Estatica 2015

Ing Luis Alfredo Vargas Moreno

:319176, :9605573

ELABORADO POR:

ING LUIS ALFREDO VARGAS MORENO

PROFESOR DEL CURSO


:319176, :9605573

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA

DE MINAS, GEOLOGIA Y CIVIL

ESTATICA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN

CRISTOBAL DE HUAMANGA

ESCUELA DE FORMACION PROFESIONAL DE

INGENIERIA CIVIL


:319176, :9605573SILABO

1. DATOS GENERALES

1.1 Nombre de la Asignatura : Esttica

1.2 Cdigo : IC-243

1.3 Crditos : 5

1.4 Tipo : Obligatorio

1.5 Requisito : FS-142, MA-146

1.6 Plan de Estudios : 2004

1.7 Semestre Acadmico : 2015-I


:319176, :9605573 1.8 Duracin : 16 semanas

1.9 Perodo de inicio y trmino : 30/03/2015

17/07/2015

1.10 Docentes Responsables :

Ing Lus Alfredo Vargas Moreno

1.11 N horas de clases semanales

1.11.1 Tericas : 4

1.11.2 Prcticas : 2


:319176, :9605573

1.12 Lugar

1.12.1 Teora : H-216

1.12.2 Prctica : H-216

1.13 Horario

1.13.1 Teora : Lunes: 19-21hrs

1.13.2 Teora : Jueves: 16-18hrs

1.13.2 Practica : Viernes: 16-18hrs


:319176, :96055732. SUMILLA

Segn el plan curricular, la sumilla es la siguiente:

Conceptos y principios fundamentales de la mecnica,

operaciones con fuerzas, equilibrio de cuerpos rgidos,

determinacin de propiedades de las secciones, fuerzas

en vigas y cables.

3. OBJETIVOS

3.1 General: Determinar el comportamiento de cada

estructura en base a los criterios de continuidad de los

elementos estructurales.


:319176, :9605573 3.2 Especifico: Se pretende que el alumno aprenda los

conceptos bsicos relacionados con el equilibrio de los

cuerpos rgidos teniendo en cuenta las fuerzas actuantes y

sus puntos de aplicacin. Suministrar las herramientas que

le permitan plantear y resolver problemas relacionados con

el equilibrio de partculas y cuerpos rgidos. Darle

conocer al estudiante los conceptos bsicos para analizar

diferentes tipos de estructuras estticamente

determinadas.

4. METODOLOGA

En el desarrollo del curso se promover la participacin

activa del estudiante, utilizando mtodos: inductivo-

deductivo; modo: colectivo explicativo; forma: intuitivo

sensorial; con sus respectivos procedimientos y tcnica


:319176, :9605573 como lluvia de ideas, seminarios, enseanza en grupos,

estudio dirigido, talleres y otros.

RECURSOS DIDACTICOS

Se utilizara proyector multimedia y pizarra acrlica.

5. SISTEMA DE EVALUACIN

Se evaluara por medio de la rendicin de un Examen

Parcial y un Examen Final.

La nota final se obtendr aplicando la siguiente frmula:

1 1

2

EP EFPF


:319176, :96055736. REFERENCIA BIBLIOGRAFICA

Esttica, Beer R. Johnston.

Esttica, J. L. Meriam.

Esttica Grfica, Otto Henkel.


:319176, :9605573

SEM FECHAS CONTENIDO RESP.

01 30/03/2015 Introduccin, Definicin, Vectores, Regla

del Paralelogramo, suma de tres o mas

vectores, escalares, mecnica de las

partculas, fuerzas en un plano.

Resultante de varias fuerzas concurrentes.

Descompocisin de una fuerza en

componentes.

Lavm

02 06/04/2015 Componentes rectangulares de una fuerza,

vectores unitarios.

Suma por suma de sus componentes,

equilibrio de una partcula, fuerzas en el

espacio.

Lavm

7.0 Programa Analtico - Practico


:319176, :9605573SEM FECHAS CONTENIDO RESP.

03 13/04/2015 Equilibrio de una partcula en el espacio,

slido rgido, principio de transmisibilidad,

momento de una fuerza con respecto a un

punto.

Teorema de Varignon, componentes

rectangulares del momento de una fuerza.

Lavm

04 20/04/2015 Producto escalar de dos vectores,

proyeccin de un vector sobre un eje dado,

producto mixto de tres vectores.

Momento de una fuerza con respecto a un

eje, par de fuerzas, suma de pares,

representacin de un par.

Lavm



05 27/04/2015 Descomposicin de una fuerza: en una

fuerza y un par en un punto dado,

reduccin de un sistema de fuerzas a una

fuerza y un par.

Casos particulares de la reduccin de un

sistema de fuerzas: fuerzas coplanares,

fuerzas paralelas; caso general.

Lavm

06 04/05/2015 Equilibrio del slido rgido, equilibrio en dos

dimensiones. Tipos de apoyos.

Tipos de ligaduras, equilibrio de un slido

rgido sometido a tres fuerzas.

Lavm

07 11/05/2015 Equilibrio de un slido sometido a dos

fuerzas, centro de gravedad, centro de

Lavm



07 11/05/2015 Gravedad de rea planas, centro de

gravedad de lneas.

reas y lneas compuestas, centro de

gravedad por integracin.

Lavm

08 18/05/2015 Lneas.

Teoremas de Pappus-Guldin, cargas

repartidas sobre vigas.

Lavm

09 25/05/2015 EXAMEN PARCIAL

10 01/06/2015 Volmenes, cuerpos y volmenes

compuestos.

Vigas, tipos de vigas, en voladizo,

simplemente apoyada, con voladizos, vigas

isstticas, hiperestaticas.



11 08/06/2015 Vigas combinadas, tipos de cargas, fuerza

cortante y momento flector, convencin de

signos.

Diagrama de fuerzas cortantes y momento

flector.

Lavm

12 15/06/2015 Relaciones entre la carga, la fuerza

cortante y el momento flector.

Ejemplos.

Lavm

13 22/06/2015 Momento de inercia, momento de inercia de

un rea finita, momento polar de inercia,

radio de giro.

Teorema de Steiner, producto de inercia,

momentos de inercia respecto a ejes



14 29/06/2015 Inclinados, direccin de ejes principales,

producto de inercia respecto de ejes

inclinados, crculo de Mhor.

Lavm

15 06/07/2015 Momento de inercia mximo y mnimo.

Armaduras, marcos.

Lavm

16 13/07/2015 EXAMEN FINAL Lavm


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CAPITULO 1

Esttica de Las Partculas


:319176, :9605573

Fuerzas en el Plano


:319176, :9605573

ESTATICA Es una ciencia fsico matemtica, que describe y

predice las condiciones de reposo o movimiento de los

cuerpos bajo la accin de fuerzas.

Vectores.- son expresiones matemticas que poseen

mdulo direccin y sentido.

Ejemplo de magnitudes vectoriales

- Las fuerzas

- Los desplazamientos

- Las velocidades

- Las aceleraciones

- Los momentos lineales etc.


:319176, :9605573La Suma de los vectores, se realiza grficamente

utilizando la regla del paralelogramo.

Regla del Paralelogramo.- Se puede sustituir dos

vectores por un nico vector denominado resultante, el

cual se obtiene trazando la diagonal de un

paralelogramo cuyos lados son los vectores iniciales.

Ejemplo.- Sumar los vectores A y B, cuyas

caractersticas estn dadas grficamente (A).

Propiedad: A+B=B+A


:319176, :9605573r A

r B

r A

r B


:319176, :9605573

Sumar los vectores:

Para sumar tres vectores, se suman primero dos de

ellos y luego resultante se suma al tercer vector.

Suma de tres 3 o mas vectores

r r r A B C , ,

r r r r r r A B C A B C ( )

A B

C


:319176, :9605573

C

Escalar.-

Es una magnitud que no tiene punto de aplicacin,

direccin ni sentido; solo tiene mdulo

Ejemplos de magnitudes escalares:

- El Volumen

- La Masa

- La energa

R

A B


:319176, :9605573

Una fuerza representa la accin de un cuerpo sobre otro. Toda fuerza es un vector, por lo tanto posee un punto de aplicacin, direccin, sentido y mdulo.

Mecnica de la Partculas

Fuerzas en un plano

Modulo.- Viene hacer cierto numero de unidades.

Direccin.- Esta dado por la recta soporte de la fuerza. Dicha recta se caracteriza por el ngulo que forma con una lnea dada o prefijada. Sentido.- Se indica mediante una flecha


:319176, :9605573

A=Partcula 5= Modulo A= Punto de aplicacin = Direccin

Problema.- Determinar grfica y analticamente la resultante de las fuerzas mostradas en la figura:

A Lnea prefijada


:319176, :9605573

Ley de Cosenos Ley de Senos

2500N

1750N

95

1750N

2500N

95

R

2 2 21750 2500 2(1750)(2500) 85R Cos

2924R N

2924 1750

85Sen Sen

0.85Sen

58.40


:319176, :9605573Problema.- La suma de las fuerzas A (que es horizontal

y de 10N) y B (vertical) produce la fuerza C que tiene

un mdulo de 20N. Cules son el mdulo de la fuerza

B y la direccin de la fuerza C? [Utilizar el polgono de

fuerzas para conseguir unos resultados aproximados,

que en este caso es un tringulo, y realizar adems los

clculos analticos.]


:319176, :9605573Resultante de Varias fuerzas concurrentes

O

A

B C

La resultante de las fuerzas se obtiene por medio de la regla del polgono. Esta fuerza resultante produce los mismos efectos que las fuerzas originales.

r r rA B C FuerzasCoplanares

O Particula

, ,

O

A

B

C R


:319176, :9605573Descomposicin de una fuerza en componentes

Una fuerza nica F puede ser sustituida por dos mas fuerzas que actuando simultneamente producen los mismos efectos sobre la partcula.

Nota.- Para los fines del curso es de sumo inters considerar 2 casos de la descompocisin de una fuerza y que a su vez estas dadas en dos direcciones.

Primer caso.- Cuando se conoce la direccin de ambas componentes.

F= dato

L1 y L2 = dato


:319176, :9605573

F

L2

L1

F

B

A

L2

L1

A y B, Solucin

Segundo Caso.- Cuando una de las componentes es conocida. La segunda componente se obtiene utilizando la regla del tringulo.


:319176, :9605573A y R= dato

Problema.- Se quiere descomponer la fuerza P, cuyo mdulo es de 400N, en dos componentes dirigidas segn las rectas a-a y b-b. Determinar trigonomtricamente el ngulo , sabiendo

que la Componente de P segn la recta a-a debe ser de 280N.

B= incgnita

A

R R A

B


:319176, :9605573

a

a

b

b P

280N


:319176, :9605573

, , ?, ?

, * * *

2 2 2

2 2 2

P A B 2ABCos

P 400 A 280 B

50 400 280 B 2 280 B Cos50

(Ley de csenos)

(Ley de senos)

( )

A P

Sen Sen50

ASen50arcSen

P

a

a

b

P

280N

280N


:319176, :9605573Problema.- Sabiendo que =30, determinar el mdulo de la fuerza F de modo que la fuerza resultante ejercida sobre el cilindro sea vertical. Cul es el correspondiente valor del mdulo de la resultante?

F

600N


:319176, :9605573

600

30 20 Sen Sen

F

F

600

30 130 Sen Sen

R

R

Componentes rectangulares de una fuerza Cuando una fuerza se descompone en dos fuerzas cuyas direcciones forman un ngulo de 90 entre si, se dice que son componentes rectangulares, porque forman un rectngulo.

F

600N

F

R


:319176, :9605573

Vectores unitarios.- Son aquellos vectores que tiene como mdulo la unidad.

El vector unitario segn el eje x, se denomina por i.

FFy

Fxa

x

y


:319176, :9605573El vector unitario segn el eje y, se denomina por j.

Componentes segn las direcciones x e y de la fuerza

F

j

i x

y

Mdulo = 1


:319176, :9605573

Fx, Fy son escalares apropiados Fx, Fy, pueden ser positivos o negativos; el valor absoluto de Fx, Fy, vienen hacer los mdulos de las componentes segn las direcciones x e y, de la fuerza F.

F Fxi+Fyjj

ia

x

y

rF

r rFx Fxi

r rFy Fyj


:319176, :9605573

Fx F Cos

El Modulo de la fuerza F:

2 2F Fx Fy

Fy F Sen

FyTg

Fx


:319176, :9605573Problema.- Determinar las componentes x e y de cada una de las fuerzas indicadas en el sistema mostrado en la figura.

x

y

80N 100N

120N


:319176, :9605573

x

y

80N 100N 120N

80cos330

80 330

Fx i

Fy sen j

100cos 290

100 290

Fx i

Fy sen j

120cos 220

120 220

Fx

Fy sen


:319176, :9605573Suma de fuerzas por suma de sus componentes

R A B C y

x

AB

C

xA

yA

xB

yB

xC

yC y

x

R

xR

yR

Rx Fx Ry Fy

( )Rxi Ax Bx Cx i

( )Ryj Ay By Cy j

R Rx Ry


:319176, :9605573Equilibrio de una partcula

Si la resultante de todas las fuerzas que actan sobre una partcula es nula, se dice que la partcula esta en equilibrio.

0R F ( ) 0Fxi Fyj

0Fx 0Fy


:319176, :9605573Problema.- Dos cables estn unidos en C y cargados segn se muestra en la figura. Determinar la tensin en AC y BC.

0.60

0.80


:319176, :9605573

ax

y

T B C

1 0 0

T A C

T CosBC

T SenBC

T CosAC

T SenAC


:319176, :9605573

Fuerzas en el Espacio


:319176, :9605573Fuerzas en el espacio

2 2 2F F x F y F z

Fx FCos xFy FCos y

Fz FCos z


:319176, :9605573


:319176, :9605573

Problema.- Determinar las componentes x, y, z de la fuerza de 250N y los ngulos que forma esta con los ejes coordenados.

2 2 2(cos ) (cos ) (cos ) 1x y z

F Fxi Fyj Fzk


:319176, :9605573

250 30Fy Cos

30

y

x z

250N

25

(250 60) 25Fx Cos Cos

(250 60 ) 25Fz Cos Sen

F


:319176, :9605573

Problema.- Si se sabe que la tensin en AB es de 39kn, determinar los valores que deben tener las tensiones en AC y AD de modo que la resultante de las 3 fuerzas aplicadas en A sea vertical.

x xF FCos

xx

FCos

F

x


:319176, :9605573


:319176, :9605573EQUILIBRIO DE UNA PARTICULA EN EL ESPACIO

0R F

( ) 0Fxi Fyj Fzk

0, 0, 0Fx Fy Fz


:319176, :9605573Problema.- Una gra (que no se muestra) esta soportando una jaula de 2kN a travs de tres cables: AB, CB y DB. Ntese que D est en el centro de la cara exterior de la jaula; C esta a un a distancia de 1.6m de la esquina de dicha cara, y B esta directamente sobre el centro de esa cara. Cules son las fuerzas F1, F2 y F3 que transmiten los cables?


:319176, :9605573Problema.- Cul es la suma de las tres fuerzas? La fuerza de 2 kN esta en el plano yz.


:319176, :9605573

CAPITULO 2

Slido Rgido

Sistemas Equivalentes

de Fuerzas


:319176, :9605573

Son aquellos slidos que se consideran indeformables.

Las fuerzas que actan sobre un slido rgido pueden

ser exteriores e interiores:

SOLID RIGIDO

1) Las fuerzas exteriores representan la accin de

otros cuerpos sobre el slido rgido considerado.

2) Las fuerzas interiores son aquellas que mantienen

unidas las partculas del slido rgido.


:319176, :9605573Nota.- Cada una de las fuerzas exteriores que actan sobre un slido rgido es capaz si no se le opone otra de imprimir al slido un movimiento de traslacin o de rotacin, o ambos a la vez.


:319176, :9605573


:319176, :9605573PRINCIPIO DE TRANSMISIBILIDAD

Si: F, F=Mdulo, direccin, Sentido L, L es la misma recta soporte O, O son puntos diferentes de aplicacin de la fuerza


:319176, :9605573Estas fuerzas producen el mismo efecto fsico sobre el

solid rgido, por lo que se dice que son

mecnicamente equivalentes.


:319176, :9605573MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO DE UN PUNTO

Se define el momento

de una fuerza F,

respecto de un punto O,

al producto vectorial de

un vector posicin

llamado r y de un vector

fuerza llamado F.

OM r F .OM rFSen F d


:319176, :9605573El mdulo de Mo mide la tendencia de la fuerza F a imprimir al slido rgido una rotacin alrededor de un eje dirigido segn Mo.

NOTA.- Dos fuerzas son mecnicamente equivalentes, si y solo si son iguales (mdulo, direccin y sentido) y sus momentos respecto a un punto dado tambin son iguales.

',F F 'O OM M


:319176, :9605573TEOREMA DE VARIGNON

1 2 3( ..... )O nM r R r F F F F

1 2 3 ..... )nr R r F r F r F r F

Fn

1 2 3 ..... nR F F F F


:319176, :9605573COMPONENTES RECTANGULARES DEL MOMENTO DE UNA FUERZA

F


:319176, :9605573

r xi yj zk

F Fxi Fyj Fzk

OM r F

OM Mxi Myj Mzk

O

i j k

M x y z

Fx Fy Fz


:319176, :9605573Problema.- Una fuerza de 450N esta aplicada en A. Determinar a) El momento de la fuerza respecto al punto D. B) La fuerza mnima que aplicada en B produce el mismo momento respecto a D.


:319176, :96055730.3 0.125r i j

450 30 450 30F Sen i Cos j

(0.3,0.125)r DA A D

0.3 0.125 0

450 30 450cos30 0

F

D

i j k

M

sen

88.788 .FDM k N m


:319176, :9605573

M rxFSen

M Fxd

Se sabe que:

Si F mnimo d=mximo

max88.788 imok Fd

2 288.788 (0.3) (0.225)F

236.768F N


:319176, :9605573PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES

. .P Q P Q C o s

:

x y z

Si

P P i P j P k y

x y zQ Q i Q j Q k

. .P Q Px Qx PyQy PzQz

. .PxQx PyQy PzQz PQCos

.

.

Px Qx PyQy PzQzCos

P Q


:319176, :9605573PROYECCION DE UN VECTOR SOBRE UN EJE DADO

P RCosOLRr


:319176, :9605573

. . . ( . ) .R S R S C o s R C o s S

. .ROLR S P S.R

O L

R SP

S

.RO LP R

PRODUCTO MIXTO DE TRES VECTORES

, ,R S T

Se define como producto mixto de tres vectores a la siguiente relacin:

. ( )R S T

Sean los vectores:


:319176, :9605573

rR

rS

rT

r r rR S T

Rx Ry Rz

Sx Sy Sz

Tx Ty Tz

.( )

.( ) .( ) .( )R S T S T R T R S Propiedad:

Problema.- Un poste esta sujeto por medio de tres vientos como se aprecia en la figura. Determinar el ngulo que forman los cables AD y AC.


:319176, :9605573


:319176, :9605573Solucin:

( 14,0,0) (0,48,0) ( 14, 48,0)AD D A

14 48 0AD i j k

(16,0, 24) (0,48,0) (16, 48, 24)AC C A

16 48 24AC i j k

2 2 2( 14) ( 48) (0)AD

2 2 2(16) (48) (24)AC

. 14 16 48 48 0

. 50 56

AC

AD

AD AC x xCos

AD AC x

42.02


:319176, :9605573MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO DE

UN EJE

Se define el

momento de una

fuerza con respecto

a un eje, como la

proyeccin sobre el

eje del momento de

la fuerza con

respecto a un punto

del eje.


:319176, :9605573Fsicamente el momento de una fuerza con respecto de un eje, mide la tendencia de hacer girar el solid alrededor de dicho eje.

. . . .FOMF F F

OL OL O OM P M M

.( ) .FOLM r F

.FOL

x y z

M x y z

Fx Fy Fz

Pr oductoMixtodetresvectores


:319176, :9605573Problema.- Calcular el momento de la fuerza P, con respecto al punto A y a la recta AB.

x

y

z


:319176, :9605573AM r P

( ,0, ) (0, , ) ( , ,0)r a a a a a a

( , ,0) ( ,0, ) (0, , )

2

a a a a a aP P P

a

(0,100, 100)P

(2, 2,0)r

2 2 0

0 100 100

A

i j k

M

200 200 200AM i j k


:319176, :9605573

.( ) .PAB

M r F

1 0 0

2 2 0 .(1,0,0)

0 100 100

P

ABM

200PAB

M i

PAR DE FUERZAS

Se llama par de fuerzas, al sistema formado por dos fuerzas F y-F, que tienen el mismo modulo, rectas soportes paralelos y sentidos opuestos.


:319176, :9605573RESULTANTE DE UN PAR DE FUERZAS

La resultante de un par de fuerzas es un momento, siendo este un vector libre (se puede aplicar en cualquier punto)

Suma de Pares

1:Si setiene M Momentodeun par

2M Momentodeun par

1 2 ,la sumadeM M M esotromomentodeotro par


:319176, :9605573


:319176, :9605573Representacin de un par Puede ser representado por vectores:


:319176, :9605573

Cualquier fuerza F, que acta sobre un solid rgido puede ser trasladada a un punto arbitrario O, sin mas que aadir un par cuyo momento sea igual al momento de F con respecto a dicho punto.

Descompocision de una fuerza, en una fuerza y un par en un punto dado.


:319176, :9605573Reduccin de un sistema de fuerzas, a una fuerza y un par


:319176, :9605573

R F

( )R

O OM M r F


:319176, :9605573

z

Problema.-Reducir el

sistema fuerza-par

aplicado al slido

mostrado en la figura,

al punto cuyas

coordenadas son: (8,-

7,-5)cm.

F1=1000kgf

(Contenido en el

plano ABC)

F2=2000kgf

F3=3000kgf

d=20cm

(0,4,0)

(5,0,0)

(6,0,7)

(0,4,5)

(0,0,5)

O F1

F1

F2

F3

A

B

C

y

x

d

(3,3,2)


:319176, :9605573

1F6 0 2 (8,0, 24)

6 4 2

i j k

CAxCB

1 8,0, 241000 20( )

640

F

M x

1

6325 0 18,974F

M i j k

2F

2

3,3, 52000( )

43F

z

(0,4,0)

(5,0,0)

(6,0,7)

(0,4,5)

(0,0,5)

O F1

F1

F2

F3

A

B

C

y

x

d

(3,3,2)


:319176, :96055732 915 915 1525F i j k

2

5 10 7

915 915 1525

F

i j k

M

2

21655 14030 4575F

M i j k

3F 3 3000F k

3

8 7 10

0 0 3000

F

i j k

M z

(0,4,0)

(5,0,0)

(6,0,7)

(0,4,5)

(0,0,5)

O F1

F1

F2

F3

A

B

C

y

x

d

(3,3,2)

(8,-7,-5)

(3,3,2) (8, 7, 5)r


:319176, :96055733

21,000 24,000F

M i j

1 2 3R F F F

915 915 1475R i j k kgf

1 2 3R F F F

M M M M

5670 9970 14,399R

M i j k Casos Particulares de la Reduccin de un Sistema de Fuerzas

a) Fuerzas Coplanares Son fuerzas que actan en un mismo plano.


:319176, :9605573

R

OMdR


:319176, :9605573b) Fuerzas Paralelas

yR F R

x xM M R

z zM M

R

OM r R


:319176, :9605573.Rz yM x R

R

z

y

Mx

R

.Rx yM z R

R

x

y

Mz

R

c) Caso General

TORSOR


:319176, :9605573

1

( ).( )RoR M RMR R

Solucin

Reduciremos todo el

sistema de fuerzas

primero al origen (0,0,0)

1 ( . ).R

oM M

Problema.- Reducir el sistema de fuerzas aplicado a la placa

mostrado en la figura, a un torsor. Especificar el eje y el paso

del torsor.


:319176, :9605573

40 6 8 0 40(8 6 )

0 0 40

i j k

C i j

40 320 240C i j

10 6 0 4 10( 4 6 )

0 10 0

i j k

C i k

10 40 60C i kj


:319176, :9605573

10 0 8 4 10(4 8 )

10 0 0

i j k

C i k

10 (40 80 )C j k

10R i

360 280 140C i j k

1

( ).( ).

C R RC

R R Torsor


:319176, :9605573

1

( 360, 280, 140).( 10,0,0) ( 10,0,0).

10 10C

1 360C i

2 1C C C

2 280 140C j k

2r R C

( 0) ( 0) ( 0)

10 0

2

0

80 140

i j k

x y jz k

10 10 280 140zj yk j k

28,

14

z

y


:319176, :9605573Paso del torsor (P)

1 360 3610

CP

R

Ecuacin del eje

El eje es paralelo al eje x.

Un punto de paso del eje es (0,-14,28)


:319176, :9605573

CAPITULO 3

Equilibrio del Slido

Rgido


:319176, :9605573

0 ( ) 0F M r F 0, 0 0x y zF F F 0, 0 0x y zM M M

Equilibrio en dos dimensiones Las fuerzas exteriores y la estructura, se encuentran en el plano de la figura; es evidente que las reacciones en los apoyos se encontraran en el mismo plano:

Equilibrio del slido rgido Se dice que un slido rgido esta en equilibrio, cuando las fuerzas exteriores que actan sobre el, forman un sistema de fuerzas equivalentes a cero:


:319176, :9605573Tipos de apoyo

1 Una reaccin con una recta soporte conocida

Rodillos

Balancn Superficie lisa Reaccin con una recta soporte conocida Numero de incgnitas = 1


:319176, :9605573

Reaccin con una recta soporte

conocida Numero de incgnitas = 1

Deslizadera Pasador u ojal

Reaccin con una recta soporte conocida

Cable Biela


:319176, :9605573

Reaccin con recta soporte desconocida

Articulacin Superficie rugosa

Numero de incgnitas = 2

Fuerza y par

Numero de incgnitas = 3 Empotramiento


:319176, :9605573REACCIONES EN APOYOS Y UNIONES


:319176, :96055730xF 0yF 0AM

Tipos de ligaduras

1 El tipo y numero de apoyos, determina el nmero de incgnitas o reacciones (R).

2 Para un sistema general de fuerzas, el nmero de ecuaciones es igual a tres (Q).

3 Si R=Q:

a) El sistema es estable, esta completamente

ligado y estticamente determinado.


:319176, :9605573

b) El sistema es inestable, tiene ligadura impropia y son estticamente indeterminados.


:319176, :9605573

Un slido rgido esta impropiamente ligado siempre que

sus apoyos aunque pueden generar un nmero

suficiente de reacciones, estn dispuestos de tal forma

que las reacciones sean concurrentes o paralelas.


:319176, :96055734 Si R


:319176, :9605573Las reacciones en A y B, introducen slo 2 incgnitas,

una de las ecuaciones, no se satisfacera.

5 Si R>Q: el sistema es estticamente indeterminado (hiperestatico)


:319176, :9605573Ligadura completa, estructura estticamente

indeterminada, el nmero de reacciones mayor que el

nmero de ecuaciones de equilibrio

Determinacin del Tipo de Ligadura

Para una estructura coplanar:

2 ; CompletamenteLigadab RSi N N n Estructura

2 ; ParcialmenteLigadab RSi N N n Estructura

2 ; esEstaticamenteindeterminadab RSi N N n Estructura

2 ; esEstaticamentedeterminadab RSi N N n Estructura


:319176, :9605573

2.5m 2.5m

3.0m

Problema.- En la estructura mostrada en la figura,

calcular las reacciones en los apoyos A y B, en funcin

del angulo .


:319176, :96055730BM

400 2.5 5 3 0y xA A

0xF

0yF 400 0 400y y yA B A BSen

En (1)

1000

5 3B

Sen Cos

0x xA BCos A BCos

Bx

By


:319176, :9605573

333.33B N

333.33xA N

400.00yA N

Para el problema =90-

=90, =0

Equilibrio de un slido rgido sometido a tres fuerzas

Si un slido rgido sometido a tres fuerzas est en

equilibrio, las rectas soportes de las 3 fuerzas deben

ser concurrentes o paralelas


:319176, :9605573

0DM Si se toma momento respecto al punto de concurrencia

de dos de ellas, la recta de accin de la tercera fuerza,

necesariamente tendr que concurrir a este punto para

que el momento sea nulo.


:319176, :9605573Equilibrio en Tres dimensiones

Las reacciones en apoyos y uniones de una estructura

tridimensional, comprende desde una fuerza nica

(apoyo en superficie lisa), hasta seis (tres fuerzas y

tres momentos/ apoyo de empotramiento).

Para expresar las condiciones de equilibrio de un

slido rgido, es necesario seis ecuaciones escalares,

a saber:

0, 0 0x y zF F F

0, 0 0x y zM M M


:319176, :9605573En la mayora de los problemas, las ecuaciones

escalares anteriores, se obtendrn mas

cmodamente si las condiciones del equilibrio del

slido rgido considerado se expresan primero en

forma vectorial, de la siguiente manera:

0 ( ) 0F M r F


:319176, :9605573REACCIONES EN APOYOS Y UNIONES


:319176, :9605573

CAPITULO 4

Fuerzas Repartidas

Centros de Gravedad


:319176, :9605573Centroides de reas y Curvas Planas

i

i

W W

c i i

i

Wx W x

Tomando momentos con

respecto al eje y

i i

ic

W x

xW

(1)


:319176, :9605573Anlogamente, se tiene:

i i

ic

W y

yW

La localizacin de la lnea de accin del peso

resultante W de la placa esta dada por la coordenadas

xc, e yc.

W

V i iW V i iW At (3)

(2)


:319176, :9605573(3) en (1) y (2)

( )i ii

c

At x

xAt

( )i ii

c

At y

yAt

El punto situado sobre el rea A, localizado por la coordenadas xc e yc, se define como el

centroide de esta rea.

i i

ic

A x

xA

i i

ic

A y

yA


:319176, :9605573Si se sigue subdividiendo el rea de la placa en las

reas elementales Ai, se llega a una situacin limite,

de modo que:

0i

i i

i Ac

A

xdAA x

x LimA A

0i

i i

i Ac

A

ydAA y

y LimA A

Las dos ecuaciones

anteriores constituyen

la definicin formal de

las coordenadas

centroidales del rea

A.


:319176, :9605573,es el momento de primer orden del area A con respecto al eje "y"

A

xdA

,es el momento de primer orden del area A con respecto al eje "x"A

ydA

Centroides de Curvas Planas


:319176, :9605573

i i

ic

l x

xl

i i

ic

l y

yl

0i

i i

i lc

l

xdll x

x Liml l

0i

i i

i lc

l

ydll y

y Liml l

Notas

1 Si un rea o una lnea, posee un eje de simetra, el

centro de gravedad debe estar situado sobre dicho eje.


:319176, :9605573


:319176, :96055732 Si un rea o una lnea, posee dos ejes de simetra,

el centro de gravedad debe estar situado en el punto

de interseccin de ellos.


:319176, :96055733 Si un rea o una lnea, posee un centro de simetra,

el centro de gravedad debe estar situado en dicho

centro de simetra.


:319176, :9605573reas y lneas compuestas

El centro de gravedad de reas y lneas compuestas,

se determina descomponiendo el rea o la lnea

compuesta en reas o lneas conocidas mas

pequeas.


:319176, :9605573

1 1 2 2

1 2

.........

........

i ic

i

x A x A x Ax

A A A

1 1 2 2

1 2

.........

........

i ic

i

y A y A y Ay

A A A


:319176, :9605573


:319176, :9605573

2( ) ( )x h c y k

2x cy

x a y h2a

ch

22 ax y

h

Problema.- Hallar la abcisa del

centro de gravedad del rea

sombreada.

solucin


:319176, :9605573

x b2

2

hby

a

2

2

3

2

. 3 . 3( ). ( )

3 4 3 4

3 3

a h a b hbb

axah hb

a

4 4

3 3

3( )

4

a bx

a b


:319176, :9605573Centros de Gravedad por integracin

reas (elemento vertical)

ydxdA

x xel yy

el 2

A

xdA

x A

A

xydxx

b

a

A

ydA

y A

A

ydxy

y

b

a 2


:319176, :9605573Problema.- Hallar la abcisa del centro de gravedad del

rectngulo mostrado en la figura.

xxel

hdxdA

A

xhdxx

b

0

bh

hx

x

b

0

2

2

2

bx

x dx


:319176, :9605573

( )dA a x dy

2el

a xx x

A

xdA

x A

0

0

( )( )2

( )

c

c

x aa x dy

xa x dy

2el

x ax

(a,c)

Elemento horizontal


:319176, :9605573

y yel

A

ydA

y A

0

0

( )

( )

c

c

y a x dyy

a x dy


:319176, :9605573

d

rCosxel3

2

2

)( rrddA

0

2

0

2

2

2)

3

2(

dr

drrCos

x

2

2 drdA

A

xdA

x A

Coordenadas Polares


:319176, :9605573

rSenyel3

2

A

ydA

y A

0

2

0

2

2

2)

3

2(

dr

drrSen

y

Problema.- Hallar la abcisa del centro de gravedad del

rea sombreada.


:319176, :9605573

x

x,y

22 ax y

h

dx

2

2x

a

hy

ydxdA

b

a

b

a

ydx

xydxx

b

a

b

a

dxxa

h

dxxa

hx

x

)(

)(

2

2

2

2b

a

b

a

x

x

x

3

4

3

4

)(

)(

4

333

44

ba

bax


:319176, :9605573

P(x,y)

dx

dy

dL

ydxddL 22

L

xdL

x L

x xel

L

ydL

y L

y yel

dxdx

dydL 2)(1

dydy

dxdL 2)(1

dd

drrdL 22 )(

Lneas


:319176, :9605573Teoremas de Pappus-Guldin

Estos teoremas, se refieren a las superficies y a

cuerpos de revolucin.

Una superficie de revolucin se genera por la rotacin

de un lnea curva plana alrededor de un eje fijo.

Ejemplo:

Esfera Cono Toro


:319176, :9605573Un cuerpo de revolucin se genera por la rotacin de

un rea plana alrededor de un eje fijo. Ejemplo:

Teorema N1

El rea de una superficie de revolucin es igual a la

curva generatriz multiplicada por la distancia recorrida

por el C.G. del rea cuando se genera la superficie

Esfera Cono

Toro


:319176, :9605573ydLdA 2

ydLdA 2

ydLA 2

LyA 2

Siendo 2y, la distancia recorrida por elC.G.de la linea LNota.- La curva generatriz, no debe cortar el eje

alrededor del cual gira.

y


:319176, :9605573Teorema N2

El volumen de un cuerpo de revolucin es igual al rea

generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el

C.G. del rea cuando se genera el cuerpo volumen.

ydAdV 2

ydAdV 2

ydAV 2

AyV 2

y y


:319176, :9605573

Nota.- El teorema no puede aplicarse, si el rea

generatriz, corta al eje alrededor del cual se genera el

cuerpo de revolucin.

Siendo 2y, la distancia recorrida por elC.G.del area A.


:319176, :9605573Problema.- Determinar el rea superficial y el volumen

del remolque para materiales sueltos que se muestra

en la figura 8.16.


:319176, :9605573

L

13.092

0.405 0.45 0.9

2.541 1.05 2.42

7.2 1.2 6

2.541 1.05 2.42

0.405 0.45 0.9

L(m) ( )y m2( )y m LyA 2

22 13.092 82.26A m


:319176, :9605573

A A(m2)

6.984

0.972 0.45 2.16

0.36 1 0.36

4.32 0.6 7.2

0.36 1 0.36

0.972 0.45 2.16

( )y m3( )y m AyV 2

32 6.984 43.88mV


:319176, :9605573Cargas Repartidas sobre vigas

Se puede sustituir una carga repartida sobre una

viga, por una carga concentrada; el mdulo de esta

carga es igual al rea bajo la curva de cargas y su

recta de accin pasa por el centro de gravedad de

esta rea.

L

wdxW0


:319176, :9605573

nndwxdwxdwxdwxWx ...................332211

:oM

i

i

idwxWx

i

i

iw

dwxLimWxi

0 xdwWx AxdAx

L

0

Nota.- La carga concentrada es equivalente slo en lo

que se refiere a fuerzas exteriores, puede emplearse

para hallar las reacciones, pero no para calcular

fuerzas interiores y deformaciones.


:319176, :9605573Volmenes


:319176, :9605573

0M

i

i

i wrWr

)()( jrwjrWi

ii

jrwjrWi

ii ).().(

).(.0

i

iiw

rwLimrWi

ii dwrrW ..

Relaciones escalares

xdwWx.

ydwWy.

zdwWz.


:319176, :9605573Nota.- Si el cuerpo esta constituido por un material

homogneo, entonces el centro de gravedad de un

cuerpo, es el mismo que el centro de gravedad de su

volumen:

ii dvrrV ..

xdvVx.

ydvVy.

zdvVz.

Son las coordenadas del

centro de gravedad. :,, zyx


:319176, :9605573

xdv se le denomina momento de primer orden del volumen respecto al plano yz.

ydv

zdv

se le denomina momento de primer orden del

volumen respecto al plano xz.

se le denomina momento de primer orden del

volumen respecto al plano xy.

Notas

1 Si un volumen posee un plano de simetra, su

centro de gravedad, debe estar situado en dicho

plano.


:319176, :96055732 Si un volumen posee dos planos de simetra, su

centro de gravedad, debe estar situado en la

interseccin de dichos planos.

3 Si un volumen posee tres planos de simetra, su

centro de gravedad, debe estar situado en el punto de

interseccin de dichos planos.

Cuerpos y Volmenes Compuestos

i

i

iwxWx ii

iwyWy i ii

zW z w

i

i

ivxVx ii

ivyVy i ii

zV z v


:319176, :9605573Problema.- en el semicono mostrado en la figura,

determinar las coordenadas del centro de gravedad.

)3

(2

1 hBV

)3

(2

1 2haV


:319176, :9605573

dxy

dv2

2

x

y

h

a yx

h

a

xxel 3

4yyel


:319176, :9605573

dvxVx el

h

dxy

xVx0

2

2.

h

dxh

xa

xVx0

2

22

2.

hx4

3

dvyVy el

a

dxyy

Vy0

2

.2

.3

4

a

dya

hyyVy

0

2

.2

.3

4

ay


:319176, :9605573

CAPITULO 5

Fuerzas en Vigas


:319176, :9605573

VIGAS

Se conoce como Viga, a un elemento estructural

diseado para soportar cargas aplicadas en diversos

puntos a lo largo de la misma.

En la mayora de los casos las vigas soportan cargas

perpendiculares al eje de la viga, producindose en la

viga fuerzas cortantes y momentos flectores.


:319176, :9605573En ingeniera y arquitectura se denomina viga a un

elemento constructivo lineal que trabaja

principalmente a flexin. En las vigas la longitud

predomina sobre las otras dos dimensiones y suele

ser horizontal.

El esfuerzo de flexin provoca tensiones de traccin y

compresin, producindose las mximas en el cordn

inferior y en el cordn superior respectivamente, las

cuales se calculan relacionando el momento flector y el

segundo momento de inercia. En las zonas cercanas a

los apoyos se producen esfuerzos cortantes o

punzonamiento.


:319176, :9605573

Tipos de Vigas

Viga en voladizo


:319176, :9605573Si la viga esta sujeta solamente en un extremo, de tal

manera que su eje no pueda girar en ese punto, se le

llama viga en voladizo.

Viga simplemente apoyada


:319176, :9605573

Viga con voladizos

Es una viga simplemente apoyada y que tiene uno o

los dos extremos que continan mas all de estos

puntos.


:319176, :9605573

Todas las vigas consideradas anteriormente son tales

que se pueden calcular las reacciones en los apoyos

utilizando las ecuaciones de equilibrio esttico y se les

denomina vigas estticamente determinadas.

Vigas hiperestaticas

Si el nmero de reacciones que se ejercen sobre la

viga excede el nmero de ecuaciones del equilibrio

esttico, las reacciones de las vigas son

estticamente indeterminadas.

Vigas estticamente determinadas


:319176, :9605573

V. Empotrada en un

extremo y s. Apoyada

en el otro V. Continua V. Biempotrada

Vigas Combinadas

Son aquellas vigas que se conectan (dos o mas)

mediante rotulas o articulaciones para formar una

nica estructura continua.


:319176, :9605573

Tipos de carga

1 Carga aislada (aplicada en un punto), se expresa N.


:319176, :96055732 Carga repartida uniforme y con variacin, se

expresa en N/m.

3 Carga por medio de un par, se expresa en N-m.


:319176, :9605573Fuerza Cortante y Momento Flector en una viga


:319176, :9605573

Si se corta una viga en C y se suprime la parte derecha de sta seccin, se deber sustituir la parte

suprimida por el efecto que ejerca sobre la parte de

la izquierda; efecto que consiste en una fuerza

cortante vertical (V) juntamente con un par (M).


:319176, :9605573La fuerza V y el par M mantienen en equilibrio la parte

de la izquierda de la barra bajo la accin de las

fuerzas RA y P1.

Fuerza Cortante (V)

La suma algebraica de todas las fuerzas verticales

situados a un lado de la seccin C, se llama fuerza cortante en esa seccin.

Momento Flector (M)

La suma algebraica de los momentos de las fuerzas

exteriores situados a un lado de la seccin C, se llama momento flector en C.


:319176, :9605573Convencin de signos

El esfuerzo cortante (V) y el momento flector (M) en

una seccin determinada de una viga se consideran

positivos cuando las fuerzas interiores y los pares que

actan sobre cada parte de la viga estn dirigidos

como se indica en la figura.


:319176, :9605573* El esfuerzo cortante en C es positivo cuando las fuerzas exteriores (cargas y reacciones) que actan

sobre la viga tienden a cortar la viga en la seccin

como se indica en la figura.


:319176, :9605573* El momento flector (M) en la seccin es positivo

cuando las fuerzas exteriores que actan sobre la viga

tienden a doblar la viga en la seccin como se indica

en la figura.


:319176, :9605573Diagrama de fuerzas cortantes y momentos flectores

Los diagramas de fuerzas cortantes y momentos

flectores, es la representacin grafica del efecto que

se producen en cada una de las secciones de la viga.

* Las fuerzas cortantes positivas, se graficaran sobre el

eje de la viga y los negativos debajo.

* Los momentos flectores se graficarn, si es positivo

debajo del eje y si es negativo encima del eje.

Problema.- Para la viga mostrada en la figura,

determinar:


:319176, :9605573

a) Reacciones en los apoyos

b) Ecuaciones de fuerza cortante y momento flector

c) Diagramas de fuerza cortante y momento flector

d) Momentos flector mximo y su respectiva ubicacin.


:319176, :9605573a) Reacciones

Diagrama de cuerpo libre:

0 .AM S Horario

* 0B BPa

Pa R L RL

0 .BM S horario

* 0A APb

R L Pb RL

a b

RA RB

L

P

C


:319176, :9605573b) Ecuaciones de fuerza cortante y momento flector

T ra m o A C , s e c c io n 1 -1 0 x a

VPb

L M

Pb

Lx

0 0x M

Pabx a M

L

a b

Pb/L Pa/L

L

P

C

1

1 x

y

x A

B


:319176, :9605573,sec 2 2TramoCB cion a x L

a b

Pb/L Pa/L

L

P

C

2

2

x

y

x A

B

Pb PaV P

L L

( )Pb

M x P x aL

Pabx a M

L

0x L M


:319176, :9605573c) Diagramas

X

V

Pb

L

Pa

L

(+)

(-)

X

M

(+) (+)

Pab

LMomento F. Mximo


:319176, :9605573d) Momento mximo y su ubicacin

MPab

L x a

Relaciones entre la carga, el esfuerzo cortante y el

momento flector

dx


:319176, :96055730componentesverticales

( ) 0V wdx V dv

dvw

dx (1)

(2) dM

dxV

c c

( ) .M dM M Vdx wdxdx

2

0

0cM


:319176, :9605573La expresin N1, indica que para una viga cargada en

la forma anterior, la pendiente del diagrama de fuerzas

cortantes (dv/dx) es igual y de signo contrario a la

intensidad de la carga (w) bajo el punto en

consideracin.

La expresin N2, nos indica que la pendiente del

diagrama de momentos flectores (dM/dx), es igual a la

fuerza cortante.

La expresin N2, demuestra tambin que el momento

flector es mximo cuando la fuerza cortante es igual a

cero.


:319176, :9605573

dx

dV wdx

D

C

X

D CX

V V wdx

V V AreabajolacurvaentreCyDD C ( )

De la Ec. N1

D

C

D X

C XdV wdx

dvw

dx


:319176, :9605573La fuerza cortante entre dos puntos cualesquiera de

una viga es igual y de signo contrario al rea de la

curva de carga comprendida entre dichos puntos.

dM Vdx

M M VdxD Cx

x

C

D

D

C

D x

C xdM Vdx

De la Ec. N2

(Area bajola curva deldiagrama defuerzascortantesentreCyD)D CM M

dM

dxV


:319176, :9605573Ejemplo:

Diagrama de cuerpo libre:

L

A B

w

L

A B

w

R =wL/2A R =wL/2A


:319176, :9605573

L

A B

w

R =wL/2A R =wL/2A

R R w LA B

R RA B

R Rw L

A B 2

V V wdx wxx Ax

0

M A 0M M Vdxx AX

0

x AV V wx

2A

wLV

2x

wLV wx Ec. Una recta

x


:319176, :9605573

M wL

x dx wL

x dxxX X

( ) ( )2 20 0

Mw

L x x P a ra b o lax 22( )

AC

wL/2

(+)

(-)

L/2

wL/2

B


:319176, :9605573

(+)

wL /82

dM

dxV Elvalordel MomentoMaximocorrespondea 0 :

V wL

x xL

( )2

02

MwL

MAX 2

8


:319176, :9605573Problema.- Dibujar los diagramas de fuerza cortante y

momento flector para la viga mostrada en la figura.

6 3

AB

C

20N/m

6 3

AB

C

20N/m

R =80N R =40NA C

V NA 80

M A 0


:319176, :9605573La variacin de la fuerza cortante entre dos puntos, es

igual a menos el rea comprendida bajo la curva de

carga entre dichos puntos, por lo tanto se puede

obtener VB.

V V NB A ( )( )20 6 120

La pendiente dv/dx=-w, es constante entre A y B, por

tanto el diagrama de fuerzas cortantes entre estos

puntos es una lnea recta.

6 3

AB

C

20N/m

R =80N R =40NA C

120B AV V

80BV


:319176, :9605573


:319176, :9605573Entre B y C el rea bajo la curva de carga es cero, por

lo tanto: V V V V NC B C B 0 40

La fuerza cortante es constante entre B y C

A

D B

40N

(+)

(-)

x

80N

C 6 3

AB

C

20N/m

R =80N R =40NA C


:319176, :9605573A la ubicacin de la seccin donde el momento flector

es mximo le denominaremos D (V=0). x x

x m

80

6

40

4

La variacin del momento flector entre

dos puntos, es igual al rea

comprendida bajo la curva de carga

entre dichos puntos, por lo tanto se

puede obtener MD. 160D AM M

160DM A

D B

40N

(+)

(-)

x

80N

C


:319176, :9605573

A

D B

(+)

C

(+)

160Nm

120Nm

4 80 2 40

2 2B A

x xM M 120BM


:319176, :9605573El diagrama de momentos flectores est conformado

de una parbola seguido por un segmento de lnea

recta; la pendiente de la parbola en A es igual al

valor de V en ese punto.


:319176, :9605573

CAPITULO 6

Fuerzas Repartidas

Momentos de Inercia


:319176, :9605573

El momento de inercia del

elemento de rea

respecto del eje x es:

dIx y dA 2

Momentos de Inercia (I)

El momento de inercia o momento de segundo orden

respecto a un eje en su plano, esta dado por el

producto del rea del elemento y el cuadrado de la

distancia entre el elemento y el eje.


:319176, :9605573

El momento de Inercia de un rea finita respecto a un

eje en su plano es la suma de los momentos de inercia

respecto de ese eje de todos los elementos de rea

contenidos en ella.

Momento de Inercia de un rea Finita

Ix dIx y dA 2

Iy dIy x dA 2

Unidades Las unidades del momento de Inercia son la cuarta

potencia de la unidad de longitud, por ejemplo: cm4

El momento de inercia del elemento de rea respecto

del eje y es: dIy x dA 2


:319176, :9605573Momento Polar de Inercia (Io)

Viene hacer el momento de segundo orden con

respecto a un polo.

2Io dA pero x y2 2 2

2 2( )Io x y d A Io x dA y dA ( ) ( )

2 2

Io Iy Ix


:319176, :9605573Radio de Giro (k)

1 El radio de giro de un rea, respecto al eje x, esta

definido por:

xx

Ik

A

2 El radio de giro de un rea, respecto al eje y, esta

definido por:

y

y

Ik

A

3 El radio de giro de un rea, respecto al polo (o),

est dado por:


:319176, :9605573

oo

Ik

A

Teorema de Steiner

2

x xI I Ad

2

y yI I Ac


:319176, :9605573El momento de Inercia de un rea respecto a un eje

cualquiera, es igual al momento de inercia respecto a

un eje paralelo que pasa por el centro de gravedad

mas el producto del rea por el cuadrado de la

distancia entre los dos ejes.

Producto de Inercia Ixy

El producto de inercia de un rea respecto de los ejes

x e y, esta definido por:

xyI xydA


:319176, :96055731 A diferencia de los momentos de inercia Ix, Iy; el

producto de inercia Ixy puede ser positivo o

negativo. 2 Cuando uno de los ejes x, y ambos, son ejes de

simetra del rea A, el producto de inercia Ixy es igual a

cero.

3 El producto de inercia de un rea respecto a los

ejes x e y, es igual al producto de inercia del rea con

respecto a los ejes centroidales, mas el producto de

las distancias de los ejes centroidales por el rea.

xy x yI I Acd


:319176, :9605573Fsicamente el momento de inercia es la resistencia

que ofrecen los cuerpos a la aceleracin angular por

efecto de un momento de fuerza.


:319176, :9605573Momento de Inercia respecto a ejes inclinados

Por definicin

2

xI y d A x ysen x cos

y y xsencos


:319176, :9605573

IxIx Iy Ix Iy

Ixysen

2 2

2 2cos (1)

Para el momento de inercia con respecto al eje y, reemplazamos por (+90).

Direccin de ejes principales

dIx

d

0

22 m

Ixytg

Ix Iy

2( 2 )m

Ixytg

Ix Iy


:319176, :9605573Productos de Inercia con respecto a ejes inclinados

Ix y x y dA

Ix y IxyIx Iy

sen

cos22

2 (2)


:319176, :9605573Circulo de Mhor

De (1) y (2) ordenando y sumando el cuadrado,

tenemos:

Ix y IxyIx Iy

sen

cos22

2

IxIx Iy Ix Iy

Ixysen

2 2

2 2cos

2 2 2[ ( )] [ ] ( ) ( )2 2

x y x y

x x y xy

I I I II I I

( )x h y R 2 2 2 Ecuacin de un Circulo


:319176, :9605573

x I x

y Ix y

2

Ix Iyh

2 2( )2

Ix IyR I xy

Los momentos de inercia, se representan en el eje de

las abcisas y los productos de inercia a lo largo del eje

de las ordenadas.

2 2 2[ ( )] [ ] ( ) ( )2 2

x y x y

x x y xy

I I I II I I

( )x h y R 2 2 2


:319176, :9605573


:319176, :9605573Construccin:

Para dibujar un crculo cuyo centro se encuentra en el

eje de los momentos, es necesario conocer

adicionalmente dos puntos de paso del circulo, por lo

tanto de las ecuaciones (1) y (2):

Punto A

0

Ix Ix

Ix y Ixy

Punto B

0

Ix Iy

Ix y Ixy

Ix y IxyIx Iy

sen

cos22

2

IxIx Iy Ix Iy

Ixysen

2 2

2 2cos


:319176, :9605573

I

I

I

I

I

X'

X'YX

XY

I Y

I XY

-

X

Y

I maxI min

max

min

p1

p2

p1

X+ I Y2

A

B

2

2

2

I X'Y

I X'Y


:319176, :9605573Momentos de Inercia Mximo y Mnimo

mI2

in

Ix IyR

mI2

ax

Ix IyR

2 2

m ,maxI ( ) ( )2 2

in

Ix Iy Ix IyIxy

I

I

I

I

I

X'

X'YX

XY

I Y

I XY

-

X

Y

I maxI min

max

min

p1

p2

p1

X+ I Y2

A

B

2

2

2

I X'Y

I X'Y


:319176, :9605573


:319176, :9605573Problema.- Para la seccin mostrada, hallar:

a) Ix, Iy, Ixy b) Orientacin de los

ejes principales que

pasa por el origen.

c) Momentos principales

de Inercia.

d) Comprobar los

resultados anteriores

usando el circulo de Mhor. 8

6

2

2

y

x

d) Determinar el momento y producto de Inercia, para

un ngulo de 45, medido a partir del eje x en sentido antihorario


:319176, :9605573a) 3

1

12.6 144

3Ix

3

2

16.2 16

3Ix

3

1

12 .6 16

3Iy

3 2

2

16 .2 6.2.5 336

12Iy

Ix 160

Iy 352

8

6

2

2

y

x

1

2


:319176, :96055732 2

1

2 . 63 6

4I x y

2 0 5 .1 .( 6 .2 ) 6 0Ix y

Ixy 96

8

6

2

2

y

x

1

2


:319176, :9605573

22 m

Ixytg

Ix Iy

2.962 1

160 352

2 45 22.5

m

m m

tg

2 2

m ,m axI ( ) ( )2 2

in

Ix Iy Ix IyIxy

2 2

m ,max

160 352 160 352I ( ) (96)

2 2in

m

m

I 3 9 2

I 1 2 0

a x

i n

b)

c)


:319176, :9605573

I

I

X'

X'Y

x

y

160,96

352,-96

d)


:319176, :9605573d)

A(160,96)

B(352,-96)

Ixy

Ix

x

y


:319176, :9605573

I

I

X'

X'Y

x

y

391.76,0

120.24,0

135

45

160,96

352,-96


:319176, :9605573

I

I

X'

X'Y

x

y

391.76,0

120.24,0

135

45

352,96

160,96

90

160,96

352,-96

Del grafico:

Iu =160

Iv =352

Iuv=-96


:319176, :9605573a)

8

6

2

2

y

x

1 2

3

3

1

12.2 5.33

3Ix

3

2

16.2 16.00

3Ix

3 2

3

12.4 (4 2) 4 138.67

12Ix

1 160.00Ix

3

1

12 .2 5.33

3Iy

3 2

2

16 .2 (6 2)5 336

12Iy

3

3

12 .4 10.67

3Iy 3 352Iy


:319176, :9605573

2 2

1

12 .2 4

4Ixy

2 (6 2)1 5 60Ixy

3 (2 4)4 1 32Ixy

96Ixy 8

6

2

2

y

x

1 2

3


:319176, :9605573

CAPITULO 7

Anlisis de Estructuras


:319176, :9605573Armaduras

Una armadura, es una unidad estructural en la que los

miembros estn arreglados de tal manera que forman

uno o mas tringulos conectados.

Todos los miembros de una armadura, puede actuar

bajo dos tipos de fuerza; ya sea en tensin o en

compresin.

Si un miembro esta a tensin, la fuerza del miembro

provoca una fuerza de traccin en el nudo.

Si el miembro esta en compresin, la fuerza del

miembro provoca una fuerza de empuje en el nudo.


:319176, :9605573Existen tres mtodos para solucionar una armadura, a

saber:

a) Mtodo de los nudos

b) Mtodo de las secciones

c) Mtodo grfico

Problema N01.- Determinar, usando el mtodo de los

nudos, las fuerzas axiales en las barras de la

estructura representada, as como tambin las

reacciones en los soportes, (indicar la calidad de las

barras).


:319176, :9605573

2kn 2kn

A B

C

D


:319176, :96055732kn 2kn

A B

C

D

Nudo B

0xF 0BA BDCos

0yF

2 0BDSen

5.20BD KN

4.80BA KN


:319176, :9605573Nudo A

0xF

0yF

0AB ACCos

5.20AC KN

2 0AD ACSen

4.00AD KN

2kn 2kn

A B

C

D


:319176, :96055732kn 2kn

A B

C

D

0yF

0DA DBSen Dy

6.00Dy KN

0DBCos DC

4.80DC KN

Nudo D

0xF Dy


:319176, :96055732kn 2kn

A B

C

D

0Cx CD CACos

0Cx

0Cy CASen

2.00Cy KN

0yF Nudo C

0xF

Cx

Cy


:319176, :9605573Diagrama de Cargas

2kn 2kn

A B

C

D

4.8

5.24

4.8

5.2

2 6


:319176, :9605573Problema No2.- Determinar las fuerzas axiales en las

barras FH, GH y GI de la estructura representada:

1kn

1kn

1kn

1kn

1kn

5kn 5kn 5kn

5 5 5 5 5 5

30

A

F

L

H

G

8m


:319176, :9605573Mtodo de las secciones

Calculo de las reacciones

0AM

7.50yL KN

1 (5 10 15 20 25) 30 5 (5 10 15) 0yL

1kn

1kn

1kn

1kn

1kn

5kn 5kn 5kn

A

F

H

G

12.5kn 7.5kn


:319176, :9605573

1kn

1knH

G

7.5kn

I

HF

HG

IG

0GM

15 1 10 7.5 15 1 5 0HF Sen 13.81HF KN

0HM 16

1 5 7.5 10 03

IG

13.13IG KN


:319176, :96055730LM

15 1 10 1 5 0HG Sen

1.37HG KN Problema No3.- En la armadura del problema No1,

calcular las fuerzas en cada una de las barras as

como su respectiva calidad.

Solucin

Cuando se tienen muchas barras que calcular, es

engorroso aplicar el mtodo de los nudos, por lo que

se aplica el mtodo grafico o mtodo de Maxwell-

Cremona.


:319176, :9605573Mtodo Grfico o Mtodo de Maxwell-Cremona

1.- Se calculan las fuerzas externas (reacciones en los

apoyos).

2.- Se grafica la estructura a una escala conveniente.

3.- Se nombra la estructura con la notacin de Bow.

4.- Se grafica las fuerzas externas a una escala

conveniente.

5.- Se empieza a resolver grficamente las barras en

cada uno de los nudos, teniendo en cuenta que para

ello se debe ir al nudo que tiene dos incgnitas

(barras).


:319176, :9605573

5.2 4

2kn 2kn

A B

C

D

2 6

a

b

c

d

e

f

2kn 2kn

A B

C

D

2 6

1.-

a

b

c

d e f

6 2

2 y 3.-

4 y 5.-

2 2

4.8

4.8

5.2


:319176, :9605573

1kn

1kn

1kn

1kn

1kn

5kn 5kn 5kn

A

F

H

G

12.5kn 7.5kn

1.-

Problema No4.- En el Tijeral del problema No2, calcular

las fuerzas en cada una de las barras as como su

respectiva calidad.

8m


:319176, :9605573

1kn

1kn

1kn

1kn

1kn

5kn 5kn 5kn

5 5 5 5 5 5

30

A

F

L

H

G

8

2.-


:319176, :96055733.-

1kn

1kn

1kn

1kn

1kn

5kn 5kn 5kn

A

F

H

G

12.5kn 7.5kn

a

b

c

d e

f

g

hij

k l

m

n

o p

qr

s t


:319176, :9605573

1kn

1kn

1kn

1kn

1kn

5kn 5kn 5kn

A

F

H

G

12.5kn 7.5kn

a

b

c

d e

f

g

hij

k l

m

n

o p

qr

s t

a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

k

l

m

n

o

p

q

r

s,t

4.-


:319176, :9605573

a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

k

l

m

n

o

p

q

r

s,t

1kn

1kn

1kn

1kn

1kn

5kn 5kn 5kn12.5kn 7.5kn

a

b

c

de

f

g

hij

k l

m

n

o p

qr

s t26

.56

5.0

0

23.44

20.17

13.81

13.81

8.0

0

12

0.5

0

0.0

0

23.44 17.81 13.13 14.06 14.06

6.38

8.22 1.37

1.06

14.88

15.94


:319176, :9605573Marcos

Un marco esta conformado por una serie de

miembros, las que se localizan en un solo plano y que

todas las fuerzas que actan sobre esta estructura

quedan en el plano de la estructura.

La diferencia entre una armadura y un marco, es que

las fuerzas actuantes en este ltimo, pueden estar

ubicado ya sea en los puntos de conexin de sus

miembros o en cualquier lugar intermedio a lo largo

de la longitud de los miembros del marco.

Las cargas pueden ser concentradas, de momento y

distribuidas.


:319176, :9605573Ejemplos:


:319176, :9605573


:319176, :9605573Anlisis de Fuerzas en los Marcos

1 Trazar el diagrama de cuerpo libre del marco

completo.

2 Imaginar el marco desarmado y trazar el diagrama

de cuerpo libre de cada uno de los miembros del

marco.

3 Si un miembro es una barra de armadura, la fuerza

desconocida que acta sobre ella se dibuja con

direccin conocida con un sentido real supuesto.

4 Todos los valores de fuerzas calculadas negativas

se trataran como cantidades negativas a travs del

resto de la solucin.


:319176, :9605573Problema.- Hallar las fuerzas en todas las juntas del

marco indicado en la figura.


:319176, :9605573

0eM 200(3) (9) 125(12) 0cR

233cR lb

0xF 200 0exR

200exR

125 0ey cR R

0yF

108eyR


:319176, :9605573

(a)

(b)

(c)


:319176, :96055730dM

200(3) (6.93) 0axR

87axR lb

0xF 200 0ax dxR R

113dxR lb

0yF 0ay dyR R (1)

(a)


:319176, :9605573

0dM

108(6) 233(3) (12) 0byR 112byR lb

(b)


:319176, :96055730xF

200 0dx bxR R

200 113 0bxR 87bxR lb

0yF 108 233 0dy byR R

108 233 112 0dyR 13dyR lb

En la Ecuacin N1

( 13) 0ayR 13ayR lb


:319176, :9605573

87

233 112

Diagrama de Cargas

200

a

d

125 a

b d c e

87

13

113

13

113

13

200

108

87

13

87 112

(a)

(b)

(c)

b


:319176, :9605573

87

13 200

113

13

87

13

125

87

108 233 112

13

113

200

87

112

Diagrama de Cargas


:319176, :9605573

A B

C D

E

8Kips

2ft 5 3 1 2

5

2

Problema.-

Hallar las

fuerzas en

todas las juntas

del marco

indicado en la

figura.


:319176, :9605573

A

By

C D

E

8Kips

2ft 5 3 1 2

5

2

0AM

+

Ay

Ax

(8)(13) 11 0yB

9.45yB Kips

0BM

+

( )(11) (8)(2) 0yA

1.45yA Kips

0xF

0xA


:319176, :9605573

By

8Kips

Cy

Ax

Cx

Ey

Ex

Cy

Cx

Dy

Dx

Ey

Ex

Dy

Dx

Ay

(a)

(b)


:319176, :96055730CM

+

(8)(11) 8 0yD

11yD Kips

0DM

+

( )(8) (8)(3) 0yC

3yC Kips

0xF

0x xD C x xD C

0EM

+

( )(7) 3 5 ( )(5) 0y xA C

0.97xC Kips

0xF 0x xE C

0.97xE Kips

0yF

0y y yA C E


:319176, :96055731.55yE Kips

RESUMEN

0 , 1.45

9.45

0.97 , 3

0.97 , 11

0.97 , 1.55

x y

y

x y

x y

x y

A Kips A Kips

B Kips

C Kips C Kips

D Kips D Kips

E Kips E Kips

3

0.97

1.55

0.97

1.45

(b)


:319176, :9605573

8Kips

3

0.97

11

0.97

(a)

0 , 1.45

9.45

0.97 , 3

0.97 , 11

0.97 , 1.55

x y

y

x y

x y

x y

A Kips A Kips

B Kips

C Kips C Kips

D Kips D Kips

E Kips E Kips

9.45

1.55

0.97

11

0.97


:319176, :9605573Cadenas y Cables

A menudo encontramos cables o cadenas que se

utilizan para soportar cargas.

En los puentes colgantes, se encuentra disposiciones

coplanares en las cuales un cable soporta una gran

carga. En tales casos el peso propio del cable suele

ser insignificante.

En las lneas de alta tensin elctrica la fuerza principal

es el peso propio del cable.


:319176, :9605573Cables Flexibles con Cargas Concentradas

El anlisis de un cable flexible de esta clase suele

consistir en encontrar las reacciones en los soportes,

la fuerza en cada segmento del cable y la

configuracin del cable cargado.

Problema.- Dado el cable flexible que se muestra en la

figura, determnese las fuerzas de reaccin en A y F,

las fuerzas en cada segmento del cable y las

dimensiones yc, yd , ye.


:319176, :9605573

3

2m 3 5 4 2

60kn

80kn 70kn

90kn

A

B

C

D

E

F

2

16m

yc yd

ye


:319176, :9605573

3

2m 3 5 4 2

60kn

80kn 70kn

90kn

A

B

C

D

E

F

2

16m

yc yd

ye

RA RF

Ax

Ay Fy

Fx

Diagrama de cuerpo libre

yEF


:319176, :96055730FM

+

3 2

y xA A

90 2 70 6 80 11 60 14 16 2 0y xA A

105.50xA kn 158.20yA kn

0yF 60 80 70 90 0y yA F

141.80yF kn

0xF 0x xA F

105.50xF kn


:319176, :9605573FUERZA EN BC

3

2m 3 5 4 2

60kn

80kn 70kn

90kn

A

B

C

D

E

F

2

16m

yc yd

ye

RA RF

Ax

Ay Fy

Fx

yEF


:319176, :9605573

60kn

B

C

Ax

Ay

BCx

BCy

0yF 60 0y yA BC

98.20yBC kn

0xF

0x xA BC

105.50xBC kn

BC

98.20

3 105.50

BC

2.79BC m

5.79c b BCy y m


:319176, :9605573Fuerza en CD

60kn

B

C

Ax

Ay

CDx

CDy

0yF 60 80 0y yA CD

18.20yCD kn

0xF

0x xA CD

105.50xCD kn

D

80kn

CD

18.20

5 105.50

CD 0.86CD m

6.65d c CDy y m


:319176, :9605573

60kn

B

C

Ax

Ay

DEx

DEy

D

80kn 70kn

E

Fuerza en DE

0yF 60 80 70 0y yA DE

51.80yDE kn

0xF

0x xA DE

105.50xCD knDE

51.80

4 105.50

DE

1.96DE m

4.69e d DEy y m


:319176, :9605573Cables Flexibles con Cargas Repartidas

oTCos T

TSen W

2 2

OT T W

O

WTg

T


:319176, :9605573Cable Parablico

2 2 2

OT T w x

O

wxTg

T

0DM +

02

O

xwx T y

2

2 O

wxy

T


:319176, :9605573


:319176, :9605573

2

01 ( )

Bx

B

dyS dx

dx

2

2 O

wxy

T

/ Ody

wx Tdx

2 2

201

Bx

B

O

w xS dx

T


:319176, :96055732 2 4 4

2 40(1 .......)

8

Bx

B

O O

w x w xS dx

T T

2 2 4 4

2 4(1 .......)

6 40

B BB B

O O

w x w xS x

T T

2

2

BB

O

wxy

T

2 42 21 ( ) ( ) .......3 5

B BB B

B B

y yS x

x x

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Estatica 2015