ESTÁTICA DE FLUIDOS

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PUNTOS DE PARTIDA:

1.- Las leyes de Newton junto con las definiciones de la Cinemtica nos permiten resolver, en principio, cualquier problema mecnico.

2.- En el tema 5 se analiz la generalizacin de las leyes de Newton a un sistema formado por muchas partculas.

3.- Posteriormente focalizamos nuestro estudio en sistemas de partculas en los cuales, debido a que las fuerzas internas son muy grandes, la posicin relativa de las partculas que lo forman son invariables (slido-rgido).

OBJETIVOS PRINCIPALES DEL TEMA

1.- Analizar sistemas de partculas cuyas fuerzas internas son pequeas. La aplicacin de fuerzas externas produce una deformacin infinita (fluidos).

2.- Conocer que magnitudes fsicas se usan para caracterizar este tipo de sistemas.

3.- Conocer las leyes de la Fsica que definen el estado esttico de este tipo de sistemas de partculas.

Fluidos. Introduccin

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DINMICA DE LA PARTCULA PUNTUAL

Fluidos. Introduccin.

FUERZA

MASA

DINMICA DEL SLIDO-RGIDO

FUERZA

MASA

MOMENTO DE UNA FUERZA

MOMENTO DE INERCIA

DINMICA DE FLUIDOS PRESIN

DENSIDAD

El slido rgido es un sistema de partculas con fuerzas internas infinitas por lo que la posicin relativa de las partculas dentro del sistema no vara. Esto hace que el estudio de la dinmica del slido rgido pueda realizarse mediante los conceptos introducidos en la dinmica de la partcula puntual ms conceptos nuevos para introducir el movimiento de la rotacin.

Los fluidos son sistemas de partculas en los que las fuerzas internas son muy dbiles lo que hace que cualquier fuerza externa por pequea que sea los deforme infinitamente. Esto provoca que no puedan mantener una forma determinada y se adapten a la forma del recipiente que los contiene. Esto hace que para caracterizar su estudio sea necesario la inclusin de nuevas magnitudes fsicas apropiadas que sustituyan respectivamente a la fuerza y a la masa.

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Fluidos. Introduccin

1.- Introduccin.

2.- Presin y densidad.

3.- Teorema fundamental de la esttica de fluidos. Presin atmosfrica.

4.- Principio de Arqumedes. Flotacin.

5.- Fenmenos de superficie. Tensin superficial.

ESQUEMA DE DESARROLLO

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Fluidos. Presin y densidad

Como se vio en el tema anterior entre los tomos o molculas que forman los materiales aparecen fuerzas denominadas inter-atmicas o inter-moleculares cuyo origen es electromagntico de forma que si los tomos se acercan demasiado estas fuerzas son repulsivas y si se alejan demasiado son atractivas tal y como se muestra en el grfico. En funcin de lo intensas que sean estas fuerzas podemos hacer una clasificacin de los materiales:

ESTADOS DE LA MATERIA

PUNTO DE EQUILIBRIO

FUERZAS REPULSIVAS

FUER

ZA D

E IN

TERA

CCIO

N

DISTANCIA

0

FUERZAS ATRACTIVAS

d=distancia equilibrio

Slidos: Aquellos en los que las fuerzas intermoleculares son tan grandes que las molculas permanecen fijas en sus posiciones espaciales relativas.

Fluidos: Aquellos para los que las fuerzas intermoleculares no son suficientemente grandes como para que las molculas permanezcan fijas en sus posiciones espaciales y fluyen o cambian su forma cuando se aplican fuerzas externas.

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Dentro de los fluidos podemos distinguir dos tipos bien diferenciados:

ESTADOS DE LA MATERIA

PUNTO DE EQUILIBRIO

FUERZAS REPULSIVAS

FUER

ZA D

E IN

TERA

CCIO

N

DISTANCIA

0

FUERZAS ATRACTIVAS

d=distancia equilibrio

Lquidos: Aquellos para los que las fuerzas intermoleculares son suficientemente grandes como para que la distancia de equilibrio intermolecular permanezca prcticamente fija ante fuerzas externas.

Gases: Aquellos en los que las fuerzas intermoleculares son tan pequeas que en realidad cada tomo se mueve casi libremente por todo el espacio.

Como veremos a lo largo de este tema y del que viene muchas de las caractersticas de los fluidos son comunes a lquidos y gases. Sin embargo, otras caractersticas sern especficas de unos u otros. En concreto las magnitudes que se utilizan para caracterizar el estado mecnico de los fluidos (la presin y la densidad) son comunes a los lquidos y los gases.

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En cada una de estas colisiones las molculas del gas cambian su cantidad de movimiento debido a la fuerza que la pared ejerce sobre ellas. Segn vimos temas anteriores esta fuerza puede calcularse como el cociente entre la variacin de la cantidad de movimiento y el intervalo de tiempo durante el cual se produce el choque.

PRESIN

iv

i ip mv

Antes del choque

fv

f fp mv

Despus del choque

En virtud de la tercera ley de Newton la partcula ejerce sobre la pared una fuerza de igual magnitud direccin y sentido contrario, es decir:

Pared sobre partculaf ip pp F

t t

Si promediamos el nmero de choques que tienen lugar por unidad de tiempo y la fuerza media ejercida sobre la pared en cada uno de esos choques podemos calcular la fuerza que realizan las molculas del fluido sobre la pared. Finalmente, debido a que esos choques tienen lugar aleatoriamente sobre la superficie del recipiente es necesario promediar la fuerza por unidad de superficie. De esta forma llegamos al concepto macroscpico de presin.

Partcula sobre pared Pared sobre partculaF F

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PRESIN

La presin que una fuerza ejerce sobre una superficie es igual al cociente entre el valor de la componente normal a la superficie de la fuerza y el valor del rea de la superficie.

FPA=

A

F

F

F

Es interesante hacer notar que la presin es un escalar puesto que nos estamos refiriendo slo a las fuerzas normales o perpendiculares a la superficie. Por otro lado, de la definicin, se deduce que la unidad de presin en el sistema internacional es el newton/(metro)2, o N/m2 (a esta unidad se le denomina Pascal (Pa), 1 Pa = 1 N/m2). En la prctica tambin se usan con frecuencia otras unidades, que describiremos ms adelante.

Ejercicio.- Una persona de 80 kg de masa se encuentra de pie en reposo. Suponiendo que la superficie de la planta de sus pies es 100 cm2, calcule la presin que ejerce dicha persona sobre la tierra. Cul sera la presin que la tierra ejerce sobre la persona?

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Ejercicio.- Un coche de 1500 kg est apoyado sobre cuatro ruedas, que se encuentran infladas a una presin manomtrica de 200 kPa. Cul es el rea de contacto de cada rueda con el suelo, suponiendo que las cuatro ruedas soportan el peso por igual?

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DENSIDAD

De igual forma que hemos visto que para analizar las interacciones en los fluidos es mejor utilizar el concepto de presin en lugar del de fuerza, vamos a ver, a continuacin, que en lugar de utilizar el concepto de masa inercial es mejor utilizar el concepto de densidad.

La masa de un cuerpo, que hemos utilizado en otros temas, depende de la cantidad de materia y del tipo de material que est hecho el cuerpo. Esta magnitud es til cuando consideramos cuerpos slidos en los que, si despreciamos las deformaciones que sufren, no vara el volumen. De esta forma la masa de un slido depende bsicamente de su volumen y el tipo de material del que est hecho el slido. Sin embargo esto no es as en los fluidos (fundamentalmente en los gases). Debido a que la cantidad de materia de un gas que tengo en un determinado volumen depende de la presin a la que tenga sometido el gas podemos encontrarnos que iguales volmenes de un mismo gas tengan masas diferentes. Por eso, en este caso es mucho ms til utilizar el cociente entre la cantidad de materia y el volumen. De esta forma definimos:

La densidad de una sustancia es el cociente entre la masa y el volumen de un cuerpo cualquiera de esta sustancia

mV

=

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- De esta definicin se deduce que la unidad de densidad, en el Sistema Internacional, es el kilogramo/(metro cbico) o kg/m3. Con frecuencia, se utiliza el litro como unidad de volumen y, en consecuencia, es tambin normal encontrar la densidad medida en kilogramos por litro, tenindose que 1 kg/1 = 1000 kg/m3.

- La densidad de cualquier sustancia depende tanto de la presin, como de la temperatura a la que est sometida. As, una descripcin completa de la densidad requiere una especificacin de la presin y la temperatura a las que se refiere la medida. Cuando dichas magnitudes no se especifican se sobreentiende que la densidad corresponde a condiciones normales (ambientales) de presin y temperatura.

- En los lquidos y en los slidos los cambios de la densidad con la presin y la temperatura son muy pequeos, de manera que pueden ser ignorados en muchas aplicaciones.

- En los gases, sin embargo, la presin y la temperatura afectan drsticamente a la densidad, y su dependencia no puede ser, en absoluto, despreciada.

- Los slidos y los lquidos poseen todos ellos densidades bastante similares, mientras que los gases, en condiciones normales, tienen densidades unas mil veces menor que las tpicas de slidos y lquidos.

DENSIDAD

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La tabla muestra algunos valores tpicos para la densidad de algunas sustancias en condiciones normales.

Sustancia Densidad (kg/l) Oro 19,3 Mercurio 13,6 Plomo 11,3 Cobre 8,93 Hierro 7,96 Tierra 5,52 Aluminio 2,7 Vidrio 2,4-2,8 Hueso 1,6-1,7 Sangre 1,05 Agua de mar 1,025 Agua destilada 1 Aceite 0,93 Hielo 0,92 Alcohol (Etanol) 0,806 Madera (Roble) 0,6-0,9 Aire 0,0013 Aire (20 C) 0,0012 Helio 0,00018

Densidades de algunas sustancias para P=1 atm, t=0 C.

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En general, un aumento de la temperatura suele producir una disminucin de su densidad. Esto puede explicarse de la siguiente forma: un aumento de la temperatura de un cuerpo produce, en general, un aumento de la agitacin trmica, mientras las fuerzas interatmicas permanecen constantes, haciendo que el volumen del cuerpo aumente y por tanto que su densidad disminuya. Mientras que una disminucin de la temperatura produce una disminucin de la agitacin trmica haciendo que el volumen disminuya y por tanto la densidad aumente. Una excepcin a este caso general la presenta el agua cuya densidad aumenta desde los cero grados hasta los 4 C aproximadamente. A partir de esta temperatura la densidad del agua disminuye conforme aumenta la temperatura tal y como se muestra en la figura.

(b)

Dependencia de la densidad del agua con la temperatura

Dependencia normal de la densidad de un cuerpo con la temperatura

0 4 8 12 16 200.9980

0.9982

0.9984

0.9986

0.9988

0.9990

0.9992

0.9994

0.9996

0.9998

1.0000

1.0002

(g

r/cm

3 )

T (C)

T

(a)

DEPENDENCIA DE LA DENSIDAD CON LA TEMPERATURA

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Ejercicio.- Dos objetos esfricos difieren en masa y en tamao. El objeto A tiene una masa que es ocho veces la masa del objeto B. El radio del objeto A es dos veces el radio del B. Cmo estn relacionadas sus densidades? (a) A>B, (b) A

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Fluidos. Teorema fundamental de esttica de fluidos. Presin atmosfrica.

Estamos ahora en condiciones de poder calcular el valor de la presin en cada punto de un fluido cuando ste se encuentra en reposo, es decir, en el caso esttico. Imaginemos la situacin representada en la figura, en donde se tiene un fluido encerrado en un recipiente con la pared superior mvil, y sobre la que se ejerce una determinada fuerza hacia abajo. A primera vista,

DEDUCCIN DEL TEORMA FUNDAMENTAL DE ESTTICA DE FLUIDOS

F

A

podra pensarse que slo existe presin en la superficie superior del fluido, pues es la nica sobre la que acta una fuerza externa. Sin embargo, esto no es correcto ya que en todo fluido la presin se transmite absolutamente a todos los puntos del mismo y en todas direcciones. As, si practicamos un agujero en cualquiera de las paredes, el fluido saldr con una velocidad que ser tanto mayor cuanto mayor fuese la fuerza externa, lo que indica que la presin se transmite a todas partes. Sucede que la fuerza externa presiona sobre las molculas cercanas a la superficie superior, que a su vez lo hacen sobre las molculas de las capas adyacentes, y as sucesivamente. En equilibrio, todo el fluido siente la presin ejercida por la fuerza externa.

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Para calcular el valor de la presin en cada punto, concentrmonos en el cubo imaginario, de lado L, dibujado dentro del recipiente de la figura 4. En el caso esttico, dicho cubo de fluido ha de estar en equilibrio, de forma que las distintas fuerzas que acten sobre l habrn de compensarse, pues de lo contrario se movera. Aun en el caso esttico, habr molculas de fluido

DEDUCCIN DEL TEORMA FUNDAMENTAL DE ESTTICA DE FLUIDOS

que saldrn del cubo y otras que entrarn en l, pero el nmero medio de las molculas que entren ser igual al de las que salgan. El cubo, considerado como un todo, no se mover.

Aplicando la segunda ley de Newton al cubo se llega a:

Dividiendo todos los miembros de esta ecuacin por L2, se obtiene finalmente

que se conoce con el nombre de ecuacin fundamental de esttica de fluidos.

F

A

L

Fs

Fi

Fl

Fl

Fl

Fl

2 2 3i SP L P L g L = +

i SP P g L= +

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Podemos resumir el resultado obtenido diciendo:

En cualquier punto de un fluido la presin es la misma en todas las direcciones y depende nicamente de la altura del punto, viniendo dada dicha dependencia por la ecuacin:

siendo P0 la presin en un punto de referencia determinado y h la diferencia de alturas entre el punto de referencia y aquel en donde se mide la presin.

Notemos que, en la anterior ecuacin, h es negativo si el punto considerado est por encima del de referencia, y positivo si est por debajo. Cuando se trata de un lquido, se suele tomar como nivel de referencia el de su superficie. Adems, con frecuencia dicha superficie est sometida a la presin atmosfrica, que ser estudiada ms abajo.

La ecuacin es vlida tanto para lquidos como para gases, aunque para stos ltimos resulta con frecuencia despreciable la contribucin gravitatoria, debido a la poca densidad que hemos visto poseen. As, por ejemplo, el aumento de presin que experimentamos, y en especial nuestros odos, cuando nos sumergimos un metro bajo el agua es aproximadamente equivalente a la disminucin de presin que sufrimos cuando escalamos una altura de 800 m, ya que la densidad del aire es unas ochocientas veces menor que la del agua.

0P P g h= +

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No obstante lo anterior, existe una contribucin gravitatoria del aire que no puede ser ignorada: la presin atmosfrica. Dicha presin est producida por el peso de la atmsfera, es decir, por el peso de la columna de aire situada sobre nuestras cabezas. Todo nuestro cuerpo est sometido a dicha presin. Cuando se tiene un lquido con una superficie libre, la presin en dicha superficie es la atmosfrica. La presin atmosfrica depende de las condiciones meteorolgicas y de la altura. Existe una unidad de presin llamada atmsfera (atm) que se define como la presin atmosfrica en condiciones meteorolgicas normales (0 C a 45 de latitud) y a la altura del nivel del mar, y su valor es igual a:

En general, las medidas de presin nos dan valores con respecto a la presin atmosfrica y no valores absolutos. As, por ejemplo, cuando medimos la presin de la sangre, en realidad, estamos obteniendo el valor que sta tiene por encima de la presin atmosfrica. Los valores de la presin de los neumticos de un coche vienen referidos, de nuevo, con respecto a la presin atmosfrica. Esto es as puesto que la presin manomtrica es la que interesa a nivel prctico. Por ejemplo, en los neumticos de los todoterrenos que se utilizan para excursiones en las que se salva una gran diferencia de altura se tiene que soltar aire cuando suben para que no revienten, mientras que a la bajada tienen que llevar un compresor para introducir aire y evitar que el neumtico se deshinche.

PRESIN ATMOSFRICA

5 21 atm = 1.01310 N/m

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Otra unidad de presin muy utilizada es el milmetro de mercurio (mm de Hg) que se define como la presin producida por el peso de una columna de mercurio de un milmetro de altura. Al milmetro de mercurio tambin se le denomina tor. No es necesario especificar la anchura de la columna, pues el teorema fundamental de la esttica de fluidos nos asegura que la presin depende nicamente de la altura y no de la anchura. Una columna de seccin doble que otra pesar el doble, pero dicha fuerza se repartir tambin sobre un rea doble, y la presin ser la misma. El mencionado teorema nos permite calcular a cuantos Pascales corresponde un milmetro de mercurio

Teniendo en cuenta este resultado, encontramos que una atmsfera equivale a 760 mm de Hg, como dedujo, por primera vez, Torricelli a mediados del siglo XVII.

PRESIN ATMOSFRICA

3 2 21 mm de Hg = 13600 Kg/m 9.8 m/s 0.001 m = 133 N/m

Ejercicio.- Si la presin manomtrica se duplica, la presin absoluta (a) se reduce a la mitad, (b) se duplica, (c) no se modifica, (d) aumenta en un factor mayor que 2, (e) aumenta en un factor menor que 2.

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Ejercicio.- Si la presin manomtrica se duplica, la presin absoluta (a) se reduce a la mitad, (b) se duplica, (c) no se modifica, (d) aumenta en un factor mayor que 2, (e) aumenta en un factor menor que 2.

Ejercicio.- Un tubo en U se llena de agua hasta que el nivel del lquido est a 28 cm por encima del fondo del tubo. En una de las ramas del tubo se vierte ahora un aceite de densidad 0,78 gr/cm3 hasta que el nivel del agua en la otra rama se encuentra a 34 cm por encima del fondo del tubo. Determinar el nivel de las interfases aceite-aire y aceite-agua en la rama donde se hizo el vertido del aceite.

Ejercicio.- En la presa que muestra la figura el agua alcanza una altura H. La dimensin de la presa perpendicular al plano del papel es L. Cul es la fuerza resultante sobre la presa? Cul es el momento que produce el agua respecto a un eje perpendicular al plano del papel y que pasa por B?

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TEOREMA DE PASCAL

En la obtencin de la ecuacin fundamental de la esttica de fluidos hemos hecho dos aproximaciones muy importantes:

1.- Hemos supuesto que la fuerza de la gravedad es constante, cosa que sabemos que no es cierta.

2.- Hemos supuesto que la densidad del fluido es constante. Esto es ms o menos cierto en los fluidos incompresibles (lquidos) pero no se cumple en general para los gases.

Si consideramos un fluido incompresible y despreciamos la diferencias de altura en el fluido la ecuacin fundamental de la esttica de fluidos nos dice que la presin es la misma en cualquier punto del fluido. Este resultado se cono ce con el nombre de Teorema de Pascal que puede enunciarse formalmente como sigue:

La presin aplicada a un lquido encerrado dentro de un recipiente se transmite por igual a todos los puntos del lquido y a las propias paredes de dicho recipiente.

Todas las mquinas hidrulicas se basan en este principio.

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EJEMPLO DE APLICACIN DEL TEOREMA DE PASCAL (ELEVADOR HIDRALICO)

22 1 1

1

AF F FA

Ejercicio.- Se utiliza un elevador hidrulico para levantar un automvil de 1500 kg de masa. El radio del eje del elevador es 8 cm y el del pistn es de 1 cm. Cunta fuerza debe aplicarse al pistn para levantar el automvil?

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Fluidos. Principio de Arqumedes. Flotacin.

Una consecuencia importante del teorema fundamental de la esttica de fluidos es el llamado principio de Arqumedes que puede enunciarse como sigue:

Todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta una fuerza de empuje hacia arriba igual al peso del fluido desalojado.

PRINCIPIO DE ARQUMEDES

E

P

f dN

c

c f d c f d

E V gF P E

P mg Vg

Vg V g V V g

V

dV

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El principio de Arqumedes es en realidad un teorema puesto que puede demostrarse a partir de un resultado ms general como es la ecuacin fundamental de la esttica de fluidos.

DEMOSTRACIN DEL PRINCIPIO DE ARQUMEDES

F

A

L

Fs

Fi

Fl

Fl

Fl

Fl

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Ejercicio.- Un barco que navega por agua de mar (densidad 1,025 gr/m3) pasa a navegar por un rio (agua dulce), donde lgicamente se hunde un poco ms. Cuando en un puerto descarga 600000 kg, vuelve a su posicin original. Suponiendo que los laterales del barco son verticales en la lnea de flotacin, calcular la masa del barco antes de la descarga.

Ejercicio.- Un submarino tiene una masa total de 2,4106 kg, incluyendo la tripulacin y el equipo. La nave consta de dos partes: la cabina presurizada, que tiene un volumen de 2103 m3, y los tanques de inmersin, que tienen un volumen de 4102 m3. Cuando el submarino navega sobre la superficie, los tanques de inmersin se llenan de aire a presin atmosfrica; cuando navega sumergido, estos tanques se llenan de agua marina. (a) Qu fraccin del volumen del submarino est por encima de la superficie cuando los tanques estn llenos de aire? (b) Qu cantidad de agua debe admitirse en los tanques para que el submarino neutralice exactamente su peso con la fuerza ascensional? Despreciar la masa del aire en los tanques y utilizar el valor 1,025 para la densidad especfica del agua del mar.

Ejercicio.- Determinar la fraccin de un iceberg que permanece por debajo de la superficie del mar. DATOS: densidades del agua y del hielo, respectivamente, Agua = 1028 kg/m3 y Hielo = 917 kg/m3. Ejercicio.- Un globo sonda meteorolgico lleno de helio tiene una masa de 15 kg (globo ms helio ms instrumentos) y una forma esfrica con un radio de 2,5 m. (a) Cuando se suelta el globo desde el nivel del mar, cul es la aceleracin inicial a la que est sometido? (b) Si la fuerza de arrastre sobre el globo viene dada por , donde r es el radio del globo, es la densidad del aire, y v es la velocidad a la que sube el globo, calcular la velocidad lmite ascendente.

2 2 / 2DF r v

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Fluidos. Fenmenos de superficie. Tensin superficial.

Las fuerzas intermoleculares dentro de un lquido estn compartidas con todas las molculas vecinas. Sin embargo, las de la superficie, no tienen molculas por encima y presentan fuerzas atractivas mas fuertes sobre sus vecinas prximas de la superficie. Esto hace que, a nivel macroscpico tengamos que vencer una fuerza en la superficie para introducir un objeto en un fluido. Un objeto como una aguja que una vez introducida en un lquido se hundira puede flotar sobre su superficie debido a este fenmeno que se conoce con el nombre de tensin superficial.

INTERPRETACIN MICROSCPICA DE LA TENSIN SUPERFCIAL

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Una forma de observar los efectos de la tensin superficial es mojar en un lquido una aparato como el que se muestra en la figura. Este consiste en un alambre en forma de U, un alambre deslizante de peso w1 y un peso variable w2. Una pelcula delgada de lquido llena el rea comprendida entre los alambres. Si w2 se escoge adecuadamente, las dos superficies de la pelcula de fluido ejercen una fuerza igual y opuesta al peso, y el alambre deslizante permanece en reposo.

DEFINICIN MACROSCPICA DE LA TENSIN SUPERFICIAL

Se define la tensin superficial como la fuerza por unidad de longitud ejercida por una de las superficies

2Fl

[ ] N[ ][ ] mFL

A

l

F

1 2w w

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VALORES TPICOS DE TENSIN SUPERFICIAL

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De forma general, la tensin superficial de un lquido disminuye cuando aumenta la temperatura.

DEPENDENCIA DE LA TENSIN SUPERFICIAL CON LA TEMPERATURA

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1.- Los pequeos insectos, tales como el zapatero de agua, pueden caminar sobre el agua porque su peso no es suficiente para penetrar la superficie.

2.- Los Jabones y Detergentes ayudan a la limpieza de la ropa al disminuir la tensin superficial del agua, de modo que sta penetra ms fcilmente en los poros y las superficies manchadas.

3.- La principal razn para usar agua caliente para lavar es que su tensin superficial es menor y por tanto un mejor agente de mojado.

EJEMPLOS DE TENSIN SUPERFICIAL

Nmero de diapositiva 1Nmero de diapositiva 2Nmero de diapositiva 3Nmero de diapositiva 4Nmero de diapositiva 5Nmero de diapositiva 6Nmero de diapositiva 7Nmero de diapositiva 8Nmero de diapositiva 9Nmero de diapositiva 10Nmero de diapositiva 11Nmero de diapositiva 12Nmero de diapositiva 13Nmero de diapositiva 14Nmero de diapositiva 15Nmero de diapositiva 16Nmero de diapositiva 17Nmero de diapositiva 18Nmero de diapositiva 19Nmero de diapositiva 20Nmero de diapositiva 21Nmero de diapositiva 22Nmero de diapositiva 23Nmero de diapositiva 24Nmero de diapositiva 25Nmero de diapositiva 26Nmero de diapositiva 27Nmero de diapositiva 28Nmero de diapositiva 29Nmero de diapositiva 30

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