(A ∩ Bk) =

= P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + . . . + P(A|Bk)P(Bk).

Ejemplo: probabilidad total

I En una baraja espanola (48 cartas), calcular la probabilidad de sacarun as, utilizando la ley de la probabilidad total.

I Los cuatro palos de la baraja espanola establecen la particion delespacio muestral dada por Ω = oros, copas, espadas, bastos, porlo que:

P (Ω) = P (oros) + P (copas) + P (espadas) + P (bastos) =

=1

4+

1

4+

1

4+

1

4

I Si definimos el suceso A =“as”, entonces:

P (A) = P (A|oros)P (oros) + P (A|copas)P (copas) +

P (A|espadas)P (espadas) + P (A|bastos)P (bastos) =

=1

12

12

48+

1

12

12

48+

1

12

12

48+

1

12

12

48=

4

48=

1

12

I Ahora si la carta extraıda es un as, ¿cual es la probabilidad que seael as de copas? Necesitamos invertir las condiciones.

Inversion de las condiciones: Teorema de Bayes

Para dos sucesos A y B se tiene que

P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B)=

P(B|A)P(A)

P(B)

Este Teorema se aplica en situaciones en las que la probabilidad P(B|A)es conocida.

Ejemplo: (continuacion del anterior) si la carta extraıda es un as, ¿cuales la probabilidad que sea el as de copas?

P(copas|A) =P(A|copas)P(copas)

P(A)=

112

14

112

=1

4

Ejemplo

I Un gato quiere pescar un pez en una pecera que contiene tres pecesamarillos y dos negros con rayas blancas. Suponiendo que pesque unpez, ¿cual es la probabilidad de que sea un pez rayado?Si R =“rayado”, entonces:

P (R) =2

5

I Suponiendo que pesque dos peces, ¿cual es la probabilidad de quepesque uno rayado y uno amarillo?Si R1 =“el primero es rayado”, R2 =“el segundo es rayado”, A1 =“elprimero es amarillo” y A2 =“el segundo es amarillo”, entonces:

P (R1 ∩ A2) + P (A1 ∩ R2) = P (A2|R1)P (R1) + P (R2|A1)P (A1) =

=3

4

2

5+

2

4

3

5=

6

20+

6

20=

12

20=

3

5

Ejemplo

I Suponiendo que pesque dos peces y sabiendo que el segundo erarayado, ¿cual es la probabilidad de que el primero no lo fuera?

P (A1|R2) =P (R2|A1)P (A1)

P (R2)=

P (R2|A1)P (A1)

P (R2|A1)P (A1) + P (R2|R1)P (R1)=

=2435

2435 + 1

425

=620

620 + 2

20

=6

8=

3

4