Pontificia Universidad Católica del Ecuador.

Facultad de Ciencias Humanas

Escuela de Sociología

Estadística I

Nombre: José Braulio Borja Muñoz

Fecha: 15/06/2015

Tema: Probabilidades

1.-Definición de Probabilidad:

Es el conjunto de posibilidades de que un evento ocurra o no en un momento y tiempo determinado. Dichos eventos pueden ser medibles a través de una escala de 0 a 1, donde el evento que no pueda ocurrir tiene una probabilidad de 0 (evento imposible) y un evento que ocurra con certeza es de 1 (evento cierto).

La probabilidad de que ocurra un evento, siendo ésta una medida de la posibilidad de que un suceso ocurra favorablemente, se determina principalmente de dos formas: empíricamente (de manera experimental) o teóricamente (de forma matemática).

2.- Probabilidad: eventos independientes, dependientes y condicionales.

Eventos Independientes

Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos). Un caso típico de eventos independiente es el muestreo con reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la población donde se obtuvo.

Dos eventos, A y B, son independientes si la ocurrencia de uno no tiene que ver con la ocurrencia de otro.

Por definición, A es independiente de B si y sólo si: A y B, son independientes si la ocurrencia de uno no tiene que ver con la ocurrencia de otro.

Por definición, A es independiente de B si y sólo si: A es independiente de B si y sólo si:

(PnA)=P(A)P(B)

Eventos dependientes

Dos o más eventos serán dependientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (o otros). Cuando tenemos este caso, empleamos entonces, el concepto de probabilidad condicional para denominar la

probabilidad del evento relacionado. La expresión P (A|B) indica la probabilidad de ocurrencia del evento A sí el evento B ya ocurrió.

Se debe tener claro que A|B no es una fracción.

P (A|B) = P(A y B) / P (B) o P (B|A) = P(A y B) / P(A)

Probabilidad Condicional = P(A y B) / P (B) o P (B|A) = P(A y B) / P(A)

Probabilidad Condicional

Si A y B son dos eventos en S, la probabilidad de que ocurra A dado que ocurrió el evento B es la probabilidad condicional de A dado B, y se denota: A y B son dos eventos en S, la probabilidad de que ocurra A dado que ocurrió el evento B es la probabilidad condicional de A dado B, y se denota:

P (AlB)

3.-Ejemplos:

Probabilidad independiente:

Primer ejemplo:

Lanzas un dado, y si no sale 6, lanzas de nuevo. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un 6 en el segundo lanzamiento?

El primer lanzamiento no es un 6.

El primer lanzamiento es un 6.

El hecho de que el primer lanzamiento no es un 6 no cambia la probabilidad de que el segundo lanzamiento sea un 6. (A algunas personas les gusta decir, "el dando no se acuerda qué sacaste antes.")

Segundo ejemplo:

Sacas una canica de una bolsa con 2 canicas rojas, 2 blancas, y una verde. Observas el color, la pones de nuevo en la bolsa, y sacar otra canica. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una canica roja ambas veces?

Sacar una canica roja en el primer intento.

Sacar una canica roja en el segundo intento.

Los eventos son independientes porque regresaste la primera canica a la bolsa y tu segundo intento fue con la bolsa en su estado original.

Tercer ejemplo:

Sacas una carta de un mazo de 52 cartas, y luego lanzas un dado. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un 2 y luego lanzar y que caiga 2?

La carta es un 2.

El dado cae en 2.

Aunque la carta no es regresada al mazo después de sacarla, el lanzamiento del dado no depende de las cartas, por lo que ningún posible resultado ha sido reemplazado. A pesar del resultado de sacar la carta, la probabilidad de del dado no será afectada.

Cuarto ejemplo:

Se lanza un dado dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que en el primer lanzamiento resulte 3 y en el segundo lanzamiento un número impar?

Solución

Un evento no afecta al otro, son independientes, por tanto

A) P ( sacar 3) = 1/6

B) P (impar) = 3/6 = 1/2

P (total) = P(A^B)= P(A)*P (B) = 1/6*1/2 = 1/12

Quinto ejemplo:

En una urna hay 3 fichas amarillas y 6 azules. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar 2 fichas con reposición, estas sean amarillas?

Solución

La probabilidad de sacar 1 ficha amarilla es de 3/9=>1/3, como existe reposición la 1ra extracción no afecta a la 2da extracción, por tanto estamos frente a eventos independientes.

P (2 amarillas) = 1/3 * 1/3 = 1/9

Probabilidad dependiente:

Primer ejemplo:

Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del 0 al 9. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos personas no piensen el mismo número?

SOLUCIÓN

Para calcular la probabilidad se supone que el primero ya ha elegido un número, entonces se calcula la probabilidad de que el segundo no escoja el mismo número:

P=10/100=1/10=0.1; por lo tanto la probabilidad de que no piensen en el mismo número será 1-(1/10)=9/10=0.9

Segundo ejemplo:

Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del 1 al 5. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos elijan el mismo número?

SOLUCIÓN

De igual manera que en el ejemplo anterior se debe suponer que ya el primero ya ha elegido un número entonces se determina la probabilidad de que el segundo elija el mismo número entonces la probabilidad será: P=1/5=0.2

Tercer ejemplo:

Una persona lanza una moneda 3 veces, ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 águilas dado que salió por lo menos un águila?

SOLUCIÓN

El espacio muestra del experimento de lanzar una moneda 3 veces esS = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa, sss}El evento A de que por lo menos hay un águila en los tres lanzamientos es:A = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa}El evento B de que obtenga 3 águilas es B = {aaa}Por lo tanto, AÇB ={aaa} y P(AÇB)=1/8 y P(A)=7/8

De donde:

Cuarto ejemplo:

En unas oposiciones, el temario consta de 85 temas. Se eligen tres temas al azar de entre los 85. Si un opositor sabe 35 de los 85 temas, ¿cuál es la probabilidad de que sepa al menos uno de los tres temas?

SOLUCIÓN

Tenemos que hallar la probabilidad de que ocurra el siguiente suceso:A = "el opositor conoce, al menos, uno de los tres temas"

Para calcularla, utilizaremos el complementario. Si sabe 35 temas, hay 85 - 35 = 50 temas que no sabe; Entonces: P(A)=1-P(A´)=1-P(“no sabe ninguno de los tres”)

P=1-(50/85)(49/84)(48/83)=0.802, por lo tanto la probabilidad de que sepa al menos uno de los tres temas es de 0.802.

Quinto Ejemplo:

Ante un examen, un alumno sólo ha estudiado 15 de los 25 temas correspondientes a la materia del mismo. Éste se realiza en trayendo al azar dos temas y dejando que el alumno escoja uno de los dos para ser examinado del mismo. Hallar la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados.

Probabilidad condicional:

Primer ejemplo:

Se seleccionan dos canicas aleatoriamente, una por una, de una pequeña caja que contiene 10 canicas rojas y 5 transparentes. ¿Cuál es la probabilidad de que:

a) La primera canica sea roja?

b) La segunda canica sea transparente dado que la primera fue roja?

SOLUCIÓN

a)  La probabilidad de que la primera canica sea roja es 10/15, puesto que hay 10 canicas rojas de un total de 15. Escrito con notación de probabilidad tenemos:

P(R₁)=10/5.

b) La probabilidad de que la segunda canica sea transparente se ve influida por lo que salió primero, es decir esta probabilidad está sujeta a una condición, la de que la primera canica sea roja. Este tipo de probabilidad se le llama probabilidad condicional y se

denota por  P (T₂|R₁), y se lee: la probabilidad de T2 dado R1. Esta probabilidad  P (T₂|R₁)=5/14, puesto que todavía hay 5 canicas    transparentes en un total de 14 restantes.

Segundo ejemplo:

Se lanzan dos dados. Si la suma ha sido 7, ¿cuál es la probabilidad de que alguno de los dados haya salido un tres?

Sean los sucesos 

A  = "la suma de los puntos es siete" y

B   = "en alguno de los dados ha salido un tres"

SOLUCIÓN

El suceso   A|B   es salir en algún dado 3, si la suma ha sido 7. Observamos que esta situación ocurre en las parejas   (3,4)   y   (4,3) . Por lo tanto,

P (B|A)=2/6=1/3

Tercer ejemplo:

Ante un examen, un alumno sólo ha estudiado 15 de los 25 temas correspondientes a la materia del mismo. Éste se realiza extrayendo al azar dos temas y dejando que el alumno escoja uno de los dos para ser examinado del mismo. Hallar la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados.

SOLUCIÓN

P(al menos un tema)=1-P(ningún tema)=1-(10/25)(9/24)=0.85

Cuarto ejemplo:

Una caja contiene tres monedas. Una moneda es corriente, otra tiene dos caras y la otra está cargada de modo que la probabilidad de obtener cara es de 1/3. Se selecciona una moneda lanzar y se lanza al aire. Hallar la probabilidad de que salga cara

Quinto ejemplo:

Se dispone de tres cajas con bombillas. La primera contiene 10 bombillas, de las cuales a y cuatro fundidas; en la segunda hay seis bombillas, estando una de ellas fundida, y la tercera caja hay tres bombillas fundidas de un total de ocho. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas, esté fundida?

4.-Problema de probabilidades

Probabilidad independiente:

Primer problema:

Hallar la probabilidad de que al lanzar al aire dos monedas, salgan:

Dos caras

1 Dos cruces

2 Una cara y una cruz

Segundo problema:

Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga un número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4.

Tercer problema:

Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. Se pide:

1 La probabilidad de que salga el 7

2 La probabilidad de que el número obtenido sea par

3 La probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de tres

Cuarto problema:

Un dado está trucado, de forma que las probabilidades de obtener las distintas caras son proporcionales a los números de estas. Hallar:

Soluciones:

1 La probabilidad de obtener el 6 en un lanzamiento

2 La probabilidad de conseguir un número impar en un lanzamiento

Quinto problema:

Buscar la probabilidad de que al echar un dado al aire, salga:

Soluciones:

1 Un número par

2 Un múltiplo de tres

3 Mayor que cuatro

Probabilidad dependiente:

Primer problema:

Disponemos de dos urnas: la urna A contiene 6 bolas rojas y 4 bolas blancas, la urna B contiene 4 bolas rojas y 8 bolas blancas. Se lanza un dado, si aparece un número menor que 3; nos vamos a la urna A; si el resultado es 3 ó más, nos vamos a la urna B. A continuación extraemos una bola. Se pide:

1 Probabilidad de que la bola sea roja y de la urna B

2 Probabilidad de que la bola sea blanca

Segundo problema:

Se supone que 25 de cada 100 hombres y 600 de cada 1000 mujeres usan gafas. Si el número de mujeres es cuatro veces superior al de hombres, se pide la probabilidad de encontrarnos:

Soluciones:

1Con una persona sin gafas

2Con una mujer con gafas

Tercer problema:

Un estudiante cuenta, para un examen con la ayuda de un despertador, el cual consigue despertarlo en un 80% de los casos. Si oye el despertador, la probabilidad de que realiza el examen es 0.9 y, en caso contrario, de 0.5.

Soluciones:

1 Si va a realizar el examen, ¿cuál es la probabilidad de que haya oído el despertador?

2 Si no realiza el examen, ¿cuál es la probabilidad de que no haya oído el despertador?

Cuarto problema:

En una estantería hay 60 novelas y 20 libros de poesía. Una persona A elige un libro al azar de la estantería y se lo lleva. A continuación otra persona B elige otro libro al azar

Soluciones:

1 ¿Cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por B sea una novela?

2 Si se sabe que B eligió una novela, ¿cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por A sea de poesía?

Quinto problema:

En una casa hay tres llaveros A, B y C; el primero con cinco llaves, el segundo con siete y el tercero con ocho, de las que sólo una de cada llavero abre la puerta del trastero. Se escoge a Lázaro llavero y, de él, una llave intenta abrir el trastero. Se pide:

Soluciones:

1¿Cuál será la probabilidad de que se acierte con la llave?

2¿Cuál será la probabilidad de que el llavero escogido sea el tercero y la llave no abra?

3Y si la llave escogida es la correcta, ¿cuál será la probabilidad de que pertenezca al primer llavero A?

Probabilidad condicionada:

Primer problema:

En un viaje organizado por Europa para 120 personas, 48 de los que van saben hablar inglés, 36 saben hablar francés, y 12 de ellos hablan los dos idiomas. Se escoge a  uno de los viajeros al azar.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que hable francés, sabiendo que habla inglés?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que solo hable francés?

SOLUCIÓN

De igual manera se debe hacer una tabla de doble entrada, completando los datos que falta

y es así como se obtienen los siguientes resultados:

Segundo problema:

En un pueblo hay 100 jóvenes; 40 de los chicos y 35 de las chicas juegan al tenis. El total de chicas en el pueblo es de 45. Si se elige un joven de esa localidad al azar:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea chico?

b) Si se sabe que juega al tenis, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que sea un chico que no juegue al tenis?

SOLUCIÓN

Se debe hacer una tabla de doble entrada, completando los datos que faltan:

Y es así como se obtienen los siguientes resultados:

a) P(chico)= 55%b) P(chica)= 47%c) P(chico no juegue tenis)= 15%

Tercer problema:

Una compañía de seguros hace una investigación sobre la cantidad de partes de siniestro fraudulentos presentados por los asegurados. Clasificando los seguros en tres clases, incendio, automóvil y "otros", se obtiene la siguiente relación de datos:

El 6% son partes por incendio fraudulentos; el 1% son partes de automóviles fraudulentos; el 3% son "otros" partes fraudulentos; el 14% son partes por incendio no fraudulentos; el 29% son partes por automóvil no fraudulentos y el 47% son "otros" partes no fraudulentos.

1.-Haz una tabla ordenando los datos anteriores y hallando el porcentaje total de partes fraudulentos y no fraudulentos.

2.-Calcula qué porcentaje total de partes corresponde a la rama de incendios, cuál a la de automóviles y cuál a "otros". Añade estos datos a la tabla.

3.-Calcula la probabilidad de que un parte escogido al azar sea fraudulento. ¿Cuál será, en cambio, la probabilidad de que sea fraudulento si se sabe que es de la rama de incendios?

Solución

1 y 2 La tabla de porcentajes con los datos del enunciado y los totales es la siguiente:

INCENDIO AUTOMÓVIL OTROS TOTAL

FRAUDULENTOS 6 1 3 10

NO FRAUDULENTOS 14 29 47 90

TOTAL 20 30 50 100

Es fácil ver sobre la tabla que la probabilidad de escoger al azar un parte fraudulento es del 10%.

3.-La probabilidad condicionada que se pide es: P(FRAUDE/INCENDIO)=6/20=0.3

Cuarto problema:

Se sortea un viaje a Roma entre los 120 mejores clientes de una agencia de automóviles. De ellos, 65 son mujeres, 80 están casados y 45 son mujeres casadas. Se pide:

1. ¿Cuál será la probabilidad de que le toque el viaje a un hombre soltero?

2. Si del afortunado se sabe que es casado, ¿cuál será la probabilidad de que sea una mujer?

1.-

2.-

Quinto problema:

Supongamos que encuestamos a 90 personas, entre hombres y mujeres, de las cuales 2/3 son hombres y de ellos 2/5 fuman. Si se sabe que 1/3 de las mujeres fuman; hallar:

a) La probabilidad de que al elegir un encuestado al azar, éste sea un hombre que fume. b) La probabilidad de elegir un encuestado que no fume sabiendo que es mujer.

Para responder lo anterior, podemos utilizar la fórmula de la probabilidad condicionada:

a) P(H y F) = P(H) · P(F/H) = 2/3 · 2/5 = 4/15 b) P(NF/M) es 2/3 ya que 1/3 de las mujeres fuman.

Una forma alternativa de realizar esta operación es ordenar los datos disponiéndolos en una tabla de contingencia:

 

Por lo tanto:

a) P(H y F) = 

b) P(NF/M) = 

4.-Videos:

Probabilidad dependiente e independiente:

https://www.youtube.com/watch?v=6_zU-mDRG-8

Probabilidad independiente:

Eventos independientes y su probabilidad

https://www.youtube.com/watch?v=04VTlQ37C08

Probabilidad condicionada:

https://www.youtube.com/watch?v=lk9NPdNgXhQ

Ejemplos y problemas tomados de las siguientes páginas web:

Probabilidad y estadística:

http://isaiaszgl.blogspot.com/2013/05/probabilidad-condicional_3.html

Problemas de probabilidad:

http://www.vitutor.com/pro/2/a_g.html

Probabilidad Condicionada:

http://www.educarchile.cl/ech/pro/app/detalle?id=133259

http://www.vitutor.com/pro/2/a_a.html