UNIDAD 5

ESTÁTICA

CONTENIDOS: Fuerzas. Medidas de fuerzas. Principio de acción y reacción. Re-presentación gráfica. Escalas. Sistemas de fuerzas. Resultante y equilibrante. Composición de fuerzas concurrentes. Descomposi-ción. Equilibrio. Fuerzas no concurrentes. Momento de una fuerza. Fuerzas paralelas de igual y distinto sentido. Cuplas. Teorema de los momentos. Equilibrio.

DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS

Como supongo que recordarás del ciclo secundario, la ESTÁTICA

es la parte de la Mecánica que estudia el equilibrio de los cuer-

pos.

Un cuerpo está en equilibrio cuando está en reposo o en movi-

miento rectilíneo y uniforme.

Para nuestro curso, supondremos que el cuerpo se encuentra en reposo.

FUERZA

La magnitud fundamental que interviene en los problemas de estáti-ca y del equilibrio de los cuerpos es la FUERZA. Veamos algunas precisiones al respecto.

Llamamos FUERZA a la medida de la interacción mecánica entre

dos o más cuerpos.

No olvides que la unidad SI de fuerza es el N (newton).

Ejemplos de interacciones mecánicas:

Contacto directo entre dos cuerpos (apoyo, golpe), acción gravitato-ria, eléctrica o magnética, acción ejercida por un medio elástico (re-sortes, gases), etc.

La transferencia de calor o la iluminación son ejemplos de acciones no mecánicas y por lo tanto no generan fuerzas. (¿Podemos mover objetos con la mente?)

El siguiente gráfico te ayudará a entender lo que sucede entre dos cuerpos cuando hay una interacción mecánica, en este caso de re-pulsión.

FA/B

se interpreta como "Fuerza que el cuerpo A ejerce sobre el cuerpo B".

En lo sucesivo, haremos abstracción del cuerpo que ejerce la fuer-za; se representará solamente el cuerpo que recibe l$a fuerza sin interesar qué cuerpos actúan sobre él. En ese caso, podemos su-primir el segundo subíndice en el nombre de cada fuerza. Es conveniente a veces, en lugar de letras, usar números para nombrar las fuerzas actuantes. Definimos:

Sistema de fuerzas es el conjunto de fuerzas que actúan sobre

un mismo cuerpo.

¿Forman sistema las fuerzas de acción y reacción?

Veamos algunas consideraciones útiles: Cada fuerza del sistema se llama componente del mismo. Si hay direcciones particulares se llama, por estas direcciones, componen-te vertical, horizontal, paralela o normal a un plano, etc.

Una partícula es un cuerpo cuyas dimensiones son despreciables frente a las del espacio que las rodea. Por ejemplo, la Tierra es una partícula en el sistema solar. Las fuerzas producen sobre los cuerpos algunos efectos tales como modificación de su estado de movimiento, deformaciones, roturas, etc.

Un cuerpo rígido es aquél que no experimenta deformaciones ni ro-turas bajo la acción de fuerzas. Tal cuerpo es ideal y no existe. Sin embargo, esta idealización es importante en el estudio de la Estáti-ca, ya que simplifica la mayoría de los problemas. Una fuerza que actúa sobre un cuerpo rígido tiene una propiedad interesante desde el punto de vista práctico: puede trasladarse so-bre su recta de acción, sin modificar sus efectos.

Se llama RESULTANTE de un sistema de fuerzas a una única

fuerza que produce el mismo efecto que el sistema y, en conse-

cuencia, lo puede reemplazar. EQUILIBRANTE es una fuerza de

igual intensidad, la misma dirección, mismo punto de aplicación y

sentido opuesto que la resultante.

Si el cuerpo es una partícula, las fuerzas actuantes forman un sis-tema de Fuerzas concurrentes. Todas las rectas de acción pasan por la partícula. Composición y descomposición de fuerzas.

Componer un sistema de fuerzas significa reemplazarlo por otro

sistema que produzca el mismo efecto que el original.

Descomponer una fuerza significa reemplazarla por otras que

produzcan el mismo efecto que la fuerza.

La composición de fuerzas se puede realizar en forma gráfica o analítica.

COMPOSICIÓN GRÁFICA. La experiencia indica que la composición de dos fuerzas aplicadas a un cuerpo, que formen un cierto ángulo entre ellas da por resulta-do una fuerza que coincide con la diagonal del paralelogramo que se forma a partir de las dos fuerzas, consideradas como lados con-secutivos del paralelogramo. Se nos presenta acá una pequeña dificultad: representar una fuer-za. Se hace necesario entonces adoptar una escala de fuerzas.

Como sabrás, una escala es una proporción entre el valor de una magnitud y el segmento que la representa.

Veamos algún ejemplo:

Una fuerza de 100 N está representada con un vector de 5 cm. ¿Cuál es la escala? Realizamos un sencilla regla de tres:

5 cm 100 N

1 cm x N

Luego: N20cm5

cm1N100x

. Haciendo un breve análisis del resultado, concluimos

que 20 N están representados por 1 cm. Entonces podemos escribir lo siguiente:

Escala de fuerza =cm1

N20.

Esta relación se repetirá cada vez que intentes realizar la regla de tres anterior. Sa-biendo esto, no es necesario repetir el procedimiento. Basta con usar la Escala, de la siguiente forma: Representar una fuerza de 150 N en la escala anterior. El segmento que la representa medirá entonces es:

cm5,7

cm1

N20

N150L .

Luego se deduce que el segmento que representa a las fuerzas se obtiene de dividir el valor de la fuerza a representar por la escala. Recíprocamente, ¿cuál es el valor de una fuerza representada por 3,7 cm en la escala anterior?. Lógicamente plantearemos la regla de tres en el otro sentido. Esto nos con-ducirá a la siguiente conclusión:

N74cm1

N20cm7,3F

Dado que con la escala hemos hecho dos operaciones, multiplicación y división, es lógico establecer para la escala un valor numérico sencillo que permita hacer los cálculos prácticamente en forma mental.

Veamos un ejemplo de composición gráfica de dos fuerzas. Una de ellas horizontal de 500 N. La otra forma un ángulo de 60° con la primera y tie-ne una intensidad de 400 N.

Debemos previamente establecer la escala. De alguna manera, la escala está condi-cionada por el espacio de dibujo que destinemos al trabajo. Para este caso, una esca-la de 100 N / 1 cm puede ser adecuada. Entonces las fuerzas estarán representadas por vectores de 5 cm y 4 cm, respectiva-mente.

El gráfico anterior está a escala. Como recordarás, la resultante de estas dos fuerzas es la medida, a escala, de la diagonal del paralelogramo que se forma a partir de las dos fuerzas como lados consecutivos. Se puede medir directamente del gráfico. La diagonal mide 7,8 cm, aproximadamente; en la escala utilizada equivale a 780 N En este caso, podríamos calcular esta diagonal muy fácilmente; es un caso de aplica-ción directa del teorema del coseno:

N781120cos.N50.N40.2N50N40R22

Como se observa, el resultado gráfico es muy bueno.

El método del paralelogramo es muy laborioso cuando la cantidad de fuerzas a componer es más de dos. Se deduce un método mu-cho más simple, que se denomina polígono de fuerzas. Consiste en dibujar una fuerza a continuación de la otra; es decir, el origen de una fuerza a partir del extremo de la anterior. Luego la suma o resultante del sistema se obtiene de unir el origen de la pri-mer fuerza con el extremo de la última. Te dejo la tarea de investi-gar este trabajo.

COMPOSICIÓN ANALÍTICA.

Significa resolver en forma analítica el paralelogramo anterior. No es lo más aconsejable si las fuerzas fueran más de dos. Es preferi-ble un método que permita sistematizar los cálculos. Este método consiste en descomponer cada fuerza del sistema en dos componentes perpendiculares entre sí, utilizando un sistema de coordenadas con el origen en el punto de aplicación de las fuerzas.

Analicemos lo que sucede con una fuerza:

En la figura anterior es fácil observar que Fx, llamada componente en x, y Fy, llamada componente en y, se pueden calcular mediante la resolución de un triángulo rectángulo del que se conocen la hipo-tenusa y un ángulo agudo. Luego las proyecciones tienen los siguientes valores:

Fx = F cos

Fy = F sen Hay que cuidar acá un detalle: si la fuerza estuviera orientada hacia otro cuadrante, alguna de las componentes estaría dirigida en sen-tido contrario. Ello implicaría, analíticamente, un cambio de signo. Si agregamos más fuerzas en las mismas condiciones, se concluye que la componente en x de la resultante es la suma algebraica de las componentes en x de las fuerzas. Análogamente con las com-ponentes sobre el eje y. Todo lo anterior se puede resumir en lo siguiente:

n

1iiiy

n

1iiix senFR;cosFR

Con ello hemos obtenido las componentes de la fuerza resultante. Falta hallar su módulo y su dirección. Estas cantidades se encuentran mediante las siguientes ecuacio-nes.

x

y2

y

2

xR

Rarctg;RRR

Hay que tener precauciones acerca del ángulo. Las calculadoras no siempre nos darán la respuesta deseada.

Ejemplo:

Resolución: F1x = 150 N cos 30° = 130 N F1y = 150 N sen 30° = 75 N F2x = 120 N cos 120° = –60 N F2y = 120 N sen 120° = 104 N F3x = 80 N cos (–135°) = –56,6 N F3y = 80 N sen (–135°) = –56,6 N F4x = 100 N cos(–60°) = 50 N F4y = 100 N sen (–60°) = –86,6 N Sumando: Rx = 63,4 N Ry = 35,8 N

29N4,63

N8,35arctg;N1,73)N8,35()N4,63(R 22

EQUILIBRIO DE LOS CUERPOS

Recuerda: un cuerpo está en equilibrio si está en reposo o movi-

miento rectilíneo uniforme. Para Estática consideraremos el caso

particular de reposo. En consecuencia, un cuerpo en reposo está

en equilibrio. En fuerzas concurrentes implica resultante nula.

De las expresiones del cálculo de la resultante de un sistema po-demos hallar condiciones para que un cuerpo, bajo la acción de un sistema de fuerzas, esté en equilibrio. Un vector es nulo cuando su módulo es nulo. Ello implica que todas sus componentes deber ser simultáneamente nulas.

Esto nos lleva a las condiciones de equilibrio:

n

1iiiy

n

1iiix 0senFR;0cosFR

siendo éste un sistema de dos ecuaciones, no podremos resolver sistemas con más de dos incógnitas.

Estableceremos una serie de propiedades generales. Presta aten-ción a ellas.

Para que un cuerpo esté en reposo (en equilibrio para este

capítulo) es necesario que se halle, de alguna manera, vinculado.

Se llama vínculo a todo elemento capaz de limitar o impedir el

movimiento de los cuerpos. El último vínculo es, generalmente, la

Tierra.

Los vínculos introducen fuerzas llamadas fuerzas de vínculo o re-

acciones vinculares, o simplemente reacciones. Estas reacciones

son siempre de igual dirección y de sentido opuesto al movimiento

que impide o limita.

La definición de vínculo es muy amplia y abarca una gran cantidad de elementos que pueden ser considerados como vínculos: una

mesa que sostiene un objeto, una cuerda de la que se suspende una lámpara, una columna, etc.

Las propiedades de los vínculos hacen que éstos introduzcan fuer-zas a los cuerpos. Esas fuerzas se llaman reacciones de vínculos o reacciones vinculares. Propiedad fundamental de los vínculos:

Reaccionan únicamente en la dirección del movimiento que impi-

den y en sentido opuesto.

Una cuerda es un vínculo que sólo puede reaccionar en la dirección de su eje con fuerzas que tienden a extender la cuerda. (es decir, las cuerdas tiran desde sus extremos) En cambio un puntal es un

vínculo que reacciona también en la dirección de su eje, pero empu-ja desde sus dos extremos. Otro ejemplo de vínculo es un pivote o articulación. Este tipo de vínculo impide todo movimiento de traslación. No puede impedir la rotación alrededor de su perno. Una fuerza de frotamiento también es una fuerza de vínculo, que nace de la rugosidad entre dos superficies en contacto.

Un cuerpo debe vincularse adecuadamente de modo que una com-binación de los vínculos impida todo movimiento en el cuerpo. Diremos que una combinación adecuada es aquélla que no introdu-ce más de tres incógnitas en las ecuaciones. Si ello no es así, no podremos calcular las reacciones vinculares.

CUERPO LIBRE

Cuerpo libre es aquél al que le suprimimos los vínculos. Para que

continúe en equilibrio, debemos reemplazar los vínculos por las

reacciones que éstos ejercen sobre el cuerpo.

Veremos ahora una idea que está relacionada con el hecho de lo-grar que un cuerpo esté en equilibrio. Para ello habrá que impedir que pueda moverse, tanto en traslación como en rotación. Los mecanismos que usamos para impedir estos movimientos son los vínculos. Ejemplos de sistemas en equilibrio El ejemplo más sencillo está constituido por un cuerpo suspendido por una cuerda. Sobre él actúan dos fuerzas, una conocida, el peso, y la otra desconocida, la tensión de la cuerda. Evidentemente, en este caso la tensión de la cuerda es igual al peso del cuerpo. Lo mismo sucede con un cuerpo apoyado sobre una superficie horizontal. La reacción del plano es igual que el peso del cuerpo.

Veamos un caso más complejo.

Un cuerpo que pesa 50 N está suspendido mediante dos cuerdas, como indica la figu-ra. Encuentra las tensiones en cada cuerda.

Diagrama del cuerpo vinculado Diagrama del cuerpo libre

Observa que la tensión 1 forma con el eje x un ángulo de 0° y el peso del cuerpo, un ángulo de 90° También podemos decir que la tensión 1 forma un ángulo de 180° con el eje x y el

peso del cuerpo un ángulo de 270° o de 90°. En todos los casos la solución del pro-blema nos debe llevar a los mismos resultados. Si usamos los ángulos de 0° y 90°, deberemos colocar a mano los signos de las pro-yecciones de las fuerzas. En el otro caso, usamos siempre el signo positivo y las fun-ciones trigonométricas de esos ángulos se encargarán de los signos. Cualquiera sea el método que utilices, deberás tener la precaución de no mezclarlos, ya que te llevarán a soluciones incorrectas. Para resolver el problema, planteamos las ecuaciones de equilibrio. Colocaremos el símbolo de cada fuerza desconocida: Planteamos las ecuaciones de equilibrio:

0N5060senTF

060cosTTF

2y

21x

Es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas; como en la segunda ecuación hay una sola incógnita, este sistema es muy simple de resolver: de la segunda ecua-ción despejamos T2 y resulta:

N7,5760sen

N50T2

;

reemplazando en la primera:

N9,2860cosN7,57T1

y nuestro sistema ha quedado resuelto.

No hay casos más complejos que éste. Busca otros ejemplos y resuélvelos.

SISTEMAS NO CONCURRENTES

Cuando hablamos de cuerpos extensos introducimos el concepto de fuerzas no concurrentes.

Un sistema de fuerzas es no concurrente cuando las rectas de

acción de las fuerzas no pasan por un mismo punto.

Un cuerpo extenso tiene hasta tres movimientos simples en el pla-no: puede trasladarse según dos direcciones y puede girar alrede-dor de algún eje. Para fuerzas paralelas a un plano, el eje es de giro es perpendicular a ese plano.

Esta rotación está medida por el Momento de una fuerza o de un sistema de fuerzas.

El momento de una fuerza se define como el producto entre la

intensidad de la fuerza y la distancia desde el centro de momen-

tos hasta la recta de acción de dicha fuerza.

En la figura adjunta se representan un plano, un cuerpo, la recta perpendicular al plano, la fuerza F y la distancia desde el eje hasta la recta de acción de la fuerza. En la perspectiva, el ángulo entre la distancia y la fuerza no se observa tal cual es. Hay que tener en cuenta es este ángulo es recto. En estas condiciones, podemos definir el Momento de una fuerza:

Mo = F. d (N.m)

El momento de fuerza se mide en newton metro.

Mucho cuidado en esta unidad. Es un error pensar que esta unidad es la misma que la de trabajo. Luego, la unidad de

momento NO DEBE expresarse en joule.

Una fuerza realiza trabajo si produce un desplazamiento "li-neal". En cambio, un momento de fuerza realiza trabajo si

produce un desplazamiento "angular". En este caso, N.m.rad, sí es joule. Recuerden que la unidad internacional de ángulo es radián (adimensional)

El efecto que produce sobre el cuerpo es un movimiento de rotación y de traslación combinados.

Consecuencia de la definición: si el punto pertenece a la recta

de acción de la fuerza, el momento es nulo.

Se debe tener especial cuidado a la hora de calcular el momento de una fuerza. Es necesario conocer la distancia desde la recta de ac-

ción de la fuerza hasta el centro de momentos. Si esta distancia no es un dato habrá que calcularla, generalmente, usando la trigono-metría. Dado que se produce un movimiento de rotación del cuerpo alrede-dor del eje de momentos, se hace necesario convenir el sentido po-sitivo del vector momento. Se elige como sentido de avance del vector momento al sentido de avance del tornillo de rosca derecha (tirabuzón). Asociado al sentido definimos el signo: se conviene en considerar positivo al sentido del vector momento cuando la rotación que produce sobre el cuerpo es antihoraria. (Es la misma convención que para medir ángulos, que ya conoces). El momento de fuerza es un vector con dirección perpendicular al plano que forma la recta de acción de la fuerza y el punto y aplicado en dicho punto. Un importante teorema establece que:

El momento de un sistema de fuerzas es igual que la suma al-

gebraica de los momentos de las fuerzas que forman el sistema.

Si el sistema admite resultante, este momento es igual que el

momento de la resultante. (Ten especial cuidado con este juego

de palabras)

Se ha dicho suma algebraica. Esto es así porque si bien el momen-to de fuerza es un vector, estudiamos fuerzas contenidas en un pla-no. En estas condiciones, los momentos de todas las fuerzas son vectores paralelos entre sí y por ello pueden sumarse algebraica-mente sus módulos. Una aplicación importante de este teorema permite calcular el mo-mento de una fuerza cuando conocemos el punto de intersección de la recta de acción de la fuerza con el eje x: descomponemos la fuerza en dos direcciones. Una sobre el eje x en su punto de inter-sección y la otra perpendicular a él:

CÁLCULO DEL MOMENTO DE UNA FUERZA

Consideremos dos casos:

1. La recta de acción de la fuerza intercepta al eje x.

2. La recta de acción de la fuerza no intercep-ta al eje x.

Caso 1. Aplicamos el teorema de los momentos. Se descompone la fuerza

según dos direcciones: una sobre el eje x y la otra paralela al eje y. Entonces F es la resultante entre sus componentes y el momento de la fuerza F es igual a la suma de los momentos de las otras dos. Se observa que la componente sobre el eje x pasa por el origen (centro de momentos), la distancia al mismo es nula y en conse-cuencia el momento es nulo. Nos queda entonces el momento de la otra componente:

Mo = Fy .OA = F sen OA, con signo positivo en este caso. Caso 2. Dado que la fuerza es paralela al eje x, resulta que el segmento OB es perpendicular a la dirección de la fuerza. En consecuencia, apli-camos la definición de momento:

Mo = - F.OB Si se observa la figura del caso 1. anterior, llamando R a la fuerza F nos queda:

Mo = Ry .OA

de donde se puede despejar OA, siempre que Ry no sea nula. Es decir:

y

o

R

MOA .

Si Ry es nula, la expresión anterior no es aplicable. Entonces nos sirve la situación del caso 2 ya que la resultante es horizontal, de donde se despeja:

x

o

R

MOB ,

teniendo en cuenta que si Ry es nula resulta R = Rx. Ejemplo:

Hallar la resultante del siguiente sistema de fuerzas. (módulo, dirección y sentido)

F1x = 50 N cos 0º = 50 N F1y = 50 N sen 0º = 0 N F2x = 60 N cos 60º = 30 N F2y = 60 N sen 60º = 52 N F3x = 40 N cos 150° = -34,6 N F3y = 40 N sen 150° = 20 N F4x = 80 N cos 90° = 0 N F4y = 80 N sen 90° = 80 N F5x = 100 N cos (-135°) = 70,7 N F5y = 100 N sen(-135°) = -70,7 N Rx = 116,1 N Ry = 81,3 N

35N1,116

N3,81arctg;N7,141)N3,81()N1,116(R 22

En este caso, la resultante pertenece al primer cuadrante.

Cálculo del momento del sistema respecto del origen de coordenadas, para determinar la posición de la resultante: Mo = -50 N . 5,0 m + 20 N. 4,20 m + 80 N. 6,3 m - 70,7 N. 7,8 m = -213,5 N.m

Por lo tanto la resultante corta al eje x en m63,2N3,81

m.N5,213OA

, es decir, a la

izquierda del origen.

CUPLA

Una cupla es un sistema compuesto de dos de fuerzas de direc-

ciones paralelas, de igual intensidad y de sentido contrario. Su

resultante es nula pero no su efecto. Produce rotación pura (sin

traslación) en el cuerpo sobre el que actúa.

Tiene una propiedad importante: el momento de una cupla es inde-pendiente del centro de momentos elegido. Esta propiedad se de-muestra aplicando el teorema de los momentos. En efecto: Supongamos un par de fuerzas y calculemos el momento respecto de dos puntos, arbitrariamente elegidos.

El cuerpo representado en la figura tiene una longitud de 2 m. Las fuerzas tienen una intensi-dad de 20 N. Calculemos el momen-to del sistema respecto del extremo izquierdo y respecto del punto medio de la barra: la fuerza que está apli-cada en dicho extremo tiene momen-to nulo. Luego:

M1 = 20 N . 2 m = 40 N.m Respecto del centro de la barra:

M2 = 20 N . 1 m 20 N . 1 m = 40 N.m Intenta hallar los momentos respecto de cualquier otro punto y verás que siempre se conserva este valor. Las cuplas no siempre se presentan como dos fuerzas paralelas. Pueden aparecer con un número mayor de fueras. Por ejemplo tres: una de ellas es opuesta a la resultante de las otras dos, de direc-ción paralela, sentido opuesto y la misma intensidad.

Finalmente, un cuerpo sometido a la acción de una cupla experi-mentará un movimiento de rotación pura. (sin traslación) No estará en equilibrio ya que tendrá una rotación. En estas condi-ciones el cuerpo tendrá un movimiento circular con aceleración an-gular, caso que no estudiaremos en este curso de nivelación. Se amplía ahora el concepto de equilibrio de un cuerpo extenso.

CONDICIONES GENERALES DE EQUILIBRIO

Un cuerpo sometido a un sistema de fuerzas no concurrente está

en equilibrio cuando no puede trasladarse ni girar alrededor de

cualquier punto. Esto implica necesariamente que tanto la resul-

tante del sistema de fuerzas como su momento deben ser nulos.

Matemáticamente, las condiciones de equilibrio se resumen en un sistema de tres ecuaciones lineales con hasta tres incógnitas. Las condiciones generales de equilibrio de fuerzas no concurrentes se resumen en las siguientes tres ecuaciones:

n

1ioi

n

1iiiy

n

1iiix

0M

0senFR

0cosFR

En la práctica, es muy conveniente comenzar el cálculo por la última expresión. Esto es así porque eligiendo el centro de momentos adecuadamente eliminamos los momentos de dos de las incógnitas y el sistema de ecuaciones se resuelve fácilmente. Veamos un ejemplo. La siguiente figura esquematiza un trampolín. Determina las reacciones en las articu-laciones A y B. La fuerza en C es de 500 N, la distancia AB = 0,50 m y la longitud de la barra AC es de 1,75 m

En este caso no tenemos acciones horizontales. Luego, no hay reacciones horizonta-les. En consecuencia digamos que son necesarias dos fuerzas reactivas en los apoyos A y B, una en cada uno. Un poco de lógica no nos hará mal. De acuerdo a la propiedad de los vínculos, es in-mediato que la reacción del vínculo A deberá ser hacia abajo y que la reacción del vínculo B deberá ser hacia arriba (¿por qué?). Según se recomienda, utilizaremos en primer lugar la ecuación de equilibrio de mo-mentos respecto del apoyo A

N7501m50,0

m75,1N500R0m75,1N500m50,0RM BBA

Utilizamos ahora la segunda ecuación de equilibrio:

N2501R0N500N7501R0F AAy

Cuando no podemos determinar el sentido de una fuerza desconocida, se adopta cualquiera, generalmente el positivo. Si luego de los cálculos, su valor resulta positivo, el sentido elegido es el correcto. Caso contrario, tiene sentido opuesto.

EJERCICIOS RESUELTOS

De acuerdo con los principios fundamentales de la Estática, determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o fal-

sas:

( ) a. El efecto de una fuerza ejercida en la dirección del eje de un resorte es independiente de su punto de aplica-

ción. ( ) b. Dos fuerzas colineales, de igual intensidad y de senti-

dos opuestos, aplicadas a un cuerpo rígido, constitu-yen un sistema equilibrado.

( ) c. Si un cuerpo 1 ejerce sobre otro cuerpo 2 una fuerza F1/2 , el 2 reaccionará siempre sobre el 1 con otra

F2/1 = – F1/2

( ) d. Las fuerzas mencionadas en c) constituyen, por ello, un sistema equilibrado.

( ) e. Dos fuerzas concurrentes ortogonales de módulos 3,00 N y 4,00 N, respectivamente, producen el mismo

efecto que una sola de 5,00 N.

a) Falso. El resorte es un cuerpo de material deformable. No es lo mismo estirarlo desde sus extremos que de un extremo y el punto medio. Las deformaciones no serían las mismas.

b) Verdadero. c) Verdadero. Es el enunciado del principio de acción y reacción.

d) Falso. Para que se equilibren deben estar aplicadas en el mismo cuerpo. Acción y reacción actúan en cuerpos distintos.

e) Falso. No se menciona que la fuerza de 5,00 N tenga la misma dirección y senti-do que la resultante de las otras dos. (su módulo sí vale 5,00 N).

El sistema de la figura está en equilibrio. Calcula las fuerzas

que ejercen los puntales AB y BC para sostener el cuerpo. Se valorará un adecuado diagrama de cuerpo libre y las ecua-

ciones de equilibrio que resuelvan el problema.

Recordemos que el diagrama de cuerpo libre es un gráfico en que se representan to-das las fuerzas, activas y reactivas, que actúan sobre el elemento en estudio. En este caso este elemento es el punto B, donde se ejercen todas las fuerzas (tres en este caso). El punto B es un vínculo. Recordar entonces las propiedades de los vínculos.

Escribimos las ecuaciones de equilibrio:

0N40045senCB30senABy

045cosCB30cosABx

Esta es un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas. Se resuelve por cual-quier método (el más sencillo es por determinantes). De esto se obtienen las dos res-puestas

AB = 293 N; CB =359 N Obs. En este caso, si observamos que cos 45° = sen 45°, se puede resolver fácilmen-te sumando las dos ecuaciones y se obtiene directamente AB.

Una barra horizontal AB de 2 m de longitud está sometida a la acción de las siguientes fuerzas:

– Peso propio de 20 N aplicado en su punto medio G. – Fuerza de 10 N en A, hacia abajo.

– Fuerza de 25 N en B, hacia arriba. – A 0,5 m de A, una fuerza de 15 N, hacia arriba.

– A 1,5 m de A, una fuerza de 10 N, hacia abajo.

El extremo A está a la izquierda del extremo B. Considerando como positivo para los momentos el sentido antihorario, todo lo que sigue es verdadero, excepto: (Marcar con una X el ítem

que corresponda).

( ) a. La resultante es nula. ( ) b. La equilibrante es nula.

( ) c. La suma de momentos en G es igual que la suma de momentos en A.

( ) d. La suma de momentos en B es igual y de distinto signo que la suma de momentos en A.

( ) e. La barra no está en equilibrio. Calculamos la resultante: Como son todas fuerzas verticales, la componente en x de la resultante es nula. Sumamos las componentes verticales: (positivo hacia arriba) 15 N + 25 N – 10 N – 20 N – 10 N = 0 Por lo tanto la fuerza resultante tiene módulo nulo. Este sistema de fuerzas es entonces equivalente a una cupla. Recordemos que el momento do una cupla es independiente del centro de momentos. Entonces, no es necesario calcular los momentos. La opción falsa es la d.