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ESTATISTICA BASICADISTRIBUICAO NORMAL DE PROBABILIDADE
(MODELO NORMAL)
Tiago Viana Flor de Santanawww.uel.br/pessoal/tiagodesantana/
[email protected] – sala 07
Curso: MATEMATICA
Universidade Estadual de Londrina – UELDepartamento de Estatıstica – DSTA
DISTRIBUICAO NORMAL DE PROBABILIDADE(MODELO NORMAL)
1 Introducao
2 Funcao densidade de probabilidade
3 Esperanca e variancia
4 Normal padrao
5 Tabela Z
6 Para o Lar
Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATISTICA 2 / 23
Introducao
A distribuicao Normal conhecida tambem como distribuicao Gaussi-ana, devido a Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) em seus tra-balhos sobre erros de observacoes, e o modelo probabilıstico maisimportante em estatıstica;
Um dos principais motivos da importancia desse modelo se deve ao“Teorema Central do Limite”que afirma que:
“ainda que os dados nao sejam provenientes de uma Normal a mediados dados converge para a Normal conforme o numero de dados au-menta”.
Alem disso diversos estudos praticos tem como resultado uma distri-buicao Normal.
E pode-se obter resultados aproximados de distribuicoes discretas comoos modelos Binomial e Poisson, por meio da distribuicao Normal.
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Funcao densidade de probabilidade
Definicao
Uma v.a. X tem distribuicao Normal com parametros µ e σ2 se sua fdp e
f (x) =1√
2πσ2exp
[−1
2
(x − µσ
)2], −∞ < x <∞
em que µ ∈ R e σ2 > 0.
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Funcao densidade de probabilidade
O grafico da fdp da Normal e
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Funcao densidade de probabilidade
Propriedades
1 f (x) ≥ 0 para x real;
2
∞∫−∞
f (x)dx = 1 – (Prove);
3 f (x)→ 0 quando x → ±∞;
4 Os pontos µ− σ e µ+ σ sao pontos de inflexao de f ;
5 f ′(µ) = 0 – Ponto de maximo de f ;
6 f (µ) = 1/√
2πσ2 – Valor maximo de f ;
7 f (µ+ x) = f (µ− x) – f e simetrica em relacao a x = µ.
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Esperanca e variancia
A esperanca matematica da Normal e o proprio parametro µ
E (X ) =
∞∫−∞
xf (x)dx = µ (Prove).
A esperanca de X 2, conhecido como segundo momento e
E (X 2) =
∞∫−∞
x2f (x)dx = σ2 + µ2 (Prove).
A partir de E (X ) e E (X 2) obtem-se a variancia de uma v.a. normalmentedistribuida.
Var(X ) = E (X 2)− E 2(X ) = σ2
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Esperanca e variancia
Exemplo
Seja a v.a. X seguindo distribuicao Normal com media 5 e variancia 36.
Calcule a media e o desvio padrao de X.
A media eE (X ) = 5.
O desvio padrao e
DP(X ) =√
Var(X ) =√
36 = 6.
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Esperanca e variancia
Exemplo
Seja a v.a. X seguindo distribuicao Normal com media 5 e variancia 36.
Calcule a media e o desvio padrao de X.
A media eE (X ) = 5.
O desvio padrao e
DP(X ) =√
Var(X ) =√
36 = 6.
Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATISTICA 8 / 23
Normal padrao
Fixando µ = 0 e σ2 = 1, obtem-se a Normal padrao, cuja densidade eindicada por
φ(z) =1√2π
exp
(−1
2z2
), −∞ < z <∞.
A notacao usada para indicar que uma v.a. X tem distribuicao Normal sera
X ∼ Normal(µ, σ2).
No caso da Normal padrao sera
Z ∼ Normal(0, 1).
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Normal padrao
Grafico da Normal padrao
x−1 0 1
f(x)
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Normal padrao
Teorema
Se X ∼ Normal(µ, σ2), entao a v.a. definida por
Z =X − µσ
∼ Normal(0, 1)
Prova
FZ (t) = P(Z ≤ t) = P(X − µσ
≤ t
)= P(X ≤ σt + µ) =
=
σt+µ∫−∞
1√2πσ2
exp
[−1
2
(x − µσ
)2]dx =
∗=
t∫−∞
1√2π
exp
(−1
2z2
)dz ; ∗z = (x − µ)/σ.
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Normal padrao
Portanto, se
X ∼ Normal(µ, σ2) e Z =X − µσ
entao
E (Z ) = 0 ; Var(Z ) = 1
e
Z ∼ Normal(0, 1)
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Normal padrao
A fda da Normal padrao e
Φ(z) =
z∫−∞
φ(t)dt =1√2π
z∫−∞
e−t2/2dt
0 z
1/2
Φ(z)
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Tabela Z
Suponha, que X ∼ Normal(µ, σ2) e deseja-se calcular
P(a < X < b) =
b∫a
f (x)dx
essa probabilidade e ilustrada abaixo
a b x
f(x)
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Tabela Z
Entretanto,
1 A integral∫ ba f (x)dx nao pode ser calculada analiticamente;
2 E so pode ser obtida aproximadamente, por meio de integracao numerica;
3 No entanto, para cada par (µ, σ), e (a, b) seria necessario um novoprocedimento de integracao numerica para o calculo de P(a ≤ X ≤ b);
4 Usando a transformacao Z = (X−µ)/σ o trabalho se resume a escolhado par (a, b);
5 Em particular, admitindo o par (−b, b)
P(−b ≤ X ≤ b) = P(−b − µσ
≤ Z ≤ b − µσ
)Simetria
= 2P(0 ≤ Z ≤ zt) .
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Tabela Z
A probabilidade P(0 ≤ Z ≤ zt) pode ser obtida em tabela para variosvalores de zt .
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Tabela Z
Exemplo
Seja X ∼ Normal(3, 16). Calcule P(3 ≤ X ≤ 9, 92).
P(3 ≤ X ≤ 9, 92) = P(
3− 3√16≤ Z ≤ 9, 92− 3√
16
)= P(0 ≤ Z ≤ 1, 73),
ou seja,
P(3 ≤ X ≤ 9, 92) = P(0 ≤ Z ≤ 1, 73).
Usando a tabela anterior obtem-se
P(0 ≤ Z ≤ 1, 73) = 0, 45818.
Portanto, P(3 ≤ X ≤ 9, 92) = 0, 45818.
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Tabela Z
Exemplo
Seja X ∼ Normal(3, 16). Calcule P(3 ≤ X ≤ 9, 92).
P(3 ≤ X ≤ 9, 92) = P(
3− 3√16≤ Z ≤ 9, 92− 3√
16
)= P(0 ≤ Z ≤ 1, 73),
ou seja,
P(3 ≤ X ≤ 9, 92) = P(0 ≤ Z ≤ 1, 73).
Usando a tabela anterior obtem-se
P(0 ≤ Z ≤ 1, 73) = 0, 45818.
Portanto, P(3 ≤ X ≤ 9, 92) = 0, 45818.
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Tabela Z
Exemplo
Seja X ∼ Normal(3, 16). Calcule P(3 ≤ X ≤ 9, 92).
P(3 ≤ X ≤ 9, 92) = P(
3− 3√16≤ Z ≤ 9, 92− 3√
16
)= P(0 ≤ Z ≤ 1, 73),
ou seja,
P(3 ≤ X ≤ 9, 92) = P(0 ≤ Z ≤ 1, 73).
Usando a tabela anterior obtem-se
P(0 ≤ Z ≤ 1, 73) = 0, 45818.
Portanto, P(3 ≤ X ≤ 9, 92) = 0, 45818.
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Tabela Z
Exemplo
Seja X ∼ Normal(3, 16). Calcule P(3 ≤ X ≤ 9, 92).
P(3 ≤ X ≤ 9, 92) = P(
3− 3√16≤ Z ≤ 9, 92− 3√
16
)= P(0 ≤ Z ≤ 1, 73),
ou seja,
P(3 ≤ X ≤ 9, 92) = P(0 ≤ Z ≤ 1, 73).
Usando a tabela anterior obtem-se
P(0 ≤ Z ≤ 1, 73) = 0, 45818.
Portanto, P(3 ≤ X ≤ 9, 92) = 0, 45818.
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Tabela Z
Note que apesar da tabela apresentar probabilidade somente para
P(0 ≤ Z ≤ zt),
Pode-se obter probabilidades mais gerais por meio das propriedades de P eda simetria da Normal.
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Tabela Z
Exemplo
P(−1, 73 ≤ Z ≤ 0)Simetria
= P(0 ≤ Z ≤ 1, 73)
P(Z ≥ 1, 73) = 1− P(Z ≤ 1, 73)
= 1− [P(Z ≤ 0) + P(0 ≤ Z ≤ 1, 73)]
= 1− 0, 5− P(0 ≤ Z ≤ 1, 73)
= 0, 5− P(0 ≤ Z ≤ 1, 73)
P(Z ≤ −1, 73)Simetria
= P(Z ≥ 1, 73)
P(0, 47 ≤ Z ≤ 1, 73) = P(0 ≤ Z ≤ 1, 73)− P(0 ≤ Z ≤ 0, 47)
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Tabela Z
Exemplo
Os depositos efetuados no Banco da Ribeira durante o mes de Janeiro saodistribuıdos normalmente, com media de $10 000, 00 e desvio padrao de$1 500, 00. Um deposito e selecionado ao acaso dentre todos os referentesao mes em questao. Qual a probabilidade de que o deposito seja:
a) $10 000, 00 ou menos; (0,5)
b) pelo menos $10 000, 00; (0,5)
c) um valor entre $12 000, 00 e $15 000, 00; (0,09133)
d) maior do que $20 000, 00. (∼= 0)
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Tabela Z
Exemplo
Seja X ∼ Normal(100, 100), calcule:
a) P(|X − 100| ≤ 10);
b) o valor a, tal que P(100− a ≤ X ≤ 100 + a) = 0, 95.
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Tabela Z
Exemplo
As alturas de 10 000 alunos de colegio tem distribuicao aproximadamenteNormal, com media 170 cm e desvio padrao 5 cm.
a) Qual o numero esperado de alunos com altura superior a 165 cm?
b) Qual o intervalo simetrico em torno da media que contera 75% dasalturas dos alunos?
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Para o Lar
Para o lar
Exercıcios Paginas
15,16,18,19,20 189
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