ESTADISTCA YPROBABILIDADES

Indice

Contenido Pgina

Unidad N1: Estadstica Descriptiva

Introduccin

3

Estadstica: conceptos previos4

VariablesTabulacin de datos:a) cualitativos6

7

b) cuantitativos8

Representacin grficaMedidas de tendencia central:a) Media aritmtica17

39

b) Mediana38

c) ModaMedidas de dispersin:a) Rango40

45

b) Desviacin media46

c) Varianza47

d) Desviacin estndar50

Criterio de homogeneidad52

Autoevaluacin56

Unidad N2: Probabilidades

Elementos de probabilidades58

Concepto de probabilidad en espacio finito equiprobable60

Axiomas de probabilidad60

Probabilidad condicional69

Teorema de Bayes78

Eventos independientes83

Variables aleatorias86

Distribucin discreta de probabilidades87

Distribucin continua de probabilidades89

Esperanza94

VarianzaDistribuciones discretas: Bernuolli94

102

Binomial103

Hipergeomtrica108

Distribucin PoissonDistribucin continua: Normal113

117

Normal estndar118

Problemas de aplicacin122

Autoevaluacin 1128

Autoevaluacin 2131

Unidad N3: Intervalos de Confianza

Inferencia estadstica134

Estimacin de parmetros134

Estimacin por intervaloIntervalo de confianza para la media de una poblacin normal:a) conocida su varianza134

135

b) desconocida su varianza140

Intervalo de confianza para la varianza de una poblacin normal144

Autoevaluacin148

Unidad N4: Pruebas de Hiptesis

Pruebas de hiptesis150

Pruebas de unilaterales y bilateralesPruebas de hiptesis para:a) la media si se conoce su varianza152

153

b) la media si se desconoce su varianza158

c) la varianza164

Autoevaluacin169

Unidad N5: Regresin Lineal

Diagrama de dispersin171

Mtodo de mnimos cuadrados173

Recta de los mnimos cuadrados174

Coeficiente de correlacin lineal179

Anlisis de residuos186

Autoevaluacin191

Unidad N1: Estadstica Descriptiva

Introduccin

La Estadstica, nace de las necesidades reales del hombre. La variada y cuantiosa informacin relacionada con ste y que es necesaria para la toma de decisiones, hace que la estadstica sea hoy, una importante herramienta de trabajo.

Entre las tareas principales de la Estadstica, est el de reunir la informacin integrada por un conjunto de datos, con el propsito de obtener conclusiones vlidas del comportamiento de stos, como tambin hacer una inferencia sobre comportamientos futuros.

En cuanto al uso y la aplicacin, puede decirse que abarca todo el mbito humano encontrndose en las relaciones comerciales, financieras, polticas, sociales, etc. siendo fundamental en el campo de la investigacin y en la toma de decisiones.

Es as tambin como en el rea de las empresas de servicio y manufactura es posible realizar un anlisis profundo del proceso estadstico al control de la productividad y de la calidad.

Estadstica

Es el conjunto de mtodos y procedimientos que implican recopilacin, presentacin, ordenacin y anlisis de datos, con el fin que a partir de ellos puedan inferirse conclusiones.

Pueden distinguirse dos ramas diferentes en Estadstica:

c Estadstica Descriptiva, la cual es la que se utiliza en la descripcin y anlisis de conjuntos de datos o poblacin.

c Inferencia Estadstica, la cual hace posible la estimacin de una caracterstica de una poblacin, o la toma de una decisin con respecto a una poblacin, con base nicamente en resultados muestrales.

Conceptos de elementos utilizados en el anlisis estadstico

1) Poblacin o Universo: Conjunto completo de individuos, objetos, o medidas los cuales poseen una caracterstica comn observable y que sern considerados en un estudio.

2) Muestra: Es un subconjunto o una porcin de la poblacin.

3) Variable: Caracterstica o fenmeno de una poblacin o muestra que ser estudiada, la cual puede tomar diferentes valores.

4) Datos: Nmeros o medidas que han sido recopiladas como resultado de la observacin.

5) Estadstico: Es una medida, un valor que se calcula para describir una caracterstica a partir de una sola muestra.

6) Parmetro: Es una caracterstica cuantificable de una poblacin.

Recopilacin de Informacin

La Estadstica Descriptiva tiene como funcin el manejo de los datos recopilados en cuanto se refiere a su ordenacin y presentacin, para poner en evidencia ciertas caractersticas en la forma que sea ms objetiva y til.

Una poblacin o universo objeto de una investigacin estadstica puede ser finita si suselementos se pueden contar. Por ejemplo, nmero de alumnos de un curso.

Una poblacin o universo es infinita cuando no es finita. En Estadstica, el sentido del trmino poblacin infinita se refiere a una poblacin con un nmero tan grande de elementos que no le es posible al investigador someter a medida cada uno de ellos.

Cuando se miden cualitativamente las caractersticas de una poblacin, resultan categoras quedeben ser exhaustivas, es decir, que se pueda clasificar a toda la poblacin, y tambin deben sermutuamente excluyentes, es decir, un mismo elemento no puede pertenecer simultneamente a dos o ms categoras. Por ejemplo, sexo de una persona: masculino o femenino.

Una muestra debe cumplir ciertas condiciones, de aqu surge el concepto de muestra aleatoria que es aquella obtenida de modo que cada elemento de la poblacin tiene una oportunidad igual e independiente de ser elegido.

La investigacin estadstica es toda operacin orientada a la recopilacin de informacin sobre una poblacin.

La investigacin puede ser tan simple como la recopilacin de datos estadsticos obtenidos de informaciones provenientes de fuentes oficiales a nivel institucional o de publicaciones de organismos altamente especializados en estas materias, o tan complejas que requiera de la colaboracin de especialistas en diferentes materias, como ocurre en los censos de poblacin de un pas.

Se denomina variable a fenmenos o caractersticas que son medidas en algn tipo deinvestigacin estadstica.

Variables

Es muy probable que un especialista en Estadstica que realiza una encuesta desee desarrollar un instrumento que le permita hacer varias preguntas y manejar diversos fenmenos o caractersticas. A estos fenmenos o caractersticas se les denomina variables aleatorias.

Segn la forma en que se expresen las variables, se dividen en:

1) Variables Cualitativas: son aquellas que pueden expresarse slo en forma de atributo.

Ejemplo:

1) Estado civil :c soltero c casado c viudoc separado

2) Satisfaccin con un producto:c muy insatisfechoc regularmente insatisfechoc neutralc satisfechoc muy satisfecho

3) Tamao de un tablero :c grandec medianoc pequeo

2) Variables Cuantitativas, son aquellas variables que pueden expresarse en forma numrica Se dividen en discretas y continuas.

2.1) Variables Cuantitativas Discretas, son respuestas numricas que surgen de un proceso de conteo, siendo siempre un nmero entero.

Ejemplos :

1) Nmero de asignaturas inscritas en el primer semeste.2) Nmero de integrantes del grupo familiar.3) Nmero de salas de clases del IPVG.

2.2) Variables Cuantitativas Continuas, son respuestas numricas que surgen de un proceso de medicin, las cuales pueden tomar valores entre dos nmeros enteros.

Ejemplo :

1) Estatura2) Temperatura3) Peso

Tabulacin de los datos

En los experimentos estadsticos los datos recolectados pueden corresponder a una poblacin omuestra. En ambos casos los procedimientos de resumen de datos son anlogos y designaremos por:

5 ~ Tamao de la poblacin estudiada ~ Tamao de la muestra (parte de la poblacin)

Con el objeto de realizar un mejor estudio de los datos es necesario organizar stos, mediante el uso de distribuciones de frecuencia.

Una distribucin de frecuencia es una tabla resumen en la que se disponen los datos divididos en grupos ordenados numricamente y que se denominan clases o categoras.

A) Tabulacin de datos cualitativos

La construccin de una distribucin de frecuencia de atributos o distribucin de frecuencia de variable cualitativa es simple, basta enumerar los diversos atributos con su respectiva frecuencia de ocurrencia.

Frecuencia absoluta : indica el nmero de veces que se repite un atributo.

Ejemplo:

Considrese una muestra trabajadores de una cierta empresa de la regin los cuales han sido encuestados sobre su actual estado civil. La informacin es tabulada de la siguiente manera:

Estado Civil

Soltero

Casado

Viudo

Separado

Total

~ (tamao de la muestra) ~ (nmero de clases)

B) Tabulacin de variable cuantitativa

Distinguiremos dos casos:

B.1) Tabulacin de variable discreta (que toma un conjunto pequeo de datos distintos)

Las tablas de frecuencia de variable discreta llevan cinco columnas donde los elementos que participan son los siguientes:

a) Frecuencia absoluta : indica el nmero de veces que se repite una variable.

b) Tamao de la muestra : indica la cantidad de elementos que conforman la muestra, se obtiene sumando todas las frecuencias absolutas.

~ ~

~ nmero de clases distintas

c) Frecuencia relativa : es la proporcin de datos que se encuentra en una clase, se obtiene dividiendo la frecuencia absoluta de la clase por el tamao de la muestra.

~ Obs:

a) ~

b)

d) Frecuencia absoluta acumulada : - indica la cantidad de datos que se encuentran hasta cierta clase.

- ~ ~

e) Frecuencia relativa acumulada : / es la proporcin de datos acumulados que seencuentran hasta cierta clase.

/ ~ ~

Obs:

a) / ~ b) /

Ejercicio

Una empresa que tiene trabajadores se propone reestructurar las remuneraciones, se estudia los aos de servicio de los trabajadores determinndose los siguientes resultados:

5 ~ (tamao de la poblacin)

Se pide:

c Tabular la informacin.

c Qu cantidad de trabajadores tiene aos de servicio ?.

c Qu porcentaje de trabajadores tiene aos de servicio ?.

c Si aquellos trabajadores que tengan a lo menos siete aos de servicio reciben un aumento del % . Qu porcentaje de los trabajadores recibi dicho aumento?.

c Si todos los trabajadores que tengan a lo ms cinco aos de servicio reciben una bonificacin de $ . Qu cantidad de trabajadores recibi dicha bonificacin?.

c Si la empresa decide otorgar una bonificacin especial de $ por cada ao de servicio. Cunto ser el dinero necesario para cumplir dicha bonificacin?.

Solucin

c

Aos de servicio - /

Total

c Ocho trabajadores tienen aos de servicio

c El % de los trabajadores tiene aos de servicio.

c El % de los trabajadores recibi el aumento de sueldo.

c trabajadores recibieron la bonificacin.

c $ se necesitan para la bonificacin por ao de servicio.

B.2) Tabulacin de variable continua o discreta

Para tabular una variable continua o discreta (que tome un gran nmero de datos distintos) se necesitan los siguientes elementos:

variable. a) Rango o recorrido : Es la diferencia entre el valor mximo y valor mnimo que toma la

9 ~ %mx c %mn

b) Nmero de intervalos o clases ( ) : Es el nmero de grupos en que es posible dividir los valores de la variable.El nmero de clases no debe ser ni muy grande ni muy pequeo, un nmero pequeo de clases puede ocultar la naturaleza general de los datos y un nmero muy grande puede ser demasiado detallado como para revelar alguna informacin til. Como regla general se recomienda que el nmero de clases est entre cinco y veinte. Hay una regla llamada Regla de Sturges que puede dar una aproximacin razonable para el nmero de clases, ella es:

~ b donde es el nmero de datos de la muestra.

c) Amplitud del intervalo o amplitud de la clase ( ) :

Recorrido 9 ~ N de clases ~

d) Lmites de un intervalo : Son los valores extremos de una clase. El menor valor es considerado como el lmite inferior y el valor que se obtiene sumando al lmite inferior la amplitud del intervalo es el lmite inferior de la segunda clase.

e) Lmites reales de un intervalo : Se obtienen calculando el promedio entre el lmite superior de una clase y el lmite inferior de la clase siguiente.

f) Marca de clase : % Es el punto medio de un intervalo.

dado. g) Frecuencia absoluta : indica el nmero de observaciones que pertenece a un intervalo

Observacin: ~ ~

~ tamao de la muestra

h) Frecuencia relativa : es la proporcin de datos que se encuentra en un intervalo, se determina dividiendo la frecuencia absoluta del intervalo por el tamao de la muestra.

~

i) Frecuencia absoluta acumulada : - indica el nmero de datos de la muestra menores o iguales al lmite real superior del intervalo .

- ~

Obs:

- ~ ~

j) Frecuencia relativa acumulada : / indica la proporcin de datos de la muestra menores o iguales al lmite real superior del intervalo .

/ ~ ~

Observacin: Existe ms de un mtodo para construir una tabla de distribucin de frecuencias, a continuacin se presentan dos formas de construirla:

Ejemplo

Los siguientes datos corresponden a las notas obtenidas por alumnos en un curso deEstadstica

c Construya la correspondiente distribucin de frecuencia.

c En qu clase se concentra el mayor nmero de notas?

c Cul es la frecuencia absoluta del cuarto intervalo?. Interprete el resultado .

c Qu porcentaje de los alumnos tienen una nota inferior a ?

c Cuntos alumnos tienen una nota superior a ?

c Interprete la frecuencia acumulada del sexto intervalo.

c Interprete la frecuencia relativa acumulada del quinto intervalo.

Solucin:

9 ~ c ~

~

~ b ~

~ ~

NotasLmites reales% - /

c c

c c

c c

c c

c c

c c

c c

c c

c c

Total

c

c El mayor nmero de notas se concentra en el quinto intervalo, que coresponde al intervalo entre c .

c La frecuencia absoluta del cuarto intervalo es . Esto nos indica que son los alumnos que tienen una nota entre c .

c El % de los alumnos tiene una nota inferior a .

c El % de los alumnos tiene una nota superior a .

c Existen alumnos con nota inferior a .

c El % de los alumnos tiene una nota inferior a .

Ejercicios

1) Los siguientes datos corresponden al sueldo (en miles de pesos) de trabajadores de una empresa

a) Construya la tabla de frecuencia con todos sus elementos.b) En qu clase se encuentra el mayor nmero de trabajadores?.c) Qu porcentaje de trabajadores gana entre $ 139.000 y $ 168.000 ?. d) Cuntos trabajadores ganan a lo menos $ 159.000 ?.e) Cuntos trabajadores ganan a lo ms $ 148.000 ?.

2) En una industria es necesario realizar un estudio respecto al peso de engranajes de gran tamao. Los siguientes datos corresponden al peso, en kilgramos, de de estas piezas, que poseen las mismas dimensiones, pero distinta aleacin.

a) Construir una tabla de frecuencias de amplitud comenzando desde b) Cuntos engranajes pesan entre y Kg.?.c) Qu porcentaje representa a aquellos engranajes cuyo peso es inferior a 1 Kg.?. d) Cul es la frecuencia relativa para aquel intervalo cuya marca de clase es ?.e) Qu porcentaje representa a aquellas piezas que pesan ms de Kg. ? .

3) En una industria automotriz es necesario realizar un estudio debido a una partida defectuosa de discos de embrague. Para ello se ha recopilado la siguiente informacin referente a la duracin en horas de de ellos.

a) Construir una tabla de frecuencia de amplitud cinco comenzando desde b) Cuntos discos duraron entre y horas?.c) Cuntos discos no alcanzaron a durar horas?.d) Qu porcentaje representan los discos que duraron entre y horas?. e) Qu porcentaje representan los discos que duraron menos de horas?.f) Cuntos discos duraron ms de horas?.g) Cuntos discos duraron menos de horas?.h) Qu porcentaje representan los discos que duraron entre y horas?. i) Cul es el intervalo de mayor frecuencia absoluta?.

4) En un conjunto habitacional se pretende hacer un estudio del nmero de personas que consumen productos enlatados. Los datos que han sido obtenidos de 50 bloques del conjunto habitacional son

a) Construir una tabla de fecuencia de amplitud partiendo desde b) Cuntas personas consumen entre y productos enlatados ?.c) Qu porcentaje representa a las personas que consumen menos de productos enlatados?. d) Qu cantidad de personas consumen ms de productos enlatados?.

5) Las ganancias por accin de 40 compaas de la industria de la construccin son:

a) Construya una distribucin de frecuencias que comience en y tenga una amplitud de b) Cul es la frecuencia absoluta del tercer intervalo?. Interprete el resultado . c) Qu porcentaje de las compaas tienen a lo ms una ganancia de ?d) Cuntas compaas tienen una ganancia a lo menos de ?e) Interprete la frecuencia acumulada del segundo intervalo.f) Interprete la frecuencia relativa acumulada del cuarto intervalo.

Solucin

1) a) 9 ~ c ~

5 ~

~ b ! ~

~ ~

SueldoLmites reales% - /

c c

c c

c c

c c

c c

c c

Total

b) En la tercera clase se encuentra el mayor nmero de trabajadores. c) 67,5 % de los trabajadores gana entre $139.000 y $ 168.000d) 7 trabajadores ganan a lo menos $ 159.000 e) 24 trabajadores ganan a lo ms $ 148.000

PesoLmites reales% - /

c c

c c

c c

c c

c c

Total

2) a)

b) 11 engranajes pesan entre 46 y 55 kilos.c) El 77 % de las piezas pesan menos de 51 kilos. d) La frecuencia relativa es 0,17e) El 23 % de las piezas pesa ms de 50 kilos.

DuracinLmites reales% - /

c c

c c

c c

c c

c c

c c

c c

c c

c c

Total

3) a)

b) 13 discos duraron entre 290 y 299 horas.c) 22 discos no alcanzaron a durar 300 horas.d) El 6 % de los engranajes duraron entre 300 y 314 horas. e) El 58 % de los engranajes duraron menos de 305 horas. f) 16 engranajes duraron ms de 309 horas.g) 29 engranajes duraron menos de 305 horas.h) El 16 % de los engranajes duraron entre 285 y 294 horas. i) El primer intervalo.

N de personas - /

c

c

c

c

c

c

c

c

Total

4) a)

b) 18 personas consumen entre 100 y 129 productos enlatados.c) El 28 % de las personas consume menos de 90 productos enlatados. d) 41 personas consume ms de 79 productos enlatados.

GananciasLmites Reales% - /

c c

c c

c c

c c

c c

Total

5) a)

b) La frecuencia absoluta del tercer intervalo es , es decir, existen compaas cuyas ganancias estn entre y por accin.c) El % de las compaas tienen a lo ms una ganancia de por accin. d) compaas tienen a lo menos una ganancia de por accin.e) compaas tienen una ganancia igual o menor a por accin.f) El % de las compaas tienen una ganancia por accin de a lo ms .

Representacin Grfica

Su objetivo es captar la informacin obtenida en los datos en forma rpida por cualquier persona, as cada representacin debe llevar un ttulo adecuado.

Las normas en la construccin de un grfico estadstico son similares a los de grficos de funciones, las variables independientes, se ubican en las abscisas y las dependientes en las ordenadas.

Tipos de grficos

a) Grfico circular: se usan para mostrar el comportamiento de las frecuencias relativas,absolutas o porcentuales de las variables. Dichas frecuencias son representadas por medio de sectores circulares, proporcionales a las frecuencias.

Departamento %

A (1)

B (2)

C (3)

D (4)

E (5)

Total

P e rs o n a l p o r D e p a rt a m e n t o

59%

415 %

115 %

1

2

32428 %5

333 %

b) Pictograma: es un grfico cuyo uso es similar al de sector circular, pero la frecuencia esrepresentada por medio de una figura o dibujo que identifique a la variable en estudio. Este grfico se utiliza para mostrar producciones en una serie cronolgica.

Por ejemplo, Alumnos del Instituto Profesional Dr. Virginio Gmez:

1996:

1997:

1998:

1999:

2000:

2001: ~ alumnos

c) Grfico lineal: se utiliza para mostrar las frecuencias absolutas o relativas de una variablediscreta, son representadas mediante lneas verticales proporcionales a dichas frecuencias.

%

Total

%

d) Grfico de barra: Se utiliza para representar tablas de frecuencia con atributos o convariables discretas y pocos valores. Sobre un eje horizontal se construyen bases de rectngulo del mismo ancho cada uno correspondiente a una modalidad del atributo, sobre estas bases se levantan rectngulos cuya altura es proporcional a la frecuencia absoluta de la modalidad. El espacio entre ellas debe ser uniforme.

Departamento

A

B

C

D

E

Total

P e rsona l por De pa rta m e nto

140

120Fr e cue ncia100

80

60

4020

0

A B C D E

De p ar tam e n to

e) Histograma: es el grfico adecuado cuando los datos estn ordenados en tablas con intervalos,es decir, para datos de variables continuas. Tambin el histograma es una conformacin de rectngulos, pero uno al lado de otro cuya rea es proporcional a la frecuencia de cada intervalo. Los extremos de la base de cada rectngulo son los lmites reales del intervalo.

Lmites Reales

c

c

c

c

c

c

Total

H IST OGRA M A

12

10

Fre c ue nci a A b so l u ta8

6

4

2

0

8 , 51 2, 51 6, 52 0, 52 4, 52 8, 5

4,5 8 ,5 12, 516, 520, 524, 5

L m i te s R eal es

f) Polgono de frecuencia: este grfico sirve para mostrar la tendencia de la variable, se puededeterminar a partir de un histograma uniendo los puntos medios superiores de cada rectngulo del histograma. Tambin, se determina el polgono uniendo los puntos formado por la marca de clase con la frecuencia absoluta del intervalo respectivo.

Lmites reales%

c

c

c

c

c

c

Total

P o lgo no de F re c u e n c ia s

12

10

8

Fr e c ue nc ia Ab s o lu t a6

4

2

02,5 6 ,5 10 ,5 14 ,5 18 ,5 22 ,5 26 ,5 30 ,5

M a rc as d e Clas e s

Observacin: El polgono de frecuencias se convierte en polgono de frecuencias relativas,cambiando la frecuencia absoluta por la frecuencia relativa, en este caso, el rea bajo el polgono de frecuencias relativas es igual a .

Histograma y Polgono de Frecuencias

H is togra m a y P o lgono de Fre c ue nc ia s

12

10

Fre cue ncia Absoluta8

6

4

2

0

L m ite s Real es

e) Ojiva: es un grfico que se usa para mostrar como se acumulan las frecuencias absolutas, relativas o porcentuales. Se obtiene al unir los puntos formados por los lmites superiores de cada intervalo con la frecuencia absoluta o relativas acumuladas del intervalo respectivo. Si se consideran las frecuencias porcentuales acumuladas se llama ojiva porcentual.

Lmites reales% -

c

c

c

c

c

c

Total

O jiva40

36

32

28

Fr e cue ncia A cum ulad a24

20

16

12

8

4

04 8 12 16 20 24 28

Lm it e s Su pe r ior e s

Ejercicios

1) Dada la informacin referente a la ubicacin de personas dentro de cuatro departamentos de una empresa, se pide

a) Tabular la informacin. b) Realizar grfico circular.c) Indique frecuencias relativas porcentuales en cada grupo.

MAPCCACCMPPM

PCCMAMCCPPMP

APAMMAMAPM

MACCAAMPMMP

donde A ~ abastecimiento ; CC ~ control de calidad ; M ~ mantencin ; P ~ produccin.

2) Se realiz un nmero determinado de compras de materia prima. El volumen de la materia prima viene dado en m3 .Parte de la informacin se registra en la siguiente tabla

Volumen% - / Lmites reales

c

c

c

c

c

Total

a) Complete la tabla dada.b) En un slo grfico, dibuje un histograma y un polgono de frecuencia. c) Cuntas compras se realizaron entre y m3 ?.d) Cuntas compras se realizaron entre y m3 ?.e) Qu porcentaje de compras se realizaron entre y m3 ?. f) Cuntas compras se realizaron en total?.

3) Los siguientes datos corresponden a la duracin, en horas, de vlvulas que fueron sometidas a un cierto control.

Tiempo% - / Lmites reales

c

c

c

c

c

c

c

Total

a) Complete la tabla dada. b) Grafique la ojivac) Qu porcentaje de las vlvulas duraron, en promedio horas?.d) Qu porcentaje de las vlvulas duraron entre y horas?. e) Cuntas vlvulas duraron menos de horas?.f) Qu porcentaje de las vlvulas duraron ms de horas?

tableros. 4) Se realizaron dos experimentos referente al peso, en Kg., aplicado sobre una cierta cantidad de

Peso (Kg.)AB

c

c

c

c

c

c

Total

a) Grafique el histograma del experimento A.b) Grafique la ojiva porcentual del experimento B.c) Realice, en un mismo grfico, los polgonos de frecuencia. d) Realice, en un mismo grfico, las ojivas.

5) Dado el siguiente Polgono de Frecuencias:

P e so s d e lo s A lu m n o s d e C . C ivil

10 98N Alu m n o s7654321035,5 45,5 55,5 65,5 75,5 85,5 9 5,5

Pe s o (K g .)

a)Cules son los lmites reales del cuarto intervalo?. b) Interprete la frecuencia del cuarto intervalo.c) Interprete el porcentaje de datos que hay en el quinto intervalo. d) Qu porcentaje de pesos es igual o menor que Kg.?.e) Cuntos pesos son iguales o mayores que Kg.?.

Solucin

Departamento

A

CC

M

P

Total

1) a)

b) Grfico Circular

Pe r s onal por De par tam e n to

P28% A25%

A CCMCC P13%

M34%

Departamento %

A

CC

M

P

Total

c)

Volumen% - / Lmites reales

c c

c c

c c

c c

c c

Total

2) a)

b) Histograma y Polgono de Frecuencia

C o m p ras d e Mate ria P rim a

109

8

7

Fre cue ncia Absoluta6

5

4

3

2

1

03 8 13 18 23 28 33

M a rca s d e Cl a ses

c) Entre 11 y 30 m3 se realizaron 26 compras

d) Entre 16 y 25 m3 se realizaron 15 compras

e) Entre 16 y 20 m3 se realizaron un porcentaje de 22,2 % de compras

f) En total se realizaron 27 compras

Tiempo% - / Lmites reales

c c

c c

c c

c c

c c

c c

c c

Total

3) a)

b) Ojiva

D u ra c i n V l v ul a s

60

Fr e c ue ncia Acum u lad a50

40

30

20

10

0

449, 5 499, 5 549, 5 599, 5 649, 5 699, 5 749, 5 799, 5

Lm it e s S u pe riore s

c) 30 % de las vlvulas duraron en promedio 674,5 horas d) 36 % de las vlvulas duraron entre 650 y 749 horase) 9 vlvulas duraron menos de 550 horas

f) 38 % de las vlvulas duraron ms de 649 horas

4) a) Histograma

E xperim ento AFrecue ncia Abs oluta12

9

6

3

019,5 24,5 29,5 34,5 39,5 44,5

14,5 19,5 24,5 29,5 34,5 39,5Lm ites Re ales

b) Ojiva Porcentual

Ex pe ri m e n to B

1

0,90,8

0,7Fr e c. A cu m . Po r c.0,6

0,5

0,40,3

0,20,1

0

14,5 19,5 24,5 29,5 34,5 39,5 44,5

Lm it e s Su p e r ior e s

c) Polgonos de Frecuencia

Ex p e rim e n to A y B

1211Fr e cue ncia10987654321012 17 22 27 32 37 42 47

Se r ie 1 Se r ie 2 M ar cas d e C las e s

Serie 1 ~ Experimento A Serie 2 ~ Experimento B

d) Ojivas

Experimento A y B

4540Frecuencia Acumulada3530252015105014,5 19,5 24,5 29,5 34,5 39,5 44,5

Lmites SuperioresSerie1 Serie2

Serie 1 ~ Experimento A Serie 2 ~ Experimento B

5) a) Los lmites reales del cuarto intervalo son c

b) alumnos de C. Civil tienen pesos que van desde kilos hasta kilos

c) % de los alumnos pesan ms de kilos y menos de kilos

d) El % de los pesos de los alumnos es igual o menor que kilos

e) alumnos pesan a lo menos Kg.

Medidas de tendencia central y de dispersin

En todo anlisis y/o interpretacin se pueden utilizar diversas medidas descriptivas que representan las propiedades de tendencia central, dispersin y forma para extraer y resumir las principales caractersticas de los datos. Si se calculan a partir de una muestra de datos, se les denomina estadsticos; si se les calcula a partir de una poblacin se les denomina parmetros.

Medidas de tendencia central

La mayor parte de los conjuntos de datos muestran una tendencia a agruparse alrededor de un punto "central" y por lo general es posible elegir algn valor que describa todo un conjunto de datos. Un valor tpico descriptivo como ese es una medida de tendencia central o "posicin". Las medidas de tendencia central a estudiar son: media aritmtica, mediana y moda.

Media aritmtica

La media aritmtica ( tambin denominada media ) es la medida de tendencia central que se utiliza con mayor frecuencia. Se calcula sumando todas las observaciones de un conjunto de datos, dividiendo despus ese total entre el nmero total de elementos involucrados.La media aritmtica de un conjunto de valores % % % se define como el cuociente entre lasuma de los valores y el nmero de ellos. Su smbolo es % si la media aritmtica es de una muestra y si la media aritmtica es de una poblacin.

a) Para datos no agrupados:

% b % b b % %Media muestral: % ~ ~

~

; ~ tamao de la muestra

Media poblacional: ~ % b % b b %5 ~ % ; 5 ~ tamao de la poblacin5 5 ~

Ejemplo Calcular la media aritmtica de los siguientes datos relacionados con las notas de test enEstadstica obtenidas por un cierto alumno:

b b b b b % ~ ~

5El promedio de test es puntos.

b) Para datos agrupados:

Si los datos estn ordenados en tablas de frecuencia la media aritmtica se obtiene como sigue

Muestra Poblacin

% b% b b% % % % ~ ~ b b b ~ ~ ~ 5

donde: % es la marca de clase del intervalo i-simo es la frecuencia del intervalo i-simo es el nmero de datos de la muestra y 5 es el nmero de datos de la poblacin es el nmero de intervalos

Ejemplo Calcular la media aritmtica para el peso de trabajadores, segn tabla adjunta:

Peso (Kg.)% %

c

c

c

c

c

Total

% % ~ ~ ~ ~

El peso promedio de los trabajadores es de kilos

Propiedades de la media aritmtica

Propiedad 1 La media aritmtica de una constante es igual a la constante.

% % % % %

valores

b b b b % ~ ~ ~

Por lo tanto, % ~

Propiedad 2 La media aritmtica de una variable ms una constante es igual a la media aritmtica de la variable ms la constante.

% % % % %

& % b % b % b % b

& & ~ ~

% b & ~ ~ ~ % b ! b % b ! b b % b !

% b % b % b b % b ~

% ~ b

~

~ % b

Propiedad 3 La media aritmtica de una variable por una constante es igual al producto de la constante por la media de la variable.

% % % %

' % % %

% b% b b% ' ~

~ % b % b b %

~ %

Propiedad 4 Media Ponderada

% h b % h b b % h % ~ b b b

Ventajas y desventajas del uso de la media aritmtica:

VentajasDesventajas

- Estable muestra a muestra- No aplicable a atributos

- Fcil clculo e interpretacin- Influyen en su valor los valores extremos

Ejemplos:

1) De un grupo de contribuyentes se determin que el promedio de impuestos es de $32.200. Determinar en cada uno de los siguientes casos, la nueva media aritmtica:

a) Los impuestos aumentan en un 2 %

b) A los impuestos se les disminuye la cantidad de $2.300

c) A cada contribuyente, se le disminuye un 3 % y adems se le condona $2.550

Solucin:

1) a) % ~ h ~ La nueva media aritmtica es $

b) % ~ c ~ La nueva media aritmtica es $

c) % ~ h c ~ La nueva media aritmtica es $

2) En tres cursos de un mismo nivel los promedios de las calificaciones fueron y si los cursos tenan respectivamente y alumnos, determine la calificacin promedio de los tres cursos.

Solucin:

h b h b h % ~ ~ ~ b b

El promedio de las calificaciones de los tres cursos es

Mediana

La mediana es el valor que se encuentra en el centro de una secuencia ordenada de datos. La mediana no se ve afectada por observaciones extremas en un conjunto de datos. Por ello, cuando se presenta alguna informacin extrema, resulta apropiado utilizar la mediana, y no la media, para describir el conjunto de datos.

Su smbolo es 4 .

a) Mediana para datos no agrupados

Se deben ordenar los datos de forma creciente o decreciente. Para muestras con un nmero par de observaciones, la mediana es el dato que queda en el centro de dicha ordenacin y para muestras con nmero impar de observaciones la mediana es el promedio de los dos datos centrales.

Ejemplos

1) Para muestra con nmero impar de datos: 4 ~ ? b

datos

datos ordenados 4 ~ ? b ~ ? ~

? b ? b 2) Para muestra con nmero par de datos: 4 ~

datos

datos ordenados

? b ? b ? b ? b 4 ~ ~ ~ ~

b) Mediana para datos agrupados

c- 4 ~ 3 b c h 8 9

donde:

es el primer intervalo cuya frecuencia acumulada supera a 3 es el lmite real inferior del intervalo de la mediana. es el nmero de datos.- c es la frecuencia acumulada anterior al intervalo de la mediana. es la frecuencia absoluta del intervalo de la mediana. es la amplitud del intervalo.

Ejemplo Distribucin de frecuencias de la duracin, en horas, de uso continuo de dispositivos electrnicos iguales, sometidos a un cierto control.

Duracin -

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

Total

El intervalo donde se encuentra la Mediana es el primer intervalo en el cual:

-

En este caso, ~ ~ - ! intervalo ~

c ~ 4 ~ b h 8 9- ~ 4 ~ horas ~ 3 ~

Moda

La moda es el valor de un conjunto de datos que aparece con mayor frecuencia. Se le obtiene fcilmente a partir de un arreglo ordenado. A diferencia de la media aritmtica, la moda no se afecta ante la ocurrencia de valores extremos. Sin embargo, slo se utiliza la moda para propsitos descriptivos porque es ms variable, para distintas muestras, que las dems medidas de tendencia central. Un conjunto de datos puede tener ms de una moda o ninguna.

Su smbolo es 4 .

a) Moda para datos no agrupados

Ejemplos

1) datos 4 ~

2) datos 4 ~ y

3) datos 4 ~

4) datos 4 ~ no existe

b) Moda para datos agrupados

Existe ms de una forma de calcular la moda:

Caso a) 4 ~ 3 b

h 8 b 9

donde es el intervalo de mayor frecuencia absoluta.3 es el lmite real inferior del intervalo que contiene a la moda. es la diferencia entre la frecuencia absoluta del intervalo de la moda y el intervalo anterior ~ c c es la diferencia entre la frecuencia absoluta del intervalo de la moda y el intervalo posterior ~ c b es la amplitud del intervalo.

Caso b) 4 ~ 3 b b h 8 c b b 9

donde es el intervalo de mayor frecuencia absoluta.

Ejemplo Sea la tabla:

Duracin -

c

c

c

c 809

c

c

c

c

c

c

Total

Caso a): En este caso, el intervalo de mayor frecuencia absoluta es el ! ~

~ 4 ~ b 8 b 9 h

~ c ~

~ c ~

3 ~

~ 4 ~ horas

Caso b): ~

b ~ ~

c ~ ~

3 ~

~

4 ~ b8 b 9 h

4 ~ horas

Ejercicios

1) En una industria dos operarios en siete das de trabajo, son capaces de producir, por da, y en forma individual la siguiente cantidad de rboles para fresa de mm de longitud por mm de dimetro.

Operario A

Operario B

Determine

a) Produccin media de cada operario. b) Moda del operario A.c) Mediana del operario B.

2) Se hace una encuesta entre personas acerca del nmero de horas diarias que se dedican a ver televisin, obtenindose la siguiente informacin

N de horas

c

c

c

c

c

c

Total

Calcular la media, la mediana y la moda (caso a y b).

3) De un total de datos, 20 son 4, 40 son 5, 30 son 6 y el resto 7. Hallar la media y la moda.

4) Cuatro grupos de estudiantes, consistentes en y kilos. Hallar el peso medio de los estudiantes. y individuos, dieron pesos de

5) Las notas de un estudiante en sus certmenes han sido y . Hallar la media, la mediana y la moda.

6) La siguiente tabla corresponde a la estatura de estudiantes de una determinada carrera.

Estatura

c

c

c

c

c

c

Total

Hallar la media, mediana y moda (caso a y b) de la estatura.

7) La oficina de Censo, proporcion las edades de hombres y mujeres divorciados ( en miles de personas de aos de edad o ms ).

EdadHombreMujer

c

c

c

c

c

c

c

c

Total

Obtener las medidas de tendencia central

Solucin

% A ~ % B ~

No hay moda, todos los datos tienen frecuencia uno.

4 B ~

% ~ 4 ~ (Caso a) 4 ~ (Caso b) 4 ~

% ~ 4 ~

El peso promedio de los estudiantes es kilos.

% ~ 4 ~ 4 no existe

% ~ 4 ~ 4 ~

HombreMujer

%

4

4 (caso a)

4 (caso b) y

Medidas de dispersin

Una segunda propiedad que describe a un conjunto de datos es la dispersin. Dispersin es el grado de variacin o diseminacin de los datos. Dos conjuntos de datos pueden diferir tanto en tendencia central como en dispersin o dos conjuntos de datos pueden tener las mismas medidas de tendencia central, pero diferir mucho en trminos de dispersin.Ejemplo: 1) % ~ 2) % ~

Los estadgrafos de dispersin nos indican si la distribucin o conjunto de datos forma grupos homogneos o heterogneos. Las medidas de dispersin a estudiar son: rango, desviacin media, varianza y desviacin estndar.

Rango

Indica el nmero de valores que toma la variable. El rango es la diferencia entre el valor mximo y el valor mnimo de un conjunto de datos.

9 ~ %mx c %mn

Si los datos estn agrupados en una tabla de frecuencias, el recorrido es la diferencia entre el lmite real superior del ltimo intervalo y el lmite real inferior del primer intervalo.

9 ~ 3mx c 3mn

Ejemplo:

1) Sea el siguiente conjunto de datos

%mx ~ %mn ~ 9 ~ c ~

2) Sea la siguiente tabla:

3 ~ 3 % ~

Peso (Kg.)

c

c

c

c

c

Total

9 ~ c 9 ~ Kg.

El rango mide "la dispersin total" del conjunto de datos. Aunque el rango es una medida de dispersin simple y que se calcula con facilidad, su debilidad preponderante es que no toma en consideracin la forma en que se distribuyen los datos entre los valores ms pequeos y los ms grandes.

Desviacin Media

Es la media aritmtica de los valores absolutos de las desviaciones de todos los datos respecto a la media aritmtica. Su smbolo es +4 .

a) Desviacin media para datos no agrupados

O % c % O+4 ~ ~

Ejemplo Obtener la desviacin media para los datos

b b b b % ~ ~

+4 ~

+4 ~ O c O b O c O b O c O b O c O b O c O

+4 ~

b) Desviacin media para datos agrupados

O % c % O +4 ~ ~

donde

% es la marca de clase

Ejemplo Determine la desviacin media de los siguientes datos agrupados

Pesos (Kg.)

c

c

c

c

c

Total

Pesos (Kg.)% % h % c% O % c% O

c

c

c

c

c

Total

% ~ ~

+4 ~ ~

Varianza y Desviacin Estndar

Dos medidas de dispersin que se utilizan con frecuencia y que s toman en consideracin la forma en que se distribuyen los valores son la varianza y su raz cuadrada, la desviacin estndar. Estas medidas establecen la forma en que los valores fluctan con respecto a la media.

Varianza

La varianza se define como el promedio aritmtico de las diferencias entre cada uno de los valores del conjunto de datos y la media aritmtica del conjunto elevadas al cuadrado.

Su smbolo es : si estamos trabajando con una muestra y poblacin.

a) Varianza para datos no agrupados 2 si estamos trabajando con una

: ~ % c % ~ c

donde % representa los datos de la muestra.

5 % c ~ ~ 5 c

donde % representa los datos de la poblacin.

Ejemplo Determine la varianza del siguiente conjunto de datos:

b b b b b % ~ ~

c b c b c b c b c b c : ~

: ~ c

: ~ ( en unidades al cuadrado )

b) Varianza para datos agrupados

Muestra Poblacin

% c % : ~ ~ % c ~ ~ c 5 c

donde % es la marca de clase.

Ejemplo Considere la tabla con los datos de los edades de personas

Edades ( aos )

c

c

c

c

c

Total

Edades ( aos )% % h % c % % c %

c

c

c

c

c

Total

% ~ ~

aos

: ~ ~ ( en aos2 )

Las frmulas anteriores para calcular la Varianza muestral tienen una forma abreviada:

Para datos no agrupados Para datos agrupados

% c % % c % : ~ ~ : ~ ~

donde: c c

% representa los datos donde: % representa la marca de clase

Propiedades de la Varianza

% = % ~ :

= % ~ si % ~ constante

= % ~ = %

= % b ~ = %

= % b ~ = %

Las unidades de medida de la varianza son las unidades al cuadrado de los datos.

Ejemplo: De un grupo de contribuyentes se determin que el promedio de impuestos es de$32.200, con una varianza de $7.600. Determinar en cada uno de los siguientes casos, la nueva varianza:

a) Los impuestos aumentan en un 2 %

b) A los impuestos se les disminuye la cantidad de $2.300

c) A cada contribuyente, se le disminuye un 3 % y adems se le condona $2.550

Solucin:

a) = % ~ h ~ La nueva varianza es $

b) = % ~ La nueva varianza es $

c) = % ~ h ~ La nueva varianza es $

Desviacin Tpica o Desviacin Estndar

Es la raz cuadrada positiva de la Varianza. Su smbolo es : si se est trabajando con una muestra y es si se est trabajando con una poblacin.

a) Desviacin estndar para datos no agrupados

q qqq % c % q: ~ p

q q ~ c

5 donde % representa los datos de la muestra.q % c q qp ~ ~ 5 c donde % representa los datos de la poblacin.

Ejemplo Para el conjunto de datos donde se obtuvo que su varianza era: ~ ; tendremos entonces que su desviacin estndar es

: ~ l ~ ( unidades )

b) Desviacin estndar para datos agrupados

Muestra Poblacin

q q q qq % c % q % c q q q q: ~ p ~ c ~ p ~ 5 c

donde % es la marca de clase.

Ejemplo Para el ejemplo de los datos tabulados sobre las edades de personas se obtuvo como varianza : ~ ; luego su desviacin estndar ser

: ~ l ~ ( aos )

Qu indican la Varianza y la Desviacin Estndar?

La varianza y la desviacin estndar miden la dispersin "promedio" en torno a la media aritmtica, es decir, cmo fluctan las observaciones mayores por encima de la media aritmtica y cmo se distribuyen las observaciones menores por debajo de ella.

La varianza tiene ciertas propiedades matemticas tiles. Sin embargo, al calcularla se obtienen unidades al cuadrado cm2 , pulgadas2 , mm2 , (edades)2 , (horas)2, etc. por ello, en la prctica, la principal medida de dispersin que se utiliza es la desviacin estndar, cuyo valor est dado en las unidades originales cm, pulgadas, mm, edades, horas, etc.

En los ejemplos anteriores:

a) Para la muestra de datos se obtuvo por desviacin estndar : ~ ( unidades ). Esto indica que la mayor parte de los datos de esta muestra se agrupan dentro de unidades por encima y por debajo de la media aritmtica, es decir, entre c ~ y b ~

b) Para el caso de los datos tabulados correspondientes a las edades de personas, se obtuvo una desviacin estndar de : ~ aos. Esto indica que la mayor parte de los datos estn agrupados entre c ~ aos y b ~ aos.

Edades ( aos )

c

c

c

c

c

Total

Criterio de Homogeneidad

Una distribucin se considera homognea, si la desviacin estndar se encuentra entre la quinta y la cuarta parte del rango. Si no es as, entonces se considera que la muestra es heterognea.

a) Para la muestra de datos

9 ~ c ~ : ~

9 9@ A ~

:

Por lo tanto, la muestra es heterognea.

b) Para el caso de los datos tabulados de las edades de personas

Edades ( aos )

c

c

c

c

c

Total

9 ~ c ~ ( aos ) : ~ ( aos )

9 9@ A ~

:

Por lo tanto, la muestra es homognea.

Observaciones

1) Cuanto ms separados o dispersos estn los datos, es decir, para muestras heterogneas, tanto mayores sern el rango, la varianza y la desviacin estndar.

2) Si los datos estn ms concentrados, es decir, para muestras homogneas, tanto menores sern el rango, la varianza y la desviacin estndar.

3) Si todas las observaciones son iguales ( de manera que no haya variacin en los datos ), el rango, la varianza y la desviacin estndar sern iguales a cero.

Ejercicios

1) En una industria dos operarios en siete das de trabajo, son capaces de producir, por da, y en forma individual la siguiente cantidad de rboles para fresa de mm de longitud por mm de dimetro.

Operario A

Operario B

Determine

a) Rango del operario A y del operario Bb) Varianza del operario A.c) Desviacin estndar de ambos operarios. d) Son las muestras homogneas?.

2) Se hace una encuesta entre personas acerca del nmero de horas diarias que se dedican a ver televisin, obtenindose la siguiente informacin

N de horas

c

c

c

c

c

c

Total

Calcular la varianza y la desviacin estndar.

estndar. 3) De un total de datos, 20 son 4, 40 son 5, 30 son 6 y el resto 7. Hallar la desviacin

4) Cuatro grupos de estudiantes, consistentes en y kilos. Hallar la varianza de los estudiantes. y individuos, dieron pesos de

5) Las notas de un estudiante en sus certmenes han sido y desviacin estndar. Las notas , son homogneas?. . Hallar la

6) La siguiente tabla corresponde a la estatura de estudiantes de una determinada carrera:

Estatura

c

c

c

c

c

c

Total

Hallar rango, varianza y desviacin estndar de la estatura.

7) La oficina de Censo, proporcion las edades de hombres y mujeres divorciados ( en miles de personas de aos de edad o ms ).

EdadHombreMujer

c

c

c

c

c

c

c

c

Total

Obtener las medidas de dispersin ( rango, varianza y desviacin estndar ) tanto para los hombres como para las mujeres. Determine, adems si las muestras son homogneas o no.

Solucin

9A ~ 9B ~

A ~

A ~ B ~

Ambas muestras no son homogneas.

~ ~

~

~

~

9 ~ Las notas no son homogneas.

~ ~

HombresMujeres

9

Ambas muestras son homogneas.

Autoevaluacin

1) En una encuesta realizada a personas en la ciudad de Chilln, sobre su equipo de ftbol preferido, se obtuvieron los siguientes resultados:

U. de Chile, Colo Colo, U. Catlica, ublense, Colo Colo, U. de Chile, Colo ColoColo Colo, U. de Chile, Colo Colo, U. Catlica, ublense, Colo Colo, U. de Chile, U. de Chile, U. de Chile, Colo Colo, U. Catlica, ublense, Colo Colo, U. de Chile, U. Catlica, Colo Colo, U. de Chile, Concepcin

a) Construya una tabla para la informacin obtenidab) Construya un grfico adecuado para la informacin dada c) Cuntas personas son hinchas de Colo Colo?d) Qu porcentaje de personas prefiere a U. de Chile?e) Qu porcentaje de encuestados no es hincha de ublense?

2) Los salarios ofrecidos a 16 personas son ( en miles de pesos ):

165149166167154165144135

155170150151142148149100

Determine e interprete para la muestra:a) Media aritmtica b) Modac) Mediana

3) Los impuestos pagados por un grupo de contribuyentes han dado origen a la siguiente tabla de frecuencia:

Monto de impuestos en milesN personas

1 - 204

21 - 4015

41 - 6021

61 - 8018

81 - 1002

Total60

Determine:a) Desviacin Estndar Muestral y explique su significadob) Determine si la muestra es homognea o heterognea. Justifique su respuesta.

Solucin:

Categoras - /

U. de Chile

Colo Colo

U. Catlica

ublense

Concepcin

Total

1) a)

Fr e c u e nc i ab)

E qu ipos de F tbol Fa v o r ito s

10 987654321loCo0

Ca te g o r a s

c) Las personas hinchas de Colo Colo son

d) El porcentaje de personas que prefiere a U. de Chile es %

e) El porcentaje de personas que no prefiere a ublense es %

2) a) % ~ El salario promedio es de $

b) 4 ~ El % de las personas tiene un salario superior a $

c) 4 ~ y Los salarios ms comunes son $ y $

3) a) : ~ La desviacin estndar es un estadstico que nos indica que tan dispersos estn los datos, con respecto a la media aritmtica.

b) Los datos no son homogneos.

Unidad N2: Probabilidades

Elementos de Probabilidades

Los primeros estudios de probabilidad fueron motivados por la posibilidad de acierto o fracaso en los juegos de azar. La probabilidad es un mecanismo por medio del cual pueden estudiarse sucesos aleatorios, es decir, operaciones cuyo resultado no puede ser predicho de antemano con seguridad. Por ejemplo, el lanzamiento de una moneda.

Enfoques de probabilidad

1) Experimento aleatorio o experimento: cualquiera operacin cuyo resultado no puede serpredicho de anterioridad con seguridad.

Ejemplo:a) lanzamiento de una moneda b) lanzamiento de un dadoc) extraccin de una carta de una baraja de 52 cartas

2) Espacio muestral: es el conjunto de todos los posibles resultados asociados a un experimento. Su smbolo es + . Si el espacio muestral tiene un nmero finito de elementos o infinito numerable, entonces se dice que ste es discreto y si el espacio muestral tiene como elementos todos los puntos de algn intervalo real, entonces se dice que ste es continuo .

Ejemplo:a) experimento:lanzamiento de un dado+ ~

b) experimento: tiempo de duracin de un tubo fluorescente+ ~ { ! ! }

3) Evento o suceso: es cualquier subconjunto de un espacio muestral. Todo subconjunto es un evento, en particular + mismo es un evento, llamado suceso seguro y el conjunto vaco, J, tambin es un evento, llamado suceso imposible .

Ejemplo:A ~ obtener un nmero impar al lanzar un dadoA ~

B ~ obtener al menos una cara al lanzar una moneda dos vecesB ~

Como los eventos son subconjuntos de +, entonces es posible aplicar la teora de conjuntos para obtener nuevos eventos.Si A y B son eventos, entonces tambin lo son A r B, A q B, AcA r B ocurre si, y slo si slo ocurre A o slo ocurre B u ocurren A y B a la vez. A q B ocurre si, y slo si ocurre A y ocurre B a la vez.Ac ocurre si, y slo si no ocurre A.

En todo experimento aleatorio +complementos son tomados respecto a +. se considera el conjunto universal, por lo tanto, todos los

Ejemplo

Considere el experimento lanzamiento de dos dados. a) Determine el espacio muestral

b) Obtenga los siguientes eventos:A ~ la suma de los dos nmeros es un mltiplo de dosB ~ ambos dados muestran la misma caraC ~ los dos nmeros son primosD ~ la resta de los dos nmeros es divisible por tres

c) Encuentre, si es posible, A r B, C q D, Bc , Bc q Cc

r !t !

! !

! !

! !

! !

! u ! wt wt+ ~ Pt ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! w ! wQt wt !s ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! w ! v

A ~ J

! ! !

! ! !

! ! !

! ! !

! ! !

! ! K !

B ~ ! ! ! ! ! !

C ~ J ! ! ! ! ! ! ! ! I !

D ~ !

A r B ~ A ! ! ! ! !

C q D ~ ! !

Bc ~ % &!% &

rtBc q Cc ~ ts ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! u ! w ! w ! v

Concepto de probabilidad en espacio finito equiprobable

Si + es un espacio muestral con elementos, entonces la probabilidad de un evento A es el cuociente , donde es el nmero de elementos de A

Esto se denota: P A! ~

Ejemplo

+ ~ lanzamiento de un dado + ~ A ~ aparece un mltiplo de tres A ~

P A! ~ ~

Definicin: Diremos que dos eventos A y B son mutuamente excluyentes o disjuntos si no pueden ocurrir juntos, es decir A q B ~ J

Por ejemplo, + ~ lanzamiento de un dado + ~ A ~ aparece un mltiplo de tres ( ~ B ~ aparece un mltiplo de cuatro ) ~

Luego, A y B son eventos disjuntos, porque A q B ~ J

Axiomas de probabilidad

Sea + un espacio muestral y sean A y B dos eventos cualesquiera de este:

Axioma1 P +! ~

Axioma2 P A! D A +

Axioma3 P A r B! ~ P A! b P B!B si A q B ~ JEn general, P8 r ( 9 ~ P ( ! b P ( ! b P ( ! b b P ( ! con ~

( q ( ~ J D

De estos tres axiomas fundamentales es posible determinar algunas propiedades y consecuencias:

Teorema1

a) P J! ~

Demostracin

+ ~ + r JP +! ~ P + r J!P +! ~ P +! b P J! ~ b ~ P J!

pues + q J ~ J

b) P Ac ! ~ 1 c P A!

Demostracin

+ ~ A r AcP +! ~ P A r Ac !P +! ~ P A! b P Ac ! ~ P A! b P Ac !1 c P A! ~ P Ac !

pues A q Ac ~ J

c) Si A B, entonces P A! P B!

Demostracin

B ~ A r B c A!P B! ~ P[A r B c A!] P B! ~ P A! b P B c A!Luego P A! P B!

Corolario pues A q B c A! ~ J

P A! 1

Demostracin

J A +P J! P A! P +!0 P A! 1

Teorema 2

a) P A r B! ~ P A! b P B! c P A q B!

Demostracin

A r B ~ A r B c A!P A r B! ~ P[A r B c A!]P A r B! ~ P A! b P B c A!P A r B! c P A! ~ P B c A! pues A q1! B c A! ~ J

Por otro lado

B ~ A q B! r B c A!P B! ~ P A q B! b P B c A!P B! c P A q B! ~ P B c A! pues A q B! q2! B c A! ~ J

de 1! y 2!P A r B! c P A! ~ P B! c P A q B!P A r B! ~ P A! b P B! c P A q B!

b) P A c B! ~ P A! c P A q B!

Demostracin

A r B ~ A c B! r BP A r B! ~ P[ A c B! r B]P A! b P B! c P A q B! ~ P A c B! b P B!P A! c P A q B! ~ P A c B!

pues A c B! q B ~ J

Corolario

P A r B r C! ~ P A! b P B! b P C! c P A q B! c P A q C! c P B q C! b P A q B q C!

Demostracin

A r B r C ~P A r B r C! A r B! r C~ P[ A r B! r C]~ P A r B! b P C! c P[ A r B! q C]~ P A! b P B! c P A q B! b P C! c P[ A q C! r

B q C!] ~ P A! b P B! c P A q B! b P C! c P A q C! b P B q C! c P A q B q C!~ P A! b P B! b P C! c P A q B! c P A q C! c P B q C! b P A q B q C!

Teorema3

Sea + un espacio muestral y A un evento de + , A + , entonces

P A! ~ P A1 ! b P A2 ! b P A3 ! b b P Ak ! ~ P Ai ! Donde Ai son eventos disjuntos cuya unin es A ~

Demostracin

A ~ A1 r A2 r A3 r ... r AkP A! ~ P A1 r A2 r A3 r ... r Ak !P A! ~ P A1 ! b P A2 ! b P A3 ! b b P Ak !

pues Ai q Aj ~ JP A! ~ P Ai ! ~

Ejemplos

1) Suponga que A y B son eventos para los cuales P A! ~ % ; P B! ~ & y P A q B! ~ ' . Determine:

a) P Ac r Bc ! b) P Ac r B! c) P Ac q B! d) P Ac q Bc !

Solucin

a) P Ac r Bc !

~ P[ A q B!c ]~ 1 c P A q B!~ c '

b)P Ac r B!

c) P Ac q B! ~ P[ A c B!c ]~ 1 c P A c B!~ c P A! c P A q B!~ c%b'

~ P B c A!~ P B! c P A q B!~ & c '

d) P Ac q Bc ! ~ P[ A r B!c ]~ c P A r B!~ c P A! c P B! b P A q B!~ c%c& b'

2) De la produccin de tornillos de cierta magnitud resulta que el 5 % de ellos no tienen el largo especificado, el 7 % no tienen el dimetro especificado y el 2 % tiene ambos defectos. Se elige un tornillo al azar de la produccin de estas magnitudes. Cul es la probabilidad que:a) tenga al menos uno de los dos defectos?. b) tenga slo el defecto del largo?c) tenga slo uno de los dos defectos?d) no tenga defectos? SolucinA ~ tornillos con defecto del largoB ~ tornillos con defecto del dimetro

a) P A r B! ~ P A! b P B! c P A q B!~ b c ~

La probabilidad de que tenga al menos uno de los dos defectos es de 0,10b) P A c B! ~ P A! c P A q B!~ c ~

La probabilidad de que tenga slo el defecto del largo es de 0,03

c) P A c B! b P B c A! ~ ! b P B! c P A q B!~ b c ~

La probabilidad de que tenga slo uno de los dos defectos es de 0,08

d) P A r B! ~ c P A r B!~ c ~

La probabilidad de que no tenga defectos es de 0,90

3) La alimentacin de cierta especie se considera completa si cada individuo consume tres tipos de alimentos en cantidades adecuadas. En una poblacin se encontr que el 75 % consume alimento tipo A, el70 % alimento tipoB, el 50 % alimento tipo C, el 50 % alimento tipo A y B, el 30 % alimento tipo A y C, el30 % alimento tipo B y C y el 15 % consume de los tres tipos de alimentos. Se elige un individuo al azar en la poblacin, calcular la probabilidad que:a) consuma slo alimento tipo C.b) consuma slo un tipo de alimento.c) consuma al menos dos tipos de alimentos

Solucin

M ~ individuo de la poblacin que consume alimento tipo AN ~ individuo de la poblacin que consume alimento tipo BQ ~ {individuo de la poblacin que consume alimento tipo C}

a) La probabilidad de que un individuo slo consuma alimento tipo C es de 0,05b) La probabilidad de que un individuo consuma slo un tipo de alimento es de 0,20 .c) La probabilidad de que un individuoconsuma al menos dos tipos de alimentos es de 0,80.

Ejercicios

1) Si A,B y C son eventos mutuamente excluyentes, y P(A) ~ P(B) ~ P(C) ~ Encuentre

a) P(A U B U C) b) P< Ac q ( B U C ) =c) P( B U C )

2) Sean A y B eventos tales que P A! ~ P B! ~ P A q B! ~ calcule

a) P Ac !c) P A r B!e) P Ac r Bc ! b) P Bc !d) P A c B!f) P Ac q Bc !

3) De un total de 500 estudiantes, se encuentra que 210 fuman, que 258 toman bebidas alcohlicas, que 216 toman alimentos entre comidas, que 122 fuman y toman bebidas alcohlicas, que 83 toman alimentos entre comidas y tambin bebidas alcohlicas, que 97 fuman y toman alimentos entre comidas y que 52 practican estos tres dainos hbitos. Si se escoge aleatoriamente a un miembro de esta generacin, encuentre la probabilidad de que el estudiante a) fumen, pero no tome bebidas alcohlicas.b) tome alimentos entre comidas e ingiera bebidas alcohlicas, pero no fume. c) no fume y no tome alimentos entre comidas.

4) La probabilidad de que una industria XX se ubique en la ciudad A es de 0,7; de que se localice en la cuidad B es de 0,4 y de que se encuentre en A o en B, o en ambas es de 0,8. Cul es la probabilidad de que la industria se localice a) en ambas cuidades?. b) en ninguna de ellas?.

5) En una bolsa hay 36 fichas numeradas del 1 al 36, respectivamente. Si se extrae una ficha, calcular la probabilidad de que la ficha extrada sea a) un nmero par b) un nmero primoc) un mltiplo de 5 d) un nmero terminado en 2e) un nmero divisible por 6 f) un nmero impar mayor que 20.

Solucin

1)a) P(A U B U C) ~ c) P( B U C ) ~

2)a) P Ac ! ~

b) P< Ac

q ( B U C ) = ~

b) P Bc ! ~

c) P A r B! ~

d) P A c B! ~

e) P Ac r Bc ! ~

f) P Ac q Bc ! ~

3)a) La probabilidad de que fumen, pero no tome bebidas alcohlicas es

b) La probabilidad de que tome alimentos entre comidas e ingiera bebidas alcohlicas, pero no fume es

c) La probabilidad de que no fume y no tome alimentos entre comidas es

4)a) La probabilidad de que la industria se localice en ambas ciudades es

b) La probabilidad de que la industria no se localice en ninguna de ellas es

5)

a) La probabilidad de que la ficha extrada sea un nmero par es

b) La probabilidad de que la ficha extrada sea un nmero primo es

c) La probabilidad de que la ficha extrada sea un mltiplo de 5 es

d) La probabilidad de que la ficha extrada sea un nmero terminado en 2 es

e) La probabilidad de que la ficha extrada sea un nmero divisible por 6 es

f) La probabilidad de que la ficha extrada sea un nmero impar mayor que 20 es

Probabilidad Condicional

Cuando se est calculando la probabilidad de un evento A en particular, y se tiene informacin sobre la ocurrencia de otro evento B, esta probabilidad se conoce como probabilidad condicional, la cual se denota por P A/B!, se lee "probabilidad de A dado B" y se define como:

P A/B! ~ P A q B!P B!

con P B!

Las probabilidades condicionales satisfacen los axionas de probabilidad

1) P +/B! ~

P +/B! ~ P + q B!P B!

~ P B!P B!

~

2) P[ A r C!/B] ~ P A/B! b P C/B! A q C ~ J

P[ A r C!/B] ~ P[ A r C! q B] P B!~ P[ A q B! rP B! C q B!]~ P A q B! bP B! P C q B!P B!~ P A/B! b P C/B!

Ejemplos

1) La probabilidad de que un vuelo de programacin regular despegue a tiempo es P D! ~ ; la que llegue a tiempo es P A! ~ y la que despegue y llegue a tiempo es P D q A! ~ . Encuentre la probabilidad de que el avin:a) llegue a tiempo dado que despeg a tiempo.b) despegue a tiempo dado que lleg a tiempo

Solucin

D ~ despegar a tiempo

A ~ llegar a tiempo

a) P A/D! ~ P A q D!P D! ~ ~ La probabilidad de que el avin llegue a tiempo dado que despeg a tiempo es de 0, 94 .

b) P D/A! ~ P D q A!P A! ~ 2~ La probabilidad de que el avin despegue a tiempo dado que lleg a tiempo es de 0,95 .

2) En una oficina hay 100 mquinas calculadoras, algunas de ellas son elctricas E! mientras que otras son manuales M!. De ellas unas son nuevas N! y otras usadas U!. El nmero de mquinas por categora est dada en la siguiente tabla:

EMTotal

N403070

U201030

Una persona entra a la oficina y escoge una mquina al azar, descubre que es nueva. Cul es la probabilidad que sea elctrica?

P E/N! ~ P E q N!P N! ~ ~

La probabilidad es de 0,57 .

3) Un grupo de 500 ejecutivos es clasificado de acuerdo a las caractersticas del peso y a la insidencia del peso en la hipertensin. Se da la siguiente tabla:

Sobre peso SP!Peso normal PN!Bajo peso BP!Total

Hipertenso H!504010100

No hipertenso Hc !75225100400

Total125265110500

a) Cul es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea hipertensa?b) Una persona elegida al azar tiene sobrepeso. Cul es la probabilidad que tambin sea hipertensa?c) Una persona elegida al azar no es hipertensa. Cul es la probabilidad de que tenga pesonormal?

a) P H! ~ ~

La probabilidad de que una persona sea hipertensa es de 0,20 .

b) P H/SP! ~ P H q SP!P SP! ~ ~

La probabilidad de que una persona con sobrepeso sea tambin hipertensa es de 0,40 .

c) P N/Hc ! ~ PNq Hc !P Hc ! ~ ~

La probabilidad de que una persona no hipertensa tenga tambin peso normal es de 0, .

Uno de los usos ms frecuentes de la probabilidad condicional es dar un procedimiento fcil para asignar probabilidades a intersecciones de eventos. Del concepto de probabilidad condicional es posible encontrar una expresin til, llamada regla del producto, para la probabilidad de interseccin de eventos, esta es:

P A/B! ~ P A q B!P B!

P AB! ~ P AB! h P B!

As,

P A q B q C! ~ P A/B q C! h P B q C!~ P A/B q C! h P B/C! h P C!

P A q B q C q D! ~ P A/B q C q D! h P B q C q D!~ P A/B q C q D! h P B/C q D! h P C q D!~ P A/B q C q D! h P B/C q D! h P C/D! h P D!

Ejemplos:

1) Se seleccionan 2 fichas al azar, sin reemplazo, de una urna que contiene 4 blancas y 8 negras. Calcular la probabilidad de que:a) ambas sean blancas.b) la segunda sea blanca.

a) B ~ {fichas blancas} N ~ {fichas negras}P B! ~

P N! ~ P B1 q B2 ! ~ P B1 ! h P B2 /B1 !

~ h

~

La probabilidad de ambas fichas sean blancas es de 0,09 .

b) P B1 q B2 ! b P N1 q B2 ! ~ b P N1 ! h P B2 /N1 !

~ b h

~

La probabilidad de que la segunda ficha sea blanca es de 0,33 .

2) Una caja de fusibles contiene 20 unidades, de las cuales 5 son defectuosas. Si tres de estos fusibles son tomados al azar, en sucesin y sin reemplazo.a) Cul es la probabilidad que los tres sean defectuosos?b) Si en cada una de las dos primeras se extrajo un defectuoso.Cul es la probabilidad que el tercero extraido sea bueno?c) Si los dos primeros estaban buenos. Cul es la probabilidad que el tercero extrado sea defectuoso?d) Cul es la probabilidad que los dos primeros sean buenos y el tercero defectuoso?

D ~ {fusible defectuoso}Dc ~ {fusible no defectuoso}

P D! ~

P Dc ! ~

a) P D1 q D2 q D3 ! ~ P D1 ! h P D2 /D1 ! h P D3 /D1 q D2 !

La probabilidad es de

~ h h ~

b) P Dc /D q D ! ~ 3 1 2

La probabilidad es de un .

1 2c) P D3 /Dc q Dc ! ~

La probabilidad es de un .

d) P Dc q Dc q D ! ~ P Dc ! h P Dc /Dc ! h P D /Dc q Dc !1 2 3 1 2 1 3 1 2

~ h h

~

La probabilidad es de un .

Ejercicios

1) La probabilidad de que un automvil al que se le llena el tanque de gasolina necesite tambin un cambio de aceite es de 0,25 ; la de que requiera un nuevo filtro de aceite es de 0,40 y de que le haga falta tanto cambio de aceite como de filtro es de 0,14.a) Si se debe cambiar el aceite, cul es la probabilidad de que necesite un filtro nuevo?.b) Si se necesita un filtro nuevo, cul es la probabilidad de que requiera un cambio de aceite?.

2) Para parejas de casados que viven en una cierta ciudad de los suburbios., la probabilidad de que el esposo vote en alguna eleccin es de 0,21, la de que su esposa lo haga, de 0,28 y la de que ambos voten, de 0,15. Cul es la probabilidad dea) al menos un miembro de la pareja de casados vote?. b) vote la esposa, dado que su esposo lo hace?.c) vote un esposo, dado que su esposa no lo hace?.

3) De una caja que contiene 6 pelotas negras y 4 verdes, se sacan tres en sucesin, reemplazndose cada pelota en la caja antes de extraer la siguiente.a) Cul es la probabilidad de que las tres sean del mismo color?.b) Cul es la probabilidad de que primera pelota sea negra, la segunda verde y la tercera negra?. c) Repita las mismas preguntas anteriores, pero asuma que no hay reemplazo.

4) Una urna contiene 7 bolas rojas y 3 bolas blancas. Se sacan 3 bolas de la urna . Hallar la probabilidad de que las dos primeras sean rojas y la tercera blanca.a) las bolas se devuelven a la urna.b) las bolas no se devuelven a la urna.

5) En cierta facultad, 25 % de los estudiantes perdieron matemticas, 15 % perdieron qumica y 10% perdieron las dos. Se selecciona un estudiante al azar.a) Si perdi qumica, cul es probabilidad de que perdi matemticas? b) Si perdi matemticas, cul es probabilidad de que perdi qumica? c) Cul es probabilidad de que perdi matemticas o qumica?

6) Sean A y B eventos con P A! ~ , P B! ~

y P A q B! ~

. Hallar

a) P A/B!c) P A r B!e) P Bc /Ac !

b) P B/A!d) P Ac /Bc !7) A un jugador le reparten 5 cartas de una baraja corriente de 52 cartas. Cul es la probabilidad de que todas sean corazones?.

de que 8) Una clase tiene 15 nias y 19 nios. Si se escogen tres estudiantes al azar.Cul es probabilidad

a) todos sean nios. b) todos sean nias.c) al menos uno sea nio d) dos sean mujeres.e) al menos dos sean nios.

9) Se estima que la probabilidad de que aumenten las ventas de automviles en el siguiente mes es de 0,40. Se estima que la probabilidad de que aumenten las ventas de refacciones es de 0,30. Se estima que la probabilidad de que ambas industrias experimenten un aumento en ventas es de 0,10. Cul es la probabilidad de que a) hayan aumentado las ventas de automviles durante el mes, dado que existe informacin de que han aumentado las ventas de refacciones?b) hayan aumentado las ventas de refacciones, dado que existe informacin de que aumentaron las ventas de automviles durante el mes?

Solucin

1) A ~ cambio de aceite B ~ nuevo filtro

a) P B/A! ~ b) P A/B! ~

2) A ~ esposo vota B ~ esposa vota

a) P A r B! ~ c)P A/Bc ! ~

3) N ~ pelota negra b) P B/A! ~

V ~ pelota verde

1 2 3 1 2 3a) P N q N q N ! b P V q V q V ! ~ ~

1 2 3b) P N q V q N ! ~ ~

c) P N1 q N2 q N3 ! b P V1 q V2 q V3 ! ~ ~

1 2 3P N q V q N ! ~ ~

4) R ~ pelota roja B ~ pelota blanca

a) P R1 q R2 q B3 ! ~

b) P R1 q R2 q B3 ! ~

5) A ~ perder matemticas

a)P A/B! ~ B ~ perder qumica

b) P B/A! ~

c) P A r B! ~

6)a) P A/B! ~

b) P B/A! ~

c) P A r B! ~

d) P Ac /Bc ! ~

e) P Bc /Ac ! ~

7) P C1 q C2 q C3 q C4 q C5 ! ~

8) A ~ nias B ~ nios

a) P B1 q B2 q B3 ! ~

b) P A1 q A2 q A3 ! ~

c) P B1 q A2 q A3 ! b P B1 q B2 q A3 ! b P B1 q B2 q B3 ! ~

d) P B1 q A2 q A3 ! ~

e) P B1 q B2 q A3 ! b P B1 q B2 q B3 ! ~

9) A ~ aumento venta de automvilesB ~ aumento ventas de refacciones

a) P A/B! ~

b) P B/A! ~

Teorema: Probabilidad total! Suponga que los eventos A1 ,A2 ,...,Ak forman una particin de +,es decir, A1 r A2 r ... r Ak ~se tiene: + , A J y Ai q Aj ~ J D . Entonces para cualquier evento E +

P E! ~ P Ai ! h P E/Ai ! ~

Teorema de Bayes:

Si A1 ,A2 ,...,Ak es una particin de +, es decir, A1 r A2 r ... r Ak ~ +D . Entonces para cualquier evento B + se tiene: , A J y Ai q Aj ~ J

P Ai /B! ~ P Ai q B!P B!

P Ai /B! ~ P B q Ai !P B q A1 ! b P B q A2 ! b ... b P B q Ak !

P Ai /B! ~ P B/Ai ! h P Ai !P B/A1 ! h P A1 ! b P B/A2 ! h P A2 ! b ... b P B/Ak ! h P Ak!

Ejemplos:

1) La probabilidad de que Alicia estudie para su examen final de Estadstica es 0,2 . Si estudia la probabilidad de que apruebe el examen es 0,8, en tanto que si no estudia la probabilidad es 0,5.a) Cul es la probabilidad que Alicia apruebe estadstica?.b) Dado que Alicia aprob su examen. Cul es la probabilidad de que haya estudiado?.

E ~ Alicia estudiaEc ~ Alicia no estudiaA ~ Alicia aprueba estadstica

P E! ~ P Ec ! ~ P A/E! ~ P A/Ec! ~

a) P A! ~ P A q E! b P A q Ec !P A! ~ P A/E! h P E! b P A/Ec! h P Ec!P A! ~ ! ! b ! !P A! ~

La probabilidad de que Alicia apruebe estadstica es de 0,56 .

b) P E/A! ~ P E q A!P A!

~ P A q E!P A!

~ P A/E! h P E!P A!

~ ! !

~

La probabilidad de que Alicia haya estudiado dado que aprob estadstica es de 0,29 .

2) Componentes complejas son ensambladas en una planta que usa dos lneas de ensamblado A y B. La lnea A usa equipos ms viejos que la lnea B de manera que es algo ms lenta y menos confiable. Suponga que en un da dado, la lnea A ha ensamblado 8 componentes de los cuales 2 son defectuosos y 6 son no defectuosos, mientras que la lnea B ha producido 1 componente defectuoso y 9 componentes no defectuosos. El encargado de ventas selecciona al azar una de estas 18 componentes para una demostracin y encuentra que es defectuosa. Cul es la probabilidad que esta componente haya sido ensamblada por la lnea A?.

A ~ lnea AB ~ lnea BD ~ artculo defectuoso

P A! ~ P B! ~

P D/A! ~

P D/B! ~

P A/D! ~ P A q D!P D!

~ P D q A!P D q A! b P D q B!

~ P D/A! h P A!P D/A! h P A! b P D/B! h P B!

h~

h b h

~

La probabilidad de que la componente defectuosa la haya producido la lnea A es de 0,71 .

3) De un grupo gande de habitantes de una ciudad que tiene igual nmero de personas en administracin, comercio, servicio de salud y servicio municipal se encontr que el 35 % de los administrativos, el 25 % de los comerciantes, el 20 % del servicio de salud y el 15 % del servicio municipal eran mujeres.a) Cul es la probabilidad que una mujer escogida al azar del grupo sea administrativa?b) Cul es la probabilidad que un individuo del grupo elegido al azar sea hombre?

A ~ administrativoC ~ servicio saludM ~ mujer

P A! ~ P B! ~ P C! ~ P D! ~

P M/A! ~ B ~ comercianteD ~ servicio municipalMc ~ hombre

P M/B! ~

P M/C! ~ P M/D! ~

a) P A/M! ~ P A q M!P M!

~ P M q A!P M q A! b P M q B! b P M q C! b P M q D!

~ P M/A! h P A!P M/A! h P A! b P M/B! h P B! b P M/C! h P C! b P M/D! h P D!

~ ! ! ! ! b ! ! b ! ! b ! !

~ La probabilidad de que la mujer sea administrativa es de 0,37 . b) P Mc ! ~ c P M!~ c ~

La probabilidad de que el individuo sea un hombre es de 0,7625 .

Ejercicios

1) La polica planea reforzar el respeto a los lmites de velocidad mediante la utilizacin de sistemas de radar en cuatro diferentes sitios dentro de la ciudad. Los sistemas de radar en cada sitio L1 , L2 , L3 y L4 se ponen a funcionar, respectivamente, el 40 %, 30 %, 20 % y 30 % del tiempo, y si una persona que conduce a gran velocidad rumbo a su trabajo tiene, respectivamente, las probabilidades de 0,2; 0,1 ; 0,5 y 0,2 de pasar por alguno de estos sitios y que le multen. Cul es la probabilidad de que le levanten una multa?.

2) Suponga que se distribuyen pelotas de colores en tres cajas idnticas de la siguiente manera

Caja 1Caja 2Caja 3

Roja

Blanca

Azul

Una caja se selecciona aleatoriamente, de ella se saca una pelota, tambin aleatoriamente, y se observa que es roja. Cul es la probabilidad de que la caja 3 sea la que se escogi?.

3) Tres mquinas A, B y C producen respectivamente 60 %, 30 % y 10 % del nmero total de artculos de una fbrica. Los porcentajes de desperfectos de produccin de estas mquinas son respectivamente 2 %, 3 % y 4 %. Seleccionando un artculo al azar result defectuoso. Hallar la probabilidad de que el artculo hubiera sido producido por la mquina C.

4) Una compaa necesita tomar la decisin de patrocinar en la TV uno de los siguientes programas juegos de futbol F!, una serie del oeste O! o un programa musical M!. Las probabilidades de que decidan por F, O o M son 0,40 ;0,35 y 0,25 respectivamente. Las probabilidades de que las gananciasaumenten sustancialmente si escogen F, O o M son 0,50 ;0,40 y 0,30 respectivamente. Si las ganancias aumetan sustancialmente, encontrar la probabilidad de que la compaa haya escogido la serie del oeste.

5) Existen tres teoras econmicas principales I, que la inflacin va a desaparecer pronto; D, que ocurrir la depresin, y R, que ocurrir la recesin. Las probabilidades de que I, D o R ocurran son 0,40 ;0,35 y 0,25 , respectivamente. Las probabilidades de que las acciones de la Compaa Goldmine tripliquen su valor si ocurre I, D o R son 0,90 ;0,60 y 0,20 respectivamente. Si las acciones triplican su valor, cul es la probabilidad de que la inflacin haya desaparecido?.

6) Tres mquinas A, B y C producen componentes mecnicos similares. A produce el 45 % del total de componentes, B el 30 % y C el 25 %. Para el programa de produccin usual, el 8 % de los componentes producidos por A no cumplen con las especificaciones establecidas, para B y C, las cifras correspondientes son 6 % y 3 % , respectivamente; un componente es extrado al azar de la produccin total y se encuentra defectuoso. Encontrar la probabilidad de que el componente seleccionado fuera producido por la mquina A.

Solucin

1) M ~ multa

P M! ~

2) R ~ roja B ~ blanca A ~ azul

C1 ~ caja 1 C2 ~ caja 2 C3 ~ caja 3

P C3 /R! ~

3) A ~ mquina A B ~ mquina B

C ~ mquina C D ~ artculo defectuoso

P C/D! ~

4) F ~ juego de ftbol O ~ serie del oeste

G ~ programa musical G ~ aumento de ganacias

P O/G! ~

5) I ~ inflacin va a desaparecer D ~ ocurrir depresin

C ~ ocurrir recesin A ~ acciones triplicadas

P I/A! ~

6) A ~ mquina A B ~ mquina B

C ~ mquina C D ~