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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
ESCOLA DE ENGENHARIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
ESTADOS LIMITES DE SERVIÇO EM ESTRUTURAS DE
CONCRETO ARMADO
AMÉRICO CAMPOS FILHO
2014
SUMÁRIO
1 – Determinação das tensões em seções de concreto armado nos estádios I e II ......................................................... 1
1.1 – Peças de concreto armado submetidas a solicitações de flexão ............................................................................ 1
1.2 – Determinação das tensões no concreto e nas armaduras no estádio Ia para um certo momento fletor ......... 3
1.3 – Determinação das tensões no concreto e nas armaduras no estádio II para um certo momento fletor ......... 4
1.4 – Exemplos ............................................................................................ ........................................................... 5
2 – Estados limites .................................................................................................................................................. 7
3 – Ações a considerar na verificação dos estados limites de serviço .................................................................... 8
3.1 – Valores de cálculo ......................................................................................................................................... 8
3.2 – Coeficientes de ponderação das ações nos estados limites de serviço .......................................................... 8
3.3 – Combinações de serviço ................................................................................................................................ 9
3.3.1 - Generalidades .............................................................................................................................................. 9
3.3.2 - Classificação ............................................................................................................................................... 9
3.3.3 – Combinações usuais de serviço ............................................................................................... ................... 9
4 – Deslocamentos limites ...................................................................................................................................... 10
5 - Controle da fissuração ............................................................................................................... 10
5.1 – Introdução .......................................................................................... ........................................................... 10
5.2 – Limites para a fissuração e proteção das armaduras à durabilidade .............................................................. 10
5.3 – Controle da fissuração quanto à aceitabilidade sensorial e utilização ........................................................... 13
6 – Momento de fissuração .................................................................................................................................... 14
7 – Estado limite de deformação excessiva ............................................................................................................ 14
7.1 – Avaliação aproximada da flecha em vigas .................................................................................................... 15
7.2 – Flecha imediata em vigas de concreto armado .............................................................................................. 16
7.3 – Cálculo da flecha diferida no tempo para vigas de concreto armado ............................................................ 16
8 – Estado limite de fissuração ............................................................................................................................... 17
9 – Exemplo de verificação do estado limite de deformações excessivas em uma viga ........................................ 18
10 – Exemplo de verificação do estado limite de abertura das fissuras em uma viga ............................................ 20
11 – Programa para a verificação dos estados limites de serviço em vigas de concreto armado .................................. 22
Referências bibliográficas ...................................................................................................................................... 22
Anexo – Aço destinado a armaduras para estruturas de concreto armado (NBR7480:2007) ................................. 23
Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS 1
1 – Determinação das tensões em seções de concreto armado nos estádios I e II
1.1 – Peças de concreto armado submetidas a solicitações de flexão
Figura – Viga de concreto armado
Ao realizar-se um ensaio de uma viga de concreto armado, submetendo-a a um
carregamento de zero até a ruptura, observam-se quatro fases de comportamento distinto,
conforme apresentado na Tabela 1.
Tabela 1 – Fases de comportamento distinto de uma peça submetida à flexão
Fases Deformações Tensões Características
Estádio Ia
- Concreto não fissurado;
- As tensões são proporcionais às deformações.
Estádio Ib
- Concreto não fissurado;
- As tensões não são proporcionais às deformações na
zona tracionada.
Estádio II
- Formam-se as fissuras;
- O concreto não resiste à tração;
- As tensões são proporcionais às deformações na zona
comprimida.
Estádio III
- As tensões não são proporcionais às deformações.
As seções permanecem planas até a ruptura.
Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS 2
Figura – Distribuição de deformações na seção
Seja uma seção de concreto armado, que está submetida à flexão simples normal.
Pode-se escrever que:
xd'dxyxhx
12ytc
Estas relações são válidas do estádio I ao estádio III.
Multiplicando-se, cada uma das parcelas, por
e
s
cs
sc
E
EE
EE
obtêm-se
)xd(
E
)'dx(
E
y
E
xh
E
x
E
e
1s
e
2syctccc
Se as tensões forem proporcionais às deformações:
)xd()'dx(yxhx e
1
e
2ytc
estádio Ia
)xd()'dx(x e
1
e
2c
estádio II
As
'A s
'd
d h
x
y
c
2
y
1
t
Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS 3
1.2 - Determinação das tensões no concreto e nas armaduras no estádio Ia para um certo
momento fletor
SEÇÃO TRANSVERSAL
DIAGRAMA
DE
DEFORMAÇÕES
DIAGRAMA DE
TENSÕES
NO CONCRETO
ESFORÇOS ATUANTES
X
ESFORÇOS RESISTENTES
Figura – Seção de concreto armado no estádio Ia
Condição de equilíbrio à translação:
012'
)( AAdyb ssyx
xh y
0)xd()1(A)'dx)(1(Adyby ese'sy
x
)xh(
O primeiro termo desta equação corresponde ao momento estático da seção de
concreto em relação à linha neutra. O segundo e o terceiro termo correspondem ao momento
estático das armaduras em relação à linha neutra, aumentado “e” vezes, ou o momento
estático de áreas fictícias e.As’ e e.As de concreto em relação à linha neutra. Assim, o
momento estático da seção homogeneizada de concreto em relação à linha neutra é igual a
zero. Esta condição é empregada para determinar a posição da linha neutra (valor de x).
Condição de equilíbrio à rotação em relação à linha neutra
MxdAdxAdyyb ssyx
xh y )()'( 12'
)(
como ktetancons)xd()'dx(y
I
e
1
e
2y
M)xd(A)'dx(A)1(dyybk2
s's
2
e
x
)xh(
2
yI
A primeira parcela, entre as chaves, é o momento de inércia da seção de concreto em
relação à linha neutra. A segunda parcela é o momento de inércia das armaduras em relação à
linha neutra, aumentado “e” vezes. A soma destas duas parcelas é o momento de inércia da
seção homogeneizada de concreto em relação à linha neutra. Assim,
I
Mk
Hx I
I
e, portanto,
x
y
c
2
y
1
t
As
'A s
'd
d hb y
y
dy
LN
x y
t
c c
M
t
2'A s
1As
Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS 4
x
I
M
Hx I
c
)( xhI
M
Hx I
t
)'dx(
I
MHx I
e2
)xd(I
MHx I
e1
1.3 - Determinação das tensões no concreto e nas armaduras no estádio II para um certo
momento fletor
SEÇÃO TRANSVERSAL
DIAGRAMA
DE
DEFORMAÇÕES
DIAGRAMA DE
TENSÕES
NO CONCRETO
ESFORÇOS ATUANTES
X
ESFORÇOS RESISTENTES
Figura – Seção de concreto armado no estádio II
Condição de equilíbrio à translação:
012'
0 AAdyb ssyx
y
0)xd(A)'dx)(1(Adyby ese'sy
x
0
O primeiro termo desta equação corresponde ao momento estático da seção
comprimida de concreto em relação à linha neutra. O segundo e o terceiro termo
correspondem ao momento estático das armaduras em relação à linha neutra, aumentado “e”
vezes. Assim, o momento estático da seção homogeneizada de concreto em relação à linha
neutra é igual a zero. Esta condição é empregada para determinar a posição da linha neutra
(valor de x).
Condição de equilíbrio à rotação em relação à linha neutra
MxdAdxAdyyb ssyx
y )()'( 12'
0
como ktetancons)xd()'dx(y
II
e
1
e
2y
M)xd(A)'dx(A)1(dyybk2
see
'
s
2x
0
2
yII
x
y
c
2
y
1
t
x y
c c
M
2'A s
1As
As
'A s
'd
d hb y
y
dy
LN
Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS 5
A primeira parcela, entre as chaves, é o momento de inércia da seção comprimida de
concreto em relação à linha neutra. A segunda parcela é o momento de inércia das armaduras
em relação à linha neutra, aumentado “e” vezes. A soma destas duas parcelas é o momento
de inércia da seção homogeneizada de concreto em relação à linha neutra.
Assim,
I
Mk
Hx II
II
e, portanto,
x
I
M
Hx II
c
)'dx(
I
MHx II
e2
)xd(I
MHx II
e1
1.4 - Exemplos
Exemplo 1:
Determinar a distribuição de tensões e deformações em uma seção retangular de
concreto armado, que se encontra no estádio Ia. A seção está submetida a um momento fletor
de 11 kN.m e apresenta dimensões b = 20 cm, h = 50 cm, d = 45 cm e d’ = 5 cm. A armadura
tracionada é formada por três barras de 16 mm e a comprimida por duas barras de 8 mm. O
concreto é o C20.
- áreas de armadura:
cm01,1503,02'A82'A
cm03,6011,23A163A2
ss
2
ss
- módulo de elasticidade secante do concreto:
87,97,128.2
000.21
E
E
MPa287.2120560085,0f560085,0EE
c
se
2/12/1
ckcsc
- posição da linha neutra:
cm84,25x
67,451.27x44,062.1
0x4503,65x01,1187,92
x5020
2
x2022
Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS 6
- momento de inércia da seção homogeneizada:
cm565.23284,254503,6584,2501,187,8
3
84,255020
3
84,2520I H
x422
33
I
- tensões e deformações:
‰0426,0;cm/kN894,084,254587,9107299,4
‰0463,0;cm/kN973,0584,2587,9107299,4
‰0536,0;cm/kN114,084,2550107299,4
‰0573,0;cm/kN122,084,25107299,4
107299,4565.232
100.1k
1
23
1
2
23
2
t
23
t
c
23
c
3
I
Exemplo 2:
Determinar a distribuição de tensões e deformações em uma seção retangular de
concreto armado, que se encontra no estádio II. A seção está submetida a um momento fletor
de 40 kN.m e apresenta dimensões b = 20 cm, h = 50 cm, d = 45 cm e d’ = 5 cm. A armadura
tracionada é formada por quatro barras de 20 mm e a comprimida por duas barras de 10 mm.
O concreto é o C20.
- áreas de armadura:
cm57,1785,02'A102'A
cm57,12142,34A204A2
ss
2
ss
- módulo de elasticidade secante do concreto:
87,97,128.2
000.21
E
E
MPa287.2120560085,0f560085,0EE
c
se
2/12/1
ckcsc
- posição da linha neutra:
cm86,17
cm66,31x
06,652.5x99,137x10
0x4557,1287,95x57,1187,92
x20
2
2
- momento de inércia da seção homogeneizada:
cm667.13186,174557,1287,9586,1757,187,83
86,1720I H
x422
3
II
Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS 7
- tensões e deformações:
‰388,0;cm/kN14,886,174587,9100380,3
‰184,0;cm/kN86,3586,1787,9100380,3
‰255,0;cm/kN543,086,17100380,3
100380,3667.131
000.4k
1
22
1
2
22
2
c
22
c
2
II
2 - Estados limites
Para se projetar uma estrutura com um adequado grau de segurança é necessário que
se verifique a não ocorrência de uma série de estados limites.
Estes estados limites podem ser classificados em estados limites últimos (ELU) e estados
limites de serviço (ELS). Os estados limite últimos correspondem à máxima capacidade portante
da estrutura. O estados limites de serviço são aqueles relacionados à durabilidade das estruturas,
aparência, conforto do usuário e a boa utilização funcional da mesma, seja em relação aos
usuários, seja às máquinas e aos equipamentos utilizados.
Nas estruturas de concreto armado, devem ser verificados os seguintes estados limites
últimos:
a) estado limite último da perda do equilíbrio da estrutura, admitida como corpo rígido;
b) estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura, no seu todo ou
em parte, devido às solicitações normais e tangenciais;
c) estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura, no seu todo ou
em parte, considerando os efeitos de segunda ordem;
d) estado limite último provocado por solicitações dinâmicas.
e) estado limite último de colapso progressivo;
f) estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura, no seu todo ou
em parte, considerando exposição ao fogo, conforme a ABNT NBR 15200;
g) estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura, considerando
ações sísmicas, de acordo com a ABNT NBR 15421.
Os estados limites de serviço, que devem ser verificados nas estruturas de concreto
armado, são:
a) estado limite de abertura das fissuras: estado em que as fissuras se apresentam com
aberturas iguais aos máximos especificados;
b) estado limite de deformações excessivas: estado em que as deformações atingem os
limites estabelecidos para a utilização normal da construção;
c) estado limite de vibrações excessivas: estado em que as vibrações atingem os limites
estabelecidos para a utilização normal da construção.
Neste trabalho, são discutidos os estados limites de serviço de abertura das fissuras (ELS-
W) e de deformações excessivas (ELS-DEF).
Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS 8
3 – Ações a considerar na verificação dos estados limites de serviço
3.1 – Valores de cálculo
Os valores de cálculo Fd das ações são obtidos a partir dos valores representativos,
multiplicando-os pelos respectivos coeficientes de ponderação f. Este coeficiente de
ponderação é determinado pela expressão:
f = f1 f2 f3
onde:
f1 considera a variabilidade das ações;
f2 considera a simultaneidade de atuação das ações;
f3 considera os desvios gerados nas construções, não explicitamente considerados, e as
aproximações feitas em projeto do ponto de vista das solicitações.
3.2 - Coeficientes de ponderação das ações nos estados limites de serviço
Em geral, o coeficiente de ponderação das ações, para estados limites de serviço, é
dado pela expressão:
f = f2
onde f2 tem valor variável conforme a verificação que se deseja fazer (Tabela 2):
f2 = 1 para combinações raras;
f2 = 1 para combinações frequentes;
f2 = 2 para combinações quase permanentes.
Tabela 2 - Valores do coeficiente f2 (NBR6118:2014)
Ações f2
o 11)
2
Cargas
acidentais de
edifícios
Locais em que não há predominância de
pesos de equipamentos que permanecem
fixos por longos períodos de tempo, nem de
elevadas concentrações de pessoas 2)
0,5 0,4 0,3
Locais em que há predominância de pesos
de equipamentos que permanecem fixos por
longos períodos de tempo, ou de elevada
concentração de pessoas 3)
0,7 0,6 0,4
Biblioteca, arquivos, oficinas e garagens 0,8 0,7 0,6
Vento Pressão dinâmica do vento nas estruturas em
geral 0,6 0,3 0
Temperatura Variações uniformes de temperatura em
relação à média anual local 0,6 0,5 0,3
1) Para os valores de 1 relativos às pontes e principalmente aos problemas de fadiga, ver seção 23 (NBR6118:2014).
2) Edifícios residenciais.
3) Edifícios comerciais, de escritórios, estações e edifícios públicos.
Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS 9
3.3 - Combinações de serviço
3.3.1 - Generalidades
Um carregamento é definido pela combinação das ações que têm probabilidades não
desprezáveis de atuarem simultaneamente sobre a estrutura, durante um período
preestabelecido. A combinação das ações deve ser feita de forma que possam ser
determinados os efeitos mais desfavoráveis para a estrutura e a verificação da segurança em
relação aos estados limites últimos e aos estados limites de serviço deve ser realizada em
função de combinações últimas e combinações de serviço, respectivamente.
3.3.2 - Classificação
As combinações de serviço são classificadas de acordo com sua permanência na
estrutura e devem ser verificadas como estabelecido a seguir:
a) quase-permanentes: podem atuar durante grande parte do período de vida da estrutura e
sua consideração é necessária na verificação do estado limite de deformações excessivas.
b) frequentes: se repetem muitas vezes durante o período de vida da estrutura e sua
consideração é necessária na verificação dos estados limites de formação de fissuras, de
abertura de fissuras e de vibrações excessivas. Devem também ser consideradas para
verificações de estados limites de deformações excessivas decorrentes de vento ou
temperatura que podem comprometer as vedações.
c) raras: ocorrem algumas vezes durante o período de vida da estrutura e sua consideração é
necessária na verificação do estado limite de formação de fissuras.
3.3.3 - Combinações usuais de serviço
As combinações usuais de serviço estão dispostas na Tabela 3.
Tabela 3 – Combinações de serviço (NBR6118:2014)
Combinações de
serviço (ELS)
Descrição Cálculo das solicitações
Combinações
quase-
permanentes de
serviço (CQP)
Nas combinações quase-permanentes de
serviço, todas as ações variáveis são
consideradas com seus valores quase-
permanentes 2 Fqk
Fd, ser = Fgi,k + 2j Fqj,k
Combinações
frequentes de
serviço (CF)
Nas combinações frequentes de serviço, a
ação variável principal Fq1 é tomada com
seu valor frequente 1 Fq1k e todas as
demais ações variáveis são tomadas com
seus valores quase-permanentes 2 Fqk
Fd,ser = Fgik + 1 Fq1k + 2j Fqjk
Combinações
raras de serviço
(CR)
Nas combinações raras de serviço, a ação
variável principal Fq1 é tomada com seu
valor característico Fq1k e todas as demais
ações são tomadas com seus valores
frequentes 1 Fqk
Fd,ser = Fgik + Fq1k + 1j Fqjk
Fd,ser é o valor de cálculo das ações para combinações de serviço
Fq1k é o valor característico das ações variáveis principais diretas
1 é o fator de redução de combinação frequente para ELS
2 é o fator de redução de combinação quase-permanente para ELS
Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS 10
4– Deslocamentos limites
Deslocamentos limites são valores práticos utilizados para verificação em serviço do
estado limite de deformações excessivas da estrutura. Segundo a NBR6118:2014, os
deslocamentos limites são classificados nos quatro grupos básicos a seguir relacionados e
devem obedecer aos limites estabelecidos na Tabela 4
a) aceitabilidade sensorial: caracterizado por vibrações indesejáveis ou efeito visual
desagradável;
b) efeitos específicos: os deslocamentos podem impedir a utilização adequada da
construção;
c) efeitos em elementos não estruturais: deslocamentos estruturais podem ocasionar o mau
funcionamento de elementos que, apesar que não fazerem parte da estrutura, estão a ela
ligados;
d) efeitos em elementos estruturais: os deslocamentos podem afetar o comportamento do
elemento estrutural, provocando afastamento em relação às hipóteses de cálculo adotadas.
Se os deslocamentos forem relevantes para o elemento considerado, seus efeitos sobre as
tensões ou sobre a estabilidade da estrutura devem ser considerados, incorporando-as ao
modelo estrutural adotado.
5- Controle da fissuração e proteção das armaduras
5.1 - Introdução
A fissuração em elementos estruturais de concreto armado é inevitável, devido à grande
variabilidade e a baixa resistência do concreto à tração. Mesmo sob as ações de serviço
(utilização), valores críticos de tensões de tração são atingidos. Visando obter bom desempenho
relacionado à proteção das armaduras, quanto à corrosão e à aceitabilidade sensorial dos
usuários, deve-se controlar a abertura dessas fissuras.
De maneira geral, a presença de fissuras com aberturas que respeitem os limites
fixados pela NBR6118:2014, em estruturas bem projetadas, construídas e submetidas às
cargas previstas na normalização, não representarão perda de durabilidade ou perda de
segurança quanto aos estados limites últimos.
As fissuras podem ainda ocorrer por outras causas, como retração plástica térmica ou
devido a reações químicas internas do concreto nas primeiras idades, devendo ser evitadas ou
limitadas por cuidados tecnológicos, especialmente na definição do traço e na cura do
concreto.
5.2 - Limites para fissuração e proteção das armaduras quanto à durabilidade
A abertura máxima característica wk das fissuras, desde que não exceda valores da
ordem de 0,2 mm a 0,4 mm, sob ação das combinações frequentes, não tem importância
significativa na corrosão das armaduras passivas.
Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS 11
Tabela 4 - Limites para deslocamentos (NBR6118:2014)
Tipo de
deslocamento
Razão da limitação Exemplo Deslocamento a
considerar
Deslocamento
limite
Aceitabilidade
sensorial
Visual
Deslocamentos
visíveis em
elementos
estruturais
Total
/250
Outro Vibrações sentidas
no piso
Devidos a cargas
acidentais /350
Estrutura em
serviço
Superfícies que
devem drenar água
Coberturas e
varandas
Total /2501)
Pavimentos que
devem permanecer
planos
Ginásios e pistas de
boliche
Total /350 + contra-
flecha2)
Ocorrido após a
construção do piso /600
Elementos que
suportam
equipamentos
sensíveis
Laboratórios Ocorrido após
nivelamento do
equipamento
De acordo com
recomendação
do fabricante do
equipamento
Efeitos em
elementos não
estruturais
Paredes
Alvenaria, caixilhos
e revestimentos
Após a construção
da parede /500
3) ou
10 mm ou
=0,0017 rad4)
Divisórias leves e
caixilhos
telescópicos
Ocorrido após a
instalação da
divisória
/2503)
ou
25 mm
Movimento lateral
de edifícios
Provocado pela ação
do vento para
combinação
frequente (1=0,20)
H/2500 ou
Hi/12505)
entre
pavimentos6)
Movimentos
térmicos verticais
Provocado por
diferença de
temperatura
/4007)
ou
15 mm
Forros
Movimentos
térmicos horizontais
Provocado por
diferença de
temperatura
Hi/500
Revestimentos
colados
Ocorrido após
construção do forro /350
Revestimentos
pendurados ou com
juntas
Deslocamento
ocorrido após
construção do forro
/175
Ponte rolante
Desalinhamento de
trilhos
Deslocamento
provocado pelas
ações decorrentes da
frenação
H/400
Efeitos em
elementos
estruturais
Afastamento em
relação às hipóteses
de cálculo adotadas
Se os deslocamentos forem relevantes para o elemento
considerado, seus efeitos sobre as tensões ou sobre a
estabilidade da estrutura devem ser considerados,
incorporando-as ao modelo estrutural adotado.
Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS 12
Tabela 4 - (NBR6118:2014) - continuação
Observações:
a) Todos os valores limites de deslocamentos supõem elementos de vão suportados em
ambas as extremidades por apoios que não se movem. Quando se tratar de balanços, o vão
equivalente a ser considerado deve ser o dobro do comprimento do balanço.
b) Para o caso de elementos de superfície, os limites prescritos consideram que o valor é o
menor vão, exceto em casos de verificação de paredes e divisórias, onde interessa a
direção na qual a parede ou divisória se desenvolve, limitando-se esse valor a duas vezes o
vão menor.
c) O deslocamento total deve ser obtido a partir da combinação das ações características
ponderadas pelos coeficientes de acompanhamento definidos na NBR6118:2014.
d) Deslocamentos excessivos podem ser parcialmente compensados por contraflechas.
NOTAS:
1) As superfícies devem ser suficientemente inclinadas ou o deslocamento previsto
compensado por contraflechas, de modo a não se ter acúmulo de água.
2)
Os deslocamentos podem ser parcialmente compensados pela especificação de
contraflechas. Entretanto, a atuação isolada da contraflecha não pode ocasionar um desvio
do plano maior que /350.
3)
O vão deve ser tomado na direção na qual a parede ou a divisória se desenvolve.
4)
Rotação nos elementos que suportam paredes.
5)
H é a altura total do edifício e Hi o desnível entre dois pavimentos vizinhos.
6)
Esse limite aplica-se ao deslocamento lateral entre dois pavimentos consecutivos devido à
atuação de ações horizontais. Não devem ser incluídos os deslocamentos devidos a
deformações axiais nos pilares. O limite também se aplica para o deslocamento vertical
relativo das extremidades de lintéis conectados a duas paredes de contraventamento,
quando Hi representa o comprimento do lintel.
7)
O valor refere-se à distância entre o pilar externo e o primeiro pilar interno.
Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS 13
Na Tabela 5, são dados valores limites da abertura limite característica wk das fissuras,
assim como outras providências visando garantir proteção adequada das armaduras quanto à
corrosão. Entretanto, devido ao estágio atual dos conhecimentos e da alta variabilidade das
grandezas envolvidas, esses limites devem ser vistos apenas como critérios para um projeto
adequado de estruturas.
Embora as estimativas de abertura de fissuras devam respeitar esses limites, não se deve
esperar que as aberturas de fissuras reais correspondam estritamente aos valores estimados, isto
é, fissuras reais podem eventualmente ultrapassar esses limites.
Tabela 5 – Exigências de durabilidade relacionadas à fissuração e à proteção da
armadura, em função das classes de agressividade ambiental (NBR6118:2014)
Tipo de concreto
estrutural
Classe de agressividade
ambiental (CAA) e tipo de
proteção
Exigências relativas à
fissuração
Combinação de ações
em serviço a utilizar
Concreto simples CAA I a CAA IV Não há --
Concreto armado
CAA I ELS-W wk 0,4 mm
Combinação frequente CAA II e CAA III ELS-W wk 0,3 mm
CAA IV ELS-W wk 0,2 mm
Concreto protendido
nível 1
(protensão parcial)
Pré tração com CAA I
ou
Pós tração com CAA I e II
ELS-W wk 0,2 mm
Combinação frequente
Concreto protendido
nível 2
(protensão limitada)
Pré tração com CAA II
ou
Pós tração com CAA III e IV
Verificar as duas condições abaixo
ELS-F Combinação frequente
ELS-D* Combinação quase
permanente
Concreto protendido
nível 3
(protensão completa)
Pré tração com CAA III e IV
Verificar as duas condições abaixo
ELS-F Combinação rara
ELS-D* Combinação frequente
Para as classes de agressividade ambiental CAA-III e IV exige-se que as cordoalhas não aderentes tenham
proteção especial na região de suas ancoragens.
* A critério do projetista, o ELS-D pode ser substituído pelo ELS-DP com ap = 50 mm.
5.3 - Controle da fissuração quanto à aceitabilidade sensorial e à utilização
No caso das fissuras afetarem a funcionalidade da estrutura, como, por exemplo, no
caso da estanqueidade de reservatórios, devem ser adotados limites menores para as aberturas
das fissuras. Para controles mais efetivos da fissuração nestas estruturas é conveniente a
utilização da protensão.
Por controle de fissuração quanto à aceitabilidade sensorial, entende-se a situação em
que as fissuras passam a causar desconforto psicológico aos usuários, embora não
representem perda de segurança da estrutura. Limites mais severos de aberturas de fissuras
podem ser estabelecidos com o contratante.
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6 – Momento de fissuração
Nos estados limites de serviço, as estruturas trabalham parcialmente no Estádio I e
parcialmente no Estádio II. A separação entre essas duas situações é definida pelo momento de
fissuração. Esse momento pode ser calculado pela seguinte expressão aproximada:
y
IfαM
t
cctr
sendo = 1,2 para seções T ou duplo T, = 1,3 para seções I ou T invertido e = 1,5 para
seções retangulares;
onde:
é o fator que correlaciona aproximadamente a resistência à tração na flexão com a
resistência à tração direta;
yt é a distância do centro de gravidade à fibra mais tracionada;
Ic é o momento de inércia da seção bruta de concreto;
fct é a resistência à tração direta do concreto, conforme o item 8.2.5 da NBR6118:2014, com o
quantil apropriado a cada verificação particular. Para a determinação do momento de
fissuração deve ser usado o fctk,inf no estado limite de formação de fissura e o fctm no estado
limite de deformação excessiva.
Conforme o item 8.2.5 da NBR6118:2014, a resistência à tração direta pode ser
avaliada por meio das seguintes equações:
fctk,inf = 0,7 fctm
fctk,sup = 1,3 fctm
- para concretos de classes até C50:
fctm = 0,3 fck2/3
- para concretos de classes de C50 até C90:
fctm = 2,12 ln (1+0,11 fck)
onde fctm e fck são expressos em megapascais.
7 – Estado limite de deformação excessiva
A verificação dos valores limites, estabelecidos na Tabela 4, para a deformação da
estrutura, deve ser realizada através de modelos que considerem a rigidez efetiva das seções do
elemento estrutural. Assim, estas verificações devem levar em consideração a presença da
armadura, a existência de fissuras no concreto ao longo dessa armadura e as deformações
diferidas no tempo.
A deformação real da estrutura depende também do processo construtivo, assim como
das propriedades dos materiais (principalmente do módulo de elasticidade e da resistência à
tração) no momento de sua efetiva solicitação. Em face da grande variabilidade dos
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parâmetros citados, existe uma grande variabilidade das deformações reais. Não se pode
esperar, portanto, grande precisão nas previsões de deslocamentos dadas pelos processos
analíticos a seguir prescritos.
7.1 - Avaliação aproximada da flecha em vigas
O modelo de comportamento da estrutura pode admitir o concreto e o aço como
materiais de comportamento elástico e linear, de modo que as seções ao longo do elemento
estrutural podem ter as deformações específicas determinadas no Estádio I, desde que os
esforços não superem aqueles que dão início à fissuração, e no Estádio II, em caso contrário.
Deve ser utilizado no cálculo o valor do módulo de elasticidade secante Ecs, calculado
através da expressão:
Ecs = i . Eci
sendo:
0,180
f2,08,0 ck
i
e onde, Eci é o módulo de deformação tangente inicial, que pode ser calculado pelas expressões:
Eci = E . 5600 fck1/2
, para fck de 20 MPa a 50 MPa;
Eci = 21,5.103 . E (fck/10 + 1,25)
1/3, para fck de 55 MPa a 90 MPa.
sendo:
E = 1,2 para basalto e diabásio
E = 1,0 para granito e gnaisse
E = 0,9 para calcário
E = 0,7 para arenito
onde, Eci e fck são dados em MPa.
A Tabela 6 apresenta valores estimados arredondados que podem ser usados no
projeto estrutural.
Tabela 6 – Valores estimados do módulo de elasticidade em função da resistência
característica à compressão do concreto (considerando o uso de granito como agregado
graúdo)
Classe de resistência C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 C60 C70 C80 C90
Eci (GPa) 25 28 31 33 35 38 40 42 43 45 47
Ecs (GPa) 21 24 27 29 32 34 37 40 42 45 47
i 0,85 0,86 0,88 0,89 0,90 0,91 0,93 0,95 0,98 1,00 1,00
É obrigatória a consideração do efeito da fluência na determinação da flecha das vigas.
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7.2 - Flecha imediata em vigas de concreto armado
Para uma avaliação aproximada da flecha imediata em vigas, pode-se utilizar a
expressão de rigidez equivalente dada a seguir:
ccsII
3
a
rc
3
a
rcseq I.E.I
M
M1I
MME(EI)
onde :
Ic é o momento de inércia da seção bruta de concreto;
III é o momento de inércia da seção fissurada de concreto no Estádio II;
Ma é o momento fletor na seção crítica do vão considerado, momento máximo no vão para
vigas biapoiadas ou contínuas e momento no apoio para balanços, para a combinação de
ações considerada nessa avaliação;
Mr é o momento de fissuração do elemento estrutural, cujo valor deve ser reduzido à metade
no caso de utilização de barras lisas;
Ecs é o módulo de elasticidade secante do concreto.
7.3 - Cálculo da flecha diferida no tempo para vigas de concreto armado
A flecha adicional diferida, decorrente das cargas de longa duração em função da
fluência, pode ser calculada de maneira aproximada pela multiplicação da flecha imediata
pelo fator f dado pela expressão:
sendo:
bd
A'ρ'
s e )ξ(tξ(t)Δξ 0
O coeficiente é função do tempo, que deve ser calculado pelas expressões seguintes:
0,32t)t.(0,9960,68ξ(t) para t 70 meses
(t) = 2 para t > 70 meses
onde:
t é o tempo, em meses, quando se deseja o valor da flecha diferida;
t0 é a idade, em meses, relativa à data de aplicação da carga de longa duração.
No caso de parcelas da carga de longa duração serem aplicadas em idades diferentes,
pode-se tomar para t0 o valor ponderado a seguir:
i
i0i0
ΣP
tΣPt
onde:
Pi são as parcelas de carga;
t0i é a idade em que se aplicou cada parcela i, em meses.
ρ501
Δξαf
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Alternativamente, o valor de pode ser tirado da Tabela 7.
Tabela 7 – Valores do coeficiente em função do tempo (NBR6118:2014)
Tempo (t)
meses
0 0,5 1 2 3 4 5 10 20 40 70
Coeficiente
(t)
0 0,54 0,68 0,84 0,95 1,04 1,12 1,36 1,64 1,89 2
O valor da flecha total deve ser obtido multiplicando a flecha imediata por (1+f).
8 - Estado limite de fissuração
Este item define os critérios para a verificação dos valores limites estabelecidos para a
abertura de fissuras, nos elementos estruturais lineares, analisados isoladamente e submetidos
à combinação de ações especificadas.
O valor da abertura das fissuras pode sofrer a influência de restrições às variações
volumétricas da estrutura difíceis de serem consideradas nessa avaliação de forma
suficientemente precisa. Além disso, essa abertura sofre também a influência das condições
de execução da estrutura.
Por essas razões, os critérios, apresentados a seguir, devem ser encarados como
avaliações aceitáveis do comportamento geral do elemento, mas não garantem avaliação
precisa da abertura de uma fissura específica.
Para cada elemento ou grupo de elementos das armaduras passiva e ativa aderente
(excluindo-se os cabos protendidos que estejam dentro de bainhas), que controlam a
fissuração do elemento estrutural, deve ser considerada uma área Acr do concreto de
envolvimento, constituída por um retângulo cujos lados não distam mais de 7,5 do eixo da
barra de armadura.
Figura - Concreto de envolvimento da armadura
É conveniente que toda a armadura de pele i da viga, na sua zona tracionada, limite a
abertura de fissuras na região Acri correspondente.
O valor da abertura característica de fissuras, wk, determinado para cada parte da
região de envolvimento, é o menor entre os obtidos pelas expressões que seguem:
ctm
si
si
si
i
ik
f
3σ
E
σ
12,5ηw
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45
ρ
4
E
σ
12,5ηw
risi
si
i
ik
onde:
si, i, Esi, ri são definidos para cada área de envolvimento em exame;
Acri é a área da região de envolvimento protegida pela barra i;
Esi é o módulo de elasticidade do aço da barra i considerada;
i é o diâmetro da barra que protege a região de envolvimento considerada;
ri é a taxa de armadura passiva ou ativa aderente (que não esteja dentro de bainha) em relação
à área da região de envolvimento (Acri);
si é a tensão de tração no centro de gravidade da armadura considerada, calculada no Estádio
II. O cálculo no Estádio II (que admite comportamento linear dos materiais e despreza a
resistência à tração do concreto) pode ser feito considerando a relação e entre os módulos
de elasticidade do aço e do concreto igual a 15.
i é o coeficiente de conformação superficial da armadura considerada, devendo ser adotados
os valores de 1 da tabela abaixo para as armaduras passivas.
Tabela 7 – Coeficiente de conformação superficial
Tipo de barra Lisa (CA-25) Entalhada (CA-60) Alta aderência (CA-50)
1,0 1,4 2,25
9 - Exemplo de verificação do estado limite de deformações excessivas em uma viga
Seja uma viga simplesmente apoiada com vão de 5 m, submetida a uma carga
uniformemente distribuída p=25 kN/m. Estima-se que 60% desta carga é de natureza permanente
e 40%, variável. A seção transversal da viga é retangular com bw=25 cm e h=45 cm. A armadura
longitudinal inferior é composta por 7 barras de 12,5 mm (5 na primeira camada e 2 na segunda)
e a superior por 2 barra de 6,3 mm. A armadura transversal é composta por estribos de 6,3 mm
de diâmetro. O concreto é o C20 (agregado granito) e o aço é CA50. O cobrimento da armadura
é de 2,5 cm. A verificação deve ser realizada para a situação de aceitabilidade sensorial
(deslocamentos visíveis em elementos estruturais). Considerar que a carga seja aplicada 2 meses
após a concretagem.
Solução:
áreas de armadura:
tracionada: 7 barras de 12,5 mm --> 7x1,227 = 8,59 cm2
comprimida: 2 barras de 6,3 mm --> 2x0,312 = 0,624 cm2
valores de d e d’:
d= 45–[5x1,227(2,5+0,63+1,25/2)+2x1,227(2,5+0,63+1,25+2+1,25/2)]/8,59 = 40,32 cm
d’= 2,5+0,63+0,63/2 = 3,445 cm
carregamento:
carga permanente: g = 0,60 x 25 kN/m = 15 kN/m
carga variável: q = 0,40 x 25 kN/m = 10 kN/m
total: p = 25 kN/m
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carga de serviço (combinação quase-permanente):
pd,serv = 15 + 0,3 x 10 = 18,0 kN/m
momento de serviço:
Md,serv = 18,0 x 52 / 8 = 56,25 kN.m
valor médio da resistência à tração do concreto:
fctm = 0,3 fck2/3
= 0,3 (20)2/3
= 2,21 MPa
momento de fissuração:
Mr = 0,25 x 0,221 x 25 x 452 = 2797 kN.cm = 27,97 kN.m
como Md,serv>Mr, a seção mais solicitada da viga encontra-se no estádio II e a viga está fissurada.
módulo de deformação longitudinal secante do concreto:
0,185,080
022,08,0
80
f2,08,0 ck
i
Ecs = i . E . 5600 fck1/2
= 0,85 x 1 x 5600 (20)1/2
= 21.287 MPa
relação entre os módulos de deformação do aço e do concreto:
e = 210.000 / 21.287 = 9,87
determinação da posição da linha neutra (estádio II):
25 x2 / 2 + (9,87-1) [0,624(x-3,445)] – 9,87.8,59(40,32-x) = 0
ou
12,5 x2 + 90,32 x – 3437,53 = 0
donde
x = 13,36 cm ou x = -20,58 cm (absurdo)
momento de inércia da seção bruta de concreto (estádio I):
Ic = 25 x 453 / 12 = 189.844 cm
4
momento de inércia da seção homogeneizada (estádio II):
III = 25x13,363/3 + 8,87x0,624 (13,36-3,445)
2 + 9,87 x 8,59 (40,32-13,36)
2 = 82.040 cm
4
momento de inércia equivalente:
Ieq = (27,97/56,25)3 x 189844 + [1 – (27,97/56,25)
3] x 82040 = 95.294 cm
4
flecha de curta duração:
f(t=0) = 5/384 pd,serv . 4 / (Ecs Ieq)
= 5/384 0,180 kN/cm (500cm)4 / (2128,7 kN/cm
2 x 95294 cm
4) = 0,722 cm
fatores para determinação da flecha de longa duração:
’ = 0,624/ (25 x 40,32) = 0,0619%
= 2 – 0,84 = 1,16
f = 1,16 / (1 + 50 x 0,000619) = 1,125
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flecha de longa duração:
f(t= ) = (1+1,125) x 0,722 = 1,534 cm
flecha máxima admissível: /250 vão teórico:
fadm = 500/250 = 2,0 cm
Como a flecha da viga é inferior à flecha admissível, a rigidez da viga é adequada.
10 – Exemplo de verificação do estado limite de abertura das fissuras em uma viga
Seja uma viga simplesmente apoiada com vão de 5 m, submetida a uma carga
uniformemente distribuída p=25 kN/m. Estima-se que 60% desta carga é de natureza permanente
e 40%, variável. A seção transversal da viga é retangular com bw=25 cm e h=45 cm. A armadura
longitudinal inferior é composta por 7 barras de 12,5 mm (5 na primeira camada e 2 na segunda)
e a superior por 2 barra de 6,3 mm. A armadura transversal é composta por estribos de 6,3 mm
de diâmetro. O concreto é C20 e o aço é CA50 (barras de alta aderência). O cobrimento da
armadura de 2,5 cm. A situação de exposição da viga corresponde à classe de agressividade
ambiental I (wk 0,4 mm).
Solução:
áreas de armadura:
tracionada: 7 barras de 12,5 mm --> 7x1,227 = 8,59 cm2
comprimida: 2 barras de 6,3 mm --> 2x0,312 = 0,624 cm2
valores de d e d’:
d= 45–[5x1,227(2,5+0,63+1,25/2)+2x1,227(2,5+0,63+1,25+2+1,25/2)]/8,59 = 40,32 cm
d’= 2,5+0,63+0,63/2 = 3,445 cm
carregamento:
carga permanente: g = 0,60 x 25 kN/m = 15 kN/m
carga variável: q = 0,40 x 25 kN/m = 10 kN/m
total: p = 25 kN/m
carga de serviço (combinação frequente):
pd,ser = 15 + 0,4 x 10 = 19,0 kN/m
momento de serviço:
Md,ser = 19,0 x 52 / 8 = 59,38 kN.m
valor característico da resistência à tração do concreto:
fctm = 0,3 fck2/3
= 0,3 (20)2/3
= 2,21 MPa
fctk = 0,7 fctm =0,7 x 2,21 = 1,55 MPa
momento de fissuração:
Mr = 0,25 x 0,155 x 25 x 452 = 1962 kN.cm = 19,62 kN.m
como Md,ser>Mr, a seção mais solicitada da viga encontra-se no estádio II e a viga está fissurada.
Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS 21
relação entre os módulos de deformação do aço e do concreto:
e = 15
determinação da posição da linha neutra (estádio II):
25 x2 / 2 + (15-1) [0,624(x-3,445)] - 15.8,59(40,32-x) = 0
ou
12,5 x2 + 137,59 x – 5225,3 = 0
donde
x = 15,67 cm ou x = -26,68 cm (absurdo)
momento de inércia da seção homogeneizada (estádio II):
III = 25 x 15,673/3 + 14 x 0,624(15,67–3,445)
2+ 15 x 8,59 (40,32-15,67)
2 = 111.662 cm
4
tensão na armadura longitudinal tracionada:
s = [15 x 5938/111662] (40,32-15,67) = 19,66 kN/cm2
área de concreto junto à armadura tracionada (Acr):
vai ser uma área correspondente a uma altura de sete diâmetros acima das barras da segunda
camada
Acr = 25 x (2,5+0,63+1,25+2+1,25+7x1,25) = 409,50 cm2
taxa de armadura:
r = 8,59 / 409,50 = 2,098%
coeficiente de conformação superficial das barras de armadura:
i = 2,25
verificação da fissuração:
OKmm4,0<mm098,0=45+0982,
4x100
21000
66,19
25,2x5,21
12,5=45+
4
E5,21 rs
s
i
OKmm4,0<mm111,0=2210,
66,193x
21000
66,19
52,2x5,21
12,5=
f
3
E5,21 ctm
s
s
s
i
Atender uma das duas expressões já seria suficiente para se verificar que a situação está aquém
do estado limite de fissuração inaceitável.
Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS 22
11 – Programa para a verificação dos estados limites de serviço em vigas de concreto
armado
Referências bibliográficas
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto de estruturas de
concreto – Procedimento: NBR6118. Rio de Janeiro, 2014.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Cargas para o cálculo de
estruturas de edificações: NBR6120. Rio de Janeiro, 1980.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Ações e segurança nas
estruturas - Procedimento: NBR8681. Rio de Janeiro, 2003.
Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS 23
ANEXO – AÇO DESTINADO A ARMADURAS PARA ESTRUTURAS DE
CONCRETO ARMADO (NBR7480:2007)
Tabela 1 – Características das barras
Diâmetro
(mm)
Área
(cm2)
6,3 0,312
8,0 0,503
10,0 0,785
12,5 1,227
16,0 2,011
20,0 3,142
22,0 3,801
25,0 4,909
32,0 8,042
40,0 12,566
Tabela 2 – Características dos fios
Diâmetro
(mm)
Área
(cm2)
2,4 0,045
3,4 0,091
3,8 0,113
4,2 0,139
4,6 0,166
5,0 0,196
5,5 0,238
6,0 0,283
6,4 0,322
7,0 0,385
8,0 0,503
9,5 0,709
10,0 0,785