ESTATÍSTICA MULTIVARIADA

2º SEMESTRE 2010 / 11

EXERCÍCIOS PRÁTICOS - CADERNO 4 Regressão Linear

14-03-11 4.2

4. EXERCÍCIOS PARA RESOLVER NAS AULAS 4.1. O gestor de marketing duma grande cadeia de supermercados quer determinar o efeito do espaço de prateleiras nas vendas de comida para animais. Seleccionou uma amostra de 12 lojas de dimensão muito próxima nas quais recolheu os seguintes dados:

Loja i Espaço de

prateleira em m ( Xi )

Vendas numa semana (x10

3 €)

( Yi )

1 5 1.6

2 5 2.2

3 5 1.4

4 10 1.9

5 10 2.4

6 10 2.6

7 15 2.3

8 15 2.7

9 15 2.8

10 20 2.6

11 20 2.9

12 20 3.1

a) Faça um diagrama que evidencie a relação entre as duas variáveis. b) Qual a relação entre as duas variáveis? Calcule uma medida apropriada. c) Assumindo uma relação linear entre elas, calcule os estimadores de mínimos quadrados ordinários para

os coeficientes da recta das vendas em função do espaço de prateleira. d) Interprete o valor do declive da recta. e) Qual a sua estimativa (em milhares de euros) para as vendas semanais duma loja com 8 m de

prateleira para comida de animais? f) Qual o seu erro médio de estimativa? g) Qual o valor do coeficiente de determinação. Interprete. 4.2. O gestor de um serviço de limousine entre um aeroporto e a área metropolitana envolvente está interessado em ter uma ideia da relação entre a distância percorrida em cada serviço e o tempo que o mesmo demora. Para isso recolheu os respectivos valores para os últimos 12 clientes:

Loja i Distância em km

(Xi) Tempo em min.

Yi

1 10.3 19.71

2 11.6 18.15

3 12.1 21.88

4 14.3 24.21

5 15.7 27.08

6 16.1 22.96

7 18.4 29.38

8 20.2 37.24

9 21.8 36.84

10 24.3 40.59

11 25.4 41.21

12 26.17 38.19

14-03-11 4.3

a) Faça um diagrama que evidencie a relação entre as duas variáveis e calcule uma estatística apropriada para a medir.

b) Assumindo uma relação linear entre elas, calcule os estimadores de mínimos quadrados ordinários para

os coeficientes da recta da duração em função da distância percorrida. Interprete o valor do declive. c) Qual a sua estimativa (em minutos) para a duração dum serviço em que é necessário percorrer 20 km ? d) Calcule o erro médio de estimativa? e) Calcule o coeficiente de determinação e interprete. 4.3. Considere o modelo de regressão

ii33i221i εXβXββY

e as seguintes seis observações para as variáveis Y, X2 e X3 :

i Yi Xi2 Xi3

1 15 2 10

2 9 3 5

3 3 3 7

4 25 6 19

5 7 7 11

6 13 9 18

a) Escreva o modelo na forma matricial e especifique qual o vector Y e a matriz X

b) Calcule: i) As matrizes X'X, X'Y e (X'X)

-1.

ii) As estimativas de mínimos quadrados ordinários para os i. iii) Os erros de estimação para as seis observações utilizadas. iv) A estimativa da variância dos erros; v) A matriz de variâncias/covariâncias dos estimadores;

vi) Os erros padrão dos i. vii) Mostre que a variação total é igual à soma da variação explicada com a variação residual e calcule

o coeficiente de determinação R2.

Mostre ainda que o coeficiente de determinação é o quadrado do coeficiente de correlação linear simples entre a variável dependente e as suas estimativas.

c) Confirme os resultados obtidos em b) usando o SPSS.

d) Teste a significância dos parâmetros do modelo.

e) Teste a aderência global do modelo.

f) Apresente uma estimativa para Y quando X2 = 4 e X3 = 12. Qual o respectivo intervalo de confiança a 95% ?

14-03-11 4.4

4.4. Considere o modelo de regressão

ii33i22i11i εXβXβXβY

e as seguinte nove observações para as variáveis Y, X1, X2 e X3 :

i Yi Xi1 Xi2 Xi3

1 1 1 0 -1

2 -1 -1 1 0

3 2 1 0 0

4 0 0 1 0

5 4 1 2 0

6 2 0 3 0

7 2 0 0 1

8 0 1 -1 1

9 2 0 1 1

a) Escreva o modelo na forma matricial e especifique qual o vector Y e a matriz X b) Calcule:

i) As matrizes X'X, X'Y e (X'X)-1

(Lembre-se que a inversa de uma matriz diagonal é a diagonal com os inversos de cada elemento).

ii) As estimativas de mínimos quadrados ordinários para os i. iii) Os erros de estimação para as nove observações utilizadas. iv) A estimativa da variância dos erros; v) A matriz de variâncias/covariâncias dos estimadores;

vi) Os erros padrão dos i. vii) O coeficiente de determinação R

2.

c) Confirme os resultados obtidos em b) usando o SPSS. d) Faz sentido manter todas as variáveis no modelo? E globalmente o modelo é bom?

14-03-11 4.5

4.5. Considere o modelo

ii33i221i εXβXββY

que foi aplicado a 20 observações para as quais se obtiveram os seguintes resultados:

77691

699140

965870

β

.

.

.

ˆ

03712.0031223.050301.

031223.048526.019195.0

050301.19195.021812.0

V̂

5193.2ˆ 2 e R2 = 0.9466 .

a) Qual a variação total, a variação explicada e qual a variação não explicada.

b) Apresente os intervalos de confiança a 95% para 2 e para 3.

c) Teste H0: 2 1 contra HA: 2 < 1. d) Teste separadamente a significância dos parâmetros.

e) Utilizando os valores apresentados em a) teste a hipótese H0: 2 = 3 = 0.

f) Escreva a hipótese 2 = 3 = 0 na forma vectorial, e calcule S

V̂ . Usando esta informação repita o

teste. Que relação tem com os resultados calculados em e)?

14-03-11 4.6

4.6. Na tabela 5.4 apresentam-se os dados das vendas semanais de uma das maiores marcas de conservas de

atum numa cadeia de supermercados do Midwest americano durante um ano civil (dados no ficheiro

CONSERVA.SAV). As variáveis apresentadas são:

Sal1 = unidades vendidas da marca nº. 1 de conservas de atum;

Apr1 = preço por lata da conserva da marca nº. 1;

Apr2, 3 = preços por lata das marcas concorrentes n os

. 2 3;

Disp = variável "dummy" que assume o valor 1 nas semanas em que a marca 1 teve

uma exposição especial (topo, ilha, caixa, etc.) mas não teve promoção impressa e 0 nas

outas semanas;

DispAd = variável "dummy" que assume o valor 1 quando a marca 1 teve exposição

especial e também promoção impressa e 0 nas outras semanas.

Propôs-se para explicar as vendas semanais da marca 1 de conservas de atum o seguinte modelo semi-

logaritmico:

ii6i5i4i3i21i DispAdDisp3Apr2Apr1Apr1Salln

a) Discuta a forma do modelo proposto e qual a sua justificação neste problema.

b) Estime o modelo pelos mínimos quadrados ordinários. Discuta e interprete o significado de 2 , 3 e 4.

c) Serão os sinais de 5 e 6 consistentes com o esperado? Teste a contribuição das variáveis "dummy"

para a explicação das vendas testando alternativamente as seguintes hipóteses:

i) H0: 5 = 0 contra HA: 5 0.

ii) H0: 6 = 0 contra HA: 6 0.

iii) H0: 5 = 6 = 0 contra HA: 5 ou 6 0.

iv) H0: 6 5 contra HA: 6 < 5 .

Que conclusões são relevantes para os gestores do supermercado?

14-03-11 4.7

Tabela 5.6 - Vendas de conservas de atum

Sal1 Apr1 Apr2 Apr3 Disp DispAd

6439 0.66 0.82 0.79 1 0

3329 0.62 0.80 0.59 1 0

3415 0.62 0.77 0.63 0 0

2909 0.62 0.66 0.81 0 0

2598 0.63 0.65 0.81 0 0

3773 0.69 0.63 0.80 0 0

20383 0.63 0.65 0.78 0 1

11761 0.65 0.78 0.80 1 0

2614 0.77 0.62 0.77 1 0

2496 0.81 0.69 0.68 1 0

20811 0.68 0.85 0.70 0 1

8339 0.71 0.86 0.80 1 0

2793 0.84 0.86 0.80 1 0

2416 0.82 0.86 0.82 0 0

2837 0.84 0.86 0.81 0 0

2110 0.82 0.77 0.83 0 0

6422 0.78 0.82 0.81 1 0

4539 0.81 0.91 0.85 1 0

2493 0.89 0.91 0.82 0 0

2262 0.85 0.89 0.76 0 0

2145 0.85 0.89 0.77 0 0

11996 0.71 0.90 0.84 0 1

5847 0.78 0.92 0.83 1 0

2257 0.85 0.43 0.84 1 0

2461 0.87 0.82 0.83 0 0

2075 0.86 0.93 0.84 1 0

14044 0.77 0.90 0.82 0 1

4521 0.80 0.75 0.78 0 0

2052 0.85 0.76 0.80 0 0

1762 0.85 0.89 0.78 0 0

2375 0.87 0.91 0.78 0 0

3256 0.88 0.85 0.88 0 0

3280 0.83 0.78 0.90 0 0

27254 0.69 0.93 0.87 0 1

14129 0.69 0.92 0.90 1 0

2906 0.90 0.91 0.87 1 0

17630 0.69 0.68 0.69 0 1

9431 0.73 0.69 0.73 1 0

32820 0.61 0.73 0.87 0 1

12635 0.67 0.90 0.89 1 0

2509 0.89 0.91 0.69 1 0

2184 0.89 0.59 0.71 1 0

12485 0.70 0.65 0.87 0 1

6560 0.75 0.90 0.69 1 0

2647 0.92 0.91 0.74 1 0

2949 0.91 0.92 0.89 1 0

3016 0.91 0.91 0.90 1 0

2370 0.91 0.91 0.59 0 0

2006 0.91 0.76 0.62 0 0

2556 0.90 0.77 0.86 0 0

13808 0.69 0.76 0.88 0 1

6668 0.82 0.77 0.86 1 0

14-03-11 4.8

4.7. (Adaptado do teste de 19.Jun.99)

Um amigo seu resolveu antecipar as férias e está "de serviço" num restaurante de beira de estrada no

Algarve. Para matar o tempo e impressionar o patrão, resolveu explorar a possibilidade de explicar as

receitas mensais dos restaurantes deste tipo em função da sua capacidade e do movimento na estrada.

Com o intuito de estimar um modelo linear, recolheu para cinco restaurantes da região e referentes a Julho

do ano passado:

Yi as receitas do mês em milhares de contos;

Xi2 o número de lugares da sala, como medida de capacidade;

Xi3 a estimativa da JAE para o número médio de veículos que circularam diariamente nessa estrada (em milhares);

Receitas Capacidade Tráfego

Yi Xi2 Xi3

23.8 120 19

24.2 200 8

22.0 150 12

26.2 180 15

33.5 240 16

Fez já alguns cálculos preliminares:

Yi = 129.7; Xi2 = 890; Xi3 = 70; Y2i = 3 444.77 ; X

2i2 = 166 900; X

2i3 = 1 050;

YiXi2 = 23 752; Yi Xi3 = 1 838.8; Xi2 Xi3 = 12 220;

a) O seu colega sabe que um restaurante sem lugares numa estrada sem tráfego não vende nada. Mas

mesmo assim resolveu estimar um modelo com constante. Escreva a respectiva expressão e diga quais

os pressupostos que têm de se verificar para que seja estimável pelos mínimos quadrados ordinários.

b) Indique um ponto que satisfaça a relação que vai estimar.

Para lhe facilitar a resolução das questões que se seguem, o seu colega construiu a matriz 1X'X

e

inverteu-a, e introduziu os dados no SPSS, com os quais obteve o output que se segue, onde foram

apagados muitos dos resultados que tem de apresentar, mas onde pode também recolher informação que

lhe poupa muitos cálculos nas respostas.

015821.0000448.0301194.0

000448.0000131.0029515.0

301194.0029515.0670373.9

X'X1

14-03-11 4.9

Model Summary

Model R R Square Std. Error of the Estimate

Durbin-Watson

1 .4768 2.532

a Predictors: (Constant), TRAFEGO, CAPACIDADE b Dependent Variable: RECEITAS

ANOVA

Model Sum of Squares

df Mean

Square

1 Regression Residual .455 2 .227 Total

a Predictors: (Constant), TRAFEGO, CAPACIDADE b Dependent Variable: RECEITAS

c) Quais as estimativas para os parâmetros do modelo? Qual o significado dos valores obtidos?

d) Os resultados lhe permitem por em questão a decisão do seu amigo de usar uma constante no modelo

1 ?

E as variáveis explicativas escolhidas devem ser mantidas no modelo1?

e) Calcule uma medida apropriada para avaliar da qualidade do ajustamento do modelo.

f) Vai agora testar a aderência global do modelo

1. Explicite a hipótese que vai testar, a distribuição da

estatística apropriada e proceda ao teste. Que conclusão tira? Como a compara com as conclusões em

d) ? As conclusões deste e dos testes antes realizados são sempre iguais? Porquê?

g) Tem razões para duvidar que os resíduos sejam não correlacionados

1? (Se, como é natural, na sua

tabela não constar a possibilidade de estar a trabalhar com apenas 5 observações, assuma 15.)

1 Nestes testes deve usar um nível de significância de 5%.

14-03-11 4.10

EXERCÍCIOS PARA TREINO 4.8. (Adaptado do teste modelo de 15.Jun.99)

Um colega seu está interessado em estudar o preço das casas (em contos) na zona de Benfica em função

do número de assoalhadas e do número de casas de banho. Para isso recolheu os dados sobre oito

apartamentos neste momento em venda:

preço Assoalh. C.b.

Yi Xi1 Xi2

39400 3 2

37150 2 1

41900 4 3

37100 2 1

39850 3 2

37450 2 2

44200 5 3

41450 4 2

Com o intuito de estimar um modelo linear que explique o preço das casas em função das outras duas

variáveis recolhidas, o seu colega fez já alguns cálculos preliminares:

Yi = 318 500; Xi1 = 25; Xi2 = 16; Yi2 = 12 726 770 000 ; Xi1

2 = 87; Xi2

2 = 36;

YiXi1 = 1 015 550; Yi Xi2 = 648 850;

a) Baseado no princípio de que uma casa sem assoalhadas nem casa de banho não vale nada, o seu

colega quer estimar um modelo que passe pela origem (ou seja, sem constante). Escreva a respectiva

expressão e diga quais os pressupostos que têm de se verificar para que seja estimável pelos mínimos

quadrados ordinários.

b) Apresente as respectivas matrizes X'X, X'Y e (X'X)

-1. Quais as estimativas para os parâmetros do

modelo? Qual o significado dos valores obtidos?

c) Calcule os erros padrão dos estimadores e teste a hipótese de serem zero. Que conclui?

d) Calcule uma medida apropriada para avaliar da qualidade do modelo e teste a aderência global do

modelo.

e) Quando o seu colega foi mostrar o trabalho feito até aí ao professor, este convenceu-o de que devia

usar um modelo com constante. Haverá argumentos estatísticos que o justifiquem, ou terá sido apenas

o seu poder de persuasão que levou o seu colega a mudar de opinião? O resultado do modelo com

constante estimado pelo SPSS é apresentado no Anexo. Que leitura faz dos novos resultados?

14-03-11 4.11

ANEXO ao problema 4.8 (Output do SPSS)

Model Summaryb

Model R R Square Adjusted R Square

Std. Error of the Estimate

Durbin-Watson

1 .998a .996 .995 185.18 2.287

a Predictors: (Constant), CB, ASSOALH b Dependent Variable: PRECO

ANOVAb

Model Sum of Squares

df Mean

Square F Sig.

1 Regression 46 317 291.667 2 23 158 645.833 675.343 .000a

Residual 171 458.333 5 34 291.667 Total 46 488 750.000 7

a Predictors: (Constant), CB, ASSOALH b Dependent Variable: PRECO

Coefficientsa

Model

Unstandardized Coefficients

Standardized Coefficients t Sig.

B Std. Error Beta

1 (Constant) 32 595.833 209.000 155.961 .000 ASSOALH 2 066.667 114.296 .903 18.082 .000 CB 379.167 170.249 .111 2.227 .076

a Dependent Variable: PRECO

Residuals Statisticsa

Minimum Maximum Mean

Std. Deviation

N

Predicted Value 37 108.33 44 066.67 39 812.50 2 572.31 8 Residual -170.83 295.83 1.82E-12 156.51 8 Std. Predicted Value -1.051 1.654 .000 1.000 8 Std. Residual -.923 1.598 .000 .845 8

a Dependent Variable: PRECO

14-03-11 4.12

4.9. (Adaptado do exame de 29.Jan.2001)

Ao estudar a evolução de duas empresas do sector de electrónica de 1979 a 1998 (nos EUA), um seu

colega procurou explicar o investimento em cada uma delas pelo modelo:

tt3t21t CAI

onde:

It Investimento da empresa no ano t (em milhões de dólares de 1995);

At Activo da empresa no início do ano t ( " " " " );

Ct Capitais Próprios no início do ano t ( " " " " );

O dados recolhidos para as empresas A e B são:

Empresa A Empresa B

It At Ct It At Ct

12.93 191.50 1.80 33.10 1170.60 97.80

25.90 516.00 0.80 45.00 2015.80 104.40

35.05 729.00 7.40 77.20 2803.30 118.00

22.89 560.40 18.10 44.60 2039.70 156.20

18.84 519.90 23.50 48.10 2256.20 172.60

28.57 628.50 26.50 74.40 2132.20 186.60

48.51 537.10 36.20 113.00 1834.10 220.90

43.34 561.20 60.80 91.90 1588.00 287.80

37.02 617.20 84.40 61.30 1749.40 319.90

37.81 626.70 91.20 56.80 1687.20 321.30

39.27 737.20 92.40 93.60 2007.70 319.60

53.46 760.50 86.00 159.90 2208.30 346.00

55.56 581.40 111.10 147.20 1656.70 456.40

49.56 662.30 130.60 146.30 1604.40 543.40

32.04 583.80 141.80 98.30 1431.80 618.30

32.24 635.20 136.70 93.50 1610.50 647.40

54.38 723.80 129.70 135.20 1819.40 671.30

71.78 864.10 145.50 157.30 2079.70 726.10

90.08 1193.50 174.80 179.50 2371.60 800.30

68.60 1188.90 213.50 189.60 2759.90 888.90

O seu colega começou por estimar o modelo para a empresa A ("modelo A"), depois estimou o modelo para

a empresa B ("modelo B") e estimou ainda um modelo em que juntou as quarenta observações e

acrescentou uma variável "dummy" (0 para a empresa A e 1 para a empresa B) e que designou por modelo

AB. No Anexo apresenta-se parte do output do SPSS para a estimação destes três modelos.

Para lhe facilitar a resolução das questões que se seguem, o seu colega construiu a matriz X'X para o

modelo B e inverteu-a:

00000092.000000015.000009758.0

00000015.000000013.000016846.0

00009758.000016846.038825218.0

X'X1

14-03-11 4.13

a) Analise os resultados apresentados para os modelos estimados para as empresas separadamente

("modelo A" e "modelo B") nos aspectos que lhe parecerem relevantes.

b) E como compara os resultados obtidos para o modelo AB com os dos outros dois modelos?

c) Um seu colega discordou da inclusão das constantes nos modelos A e B. Disse mesmo que essas

constantes deveriam ser iguais nos dois modelos. Tem alguma forma de, justificando com um teste

estatístico, rebater esta afirmação?

d) Apresente a sua previsão (valor esperado e intervalo de confiança a 95%) do investimento a realizar

pela empresa B no próximo ano (no "modelo B"), admitindo que activo e capitais próprios crescem à

taxa média dos últimos três anos. No caso de usar o modelo AB os resultados seriam muito diferentes?

(Não necessita calcular o intervalo de confiança).

e) Sabendo que as estatísticas de Durbin-Watson para os modelos A, B e AB são, respectivamente, 1.413,

1.072 e 1.101, que pode concluir?

14-03-11 4.14

ANEXO ao problema 4.9 (Output do SPSS)

Modelo A

Coefficientsa

Model

Unstandardized Coefficients

B Std. Error

1 (Constant) -.509 8.015 ACTIVO 5.289E-02 .016 CAP_PR 9.241E-02 .056

a Dependent Variable: INVEST

ANOVAb

Model Sum of Squares

1 Regression 5 165.553 a

Residual 1 773.234 Total 6 938.787

a Predictors: (Constant), CAP_PR, ACTIVO b Dependent Variable: INVEST

Modelo B

Coefficientsa

Model

Unstandardized Coefficients

B Std. Error

1 (Constant) -9.956 ACTIVO 2.655E-02 CAP_PR .152

a Dependent Variable: INVEST

ANOVAb

Model Sum of Squares

1 Regression 31 632.030 a

Residual 13 216.588 Total 44 848.618

a Predictors: (Constant), CAP_PR, ACTIVO b Dependent Variable: INVEST

14-03-11 4.15

Modelo AB

Coefficientsa

Model

Unstandardized Coefficients

B Std. Error

1 (Constant) 9.986 8.170 ACTIVO 2.974E-02 .010 CAP_PR .151 .019 EMPRESA -25.951 14.738

a Dependent Variable: INVEST

ANOVAb

Model Sum of Squares

1 Regression 71 819.600 a

Residual 15 249.623 Total 87 069.223

a Predictors: (Constant), EMPRESA, CAP_PR, ACTIVO b Dependent Variable: INVEST