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DISCIPLINA: Probabilidade e Estatística – Apostila 1 Prof.: Antonio Kronbauer
1
Classes
168 177
177 186
186 195
195 204
204 213
213 222
222 231
231 240
240 249
249 258
258 267
LISTA DE EXERCÍCIOS Nº 1
1) Temos a seguir distância em metros entre poços produtores e injetores numa malha aproximadamente regular de um Campo de Petróleo da Bacia do Recôncavo. Construir uma disposição ramo-folha. 172 182 177 174 166 158 170 178
163 161 191 167 171 201 166 172
Ramo Folha Ramo Folhas ordenadas 15 8 15 8 16 6 3 1 7 6 16 1 3 6 6 7 17 2 7 4 0 8 1 2 17 0 1 2 2 4 7 8 18 2 18 2 19 1 19 1 20 1 20 1
2) Os pesos dos tubos de revestimentos de poços de petróleo variam de 168 a 266
quilogramas. Indique os limites de 11 classes em que esses pesos podem ser agrupados.
266 – 168 = 98 98 / 11 = 8,9091
DISCIPLINA: Probabilidade e Estatística – Apostila 1 Prof.: Antonio Kronbauer
2
3) Temos a seguir as notas obtidas por 40 estudantes em um teste de estatística. Agrupe essas notas em uma distribuição com as classes (intervalos fechados dos dois lados): 20 a 29, 30 a 39, 40 a 49, 50 a 59, 60 a 69, 70 a 79, 80 a 89 e 90 a 99. Calcule a frequência absoluta e relativa de cada classe.
75 89 66 52 90 68 83 94 77 60 38 47 87 65 97 49 65 72 73 81 63 77 91 88 74 37 85 76 74 63 69 72 31 87 76 58 63 70 72 65
4) Uma auditoria feita em 60 Relatórios de Teste de Formação revelou os seguintes números de erros no preenchimento dos Formulários de TFR. 0 0 2 1 4 1 0 1 3 2 2 0 1 1 1 4 0 3 1 5 1 1 0 2 0 0 1 1 4 3
0 1 0 2 1 4 3 1 0 0 5 1 2 0 3 0 2 1 1 3 1 4 3 0 2 0 1 1 0 1
Construa uma distribuição que mostre quantos formulários continham 0,1,2,3,4 ou 5 erros.
Nº de erros Nº de formulários 0 17 1 21 2 8 3 7 4 5 5 2 Σ 60
Ramo-folha
2 -
3 1 7 8
4 7 9
5 2 8
6 0 3 3 3 5 5 5 6 8 9
7 0 2 2 2 3 4 4 5 6 6 7 7
8 1 3 5 7 7 8 9
9 0 1 4 7
Classes Frequência absoluta
(Fi)
Frequência relativa
(fi) fi%
20 29 0 0/40 0%
30 39 3 3/40 7,5%
40 49 2 2/40 5%
50 59 2 2/40 5%
60 69 10 10/40 25%
70 79 12 12/40 30%
80 89 7 7/40 17,5%
90 99 4 4/40 10%
Σ 40 1 100%
DISCIPLINA: Probabilidade e Estatística – Apostila 1 Prof.: Antonio Kronbauer
3
5) Montar uma série cronológica para representar os valores das exportações de
etanol, fornecidas pelo Instituto do Açúcar e do Álcool nos anos de 1975 a 1981 em dólares .
Valores em ordem cronológica de 1975 a 1981: U$ 60.193, U$ 80.114, U$ 81.826, U$ 106.879, U$ 112.064, U$ 126.740, U$ 149.548.
EXPORTAÇÕES DE ETANOL
ANO RECEITA (U$) 1975 60.193 1976 80.114 1977 81.826 1978 106.879 1979 112.064 1980 126.740 1981 149.548
Fonte: IAA
6) Dado o rol de 50 notas. Agrupar os elementos em classes (k = 7) e calcular a frequência absoluta, frequência relativa, frequência acumulada e ponto médio de cada classe.
33 35 35 39 41 41 42 45 47 48 50 52 53 54 55 55 57 59 60 60 61 64 65 65 65 66 66 66 67 68 69 71 73 73 74 74 76 77 77 78 80 81 84 85 85 88 89 91 94 97
2riorLimiteSuperiorLimiteInfe
PontoMédio+=
Classes Fi fi Fac Pto médio 33 43 7 7/50 = 0.14 7 38 43 53 5 5/50 = 0.10 12 48 53 63 9 9/50 = 0.18 21 58 63 73 11 11/50 = 0.22 32 68 73 83 10 10/50 = 0.20 42 78 83 93 6 6/50 = 0.12 48 88 93 103 2 2/50 = 0.04 50 98
Σ 50 1
R = 97 – 33 = 64 k = 7 h = 64 / 7 = 9,14 10
DISCIPLINA: Probabilidade e Estatística – Apostila 1 Prof.: Antonio Kronbauer
4
7) Dadas as estaturas de 140 alunos, conseguiu-se a distribuição abaixo. Calcular a média. Resp. 164,93 cm.
Estaturas Alunos 145 150 2 150 155 10 155 160 27 160 165 38 165 170 27 170 175 21 175 180 8 180 185 7
8) Dada a distribuição, determine a média. Resp. 75,7
Classes Fac 68 72 8 72 76 20 76 80 35 80 84 40
Estaturas Alunos
(Fi)
Média das estaturas
Xi Xi.Fi
145 150 2 147,5 295,0
150 155 10 152,5 1.525,0
155 160 27 157,5 4.252,5
160 165 38 162,5 6.175,0 165 170 27 167,5 4.522,5
170 175 21 172,5 3.622,5
175 180 8 177,5 1.420,0
180 185 7 182,5 1.277,5 Σ 140 23.090,0
X = ∑ x i Fi n
X = 23.090 = 164,929 140
Classes Fac
Ponto Médio
Xi
Fi Xi.Fi
68 72 8 70 8 560
72 76 20 74 12 888
76 80 35 78 15 1170
80 84 40 82 5 410 Σ 40 3028
X = ∑ x i Fi n
X = 3028 = 75,7 40
DISCIPLINA: Probabilidade e Estatística – Apostila 1 Prof.: Antonio Kronbauer
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9) Dada a amostra:
28 33 27 30 31 30 33 30 33 29
27 33 31 27 31 28 27 29 31 24
31 33 30 32 30 33 27 33 31 33
23 29 30 24 28 34 30 30 18 17
18 15 16 17 17 18 19 19 20 29
a) Agrupar os elementos em classe (inicie pelo15) use h = 5 (limite inferior fechado e superior aberto). b) Construir a tabela de distribuição de frequência c) Calcular a média. Resp. 27,5
10) Suponha que você dispõe de informações completas sobre as despesas de viagem
dos Engenheiros de uma empresa durante o ano de 2010. De um exemplo de cada situação em que esses dados podem ser considerados como: a) Uma população
Todos os Engenheiros desta empresa
b) Uma amostra
Um grupo menor de Engenheiros desta empresa, por exemplo, 5 Engenheiros
Classes Fi Ponto Médio (Xi)
Xi.Fi
15 20 10 17,5 175 20 25 4 22,5 90 25 30 12 27,5 330 30 35 24 32,5 780
∑ 50 1375
Ramo-folha
1 5 6 7 7 7 8 8 8 9 9
2 0 3 4 4 7 7 7 7 7 8 8 8 9 9 9 9
3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 2 3 3 3 3 3 3 3 3 4
Ramo-folha
1 5 6 7 7 7 8 8 8 9 9
2 0 3 4 4 7 7 7 7 7 8 8 8 9 9 9 9
3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 2 3 3 3 3 3 3 3 3 4
X = ∑ x i Fi n
X = 1375 = 27,5 50
DISCIPLINA: Probabilidade e Estatística – Apostila 1 Prof.: Antonio Kronbauer
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11) Em um posto de controle rodoviário, 12 motoristas multados por excesso de velocidade estavam dirigindo a 8, 11, 14, 6, 8, 10, 20, 11, 13, 18, 9 e 15 quilômetros por hora acima do limite de velocidade de 80 km/h.
a. Em média, quantos quilômetros por hora esses motoristas estavam excedendo o limite?
8 + 11 + 14 + 6 + 8 + 10 + 20 + 11 + 13 + 18 + 9 + 15 = 143
143 / 12 = 11,92km/h
b. Se um motorista que excedia o limite em menos de 15 quilômetros por hora foi
multado em R$ 160 e os outros foram multados em R$ 288, determine a média das multas que esses motoristas tiveram que pagar.
>15 multa de R$160,00
≤ 15 multa de R$288,00
= 192$12
2304
12
28831609R
xx ==+
12) Um empregado perdeu uma das dez notas de compras efetuadas naquele dia. O
valor médio de todas as 10 notas era de R$ 7,20 e as 9 notas restantes tinham os valores de R$4,80 , R$7,10 , R$7,90 , R$9,55 , R$4,45 , R$5,72 , R$7,54 , R$8,34 e R$9,70. Qual o valor da nota perdida?
20,7=X
n = 10
4,45; 4,80; 5,72; 7,10; 7,54; 7,90; 8,34; 9,55; 9,70
Total das notas = 7,20 x 10 = 72,00
∑ das notas restantes = 65,10
Nota perdida = 72,00 – 65,10 = 6,90.
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7
13) Os salários médios anuais dos professores em 3 cidades são : R$38.300 , R$44.500 , R$41.000. Havendo 720, 660 e 520 professores nessas cidades, calcular o salário médio dos professores das 3 cidades. Resp: R$ 41.192,63
n1 = 720 300.38=X
n2 = 660 500.44=X
n3 = 520 000.41=X
520660720
)(520x41000 )(660x44500 )(720x38300 MGE
++++=
1900
213200002937000027576000 MGE
++=
63,192.411900
78266000 MGE ==
14) Determine a posição mediana para: a) n = 25 b) n = 32 c) n = 37 d) n = 64
a) elementoX º132
26
2
125~⇒=+
⇒
b) elementoseeX º17º1612
32
2
32~ =+⇒ 2
º17º16~ elementoelementoX
+=
c) elementoX º14238
2137~
⇒=+⇒
d) elementoseeX º33º321264
264~ =+⇒
2º33º32~ elementoelemento
X+=
15) Em 15 dias, uma bomba de um posto de gasolina da Avenida Paralela abastece: 40, 52, 55, 38, 40, 48, 56, 56, 60, 37, 58, 63, 46, 50, 61 carros.
Determine a mediana.
37, 38, 40, 40, 46, 48, 50, 52, 55, 56, 56, 58, 60, 61, 63
n = 15
elementoX º82
162
115~⇒=+
⇒ carrosX 52~ =
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8
16) Em 20 paginas de um relatório, uma secretária cometeu os seguintes números de erros: 0, 0, 1, 2, 0, 3, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 4, 1, 0, 0, 2,1.
a) Determine a media b) Determine a mediana c) Quantos dos 20 valores superam a media d) Quantos estão abaixo dela e) Quantos superam a mediana f) Quantos estão abaixo dela
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4
n = 20
X Fi XiFi Fac
0 11 0 11
1 5 5 16
2 2 4 18
3 1 3 19
4 1 4 20
Σ 20 16
a) 8,020
16 === ∑n
xifiX erros/página
b) n par
elementosen
en
X º11º10122
~⇒+⇒
0~ =X
c) 9 valores superam a média
d) 11 valores estão abaixo da média
e) 9 valores superam a mediana
f) Nenhum
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9
17) Para a distribuição abaixo, determine a moda pelos dois processos. (Czuber e Pearson). Classes Fi 7 10 6 10 13 10 13 16 15 16 19 10 19 22 5
I. Fórmula de Czuber:
Classe modal = 13 16
L inf = 13
∆1 = 15 – 10 = 5
∆1 = 15 – 10 = 5
h = 16 – 13 = 3
II. Fórmula de Pearson: XXMo 2~
3 −≅
Calculando a Mediana:
n = 46 n/2 = 23º elemento
X~
= Lmd + Fmd
f h . ) - n/2 ( Σ Dados: Lmd = 13, n = 46, ∑ f = 16, h = 3, Fmd = 15
X~
= 4,14)3*4667,0(133*15
)16 - 246 (
13 =+=+
Calculando a média:
37,1446661=== ∑
n
XiFiX
Calculando a moda:
Mo ≅ 3*14,4 – 2*14,37 = 43,2 – 28,74 = 14,46
Mo = Linf + ∆1 • h ∆1 + ∆2
Linf= Limite inferior da classe modal ∆1 = Diferença entre a frequência da classe modal e
da classe anterior ∆2 = Diferença entre a frequência da classe modal e
da classe posterior h = Amplitude da classe
Mo = 13 + 5,143*55
5 =+
Classes Fi Xi Xi.Fi Fac
7 10 6 8,5 51,0 6
10 13 10 11,5 115,0 16
13 16 15 14,5 217,5 31
16 19 10 17,5 175,0 41
19 22 5 20,5 102,5 46
∑ 46 661,0
DISCIPLINA: Probabilidade e Estatística – Apostila 1 Prof.: Antonio Kronbauer
10
18) Para a distribuição, calcule: a) D6, P65, Q1
Classes Fi 4 6 4 6 8 11 8 10 15 10 12 5
D6
D6 elementoº2110
210
10
35*6
10
6n⇒=⇒⇒
D6 8,88,082*4,082*15
152182*
15
1510
35*6
8 =+=+=−+=−
+= D6 = 8,8
P65
P65 elementoº75,22100
2275
100
35*65
100
65n⇒=⇒⇒
P65 ( )2*5167,082*15
75,782*
15
1575,2282*
15
15100
35*65
8 +=+=−+=−
+=
P65 = 8 + 1,0333 = 9,0333 P65 = 9,0333
Q1
Q1 elementon
º75,8435
41
⇒⇒⇒
Q1 ( )2*4318,062*11
75,462*
11
475,862*
11
44
35
6 +=+=−+=−
+=
Q1 = 6 + 0,8636 = 6,8636 Q1 = 6,8636
Classes Fi Fac 4 6 4 4 Q1 → 6 8 11 15
P65, D6 → 8 10 15 30 10 12 5 35 ∑ 35
DISCIPLINA: Probabilidade e Estatística – Apostila 1 Prof.: Antonio Kronbauer
11
b) D2, P43, Q3.
Classes FAC 20 30 3 30 40 8 40 50 18 50 60 22 60 70 24
D2
D2 elementoº8,410
48
10
24*2
10
2n⇒=⇒⇒
D2
+=−+=−
+= 10*5
8,13010*
5
38,43010*
5
310
24*2
30
D2 ( ) 6,336,33010*36,030 =+=+= D2 = 33,6
P43
P43 elementoº32,10100
1032
100
24*43
100
43n⇒=⇒⇒
P43 32,24010*10
32,24010*
10
832,104010*
10
8100
24*43
40 +=+=−+=−
+=
P43 = 42,32
Classes Fi Fac 20 30 3 3 D2 → 30 40 5 8
P43, Q3 → 40 50 10 18 50 60 4 22 60 70 2 24 ∑ 24
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12
19) Abaixo estão dadas as notas de 50 alunos:
60 85 33 52 65 77 84 65 74 57
71 35 81 50 35 64 74 47 54 68
80 61 41 91 55 73 59 53 77 45
41 55 78 48 69 85 67 39 60 76
94 98 66 66 73 42 65 94 88 89
Pede-se:
a) Determinar a amplitude total da amostra Resp. 65 b) Nº. de classes pela fórmula de Sturges Resp. 7 c) Amplitude das classes Resp. 10 d) Quais as classes (inicie pelo 30) e) Frequência absoluta das classes f) Frequência relativa g) Pontos médios das classes h) Frequência acumulada i) Média Resp. 65,60 j) Moda pelos dois processos (Czuber e Pearson) Resp. 66 k) Mediana Resp. 65,83 l) 1º e 3º quartis Resp. 53,13 e 78,33 m) 7º decil e 55º percentil Resp. 75,56 e 67,92
Folha Ramos Folha Ramos
3 3 5 5 9 3 3 5 5 9
4 7 1 5 1 8 2 4 1 1 2 5 7 8
5 2 7 0 4 5 9 3 5 Ordenando 5 0 2 3 4 5 5 7 9
6 0 5 5 4 8 1 9 7 0 6 6 5 → 6 0 0 1 4 5 5 5 6 6 7 8 9
7 7 4 1 4 3 7 8 6 3 Rol 7 1 3 3 4 4 6 7 7 8
8 5 4 1 0 5 8 9 8 0 1 4 5 5 8 9
9 1 4 8 4 9 1 4 4 8
a) Determinar a amplitude total da amostra Resp. 65
R = Xmax – Xmin = 98 – 33 = 65
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13
b) Nº. de classes pela fórmula de Sturges Resp. 7
k = 1 + 3,22 log n k = 1 + 3,22 log 50 = 1 + 3,22*1,6990 k = 1 + 5,47 = 6,47 ≅ 7
c) Amplitude das classes Resp. 10
h = 65 ÷ 7 = 9,29 ≅ 10
d) Quais as classes (inicie pelo 30) e) Frequência absoluta das classes f) Frequência relativa g) Pontos médios das classes h) Frequência acumulada
Classes Fi Xi FiXi Fi(%) Fac
30 40 4 35 140 8% 4 40 50 6 45 270 12% 10 50 60 8 55 440 16% 18 60 70 12 65 780 24% 30 70 80 9 75 675 18% 39 80 90 7 85 595 14% 46 90 100 4 95 380 8% 50
∑ 50 3280 100
i) Média Resp. 65,60
6,6550
3280=== ∑n
XiFiX
j) Moda pelos dois processos (Czuber e Pearson) Resp. 66
Czuber ∆ 1=4 ∆ 2=3
( ) 71,6571,56010*5714,06010*34
460 =+=+=
++=Mo
DISCIPLINA: Probabilidade e Estatística – Apostila 1 Prof.: Antonio Kronbauer
14
k) Mediana Resp. 65,83
elementon
X º252
~⇒⇒
( )10*
12
18256010*
12
182
50
60~ −+=
−+⇒X
83,56010*5833,06010*12
760
~ +=+=+=X
l) 1º e 3º quartis Resp. 53,13 e 78,33
Q1 Q1 elementon
º5,12450
41
⇒⇒⇒
Q1 10*3125,05010*8
5,25010*
8
105,125010*
8
104
50
50 +=+=−+=−
+=
Q1 = 50+3,13 = 53,13 Q1 = 53,13
Q3 Q3 elementoxn
º5,374
1504503
43
⇒=⇒⇒
Q3 10*9
5,77010*
9
305,377010*
9
304
50*3
70 +=−+=−
+=
Q3 = 70 + (0,8333*10) = 70 + 8,33 Q3 = 78,33
83,65~ =X
DISCIPLINA: Probabilidade e Estatística – Apostila 1 Prof.: Antonio Kronbauer
15
m) 7º decil e 55º percentil Resp. 75,56 e 67,92
D7
D7 elementoº3510
350
10
50*7
10
7n⇒=⇒⇒
D7
+=−+=−
+= 10*9
57010*
9
30357010*
9
3010
50*7
70
D7 ( ) 56,57010*5555,070 +=+=
D7 = 75,56
P55
P55 elementoº5,27100
2750
100
50*55
100
55n⇒=⇒⇒
P55 10*12
5,96010*
12
185,276010*
12
18100
50*55
60 +=−+=−
+=
P55 ( )10*7917,060+= = 60 + 7,92
P55 = 67,92
DISCIPLINA: Probabilidade e Estatística – Apostila 1 Prof.: Antonio Kronbauer
16
20) Dada a amostra: 2,3,4,5,7,10,12 a) Qual a amplitude total Resp. 10 12 – 2 = 10
b) Determine o desvio médio Resp. 3,02
Xi Xi 2 │Xi- X │ (Xi- X )2 2 4 2 - 6,14 = 4,14 2 - 6,14 = (4,14)2 = 17,1396 3 9 3 - 6,14 = 3,14 3 - 6,14 = (3,14)2 = 9,8596 4 16 4 - 6,14 = 2,14 4 - 6,14 = (2,14)2 = 4,5796 5 25 5 - 6,14 = 1,14 5 - 6,14 = (1,14)2 = 1,2996 7 49 7 - 6,14 = 0,86 7 - 6,14 = (0,86)2 = 0,7396 10 100 10 - 6,14 = 3,86 10 - 6,14 = (3,86)2 = 14,8996 12 144 12 - 6,14 = 5,86 12 - 6,14 = (5,86)2 = 34,3396
∑ 347 21,14 82,8572
02,37
14,21 ==−
=∑
n
XXiDm
c) Calcule a variância e o desvio padrão Resp. 13,81 e 3,72
Variância amostral: ( )
1
2
2
−−
= ∑n
xS xi
81,136
8572,822 ==S Variância = 13,81
Desvio Padrão Amostral: 2SS=
81,132 == SS = 3,72 Desvio padrão = 3,72
14,67
43
7
121075432 ==++++++=X
DISCIPLINA: Probabilidade e Estatística – Apostila 1 Prof.: Antonio Kronbauer
17
21) Para a série 5,5,5,6,6,6,6,7,7,7,7,7,7,8,8,8,9,9 :
a) Construir a distribuição de freqüência
Xi Fi XiFi |Xi- X | |Xi- X |.Fi Xi 2 Xi2Fi 5 3 15 5 – 6,83 = 1,83 5,49 25 75 6 4 24 6 – 6,83 = 0,83 3,32 36 144 7 6 42 7 – 6,83 = 0,17 1,02 49 294 8 3 24 8 – 6,83 = 1,17 3,51 64 192 9 2 18 9 – 6,83 = 2,17 4,34 81 162
∑ 18 123 6,17 17,68 867 b) Calcular a amplitude total. Resp. 4 R = 9 – 5 = 4 c) Determinar a desvio médio. Resp. 0,98
98,018
68,17 ==−
=∑
n
FiXXiDm
d) Calcular a variância populacional. Resp. 1,47
Variância populacional:
( )
NN
XiFiFiXi∑
∑−=
22
2σ
( )
47,118
5,26
18
5,840867
1818
15129867
1818
123867
2
2 ==−=−
=−
=σ
e) Calcular o desvio padrão populacional. Resp. 1,21
Desvio Padrão Populacional: σ = 21,147,12 ==σ f) Calcular o coeficiente de variação populacional. Resp. 18%
%18100*18,0100*83,6
21,1100 ==== xCV
µσ
σ = Desvio padrão populacional µ = Média populacional
83,618
123
18
1824422415
18
2*93*86*74*63*5 ==++++=++++==X
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18
LISTA DE EXERCÍCIOS Nº 2
1) Determine a média aritmética das seguintes séries:
a) 3, 4, 1, 3, 6, 5, 6 → 47
28
7
6563143 ==++++++=X
b) 7, 8, 8, 10, 12 → 95
45
5
1210887 ==++++=X
c) 3,2; 4,0; 0,75; 5,0; 2,13; 4,75 → 31,36
83,19
6
75,413,20,575,00,42,3 ==+++++=X
d) 70, 75, 76, 80, 82, 83, 90 → 43,797
556
7
90838280767570 ==++++++=X
2) A média mínima para aprovação em determinada disciplina é 5,0. Se um estudante obtém as notas 7,5; 8,0; 3,5; 6,0; 2,5; 2,0; 5,5; 4,0 nos trabalhos mensais da disciplina em questão, pergunta-se se ele foi ou não aprovado.
88,48
39
8
0,45,50,25,20,65,30,85,7 ==+++++++=X → O aluno não foi aprovado.
3) Calcule para cada uma das distribuições abaixo sua respectiva média:
n
XiFiX ∑=
a)Xi Fi XiFi 3 2 6 4 5 20 7 8 56 8 4 32 12 3 36
∑ 22 150
82,622
150==X
b) Xi Fi XiFi 10 5 50 11 8 88 12 10 120 13 6 78
∑ 29 336
59,1129
336==X
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19
c)
Xi Fi Fac XiFi 2 3 3 6 3 6 9 18 4 10 19 40 5 6 25 30 6 3 28 18
∑ 28 112
428
112==X
d) Xi Fi XiFi 85 5 425 87 1 87 88 10 880 89 3 267 90 5 450
∑ 24 2109
88,8724
2109==X
4) Turmas que possuem determinada disciplina em comum apresentam nesta
disciplina: Turma A: (40 alunos): média 6,5 Turma B: (35 alunos): média 6,0 Turma C: (35 alunos): média 4,0 Turma D: (20 alunos): média 7,5 Determine a média geral.
85,5130
760==X
Xi Fi XiFi 6,5 40 260 6,0 35 210 4,0 35 140 7,5 20 150
∑ 130 760
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20
5) Encontre a média harmônica:
a) 5, 7, 12, 15 b) Xi Fi 2 3 3 4 4 6 5 5 6 2
Xn
Fn
X
F
X
Fn
Mh+++
=...
2
2
1
1
a) 12,84929,0
4
420
2074
420
283560844
15
1
12
1
7
1
5
14 ===
+++=
+++=Mh
b) 53,317
60
340
60*20
60
34020
60
206090809020
6
2
5
5
4
6
3
4
2
320 ====++++=
++++=Mh
6) Tem-se R$ 2.000,00 disponíveis mensalmente para a compra de determinado artigo que custou, nos meses de junho, julho e agosto respectivamente, R$ 200,00; R$ 500,00 e R$ 700,00. Qual foi o custo médio do artigo para esse período? (calcular através da média harmônica).
14,357100*57,384,0
3
70
593
70
1014353
700
1
500
1
200
13 ====++=
++=Mh
7) Para cada série determine a mediana:
a) 1, 3, 3, 4, 5, 6, 6
n é ímpar -> elementoX º42
8
2
17~⇒=+
⇒ 4~ =X
b) 1, 3, 3, 4, 6, 8, 8, 9
n é par -> elementoseen
en
X º5º412
8
2
81
22~
⇒+⇒+⇒
5~
210
264~ =⇒=+
⇒ XX
DISCIPLINA: Probabilidade e Estatística – Apostila 1 Prof: Antonio Kronbauer
21
c) 12, 7, 10, 8, 8 rol 7, 8, 8, 10, 12
n é ímpar -> elementoX º326
215~
⇒=+⇒ 8
~ =X
d) 82, 86, 88, 84, 91, 93 rol 82, 84, 86, 88, 91, 93
n é par -> elementoseen
en
X º4º3126
26
122
~⇒+⇒+⇒
87~
2
174
2
8886~ =⇒=+⇒ XX
8) Dada a série: 1,2; 1,4; 1,5; 1,8; 2,0. Calcular a média e o desvio padrão populacional.
Xi (Xi- µ) (Xi-µ)2 1,2 1,2 – 1,58 = - 0,38 0.1444 1,4 1,4 – 1,58 = - 0,18 0,0324 1,5 1,5 – 1,58 = - 0,08 0,0064 1,8 1,8 – 1,58 = 0,22 0,0484 2,0 2,0 – 1,58 = 0,42 0,1764 ∑ 0,4080
Variância populacional: ( )
082,05
4080,02
2 ==−
= ∑N
xiµ
σ
Desvio Padrão Populacional: σ = 29,0082,0
2 ==σ Média = 1,58 Desvio padrão populacional = 0,29
9) Abaixo a amostra de 60 rendas (em mil reais / mês) de Engenheiros de Petróleo de Empresas Operadoras e Prestadoras de Serviços que atuam no Recôncavo Baiano:
10 7 8 5 4 3 2 9 9 6 3 15 1 13 14 4 3 6 6 8 10 11 12 13 14 2 15 5 4 10 2 1 3 8 10 11 13 14 15 16
8 9 5 3 2 3 3 4 4 4 5 6 7 8 9 1 12 13 14 16
58,15
9,7
5
0,28,15,14,12,1 ==++++=µ
DISCIPLINA: Probabilidade e Estatística – Apostila 1 Prof: Antonio Kronbauer
22
Ordenando 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 7 7 8 8 8 8 8 9 9 9 9 10 10 10 10 11 11 12 12 13 13 13 13 14 14 14 14 15 15 15 16 16
a) Agrupar os elementos em classes, sendo K = 6 e h = 3 Classes Fi Xi FiXi Fac
1 4 14 2,5 35 14 -> P10
4 7 14 5,5 77 28 -> D4 / Q1
7 10 11 8,5 93,5 39 -> Classe da mediana / P47
10 13 8 11,5 92 47 -> Q3 / D7
13 16 11 14,5 159,5 58 -> P90 / P80
16 19 2 17,5 35 60
∑ 60 492
b) Calcular a mediana
hFmd
fn
LmdX *2~
−+⇒
∑
( )55,073*18,073*
11
283073*
11
282
60
7~ +=+=−+=
−+⇒X
55,7
~ =X
DISCIPLINA: Probabilidade e Estatística – Apostila 1 Prof: Antonio Kronbauer
23
c) Determinar o 3º quartil
Q3 = hFQ
fn
LQ *3
4
3
3∑−
+
Q3 elementon
º454
180
4
60*3
4
3⇒=⇒⇒
Q3 25,2103*75,0103*8
6103*
8
394510 +=+=+=−+=
Q3 = 12,25
d) Calcular o 4º decil
D4 elementoº2410
240
10
60*4
10
4n⇒=⇒⇒
D4 13,243*71,043*14
1043*
14
14244 +=+=+=−+=
D4 = 6,13 e) Calcular o 47º percentil
P47 elementoº2,28100
2820
100
60*47
100
47n⇒=⇒⇒
P47 055,073*018,073*11
2,073*
11
282,287 +=+=+=−+=
P47 = 7,055
DISCIPLINA: Probabilidade e Estatística – Apostila 1 Prof: Antonio Kronbauer
24
f) Determinar o 1º quartil
Q1 elementon
º15460
41
⇒⇒⇒
Q1 21,043*071,043*14
143*
14
14154 +=+=+=−+= Q1 = 4,21
g) Calcular o desvio médio
Classes Fi Xi FiXi XXi − XXi − .Fi 1 4 14 2,5 35 2,5 – 8,2 = 5,7 79,8 4 7 14 5,5 77 5,5 – 8,2 = 2,7 37,8
7 10 11 8,5 93,5 8,5 – 8,2 = 0,3 3,3 10 13 8 11,5 92 11,5 – 8,2 = 3,3 26,4 13 16 11 14,5 159,5 14,5 – 8,2 = 6,3 69,3 16 19 2 17,5 35 17,5 – 8,2 = 9,3 18,6
∑ 60 492 235,2
92,360
2,235 ==−
= ∑n
FiXXiDm
h) Determinar a variância
Variância amostral:
( )
1
22
2
−
−=∑
∑
nn
XiFiFiXi
S
Classes Fi Xi FiXi Xi2 Xi2Fi 1 4 14 2,5 35 6,25 87,5 4 7 14 5,5 77 30,25 423,5
7 10 11 8,5 93,5 72,25 794,75 10 13 8 11,5 92 132,25 1058 13 16 11 14,5 159,5 210,25 2312,75 16 19 2 17,5 35 306,25 612,5
∑ 60 492 5289
26,2159
6,1254
59
4,40345289
16060
2420645289
2 ==−=−
−=S Variância = 21,26
2,860492=== ∑
n
FiXiX
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25
i) Determinar o desvio-padrão
26,212 == SS = 4,61 Desvio padrão = 4,61
j) Qual o valor do coeficiente de variação?
22,56100*5622,0100*2,8
61,4100* ====
X
SCV %
k) A distribuição é simétrica? Não. Média, mediana e moda têm valores diferentes.
Média = 8,2 Mediana = 7,54 Moda = 4
Comprovando a moda por Czuber: ∆ 1=14 ∆ 2=0
⇒∗
∆+∆∆+= hLMo
21
1inf 4313014
141 =+=∗
++=Mo
l) A distribuição é mesocúrtica? Não, é platicúrtica.
( ) ( ) 318,026,25
04,863,122
04,829,292,14221,425,12
2 1090
13 ===−−=
−−=
xPP
QQK
Se K = 0,236 a curva correspondente à distribuição de frequência é mesocúrtica. Se K > 0,236 é platicúrtica. Se K < 0,236 é leptocúrtica.
P90 elementoº54100
5400
100
60*90
100
90n⇒=⇒⇒
13 16 11 14,5 159,5 58 -> P90
P90 92,1492,1133*64,0133*11
7133*
11
475413 =+=+=+=−+=
P10 elementoº6100
600
100
60*10
100
10n⇒=⇒⇒
1 4 14 2,5 35 14 -> P10
P10 29,229,113*43,013*14
061 =+=+=−+=
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26
m) Determine o 7º decil e o 80º percentil.
D7
D7 elementoº4210
420
10
60*7
10
7n⇒=⇒⇒
10 13 8 11,5 92 47 -> D7
D7 13,1113,1103*375,0103*8
3103*
8
394210 =+=+=+=−+=
D7 = 11,13
P80
P80 elementoº48100
4800
100
60*80
100
80n⇒=⇒⇒
13 16 11 14,5 159,5 58 -> P90 / P80
P80 27,0133*09,0133*11
474813 +=+=−+=
P80 = 13,27
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27
~
FÓRMULAS
R = Xmáx – Xmin
K = 5 para n < 25 e K ≅ √ n para n > 25
X = w1X1 + w2X2 + … wkXk = ∑ wX w1 + w2 + … wk ∑w Q1 = l Q1 + (n/4 - Σf) h
FQ1 Di = l Di + (in/10 - Σf ) ⋅ h
FDi
X = ∑ x i Fi n
Q3 = l Q3+ (3n/4 - Σf) h FQ3
h = R ÷ K
fi = Fi n
µ = ∑ x N
Mh = n F1 + F2 + … Fn X1 X2 Xn
X = lmd+ ( n/2 - Σf) . h
Fmd
Sturges: K = 1 + 3,22 log n n = tamanho da amostra
X i = lim. Inf. + lim. Sup. 2
X = Σ x n
MGE = n1X1+ n2X2+ …nkXk
n1 + n2 + … nk
Q1 = n/4 Q2 = n/2 Q3 = 3n/4
Di = i ⋅ n 10
Pi = i ⋅ n 100
Pi = l Pi + (in/100 - Σf) ⋅ h FPi
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28
σ² =
~
K =
Czuber: Pearson:
Σ Xi² Fi – (Σ Xi Fi)² N N σ = √ σ² � Desvio Padrão Pop. CV = σ • 100 ou CV = S • 100 µ X 1° Coeficiente de Pearson: 2° Coeficiente de Pearson:
AS = µ – Mo AS = X - Mo σ S
populacional amostral
Q3 – Q1 2(P90 – P10)
AS = Q1 + Q3 – 2X Q3 – Q1
Mo = l + ∆1 • h ∆1 + ∆2
Mo ≅ 3X – 2X
Dm =Σ | Xi– X | Fi n
S = √ S² � Desvio Padrão Amostral
- Se K = 0,236 é mesocúrtica. - Se K > 0,236 é platicúrtica. - Se K < 0,236 é leptocúrtica.
σ² =
Σ Xi² Fi – (Σ Xi Fi)² S² = n
n - 1
~