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ESTALMAT-Andalucía Actividades 16/17

Sesión: 18 Fecha: 25/3/2017 Programación lineal Segundo curso

Concha García, José María Chacón - 1 –

La PROGRAMACIÓN LINEAL trata de resolver situaciones parecidas a esta:

La Excursión

Una escuela quiere llevar de excursión a 420 personas entre alumnos y profesores. La empresa de transportes tiene 8 autobuses de 40 plazas y 12 de 50 plazas, pero sólo dispone de 11 conductores. El alquiler del autobús pequeño vale 50 euros y el del grande 65 euros. ¿Cuántos autobuses de cada clase hay que alquilar para que la excursión resulte lo más económica posible para la escuela? ¿Cuál será la solución más rentable para la empresa de transportes?

Es corriente situar el desarrollo de la programación lineal entre los avances científicos más importantes de la mitad del siglo XX, y debemos estar de acuerdo con esta afirmación si tenemos en cuent que su impacto desde 1950 ha sido extraordinario. Se han escrito decenas de libros de texto sobre la materia y los artículos publicados que describen aplicaciones importantes se cuentan ahora por cientos. Un modelo de programación lineal proporciona un método eficiente para determinar una decisión óptima, escogida de un gran número de decisiones posibles. En todos los problemas de Programación Lineal, el objetivo es maximizar o minimizar alguna cantidad. Antes de estudiar los procedimientos que se aplican para encontrar las soluciones óptimas, debemos familiarizarnos con algunos conceptos. Como vamos a tratar con situaciones que contemplan los diferentes valores que pueden adoptar dos variables, el plano cartesiano nos ayudará de manera decisiva a representar las situaciones descritas en el problema.




Recordemos primero algunas representaciones en el plano:

PUNTOS

A= (5,3); B= (2,10); C= (0, 7); D= (-2, 0)

RECTAS

r1: x = 5 r2: x = -7 r3: y = 6

r4: y = -3 r5: x+y = 5 r6: 2x -3y = -1




DESIGUALDADES

¿Cómo “traducir” las frases siguientes al lenguaje algebraico?

“La variable x puede valer como máximo 7”: ______

“La variable y no vale menos de 5”: ______

“La variable a debe valer al menos 3”: _______

“Las dos variables z y t juntas no superan el valor de 100”:__________

Si en el primer ejercicio que presentamos en la introducción llamamos x al nº de

autobuses de 40 plazas e y al nº de autobuses de 50 plazas, expresa matemáticamente

las 4 condiciones que aparecen en el texto: “Una escuela quiere llevar de excursión a

420 personas entre alumnos y profesores. La empresa de transportes tiene 8 autobuses

de 40 plazas y 12 de 50 plazas, pero sólo dispone de 11 conductores”.

1.-

2.-

3.-

4.-




La representación en el plano de desigualdades da lugar a REGIONES que son las zonas del

plano donde están todos los puntos que satisfacen dichas desigualdades.

Así, la región definida por la desigualdad que llamaremos b: 4 yx se obtiene

representando primero la recta 4 yx . Esta recta divide al plano en dos semiplanos; uno de

ellos contiene todos los puntos que satisfacen la desigualdad anterior. Para determinar cuál

es, basta comprobarlo para uno de sus puntos.




Representa las regiones descritas por las siguientes expresiones:

Región 1: x 6 Región 2: y < 6

Región 3: x+y 8 Región 4: 2x+3y100

Observa que es importante señalar en el gráfico si son desigualdades estrictas (<, >) o no

( o, ), y tomar las escalas adecuadas en los ejes.




Si queremos que varias desigualdades se cumplan a la vez, se originan REGIONES o

RECINTOS

Ejemplo:

0:

0:

4:

3:

yd

xc

yxb

xa

Como veremos más adelante, necesitaremos hallar los vértices del recinto. Hállalos para este

ejemplo. A: B: C: D:




Representa el recinto definido por el conjunto de inecuaciones que escribiste para el ejemplo “La Excursión” Una escuela quiere llevar de excursión a 420 personas entre alumnos y profesores. La empresa de transportes tiene 8 autobuses de 40 plazas y 12 de 50 plazas, pero sólo dispone de 11 conductores. El alquiler del autobús pequeño vale 50 euros y el del grande 65 euros. ¿Cuántos autobuses de cada clase hay que alquilar para que la excursión resulte lo más económica posible para la escuela? ¿Cuál será la solución más rentable para la empresa de transportes?

Las condiciones las escribimos en la hoja 3. Ahora, ¿Cuál es el objetivo del problema? ¿Cómo se expresa mediante una función matemática?

Comprueba cuánto vale la expresión anterior para diferentes puntos del recinto, incluidos los vértices.




En un programa lineal con dos variables, si existe una solución única que optimice la función objetivo, ésta se encuentra en un punto extremo (vértice) de la región factible acotada, nunca en el interior de dicha región.

Si la función objetivo toma el mismo valor óptimo en dos vértices, también toma idéntico valor en los puntos del segmento que determinan.

En el caso de que la región factible no es acotada, la función lineal objetivo no alcanza necesariamente un valor óptimo concreto, pero, si lo hace, éste se encuentra en uno de los vértices de la región. Vamos a utilizar Geogebra y todos los cálculos van a facilitarse. En la práctica, los problemas se van a reducir a su planteamiento correcto, a la introducción de las restricciones y de la Función Objetivo y a la visualización del valor que toma dicha función en los vértices de la región factible. Resuelve finalmente el problema del transporte




1.- Los refrescos Se dispone de 120 refrescos de cola con cafeína y de 180 refrescos de cola sin cafeína.

Los refrescos se venden en paquetes de dos tipos. Los paquetes del tipo A contienen tres refrescos con cafeína y tres sin cafeína, y los del tipo B contienen dos con cafeína y cuatro sin cafeína. El vendedor gana 6 € por cada paquete que venda del tipo A y 5 € por cada uno que venda del tipo B. Calcular de forma razonada cuántos paquetes de cada tipo debe vender para maximizar los beneficios y calcular éste.

Variables: Nº paquetes Con cafeína Sin cafeína Ganancia

Paquete tipo A Paquete tipo B

Condiciones y Función Objetivo:

SOLUCIÓN:




2.- Otro de transportes Una empresa de transportes tiene dos tipos de camiones, los del tipo A con un espacio refrigerado de 20 m3 y un espacio no refrigerado de 40 m3. Los del tipo B, con igual cubicaje total, al 50% de refrigerado y no refrigerado. La contratan para el transporte de 3 000 m3 de producto que necesita refrigeración y 4 000 m3 de otro que no la necesita. El coste por kilómetro de un camión del tipo A es de 30 € y el B de 40 €. ¿Cuántos camiones de cada tipo ha de utilizar para que el coste total sea mínimo?

Variables:

Condiciones y Función Objetivo:

Solución:




3.- Pantalones Un fabricante comercializa 2 modelos de pantalón vaquero, uno para mujer que le proporciona un beneficio de 12 euros por unidad y otro para hombre con beneficio unitario de 20 euros. El próximo mes desea fabricar entre 50 y 750 pantalones para mujer y siempre un número no inferior al que fabrica para hombre. Además no tiene posibilidades de fabricar mensualmente más de 1000 unidades en total. Téngase en cuenta, cuando se analicen las posibles soluciones, que por ahorro en el empaquetamiento, siempre se fabrican lotes de 50 pantalones. a) Plantea un programa lineal que permita calcular el número de lotes de 50 unidades de cada modelo que ha de fabricar para maximizar el beneficio total. b) Di la solución del apartado anterior si el beneficio unitario es de 15 euros para cada uno de los modelos.

Variables, Condiciones y F. Objetivo:

Solución:




4.- En la farmacia Una persona con una carencia vitamínica grande, necesita un aporte diario de 70 mg. de vitamina A y 24 mg. de vitamina C, que consigue con las pastillas Energic y Vigor. Cada pastilla de estos productos farmacéuticos le aporta las cantidades que aparecen en la tabla siguiente en la que se hace constar el precio de cada pastilla de estos productos:

PRODUCTO VITAMINA A VITAMINA C Precio x pastilla Energic 10 mg. 2 mg. 0.03 € Vigor 7 mg. 3 mg. 0.04 €

Encuentra la mejor combinación de pastillas que ha de tomar diariamente si se desea cubrir las necesidades del paciente con el menor coste posible. Variables, Condiciones y Función Objetivo:

Solución:




5.- Mobiliario urbano Para dotar de mobiliario urbano a cierta zona de la ciudad, se quieren colocar al menos 20 piezas entre farolas y jardineras. Hay 40 farolas y 12 jardineras disponibles. Se pretende que el número de jardineras colocadas no sea superior a una tercera parte del de farolas colocadas, pero de forma que por lo menos un 20% de las piezas que se coloquen sean jardineras. a) ¿Qué combinaciones de piezas de cada tipo se pueden colocar? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. b) ¿Qué combinación hace que la diferencia entre el número de farolas y de jardineras colocadas sea mayor? ¿Es la combinación donde más piezas de mobiliario se colocan? Variables Condiciones y F. Objetivo:

Solución:




6.- Dos supuestos Una empresa fabrica dos calidades de un bien, teniendo que producir en total un mínimo de 100 unidades y un máximo de 200. El coste de producción de una unidad de la primera calidad es de 15 € y se obtiene un beneficio unitario de 100 €. El coste de producción de una unidad de la segunda calidad es de 10 € y se obtiene un beneficio unitario de 50 €. (a) Plantea y resuelve un programa lineal para averiguar el coste total mínimo para obtener un beneficio total de al menos 12.500 €. (b) Plantea y resuelve un programa lineal para averiguar el beneficio total máximo con un coste total no superior a 2.550 €.

Variables Condiciones y Función Objetivo:

Solución a): Solución b):




4. MINAS

Una compañía posee dos minas: la mina A produce cada día 1 tonelada de hierro de alta calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La mina B produce cada día 2 toneladas de cada una de las tres calidades. La compañía necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. Sabiendo que el coste diario de la operación es de 2000 euros en cada mina ¿cuántos días debe trabajar cada mina para que el coste sea mínimo?.

Variables: días Alta calidad Calidad media Baja calidad Coste diarioMina A Mina B

Condiciones y Función Objetivo: Solución




6. COMPAÑÍA AÉREA

Para recorrer un determinado trayecto, una compañía aérea desea ofertar, a lo sumo, 5000 plazas de dos tipos: T(turista) y P(primera). La ganancia correspondiente a cada plaza de tipo T es de 30 euros, mientras que la ganancia del tipo P es de 40 euros.

El número de plazas tipo T no puede exceder de 4500 y el del tipo P, debe ser, como máximo, la tercera parte de las del tipo T que se oferten.

Calcular cuántas tienen que ofertarse de cada clase para que las ganancias sean máximas.

Variables, Condiciones y Función Objetivo:

Solución:




Ejemplos de ejercicios extraídos de un libro de texto universitario:




OTRAS POSIBLES SOLUCIONES

Con solución múltiple

Si existe más de una solución.......................................................................................

Maximizar la función Z = f(x,y) = 4x + 2y sujeta a las restricciones 2x + y 4 , x - y 1 , x 0 , y 0.

Los valores de la fucnión objetivo en cada uno de los vértices son: f(O)=f(0,0) = 0 , f(A) = f(1,0) = 4 ; f(B)=f(5/3,2/3) = 8 , f(C) = f(0,4) = 8 La función objetivo alcanza el valor máximo en los vértices B y C, por tanto, en todos los puntos del segmento BC. Hay infinitas soluciones, solución múltiple, que corresponden a los puntos del segmento situado entre dos vértices de la región factible. En estos casos, como ya vimos en el capítulo anterior, la función objetivo es paralela a una de las restricciones.

Con solución no acotada

Cuando no existe límite para la función objetivo

Maximizar la función Z = f(x,y) = x + y sujeta a las restricciones y 2x , y x/2 .

Tiene por región factible la zona coloreada que aparece en la figura, que es una región no acotada. La función crece indefinidamente para valores crecientes de x e y. En este caso no existe un valor extremo para la función objetivo, por lo que puede decirse que el problema carece de solución. Para que suceda esta situación la región factible debe estar no acotada.

No factibles Cuando no existe el conjunto de soluciones que cumplen las restricciones, es decir, las restricciones son inconsistentes.

Maximizar la función Z = f(x,y) = 3x + 8y sujeta a las restricciones x + y 6 , x + y 2 , x 0 , y 0.

No existe la región factible, ya que las zonas coloreadas que aparecen en la figura son únicamente soluciones de alguna de las inecuaciones . Por tanto, el conjunto de soluciones del sistema de desigualdades no determina ninguna región factible. Este tipo de problemas carece de solución.

Página web de Teodoro Coronado que imparte clases de matemáticas en el I.E.S. Cuenca Minera de Minas de Riotinto (Huelva)

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