Estadistica Inferencial

UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP

1


2

n esta asignatura se estudian herramientas, que permitan al

estudiante, analizar fenómenos que condicionan la toma de

decisiones confiables. Estos conocimientos posibilitarán

afianzar las teorías de investigación en su campo de

competencia y que tienen por finalidad la aplicación de la

teoría a solucionar problemas reales, especialmente en la

construcción de inferencias confiables.

Comprende Cuatro Unidades de Aprendizaje:

Unidad I: Variables Aleatorias.

Unidad II: Distribución de Probabilidad.

Unidad III: Distribuciones Muéstrales.

Unidad IV: Estimación de Parámetros.

E

Prefacio:


3

Estructura de los Contenidos

La competencia que el estudiante debe lograr al final de la asignatura es:

“Identifica e interpreta las principales técnicas,

procedimientos, modelos estadísticos

estimación y prueba de hipótesis que exige la

investigación científica, los estudios de mercado y la

administración de un negocio en un entorno

competitivo.”

Variables Aleatorias

Distribución de

Probabilidad )

Distribuciones Muéstrales

Estimación de Parámetros

Conceptos de variables aleatorias.

Variables aleatorias

discretas.

Variables aleatorias

continuas.

Media y varianza de

una variable

aleatoria.

Distribución de

variables

aleatorias

discretas.

Distribución de

variables

aleatorias

continúas.

Aplicación de

la distribución

normal.

Aproximaciones

a la distribución

normal.

Muestreo aleatorio.

Distribución

muestral de la

media y

proporción.

Distribución

muestral de la

diferencia de dos

proporciones.

Intervalo de

confianza.

Intervalo de

confianza para

la media y

proporción.

Prueba de

hipótesis.

Prueba de

hipótesis

acerca de la

media y

proporción.

Distribución muestral de la diferencia de

dos medias.


4

Índice del Contenido

I. PREFACIO 02

II. DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS 03 - 129

UNIDAD DE APRENDIZAJE 1: VARIABLES ALEATORIAS 05-28

1. Introducción a. Presentación y contextualización b. Competencia c. Capacidades d. Actitudes e. Ideas básicas y contenido

2. Desarrollo de los temas a. Tema 01: Conceptos de Variables Aleatorias. b. Tema 02: Variables Aleatorias Discretas. c. Tema 03: Variables Aleatorias Continuas. d. Tema 04: Media y Varianza de una Variable Aleatoria.

3. Lecturas recomendadas 4. Actividades 5. Autoevaluación 6. Resumen

06 06 06 06 06 06

07-24 07 11 16 20 25 25 26 28

UNIDAD DE APRENDIZAJE 2: DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 29-60


2. Desarrollo de los temas a. Tema 01: Distribución de Variables Aleatorias Discretas. b. Tema 02: Distribución de Variables Aleatorias Continuas. c. Tema 03: Aplicación de la Distribución Normal. d. Tema 04: Aproximaciones a la Distribución Normal.


30 30 30 30 30 30

31-57 31 40 49 53 58 58 59 60

UNIDAD DE APRENDIZAJE 3: DISTRIBUCIONES MUESTRALES 61-93


2. Desarrollo de los temas a. Tema 01: Muestreo Aleatorio. b. Tema 02: Distribución Muestral de la Media y Proporción. c. Tema 03: Distribución Muestral de la Diferencia de Dos Medias. d. Tema 04: Distribución Muestral de la Diferencia de Dos Proporciones.


62 62 62 62 62 62

63-88 63 70 79 86 89 89 91 93

UNIDAD DE APRENDIZAJE 4: ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS 94-120


2. Desarrollo de los temas a. Tema 01: Intervalo de Confianza. b. Tema 02: Intervalo de Confianza para la Media y Proporción. c. Tema 03: Prueba de Hipótesis. d. Tema 04: Prueba de Hipótesis Acerca de la Media y Proporción.


95 95 95 95 95 95

96-116 96

100 104 108 117 117 118 120

III. GLOSARIO 121

IV. FUENTES DE INFORMACIÓN 122

V. APÉNDICE 123

VI. SOLUCIONARIO 130


5


6

Introducción

a) Presentación y contextualización

Los temas que se tratan en la presente Unidad, tienen por finalidad que el

estudiante desarrolle y ejecute el concepto de variables aleatorias durante su

proceso de formación profesional y contribuyan en el logro de su perfil profesional.

b) Competencia

Explica las propiedades para calcular la media y varianza de variables

aleatorias.

c) Capacidades

1. Identifica una variable aleatoria.

2. Explica variables aleatorias discretas.

3. Analiza variables aleatorias continuas.

4. Aplica propiedades para calcular la media y varianza de variables aleatorias.

d) Actitudes

Valora la importancia de los negocios internacionales para el desarrollo de la

nación.

Desarrolla una actitud emprendedora mediante la toma de iniciativas,

promoción de actividades y toma de decisiones en relación a la actividad

asignada.

Cumple con la presentación de los trabajos encomendados con puntualidad.

Desarrolla la creatividad, la innovación, y el respeto a la honestidad intelectual.

e) Presentación de Ideas básicas y contenidos esenciales de la Unidad:

La Unidad de Aprendizaje 01: Variables Aleatorias, comprende el desarrollo de

los siguientes temas:

TEMA 01: Conceptos de Variables Aleatorias.

TEMA 02: Variables Aleatorias Discretas.

TEMA 03: Variables Aleatorias Continuas.

TEMA 04: Media y Varianza de una Variable Aleatoria.


7

TEMA 1

Identificar una variable aleatoria.

Competencia:

Aleatorias

de Variables

Conceptos

http://images.google.com.pe/imgres?imgurl=http://www.u-telesup.com/file.php/1/img/logo_circular_11.jpg&imgrefurl=http://www.u-telesup.com/&usg=__IZ_CCta55cSHkx6FUZKOmCOnhXA=&h=350&w=350&sz=47&hl=es&start=9&tbnid=CpAg0PRBS42UjM:&tbnh=120&tbnw=120&prev=/images?q=telesup&gbv=2&hl=es&sa=G


8

Desarrollo de los Temas

Tema 01: Conceptos de Variables Aleatorias

Definición.- Se define Variable aleatoria, a una variable estadística cuantitativa

definida en un espacio muestral .

Hemos visto que los resultados de un experimento aleatorio pueden ser cuantitativos

(por ejemplo, lanzar un dado y registrar el número de la cara superior), o cualitativos

(por ejemplo, lanzar dos monedas y registrar el resultado de cada una).

Los eventos de mayor interés a la hora de hacer inferencia estadística son eventos

numéricos. ¿Qué significa? Que, por ejemplo, estaremos más interesados en conocer

el número de caras que resultan en cada repetición del experimento que en la

secuencia en sí.

Así, los eventos simples (C, X) y (X, C) nos brindarán la misma información, es decir,

en los dos se registró 1 cara. El número de caras es una función definida sobre el

espacio muestral S:

Eventos Simples CC CX XC XX

Numero de caras

: X 2 1 1 0

Esto también se puede representar:


9

Esta función genera una partición del espacio muestral. Todos

los eventos simples que corresponden al mismo valor de la

función se encuentran en el mismo subconjunto. Estos

subconjuntos son disjuntos y su unión es el espacio muestral.

La función definida anteriormente se denomina variable aleatoria.

Una variable aleatoria es entonces una función que asocia un número real a cada

elemento de un espacio muestral.

:

( )

X S

s x X s

Notación: X indica la función (variable aleatoria), x representa el valor que toma la

variable aleatoria al ser valuada en el elemento s.

Las variables aleatorias se dividen en dos grupos: discretas y continuas. Una variable

discreta puede tomar una cantidad finita o infinita numerable de valores. Una variable

aleatoria continua puede tomar infinitamente muchos valores correspondientes a

puntos en un intervalo de la recta real.

Ejemplos 01:

Sea el espacio muestral que se obtiene al lanzar al aire una moneda tres veces

consecutivas, esto es, , , , , , , ,SSS SSC SCS CSS SCC CSC CCS CCC

Si X se define en como “el número de caras obtenidas”, entonces, X es una

variable aleatoria cuyo rango es el conjunto: 0,1,2,3,XR .En efecto,

0X , corresponde al evento elemental SSS

1X , corresponde a los eventos elementales , ,SSC SCS CSS

2X , corresponde a los eventos elementales ,SCC CSC y CCS

3X , corresponde al evento elemental CCC

Ejemplo 02:

Un profesor califica sus pruebas en una escala de 4 puntos (1, 2, 3, 4). Supongamos

que en un curso de 30 alumnos los resultados ordenados fueron:

1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4

Sea X = resultado de la prueba para un alumno del curso elegido al azar.


10

Luego RX

= {1, 2, 3, 4}, X es una variable aleatoria discreta

La frecuencia de cada uno de los resultados es, 3, 6, 12 y 9 respectivamente.

Resultado (xi) 1 2 3 4

Frecuencia (fi) 3 6 12 9

Frecuencia. relativa (fi/n) 0.1 0.2 0.4 0.3

pX

(xi) = p

i 0.1 0.2 0.4 0.3

Siguiendo con el ejemplo:

¿Cuál es la probabilidad de que un alumno elegido al azar haya tenido a lo sumo un

3?

P(X ≤ 3) = pX

(1) + pX

(2) + pX

(3)

= p1 + p2 + p

3 = 0.1 + 0.2 + 0.4 = 0.7

CLASIFICACIÓN DE LAS VARIABLES ALEATORIAS

Las variables Aleatorias se clasifican en general en discretas y continuas.


11

TEMA 2

Explicar variables aleatorias discretas.

Competencia:

Discretas Aleatorias Variables



12

Tema 02: Variables Aleatorias Discretas

Hemos definido hasta acá qué se entiende por variable

aleatoria, y una vez determinada una Variable Aleatoria.

Podemos conocer cuáles son los valores que puede tomar.

Pero es interesante poder medir la probabilidad con que

toma cada uno de esos valores.

Definición.- Una variable aleatoria discreta asume cada uno de sus valores con

cierta probabilidad que denotaremos por XP (probabilidad inducida por X).

Ejemplo:

Consideremos el experimento aleatorio de lanzar dos monedas entonces el espacio

muestral correspondiente estará dado por:

, , ,CC CS SC SS

Se define la variable aleatoria X de obtener caras, entonces el rango de X es

0,1,2XR , es decir:

0X , Si se obtiene sello en las dos monedas

1X , Si se obtiene SC o CS como resultado del lanzamiento

2X , Si se obtiene CC en las dos monedas

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD

Definición.- Sea X una variable aleatoria discreta. Se denomina función (ley o

modelo o distribución) de probabilidad de X a la función f(x) definida por

( )f x P X x , para todo x número real y que satisface las siguientes condiciones:

i ) ( ) 0 ,f x x

ii ) ( ) 1i X

i

x R

f x

La función de probabilidad de una variable aleatoria X se puede expresar por tabla:

Valores xi de X 1x 2x 3x … nx

Probabilidad i ip P X x 1p 2p 3p … np

http://www.google.com.pe/imgres?imgurl=http://lilianamayagoitia.com/wp-content/uploads/2011/06/cambiandomentalidad.jpg&imgrefurl=http://lilianamayagoitia.com/category/desarrollo/&usg=__y2R_A8lxVrT1PaSFT5sDp5iHE7g=&h=180&w=179&sz=21&hl=es&start=32&zoom=1&tbnid=1rmmqm4aFMwLxM:&tbnh=101&tbnw=100&ei=9yALT_DFOoStgQf3rNG2Ag&prev=/search?q=analizar&tbnh=143&tbnw=129&um=1&hl=es&gbv=2&sig=103722426853586294849&biw=983&bih=544&tbs=simg:CAESHwlr23LmUDVhKBoLCxCo1NgEGgIIFwwhEBwiDPBfoxE&tbm=isch&um=1&itbs=1


13

Notación:

La función de probabilidad se puede representar de diversas maneras:

1) En una tabla:

x P(x)

0 ¼

1 ½

2 ¼

2) En un gráfico:

3) En una fórmula:

22

( ) 0.25p xx

Ejemplo 01.

Sea X la variable aleatoria definida como el número de caras que ocurren al lanzar

dos monedas.

a. Determine la distribución de probabilidad de X.

b. ¿Cuál es la probabilidad de que no obtengamos ninguna cara?

c. Calcular la probabilidad 0 1P X

Solución.

a) La Variable Aleatoria X. Toma el valor 0 cuando ocurre el evento (SS). Entonces

P(X=0) = P({(SS)}) = ¼


14

También se puede notar P (0) = P(X=0) = ¼

P(X=2) = P ({(CC)}) = ¼

P(X=1) = P ({(CS), (SC)}) = ¼ + ¼ = ½

Entonces la distribución de probabilidad está dada por:

E P(E) x P(x)

CC ¼ 2 ¼

CS ¼ 1 ¼

SC ¼ 1 ¼

SS ¼ 0 ¼

b) La Variable Aleatoria X Toma el valor 0 cuando ocurre el evento (SS). Entonces:

P(X=0) = P({(SS)}) = ¼

c) 1 1 3

0 1 0 14 2 4

P X P X P X

Ejemplo 02

Sea x una variable aleatoria que expresa el Nº de personas que habitan en una

vivienda elegida al azar. La distribución de probabilidad de x es la siguiente:

xi 1 2 3 4 5 6 7 8 ó +

pi 0,230 0,322 0,177 0,155 0,067 0,024 0,015 0,010

a. Comprobar que es una distribución de probabilidad.

Todas las pi son mayores o iguales que cero y además se cumple que:

pi

i

1

8

0 23 0 322 0 177 0 010 1, , , ... ,

b. Hallar la probabilidad de que el Nº de personas que viven en un hogar sea menor

o igual que cuatro.

P x P x P x P x P x

4 1 2 3 4

0 23 0 322 0 177 0 155 0 884, , , , ,


15

c. Calcular la probabilidad de que al menos dos personas vivan en una vivienda.

2 2 3 ... 8

1 ( 2) 1 0,23 0,77

P x P x P x P x

P x

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA DE VARIABLE ALEATORIA

DISCRETA

Definición. La función de distribución acumulada (f.d.a) de probabilidades o

simplemente función de distribución, F(x), de la variable aleatoria discreta X, cuya

función de probabilidad de f(x), se define por:

( ) ( ) ( ),k x k x

F x P X x P X k f k x

Ejemplo: Sea X = nota obtenida en una prueba de un alumno elegido al azar

Nota (x) 1 2 3 4

pX(x) 0.1 0.2 0.4 0.3

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA

0 1

0.1 1 2

( ) 0.3 2 3

0.7 3 4

1 4

X

si x

si x

F x si x

si x

si x


16

TEMA 3

Analizar variables aleatorias continuas.

Competencia:

Continuas Aleatorias Variables



17

Tema 03: Variables Aleatorias Continuas

Definición.- Se dice que la función ( )f x es función de densidad (ley o distribución)

de probabilidad de la variable aleatoria continua X si satisface las siguientes

condiciones:

i ) ( ) 0f x para todo x

ii ) ( )f x dx

iii ) ( ) ( )A

P A P x A f x dx , para cualquier intervalo A

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA DE VARIABLE ALEATORIA CONTINÚA

Definición.- La función de distribución acumulada (f.d.a), F(x) de una variable

aleatoria continua X con función de densidad ( )f x , se define por:

( ) ( ) ,

x

F x P X x f t dt para x

Ejemplo 01:

Clasificar como discretas o continuas las siguientes variables aleatorias:

a) Nº de páginas de un libro → discreta.

b) tiempo que tarda en fundirse una bombilla → continua

c) Nº de preguntas en una clase de una hora → discreta.

d) cantidad de agua consumida en un mes → continúa.

Ejemplo 02:

Sea ( )f x una función definida en todos los números reales por:

2 , 0,2( )

0 , 0,2

cx xf x

x

a. Hallar el valor de la constante C para que, ( )f x sea una función de densidad

para alguna variable aleatoria X.


18

b. Calcular 0 1P X

Solución.

a) El área de la figura sombreada es igual a 1

Entonces

22

0

81 ( )

3

3

8

f x dx cx dx c

c

Luego

23, 0,2

( ) 8

0 , 0,2

x xf x

x

b) Para resolver esta pregunta se sigue:

1

2

0

3 10 1

8 8P X x dx

Ejemplo 03:

Sea ( )f x una función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria X, cuya

grafica es la figura:

a.) Determinar el valor de la constante c y luego la f.d.p. de X

b.) Hallar la función de distribución acumulada F(x) de X


19

Solución.

a) Si el área que encierra la figura con el eje X es igual a 1, entonces 1/ 4C

Luego la función densidad está dada por la ecuación de la recta en el intervalo

dado.

, 1 3( ) 4

0,

xx

f x

enotrocaso

b) La función de distribución acumulada , se calcula por:

0 , 1, ( ) 1 , 3F x si x F x si x

Entonces:

2

0 , 1

1( ) , 1 3

8

1 , 1

si x

xF x si x

si x

2

1

11 3, ( )

4 8 8

x t xSi x F x dt


20

TEMA 4

Aplicar propiedades para calcular la media y varianza de variables aleatorias.

Competencia:

de una Variable Aleatoria

y

Varianza Media



21

Tema 04: Media y Varianza de una Variable Aleatoria

VALOR ESPERADO O ESPERANZA MATEMÁTICA

Definición.- La media de una variable aleatoria discreta X con función de

probabilidad f(x) está dado por:

( ) ( )i X

x i i

x R

E X m x f x

Definición.- La media de una variable aleatoria continúa X con función de

densidad de probabilidad f(x) es la expresión:

( ) ( )E X xf x dx

Propiedades:

Si X e Y son dos variables aleatorias se cumple que:

m m mx y x y

Si a y b son constantes se cumple que:

m am bax b x

Ejemplo:

Considerando la variable Aleatoria X, donde X=resultado de lanzar un dado

La distribución de probabilidad de x será:

p P x1 1 1 6 { } /

p P x2 2 1 6 { } /

p P x6 6 1 6 { } /

El valor esperado de X será:

m x px i i

i

k

11

62

1

63

1

64

1

65

1

66

1

63 5

1

,


22

VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA

Definición.- Sea X una variable aleatoria con distribución de probabilidad f(x) y con

media igual a . La varianza de X es la expresión:

2 22 ( )X i iE X x f x

, si X es discreta

2 22 ( )X i iE X x f x

, si X es continua.

Definición.- La desviación estándar de la variable aleatoria X es la raíz cuadrada

positiva de la varianza. Esto es:2

X X .

Nota: Una de las propiedades de la varianza que se usa en el cálculo es:

2 2 2( ) ( )Var X E X E X

Propiedades:

- Si a y b son constantes se cumple que:

ax b xa

ax b xa 2 2 2

- Si x e y son dos variables aleatorias independientes se cumple que:

x y x y 2 2 2 y x y x y 2 2

Nota.

La desviación típica de una variable aleatoria es una medida de dispersión de la

distribución alrededor de la media. Los valores pequeños indican concentración de

la distribución alrededor de la esperanza y los valores grandes corresponden a

distribuciones más dispersas.

El concepto de desviación típica es equivalente en variables aleatorias discretas y

continuas, aunque en estas últimas su cálculo es más complicado.

Ejemplo 1

Se lanza tres veces una moneda. Sea X la variable aleatoria que expresa el nº de

caras en los tres lanzamientos.


23

a) Hallar y representar la función de probabilidad de X.

Solución.

Se lanza 3 veces una moneda, entonces es espacio muestral es:

E= {CCC,CCX,CXC,XCC,XXC,XCX,CXX,XXX}

x=0 →{XXX} p P x0 0 1 8 0125 { } / ,

x=1 →{XXC,XCX,CXX} p P x1 1 3 8 0 375 { } / ,

x=2 →{CCX,CXC,XCC} p P x2 2 3 8 0 375 { } / ,

x=3 →{CCC} p P x3 3 1 8 0125 { } / ,

b) Calcular el Nº esperado de caras al lanzar la moneda. ¿Era previsible el

resultado?

Solución.

m x px i i

i

k

0 0 125 1 0 375 2 0 375 3 0 125 151

, , , , ,

Sí, ya que en cada lanzamiento P(C)=1/2 y al lanzar tres veces se tiene que

3 1 2 15 / , .

Hallar la desviación típica de X

x i x i

i

k

x m p

2

1

2 2

2 2

0 15 0 125 1 15 0 375

2 15 0 375 3 15 0 1250 866

( , ) , ( , ) ,

( , ) , ( , ) ,,

o bien:

x i i x

i

k

x p m

2 2

1

2 2 20 0 125 3 0 125 15 0 866, ... , , ,

Ejemplo 2

Una compañía ha vendido 205 billetes para un avión de 200 plazas.

Sea x la variable aleatoria que expresa el nº de viajeros que va al aeropuerto para

viajar en el avión. Su distribución es:

xi 198 199 200 201 202 203 204 205

pi 0,05 0,09 0,15 0,20 0,23 0,17 0,09 0,02

a) Hallar la probabilidad de que todos los viajeros que van al aeropuerto tengan

plaza.


24

Solución.

P x P x P x P x{ } { } { } { }

, , , ,

200 198 199 200

0 05 0 09 0 15 0 29

b) Obtener la probabilidad de que se quede sin plaza alguna de los

viajeros que va al aeropuerto.

{ 200} { 201} { 202} ... { 205}

0,2 0,23 0,17 0,09 0,02 0,71

P x P x P x P x

P x P x{ } { } , , 200 1 200 1 0 29 0 71

c) Calcular el nº esperado de viajeros que acude al aeropuerto.

m x px i i

i

k

198 0 05 199 0 09 200 0 15 201 0 2

202 0 23 203 0 17 204 0 09 205 0 02

201 44

1

, , , ,

, , , ,

,

d) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera persona de la lista de espera tenga

sitio en el vuelo?

P x P x P x{ } { } { } , , , 199 198 199 0 05 0 09 014

Ejemplo 3

La vida útil de un objeto es una variable aleatoria X con función de densidad de

probabilidad

, 0( )

0 , 0

xe si xf x

si x

Calcular la varianza y la deviación estándar de X.

Solución.

Integrando por partes y analizando la convergencia, se tiene:

0 00

1 10

b bx x x

b bx e dx Lim xe Lim e

Y luego integrando dos veces por partes se obtiene

2 2

20

2xE X x e dx

Luego, 2 2 2

2 2 2

2 1 1E X

La deviación estándar de X es: 1


25

1) Ingresa al link “Operaciones 1” lee atentamente las indicaciones, desarróllalo y

envíalo por el mismo medio. Sea X la variable aleatoria definida como el número de caras que ocurren al lanzar una moneda 4 veces.

a) Determine la distribución de probabilidad de X.

b) Calcular la probabilidad 1 3P X

Sea X una variable aleatoria continua con distribución.

1, 0 3

( ) 6

0 ,

x k xf x

en otra parte

a.) Calcular k.

b.) Hallar 1 2P X

La vida útil de un objeto en miles de horas, es una variable aleatoria continua X cuya función de densidad de probabilidades:

1 , 0 2( ) 2

0 ,

xsi x

f x

en otro caso

a) Calcular la esperanza.

b) La varianza de vida del objeto.

Lecturas Recomendadas

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS.

ir.pe/65jn

PROBABILIDADES Y VARIABLES ALEATORIAS. http://bit.ly/FWFKl6

VARIABLES ALEATORIAS. http://probabilidad20100.blogspot.com/p/varianza-y-desviacion-estandar.html

Actividades y Ejercicios

http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/mayter/docencia/sociolog/tema3.pdf

http://probabilidad20100.blogspot.com/p/varianza-y-desviacion-estandar.html


26

Autoevaluación

1) Calcule el rango de la variable aleatoria definido como la suma de los

números que aparecen al lanzar dos dados.

a. 2,4,6,8,10,12XR

b. 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12XR

c. 3,5,7,9,11XR

d. 4,5,6,7,8,9,10,11,12XR

e. 2,3,4,5,6,7,8,9,10XR

2) El número de hijos por familia en una determinada región es una variable

aleatoria X cuya función de probabilidad es:

x 0 1 2 3 4

P X x 1/16 4/16 k 4/16 1/16

Calcular el valor de la constante k

a. 11/16

b. 6/16

c. 6/16

d. 5/8

e. 4/16

3) Suponga que el número de cursos en que está matriculado un alumno es una

variable aleatoria X con función de probabilidad.

x 0 1 2 3 4 5

P X x 1/10 2/10 1/10 3/10 2/10 1/10

Determinar la media de la variable aleatoria.

a. 11/10

b. 13/5

c. 12/5

d. 7/10

e. 1


27

4) Sea ( )f x una función definida en todos los números reales por:

3 , 0,3( )

0 , 0,3

ax si xf x

si x

Hallar el valor de la constante a para que, ( )f x sea una función de densidad para

alguna variable aleatoria X.

a. 1/16

b. 4/81

c. 5/81

d. 1/3

e. 5/27

5) Sea ( )f x una función densidad para alguna variable aleatoria X definida

por:

34, 0,3

( ) 81

0 , 0,3

x si xf x

si x

Calcular 1 2P X

a. 5/27

b. 5/24

c. 4/27

d. 2/81

e. 4/81


28

Resumen

UUNNIIDDAADD DDEE AAPPRREENNDDIIZZAAJJEE II::

Una variable aleatoria es una variable que toma valores numéricos determinados por

el resultado de un experimento aleatorio. No hay que confundir la variable aleatoria

con sus posibles valores. Ejemplos:

nº de caras al lanzar 6 veces una moneda (valores: 0, 1, 2…)

nº de llamadas que recibe un teléfono en una hora

tiempo que esperan los clientes para pagar en un supermercado…

Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas.

Es el conjunto de posibles valores, es numerable. Suelen estar asociadas a

experimentos en que se mide el número de veces que sucede algo.

Variable aleatoria discreta asume cada uno de sus valores con cierta probabilidad que

denotaremos por XP (probabilidad inducida por X).

Una variable aleatoria discreta X representa los resultados de un espacio muestral en

forma tal que por P(X = x) se entenderá la probabilidad de que X tome el valor de x.

Es el conjunto de posibles valores es no numerable. Puede tomar todos los |valores de

un intervalo. Son el resultado de medir.

Se dice que la función ( )f x es función de densidad (ley o distribución) de

probabilidad de la variable aleatoria continua X si satisface las siguientes condiciones:

Si una función X que asigna a cada resultado posible de un experimento un número

real. Si X puede asumir cualquier valor en algún intervalo I (el intervalo puede ser

acotado o desacotado), se llama una variable aleatoria continua.

La desviación típica de una variable aleatoria es una medida de dispersión de la

distribución alrededor de la media. Los valores pequeños indican concentración de la

distribución alrededor de la esperanza y los valores grandes corresponden a

distribuciones más dispersas. El concepto de desviación típica es equivalente en

variables aleatorias discretas y continuas, aunque en estas últimas su cálculo es más

complicado.


29


30

Introducción



estudiante desarrolle y ejecute el concepto de distribución de probabilidad durante

su proceso de formación profesional y contribuyan en el logro de su perfil

profesional.

b) Competencia

Identifica las características y funciones del lenguaje, así como elementos e

interferencias de la comunicación.

c) Capacidades 1. Resuelve problemas usando distribuciones aleatorias discretas.

2. Analiza y resuelve problemas que involucren distribuciones de variables

aleatorias continuas.

3. Analiza la importancia de la distribución Normal.

4. Aplica la aproximación a la distribución Normal.

d) Actitudes Puntualidad en la entrega de trabajo.

Respeto a las normas de convivencia.

Perseverancia en las tareas.


La Unidad de Aprendizaje 02: Distribución de Probabilidad, comprende el

desarrollo de los siguientes temas:

TEMA 01: Distribución de Variables Aleatorias Discretas.

TEMA 02: Distribución de Variables Aleatorias Continúas.

TEMA 03: Aplicación de la Distribución Normal.

TEMA 04: Aproximaciones a la Distribución Normal.


31

TEMA 1

Resolver problemas usando distribuciones aleatorias discretas.

Competencia:

Aleatorias Discretas

de Variables Distribución



32


Tema 01: Distribución de Variables Aleatorias Discretas

Como complemento al capítulo anterior en el que definimos todos los conceptos

relativos a variables aleatorias, describimos en éste las principales

leyes de probabilidad que encontramos en las aplicaciones del

cálculo de probabilidades. Atendiendo a la clasificación de las

variables aleatorias en discretas y continuas describiremos las

principales leyes de probabilidad de cada una de ellas, las cuales

constituirán el soporte subyacente de la inferencia estadística y a las que será

necesario hacer referencia en el estudio de dicho bloque. Iniciamos este capítulo con

el estudio de las distribuciones para variables aleatorias discretas.

DISTRIBUCIONES DISCRETAS:

Distribución de Bernoulli.

Definición.- La variable aleatoria X definida de de manera que atribuye a E el

valor de 1 y a F el valor 0, se denomina variable aleatoria de Bernoulli..

La distribución de Bernoulli de parámetro p es:

1( ) x xf x P X x p q

Teorema.- Si X tiene distribución de Bernoulli de parámetro p, entonces:

a.) ( )E X p

b.) ( )Var X pq

Distribución Binomial.

Definición.- Se dice que la variable aleatoria X definida como el número de éxitos

que ocurren en las n pruebas de Bernoulli, tiene distribución binomial con parámetros

n y p y se escribe, si su función de probabilidad es:

( ) , 0,1,2,3,...,k n kn

f x P X k p q k nk


33

Teorema.- Si , entonces:

a.) ( )E X np

b.) ( )Var X npq

EJEMPLO:

En una tienda de alquiler de Autos, cada vez que un cliente alquile un automóvil debe

pagar como mínimo $ 4. Si alquila un auto de tipo A debe pagar $ 15 más, y si alquila

un auto no A debe pagar $ 5 más. Se sabe que la probabilidad de que un cliente

alquile un auto tipo A es de 0.7. De cinco clientes que alquilan autos en esa tienda:

a) Determine la distribución de probabilidades de los clientes que alquilan

automóviles tipo A.

b) Determine la utilidad y la utilidad esperada que producen a la tienda los 5 clientes

que alquilan automóviles.

Solución:

a) Sea X el número de clientes que alquilan automóviles tipo A. Entonces, los

valores posibles de X son: 0,1,2,3,4,5.

La probabilidad del evento A: “un cliente alquila un automóvil tipo A” es

0.7 0.3CP E y P E . La distribución de probabilidad de X es:

55

0.7 0.5 , 0,1,2,3,4,5k k

f k P X k kk

b) La utilidad U que producen los cinco clientes es:

20 15 (5 )5 , 0,1,2,3,4,5.U X X x

Dado que 5 0.7 3.5E X np

La utilidad esperada es:

45 10 45 10 3.5 80E U E X

DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA

Definición.-

Se dice que la variable aleatoria X que se define como el número de repeticiones

independientes de un ensayo de Bernoulli hasta que ocurra el primer éxito, tiene

distribución de probabilidad geométrica con parámetro p y se escribe ( )X G p , si su

función de probabilidad es:


34

1( ) ; 1,2,..., .xf x P X x q p x etc

Teorema.-

Si X es una variable aleatoria con distribución geométrica de parámetro

p , entonces

a.) 1

p

b.) 2

2

q

p

Ejemplo

Un vendedor a domicilio hace llamadas telefónicas a clientes potenciales, La

probabilidad de vender en cada llamada es 0.02.

a) Calcule la probabilidad de que la sexta llamada sea su primera venta.

b) Calcule el esperado del número de llamadas hasta obtener su primera

venta.

c) ¿Qué probabilidad hay de que su primera venta ocurra después de más

de 5 llamadas si ya se hizo 3 llamadas sin éxito?

Solución

Sea X el número de llamadas hasta conseguir una venta .

Sus posibles valores son: 1,2,3,4….etc. El modelo de

probabilidad de X es geométrica de parámetro 0.02p ,

esto es:

1

0.02 0.98 , 1,2,3,...k

P X k k

a) Luego, la probabilidad de que la sexta llamada sea su

primera venta es:

56 0.02 0.98 0.018P X


35

b)

1

500.02

E X . A la larga en la llamada N° 50 obtiene su primera venta.

c) El evento “ya hizo 3 llamadas sin éxito” es equivalente al evento “requiere

hacer más de 3 llamadas hasta que obtenga un éxito”. Entonces,

5

2

3

3 5 5 0.985 / 3 0.98

3 3 0.98

P X X P XP X X

P X P X

DISTRIBUCIÓN DE PASCAL O BINOMIAL NEGATIVA

Definición.-

Si se repite en forma independiente un ensayo de Bernoulli , donde cada resultado

puede ser un éxito con probabilidad p o un fracaso con probabilidad 1q p , se dice

que la variable aleatorias que se define como el numero de intentos hasta que ocurran

r éxitos, tiene una distribución Binomial negativa o Pascal con parámetros r y p y se

escribe ( , )X P r p , si su función de probabilidad es:

1

1( ) , , 1, 2,...,k r k r

rf k P Y k C p q k r r r etc

Teorema.-

Si X es una variable aleatoria con distribución de pascal con parámetros r y p,

entonces:

a ) 1

rp

b ) 2

2

qr

p

Ejemplo.

Una maquina produce artículos de uno en uno y de manera independiente. Se

considera que el 10% de ellos son defectuosos. Si la maquina se detiene apenas

produce el cuarto artículo defectuoso:

a) ¿Cuál es el número esperado de artículos producidos hasta que se detiene la

maquina?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la maquina se detenga en el decimo articulo

producido?


36

.

69 4

310 1P X C P P

9

41 4

3

4

10 1 4 9 1 1kk

k

P X P X C P P

c) ¿Cuál es la probabilidad de que produzca al menos 10 artículos para que la

maquina se detenga?

Solución

Sea X el número de artículos producidos hasta tener 4 defectuosos. La ley de

probabilidad de X es Pascal con parámetros 4 0.1r y p . Esto es,

41 4

3 1 , 4,5,6....kkP Y k C p p k

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA.

Definición.-

Se dice que la variable aleatoria X que se define como el numero de éxitos en una

muestra de tamaño n que se selecciona al azar uno por uno sin reposición de N

elementos o resultados posibles, de los cuales r son clasificados como éxitos y los

restantes N-r como fracasos, tiene distribución hipergeométrica y se escribe

( , , )X H N n r , si su función de probabilidad es:

( ) ; 0,1,2,...,r N r

k n k

N

n

C Cf x P X k k n

C

1 1( ) 4 40

0.1E X r

p

a) b)

c)


37

Definición

Teorema.-

Sea X una variable aleatoria con distribución hipergeométrica ( , , )H N n r , y sean,

/ ; 1p r N q p , entonces

a.) ( )E X np

b.) ( )1

N nVar X npq

N

c.) ( , , ) ( , )H N n r B n p , Esto es, si N tiende a o N es

grande con respecto a n, entonces la distribución

hipergeométrica se aproxima a una distribución

binomial.

DISTRIBUCIÓN DE POISSON.

Se dice que la variable aleatoria discreta X, cuyos valores posibles

son: 0, 1, 2, 3,.., tiene distribución de Poisson con parámetro

( 0) y se escribe ( )X P , si su función de probabilidad

es:

( )

( ) , 0,1,2,...!

xef x P X x x

x

Nota:

La distribución de Poisson se aplica a problemas donde la variable aleatoria es el

número de eventos independientes que ocurren en un intervalo de tiempo, o una

región plana (con un promedio dado), por ejemplo:

Número de llamadas que recibe una central

telefónica en el periodo de un minuto.

Número de accidentes de trabajo que ocurren en

una fábrica durante una semana.

Numero de fallas en la superficie de una pintura

rectangular.

Numero de bacterias en un volumen de un metro

cúbico de agua.


38

Ejemplo.

Una empresa textil produce un tipo de tela en rolos de 100 metros. El numero de

defectos que se encuentra al desenrollar la tela es una variable aleatoria de Poisson

que tiene en promedio 4 defectos por cada 20 metros de tela.

a) ¿Qué probabilidad hay de que al desenrollar la tela se encuentre menos de tres

defectos en los primeros 50 metros?

b) Hallar la probabilidad de que al desenrollar la tela no se encuentre defectos en el

primer segmento de 5 metros de tela.

c) Si se desenrollan 5 rollos de la tela escogidos al azar, ¿Cuál es la probabilidad

de que no se encuentre defectos en el primer segmento de 5 metros de tela en al

menos dos de ellos?

Solución.

Sea X el número de defectos encontrados en un segmento de 20

metros de tela que ocurre con promedio 4 . La probabilidad de

encontrar k defectos en el segmento de 20 t metros de tela es:

, 0,1,2,...!

kte tP X k k

k

Donde t es el promedio de defectos en el segmento de 20 t metros de tela,

a) El promedio de defectos en los primeros 50 metros de tela es 4 2.5 10t

( 2.5t Aumenta la longitud de 20 a 50 metros) y la probabilidad de que se

encuentren menos de tres defectos en los primeros 50 metros es:

0 1 210 10 1010 10 103 2 0.00277

0! 1! 2!

e e eP X P X


39

b) El promedio de defectos en los primeros 5 metros de tela es 4 1/ 4 1t

entonces la probabilidad de no encontrar defectos en los primeros 5 metros de tela

es:

01 10 0.3679

0!

eP X

c) Sea Y el numero de rollos que no tienen defectos en el primer segmento de 5

metros de tela de 5 rollos de tela escogidos al azar. la variable Y cuyos valores

posibles son: o,1,2,3,5 se distribuye según la ley binomial 5,B p donde

0 0.3679p P X

.luego, 1

55

0

2 1 1 1 1 1 0.3946 0.6054kk

k

k

P Y P Y C P P


40

TEMA 2

Analizar y resolver problemas que involucren distribuciones de variables aleatorias continuas.

Competencia:

Aleatorias

Continuas

de Variables Distribución



41

En esta sección estudiaremos las distribuciones más importantes de variables

aleatorias continuas unidimensionales. El soporte de una v.a. continua se define

como aquella región de donde su densidad es no nula, ( ) 0f x . Para las

distribuciones que enunciaremos, podrá ser bien todo, o bien

un segmento de la forma .

Sea la variable aleatoria X el tiempo de llegada de B, que puede hacerlo en

cualquier instante aleatorio entre las 7 p.m. y las 8 p.m. o entre 0 y 60 minutos.

Entonces, 0,60X U y su función de densidad de probabilidad es:

1, 0 60

( ) 60

0 ,

si xf x

enotros casos

Tema 02: Distribución de Variables Aleatorias Continúas

DISTRIBUCIÓN UNIFORME

Se dice que la variable aleatoria X tiene distribución uniforme

(o rectangular) en el intervalo , ,a b a b , y se describe

por ,X U a b , si su función de densidad de

probabilidad es:

Ejemplo:

Dos gerentes A y B deben encontrarse en cierto lugar entre las 7 p.m. y 8 p.m. para

firmar un contrato. Cada uno espera al otro a lo más 10 minutos, ¿Cuál es la

probabilidad de que no se encuentren sabiendo que A llega a las 7.30 p.m.?

Solución.

1,

( )

0 ,

si a x bf x b a

en otros casos


42

Si la variable aleatoria X tiene distribución uniforme en el intervalo ,a b , entonces,

Definición.- Se dice que la variable aleatoria continúa X, que toma los valores

reales x , se distribuye normalmente (o más brevemente es normal)

con parámetros y y se describe por 2( , )X N , si su función de

densidad es:

21 1

( ) exp ,22

xf x x

Si la variable aleatoria X tiene distribución normal 2( , )N , entonces,

Puesto que A llega a las 7.30 p.m. o a los 30 minutos después de las 7 p.m.

y espera a lo más 10 minutos, B no se encontrara con A si B llega de 7 p.m.

a menos de 7.20 p.m. o si llega después de las 7.40 p.m. , Luego , la

probabilidad de que A y B no se encuentran es:

20 60

0 40

1 1 20 20 20 20 40 60

60 60 60 60 3P X o X dx dx

Teorema.-

a )

( )2

a bE X

b )

2( )( )

12

b aVar X

DISTRIBUCIÓN NORMAL

Teorema.-

a ) ( )E X

b ) 2( )Var X


43

Tabulación de la Distribución Normal

Las áreas 2 / 21

( ) ( )2

z z

tz P Z z t dt e dt

que se representan en la parte

sombreada de la grafica en la tabla, tiene las siguientes propiedades:

( ) ( )P a Z b b a

( ) 1 ( )z z

( ) ( ) ( ) (1 ( )) 2 ( ) 1P a x a a a a a a

Ejemplos:

Encuentre el valor de z para un nivel de confianza del 95%.

Solución

Se utilizará la tabla que tiene el área bajo la curva de - hasta z. Si lo vemos

gráficamente sería:

El nivel de confianza bilateral está dividido en partes iguales bajo la curva:


44

En base a la tabla que se está utilizando, se tendrá que buscar el área de 0.975, ya

que cada extremo o cola de la curva tiene un valor de 0.025.

Por lo que el valor de z es de 1.96.

DISTRIBUCIONES GAMMA, EXPONENCIAL

Función Gamma

Definición.- La función Gamma denotada por, , se define por:

1

0

xx e dx

Donde es un número real positivo.

Propiedades:

1) Si 1 1 1

2) 0

1 1xe dx

3) 1/ 2

0

1

2

xx e dx

4) Si 1 1 !n n n

Distribución Gamma

Definición.-

Se dice que la variable aleatoria continua X tiene distribución Gamma, con parámetros

y y se representa por ,X , si su función de densidad es:

1 , 0

( )

0 , 0

xx e si xf x

si x


45

Teorema:

Si ,X

Distribución Exponencial

Definición.-

Se dice que la variable aleatoria continua X tiene distribución exponencial con

parámetro ( 0) , y se describe , si su función de densidad de

probabilidades es:

, 0( )

0 , 0

xe si xf x

si x

Nota. La distribución exponencial es un caso particular de la distribución gamma

cuando 1 . Luego, si la variable aleatoria X tiene distribución exponencial con

parámetro 1,o X , entonces tiene,

a) 1

b) 2

2

1

Por otra parte, su función distribución acumulada en el intervalo 0, es:

0

( ) 1 , 0x

x xF x P X x e dt e x

2

2

a b


46

Observar también que: 1 , 0xP X x P X x e x

Además, para números reales positivos s y t cualesquiera, se verifica:

/P X s t X s P X t

En efecto,

( )

/s t

t

s

P X s t eP X s t X s e P X t

P X s e

DISTRIBUCIÓN CHI-CUADRADO

Definición.-

Se dice que la variable aleatoria continua X tiene distribución chi-cuadrado con r

grados de libertad, y se representa por 2 ( )X r , si su función de densidad es:

/ 2/ 2 1 / 22

, 0( ) ( / 2)

0 , 0

rr xx e si x

f x r

si x

Propiedades

a ) Si (0,1)Z N , entonces , 2 2 (1)Z

b ) Si 1 2, ,..., rZ Z Z son r variables aleatorias independientes tales que (0,1)iZ N

para cada 1,2,3,..,i r entonces 2 2

1

(1)r

i

i

Z

Uso de la tabla Chi-cuadrado

Si la variable aleatoria X se distribuye como una chi-cuadrado con r grados de

libertad, esto es, si 2 ( )X r , entonces en la tabla de probabilidades chi-cuadrado

se puede encontrar una probabilidad 1 o un valor 2

1 ,rc mediante la relación

2

1 , 1rP X


47

DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT

Definición.-

Se dice que una variable aleatoria continua T se distribuye según t-student (mas

brevemente según t) con r grados de libertad y se representa por ( )T t r , si su

función de densidad es,

( 1) / 22

1

2( ) 1 ,

( )2

r

r

tf t x

r rr

,

Donde r es un entero positivo.

Propiedades.

i ) Si X tiene distribución t-student con r grados de libertad, entonces su media y su

varianza son respectivamente,

0

2 , 2

2

rr

r

ii ) Su grafica tiene forma de campana de Gauss, simétrica

en cero

iii ) La varianza de la distribución t es mayor que de la

distribución N(0,1). Pero cuando r , la varianza de

la t tiende a 1

iv ) La distribución t se aproxima a una distribución N(0,1),

cuando r . La aproximación es buena, si 0r .

Uso de la Tabla t-Student.

Si la variable aleatoria T tiene distribución t-Student con r grados de libertad, o

( )T t r , en la tabla de probabilidades t-Student se puede encontrar una probabilidad

1 o un valor 1 ,rc t mediante la relación: 1 , 1rP T t .


48

DISTRIBUCIÓN F

Definición.- Se dice que una variable aleatoria continua X se distribuye según F con

1 2r y r grados de libertad y se representa por 1 2( , )X F r r , si su función de densidad

es,

1

1

1 2

/ 2

1 1 2

( / 2) 12

( ) / 2

1 21

2

2( ) . ; 0

12 2

r

r

r r

r r r

r xf x x

r r r x

r

Donde 1 2r y r son números enteros positivos.

USO DE LA TABLA F

Si la variable aleatoria 1 2( , )X F r r , en la tabla de probabilidad F se puede encontrar

una probabilidad 1 o un valor 1 21 , ,r rc F , mediante la relación:

1P X c

Teorema- Si X tiene distribución F con grados de libertad 1 2r y r , entonces 1/ X

tiene distribución F con grados de libertad 2 1r y r , esto es:

1 2

2 1

1 , ,

, ,

1r r

r r

FF


49

TEMA 3

Analizar la importancia de la distribución normal.

Competencia:

Normal

de la

Distribución

Aplicación



50

Tema 03: Aplicación de la Distribución Normal

Como se ha mencionado anteriormente, la ley de probabilidad gaussiana la

encontramos en la mayoría de los fenómenos que observamos en la naturaleza,

por ello gran parte de lo que resta del curso lo vamos a dedicar a su estudio y a la

de las distribuciones asociadas a ella. Sin embargo, a pesar de su utilidad, hay que

apuntar un hecho negativo para esta ley de probabilidad:

La función

2xeno posee primitiva

Las consecuencias desde el punto de vista práctico son importantes, ya

que eso impide el que podamos escribir de modo sencillo la función de

distribución de la normal, y nos tenemos que limitar a decir que:

21

21

2

tx x

F x P X x f t dt e dt

Sin poder hacer uso de ninguna expresión que la simplifique.

Afortunadamente esto no impide que para un valor de x fijo, F(x) pueda

ser calculado. De hecho puede ser calculado con tanta precisión

(decimales) como se quiera, pero para esto se necesita usar técnicas de

cálculo numérico y ordenadores. Para la utilización en problemas

prácticos de la función de distribución F, existen ciertas tablas donde se

ofrecen (con varios decimales de precisión) los valores F(x) para una

serie limitada de valores xi dados. Normalmente F se encuentra tabulada

para una distribución Z, normal de media 0 y varianza 1 que se denomina

distribución normal tipificada:


51

En el caso de que tengamos una distribución diferente, se obtiene Z

haciendo el siguiente cambio:

Ejemplo 1: Las alturas de las mujeres jóvenes argentinas están aproximadamente

distribuidas normalmente con μ = 160 cm σ = 4 cm.

Sea X = altura de una mujer argentina joven, elegida al azar, X es una variable

aleatoria continua y su función de densidad de probabilidad está dada por:

2

2

( )

21

( )2

x

Xf x e

En General, si la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria X

está dada por la expresión anterior, decimos que X tiene distribución normal de

parámetros con μ y σ2

:

2,X N

PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

Sea 2,X N , entonces

a) 0,1X

z N

distribución Normal Estándar.

b) 2 2,ax b N a b a

Siguiendo con el ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer joven

elegida al azar tenga una altura entre 160 cm y 168 cm? Recordemos que

X = altura de una mujer argentina joven, elegida al azar entonces

2,X N con μ = 160 cm y σ = 4 cm


52

160 160 168 160

160 1684 4

XP X P

0 2 2 0 0.9772 0.500 0.4772P z

Ejemplo 2:

Supongamos que cierto fenómeno pueda ser representado mediante una variable

aleatoria 45,81X N , y queremos calcular la probabilidad de que X tome un

valor entre 39 y 48, es decir,

Comenzamos haciendo el cambio de variable

de modo que :


53

TEMA 4

Aplicar la aproximación a la distribución normal.

Competencia:

Normal

a la

Distribución

Aproximaciones



54

Tema 04: Aproximaciones a la Distribución Normal

Se puede demostrar (teorema central del límite) que una v.a. discreta con

distribución binomial, se puede aproximar mediante una distribución

normal si n es suficientemente grande y p no está ni muy próximo a 0 ni a 1. Como

el valor esperado y la varianza de X son respectivamente np y npq, la

aproximación consiste en decir que . El convenio que se suele

utilizar para poder realizar esta aproximación es:

aunque en realidad esta no da resultados muy precisos a

menos que realmente n sea un valor muy grande o

.

TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL

El teorema del límite central establece que si se tienen n variables aleatorias, X1,

X2, ..., Xn, independientes y con idéntica distribución de media m y varianza s2, a

medida que crece n, la suma (y la media) de estas variables tiende a seguir una

distribución normal.

El teorema del límite central, explicado de forma intuitiva, afirma que cualquiera

que sea la distribución común de un conjunto de variables aleatorias, suponiendo

que su varianza sea finita, la suma y la media de un número elevado de estas

variables tenderán a distribuirse de manera similar a una variable normal.


55

Durante cierta epidemia de gripe, enferma el 30% de la población. En un aula con

200 estudiantes de Medicina, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 40 padezcan

la enfermedad? Calcular la probabilidad de que haya 60 estudiantes con gripe.

Ejemplo:

Solución:

La variable aleatoria. Que contabiliza el número de alumnos que padece la gripe es

Cuya media es . 60n p y su varianza es 2 42npq . Realizar los

cálculos con la ley binomial es muy engorroso, ya que intervienen números

combinatorios de gran tamaño, y potencias muy elevadas. Por ello utilizamos la

aproximación normal de X, teniendo en cuenta que se verifican las condiciones

necesarias para que el error sea aceptable:


56

Así aproximando la v.a. discreta binomial X, mediante la v.a. continua normal XN

tenemos:

También es necesario calcular 60p x . Esta probabilidad se calcula

exactamente como:

Dada la dificultad numérica para calcular esa cantidad, y como la

distribución binomial no está habitualmente tabulada hasta valores tan

altos, vamos a utilizar su aproximación normal, XN. Pero hay que

prestar atención al hecho de que XN es una v.a. continua, y por

tanto la probabilidad de cualquier punto es cero. En particular,


57

lo que ha de ser interpretado como un error de aproximación. Hay métodos

más aproximados para calcular la probabilidad buscada. Por ejemplo,

podemos aproximar 60p x por el valor de la función de densidad de XN

en ese punto (es en el único sentido en que se puede entender la función de

densidad de la normal como una aproximación de una probabilidad).

Así:

Por último, otra posibilidad es considerar un intervalo de longitud 1 centrado en

el valor 60 del que deseamos hallar su probabilidad y hacer:


58

1) Ingresa al link “Distribución” lee atentamente las indicaciones, desarróllalo y envíalo por el mismo medio.

Hacer uso de la distribución normal en los problemas de casos reales.

Suponga que la demanda mensual de un bien de consumo se

distribuye normalmente con una media de 650 kilogramos y una

desviación estándar de 100 kg. ¿Qué probabilidad hay de que la

demanda no supere los 500 kg?

El porcentaje del ingreso ahorrado por las familias tiene distribución

normal con una media del 10%. Determine la desviación estándar

P X t , si el 2.28% de los ahorros son mayores que 12.4%

Suponga que el ingreso familiar mensual en una comunidad tiene

distribución normal con media $600 y desviación estándar $100.

Calcular la probabilidad de que el ingreso de una familia escogida al

azar sea menor que $400.


DISTRIBUCIÓN NORMAL

http://www.uca.es/uca/dpto/C146/pag_personal/f_alvarez/documentos/CC%20Tra

bajo%20Tema%205.pdf

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

http://www.itapizaco.edu.mx/~joseluis/apuntes/estadistica/distribuciones%20disc

retas.pdf

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

http://www.dm.uba.ar/materias/probabilidades_estadistica_C/2011/1/PyEC06.pdf


http://www.uca.es/uca/dpto/C146/pag_personal/f_alvarez/documentos/CC%20Trabajo%20Tema%205.pdf

http://www.uca.es/uca/dpto/C146/pag_personal/f_alvarez/documentos/CC%20Trabajo%20Tema%205.pdf

http://www.itapizaco.edu.mx/~joseluis/apuntes/estadistica/distribuciones%20discretas.pdf

http://www.itapizaco.edu.mx/~joseluis/apuntes/estadistica/distribuciones%20discretas.pdf

http://www.dm.uba.ar/materias/probabilidades_estadistica_C/2011/1/PyEC06.pdf


59

Autoevaluación

1) La probabilidad de que cierto tipo de objeto pase con éxito una determinada prueba es 5/6. Se prueban 10 de tales objetos. Si X es la variable aleatoria que se define como el número de objetos que no pasan la prueba.

Calcular la media de esta distribución. a. 3.2456

b. 0.5000

c. 1.667

d. 2.5

e. 1.1777

2) Supóngase que la temperatura T durante junio está distribuida normalmente con media 68º y desviación estándar 6º. Hallar la probabilidad p de que la temperatura este entre 70º y 80º.

a. 0,347

b. 0,456

c. 0,567

d. 0,234

e. 0,789

3) Los pesos de 2 000 soldados presentan una distribución normal de media 65

kg y desviación típica 8 kg. Calcula la probabilidad de que un soldado elegido al azar pese Más de 61 kg.

a. 0.6915

b. 0.5000

c. 0.3333

d. 1.0000

e. 0.2222

4) La duración de un láser semiconductor a potencia constante tiene una distribución normal con media 7.000 horas y desviación típica de 600 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que el láser falle antes de 5.000 horas?

a. 0.8765 b. 0.0004 c. 0.2456 d. 0.5321 e. 0.3456

5) Suponga que la duración X de los focos que produce una compañía se distribuye normalmente. si el 18.41 % de estos focos duran menos de 8.2 meses y el 6.68% duran al menos 13 meses. ¿calcular la media y la varianza de la duración de los focos?

a. 10 , 2 b. 12 , 2

c. 8 , 1

d. 12 , 1,5

e. 8 , 2


60

Resumen

UUNNIIDDAADD DDEE AAPPRREENNDDIIZZAAJJEE IIII::

Sea un espacio probabilístico y sea X una variable aleatoria discreta que toma como

posibles valores x1,x

2,.....x

n, se define la distribución de probabilidad de X como el

conjunto de pares (xi, p

i) que a cada valor de la variable le asocia una probabilidad,

donde pi= P(X=x

i), tal que la suma de todas las probabilidades es igual a la unidad.

En la distribución de variables discretas encontramos Distribución de Bernoulli,

Distribución Binomial, Distribución Geométrica, Distribución de Pascal o Binomial

negativa, Distribución hipergeométrica.

Si la variable aleatoria es continua, hay infinitos valores posibles de la variable y entra

cada dos de ellos se podrían definir infinitos valores. En estas condiciones no es

posible deducir la probabilidad de un valor puntual de la variable como se puede hacer

en el caso de las variables discretas. Pero sí es posible calcular la probabilidad

acumulada hasta un cierto valor (función de distribución) y cómo cambia esa

probabilidad acumulada en cada punto (densidad de probabilidad). Por tanto, cuando

la variable aleatoria sea continua hablaremos de función de densidad.

Puede tomar cualquier valor ,

Hay más probabilidad para los valores cercanos a la media

Conforme nos separamos de , la probabilidad va decreciendo de igual forma a

derecha e izquierda (es simétrica).

Conforme nos separamos de , la probabilidad va decreciendo dependiendo la

desviación típica s.

El teorema del límite central establece que si se tienen n variables aleatorias, X1,

X2,..., Xn, independientes y con idéntica distribución de media m y varianza s2, a

medida que crece n, la suma (y la media) de estas variables tiende a seguir una

distribución normal. Explicado de forma intuitiva, afirma que cualquiera que sea la

distribución común de un conjunto de variables aleatorias, suponiendo que su varianza

sea finita, la suma y la media de un número elevado de estas variables tenderán a

distribuirse de manera similar a una variable normal.


61


62

Introducción


Los temas que se tratan en la presente unidad, tienen por finalidad que el

estudiante desarrolle y ejecute el concepto de distribución muestral durante su

proceso de formación profesional y contribuyan en el logro de su perfil profesional.

b) Competencia

Interpreta las características y funciones del muestreo aleatorio así como sus

aplicaciones.

c) Capacidades

1. Reconoce la importancia del concepto de muestreo aleatorio.

2. Resuelve problemas que involucren distribuciones muestrales de la media y

proporción.

3. Analiza la importancia de la distribución muestral de la diferencia de dos

medias.

4. Analiza la importancia de la distribución muestral de la diferencia de dos

proporciones.

d) Actitudes Aprecia críticamente las diferentes ventajas y desventajas del muestreo

aleatorio.

Valora el las etapas de la distribución muestral de la media y proporción.

Toma una actitud con capacidad crítica para la ddistribución muestral de la

diferencia de dos medias.

Valora a la distribución muestral de la diferencia de dos proporciones.

e) Presentación de ideas básicas y contenidos esenciales de la unidad: La Unidad de Aprendizaje 03: Distribuciones Muestrales, comprende el


TEMA 01: Muestreo Aleatorio.

TEMA 02: Distribución Muestral de la Media y Proporción.

TEMA 03: Distribución Muestral de la Diferencia de Dos Medias.

TEMA 04: Distribución Muestral de la Diferencia de Dos Proporciones.


63

TEMA 1

Reconocer la importancia del concepto de muestreo aleatorio.

Competencia:

Aleatorio

Muestreo



64


Tema 01: Muestreo Aleatorio

MUESTREO Se llama muestreo al procedimiento mediante el cual obtenemos una ó más

muestras.

Entonces la técnica de elegir la muestra se

llama muestreo, el objetivo principal de un

diseño de muestreo es proporcionar

Procedimientos para la selección de la

muestra que sea representativa de la

población en estudio.

La utilización de las técnicas de muestreo es

muy amplia se usa en agricultura, ganadería, industria. Comercio, servicios y en las

diferentes áreas del conocimiento humano como biología, medicina. Ingeniería,

psicología. Sociología, mercadotecnia, antropología etc.

Ventajas:

Un costo más bajo, es la razón principal en la utilización del muestreo en lugar de

una enumeración completa.

Los datos pueden ser recolectados con mayor rapidez cuando se trabaja con una

muestra que con toda la población.

Una muestra exigiría menos personal por lo tanto se podría seleccionar y

adiestrar mejores empleados y el trabajo podría ser supervisado más

estrechamente.

La recolección de datos de una muestra conducen a datos más precisos que los

que podrían ser obtenidos reuniendo datos de todas las unidades.

Cuando la población es infinita o tan grande de tal manera que el censo exceda

las posibilidades del investigador.

Cuando la población es suficientemente uniforme.

Cuando el proceso de medida o investigación de las características de cada

elemento sea destructivo.


65

Definición de la Población en Estudio

El primer problema es definir la población bajo estudio. La poblaciones el conjunto de

unidades que el investigador desea estudiar de las cuales planea generalizar y debe

ser preciso al definir la población.

Ejemplo 1: La población puede consistir en todas las universidades en Lima

metropolitana.

Ejemplo 2: La población puede ser todos los establecimientos de comestibles

ubicados en el distrito de la Victoria.

Definición de las Variables Que se Estudian

El segundo problema a considerar es la definición de las variables que se van a

estudiar.

Ejemplo: Supongamos que una embotelladora

desea determinar si los establecimientos de víveres

de Lima metropolitana vende una marca específica

de refresco, en este caso sólo se está estudiando

una variable y puede dar una definición estricta; una

tienda tiene en existencia el refresco o no la tiene.

DISEÑO DE MUESTRAS

El diseño de la muestra es la tercera dificultad suscitada en cualquier operación

de muestreo y puede ser dividida en:

La determinación de las unidades de muestreo.

La selección de los elementos de la muestra y

determinación del tamaño de la muestra.

Estimación de las características de la población

con los datos de la muestra.


66

Selección de las Unidades de Muestreo

Se llama unidad de muestreo a las colecciones disjuntas de la población, en algunos

casos una unidad muestral está constituida por un solo elemento.

Ejemplo: Considérese el problema de hallar la proporción de establecimientos de

comestibles en la Victoria que venden Pepsi cola. Aquí el establecimiento de

comestibles sería la unidad observada y por lo tanto sería razonable considerar un

procedimiento de muestreo directo. Dada una lista de todos los establecimientos de

comestibles de dicha área sería relativamente fácil escoger una muestra.

Selección de la Muestra

Otra parte del problema del diseño muestra es el método de escoger los componentes

de muestra.

Una muestra debe ser representativa si va a ser usada para estimar las

características de la población.

Los métodos para seleccionar una muestra representativa son numerosos,

dependiendo del tiempo y del dinero y habilidad para tomar una muestra y la

naturaleza de los elementos individuales de la población.

Los métodos más comunes podemos dividirlos de la siguiente manera:

Por el número de muestras tomadas de una población.

por la manera usada en seleccionar los elementos incluidos en la Muestra.

a) Métodos en Función del Número de Muestras:

i. Muestreo Simple

El muestreo es simple sí sólo se toma una muestra de la población en este

caso, la muestra debe ser lo suficiente grande para extraer una

conclusión. Una muestra grande generalmente cuesta mucho

dinero.

ii. Muestreo Doble

Cuando el resultado del estudio de la primera muestra no es

decisivo, una segunda es extraída de la misma población y

las dos muestras son combinadas para analizar los

resultados.


67

b) Muestreo en Función a la Manera de Selección de los Elementos

Los elementos de una muestra pueden ser seleccionados de dos maneras

diferentes:

i. Muestreo de Juicio (no probabilística)

Llamado así porque sus elementos son seleccionados mediante el juicio

personal.

La persona que selecciona los elementos de la muestra visualmente es un

experto en la materia dada.

Una muestra de juicio es llamada muestra no probabilística. Puesto que éste

método está basado en los puntos de vista subjetivos de una persona

ii. Muestreo Aleatorio

Una muestra se dice que es aleatoria cuando la manera de seleccionar es tal

que cada elemento de la población tiene igual oportunidad de ser seleccionado

a esta muestra también se le conoce como probabilística puesto que cada

elemento tiene una probabilidad conocida.

La aplicación de este método naturalmente presupone la disponibilidad de una

lista de todas las unidades de muestreo en la población, llamándose marco y

proporciona la base para la selección de la muestra.

Es deseable que este marco contenga todas las unidades muéstrales que

son de interés y que no incluya unidades

falsas ni tampoco elementos repetidos.

Los tipos más comunes de muestreo aleatorio

son:

Muestreo aleatorio simple

Muestreo estratificado

Muestreo sistemático

Muestreo por conglomerado.

Error de Muestreo

Cualquiera que sea el método de selección una estimación por muestra diferirá de la

que se obtenga utilizando todos los elementos de la población, a esta diferencia entre


68

el valor de la muestra y el valor de la población se llama error de muestreo.

Muestreo Aleatorio Simple

Una muestra aleatoria simple es seleccionada de tal manera que cada muestra

posible del mismo tamaño tiene igual probabilidad de ser seleccionada de la

población.

Un método simple para obtener los elementos de la muestra aleatoria simple es

utilizando las tablas de números al azar y puede ser resumido de la siguiente manera:

Numérese cada componente de la población desde el 1 hasta N (número total

de la población.

Comenzando en algún lugar previamente seleccionado en una tabla de números

al azar, precédase sistemáticamente a través de la tabla utilizando tantas cifras

como sean necesarias. Por ejemplo: Si la población tiene 90 elementos tómese

2 dígitos cada vez y así sucesivamente.

Distribución Normal: Esta distribución es frecuentemente utilizada en las

aplicaciones Estadísticas. Su propio nombre indica su extendida utilización, justificada

por la frecuencia o normalidad con la que ciertos fenómenos tienden a

Parecerse en su comportamiento a esta distribución.

Muchas variables aleatorias continuas presentan una función de

densidad cuya gráfica tiene forma de campana.

En otras ocasiones, al considerar distribuciones binomiales, tipo B(n,p), para un

mismo valor de p y valores de n cada vez mayores, se ve que sus polígonos de

frecuencias se aproximan a una curva en "forma de campana".

En resumen, la importancia de la distribución normal se debe principalmente a

que hay muchas variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el

modelo de la normal

Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,...) de una

especie, p. ej. tallas, pesos, envergaduras, diámetros, peri metros,.. .

Caracteres fisiológicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis de un fármaco,

o de una misma cantidad de abono.

Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo

grupo de individuos, puntuaciones de examen.


69

Caracteres psicológicos, por ejemplo: coeficiente intelectual, -grado de

adaptación a un medio.

Definición.- Se denomina estadística a cualquier función de las variables aleatorias

que constituyen la muestra.

Una estadística es una variable aleatoria 1 2( , ,..., )nY H X X X , cuyo valor es el

número real 1 2( , ,..., )ny H x x x . El término estadística se usa para referirse tanto a la

función de la muestra, como al valor de esta función.

En general para cada parámetro poblacional hay una estadística

correspondiente a calcularse a partir de la muestra. Algunas características

importantes y sus valores calculados a partir de una muestra aleatoria son:

a) La media muestral 1

1 n

i

i

X Xn

, con valor 1

1 n

i

i

x xn

b) La varianza muestral 2

2

1

1 n

i

i

S X Xn

, con valor 2

2

1

1 n

i

i

s x xn

c) La desviación estándar muestral 2S S

d) La proporción muestral (porcentaje de éxitos en la muestra) 1 n

i

i n

P o P Xn

,

donde (1, )iX B p (el parámetro p es el porcentaje de éxitos de la población).

también , X

Pn

, donde ( , )X B n p


70

TEMA 2

Resolver problemas que involucren distribuciones muestrales de la media y proporción.

Competencia:

y Media Proporción

de la Muestral

Distribución



71

Tema 02: Distribución Muestral de la Media y Proporción

Distribución Muestral de la Media X

Teorema.- Sea 1 2, ,..., nX X X , una muestra aleatoria de tamaño n escogida

de una población f(x) con media y con varianza 2 . Si X es la media

muestral, entonces,

a ) E X

b ) 2

Var Xn

c ) para n suficientemente grande , la variable aleatoria ,

/

XZ

n

Tiene distribución aproximadamente normal (0,1)N .

DEFINICIÓN.- Se denomina distribución muestral de una estadística a su

distribución de probabilidad

Notas.

a ) La aproximación de X a la normal 2( , / )N n es buena si 30n , sin

importar si la población es discreta o continua.

b ) Si la muestra aleatoria es escogida de una población normal 2( , )N ,

entonces, la distribución de X es exactamente normal 2( , / )N n , para

cualquier tamaño de muestra, 2n

c ) La varianza de la media: 2

Var Xn

es válida, si el muestreo es con o sin

reemplazo en una población infinita, o es con reemplazo en una población

finita de tamaño N.


72

Si el muestreo es sin reemplazo en una población finita de tamaño N,

entonces, la varianza de la distribución de X es:

22

1X

N n

n N

el coeficiente

1

N n

N

se denomina factor de

corrección para población finita. Observar que cuando N el factor de

corrección tiende a uno.

d ) La desviación estándar de una estadística es conocida como error estándar.

Ejemplo 01

La altura media de 400 alumnos de un plantel de secundaria es de 1.50 metros y

su desviación típica es de 0.25 metros. Determinar la probabilidad de que en una

muestra de 36 alumnos, la media sea superior a 1.60 metros.

Solución.

1.60P X ?

1.60 1.502.40

0.25 / 36z

2.40 0.4918

0.5000 0.4918 0.0082 0.82%

z A

P

Ejemplo 02

Se tiene para la venta un lote de 1000 pollos, con un peso promedio de 3.5 kg y

una desviación estándar de 0.18 kg. ¿Cuál es la probabilidad de que en una

muestra aleatoria, 100 pollos de esta población, pesen entre 3.53 y 3.56 kg?


73

Solución.

3.5 , 0.18 , 100 , 3.53 3.56 ?n P X

3.56 3.53.33

/ 0.18 / 100

Xz

n

3.33 0.4996z A

3.53 3.51.66

0.18 / 100z

1.66 0.4515z A

Entonces 3.53 3.56 0.4996 0.4515 0.0481 4.81%P X

Ejemplo 03:

Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que se distribuye

aproximadamente en forma normal, con media de 800 horas y desviación

estándar de 40 horas. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de

16 focos tenga una vida promedio de menos de 775 horas.

Solución:


74

Este valor se busca en la tabla de z

La interpretación sería que la probabilidad de que la media de la muestra de 16

focos sea menor a 775 horas es de 0.0062.

Ejemplo 04:

Las estaturas de 1000 estudiantes están distribuidas aproximadamente en forma

normal con una media de 174.5 centímetros y una desviación estándar de 6.9

centímetros. Si se extraen 200 muestras aleatorias de tamaño 25 sin reemplazo de

esta población, determine:

a. El número de las medias muestrales que caen entre 172.5 y 175.8

centímetros.

b. El número de medias muestrales que caen por debajo de 172 centímetros.

Solución:

Como se puede observar en este ejercicio se cuenta con una población finita y un

muestreo sin reemplazo, por lo que se tendrá que agregar el factor de corrección.

Se procederá a calcular el denominador de Z para sólo sustituirlo en cada inciso.

a.


75

(0.7607)(200)=152 medias muestrales

b.

(0.0336)(200)= 7 medias muestrales

Distribución Muestral de la Proporción

Sea 1 2, ,..., nX X X una muestra aleatoria de tamaño n extraída de la población

de Bernoulli (1, )B p , donde p es el porcentaje de éxitos en la población y sea

1 2 ... nX X X XP

n n

La proporción de éxitos en la muestra, siendo, 1 2 ... nX X X X una

variable binomial ( , )B n p , entonces,

a ) 1 1

( ) ( ) ( )p

XE P E E X np p

n n n

b ) 2

2 2

1 1 (1 )( ) ( ) (1 )

p

X p pV P V V X np p

n nn n

c ) Si n es suficientemente grande , entonces la variable aleatoria

(1 ) /

P pZ

p p n


76

Tiene aproximadamente distribución (0,1)N

Notas:

1). El error de P es : (1 )

p

p p

n

2). Si la población es finita de tamaño N y el muestreo es sin reposición el error

estándar (desviación estándar de la hipergeométrica) es :

(1 )

1p

p p N n

n N

Observar que si N es grande con respecto a n el factor de corrección1

N n

N

se

aproxima a la unidad.

3). Si n es suficientemente grande 30n ,

( )

p

c pp P c p Z

Sin embargo aproximaciones satisfactorias se obtienen si se introduce el factor de

corrección por continuidad1

2n. Luego,

1

2( )

p

c pn

p P c p Z

4). Observar que las dos expresiones de Z

(1 ) (1 )

X np P pZ

np p p p

Donde X es binomial y P es el porcentaje de éxitos en la muestra, tiene

distribución (0,1)N .


77

Ejemplos:

1). Se tiene que el 4% de las piezas producidas por cierta maquina son

defectuosas, ¿Cuál es la probabilidad de que un grupo de 200 piezas, el

3% o más sean defectuosas?

Solución.

0.04 , ^ 0.03p p P p

0.04 0.960.014

200P

PQ

n

Se desea determinar la probabilidad 0.03P p

0.03 0.040.71

0.04 0.96

200

ppz

PQ

n

0.71 0.2612z A

0.2612 0.5000 0.7612p

Entonces

0.03 0.7612 76.12%P p

2). Se desea estudiar una muestra de 49 personas para saber la proporción

de las mayores de 40 años; sabiendo que la proporción en la población es

0.4. ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción en la muestra sea

menor de 0.5?

Solución.

49 , 0.4 , 0.5 ?n P P p

0.5 0.41.43

0.4 0.6

49

ppz

PQ

n

1.43 0.4236z A


78

0.5000 0.4236 0.9236P

Entonces

…… 0.5 0.9236 92.36%P p

3). 46% de los sindicatos del país están en contra de comerciar con china

continental; ¿Cuál es la probabilidad de que una encuesta a 100 sindicatos

muestre que más del 52% tengan la misma posición?

4). La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad es

0.4. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 100 pacientes

seleccionados de una población de 1000 que sufren la enfermedad, más del

30% sobrevivan?

5). Se ha determinado que el 65% de los estudiantes

universitarios de Lima prefieren los cuadernos marca

profesional. ¿Cuál es la probabilidad de que en una

muestra de 100 universitarios de dicha ciudad?,

encontremos que:

a ) Como máximo el 68% sean usuarios de

ese tipo de cuaderno

b ) Exactamente 66% sean usuarios

(utilizar medio punto de porcentaje para

los límites).


79

TEMA 3

Analizar la importancia de la distribución muestral de la diferencia de dos medias.

Competencia:

de Diferencia

Medias

de la Muestral

Distribución

Dos



80

Tema 03: Distribución Muestral de la Diferencia de Dos Medias

DISTRIBUCIÓN DE DIFERENCIAS ENTRE DOS MEDIAS MUESTRALES

Se tienen dos poblaciones independientes identificadas la primera por X y la segunda

por Y, de tamaño 1 2N y N , cuyas medias se simbolizan por x yy , y sus

desviaciones típicas son .x yy Se obtiene un numero (M) de pares de muestras.

Las medias muestrales de la primera población se identifican por 1 2; ;....; MX X X . Y

las muestras de la segunda variable por 1 2; ;....; MY Y Y .

La media de las diferencias de todos los pares o medias muestrales posibles, es igual

a la diferencia entre las medias poblacionales:

x yx y

La desviación típica de las diferencias entre los pares de medias muestrales se

simboliza por:

22

1 2

yx

x y n n

Suponiendo que la distribución de diferencias entre las medias muestrales tenga

un comportamiento similar a la distribución normal, la variante estadística estará

dada por:

x y

x y

x yZ

Entonces

22

1 2

x y

yx

x yZ

n n


81

Se puede aplicar esta distribución cuando no se conoce n las varianzas poblacionales

2 2

x yy , las cuales pueden ser sustituidas por varianzas muestrales 2 2

x ys y s siempre

y cuando que 1 2n y n sean mayores que 30. Algunos autores consideran si

1 2 30n n . Siendo su fórmula:

22

1 2

x y

yx

x yZ

ss

n n

Ejemplo 01:

Se tienen dos poblaciones normales e independientes, donde la media de la segunda

población es 0.65 menor que la de la primera; si se obtienen muestras de tamaño 110

y 120 y si las respectivas desviaciones típicas poblacionales son 12 y 8, se pide

determinar la probabilidad de que, en un par de muestras, la diferencia entre ambas

medias muestrales sea superior a 1 en valor absoluto.

Solución.

1 20.65 , 100, 120 , 12, 8x y x yn n

Se pide 1P x y

Entonces

22

1 2

144 641.40

100 120

yx

x y n n

x y

x y

x yz

1 0.65 1 0.650.25 , 1.18

1.40 1.40z z

0.25 0.0987 , 1.18 0.3810z A z A

Entonces 1 0.0987 0.3810 0.5203P


82

Ejemplo 2

En un estudio para comparar los pesos promedio de niños y niñas de sexto grado en

una escuela primaria se usará una muestra aleatoria de 20 niños y otra de 25 niñas.

Se sabe que tanto para niños como para niñas los pesos siguen una distribución

normal. El promedio de los pesos de todos los niños de sexto grado de esa escuela

es de 100 libras y su desviación estándar es de 14.142, mientras que el promedio de

los pesos de todas las niñas del sexto grado de esa escuela es de 85 libras y su

desviación estándar es de 12.247 libras. Si representa el promedio de los pesos

de 20 niños y es el promedio de los pesos de una muestra de 25 niñas, encuentre

la probabilidad de que el promedio de los pesos de los 20 niños sea al menos 20

libras más grande que el de las 25 niñas.

Solución:

Datos:

1 = 100 libras

2 = 85 libras

1 = 14.142 libras

2 = 12.247 libras

n1 = 20 niños

n2 = 25 niñas

= ?

Por lo tanto, la probabilidad de que el promedio de los pesos de la muestra de

niños sea al menos 20 libras más grande que el de la muestra de las niñas es

0.1056.


83

Entonces

20 1.25 1 1.25 1 1.25 1 0.8944 0.1056A Bp x x P z P z

Ejemplo 03:

Uno de los principales fabricantes de televisores compra los tubos de rayos

catódicos a dos compañías. Los tubos de la compañía A tienen una vida media de

7.2 años con una desviación estándar de 0.8 años, mientras que los de la B tienen

una vida media de 6.7 años con una desviación estándar de 0.7. Determine la

probabilidad de que una muestra aleatoria de 34 tubos de la compañía A tenga una

vida promedio de al menos un año más que la de una muestra aleatoria de 40 tubos

de la compañía B.

Solución:

Datos:

A = 7.2 años

B = 6.7 años

A = 0.8 años

B = 0.7 años

nA = 34 tubos

nB = 40 tubos

= ?


84

Entonces

2 2 2 2

1 7.2 6.71

0.8 0.7

34 40

A B A B

A B

A B

A B

x xp x x p

n n

2.84 1 2.84 1 2.84 1 0.9977 0.0023P z P z

Ejemplo 04:

Se prueba el rendimiento en km/L de 2 tipos de gasolina,

encontrándose una desviación estándar de 1.23km/L para la

primera gasolina y una desviación estándar de 1.37km/L para la

segunda gasolina; se prueba la primera gasolina en

35 autos y la segunda en 42 autos.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera gasolina de un

rendimiento promedio mayor de 0.45km/L que la segunda

gasolina?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia en rendimientos

promedio se encuentre entre 0.65 y 0.83km/L a favor de la

gasolina 1?

Solución:

En este ejercicio no se cuenta con los parámetros de las medias en ninguna de las

dos poblaciones, por lo que se supondrán que son iguales.


85

Datos:

1 = 1.23 Km/Lto

2 = 1.37 Km/Lto

n1 = 35 autos

n2 = 42 autos

a. = ?

b. ?

La probabilidad de que la diferencia en rendimientos promedio en las muestras se

encuentre entre 0.65 y 0.83 Km/Lto a favor de la gasolina 1 es de 0.0117.


86

TEMA 4

Analizar la importancia de la distribución muestral de la diferencia de dos proporciones.

Competencia:

de dos Diferencia Proporciones

de la Muestral

Distribución



87

Tema 04: Distribución Muestral de la Diferencia de Dos Proporciones

En el caso de dos poblaciones independientes de tamaño 1 2N y N , distribuidas

binomialmente, con parámetros, medias proporcionales 1 2P y P (también se pueden

representar las medias por 1 2P Py ) y desviaciones proporcionales

1 2P Py , siendo:

1 21 1 2 2P PPQ y P Q , el error estándar de las diferencias entre las dos

medias proporcionales estará dada por:

1 2

1 1 2 2

1 2

P P

PQ P Q

n n Cuando son valores poblacionales.

Cuando 1 2n y n corresponden a muestras grandes, es decir, ambas superiores a 30.

1 2

1 1 2 2

1 2

P P

p q p qs

n n

La media de las diferencias entre dos medias proporcionales, se simboliza;

indistintamente por: 1 2 1 2 1 2P P P P P P

La variante estadística Z, estará dada en la misma forma que fue representada para

diferencias entre dos medias muestrales:

1 21 2

1 1 2 2

1 2

P Pp pZ

PQ P Q

n n

Ejemplos:

1). Consideremos dos maquinas que producen un determinado articulo; la primera

produce por término medio un 14% de artículos defectuosos,

en tanto que otra, produce el 20% de artículos defectuosos; si se

obtienen muestras de 200 unidades en la primera y 100 unidades

en la segunda, ¿Cuál es la probabilidad de que difiera A de B

en 8% o más?


88

Solución

Datos: 1 2 1 2 1 20.08 ? , 200 , 100 , 14% , 20%P p p n n p p

1 20.14 0.20 0.06p p

1 21 2

1 1 2 2

1 2

0.08 0.062.98

0.14 0.86 0.2 0.8

200 100

p pp pz

PQ PQ

n n

2.98 0.4986z A

Entonces

1 2 0.08 0.5000 0.4986 0.0014 0.14%P p p

2). Dos fabricas A y B, producen artículos similares. La producción de A contiene 7%

de defectuosos, y la de B contiene, 5%. Si se extrae una muestra aleatoria de 2000

de cada una de las producciones de las fábricas, ¿Cuál es la probabilidad de que

las dos muestras revelen una diferencia en el número de los defectuosos del 1 % o

más?

Solución

Datos: 1 2 1 2 1 20.01 ? , 2000 , 2000 , 0.07 , 0.05P p p n n p p

1 21 2

1 1 2 2

1 2

0.01 0.021.33

0.07 0.93 0.05 0.95

2000 2000

p pp pz

PQ PQ

n n

0.01 0.024

0.0075z

Luego

1.33 0.4082

4 0.5000

z A

z A

Entonces

0.5000 0.4082 0.9082P

1 2 0.01 90.82%P p p


89

1) Ingresa al link “Distribución Muestral” lee atentamente las

indicaciones, desarróllalo y envíalo por el mismo medio.

Hacer uso de las distintas formulas correspondientes a las

distribuciones muestrales.

Las estaturas de los estudiantes de la Universidad Privada

Telesup se distribuyen normalmente con media de 170

centímetros y desviación típica de 10 centímetros. Si se toma una

muestra de 81 estudiantes, ¿Cuál es la probabilidad de que

tengan una estatura superior a 175 centímetros?

46% de los sindicatos del país están en contra de comerciar con

china continental; ¿Cuál es la probabilidad de que una encuesta a

100 sindicatos muestre que más del 52% tengan la misma

posición?


MUESTREO ALEATORIO

http://www.fao.org/docrep/x5684s/x5684s04.htm

DISTRIBUCIÓN MUESTRA DE LA PROPORCIÓN http://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r76020.PDF

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r14681.DOC


http://www.fao.org/docrep/x5684s/x5684s04.htm

http://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r76020.PDF

http://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r14681.DOC


90

Un especialista en genética ha detectado que el 26% de los hombres

y el 24% de las mujeres de cierta región del país tiene un leve

desorden sanguíneo; si se toman muestras de 150 hombres y 150

mujeres, determine la probabilidad de que la diferencia muestral de

proporciones que tienen ese leve desorden sanguíneo sea de Menos

de 0.035 a favor de los hombres.

a. Menos de 0.035 a favor de los hombres.

b. Entre 0.01 y 0.04 a favor de los hombres.

Los hombres y mujeres adultos radicados en una ciudad grande del

norte difieren en sus opiniones sobre la promulgación de la pena de

muerte para personas culpables de asesinato. Se cree que el 12% de

los hombres adultos están a favor de la pena de muerte, mientras que

sólo 10% de las mujeres adultas lo están. Si se pregunta a dos

muestras aleatorias de 100 hombres y 100 mujeres su opinión sobre

la promulgación de la pena de muerte, determine la probabilidad de

que el porcentaje de hombres a favor sea al menos 3% mayor que el

de las mujeres.


91

Autoevaluación

1) En una población normal, con media 72,1 y desviación estándar 3,1,

encuentre la probabilidad de que en una muestra de 90 observaciones, la

media sea menor que 71,7.

a. 0.1093

b. 0.587

c. 0.4931

d. 0.4568

e. 1.0000

2) Se sabe que la resistencia a la ruptura de cierto tipo de cuerda se distribuye

normalmente con media de 2000 libras y una varianza de 25,000 lbs2. Si se

selecciona una muestra aleatoria de 100 cuerdas; determine la probabilidad

de que en esa muestra la resistencia media encontrada sea de por lo menos

1958 libras.

a. 0.9960

b. 0.5555

c. 0.2345

d. 0.6478

e. 1.0000

3) Uno de los principales fabricantes de televisores compra los tubos de rayos

catódicos a dos compañías. Los tubos de la compañía a tienen una vida

media de 7.2 años con una desviación estándar de 0.8 años, mientras que los

de la b tienen una vida media de 6.7 años con una desviación estándar de 0.7.

Determine la probabilidad de que una muestra aleatoria de 34 tubos de la

compañía a tenga una vida promedio de al menos un año más que la de una

muestra aleatoria de 40 tubos de la compañía b.

a. 0.3421

b. 0.5444

c. 0.2345

d. 0.0023

e. 0.7865


92

4) Se prueba el rendimiento en km/l de 2 tipos de gasolina, encontrándose una

desviación estándar de 1.23km/l para la primera gasolina y una desviación

estándar de 1.37km/l para la segunda gasolina; se prueba la primera gasolina

en 35 autos y la segunda en 42 autos. ¿cuál es la probabilidad de que la

primera gasolina de un rendimiento promedio mayor de 0.45km/l que la

segunda gasolina?

a. 0.1234

b. 0.0645

c. 0.2455

d. 0.3333

e. 0.9899

5) Consideremos dos maquinas que producen un determinado articulo; la

primera produce por término medio un 14 % de artículos defectuosos, en

tanto que otra, produce el 20% de artículos defectuosos; si se tiene muestras

de 200 unidades en la primera y 100 unidades en la segunda, ¿cuál es la

probabilidad de que difiera a de b en 8% o más?

a. 0.3245

b. 0.8787

c. 0.9986

d. 0.2222

e. 0.0014


93

Resumen

UUNNIIDDAADD DDEE AAPPRREENNDDIIZZAAJJEE IIIIII::

En estadística se conoce como muestreo a la técnica para la selección de una muestra a partir de una población. Al elegir una muestra se espera conseguir que sus propiedades sean extrapolables a la población. Este proceso permite ahorrar recursos, y a la vez obtener resultados parecidos a los que se alcanzarían si se realizase un estudio de toda la población. Cabe mencionar que para que el muestreo sea válido y se pueda realizar un estudio adecuado (que consienta no solo hacer estimaciones de la población sino estimar también los márgenes de error correspondientes a dichas estimaciones), debe cumplir ciertos requisitos.

Cada muestra de tamaño n que podemos extraer de una población proporciona una media. Si consideramos cada una de estas medias como valores de una variable aleatoria podemos estudiar su distribución que llamaremos distribución muestral de medias. En numerosas ocasiones se plantea estimar una proporción o porcentaje. En estos casos la variable aleatoria toma solamente dos valores diferentes (éxito o fracaso), es decir sigue una distribución binomial y cuando la extensión de la población es grande

la distribución binomial B(n,p) se aproxima a la normal .

Para conocer la distribución muestral de las diferencias entre las medias se debe

saber si las varianzas poblacionales son conocidas o desconocidas, y en caso de que sean desconocidas, se debe saber si son iguales o diferentes. Cada uno de estos tres casos se analizará por separado. La media de las diferencias de todos los pares o medias muestrales posibles, es igual

a la diferencia entre las medias poblacionales: x yx y

Este método se utiliza para comparar las proporciones o porcentajes de dos distribuciones muestrales distintas y formula una inferencia con respecto a la diferencia de estas. La media de las diferencias entre dos medias proporcionales, se simboliza;

indistintamente por: 1 2 1 2 1 2P P P P P P

La variante estadística Z, estará dada en la misma forma que fue representada para diferencias entre dos medias muestrales:

1 21 2

1 1 2 2

1 2

P Pp pZ

PQ P Q

n n

http://es.wikipedia.org/wiki/Estad%C3%ADstica

http://es.wikipedia.org/wiki/Muestra_estad%C3%ADstica

http://es.wikipedia.org/wiki/Poblaci%C3%B3n_estad%C3%ADstica



94


95

Introducción



estudiante desarrolle y ejecute la Estimación de parámetros y Prueba de Hipótesis.

Haciendo que pueda desenvolverse en el ámbito internacional, también

haciéndolo un profesional de primera categoría.

b) Competencia

Analiza e interpreta las técnicas de estimación de parámetros y prueba de

hipótesis.

c) Capacidades 1. Reconoce la importancia del intervalo de confianza.

2. Analiza el intervalo de confianza para la media y proporción.

3. Conoce la importancia de la prueba de hipótesis.

4. Identifica la prueba de hipótesis para la media y proporción.

d) Actitudes Promueve actividades y toma decisiones pertinentes.

Respeta y cumple las normas de convivencia en el ámbito universitario.

Asume responsabilidad para desarrollar todos los problemas y actividades que

se asignan.


La Unidad de Aprendizaje 04: Estimación de Parámetros, comprende el


TEMA 01: Intervalo de Confianza.

TEMA 02: Intervalo de Confianza para la Media y Proporción.

TEMA 03: Prueba de Hipótesis.

TEMA 04: Prueba de Hipótesis Acerca de la Media y Proporción.


96

TEMA 1

Reconocer la importancia del intervalo de confianza.

Competencia:

Confianza de

Intervalo



97


Tema 01: Intervalo de Confianza

La "estimación por intervalo" consiste en determinar un par de

valores a y b, tales que constituidos en intervalo [a, b]; y para

una probabilidad 1- prefijada (nivel de

confianza) se verifique en relación al parámetro

a estimar se cumpla:

( [ , ]) 1P a b ó en otros términos: ( ) 1P a b .

Podemos considerar el nivel de confianza (1- ) que hemos prefijado para la

expresión anterior como la probabilidad que existe (antes de tomar la muestra) de

que el intervalo a construir a partir de la muestra incluya el verdadero valor del

parámetro a estimar. Refleja la "confianza" en la "construcción" del intervalo y de

que éste tras concretar la muestra contendrá el valor a estimar. De ahí que en

términos numéricos dicho nivel o probabilidad haya de tomar un valor alto (0.9,

0.95, 0.99).

Evidentemente el complementario al nivel de confianza;

es decir , nivel de significación supondrá las probabilidades de

cometer el error de no dar por incluido el verdadero

valor del parámetro a estimar en un intervalo en el

que realmente si está. De ahí y dado que se trata de

un error posible a cometer, su cuantificación en

términos de probabilidad sea muy pequeña (0.1,

0.05, 0.005,..).


98

En relación a lo anterior. Obviamente, cuanto mayor sea el nivel de confianza

prefijado la amplitud del intervalo de estimación será también mayor y por tanto la

estimación será menos precisa.

La siguiente tabla presenta las diferentes fórmulas que ayudaran a crear los

intervalos.


99

Para la distribución Normal utilice la siguiente tabla:

Nivel de confianza

2

Z

90% 1.645

95% 1.96

99% 2.576


100

TEMA 2

Analizar el intervalo de confianza para la media y proporción.

Competencia:

de

Media Proporción

para la Confianza Intervalo

y



101

Tema 02: Intervalo de Confianza para la Media y Proporción

DISTRIBUCIÓN DE MEDIAS MUESTRALES

Con las siguientes formulas se pueden determinar los límites de confianza para

cada caso, dependiendo de la desviación típica y del tamaño de la muestra, son:

lsx Z

n

Cuando se da

ls

sx Z

n Se tiene s y 30n

ls

sx t

n se tiene s (corregida) y

30n

ls

sx t

n se tiene s (sin corregir) y 30n , donde 1 / 2, 1nt se encuentra en

la tabla t-student con n-1 grados de libertad.

Ejemplo Nº 1

En población cuya distribución se desconoce se obtiene una muestra (m.a.s.) de

2000 valores de la que resulta una media de 225 y una desviación típica de 10.

Suponiendo que la varianza muestral coincide con la poblacional, estimar un

intervalo para la media de la población con un nivel de confianza del 95%.

Tendríamos 1-

(muestra grande n>30); n=2000, para una población

normal.

95.0)(22

n

Zxun

ZxP

El resultado sería: µ [224,56, 225,44] con el 95 % de

confianza.


102

Ejemplo Nº 2

Las ventas diarias de cierta oficina comercial se supone que siguen una

distribución normal. Para estimar el volumen

medio de ventas por día se realiza una muestra

de 10 días escogidos al azar, resultando que la

media de las ventas de esos 10 días es S/. 100

con una desviación típica de S/. 4. Dar un

intervalo de estimación para el volumen medio

de ventas por día con una confianza del 95 %.

Conocemos que según la información que poseemos, estamos ante:

Distribución normal; n=10 (muestra pequeña); S=4(poblacional desconocida);

media muestral=100;

Para 1- =0.95, luego =0.05 con lo que 26.2)9(2

glt (según tabla T)

95.0)(22

n

Stxu

n

StxP

El resultado sería: µ [S/.96, 99; S/.103, 01] con el 95 % de confianza.


103

Ejemplo Nº 3

Se quiere obtener un intervalo de confianza para el valor de

las ventas medias por hora que se producen en un

kiosco. Para ello realizamos una muestra consistente en

elegir al azar las ventas que se realizaron durante 1000

horas distintas; muestra cuyos resultados fueron:

ventas medias por hora S/. 4000, y varianza de dicha muestra S2/. 4000. Obtener

dicho intervalo con un nivel de confianza del 95.5 %.

Queremos construir un intervalo para la media con las

siguientes características:

Tamaño muestral=n=1000, con muestreo aleatorio

simple, la población no es normal ni conocemos su

varianza.

El resultado de la muestra es 4000x , S2=4000.

Si bien se trata de un intervalo para la media con varianza desconocida y

población no normal, dado que el tamaño muestral es grande podemos suponer

normalidad y tomar como varianza poblacional a la muestral así:

95.0)(22

n

zxun

zxP

El resultado sería: µ [S/.399, 08; S/.4003, 92] con el 95 % de confianza.

wc2p:/C:/varios/web/hip3/tex2P/5p%20inter/tex1t/5%20interval/imedia1.htm

wc2p:/C:/varios/web/hip3/tex2P/5p%20inter/tex1t/5%20interval/imedia1.htm

wc2p:/C:/varios/web/hip3/tex2P/5p%20inter/tex1t/5%20interval/esquema.htm


104

TEMA 3

Conocer la importancia de la prueba de hipótesis.

Competencia:

de

Hipótesis

Prueba



105

Tema 03: Prueba de Hipótesis

La prueba de hipótesis, denominada también prueba de significación tiene como

objeto principal evaluar suposiciones o afirmaciones acerca de los valores

estadísticos de la población, denominados parámetros.

DEFINICIÓN.- Se denomina hipótesis nula y se representa por

, a la hipótesis que es aceptada provisionalmente como

verdadera y cuya validez será sometida a comprobación

experimental. Los resultados experimentales nos

permitirán seguir aceptándola como verdadera o si, por el

contrario, debemos rechazarla como tal.

Toda hipótesis nula va acompañada de otra hipótesis alternativa

DEFINICIÓN.- Se denomina hipótesis alternativa y se representa por

1 AH o H , a la hipótesis que se acepta en caso de que la hipótesis nula sea

rechazada. La hipótesis alternativa AH , es pues una suposición contraria a la

hipótesis nula.

Prueba de una Hipótesis Estadística

Para tomar decisiones estadísticas, se requieren de las dos hipótesis: la hipótesis

nula y la hipótesis alternativa referida a un parámetro.

La prueba de una hipótesis estadística es un proceso que nos conduce a tomar la

decisión de aceptar o rechazar la hipótesis nula , en contraposición de la

hipótesis alternativa 1H y en base a los resultados de una muestra aleatoria

seleccionada de la población de estudio.

0H

0H

0H


106

La hipótesis nula 0H es la primera que se plantea, y debe ser establecida de

manera que especifique un valor 0 del parámetro en estudio.

Nota: la aceptación de una hipótesis significa que los datos de la muestra no

proporcionan evidencia suficiente para refutarla. El rechazo significa que los datos

de la muestra lo refutan.

Tipos de Prueba de Hipótesis.

El tipo de prueba depende básicamente de la hipótesis alternativa 1H .

Se denomina prueba de una cola a toda prueba de hipótesis donde la alternativa

1H es unilateral. Si la alternativa es bilateral, la prueba se denomina prueba de

dos colas.

La prueba de hipótesis 0 0:H contra

1 0:H , se denomina prueba

bilateral o de dos colas.

La prueba de hipótesis contra 1 0:H , se denomina prueba

unilateral de cola a la derecha.

La prueba de hipótesis 0 0:H contra

1 0:H , se denomina prueba

unilateral de cola a la izquierda.

Tipos de Error:

Definición.- Se denomina error tipo I, al error que se comete al rechazar una

hipótesis nula cuando esta es realmente verdadera

Definición.- Se denomina error tipo II, al error que se comete al aceptar una

hipótesis nula 0H cuando en realidad es falsa.

0 0:H

0H

Decisión

0H

Verdadera

0H

Falsa

A

Aceptar

D

Decisión

Err

Error


107

Definición.-Se denomina nivel de significación de una prueba de hipótesis a la

probabilidad de cometer un error de tipo I.

REGIÓN CRÍTICA Y REGLA DE DECISIÓN

La regla de decisión implica la división de la

distribución muestral del estadístico de la prueba en

dos partes mutuamente excluyentes: la región de

rechazo o región critica (R.C.) de 0H y la región de

aceptación (R.A.) o no rechazo de 0H . Esta división

depende de la hipótesis alternativa 1H , del nivel de significación y la distribución

muestral del estadístico.

Procedimientos a Seguir en las Pruebas de Hipótesis

1) Formular la hipótesis nula y la alternativa.

2) Seleccionar el nivel de significación.

3) Conocer o estimar la varianza.

4) Determinar la técnica y la prueba estadística.

5) Determinar los valores críticos y sus regiones de rechazo.

6) Calcular los datos muestrales, utilizando las formulas correspondientes.

7) Tomar las decisiones estadísticas.

0H correcta tipo II

ReR

Rechazar

0H

Error tipo I

Decisión

C

Correcta


108

TEMA 4

Identificar la prueba de hipótesis para la media y proporción.

Competencia:

de

Acerca Media

de la Hipótesis

Prueba

Proporción y



109

Tema 04: Prueba de Hipótesis Acerca de la Media y Proporción

PRUEBA DE HIPÓTESIS SOBRE LA MEDIA POBLACIONAL

Caso A: Cuando la varianza poblacional es conocida.

Deseamos contrastar la hipótesis de que el parámetro poblacional

un determinado valor Conocemos que la población se distribuye normalmente

y conocemos también su varianza, o bien si nos es desconocida, el tamaño

muestral es lo suficientemente grande cómo para poder utilizar la muestral cómo

poblacional.

Hemos determinado un nivel de significación para la realización del contraste y

vamos a plantearlo en el supuesto de realizar una muestra aleatoria de tamaño n.

Así: conocemos que

n

uNx , de lo que deducimos

que ]1,0[N

n

ux

de forma que la hipótesis nula es:

H0: 0.

El estadístico está dado por:

n

uxZ

0

.

Ejemplo Nº 1

De 100 observaciones de una población normal se obtiene que x = 5 y que S=2.

Contrastar con un nivel de significación del 5% la hipótesis de que la media de la

población sea 7.


110

Aplicando el procedimiento para probar una hipótesis tenemos:

1. H0: =7

H1:

2. El nivel de significancia es del 5%. (=5%)

3.

n

uxZ

0

4. Establecemos la región de aceptación y de rechazo:

5. Realizamos la prueba estadística: 10

1002

75

Z

6. Dado que Z=-10 y no pertenece a la región de aceptación estamos en

condiciones de rechazar la hipótesis nula, luego aceptar la alternativa: 7.

Ejemplo Nº 2

Un empresario está considerando la posibilidad de ampliar su negocio mediante la

adquisición de un pequeño bar. El dueño actual del bar afirma que el ingreso diario

del establecimiento sigue una distribución normal de media 675 soles y una

desviación estándar de 75 soles. Para comprobar si decía la verdad, tomó una

muestra de treinta días y ésta reveló un ingreso diario promedio de 625 soles.

Utilizando un nivel de significación del 10 %. ¿Hay evidencia de que el ingreso

diario promedio sea menor del que afirma el presente dueño?


111


1. H0: 675

H1:

3. El nivel de significancia es del 10%. (=10%)

4.

n

uxZ

0


6. Realizamos la prueba estadística: 65.3

3075

675625

Z

7. Dado que Z=-3.65 y no pertenece a la región de aceptación estamos en

condiciones de rechazar la hipótesis nula, luego aceptar la alternativa: 7.

Caso B: Cuando no se conoce la varianza poblacional y para una muestra

pequeña.

Deseamos contrastar la hipótesis de que el parámetro

poblacional

Desconocemos la varianza de la población y, dado que el

tamaño muestral es pequeño, no podemos utilizar la muestral

en su lugar.


112

Hemos determinado un nivel de significación para la realización del contraste y

vamos a plantearlo en el supuesto de realizar una muestra aleatoria de tamaño n.

Así: conocemos que 1

nt

ns

ux de forma que la hipótesis nula es: H0: 0.


ns

uxt 0 .

Ejemplo Nro. 3

.

Se escoge a 17 individuos al azar y se les mide, resultando que su estatura media

es de 1,71 metros con desviación típica de 0,02 .Contrastar la hipótesis de que la

estatura media nacional sea de 1.75 metros si utilizamos un nivel del significación

del 5%. Se supone normalidad.


1. H0: =1.75

H1:

2. El nivel de significancia es del 5%. (=5%).

3.

ns

uxt 0


Utilizamos la tabla T.


113

5. Realizamos la prueba estadística: 25.8

1702.0

75.171.1

t

6. Dado que t=-8.25 y no pertenece a la región de aceptación estamos en

condiciones de rechazar la hipótesis nula, luego aceptar la alternativa:

.

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA PROPORCIÓN POBLACIONAL: p

Se trata de efectuar una prueba de hipótesis acerca de la proporción de

elementos con cierto atributo en una población, hipótesis de la forma:

H0: p=p0.

H1: p p0.

H0: pp0.

H1: p>p0.

H0: p p0.

H1: p<p0.


n

pp

pPZ

)1( 00

0

Donde n

xP (proporción muestral)

Tiene una distribución N (0,1) cuando n 30.

Ejemplo Nro. 4.

Una empresa de publicidad desea comprobar si un determinado programa de

televisión es visto por el 30% de la audiencia potencial .Para ello se escoge al azar

una muestra de 200 familias resultando que de ellas 50 lo ven asiduamente.

Contrastar la hipótesis con un nivel de significación

del 5%.


1. H0: p=0.3

H1: p


3.

n

pp

pPZ

)1( 00

0



114

5. Realizamos la prueba estadística:

25.0200

50P

54.1

200

)3.01(3.0

30.025.0

)1( 00

0

n

pp

pPZ

6. Dado que Z=-1.54 y pertenece a la región de aceptación estamos en

condiciones de acepta la hipótesis nula, es decir: p

Ejemplo Nro. 5

Un fabricante de refrescos sin burbujas desea sacar al mercado una variedad de

su producto que tenga burbujas. Su director comercial opina que al menos el 50 %

de los consumidores verá con buenos ojos la innovación. Se realiza un sondeo de

mercado y resulta que de 100 consumidores encuestados 40 son favorables a la

innovación.

a) Contrastar la hipótesis del director comercial frente a la alternativa de que él

% de aceptación es inferior, con un nivel de significación del 1%.

b) Si el aceptable la hipótesis de que él % de aceptación del nuevo producto es

inferior o igual al 30 % el fabricante decidirá no fabricarlo.


115

Si es aceptable el criterio del director comercial entonces sí

fabricarán el refresco con burbujas. Y si ninguna de las 2

hipótesis es aceptable procederán a hacer otro sondeo. Para

tomar esta decisión trabajarán con un nivel de significación

del 5 %. ¿Por qué optarán?

Para el punto a)


1. H0: p0.5

H1: p


4.

n

pp

pPZ

)1( 00

0



4.0100

40P

2

100

)5.01(5.0

5.04.0

)1( 00

0

n

pp

pPZ

7. Dado que Z=-2 y pertenece a la región de aceptación estamos en

condiciones de aceptar la hipótesis nula, es decir: p


116

Para el punto b)


1. H0: p0.3

H1: p


4.

n

pp

pPZ

)1( 00

0



4.0100

40P

18.2

100

)3.01(3.0

3.04.0

)1( 00

0

n

pp

pPZ

7. Dado que Z=2.18 y pertenece a la región de aceptación estamos en

condiciones de aceptar la hipótesis nula, es decir: p

recomiendo no fabricar el refresco.


117

1) Ingresa al link “Operaciones 2” lee atentamente las indicaciones, desarróllalo y

envíalo por el mismo medio.

Se encuentra que la concentración promedio de zinc que se saca del agua a partir de una muestra de mediciones de zinc en 36 sitios diferentes es de 2.6 gramos por mililitro. Encuentre los intervalos de confianza 99% para la concentración media de zinc en el río. Suponga que la desviación estándar de la población es 0.3.

Una compañía asegura que el 80% de sus semillas de zanahoria germinan. Se plantan 50 semillas de las cuales 8 no germinan. Hállese un intervalo de confianza del 90%, para la proporción de semillas que germinaron en la muestra.

El ministro de educación del país asegura que el 80% de los estudiantes universitarios tienen un ingreso mensual para su sostenimiento, superior a $370; Usted quiere refutar al ministro con un nivel de confianza del 99% y para hacerlo toma una muestra de 300 estudiantes, encontrando 231 con ingresos mayores a $370. ¿tiene razón el señor ministro?

Cuatrocientos estudiantes, elegidos aleatoriamente, se someten a un test de

rendimiento, obteniéndose los siguientes resultados: 76 16x y s , con

base en esta información docimar la hipótesis 74 frente a la alternativa

74 , al nivel de significación del 1%.


INTERVALO DE CONFIANZA

http://www.iesxunqueira1.com/Download/pdf/teointervalos.pdf

INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA Y PROPORCIÓN http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Estimaci%C3%B3n_por_intervalos_de_

confianza_de_medias_y_proporciones

PRUEBA DE HIPÓTESIS http://www.math.uprm.edu/~edgar/capi7.pdf


http://www.iesxunqueira1.com/Download/pdf/teointervalos.pdf

http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Estimaci%C3%B3n_por_intervalos_de_confianza_de_medias_y_proporciones

http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Estimaci%C3%B3n_por_intervalos_de_confianza_de_medias_y_proporciones

http://www.math.uprm.edu/~edgar/capi7.pdf


118

Autoevaluación

1) Suponga que la estatura media de los hombres tiene una desviación estándar

de 2,48 centímetros. Se miden 100 estudiantes, hombres, elegidos

aleatoriamente, y se obtiene una estatura media de 168,52 centímetros.

Determine los límites de confianza del 99% para la estatura media de los

hombres de esta universidad.

a. 167.88, 169.16

b. 200, 250

c. 150.50, 160.50

d. 180.20,190.30

e. 100.30, 150.22

2) En una muestra al azar de 826 teléfonos de residencias del directorio de

Lima, 95 no respondieron a la llamada entre 7 y 8 de la noche, el día que se

realizo la muestra. Determinar los límites de confianza del porcentaje de

suscriptoras en cuyas residencias hubo alguien entre 7 y 8 de la noche. (Se

admite que no se contesto por que no había nadie en casa). El nivel de

confianza adoptado es del 90%.

a. 1.678, 1.696

b. 0.777, 0.989

c. 1.505, 1.605

d. 0.555,1.234

e. 0.872, 0.908

3) Decimar la hipótesis de que la distancia media requerida para poder detener

un automóvil que va a 20 km/h. es de 25 metros. Con base en una muestra de

100 conductores se obtiene que la distancia media es de 27.3X metros,

con una desviación estándar de 2.1s metros. Utilizar un nivel de

significación del 5%.

a. Se acepta la hipótesis 25

b. Se acepta la hipótesis 25

c. Se acepta la hipótesis 25

d. Se acepta la hipótesis 25

e. Se acepta la hipótesis 30


119

4) Un cierto tipo de fusible está diseñado para fundirse cuando la corriente llega

a 20 amperios. Se toma una muestra de 36 fusibles de un lote de 500 y se

encuentra que el punto promedio de fusión es de 20,8 amperios, con

desviación estándar de 1,5 amperios. Utilizando una dócima bilateral, ¿A qué

conclusiones se puede llegar respecto a las especificaciones del lote, a un

nivel de significación del 1%?

a. Se acepta la hipótesis 20

b. Se acepta la hipótesis 20

c. Se acepta la hipótesis 20

d. Se acepta la hipótesis 20


5) Un fabricante de cuerdas ha establecido con base en una experiencia de

muchos años, que las cuerdas tienen una fuerza de ruptura de 15,9 libras,

con una desviación estándar de 2,3 libras. Se efectúa un cambio en el

proceso de fabricación, y se obtiene una muestra de 64 artículos cuya fuerza

media de ruptura es de 15,0 libras, con una desviación estándar de 2,2 libras.

¿debe considerarse que el nuevo proceso tiene un efecto significativamente

negativo a la resistencia de las cuerdas?

a. Se acepta la hipótesis 15.9

b. Se acepta la hipótesis 15.9

c. Se acepta la hipótesis 15.9

d. Se acepta la hipótesis 15.9



120

Resumen

UUNNIIDDAADD DDEE AAPPRREENNDDIIZZAAJJEE IIVV::

En estadística, se llama intervalo de confianza a un par de números entre los cuales se estima que estará cierto valor desconocido con una determinada probabilidad de acierto. Formalmente, estos números determinan un intervalo, que se calcula a partir de datos de una muestra, y el valor desconocido es un parámetro poblacional. La probabilidad de éxito en la estimación se representa con 1 - α y se denomina nivel de confianza. En estas circunstancias, α es el llamado error aleatorio o nivel de significación, esto es, una medida de las posibilidades de fallar en la estimación mediante tal intervalo. De una población de media y desviación típica se pueden tomar muestras de elementos. Cada una de estas muestras tiene a su vez una media ( ). Se puede demostrar que la media de todas las medias muestrales coincide con la media poblacional: Pero además, si el tamaño de las muestras es lo suficientemente grande, la distribución de medias muestrales es, prácticamente, una distribución normal (o gaussiana) con media μ y una desviación típica dada por la siguiente expresión:

. Esto se representa como sigue: . Si estandarizamos, se sigue

que: El intervalo de confianza para estimar una proporción p, conocida una proporción muestral pn de una muestra de tamaño n, a un nivel de confianza del (1-α)·100% es:

Al realizar pruebas de hipótesis, se parte de un valor supuesto (hipotético) en parámetro poblacional. Después de recolectar una muestra aleatoria, se compara la estadística muestral, así como la media (x), con el parámetro hipotético, se compara con una supuesta media poblacional (). Después se acepta o se rechaza el valor hipotético, según proceda. Se rechaza el valor hipotético sólo si el resultado muestral resulta muy poco probable cuando la hipótesis es cierta.

Las pruebas de hipótesis con proporciones son necesarias en muchas áreas del conocimiento y en especial en la administración. Se considerará el problema de probar la hipótesis de que la proporción de éxito en un experimento binomial sea igual a un cierto valor especifico. Es decir, se probará la hipótesis nula de que p = p0, donde p es el parámetro de la distribución binomial. La información de que suele disponerse para la estimación de una porción real o verdadera (porcentaje o probabilidad) es una

proporción muestral n

x, donde x es el número de veces que ha ocurrido un evento en

n ensayos.

http://es.wikipedia.org/wiki/Estad%C3%ADstica

http://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_%28matem%C3%A1tica%29

http://es.wikipedia.org/wiki/Muestra_aleatoria

http://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1metro_poblacional

http://es.wikipedia.org/wiki/Error_aleatorio


http://es.wikipedia.org/wiki/Media_aritm%C3%A9tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Desviaci%C3%B3n_t%C3%ADpica

http://es.wikipedia.org/wiki/Muestreo_estad%C3%ADstico

http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_normal

http://es.wikipedia.org/wiki/Gauss

http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_normal#Estandarizaci.C3.B3n_de_variables_aleatorias_normales

http://www.monografias.com/trabajos/tesisgrado/tesisgrado.shtml

http://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtml

http://www.monografias.com/trabajos11/tebas/tebas.shtml

http://www.monografias.com/trabajos15/estadistica/estadistica.shtml


121

Glosario

DESVIACIÓN ESTÁNDAR: La desviación estándar es una medida del grado de

dispersión de los datos con respecto al valor promedio. Dicho de otra manera, la

desviación estándar es simplemente el "promedio" o variación esperada con

respecto a la media aritmética.

ESTADÍSTICA DE PRUEBA: Una estadística de prueba se basa en la información

de la muestra como la media o la proporción.

ESTIMADOR POR INTERVALO DE CONFIANZA: Denota un rango dentro del cual

se puede encontrar el parámetro y el nivel de confianza que el intervalo contiene

al parámetro.

ESTIMADOR PUNTUAL: Utiliza un número único o valor para localizar una

estimación del parámetro.

HIPÓTESIS ALTERNA: Una premisa que es cierta cuando la hipótesis nula es

falsa.

HIPÓTESIS NULA (H0): Premisa, reclamo, o conjetura que se pronuncia sobre la

naturaleza de una o varias poblaciones.

LIMITE DE CONFIANZA: Son los límites del intervalo de confianza inferior (LIC) y

superior (LSC), se determinan sumando y restando a la media de la muestra X

un cierto número Z (dependiendo del nivel o coeficiente de confianza) de errores

estándar de la media X

.

NIVEL DE CONFIANZA: Es la "probabilidad" de que el intervalo calculado

contenga al verdadero valor del parámetro. Se indica por 1-α y habitualmente se

da en porcentaje (1-α) 100%. Hablamos de nivel de confianza y no de

probabilidad ya que una vez extraída la muestra, el intervalo de confianza

contendrá al verdadero valor del parámetro o no, lo que sabemos es que si

repitiésemos el proceso con muchas muestras podríamos afirmar que el (1-α) %

de los intervalos así construidos contendría al verdadero valor del parámetro.

NIVEL DE SIGNIFICANCIA: La probabilidad ( más alta de rechazar H0 cuando

H0 es cierto se llama nivel de significancia.

REGIÓN CRÍTICA O DE RECHAZO: Una región crítica o de rechazo es una parte

de la curva de z o de la curva t donde se rechaza H0.

VARIABLE ALEATORIA: Una variable aleatoria es una variable que toma

valores numéricos determinados por el resultado de un experimento aleatorio.

No hay que confundir la variable aleatoria con sus posibles valores.

http://es.wikipedia.org/wiki/Medidas_de_dispersi%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Medidas_de_dispersi%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Media_aritm%C3%A9tica


122

Fuentes de Información

BIBLIOGRÁFICAS:

CORDOVA ZAMORA, Manuel. Estadística Aplicada. Editorial Moshera 1ra

edición 2006.

MARTINEZ BENCARDINO, Ciro. Estadística Básica Aplicada. Editorial Ecoe

2004.

CORDOVA ZAMORA, Manuel. Estadística Descriptiva e Inferencial.

Aplicaciones. Editorial Moshera 5ta edición 2003

MULLOR, Rubén. Manual Práctico de Estadística Aplicada. Editorial Ariel

2000.

PEREZ LÓPEZ, Cesar. Técnicas de Muestreo Estadístico, Aplicaciones.

Editorial Alfaomega 2000.

ELECTRÓNICAS:

Estadística Inferencial http://esta2.galeon.com/Temas1-3.pdf

Distribuciones Muestrales http://es.scribd.com/doc/48144406/7-Muestreo-y-distribuciones-muestrales

Intervalo de Confianza http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/framirez/METODOSESTADISTICOS/Tem

a%207-Intervalos%20de%20confianza.pdf

Prueba de Hipótesis http://es.scribd.com/doc/6784213/Pruebas-de-HipOtesis

http://esta2.galeon.com/Temas1-3.pdf

http://es.scribd.com/doc/48144406/7-Muestreo-y-distribuciones-muestrales

http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/framirez/METODOSESTADISTICOS/Tema%207-Intervalos%20de%20confianza.pdf

http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/framirez/METODOSESTADISTICOS/Tema%207-Intervalos%20de%20confianza.pdf

http://es.scribd.com/doc/6784213/Pruebas-de-HipOtesis


123

Apéndice


124


125

TABLA DE LA DISTRIBUCION tStudent

La tabla da áreas 1 y valores , donde, , y donde T tiene

distribución t-Student con r grados de libertad..

1

r 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 0.975 0.99 0.995

1 1.000 1.376 1.963 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657

2 0.816 1.061 1.386 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925

3 0.765 0.978 1.250 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841

4 0.741 0.941 1.190 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604

5 0.727 0.920 1.156 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032

6 0.718 0.906 1.134 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707

7 0.711 0.896 1.119 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499

8 0.706 0.889 1.108 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355

9 0.703 0.883 1.100 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250

10 0.700 0.879 1.093 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169

11 0.697 0.876 1.088 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106

12 0.695 0.873 1.083 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055

13 0.694 0.870 1.079 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012

14 0.692 0.868 1.076 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977

15 0.691 0.866 1.074 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947

16 0.690 0.865 1.071 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921

17 0.689 0.863 1.069 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898

18 0.688 0.862 1.067 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878

19 0.688 0.861 1.066 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861

20 0.687 0.860 1.064 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845

21 0.686 0.859 1.063 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831

22 0.686 0.858 1.061 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819

23 0.685 0.858 1.060 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807

24 0.685 0.857 1.059 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797

25 0.684 0.856 1.058 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787

26 0.684 0.856 1.058 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779

27 0.684 0.855 1.057 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771

28 0.683 0.855 1.056 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763

29 0.683 0.854 1.055 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756

30 0.683 0.854 1.055 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750

40 0.681 0.851 1.050 1.303 1.684 2.021 2.423 2.704

60 0.679 0.848 1.046 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660

120 0.677 0.845 1.041 1.289 1.658 1.980 2.358 2.617

0.674 0.842 1.036 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576

rtc ,1 1][ cTP


126

Distribución Normal


127


128


129


130

Solucionario

1. B

2. C

3. B

4. B

5. A

1. C

2. A

3. A

4. B

5. A

1. A

2. A

3. D

4. B

5. E

1. A

2. E

3. C

4. C

5. C

Documents

Estadistica Inferencial