Estimação de Fasores para Proteção de Sistemas Elétricos

UNIVERSIDADE DO RIO GRANDE DO NORTEFEDERAL

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

CENTRO DE TECNOLOGIA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA E

DE COMPUTAÇÃO

Estimação de Fasores para Proteção deSistemas Elétricos Baseada em Mínimos

Quadrados e Morfologia Matemática

Diego Alves Formiga

Natal - Rio Grande do Norte - BrasilDezembro de 2012

UNIVERSIDADE DO RIO GRANDE DO NORTEFEDERAL

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

CENTRO DE TECNOLOGIA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA E

DE COMPUTAÇÃO

Estimação de Fasores para Proteção deSistemas Elétricos Baseada em Mínimos

Quadrados e Morfologia Matemática

Diego Alves Formiga

Orientador: Prof. Dr. Fabiano Fragoso Costa

Coorientador: Prof. Dr. Flavio Bezerra Costa

Dissertação de Mestradoapresentada aoPrograma de Pós-Graduação em Engenha-ria Elétrica da UFRN (área de concentração:Automação e Sistemas) como parte dos re-quisitos para obtenção do título de Mestreem Ciências.

Natal - Rio Grande do Norte - BrasilDezembro de 2012

UFRN / Biblioteca Central Zila MamedeCatalogação da Publicação na Fonte

Formiga, Diego Alves.Estimação de fasores para proteção de sistemas elétricos baseada em mínimos

quadrados e morfologia matemática/ Diego Alves Formiga. - Natal, RN, 2012116 f.: il.

Orientador: Fabiano Fragoso CostaCo-orientador: Flávio Bezerra Costa

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Cen-tro de Tecnologia. Centro de Tecnologia. Programa de Pós-Graduação em En-genharia Elétrica e de Computação.

1. Linhas de transmissão - Dissertação. 2. Estimação fasorial - Dissertação.3. Mínimos quadrados - Dissertação. 4. Morfologia Matemática - Dissertação.5. Proteção de distância - Dissertação. I. Costa, Fabiano Fragoso de. II. Costa,Flavio Bezerra. III. Universidade Federal do Rio Grande do Norte. IV. Título.

RN/UF/BCZM CDU 621.315

Aos meus pais, Antonio e Valdete,por me concederem o dom da vida e

pelo apoio em todos os momentos.

Agradecimentos

À minha família por todo o apoio e carinho em minha vida.

À minha companheira de todas as horas, Aylanna, pelo incentivo nos momentos difíceis

e ajuda na revisão deste trabalho.

Aos meus professores orientadores, Fabiano e Flavio, pelo tempo de dedicação e contri-

buição dedicados a este trabalho.

Aos professores membros da banca examinadora, por terem aceito o convite para partici-

parem desta defesa de mestrado.

Aos demais professores dos cursos de Engenharia Elétrica e da Computação, que contri-

buíram direta e indiretamente em minha formação pessoal e acadêmica.

Aos demais colegas da graduação e pós-graduação, pelas críticas e sugestões.

Ao Programa de Pós-graduação em Engenharia Elétrica e Computação da Universidade

Federal do Rio Grande do Norte e ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e

Tecnológico (CNPq) pela oportunidade e apoio financeiro para realização deste trabalho.

Resumo

Propõe-se neste trabalho uma nova técnica de estimação fasorial, a ser utilizada em

relés numéricos microprocessados digitais para proteção de distância de linhas de trans-

missão, baseada no método dos mínimos quadrados recursivo,denominada mínimos qua-

drados em caminhada aleatória modificada. Os métodos de estimação fasorial têm seu

desempenho comprometido devido, principalmente, à componente DC de decaimento ex-

ponencial presente nas correntes de falta. Para reduzir a influência da componente DC,

agregou-se ao método de mínimos quadrados um Filtro Morfológico (FM) aplicado pre-

viamente ao processo de estimação fasorial. O método apresentado foi implementado

em ambiente MATLABr e o seu desempenho comparado aos métodos convencionais de

estimação fasorial, também baseados em mínimos quadrados,e ao algoritmo de Fou-

rier de um ciclo. Os métodos baseados na técnica de mínimos quadrados utilizados para

comparação com o método proposto foram: recursivo ponderado, com reinicialização da

covariância e caminhada aleatória. As análises de desempenho das técnicas foram realiza-

das por meio de sinais sintéticos e sinais oriundos de simulações noAlternative Transient

Program(ATP). Em comparação aos demais métodos de estimação fasorial, o método

proposto apresentou resultados satisfatórios no que se refere à velocidade de resposta, os-

cilação em regime permanente e percentual deovershoot. Em seguida, o método proposto

teve seu desempenho analisado frente às variações nos parâmetros de falta (resistência,

distância, ângulo de incidência e tipo de falta). Nesse estudo, constatou-se que o método

não sofreu variações significativas em seus resultados. Além disso, analisou-se a traje-

tória da impedância aparente e distância estimada da falta,ao qual o método proposto

apresentou melhores resultados em comparação ao algoritmode Fourier de um ciclo.

Palavras-chave: Estimação fasorial, linhas de transmissão, mínimos quadrados, mor-

fologia matemática, proteção de distância.

Abstract

This work proposes a new technique for phasor estimation applied in microprocessor

numerical relays for distance protection of transmission lines, based on the recursive least

squares method and called least squares modified random walking. The phasor estima-

tion methods have compromised their performance, mainly due to the DC exponential

decaying component present in fault currents. In order to reduce the influence of the

DC component, a Morphological Filter (FM) was added to the method of least squares

and previously applied to the process of phasor estimation. The presented method is im-

plemented in MATLABr and its performance is compared to one-cycle Fourier technique

and conventional phasor estimation, which was also based on least squares algorithm. The

methods based on least squares technique used for comparison with the proposed method

were: forgetting factor recursive, covariance resetting and random walking. The tech-

niques performance analysis were carried out by means of signals synthetic and signals

provided of simulations on the Alternative Transient Program (ATP). When compared to

other phasor estimation methods, the proposed method showed satisfactory results, when

it comes to the estimation speed, the steady state oscillation and the overshoot. Then,

the presented method performance was analyzed by means of variations in the fault pa-

rameters (resistance, distance, angle of incidence and type of fault). Through this study,

the results did not showed significant variations in method performance. Besides, the ap-

parent impedance trajectory and estimated distance of the fault were analysed, and the

presented method showed better results in comparison to one-cycle Fourier algorithm.

Keywords: Phasor estimation, transmission lines, least squares, mathematical

morphology, distance protection.

Lista de Figuras

Figura 3.1 - Elementos do sistema de proteção. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 35

Figura 3.2 - Diagrama R-X. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36

Figura 3.3 - Características de operação: a) relé de impedância; b) relé de admi-

tância ou mho; c) relé de reatância; d) relé quadrilátero. . .. . . . . . 38

Figura 3.4 - Zonas de atuação de Relé de distância com três zonas: (a) Esquema

de proteção de um relé de distância com três zonas atuação; (b) Co-

ordenação no tempo das zonas de proteção dos relés de distância. . . 40

Figura 3.5 - Fluxograma geral de um relé numérico microprocessado baseado no

cálculo da impedância aparente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Figura 5.1 - Diagrama de blocos do FM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 57

Figura 5.2 - Componente DC extraída do sinal de corrente peloFM. . . . . . . . . 58

Figura 6.1 - Diagrama de blocos do método proposto. . . . . . . . .. . . . . . . 61

Figura 6.2 - Saída do filtro corrigida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 62

Figura 6.3 - Diagrama de blocos do processo de filtragem. . . . .. . . . . . . . . 62

Figura 7.1 - Sinal sintético. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 65

Figura 7.2 - Resposta no tempo da estimativa da amplitude do fasor fundamental. 66

Figura 7.3 - Resposta no tempo da estimativa da fase do fasor fundamental. . . . . 67

Figura 7.4 - Evolução na estimativa do fasor fundamental para o método MQR-

CAM e os mínimos quadrados não-adaptativos: (a) amplitude;(b)

fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

LISTA DE FIGURAS

Figura 7.5 - Evolução na estimativa da amplitude para o método MQR-CAM e os

métodos de mínimos quadrados adaptativos . . . . . . . . . . . . . . 70

Figura 7.6 - Evolução na estimativa da fase para o método MQR-CAM e os míni-

mos quadrados adaptativos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Figura 7.7 - Evolução na estimativa da amplitude para o método MQR-CAM e o

Fourier de um ciclo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Figura 7.8 - Evolução na estimativa da fase para o método MQR-CAM e o Fourier

de um ciclo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Figura 7.9 - Percentual deovershoot: (a) estimativa da amplitude; (b) estimativa

da fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Figura 7.10 - Velocidade de convergência: (a) estimativa daamplitude; (b) estima-

tiva da fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Figura 7.11 - Oscilação na estimação: (a) amplitude; (b) fase. . . . . . . . . . . . . 79


da fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Figura 7.13 - Oscilação na estimativa: (a) estimativa da amplitude; (b) estimativa

da fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80


da fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Figura 7.15 - Trajetória da impedância aparente no diagramaR-X para faltas: (a)

AT; (b) AB; (c) ABT; (d) ABC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Figura C.1 - Linha de transmissão de 230 kV modelada no programa ATP. . . . . 107

Lista de Tabelas

Tabela 1.1 - Distribuição típica do número de faltas por equipamento (PAITHAN-

KAR; BHIDE, 2010). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Tabela 3.1 - Classificação das linhas de transmissão. . . . . . .. . . . . . . . . . 39

Tabela 3.2 - Classificação da falta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 42

Tabela 7.1 - Parâmetros do MQR-CAM utilizados nas análises.. . . . . . . . . . 66

Tabela 7.2 - Resultados obtidos para os quatro modelos analisados. . . . . . . . . 67

Tabela 7.3 - Índices de desempenho para os quatro modelos analisados. . . . . . . 67

Tabela 7.4 - Resultados obtidos para os métodos analisados.. . . . . . . . . . . . 71

Tabela 7.5 - Índices de desempenho para os métodos analisados. . . . . . . . . . 71

Tabela 7.6 - Resultados obtidos para os métodos de Fourier deum ciclo e MQR-

CAM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Tabela 7.7 - Índices de desempenho para os métodos de Fourierde um ciclo e

MQR-CAM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Tabela 7.8 - Efeito do ângulo de incidência da falta sob os índices de desempenho. 75

Tabela 7.9 - Efeito da resistência de falta sob os índices de desempenho. . . . . . 78

Tabela 7.10 - Efeito da distância da falta sob os índices de desempenho. . . . . . . 81

Tabela 7.11 - Resultado das análises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 84

Tabela C.1 - Dados das fontes e equivalentes. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 107

Tabela C.2 - Impedância da linha de transmissão. . . . . . . . . . .. . . . . . . . 108

Lista de Abreviaturas

A/D Analógico/Digital.

ATP Alternative Transient Program.

COMTRADE Common Format for Transient Data Exchange.

DC Direct Current.

EE Elemento Estruturante.

FM Filtro Morfológico.

MATLAB Matrix Laboratory.

MM Morfologia Matemática.

MQR Mínimos Quagrados Recursico.

MQR-CA Mínimos quadrados Recursivo em Caminhada Aleatória.

MQR-CAM Mínimos Quadrados Recursivo em Caminhada Aleatória Modificada.

MQR-RC Mínimos quadrados Recursivo com Reinicialização daCovariância.

MQRP Mínimos quadrados Recursivo Ponderado.

QEE Qualidade da Energia Elétrica.

SEP Sistema Elétrico de Potência.

SIR Source-to-line Impedance Ratio.

TC Transformador de Corrente.

TDF Transformada Discreta de Fourier.

LISTA DE ABREVIATURAS

TP Transformador de Potencial.

TW TransformadaWavelet.

Lista de Símbolos

A Matriz contendo os coeficientes do sistema linear

A1 Valor da amplitude do fasor fundamental

Am Estimativa da amplitude do fasor fundamental

E Vetor erro

Ea eEf Erro relativo entre os valores reais e estimado para a ampli-

tude e fase, respectivamente

F Erro quadrático

F1,F2 eF3 Faltas na linha de transmissão

I Fasor de corrente

ID1, ID2 e ID3 Índices de desempenho

I0 Fasor da corrente de sequência zero

Ia, Ib e Ic Fasor das correntes de linha

Imin Limiar de corrente de sequência zero

K Ganho de Kalman

M Matriz composta pelas amostras dos regressores

M+ Matriz pseudo-inversa deM

N Quantidade de amostras em um ciclo do sinal

NT Número de amostras após alcançada a convergência

Nc Quantidade de ciclos

LISTA DE SÍMBOLOS

Nh Número de componentes harmônicas consideradas na mode-

lagem do sinal

Nconv,Namp,Nf as,Na eNf Amostra na qual a estimativa do parâmetro convergiu

P Matriz de covariância

R Matriz diagonal

R Resistência

Rab eRbc Relés de distância

T0 Período fundamental do sinal

V Fasor de tensão

X Reatância

X Vetor coluna contendo as variáveis do sistema linear

Xlinha Reatância de sequência positiva da linha

Y Vetor composto pelas amostras do sinal

Z1 e Z0 Impedâncias de sequência positiva e zero por unidade de

comprimento

Zl Impedância total da linha de transmissão

Zs Impedância da fonte

Zs Vetor contendo os instantes em que a matriz de covariância é

atualizada

Zap Impedância aparente

Zl1 Impedância de sequência positiva da linha por unidade de

comprimento

Zlinha Impedância de sequência positiva da linha

∆t Período de amostragem

Φ Vetor dos parâmetros

LISTA DE SÍMBOLOS

Ψ Vetor dos regressores

α Parâmetro a ser estimado

Y Vetor resultante da resolução do sistema linear

α Estimativa do parâmetro

y Modelo do sinaly

λ Fator de esquecimento

D f eDg Domínios das funçõesf eg, respectivamente

µ Média

ω0 Frequência angular fundamental

φ1,φ2 eφp Regressores

ψ1,ψ2 eψp Parâmetros a serem determinados

σ Desvio padrão

σ2 Valor dos elementos iniciais da matriz de covariância

τ Constante de tempo

θn Ângulo de fase do fasor

ε Nível preestabelecido do erro de predição

ϕ Ângulo de fase da impedância de sequência positiva da linha

ϕ1 Valor da fase do fasor fundamental

ϕm Estimativa da fase do fasor fundamental

a0,an ebn Coeficientes da série de Fourier

ai Vetor coluna que representa a i-ésima linha da matrizA

c0 ecn Coeficientes da série de Fourier em sua forma compacta

d e h Distância da falta

LISTA DE SÍMBOLOS

e Erro de predição

f Sinal de entrada do filtro morfológico

f0 Frequência fundamental do sinal

g Elemento estruturante

hc ehs Filtros cosseno e seno

i em I-ésimo e m-ésimo instante de tempo

k Número da amostra

k1,k2 ek3 Instantes em que a matriz de covariância é atualizada

m Índice do vetor elemento estruturante

n Ordem da harmônica

n0 Instante de ocorrência da falta

n1 en2 Amostras em que os patamares 1 e 2 estão localizados

q Razão entre as corrente de fase antes e depois da ocorrência

da falta

r1, r2 e r3 Elementos da matrizR

s Tamanho do elemento estruturante

t Tempo

v Soma dos quadrados dos erros

y Sinal de corrente

yi Componente ímpar do sinal

yp Componente par do sinal

yf mc Saída do filtro morfológico corrigida pela etapa de condicio-

namento

yf m Valor do patamar

LISTA DE SÍMBOLOS

yf s Saída do filtro morfológico

z Multiplicador da matriz identidade

I Matriz identidade

Sumário

1 Introdução 25

1.1 Contextualização do Tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.2 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.3 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.4 Estrutura do Texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2 Revisão Bibliográfica 31

2.1 Métodos de Estimação Fasorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31

2.1.1 Transformada Discreta de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . .31

2.1.2 Mínimos Quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.1.3 TransformadaWavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2 Morfologia Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3 Fundamentos da Proteção de Distância 35

3.1 O Diagrama R-X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2 Características de Operação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 37

3.3 Zonas de Proteção de Distância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39

3.4 Etapas Básicas da Proteção de Distância . . . . . . . . . . . . . .. . . . 40

3.4.1 Detecção da Falta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4.2 Classificação da Falta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.4.3 Cálculo da Impedância Aparente e da Distância da Falta. . . . . 43

SUMÁRIO

4 Fundamentos da Estimação de Fasores 45

4.1 Algoritmos Baseados na Análise de Fourier . . . . . . . . . . . .. . . . 45

4.1.1 Algoritmo Fourier de um Ciclo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.1.2 Algoritmo de Fourier de Meio Ciclo . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.2 Algoritmos Baseados nos Métodos dos Mínimos Quadrados .. . . . . . 48

4.2.1 Mínimos Quadrados em Batelada . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.2.2 Mínimos Quadrados Recursivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.2.3 Mínimos Quadrados Recursivos Adaptativos . . . . . . . . .. . 51

4.2.3.1 Fator de Esquecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.2.3.2 Reinicialização da Covariância . . . . . . . . . . . . . 53

4.2.3.3 Caminhada Aleatória . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5 Fundamentos da Morfologia Matemática 55

5.1 Operações Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.2 Filtro Morfológico (FM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6 Método Proposto 59

6.1 Método de Estimação Fasorial Proposto . . . . . . . . . . . . . . .. . . 59

6.2 Filtro Morfológico Proposto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 60

7 Análise dos Resultados 63

7.1 Índices de Desempenho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

7.2 Análise Comparativa Quanto ao Modelo do Sinal . . . . . . . . .. . . . 64

7.3 Análise de Desempenho dos Métodos de Estimação Fasorial. . . . . . . 68

7.3.1 Método MQR-CAM e Mínimos Quadrados não Adaptativos . .. 68

7.3.2 Método MQR-CAM e Mínimos Quadrados Adaptativos . . . . .69

7.3.3 Método MQR-CAM e Fourier de um Ciclo . . . . . . . . . . . . 72

SUMÁRIO

7.4 Análise de Sensibilidade do Método Proposto Quanto aos Parâmetros de

Falta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

7.4.1 Efeito do Ângulo de Incidência da Falta . . . . . . . . . . . . . . 74

7.4.2 Efeito da Resistência de Falta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

7.4.3 Efeito da Distância da Falta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

7.5 Trajetória da Impedância Aparente no Plano R-X . . . . . . . . . . . . . 82

8 Conclusões e Propostas para Trabalhos Futuros 85

Referências bibliográficas 87

A Dedução do algoritmo de Fourier 93

A.1 Algoritmo de Fourier de um Ciclo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

A.2 Algoritmo de Fourier de Meio Ciclo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

B Dedução do método dos mínimos quadrados 101

B.1 Algoritmo em Batelada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

B.2 Algoritmo Recursivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

C Sistema Elétrico Analisado 107

25

Capítulo 1

Introdução

1.1 Contextualização do Tema

Atualmente, devido às normas vigentes do setor elétrico (BRASIL, 2004), é crescente

a necessidade do desenvolvimento de procedimentos técnicos que assegurem robustez e

confiabilidade aos sistemas de transmissão e distribuição de energia elétrica. A expansão

e o aumento da complexidade do setor elétrico tornam o sistema elétrico mais propício

a falhas e levam a uma maior degradação dos índices de Qualidade da Energia Elétrica

(QEE). Portanto, o desenvolvimento de procedimentos de controle e proteção aplicados na

geração, transmissão e distribuição que garantam a QEE ofertada aos clientes do sistema

é de fundamental relevância.

Para que um Sistema Elétrico de Potência Sistema Elétrico dePotência (SEP) opere

adequadamente, as seguintes características devem ser observadas: continuidade, confor-

midade, flexibilidade e manutenabilidade (CAMARGO, 2009).Assim, com o objetivo

de acompanhar o processo de expansão e manter presente a qualidade desejada para ope-

ração de um sistema elétrico, estudos vêm sendo realizados continuamente na área de

proteção em busca do desenvolvimento de equipamentos digitais que permitam assegurar

que as faltas sejam extintas rápida e adequadamente. Estas pesquisas têm como propósito

preservar a integridade do SEP e impedir que faltas em um determinado trecho da rede

venha a afetar outros setores do SEP.

As linhas de transmissão são os componentes do sistema elétrico que transportam a

energia produzida pelas fontes de geração até os centros consumidores de energia elé-

trica, sendo os elementos da rede mais suscetíveis a falhas,devido à sua grande extensão

e exposição à variadas condições climáticas e ambientais. Na Tabela 1.1 mostra-se a

26 CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO

percentagem de ocorrência de faltas para os diversos componentes do SEP. Aproximada-

mente 50% das faltas ocorrem em linhas aéreas, sendo 85% monofásicas, 8% bifásicas,

5% bifásicas à terra e 2% trifásicas (PAITHANKAR; BHIDE, 2010). No sistema elétrico

brasileiro, as linhas de transmissão correspondem com 68% das ocorrências de falta da

rede (FILHO; MAMEDE, 2011).

Tabela 1.1: Distribuição típica do número de faltas por equipamento (PAITHANKAR;BHIDE, 2010).

Tipo de Equipamento Porcentagem Total (%)

Linhas aéreas 50Cabos subterrâneos 9

Transformadores e reatores 10Geradores 7Disjuntores 12

Equipamentos de controle e transformadores para instrumentos 12

Dentre os equipamentos mais utilizados para a proteção de linhas de transmissão,

destaca-se o relé de distância (PHADKE; THORP, 2009), cujastarefas básicas atualmente

são: detecção e classificação da falta, cálculo da impedância aparente e distância da falta,

verificação da zona de proteção e caso uma falta seja detectada, o envio de sinal para

abertura dos disjuntores para isolação elétrica da falta envolvida (COURY, 1987).

A primeira tarefa do relé de distância corresponde à detecção da falta por meio da

mudança dos parâmetros de entrada do relé de proteção, que correspondem aos sinais de

corrente e/ou tensão do elemento do sistema elétrico a ser protegido. Em seguida, o mó-

dulo de classificação permite uma rápida identificação das fases em situação de falta, o

que resulta em uma diminuição do tempo de cálculo dos parâmetros utilizados na locali-

zação da falta.

Uma vez que a falta tenha sido detectada e classificada, os parâmetros de tensão e cor-

rente apropriados são selecionados para o cálculo da impedância aparente. A impedância

aparente calculada é utilizada em conjunto com as características de atuação do relé, cuja

análise pode resultar no envio do sinal de comando para abertura de disjuntores se a falta

estiver localizada dentro da zona de proteção.

Em condições de falta, os sinais de corrente e tensão monitorados pelo relé estão sus-

cetíveis às seguintes interferências: componente DC de decaimento exponencial, compo-

nentes harmônicos, fenômenos transitórios de alta e baixa frequência e não linearidades

CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO 27

causadas por transformadores de instrumentos, entre outras. A componente DC de decai-

mento exponencial é um elemento presente nos sinas de corrente de curto-circuito com

característica contínua, que decai exponencialmente ao decorrer do tempo e seu valor de-

pende das características do SEP e do local da falta. Portanto, para que um algoritmo de

estimação fasorial esteja apto a operar satisfatoriamente, ele deve ser o menos susceptível

possível às interferências nos sinais analisados.

O cálculo da impedância de falta pode ser realizado por dois tipos de algoritmos:

baseados nos cálculos dos fasores na frequência fundamental ou na resolução de equa-

ções diferenciais que relacionam as grandezas da linha de transmissão (SILVA, 2009). O

primeiro algoritmo é o mais aplicado em relés comerciais (ZIEGLER, 2006), sendo os

algoritmos de estimação fasorial baseados na TransformadaDiscreta de Fourier (TDF)

mais amplamente utilizados em relés digitais (PHADKE; THORP, 2009).

Os algoritmos de estimação fasorial baseados na TDF são robustos a interferências

harmônicas e ruído branco. Além disso, esses algoritmos sãointrinsecamente adaptati-

vos, pois são aplicados a uma janela móvel do sinal. Contudo,a correta aplicação da

TDF depende de determinadas premissas básicas (GIRGISet al., 1991): o sinal analisado

deve ser estacionário e a frequência de amostragem do sinal deve ser múltipla inteira da

frequência fundamental. No entanto, na prática, os sinais analisados são não estacioná-

rios e essas premissas não são completamente atendidas, o que pode ocasionar cálculos

imprecisos da TDF.

Para desempenhar adequadamente suas funções, um relé de distância requer um

algoritmo que estime rápida e precisamente os fasores de corrente e tensão da linha a ser

protegida. Desta forma, a busca por novos métodos de estimação de fasores que venham

a tornar o sistema de proteção mais robusto e eficaz é de granderelevância ao sistema

elétrico. Dentre as várias alternativas, este trabalho propõe um novo método de estimação

baseado em mínimos quadrados na forma recursiva. Assim, em sua forma padrão,

esta técnica não fornece a adaptabilidade necessária para sua aplicação em proteção de

distância. Entretanto, este trabalho busca investigar algumas técnicas para contornar esta

limitação, de forma a tornar o algoritmo de mínimos quadrados adaptativo e utilizável

na proteção de sistemas elétricos de potência. Com o objetivo de tornar a técnica mais

robusta em relação ao decaimento exponencial, investiga-se a utilização de um filtro não

linear baseado na teoria da Morfologia Matemática (MM).

28 CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO

1.2 Motivação

No sistema elétrico de transmissão, destacam-se entre os índices de QEE a frequência

e o tempo de indisponibilidade do fornecimento de energia elétrica. O descumprimento

das metas de qualidade estabelecidas pelos órgãos regulamentadores provoca diminuição

de receita das concessionárias. Portanto, é de fundamentalimportância a presença de um

sistema de proteção eficiente e robusto que minimize os riscos provenientes de ocorrências

de falta na rede. Dentro deste sistema de proteção, destaca-se a necessidade da proteção

de distância, cuja boa atuação diminui o tempo de reparo, garantindo desta forma um

restabelecimento mais rápido às condições normais de operação do SEP.

O uso da estimação fasorial é amplamente utilizado em sistemas de localização de

faltas em linhas de transmissão. Desta forma, este tema tem gerado grande interesse por

parte de pesquisadores e concessionárias de energia elétrica, cujo objetivo consiste em

desenvolver algoritmos de estimação fasorial mais precisos e confiáveis.

1.3 Objetivos

O objetivo deste trabalho é apresentar uma técnica de estimação fasorial que possa ser

implementada em um relé numérico microprocessado de proteção de linha de transmis-

são. O método proposto tem como base as teorias de mínimos quadrados e morfologia

matemática, sendo esta responsável pela redução da interferência da componente DC de

decaimento exponencial na estimação fundamental.

Neste trabalho, a técnica proposta será comparada ao algoritmo de Fourier e a outros

métodos também baseados em mínimos quadrados. Seu desempenho será avaliado por

meio de sinais sintéticos e sinais provenientes da modelagem de um sistema elétrico no

Alternative Transient Program(ATP). Além disso, será analisada a sensibilidade do al-

goritmo proposto à variações dos parâmetros de falta: resistência, distância e ângulo de

incidência de falta. O método proposto e o algoritmo de Fourier de um ciclo terão seus

desempenhos analisados quanto à precisão e rapidez na estimação da distância de falta.

1.4 Estrutura do Texto

Esta dissertação de mestrado inicia-se com um capítulo introdutório, em que são apre-

sentados a motivação e os objetivos que conduziram o desenvolvimento deste trabalho.

CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO 29

No capítulo dois é abordada a revisão bibliográfica concernente à estimação de fasores e

morfologia matemática.

No terceiro capítulo são abordados os fundamentos da proteção de distância de linhas

de transmissão em sistemas elétricos de potência, sendo apresentados o diagrama R-X,

os tipos de relé de distância e as zonas de proteção de distância usualmente utilizadas. O

capítulo quatro desenvolve uma explanação a respeito dos métodos de estimação fasorial:

algoritmos de Fourier e métodos dos mínimos quadrados. O quinto capítulo aborta a

fundamentação teórica da morfologia matemática e do FM.

No capítulo seis, apresenta-se um novo método de estimação fasorial, cujos princípios

se baseiam na teoria dos mínimos quadrados. Além disso, destaca-se a proposição de

uma modificação a ser aplicada ao FM que é utilizado no tratamento prévio dos sinais de

corrente.

O sétimo capítulo inicia-se com a apresentação e definição dos índices de desempe-

nho utilizados para avaliar e comparar os métodos de estimação fasorial estudados nesta

dissertação. Além disso, este capítulo também trata da análise dos resultados obtidos du-

rante a execução deste trabalho. Os métodos de estimação fasorial têm seus desempenhos

avaliados por meio de sinais analíticos e sinais oriundos desimulações de um sistema

simplificado de transmissão de energia elétrica nosoftwareATP.

No capítulo oito são apresentadas as conclusões concernentes aos métodos de esti-

mação fasorial discutidos nesta dissertação de mestrado, bem como o comportamento do

método proposto frente aos critérios analisados. O Apêndice A apresenta as deduções

matemáticas dos algoritmos de Fourier de um e meio ciclo, enquanto que o Apêndice B

apresenta as técnicas baseadas no método de mínimos quadrados em suas formas bate-

lada e recursiva. No Apêndice C são apresentadas as características do sistema elétrico

modelado no ATP.

31

Capítulo 2

Revisão Bibliográfica

A seguir é feito um levantamento sobre o estado da arte dos principais métodos uti-

lizados para estimação fasorial no contexto de proteção de distância, além de referências

sobre aplicações da morfologia matemática na filtragem da componente DC de decai-

mento exponencial.

2.1 Métodos de Estimação Fasorial

Os principais artigos científicos sobre métodos de estimação fasorial com base nas

técnicas da TDF, mínimos quadrados e da TransformadaWavelet(TW) são discutidos

abaixo.

2.1.1 Transformada Discreta de Fourier

A TDF é o método mais utilizado pelos relés de proteção de distância para estimar

fasores em linhas de transmissão (PHADKE; THORP, 2009). Entretanto, esta técnica

está sujeita a erros, devido à componente DC de decaimento exponencial presente nas

correntes de falta (CHOet al., 2009). Para contornar este problema, trabalhos vêm sendo

desenvolvidos para atenuar ou eliminar a influência da componente DC durante a estima-

ção dos fasores.

O algoritmo de Fourier de um ciclo é um dos algoritmos mais comumente utilizado

para estimação de componentes fundamentais (YU, 2006). Suadenominação refere-se

à utilização de uma janela de dados com duração de um ciclo de amostras dos sinais de

tensão e corrente. Entre os primeiros trabalhos que fazem uso desta técnica, destacam-se

Ramamoorty (1972), Phadkeet al.(1977), Mclaren & Redfern (1975), Schweitzer (1977).

32 CAPÍTULO 2 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Phadkeet al., (1976), propuseram a utilização de uma janela de duração deapenas meio

ciclo, intitulada de algoritmo de Fourier de meio ciclo. Os trabalhos analisados que abor-

dam esta técnica demonstram que, embora a resposta tenha sido obtida mais rapidamente,

os resultados ainda são bastante sujeitos a erros, em decorrência da presença da compo-

nente DC, além dos harmônicos pares (SACHDEV; NAGPAL, 1991;ARGüELLESet al.,

2005).

Com o objetivo de atenuar o efeito da componente DC na estimação fasorial, os tra-

balhos baseados no algoritmo básico de Fourier tentam reduzir os erros da estimação de

fasores por meio da correção do fasor com base no erro de saídada TDF (GU; YU, 2000;

SIDHU et al., 2003; GUOet al., 2003; KANGet al., 2009), introdução de filtros mímicos

invariantes (BENMOUYAL, 1995) ou adaptativos (YU, 2007), que buscam filtrar a com-

ponente DC sem calculá-la explicitamente. Essas estratégias apresentam bons resultados

se o expoente do decaimento já for conhecido. Outros algoritmos melhoram o desem-

penho da TDF por meio da estimação direta da componente DC exponencial e de sua

extração dos sinais a serem analisados, como em e Guet al. (2006), porém é necessário

algumas amostras dos sinal, o que retarda o início da estimação fasorial.

2.1.2 Mínimos Quadrados

A técnica de mínimos quadrados foi utilizada inicialmente na estimação fasorial por

Sachdev & Baribeau (1979) e Isaksson (1988). Em essência, o algoritmo de mínimos

quadrados é um ajuste de curva, em que a métrica é a soma dos erros quadráticos entre

as amostras do sinal e do seu modelo. No algoritmo em batelada, podem ser utilizados

algoritmos de um ciclo (ROSOLOWSKIet al., 2001) ou meio ciclo (YU, 2006). Uma

maneira de aumentar a velocidade de convergência destes algoritmos é a utilização de

janelas de tamanho variável (JAFARIAN; SANAYE-PASAND, 2009). Uma versão

recursiva do algoritmo de mínimos quadrados foi proposta emSachdev & Nagpal (1991).

A utilização de técnicas recursivas é uma alternativa segura aos métodos baseados em

Fourier, pois podem ser igualmente robustas com baixo custocomputacional, além de

apresentarem uma rápida convergência (SACHDEV; NAGPAL, 1991). Nesta situação,

a estimativa do fasor é atualizada a cada amostra do sinal. Por outro lado, algoritmos

recursivos não são naturalmente adaptativos, já que todas as amostras passadas do sinal

influem na estimativa atual dos parâmetros de interesse. Isso implica em uma resposta

lenta a mudanças nos parâmetros estimados. Se os parâmetrosdo sinal são variantes no

tempo, o algoritmo faz-se necessário prover adaptabilidade ao algoritmo. A maioria das

CAPÍTULO 2 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 33

técnicas que tentam aperfeiçoar os mínimos quadrados na forma recursiva manipulam a

norma da matriz de covariância a partir do disparo do algoritmo (SALCIC et al., 2006;

COLMAN; WELLS, 2006; WILLIAMSON, 1995).

Dentre algumas maneiras de realizar este procedimento, umadelas utiliza o Fator de

Esquecimento (ÅSTRöM; WITTENMARK, 1989), em que amostras recentes possuem

um peso maior em relação às amostras antigas. Outra propostaé o uso da Reinicialização

da Matriz de Covariância (ALMEIDA; LIMA, 1998), que ajusta os elementos da mesma

para elevar o ganho do algoritmo, de forma a melhorar a taxa deconvergência. Por fim,

outra técnica, denominada Caminhada Aleatória (HAGGLUND,1983; SöDERSTRöN;

STOICA, 1989), também pode ser empregada para evitar o decaimento do traço da matriz

de covariância.

Outro aspecto importante da utilização de técnicas de mínimos quadrados na forma

recursiva é a possibilidade de modelar mais adequadamente acomponente DC de decai-

mento exponencial. Isso pode ser realizado, por exemplo, pela adição de regressores ao

modelo do sinal que emulam o efeito da exponencial. Esses regressores podem ser calcu-

lados por meio de uma expansão de Taylor como proposto em Sachdev & Nagpal (1991),

que utilizou os primeiros dois termos desta expansão. Posteriormente, uma expansão de

um termo, ou seja, apenas a componente DC aproximando a exponencial, foi apresentada

em Williamson (1995) com resultados satisfatórios. Em relação aos distúrbios harmôni-

cos, pode-se afirmar que o desempenho da técnica de mínimos quadrados é robusta se os

harmônicos forem previstos no modelo do sinal. Uma versão estocástica do método de

mínimos quadrados na forma recursiva é o conhecido filtro de Kalman (COSTAet al.,

2004; SACHDEVet al., 1985).

2.1.3 TransformadaWavelet

A TW foi utilizada para a estimação de fasores primeiramentepor WONG et al.,

(2001). Os autores avaliaram o algoritmo considerando janelas de dados de um e de meio

ciclo e os resultados indicam que, em alguns casos, seu desempenho é superior ao do

algoritmo de Fourier de um ciclo. No entanto, esta técnica é afetada pela componente DC

de decaimento exponencial e não elimina as harmônicas.

Alguns trabalhos utilizam a versão contínua da transformada (COSTAet al., 2004),

mas as versões discretas são mais adequadas para aplicaçõesem tempo real. Nestes traba-

lhos, a transformada wavelet é utilizada como um filtro para tratar o sinal antes de algum

algoritmo de extração de fasores ser propriamente aplicadoao sinal. Exemplos deste tipo

34 CAPÍTULO 2 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

de abordagem podem ser encontrados em Osman & Malik (2004) e Koglin et al. (1999).

Em Silvaet al.(2008), uma combinação da TW com o algoritmo de mínimos quadra-

dos foi proposta, no entanto é influenciada pela componente DC. Deve-se salientar que,

neste caso, a TW é utilizada em um ciclo de amostras do sinal. Posteriormente em Silva

& Küsel (2011) apresenta-se um filtro mímico adaptativo com oobjetivo de estimar a

componente DC. Em Silva & Küsel (2012) aplicam o filtro mímicoadaptativo ao método

apresentado em Silvaet al. (2008), apresentando bons resultados.

2.2 Morfologia Matemática

A Morfologia Matemática foi desenvolvida para análise de imagens binárias (SERRA,

1982; MATHERON, 1975) e posteriormente estendida para imagens em escala de cinza

e coloridas, objetivando extrair da imagem analisada características relevantes.

Em processamento de sinais, a MM é utilizada para a extração de componentes da

forma de onda. Em Chu & Delp (1989), a MM é utilizada no desenvolvimento de um FM

com o objetivo de suprimir ruídos em sinais de eletrocardiograma. Uma adaptação deste

filtro é sugerida com o objetivo de remover a componente DC de decaimento exponencial

em sinais de falta (LUet al., 2008).

35

Capítulo 3

Fundamentos da Proteção de Distância

O sistema de proteção corresponde a um conjunto de equipamentos elétricos - trans-

dutores, relés, baterias e disjuntores - responsáveis peladetecção e remoção de faltas que

venham a ocorrer na rede (HOROWITZ; PHADKE, 2008). Na Figura3.1 são ilustrados

os principais elementos do sistema de proteção.

Disjuntor

TP

Relé

Bateria

TC

Figura 3.1: Elementos do sistema de proteção.

As proteções usualmente utilizadas em linhas de transmissão são (FILHO; MA-

MEDE, 2011): proteção de distância, proteção contra subtensão, proteção direcional,

proteção de sobrecorrente, proteção contra sobretensão, proteção diferencial de linha e

proteção de falha de disjuntor. Dentre estes esquemas de proteção, destaca-se a proteção

de distância, responsável por determinar a distância do local de instalação do relé até o

ponto de falta. Este parâmetro é obtido indiretamente a partir da medição da impedância

de sequência positiva do trecho da linha entre o relé e o localda falta (ZIEGLER,

2006). Sua presença é de considerável importância devido aofato de que as linhas de

transmissão possuírem grandes extensões e, normalmente, situarem-se em regiões de

difícil acesso.

36 CAPÍTULO 3 - FUNDAMENTOS DA PROTEÇÃO DE DISTÂNCIA

Em um sistema elétrico de transmissão, a localização do ponto de falta é fundamental,

quer seja a falta permanente ou temporária. Em caso de faltaspermanentes, a proteção

de distância é necessária para que o tempo de deslocamento daequipe de manutenção

até o local defeituoso do sistema seja reduzido, de forma queo elemento ou trecho

defeituoso seja restabelecido o quanto antes às condições normais de operação. A

localização de faltas temporárias é relevante para que sejam identificados os pontos da

rede que necessitem passar por manutenção ou reforço, evitando problemas de maior

complexidade no futuro.

A seguir, serão apresentados alguns conceitos importantesda proteção de distância,

necessários para o desenvolvimento deste trabalho.

3.1 O Diagrama R-X

Em proteção de distância, analisar a resposta do relé para todas as condições é um

processo complexo, pois as características das correntes etensões variam em diferentes

condições de falta e do sistema. Como alternativa, é comum o uso do diagrama R-X para

analisar e visualizar a resposta do relé e do sistema.

Na Figura 3.2 é apresentado o diagrama R-X, desenhado em um plano cartesiano

composto por duas variáveis: o eixo das abscissas representa a resistênciaR e o eixo das

ordenadas define a reatânciaX. A variávelZlinha corresponde à impedância de sequência

positiva da linha em que o relé de distância está instalado.

Zli nha

R

X

φ

0

Opera

Não opera

Figura 3.2: Diagrama R-X.

CAPÍTULO 3 - FUNDAMENTOS DA PROTEÇÃO DE DISTÂNCIA 37

A relação entre os fasores de tensão e corrente (V/I) medidospelo relé é conhecida

como impedância aparente, que representa a "impedância vista" pelo relé. A partir dessa

impedância, a resistênciaR e a reatânciaX podem ser obtidas, em queR e X correspon-

dem, respectivamente, à parte real e imaginária da impedância de falta.

O valor da impedância aparente nem sempre estará contido sobre a representação da

própria linha. Portanto, para incorporá várias imprecisões decorrentes dos transdutores

e dos cálculos do próprio relé, bem como devido à resistênciade falta, é necessário de-

finir uma região de falta no diagrama R-X com uma área substancial envolvendo a linha

(COURY et al., 2007). O relé deve operar caso a impedância aparente estejadentro de

sua característica de operação, que consiste de uma figura geométrica no plano R-X.

3.2 Características de Operação

Existem relés de distância com características operacionais diferentes e adequadas a

determinadas aplicações. Os relés de distância podem ser classificados de acordo com o

formato de suas zonas de operação. Tradicionalmente, os formatos das zonas de operação

tem sido circulares devido aos relés eletromecânicos, cujas equações de torque produzem

uma vizinhança circular para as zonas de operação. No entanto, formas de zonas bem

mais complexas podem ser alcançadas com relés numéricos microprocessados. Quatro

tipos de características gerais são reconhecidos de acordocom as formas das suas zonas

de operação (HOROWITZ; PHADKE, 2008): impedância, admitância ou mho, reatância

e quadrilátero, tais como ilustrados na Figura 3.3.

De acordo com a Figura 3.3, O diagrama R-X do relé de impedância possui um for-

mato circular centrado na origem do diagrama R-X. No relé de admitância (mho), o di-

agrama tem um formato circular que passa na origem. No relé dereatância, o diagrama

apresenta um limite de zona definido por uma linha paralela aoeixo R. A zona se estende

para o infinito em três direções. A característica do relé quadrilátero é definida por quatro

linhas retas. Formatos mais complexos podem ser obtidos usando um ou mais tipos dos

relés mostrados na Figura 3.3.

A escolha do tipo de relé de distância está condicionada à característica do sistema

no qual irá operar. Os relés de reatância são mais indicados para a proteção de linhas

de transmissão consideradas curtas, em que a resistência dearco possa atingir um valor

significativo quando comparado com a impedância da linha de transmissão. por outro

lado, os relé de admitância são indicados para aplicação em linhas de transmissão con-


Z linha

Opera

Não opera

R

X

0

(a)

Z linha

Opera

Não opera

R

X

0

(b)

R

X

0

Não opera

OperaX linha

(c)

R

X

0

Não opera

Opera

Zl in

ha

(d)

Figura 3.3: Características de operação: a) relé de impedância; b) relé de admitância oumho; c) relé de reatância; d) relé quadrilátero.

sideradas longas, já que sua característica operacional ocupa menor espaço no diagrama

R-X, o que os torna menos sensíveis às oscilações indesejáveis de potência. Mesmo para

resistência de arco elevada, não há restrição quanto a sua aplicação em linhas de trans-

missão longa, pois a impedância da linha é muito superior à resistência de arco. Os relés

de impedância são indicados na proteção de linhas de transmissão médias, devido à sua

característica operacional ser mais afetada pela resistência de arco em comparação ao relé

de admitância (FILHO; MAMEDE, 2011).

As linhas de transmissão podem ser classificadas em curta, média e longa a partir da

relação entre a impedância da fonte e a impedância da linha (Source-to-line Impedance

Ratio(SIR)). A SIR é calculada como segue (IEEE, 2011; ONS, 2011):

SIR=Zs

Zl, (3.1)


em queZs corresponde a impedância da fonte eZl representa a impedância total da

linha de transmissão. A classificação da linha de transmissão a partir do valor da SIR é

sumarizada na Tabela 3.1 (IEEE, 2011).

Tabela 3.1: Classificação das linhas de transmissão.

Classificação SIR

Curta > 4Média 0,5< SIR≤ 4Longa ≤ 0,5

3.3 Zonas de Proteção de Distância

O desempenho do relé de distância próximo às suas zonas limites não é previsível

devido a erros causados pela resistência de falta e por imprecisões decorrentes dos trans-

dutores e dos cálculos do próprio relé. Consequentemente, torna-se necessário o uso de

múltiplas zonas de proteção para cobrir o total da linha. Geralmente, três zonas de pro-

teção com diferentes alcances, associados a diferentes tempos de atraso, são utilizadas na

operação do relé de distância. No entanto, dependendo da aplicação, mais zonas podem

ser consideradas (ZIEGLER, 2006).

Na Figura 3.4 são apresentados os limites das zonas de proteção utilizados em um

trecho de um sistema de transmissão e seus respectivos tempos de atraso, em queRab e

Rbc são relés de distância. Na figura também são apresentados o local de ocorrência de

três faltas, denominadasF1, F2 eF3.

No exemplo da Figura 3.4, a zona de proteção 1 do reléRab é ajustada para alcançar

entre 85% e 90% do comprimento da linha AB. Isso se deve à incerteza ao fim da zona de

proteção, para que haja a garantia de que o relé não atue instantaneamente para faltas após

o próximo terminal. Para a faltaF1, o reléRab atuará em primeira zona, sem tempo de

atraso intencional. Como a primeira zona deRab não protege toda a linha de transmissão

AB, é necessária uma segunda zona que deliberadamente ultrapasse o próximo terminal

(zona 2).

A segunda zona do reléRab geralmente é ajustada entre 120% a 150% do comprimento

da linha AB, devendo ser coordenada em atraso, entre 0,4 e 0,8s, em relação à primeira

zona do relé do trecho BC, para assegurar que faltas na primeira zona do reléRbc, tal

como a faltaF2, não seja vista em segunda zona pelo reléRab, garantindo queRab só atue

em segunda zona, caso a atuação em primeira zona do reléRbc falhe.


CB

Zona 1 -

Tempo

Distância

A

Zona 2 -

Zona 3 -

Zona 1 -

Zona 2 -

A B C

!

"#$% &

'

()*

(a)

(b)

Figura 3.4: Zonas de atuação de Relé de distância com três zonas: (a) Esquema de prote-ção de um relé de distância com três zonas atuação; (b) Coordenação no tempo das zonasde proteção dos relés de distância.

A segunda zona do reléRab resguarda um trecho da linha a jusante. Portanto, para

que toda esta linha tenha uma proteção de retaguarda, é necessário ter uma terceira zona

de proteção, que usualmente se estende de 120% a 180% do trecho BC. Esta zona deve

coordenar em tempo e distância com a segunda zona dos relés vizinhos. Tipicamente, a

terceira zona opera em atraso de 0,8 a 1,2 s. Portanto, para a faltaF3 na Figura 3.4, o relé

Rab só atuará em terceira zona, caso o reléRbc venha a falhar.

Uma quarta zona de proteção pode ser utilizada na operação dorelé de distância.

Porém esta zona de proteção tem a sua supervisão voltada parao sentido contrário das de-

mais proteções do sistema elétrico. Portanto, a proteção dequarta zona deve ser sensível

aos defeitos a montante, considerando a barra em que está instalado o relé de distância.

Tipicamente, sua operação é retardada entre 1,0 e 1,5 s (FILHO; MAMEDE, 2011).

3.4 Etapas Básicas da Proteção de Distância

As etapas básicas de um relé de distância podem ser divididasem: detecção e classifi-

cação da falta, cálculo da impedância aparente e distância da falta, verificação da zona de

proteção e, caso uma falta seja detectada, o envio de sinal para abertura dos disjuntores

para isolação elétrica da falta envolvida (COURY, 1987).

O fluxograma geral de um relé de distância baseado na estimação fasorial é apresen-

tado na Figura 3.5. Primeiramente, os sinais de corrente em um dos terminais da linha de

transmissão são adquiridos por meio de transdutores - Transformadores de Corrente (TC)


e de Potencial (TP). Em seguida, os sinais analógicos são filtrados por filtros passa-baixa

para minimizar o efeito doaliasinge evitar erros na digitalização dos sinais de tensão e

corrente por um conversor Analógico/Digital (A/D). Geralmente, os filtrosaliasing têm

sua frequência de corte ajustada no máximo em metade da frequência de amostragem dos

conversores A/D (COURYet al., 2007). O cálculo da impedância deve, necessariamente,

utilizar a informação do tipo de falta e dos fasores de tensãoe corrente.

Filtro anti -aliasing

Detecção da falta

Classificação da falta

Cálculo da impedância

aparente/distância

Decisão de abertura dos disjuntores

+,-.,/ .-.012,34/

56 76-/86/ 6

34996-76/

Conversor A/D

+,-.,/ :,079.54/

;<4/79./ 54/

/,-.,/ 56 76-/=4

6 34996-76/

Estimação fasorial

>./496/

>./496/

?,@4 5. :.07.

Figura 3.5: Fluxograma geral de um relé numérico microprocessado baseado no cálculoda impedância aparente.

3.4.1 Detecção da Falta

Uma falta no sistema elétrico pode ser detectada de várias maneiras e, geralmente,

está associada à mudança dos sinais de corrente e/ou tensão (COURY et al., 2007). A

seguir são comentados três diferentes métodos de detecção de faltas.

Em um dos principais métodos de detecção, a amostra mais recente das correntes de

cada fase é comparada com a amostra correspondente do ciclo anterior. Caso haja uma

alteração "significativa", geralmente de no mínimo 0,06 pu,entre as amostras de qualquer

fase, a falta é detectada. Esse resultado necessita de uma confirmação, que é executada

durante quatro amostras consecutivas. Para a implementação deste método de detecção é

necessário armazenar dois ciclos de amostras das corrente (COURY et al., 2007).

A estimação de fasores é utilizada em outro método de detecção para a estimação de

valores de corrente. Este método consiste em estimar amostras futuras a partir de amostras


atuais, caso as amostras que tiveram seu valor estimado apresente substanciais diferenças

em relação aos valores estimadas, a falta é detectada (COURYet al., 2007).

Um terceiro método retifica os sinais de corrente e tensão, atribuindo-se valor unitário

para variações positivas e zero para variações negativas emmódulo. Em condições nor-

mais de operação, os sinais de corrente e tensão são praticamente senoidais e os períodos

das variações positivas e negativas são iguais. Caso os períodos de variações venham a

ser diferentes, o sistema encontra-se em condições de falta. Para todos esses métodos, a

detecção da falta acontece em poucas amostras de pós-falta (COURY et al., 2007).

3.4.2 Classificação da Falta

A classificação da falta permite uma rápida identificação dasfases em falta, uma di-

minuição no tempo de cálculo da impedância aparente e, consequentemente, localização

da falta e incorporação do histórico de faltas de um referidosistema elétrico.

O método de classificação de falta discutido a seguir utilizaos fasores da corrente

das três fases, nos quais os fasores das correntes de linha (Ia, Ib e Ic) e a componente de

sequência zero (I0) são comparados.I0 é necessária para determinar se a falta envolve

ou não a terra, pois a magnitude da componente de sequência zero cresce para faltas

envolvendo a terra. As faltas são classificadas de acordo como Tabela 3.2 (COURYet

al., 2007).

Tabela 3.2: Classificação da falta.

Condição Falta do tipo

Ib < qIa e Ic < qIa ATIa < qIb e Ic < qIb BTIa < qIc e Ib < qIc CT

Ic < qIa e Ib ≈ Ia eI0 > Imin ABTI0 < Imin AB

Ia < qIb e Ic ≈ Ib eI0 > Imin BCTI0 < Imin BC

Ib < qIa e Ia ≈ Ic eI0 > Imin ACTI0 < Imin AC

Ia ≈ Ib ≈ Ic ABC

O parâmetroq é a razão entre as correntes de fase antes e depois da ocorrência da

falta, e depende da configuração do sistema. O valor de 0,3 para q fornece uma correta

classificação da falta para todos os tipos de falta (GIRGIS, 1981). O parâmetroImin é um


limiar para a componente de sequência zero, necessário devido à existência de linhas não

balanceadas, erros nos transdutores e no próprio método de estimação fasorial.

3.4.3 Cálculo da Impedância Aparente e da Distância da Falta

O cálculo da impedância aparente é realizado pelo algoritmoimplementado no relé de

proteção de distância após a detecção e classificação da falta. Como a estimação fasorial

para obtenção das componentes fundamentais dos sinais de corrente e tensão é utilizado

pelo relé, os fasores de tensão e corrente apropriados são selecionados para o cálculo da

impedância aparente conforme a classificação da falta. A impedância aparente é calculada

de forma distinta para diferentes tipos de falta (LEWIS; TIPPETT, 1947; HOROWITZ,

1980).

A impedância aparente para uma falta monofásica a terra é calculada por:

Zap =Vi

Ii +(

Z0−Z1Z1

)I0, (3.2)

em queVi e Ii são os fasores de tensão e corrente da fase em falta,I0 é o fasor da com-

ponente de sequência zero. As impedânciasZ1 e Z0 representam, respectivamente, a

impedância de sequência positiva e zero da linha de transmissão por unidade de compri-

mento. Para faltas bifásica que envolvam ou não a terra, o cálculo da impedância aparente

é obtido por meio de:

Zap =Vj −Vk

I j − Ik, (3.3)

em queVj , Vk, I j e Ik representam os fasores de tensão e corrente das fases em falta. Na

ocorrência de faltas trifásicas, ambas as Equações 3.2 e 3.3podem ser utilizadas para o

cálculo da impedância aparente.

A impedância aparente medida pelo relé de distância corresponde à impedância de

sequência positiva do trecho da linha de transmissão, entreo ponto de instalação do relé

até o local da falta. Desta forma, como a impedância de sequência positiva da linha de

transmissão por unidade de comprimento (Zl1) é praticamente constante, possibilitando

determinar a distância da falta a partir do ponto de instalação do relé, como segue:

Zap = h ·Zl1, (3.4)


em queZap corresponde a impedância medida pelo relé de distância,Zl1 é expressa em

Ω/kmeh representa a distância da falta.

Após o cálculo da impedância aparente e, consequentemente,da distância da falta,

o algoritmo do relé determina a zona de proteção em que a faltase encontra. Caso a

impedância aparente se localize dentro da primeira zona de proteção, o relé atuará instan-

tâneamente. Entretanto, se a impedância se localizar a partir da segunda zona de proteção,

o relé é temporizado, ou seja, um atraso será incorporado em seu sistema de atuação.

45

Capítulo 4

Fundamentos da Estimação de Fasores

A estimação de fasores representa uma etapa importante na proteção de distância exe-

cutada por relés de distância e deve ser rápida e precisa, mesmo quando os sinais analisa-

dos apresentem interferências.

Os algoritmos tradicionalmente empregados para estimar fasores são baseados na

Transformada de Fourier, podendo ser de um ciclo ou de meio ciclo. No entanto, téc-

nicas de ajuste de curvas, tal como o método dos mínimos quadrados, também podem

ser utilizadas na estimação de fasores. Neste capítulo, é apresentada a fundamentação

matemática desses algoritmos, bem como o uso de técnicas recursivas e adaptativas.

4.1 Algoritmos Baseados na Análise de Fourier

Um sinal periódicoy(t) pode ser representado como a soma de senóides (ou exponen-

ciais) da série de Fourier (LATHI, 2007):

y(t) = a0+∞

∑n=1

[ancos(nω0t)+bnsin(nω0t)] , (4.1)

em queω0 é a frequência angular fundamental;an ebn são as amplitudes en representa a

ordem da harmônica do sinaly(t).

Os coeficientes da série de Fourier são determinados por:

a0 =1T0

∫T0

y(t)dt, (4.2)

an =2T0

∫T0

y(t)cos(nω0t)dt, (4.3)

46 CAPÍTULO 4 - FUNDAMENTOS DA ESTIMAÇÃO DE FASORES

bn =2T0

∫T0

y(t)sen(nω0t)dt, (4.4)

em que∫

T0representa a integração em um períodoT0, sendoT0 o inverso da frequência

fundamental do sinaly(t), também denominado de período fundamental. No Apêndice A

encontra-se a dedução matemática das equações que permitemo cálculo dos coeficientes

da série de Fourier.

A série de Fourier também pode ser escrita na forma compacta,como se segue:

y(t) = c0+∞

∑n=1

cncos(nω0t +θn), (4.5)

em quecn e θn são relacionados coman ebn por:

c0 = a0, (4.6)

cn =

√an

2+bn2, (4.7)

θn = tg−1(−bn

an). (4.8)

Nas Equações 4.7 e 4.8,n= 1 corresponde as variáveis que representam o fasor fun-

damental.

4.1.1 Algoritmo Fourier de um Ciclo

Este algoritmo fornece os coeficientes da série de Fourier deum sinaly(t), a partir de

um ciclo de amostras do sinal. Para isso, o processo de integração das Equações 4.2, 4.3

e 4.4 é realizado em um períodoT0:

a0 =1T0

∫ t+T0

ty(t)dt, (4.9)

an =2T0

∫ t+T0

ty(t)cos(nω0t)dt, (4.10)

bn =2T0

∫ t+T0

ty(t)sen(nω0t)dt. (4.11)

O sinal em tempo contínuoy(t), referente à Equação 4.1, pode ser representado a

partir de suas amostras em tempo discreto. Considerando-seN amostras em um ciclo da

frequência fundamental dey(t), as integrais presentes nas Equações 4.9 a 4.11 podem ser

substituídas por somatórios, resultando em (PHADKE; THORP, 2009):

CAPÍTULO 4 - FUNDAMENTOS DA ESTIMAÇÃO DE FASORES 47

a0 =1N

N−1

∑j=0

y(tk), (4.12)

an =2N

N−1

∑k=0

y(tk)cos(n2πkN

), (4.13)

bn =2N

N−1

∑k=0

y(tk)sen(n2πkN

). (4.14)

As Equações 4.13 e 4.14 podem ser escritas como:

an =2N

N−1

∑k=0

y(tk)hc(k), (4.15)

bn =2N

N−1

∑k=0

y(tk)hs(k), (4.16)

em quehc ehs podem ser interpretados como os coeficientes dos filtros de Fourier, como

segue:

hc =2N

[1 cos

(n2π

N

)cos(n4π

N

)· · · cos

(n2π(N−1)

N

) ], (4.17)

hs=2N

[0 sen

(n2π

N

)sen(n4π

N

)· · · sen

(n2π(N−1)

N

) ]. (4.18)

4.1.2 Algoritmo de Fourier de Meio Ciclo

Este algoritmo é semelhante ao de Fourier de um ciclo. Porém,apenas meio ciclo

do sinaly(t) é utilizado para obter os coeficientes da série de Fourier. Desta forma, as

Equações 4.12 a 4.14 passam a ser escritas como (WUet al., 2009):

a0 =2N

N2−1

∑k=0

y(tk), (4.19)

an =4N

N2−1

∑k=0

y(tk)cos(n2πkN

), (4.20)

bn =4N

N2−1

∑k=0

y(tk)sen(n2πkN

), (4.21)


em que os filtroshc ehs são definidos por:

hc =4N

[1 cos

(n2π

N

)cos(n4π

N

)· · · cos

(n

2π(N2−1)N

) ], (4.22)

hs=4N

[0 sen

(n2π

N

)sen(n4π

N

)· · · sen

(n

2π(N2−1)N

) ]. (4.23)

4.2 Algoritmos Baseados nos Métodos dos Mínimos Qua-

drados

Os métodos de estimação fasorial baseados em mínimos quadrados são divididos em

algoritmos em batelada e recursivos. Os algoritmos em batelada se caracterizam por

estimar os fasores utilizando todas as amostras do sinal de uma única vez, enquanto que

os recursivos estimam os fasores para cada nova amostra do sinal. Estes métodos terão

sua fundamentação matemática exposta a seguir.

4.2.1 Mínimos Quadrados em Batelada

O método de mínimos quadrados é uma técnica de ajuste de curvas, no qual se ajusta

uma função matemática pré-definida ˆy a um conjunto de amostras de uma grandeza qual-

query. O melhor ajuste é alcançado quando a soma dos quadrados dos erros entre os

valores estimados e os reais é minimizada.

O modelo para o sinaly(t) é representado por uma série de Fourier, dado por:

y(t) = a0+∞

∑n=1

[ancos(nω0t)+bnsen(nω0t)] , (4.24)

sendoω0 a frequência angular fundamental;an ebn as amplitudes en a ordem da harmô-

nica considerada no modelo.

De forma generalizada, o modelo pode ser escrito como:

y(t) = φ1ψ1+φ2ψ2+ · · ·+φpψp, (4.25)

em queφ1,φ2,· · · ,φp são os regressores eψ1,ψ2,· · · ,ψp são os parâmetros a serem deter-

minados.


De forma compacta, a Equação 4.25 pode ser escrita como:

Y = ΨΦ, (4.26)

em queΦ é o vetor dos regressores eΨ e vetor dos parâmetros, definidos por:

Φ =

φ1

φ2...

φp

, (4.27)

Ψ =

ψ1

ψ2...

ψp

. (4.28)

Para o caso específico do modelo da Equação 4.24, o vetor dos regressores e o vetor

dos parâmetros possuem a ordem de(2n+ 1)x1 e 1x(2n+1), respectivamente. Esses

vetores são dados por:

Φ =

1

cos(ω0t)

cos(2ω0t)...

cos(nω0t)

sen(ω0t)

sen(2ω0t)...

sen(nω0t)

, (4.29)

Ψ =[

a0 a1 a2 · · · an b1 b2 · · · bn

]. (4.30)

Tem-se queN amostras consecutivas do sinaly(t) podem ser aproximadas pelo mo-

delo matemático do sinal, resultando em:

y(1) = φ1(1)ψ1+φ2(1)ψ1+ · · ·+φp(1)ψp,

y(2) = φ1(2)ψ1+φ2(2)ψ1+ · · ·+φp(2)ψp,...

y(N) = φ1(N)ψ1+φ2(N)ψ1+ · · ·+φp(N)ψp.

(4.31)


As Equações 4.31 podem ser escritas na forma matricial, resultando em:

Y = MΨ, (4.32)

em que:

M =

φ1(1) φ2(1) · · · φp(1)

φ1(2) φ2(2) · · · φp(2)...

.... . .

...

φ1(N) φ2(N) · · · φp(N)

, (4.33)

Y =[

y(1) y(2) · · · y(N)]. (4.34)

A solução de mínimos quadrados, minimizará a soma dos quadrados dos errosv, dado

por:

v=N

∑k=1

(y−y)2. (4.35)

A determinação do vetor dos parâmetros para a Equação 4.32 que minimiza o erro

quadrático é denominada solução de mínimos quadrados, obtida derivando-se a Equação

4.35 e igualando-a a zero. A dedução desta solução encontra-se no Apêndice B, que

resulta em (LJUNG, 1999):

Ψ = M+Y, (4.36)

em queM+ representa a matriz pseudo-inversa deM, definida como:

M+ = (MTM)−1

MT . (4.37)

A solução obtida pelo uso da Equação 4.36 é chamada de soluçãoem batelada, pois

utiliza de uma só vez todas as amostras do sinal. Esse tipo de solução requer um grande

esforço computacional, principalmente quando a matrizM apresenta uma ordem elevada.

Em aplicações em que se deseja atualizar a estimativa a cada nova amostra do sinal é

necessário uma solução recursiva.

4.2.2 Mínimos Quadrados Recursivo

A vantagem de um algoritmo recursivo é o menor esforço computacional em relação

a um algoritmo em batelada na estimação dos parâmetros em um tempoti+1 quando se

conhece suas estimativas no tempoti. Então, o primeiro passo para o algoritmo de Míni-

mos Quagrados Recursico (MQR) é arbitrar inicialmente um conjunto de parâmetros para


a função modelo ˆy (Equação 4.25). A função modeloy é reescrita como:

y(i) = ΨTi ·Φi, (4.38)

em queΦi é o vetor dos regressores eΨTi é o vetor que contém uma estimação dos

parâmetros para o instanteti.

O erro de predição é definido por:

e(i) = y(i)− y(i). (4.39)

O erro de predição é utilizado para que o algoritmo possa melhorar a estimativa dos

parâmetros procurados. Por meio de uma combinação linear dos parâmetros estimados

para o tempoti e do erro expresso na Equação 4.38, obtém-se a nova estimativa dos

parâmetros para o tempoti+1, dada por:

Ψi+1 = Ψi +Ki+1 ·ei+1, (4.40)

em queK é denominado ganho de Kalman, descrito por (LANDAU, 1990):

Ki+1 =Pi ·Φi

ΦTi ·Pi ·Φi +1

, (4.41)

em queP é a matriz de covariância e deve ser inicializada antes do laço principal do

algoritmo. Sua atualização deverá ocorrer da seguinte forma:

Pi+1 = Pi −Pi ·Φi+1 ·ΦT

i+1 ·Pi

ΦTi+1 ·Pi ·Φi+1+1

. (4.42)

A nova estimativa obtida na Equação 4.40 minimiza a soma dos erros quadráticos

entre a função modelo e a grandeza até o tempoti+1. Estas equações devem ser utilizadas

no laço principal do algoritmo. Em se tratando de um algoritmo recursivo, é necessário

inicializá-lo antes de proceder a primeira iteração. Demonstra-se que se os elementos da

diagonal principal deP forem inicializados com valores elevados, a condição inicial dos

parâmetros praticamente não afeta a qualidade da predição (AGUIRRE, 2000).

4.2.3 Mínimos Quadrados Recursivos Adaptativos

Em situações em que os parâmetros a serem determinados variam com o tempo, a

aplicação do método dos mínimos quadrados recursivos não adaptativo é inadequado. A


variação dos parâmetros do modelo pode ocorrer por diversosmotivos, tais como enve-

lhecimento de componentes do sistema, ocorrência de falhase operações do sistema em

diferentes situações de carga (AGUIRRE, 2000). Para tais situações, utilizam-se algorit-

mos recursivos adaptativos.

Em geral, o vetor de parâmetrosψ pode ser atualizado de acordo com a Equação

4.40. No entanto, tem-se nesse caso a diminuição com o tempo da matriz de covariância

P e consequentemente do ganhoK, já que as estimativasψ produzidas pela maioria dos

algoritmos tornam-se mais precisas quando são aplicados à uma dinâmica invariável.

Para melhorar a capacidade de rastreamento do algoritmo para sistemas com parâme-

tros variantes no tempo, o valor do ganhoK deve ser aumentado sistematicamente. Em

muitos estimadores recursivos o ajuste do ganho é diretamente proporcional aP. EntãoK

tem seu valor incrementado quandoP aumenta.

O uso das seguintes técnicas torna o algoritmo dos mínimos quadrados recursivo adap-

tativo às variações dos parâmetros do modelo no decorrer do tempo.

4.2.3.1 Fator de Esquecimento

De acordo com a Equação 4.35, o estimador de mínimos quadrados pondera de forma

idêntica os erros de predição em todos os instantes. Em outras palavras, num conjunto de

m pontos, a primeira observação possui o mesmo peso da milésima. Em um sistema com

parâmetros variantes no tempo é conveniente que as observações mais recentes exerçam

mais influência no cálculo do erro total, pois elas contêm informações mais atualizadas.

Para isso, deve-se ponderar a somav dos erros quadráticos da seguinte maneira:

v=N

∑k=1

λN−k(y−y)2, (4.43)

em queλ é denominado fator de esquecimento (ÅSTRöM; WITTENMARK, 1989), com

valor pertencente ao intervalo: 0< λ < 1. O fator de esquecimento modifica a atualização

do ganhoK (Equação 4.41) e a atualização da matriz de covariânciaP (Equação 4.46).

Portanto, no método de Mínimos quadrados Recursivo Ponderado (MQRP), a atualização

do ganho é dado por (LANDAU, 1990):

Ki+1 =Pi ·Φi

ΦTi ·Pi ·Φi +λ

. (4.44)


Com o cálculo do ganho realizado pela Equação 4.44, a matriz de covariância é atua-

lizada da seguinte maneira:

Pi+1 =1λ

(Pi −

Pi ·Φi+1 ·ΦTi+1 ·Pi


). (4.45)

Seλ é fixado para 1, então não há ponderação de dados, ou seja, todas as amostras

possuem o mesmo peso. No entanto, para 0< λ < 1 uma ponderação variante no tempo

de dados é introduzida. Por exemplo, a mais recente amostra adquirida emt =N terá peso

unitário. Amostras mais antigas serão associadas a pesos cada vez menores, dependendo

deλN−k. De forma geral, o fator de esquecimento varia entre 0.95 e 1.0.

4.2.3.2 Reinicialização da Covariância

No geral, o algoritmo de mínimos quadrados convencional temuma taxa de conver-

gência inicial muito rápida, mas o ganho do algoritmo tem o seu valor reduzido rapida-

mente quando o traço da matriz de covariânciaP torna-se pequeno após algumas itera-

ções. Para evitar esse problema, uma reinicialização da covariância pode ser incorporada

ao algoritmo MQR padrão. Desta forma, os elementos da matrizP são definidos por uma

constante de alto valor a cada vez que o traço dessa matriz atingir valores abaixo de um

determinado nível estabelecidoPε antes que o algoritmo seja inicializado (SALGADOet

al., 1988). Quando os elementos deP são definidos por valores elevados, isso significa

que os parâmetros estimadosψ naquele ponto estão distante dos valores ótimos, forçando

o algoritmo a descartar a solução anterior e procurar uma solução mais adequada.

No método de Mínimos quadrados Recursivo com Reinicialização da Covariância

(MQR-RC), a atualização do vetor de parâmetros segue a mesmaregra do MQR comum

(Equação 4.40). Por outro lado, a matriz de covariância é atualizada diferentemente. A

atualização da matriz de covariância é realizada da seguinte maneira:

• SePi ≥ Pε, então a matriz de covariância é atualizada, como segue:


i+1 ·Pi


. (4.46)

• Caso contrário, sePi < Pε, a matriz de covariância é reinicializada, conforme:

Pi+1 = zI, (4.47)

em queI é matriz identidade ezestá compreendido no intervalo 0< zmin< z< zmax< ∞.


4.2.3.3 Caminhada Aleatória

Outra técnica, denominada Caminhada Aleatória (SöDERSTRöN; STOICA, 1989;

HAGGLUND, 1983), pode ser empregada para evitar que o rastreamento da matriz de

covariância atinja valores pequenos antes que a convergência seja alcançada. A técnica

consiste em adicionar uma matriz positiva simétricaR à matriz de covariânciaP.

O algoritmo de Mínimos quadrados Recursivo em Caminhada Aleatória (MQR-CA)

realiza a atualização dos parâmetros da matriz de covariância da seguinte forma:


i+1 ·Pi


+R. (4.48)

A matrizR é definida como:

R= diagr1, r2, . . . , rp. (4.49)

Para facilitar,R é usualmente escolhida como uma matriz diagonal. Se apenas poucos

parâmetros são modificados, entãoRpode ser ajustada para conter zeros em todos os ele-

mentos fora da diagonal principal, exceto aqueles associados aos parâmetros de variação.

Os elementos da diagonal principal são ajustados com valores próximos, porém menores

aos valores inicializados na matriz de covariância.

55

Capítulo 5

Fundamentos da Morfologia

Matemática

A MM foi desenvolvida em 1964 por dois pesquisadores franceses, Matheron e Serra,

que buscavam soluções na área de petrografia e mineralogia (SERRA, 1982). Inicial-

mente a MM, foi proposta para a análise de imagens binárias e estendida para imagens

em escala de cinza e coloridas, extraindo da imagem analisada as características de inte-

resse. A teoria recebeu a denominação de morfologia por que ébaseada na extração de

características geométricas das imagens analisadas.

Em processamento de sinais, a MM é utilizada para a extração de componentes da

forma de onda. A base da técnica da filtragem morfológica é processar os sinais por uma

função, conhecida como Elemento Estruturante (EE). Aplica-se o EE ao sinal como uma

janela deslizante que detecta no intervalo da janela características específicas da forma

do sinal analisado. A MM possui a característica de envolvernos cálculos matemáticos

somente adições, subtrações e operações de máximo e mínimo,sem utilizar qualquer

multiplicação e divisão. Além disso, sua aplicação não é restrita a sinais periódicos.

A seguir são apresentadas as operações básicas da morfologia matemática e os prin-

cipais conceitos envolvidos no processo de filtragem morfológica.

5.1 Operações Básicas

As operações básicas da morfologia matemática são denominadas erosão e dilatação.

A dilatação é caracterizada pela subtração de uma parte do sinal analisado por um EE,

seguida da extração do mínimo. A operação de dilatação de um sinal de entrada (f ), pelo

56 CAPÍTULO 5 - FUNDAMENTOS DA MORFOLOGIA MATEMÁTICA

elemento estruturante (g), é definida por (CHU; DELP, 1989):

( f ⊖g)(k) = minm

[f (k+m)−g(m) |(k+m)∈ D f ; m∈ Dg

]. (5.1)

em queD f e Dg são os domínios das funçõesf eg, respectivamente.

A operação de erosão é caracterizada pela soma de uma parte dosinal analisado com

um EE, seguida da extração do máximo. A erosão def por g, é dada por (CHU; DELP,

1989):

( f ⊕g)(k) = maxm

[f (k+m)+g(m) |(k+m) ∈ D f ; m∈ Dg

], (5.2)

em quek é a amostra do sinal em que a operação é aplicada;m é o índice do elemento

estruturante variando no intervalo 0≤ k< S; Sé o tamanho do elemento estruturante. O

tamanho do EE deve ser menor em comparação ao sinal de entrada(SEDAAGHI; WU,

1997).

Utilizando as duas operações básicas definidas pelas Equações 5.1 e 5.2, duas novas

operações denominadas abertura e fechamento são definidas.A operação de abertura de

f por g, denotada porf g é definida como a dilatação de um sinal erodidof ⊖g por g.

A operação de abertura é definida por (GAUTAM; BRAHMA, 2009):

f g= ( f ⊖g)⊕g. (5.3)

Similarmente, a operação de fechamento def por g, denotada porf • g, é definida

como a erosão de um sinal dilatadof ⊕g por g. Desta forma, a operação de fechamento

é dada por (GAUTAM; BRAHMA, 2009):

f •g= ( f ⊕g)⊖g. (5.4)

5.2 Filtro Morfológico (FM)

Baseado na MM, o FM utilizado neste trabalho foi inicialmente desenvolvido para o

processamento de sinais de eletrocardiograma (CHU; DELP, 1989). Posteriormente, foi

sugerida a aplicação do filtro para extração da componente DC(WU et al., 2009), sem,

no entanto, mostrar sua aplicação em tempo real. A fim de extrair a componente DC de

decaimento exponencial, o sinal de entrada é processado pelo seguinte FM:

ys f =( f g•g+ f •gg)

2, (5.5)

CAPÍTULO 5 - FUNDAMENTOS DA MORFOLOGIA MATEMÁTICA 57

em quef é o sinal de entrada, ou seja, o sinal de corrente,g é o EE eys f é a saída do filtro,

que corresponde à componente DC de decaimento exponencial.Na Figura 5.1 é exibido

o diagrama de blocos do FM.

Abertura

Sinal de entrada

Fechamento

Média

Fechamento

Abertura

Sinal de saída

Figura 5.1: Diagrama de blocos do FM.

De acordo com o diagrama de blocos do FM (Figura 5.1), é aplicado ao sinal de en-

trada uma série de duas operações, uma de abertura e outra de fechamento, nesta ordem, e

concomitantemente em ordem inversa. O sinal de saída será a média dos sinais resultantes

das duas séries de operações.

O FM pode extrair todas as características da forma de onda, cuja largura é menor do

que o comprimento do EE (SUNet al., 2003). Na aplicação proposta nesta dissertação, o

comprimento da EE deve ter a dimensão de metade de um ciclo de amostras da compo-

nente fundamental do sinal de corrente. Desta maneira, a componente fundamental e as

harmônicas são removidas a partir do sinal de entrada e a saída do filtro conterá apenas à

componente DC de decaimento exponencial, que apresentará valor constante a cada meio

ciclo.

Na Figura 5.2 é ilustrada a extração da componente DC de decaimento exponencial

de um sinal de corrente sintético, no qual se conhece a componente DC. Nessa figura, a

58 CAPÍTULO 5 - FUNDAMENTOS DA MORFOLOGIA MATEMÁTICA

taxa de amostragem corresponde a 32 amostras por ciclo.

Figura 5.2: Componente DC extraída do sinal de corrente peloFM.

Conforme a Figura 5.2, uma diferença entre a saída do FM e a componente DC pre-

sente no sinal de corrente é perceptível. Na maioria dos casos, o erro entre a componente

DC de decaimento exponencial e a componente DC extraída pelofiltro é relevante. Por-

tanto, é necessário uma etapa de correção da componente DC extraída pelo filtro.

59

Capítulo 6

Método Proposto

Com o propósito de tornar o método de mínimos quadrados em caminhada aleatória

mais adequado para a proteção de sistemas elétricos de potência, uma nova abordagem

denominada Mínimos Quadrados Recursivo em Caminhada Aleatória Modificada (MQR-

CAM) é introduzida. Além disso, é proposto um FM baseado na MMpara o tratamento

prévio dos sinais de corrente, objetivando reduzir a influência da componente de decai-

mento exponencial no processo de estimação fasorial.

6.1 Método de Estimação Fasorial Proposto

Diferentemente do método da caminhada aleatória comum, queemprega a Equação

4.48 em todos os instantes, a caminhada aleatória modificadaé ativada apenas quando

o erro de prediçãoe atingir um determinado nível, sendo desativada quando o erro cai

abaixo do valor desejado. Na caminhada aleatória modificada, uma atualização padrão

(Equação 4.46), da matriz de covariância é realizada quandoo valor absoluto do erro

de prediçãoe é inferior ou igual ao nível preestabelecidoε. Caso contrário, o passo da

caminhada aleatória (Equação 4.48) é seguido. Em termos matemáticos, tem-se:

P(t) =

P(t) se|e(t)| ≤ ε

P(t)+R se|e(t)| ≥ ε(6.1)

Isto significa que a atualização da matriz de covariânciaP pela Equação 4.48, ou seja,

por caminhada aleatória acontece em menor número, em contraste com a estratégia con-

vencional que utiliza esta mesma equação para atualizarP em todos os instantes. Assim,

o método proposto utiliza a atualização da matriz de covariância por caminhada aleatória

apenas quando o erro de predição for elevado, ou seja, quandoo valor do fasor estimado

60 CAPÍTULO 6 - MÉTODO PROPOSTO

apresentar diferença significativa em relação ao valor real. Essa característica possibilita

que o ganho seja elevado apenas quando necessário. Na Figura6.1 é ilustrado o diagrama

de blocos do método proposto.

De acordo com o diagrama de blocos (Figura 6.1), o MQR-CAM temcomo entrada os

sinais de correntes e tensões amostrados. Antes de iniciar-se o laço principal do algoritmo

é necessário inicializar a matriz de covariância e o vetor deparâmetros. Enquanto, no laço

principal é calculado o vetor de regressores, o ganhoK, o erro de predição, e a matriz de

covariância e do vetor de parâmetros são atualizados. Com a atualização do vetor de

parâmetros é calculado o fasor fundamental.

6.2 Filtro Morfológico Proposto

O FM apresentado na seção 5.2, apresenta um erro significativo entre a componente

DC resultante do filtro e a componente DC presente no sinal de corrente, conforme visto

na Figura 5.2. Com o objetivo de mitigar este erro, é propostonesta dissertação uma etapa

de condicionamento para correção da saída do filtro.

Primeiramente, a etapa de condicionamento localiza e quantifica os dois primeiros

patamares válidos (Figura 5.2), porções constantes, do sinal de saída do FM e com esses

valores estima a componente DC de decaimento exponencial presente no sinal de corrente.

Desta forma, a constante de tempo (τ) da componente DC é dada por:

τ =−(n2−n1)∆t · log

(yf m(n1)

yf m(n2)

), (6.2)

em quen1 en2 são, respectivamente, as amostras em que os patamares 1 e 2 estão locali-

zados,yf m é o valor do patamar e∆t é o período de amostragem.

Assim, a componente DC de decaimento exponencial presente no sinal de corrente é

estimada por:

yf mc(i) = yf m(n2)e−(i−n1)∆t

τ , (6.3)

em queyf mcé o sinal resultante da etapa de condicionamento. Na Figura 6.2 é apresentada

a saída do filtro corrigida pela etapa de condicionamento.

De acordo com a Figura 6.2, a utilização da etapa de condicionamento fornece uma

estimativa da componente DC mais precisa. Porém, apenas umaparte da componente

DC é estimada, pois é necessário primeiramente identificar os dois primeiros patamares,

CAPÍTULO 6 - MÉTODO PROPOSTO 61

Início

Sinais de correntes e tensões amostrados

Cálculo do ganho K

Cálculo do erro de predição (e)

Inicializa -se a matriz de covariância P e o

vetor de parâmetrosΨ

Calculo do vetor de regressores

Fasor fundamental

Atualiza P (Equação 4.47)

Atualiza Ψ

Convergiu?

Cálculo do fasor fundamental

Não

Sim

|e| > ε

Atualiza P (Equação 4.42)

Sim

Não

Figura 6.1: Diagrama de blocos do método proposto.

62 CAPÍTULO 6 - MÉTODO PROPOSTO

-1

0

1

2

3

4

5

Componente DC

Saída do filtro

Saída do filtro corrigida

Am

pli

tude

(A)

Tempo (ms)0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Figura 6.2: Saída do filtro corrigida.

o que gera um atraso na estimação da componente DC. Apesar disso, a remoção de parte

da componente DC acelera a convergência dos métodos de estimação fasorial, resultando

em uma atuação mais rápida e precisa dos relés de distância.

Na Figura 6.3 é exibida o diagrama de blocos do processo de filtragem, com a inserção

da etapa de condicionamento. Nessa figura, a taxa de amostragem corresponde a 32

amostras por ciclo.

Estimador fasorial

Filtro Morfológico

Sinal de entrada

Componente DC distorcida

Componente DC corrigida

Figura 6.3: Diagrama de blocos do processo de filtragem.

De acordo com o diagrama de blocos (Figura 6.3), o sinal de entrada do estimador

de frequência passa a ser os sinais de correntes e tensões subtraídos da componente DC

estimada pelo FM.

63

Capítulo 7

Análise dos Resultados

Resultados para estimação fasorial obtidos pela técnica proposta e por outros métodos

baseados em mínimos quadrados e no algoritmo de Fourier de umciclo são apresenta-

dos neste capítulo. O desempenho dos métodos é avaliado com sinais sintéticos e sinais

oriundos de simulações em ATP. Todas as análises de desempenho foram executadas em

ambienteMatrix Laboratory(MATLAB) r, com frequência de amostragem de 1920 Hz,

ou seja, 32 amostras por ciclo.

Os métodos com base na técnica de mínimos quadrados analisados foram: Mínimos

Quadrados Recursivo (MQR), Mínimos Quadrados Recursivo Ponderado (MQRP), Mí-

nimos Quadrados Recursivo com Reinicialização da Covariância (MQR-RC), Mínimos

Quadrados Recursivo em Caminhada Aleatória (MQR-CA) e o Mínimos Quadrados Re-

cursivo em Caminhada Aleatória Modificada (MQR-CAM), definidos no Capítulo 4.

7.1 Índices de Desempenho

A análise dos métodos de estimação fasorial foi realizada utilizando-se índices de

desempenho, tomados como parâmetros para avaliar a resposta em regime permanente, o

percentual deovershoote a velocidade de convergência. Os índices são essenciais para

inferir a qualidade da estimativa dos fasores obtidos pelosmétodos em estudo.

O índiceID1 avalia a estimativa em regime permanente, em que quanto menor o valor

de ID1, menores serão as oscilações na resposta em regime permanente. ID1 é definido

por (BENMOUYAL, 1995):

ID1 =NT

∑k=Nconv

(α− α(k))2, (7.1)

64 CAPÍTULO 7 - ANÁLISE DOS RESULTADOS

em queα é o parâmetro a ser estimado,α sua estimativa eNconv representa a amostra

na qual a estimativa deα convergiu. A convergência é alcançada quando a estimativa do

parâmetro permanece dentro de uma faixa de valores pré-estabelecida durante dois ciclos

consecutivos. Nesta dissertação, a faixa considerada é±1% do valor real. A variávelNT

informa o número de amostras a partir da convergência em que aanálise será feita. Neste

trabalho,NT = 64 amostras, que corresponde a 2 ciclos de amostras.

O índiceID2 especifica o percentual deovershootna estimativa do parâmetro, em que

quanto menor o seu valor, menor será o percentual deovershoot. ID2 é calculado por

(BENMOUYAL, 1995):

ID2 =max(α(k)−α)

α∗100. (7.2)

A velocidade de convergência na estimativa do parâmetro é aferida pelo índiceID3,

definido como segue (SIDHUet al., 2005):

ID3 =Nconv−N

N, (7.3)

em queN é o número de amostras por ciclo na frequência fundamental.ID3 reflete a

quantidade de ciclos necessários para que a convergência seja alcançada na estimação do

parâmetro.

7.2 Análise Comparativa Quanto ao Modelo do Sinal

Para avaliação dos métodos de estimação fasorial baseados na técnica de mínimos

quadrados, o modelo para o sinal é dado por uma componente DC de decaimento expo-

nencial somada a senos e cossenos com diversas frequências,como segue:

y(t) = a0e−tτ +

Nh

∑n=1

[ancos(nω0t)+bnsen(nω0t)] , (7.4)

em queτ é a constante de tempo da componente DC de decaimento exponencial, an e bn

são as amplitudes en representa a ordem da harmônica do sinaly(t).

A componente DC de decaimento exponencial presente no modelo para o sinal, pode

ser expandida pela série de Taylor, como segue:

CAPÍTULO 7 - ANÁLISE DOS RESULTADOS 65

e−tτ = 1−

tτ+

12!

·t2

τ2 −13!

·t3

τ3 + · · · (7.5)

Com base na Equação 7.5, é possível substituir na Equação 7.4a componente DC de

decaimento exponencial pelo primeiro, pelos dois primeiros ou até pelos três primeiros

termos da Equação 7.5, obtendo-se três diferentes modelos para o sinal.

Os modelos foram testados com o método MQR-CAM para um sinal sintético arbitrá-

rio, cujas estimativas para amplitude e fase foram avaliadas pelos índicesID1, ID2 e ID3.

O sinal sintético utilizado é definido por:

y(n) =

10cos(ω0n∆T), paran< n0

100e−50(n−n0)∆T +100cos[ω0(n−n0)∆T −140], paran≥ n0

(7.6)

em quen0 é o instante de ocorrência da falta,ω0 é a frequência angular fundamental para

60 Hz e∆T é o período de amostragem para uma frequência de amostragem de 1920 Hz.

Na Figura 7.1 é apresentado o sinal sintético utilizado na avaliação do modelos do

sinal. A falta ocorre no início do terceiro ciclo do sinal, naamostra de número 96, no qual

se tem um aumento na corrente e o surgimento da componente DC conforme a Equação

7.6.

Am

plit

ude

(A)

-100

-50

0

50

100

150

200Pré-falta Falta

Tempo (ms)0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Figura 7.1: Sinal sintético.

Na análise do modelo do sinal, os parâmetros do MQR-CAM foramajustados de

acordo com a Tabela 7.1, pois estes valores produziram menorerro médio na estimativa do

fasor fundamental, sendo obtidos em análises prévias. O modelo A na Tabela 7.1 refere-se

ao fasor fundamental sem a modelagem da componente DC de decaimento exponencial,

enquanto que os modelos B, C e D levam em consideração a componente DC representada

pelo primeiro termo, pelos dois primeiros termos e pelos três primeiros termos da série

de Taylor presente na Equação 7.5, respectivamente. Na Tabela 7.1, os elementos da


diagonal da matrizR são iguais aσ2I , a matrizR é definida pela Equação 4.49.

Tabela 7.1: Parâmetros do MQR-CAM utilizados nas análises.

Modelo σ2 εA 1 10B 19 1C 87 4D 74 4

Nas Figuras 7.2 e 7.3 são ilustradas a resposta no tempo da estimação da amplitude

e fase, respectivamente, do fasor fundamental do sinal sintético para as quatro represen-

tações do modelo do sinal, sendo também representada a ampliação do trecho de 120 a

200 ms, no qual é possível observar com mais detalhes o comportamento da estimativa da

amplitude e fase do sinal para os quatro modelos avaliados.

0

Tempo (ms)

Am

plit

ude

(A)

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-100

-50

0

50

100

150

200

250

MRQ-CAM (modelo A)MQR-CAM (modelo B)MQR-CAM (modelo C)MQR-CAM (modelo D)

Sinal sintéticoO modelo D apresenta

menor oscilação

Figura 7.2: Resposta no tempo da estimativa da amplitude do fasor fundamental.

De acordo com as Figuras 7.2 e 7.3, quanto maior o número de termos da série de Tay-

lor utilizados na modelagem da componente DC, menor será a oscilação na estimativa da

amplitude e fase do fasor fundamental, resultando em maior velocidade na convergência

na estimação do parâmetro.

Na Tabela 7.2 apresentam-se os resultados obtidos na análise do método de

MQR-CAM para os quatro tipos de modelo do sinal, enquanto quena Tabela 7.3 são

apresentados os índices de desempenho das análises.A1 e ϕ1 são os valores reais da

amplitude e fase do fasor fundamental, enquanto queAm e ϕm são suas estimativas, res-

pectivamente.Ea e Ef é o erro relativo entre os valores reais e estimados na estimação


Tempo (ms)

Fase (

°)

-200

-150

-100

-50

0

50

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

MRQ-CAM (modelo A)MQR-CAM (modelo B)MQR-CAM (modelo C)MQR-CAM (modelo D)

Sinal sintético

O modelo D apresentamenor oscilação

Figura 7.3: Resposta no tempo da estimativa da fase do fasor fundamental.

da amplitude e fase, respectivamente.Namp e Nf as representa a amostra em que foi al-

cançada a convergência para amplitude e fase, respectivamente. Os melhores resultados

encontram-se destacados nas tabelas.

Tabela 7.2: Resultados obtidos para os quatro modelos analisados.

Modelo A1 Am Ea(%) Namp ϕ1 ϕm Ef (%) Nf as

A 100 100,12 0,12 294 -140 -140,35 0,25 294

B 100 99,95 0,05 274 -140 -139,78 0,16 249

C 100 99,84 0,16 252 -140 -140,00 0,00 254

D 100 99,73 0,27 255 -140 -140,03 0,02 253

Tabela 7.3: Índices de desempenho para os quatro modelos analisados.

Amplitude Fase

Modelo ID1 ID2 ID3 ID1 ID2 ID3

A 1,80 107,21 5,18 4,83 27,26 5,19

B 0,94 19,53 4,56 0,88 2,07 3,78

C 1,66 9,78 3,87 0,90 4,55 3,92

D 2,19 9,82 3,97 0,73 4,57 3,91

De acordo com as Tabelas 7.2 e 7.3, conclui-se:

1. Erro de estimação: Os erros para os quatro diferentes modelos foram menores que

0,27%;


2. Percentual deovershoot: O modelo A apresenta maior percentual deovershoot

para a estimativa da amplitude e da fase, enquanto que o modelo B apresenta menor

percentual deovershootna estimativa da fase. Os modelos C e D possuem valo-

res percentuais deovershootpróximos na estimativa da amplitude e fase do fasor

fundamental;

3. Velocidade de convergência: o algoritmo utilizando o modelo A obteve convergên-

cia em um maior número de iterações quando comparado aos modelos C e D, tanto

na estimação da amplitude quanto da fase. A utilização do modelo B resultou na

necessidade de um maior número de amostras em relação aos modelos C e D para

alcançar a convergência na estimativa da amplitude. Os modelos C e D convergiram

em iterações próximas. Os modelos A e B resultaram em menoresvelocidades de

convergência, pois a componente DC de decaimento exponencial foi modelada de

forma menos precisa em relação aos modelos C e D;

4. Oscilação em regime permanente: A estimativa utilizandoo modelo A apresenta

maior oscilação em regime permanente na estimativa da amplitude e fase, enquanto

que os modelos B, C e D apresentaram valores próximos.

Os índices de desempenho para os modelos C e D apresentam valores próximos e mais

satisfatórios em relação aos modelos A e B. Portanto, pode-se considerar para as análises

futuras dos desempenhos dos algoritmos de mínimos quadrados a utilização dos modelos

C ou D. No entanto, é preferível utilizar o modelo C, por representar um algoritmo mais

rápido e eficiente computacionalmente.

7.3 Análise de Desempenho dos Métodos de Estimação

Fasorial

O desempenho dos métodos MQR, MQRP, MQR-RC, MQR-CA, MQR-CAMe Fou-

rier de um ciclo foram testados no sinal sintético ilustradona Figura 7.1. Os parâmetros

σ2 e ε do método MQR-CAM foram ajustados em 87 e 4, respectivamente(Modelo C da

Tabela 7.1), conforme análises da Seção 7.2.

7.3.1 Método MQR-CAM e Mínimos Quadrados não Adaptativos

O método MQR-CAM foi comparado com os métodos de mínimos quadrados não-

adaptativos, com e sem o uso de regressores, para componenteDC de decaimento expo-


nencial.

Na Figura 7.4 é ilustrada a resposta no tempo para a estimativa da amplitude e fase

do fasor fundamental, referente aos métodos de mínimos quadrados não adaptativos e o

MQR-CAM.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-100

-50

0

50

100

150

200

0-150

-100

-50

0

Sinal sintéticoMQR sem regressor DCMQR com regressor DCMQR-CAM

Tempo (ms)

Am

plit

ude

da c

ompo

nent

efu

ndam

enta

l (A

)F

ase

da c

ompo

nent

efu

ndam

enta

l (°)

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

ReferênciaMQR sem regressor DCMQR com regressor DCMQR-CAM

(a)

Tempo (ms)

(b)

Figura 7.4: Evolução na estimativa do fasor fundamental para o método MQR-CAM e osmínimos quadrados não-adaptativos: (a) amplitude; (b) fase.

Conforme a Figura 7.4, de acordo com o esperado, observa-se que os algoritmos de

mínimos quadrados recursivos não adaptativos apresentaram uma lenta evolução e não

convergiram ao término do tempo de análise na estimação da amplitude e fase do fa-

sor fundamental. Isso ocorre por que o sinal de corrente possui parâmetros variantes no

tempo. Por outro lado, o método MQR-CAM apresentou uma rápida convergência na

estimativa do fasor fundamental do sinal sintético.

7.3.2 Método MQR-CAM e Mínimos Quadrados Adaptativos

O método MQR-CAM foi comparado com os métodos de mínimos quadrados adap-

tativos MQRP, MQR-RC e MQR-CA.

Nas Figuras 7.5 e 7.6 são ilustradas a resposta no tempo para aestimativa da amplitude

e fase, respectivamente, do fasor fundamental para os métodos de mínimos quadrados


adaptativos e o método proposto. Nestas figuras também são apresentadas a resposta no

tempo na estimativa do parâmetro com maior resolução.

-100

-50

0

50

100

150

200

MQRPMQR-RCMQR-CAMQR-CAM

Sinal sintético

0

Tempo (ms)20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Am

plit

ude

(A)

O MQR-CAM apresentamenor oscilaçãoO MQRP apresenta

lenta convergência

Figura 7.5: Evolução na estimativa da amplitude para o método MQR-CAM e os métodosde mínimos quadrados adaptativos

-150

-100

-50

0

Tempo (ms)0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Fase (

°)

MQRPMQR-RCMQR-CAMQR-CAM

Referência

O MQR-CAM apresentamenor oscilação

O MQRP apresentalenta convergência

Figura 7.6: Evolução na estimativa da fase para o método MQR-CAM e os mínimosquadrados adaptativos.

Conforme a Figura 7.5, o método MQRP possui uma lenta convergência logo após

a falta, enquanto o método MQR-CAM possui a menor oscilação na estimativa da am-

plitude do fasor fundamental. O mesmo comportamento na estimativa da amplitude foi

obtido para a estimativa da fase do fasor fundamental (Figura 7.6).


Na Tabela 7.4 são apresentados os resultados obtidos nas análises dos métodos para

estimação fasorial, enquanto que na Tabela 7.5 são apresentados os índices de desempe-

nho das análises.

Tabela 7.4: Resultados obtidos para os métodos analisados.

Método A1 Am Ea(%) Namp ϕ1 ϕm Ef (%) Nf as

MQRP 100 99,74 0,26 329 -140 -140,07 0,05 257

MQR-RC 100 99,97 0,03 294 -140 -140,03 0,01 269

MQR-CA 100 99,84 0,16 276 -140 -139,73 0,20 249

MQR-CAM 100 99,84 0,16 252 -140 -140,00 0,00 254

Tabela 7.5: Índices de desempenho para os métodos analisados.

Amplitude Fase

Método ID1 ID2 ID3 ID1 ID2 ID3

MQRP 2,06 0,45 6,16 5,88 0,25 3,91

MQR-RC 1,13 17,68 5,06 0,70 4,65 4,28

MQR-CA 0,50 17,85 4,50 0,75 3,36 3,66

MQR-CAM 1,66 9,78 3,75 0,90 4,55 3,81

De acordo com as Tabelas 7.4 e 7.5, conclui-se:

1. Erro de estimação: O MQR-RC apresentou o menor erro na estimativa da amplitude

e MQR-CAM para a fase;

2. Percentual deovershoot: Os métodos MQR-RC, MQR-CA e MQR-CAM possuem

valores próximos e o MQRP apresentou os menores índices;

3. Velocidade de convergência: o método MQR-CAM apresentoua maior velocidade

de convergência na estimativa da amplitude do fasor fundamental, enquanto que

o método MQRP necessitou de um maior números de iterações para alcançar a

convergência. Na estimativa da fase, o método que apresentou maior velocidade de

convergência foi MQR-CA. Entretanto, o MQR-CAM convergiu 5amostras depois;

4. Oscilação em regime permanente: O método MQRP apresentoumaior oscilação

na resposta em regime permanente na estimativa da amplitudee fase do fasor fun-

damental e o método proposto apresentou maior oscilação quando comparado ao

MQR-CA.


7.3.3 Método MQR-CAM e Fourier de um Ciclo

O desempenho do método proposto MQR-CAM também foi comparado à técnica de

Fourier de um ciclo. Na Figura 7.7 e 7.8 são ilustradas a resposta no tempo para estimava

da amplitude e fase do fasor fundamental para os métodos MQR-CAM e Fourier de um

ciclo, respectivamente.

-100

-50

0

50

100

150

200

0

Tempo (ms)20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Am

plit

ude

(A)

Fourier de um cicloMQR-CAM

Sinal sintético

O método de Fourier de um cicloapresenta lenta convergência

Figura 7.7: Evolução na estimativa da amplitude para o método MQR-CAM e o Fourierde um ciclo.

-150

-100

-50

0

Tempo (ms)0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Fase (

°)

Fourier de um cicloMQR-CAM

Referência

O método de Fourier de um cicloapresenta lenta convergência

Figura 7.8: Evolução na estimativa da fase para o método MQR-CAM e o Fourier de umciclo.


Conforme as Figuras 7.7 e 7.8, o MQR-CAM apresentou menor oscilação na estima-

tiva da amplitude e fase do fasor fundamental em comparação ao algoritmo de Fourier de

um ciclo.

Na Tabela 7.6 são apresentados os resultados obtidos nas simulações dos métodos

MQR-CAM e Fourier de um ciclo, enquanto que na Tabela 7.7 são apresentados os índices

de desempenho.

Tabela 7.6: Resultados obtidos para os métodos de Fourier deum ciclo e MQR-CAM.

Método A1 Am Ea(%) Namp ϕ1 ϕm Ef (%) Nf as

MQR-CAM 100 99,84 0,16 252 -140 -140,00 0,00 254

Fourier 100 100,16 0,16 271 -140 -140,28 0,19 298

Tabela 7.7: Índices de desempenho para os métodos de Fourierde um ciclo e MQR-CAM.

Amplitude Fase

Método ID1 ID2 ID3 ID1 ID2 ID3

MQR-CAM 1,66 9,78 3,88 0,90 4,55 3,94

Fourier 0,55 15,47 5,31 0,77 5,09 4,47

Conforme as Tabelas 7.6 e 7.7, o método MQR-CAM apresentou uma maior

velocidade de convergência na estimativa da amplitude e da fase, uma maior oscilação

na resposta em regime permanente na estimativa da amplitudee da fase e menores

percentuais deovershootna estimativa da amplitude e fase em comparação ao método

de Fourier de um ciclo. Além disso, o MQR-CAM obteve maior precisão na estimativa

da amplitude e fase do fasor fundamental do sinal. A maior oscilação na resposta em

regime permanente do MQR-CAM não chega a ser uma desvantagem, pois o índice

ID1 de cada método é calculado a partir da amostra em que o método convergiu, ao

analisar a oscilação no instante em que o MQR-CAM convergiu,ver-se que o método de

Fourier apresenta maior oscilação. O MQR-CAM apresentou melhor desempenho em

comparação ao método de Fourier de um ciclo, pois a estimativa do fasor fundamental

foi mais precisa e aconteceu com maior rapidez.


7.4 Análise de Sensibilidade do Método Proposto Quanto

aos Parâmetros de Falta

Com o objetivo de analisar a influência dos parâmetros de falta no desempenho do mé-

todo de estimação fasorial proposto MQR-CAM, faltas monofásica (AT), bifásica (AB),

bifásica à terra (ABT) e trifásica (ABC) foram simuladas noATP, utilizando-se o sistema

elétrico descrito no Apêndice C. Para análise de sensibilidade dos parâmetros de falta

foram geradas três bases de dados com registros no padrãoCommon Format for Transient

Data Exchange(COMTRADE), totalizando 2448 registros:

1. Base 1: faltas na metade da linha de transmissão, ou sejad = 90 km, com uma resis-

tência de falta de 1Ω, variando-se o ângulo de incidência de 0 a 360, contemplado

as faltas AT, AB, ABT e ABC;

2. Base 2: faltas com ângulo de incidência de 90, com resistência de falta de 1Ω,

variando-se o local de falta por todo o comprimento da linha de transmissão, entre

15 e 165 km, contemplando as faltas AT, AB, ABT e ABC;

3. Base 3: faltas na metade da linha de transmissão (d = 90 km), com ângulo de

incidência de 90, variando-se resistência de falta entre os valores de 1 a 100Ω,

contemplado as faltas AT, AB, ABT e ABC.

O ângulo de incidência é o ângulo da tensão na fase A, no momento e local da falta,

e d é a distância da falta em relação ao barramento 1. Para faltasque envolvem a terra, a

resistência de falta considerada nas simulações é a resistência de terra, enquanto que para

faltas que envolvem apenas fases, a resistência de falta simulada é a resistência entre as

fases.

As análises de sensibilidade do método proposto à variaçõesnos parâmetros de falta

foram realizadas ao estimar o fasor da corrente na fase A, pois a fase A esta envolvida em

todas as faltas analisadas.

7.4.1 Efeito do Ângulo de Incidência da Falta

Na Tabela 7.8 apresentam-se a média (µ) e o desvio padrão (σ) dos índices de de-

sempenho resultantes da análise dos registros com falta, variando o ângulo de incidência

(Base 1). O termo subscritoa indica que os índices são relativos à amplitude ef à fase.


Tabela 7.8: Efeito do ângulo de incidência da falta sob os índices de desempenho.

Falta Índice µ σ Falta Índice µ σ

AT

Na 130,52 9,21

AB

Na 147,33 16,74

Ea 0,02 0,02 Ea 0,09 0,03

ID1a 12,38 7,66 ID1a 88,50 41,39

ID2a 11,89 4,62 ID2a 11,13 4,34

ID3a 3,08 0,29 ID3a 3,60 0,52

Nf 118,84 8,12 Nf 142,11 17,71

Ea 0,04 0,02 Ef 0,10 0,03

ID1 f 0,02 0,01 ID1 f 0,06 0,03

ID2 f 1,24 0,75 ID2 f 2,36 1,30

ID3 f 2,71 0,25 ID3 f 3,44 0,55

ABT

Na 150,39 17,73

ABC

Na 149,84 17,29

Ea 0,10 0,05 Ea 0,09 0,04

ID1a 154,84 83,32 ID1a 125,72 57,88

ID2a 11,58 4,11 ID2a 11,74 4,56

ID3a 3,70 0,55 ID3a 3,68 0,54

Nf 138,82 18,05 Nf 132,73 14,79

Ea 0,11 0,04 Ef 0,09 0,04

ID1 f 0,14 0,10 ID1 f 0,15 0,07

ID2 f 1,92 1,05 ID2 f 1,73 0,95

ID3 f 3,34 0,56 ID3 f 3,15 0,46

De acordo com a Tabela 7.8, para faltas AB, ABT e ABC a oscilação na resposta em

regime permanente (ID1) na estimativa do fasor fundamental é maior em relação as faltas

AT, pois a corrente em faltas AB, ABT e ABC apresenta maior magnitude. Os demais

índices possuem valores próximos para as faltas em análise.

Na Figura 7.9 é ilustrado o percentual deovershoot(ID2) em função da variação no

ângulo de incidência para faltas AT, AB, ABT e ABC.

De acordo com a Figura 7.9, o percentual deovershootna estimativa da amplitude

e fase apresenta valores máximos e mínimos, respectivamente, para ângulos de incidên-

cia em que a componente DC de decaimento exponencial apresenta seu valor máximo e

mínimo de pico. Para ângulos de incidência em torno 0, 180 e 360 a componente DC

apresenta seu valor máximo de pico e valor mínimo em torno de 90 e 270 em faltas AT

e ABC. Em faltas AB e ABT, a componente DC apresenta valor máximo de pico para

ângulos e torno de 150 e 330 e valor mínimo em torno de 60 e 240.


0 50 100 150 200 250 300 350

Ângulo de incidência da falta (°)

ID2

50 100 150 200 250 300 350


0

ID2 AT

ABABTABC

2468

1012141618

00,51,01,52,02,53,03,54,04,5

ATABABTABC

(a)

(b)

Figura 7.9: Percentual deovershoot: (a) estimativa da amplitude; (b) estimativa da fase.

Na Figura 7.10 é ilustrada a velocidade de convergência (ID3) em função da variação

no ângulo de incidência para faltas AT.

Assim como na análise do percentual deovershoot, a velocidade de convergência

possui valores maiores e menores nas proximidades dos ângulos de incidência em que a

componente DC apresenta, respectivamente, valores máximos e mínimos de pico.

O ângulo de incidência não teve influência no erro de estimação e na oscilação da

resposta em regime permanente, tanto para a amplitude quanto a fase.

7.4.2 Efeito da Resistência de Falta

Na Tabela 7.9 são sumarizados a média e o desvio padrão para osíndices de desem-

penho resultantes da análise dos registros com falta, variando-se a resistência de falta

(Base 2).

De acordo com a Tabela 7.9, a velocidade de convergência na estimativa da amplitude

e fase para faltas ABT é inferior em relação as faltas AT, AB e ABC. A oscilação em

regime permanente na estimativa da amplitude para faltas ABT apresenta-se acentuado

quando comparado com as demais faltas e para faltas ABC possui elevado desvio padrão.

Os valores de pico da componente DC em faltas ABT foi superiorem relação às demais


0 50 100 150 200 250 300 350


ID3

50 100 150 200 250 300 350


0

ID3

ATABABTABC

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

2,5

3,0

3,5

4,0ATABABTABC

(a)

(b)

Figura 7.10: Velocidade de convergência: (a) estimativa daamplitude; (b) estimativa dafase.

faltas, resultando em menor velocidade de convergência e maior oscilação na resposta em

regime permanente.

O índiceID1, que avalia a oscilação na estimação fasorial, é ilustrado na Figura 7.11

para a amplitude e fase em função da resistência de falta.

De acordo com a Figura 7.11, o índiceID1 apresentou valores elevados para resistên-

cias de falta inferiores a 5Ω para faltas AB e ABC, pois nestes casos a componente DC

apresentou valores de pico elevados. Para faltas AT e ABT,ID1 não é influenciado por

variações na resistência de falta, visto que o valor de pico da componente DC apresentou

pequenas variações à mudanças na resistência de falta.

Na Figura 7.12 é ilustrado o percentual deovershoot(ID2) na estimativa da amplitude

e fase para variações na resistência de falta para faltas AT,AB, ABT e ABC.

Conforme a Figura 7.12, o percentual deovershootna estimativa da amplitude para

faltas AT, AB e ABC decai com o aumento da resistência de falta, causado pela dimi-

nuição do valor de pico da componente DC de decaimento exponencial com o acréscimo

no valor da resistência de falta. Na estimativa da fase,ID2 cresce para valores de resis-

tências de falta superiores a 40Ω, ocasionado pela diminuição na constante de tempo da


componente DC. Este comportamento é acentuado para faltas AB.

Tabela 7.9: Efeito da resistência de falta sob os índices de desempenho.


AT

Na 114,86 8,32

AB

Na 122,40 6,63

Ea 0,02 0,02 Ea 0,01 0,01

ID1a 11,29 3,07 ID1a 3,75 7,72

ID2a 2,48 1,38 ID2a 3,94 2,90

ID3a 2,59 0,26 ID3a 2,82 0,21

Nf 116,84 3,71 Nf 119,86 6,55

Ea 0,02 0,03 Ef 0,03 0,02

ID1 f 0,02 0,01 ID1 f 0,00 0,00

ID2 f 0,76 1,29 ID2 f 19,93 21,56

ID3 f 2,65 0,12 ID3 f 2,75 0,20

ABT

Na 154,71 0,54

ABC

Na 120,33 3,83

Ea 0,13 0,00 Ea 0,03 0,01

ID1a 122,27 8,03 ID1a 10,02 14,36

ID2a 8,61 0,24 ID2a 3,74 1,15

ID3a 3,83 0,02 ID3a 2,76 0,12

Nf 147,60 1,55 Nf 114,03 4,57

Ea 0,10 0,02 Ef 0,01 0,01

ID1 f 0,07 0,01 ID1 f 0,01 0,01

ID2 f 1,90 0,11 ID2 f 0,13 0,05

ID3 f 3,61 0,05 ID33 f 2,56 0,14

A velocidade de convergência sofreu pequenas variações à mudanças na resistência

de falta para todas as faltas simuladas, ou seja, variações na resistência de falta não influ-

enciou significativamente na velocidade de convergência dométodo proposto.

O índiceID3 permaneceu inferior a 3 para faltas AT e ABC e a 4 para faltas ABe

ABT na estimativa da amplitude e fase. A resistência de faltanão influenciou o erro de

estimação da amplitude e fase para faltas AT, AB e ABC e para faltas ABT houve uma

pequena diminuição no erro com o aumento da resistência. Em todos os tipos de faltas

simuladas o erro de estimação esteve abaixo de 0,2 %.


7.4.3 Efeito da Distância da Falta

Na Tabela 7.10 sumarizam-se a média e o desvio padrão dos índices de desempe-

nho utilizados na avaliação do método de estimação fasorialproposto, para variações na

distância da falta (Base 3).

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Resistência de falta ( )Ω

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100


ID1

ID1

ATABABTABC

0

20

40

60

80

100

120

140

0

0,05

0,10

0.15

0,20

ATABABTABC

(a)

(b)

Figura 7.11: Oscilação na estimação: (a) amplitude; (b) fase.

Conforme a Tabela 7.10, a velocidade de convergência na estimativa da amplitude e

fase para faltas AB e ABT é inferior em relação as faltas AT e ABC. A oscilação em re-

gime permanente na estimativa da amplitude é acentuada parafalta AB, ABT e ABC, pois

a corrente em faltas AB, ABT e ABC apresenta maior magnitude e, consequentemente, a

componente DC possui valor de pico superior em relação a faltas AT. Os demais índices

possuem valores próximos para as faltas em análise.

Na Figura 7.13 é ilustrada a oscilação na estimativa da amplitude e fase para variações

na distância para as faltas em análise.

De acordo com a Figura 7.13, o índiceID1 apresentou valores maiores na estima-

tiva da amplitude e fase para faltas próximas ao barramento 1, pois a componente DC

apresenta maiores valores de pico para faltas mais próximasao barramento 1, ocasionado

pela menor resistência da linha. Entretanto, na estimativada fase este comportamento é

irregular.


0

2

4

6

8

10

0

10

20

30

40

50

60

70

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100


10 20 30 40 50 60 70 80 90 100


ID2

ID2

ATABABTABC

ATABABTABC

(a)

(b)


20 40 60 80 100 120 140 160

Distância de falta (km)

ID1

20 40 60 80 100 120 140 160


ID1

010002000300040005000600070008000

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

ATABABTABC

ATABABTABC

(a)

(b)

Figura 7.13: Oscilação na estimativa: (a) estimativa da amplitude; (b) estimativa da fase.

Na Figura 7.14 é ilustrado o percentual deovershoot(ID2) na estimativa da amplitude

e fase para variações na distância de falta para faltas AT, AB, ABT e ABC.


Tabela 7.10: Efeito da distância da falta sob os índices de desempenho.


AT

Na 115,74 1,93

AB

Na 151,93 8,42

Ea 0,04 0,06 Ea 0,11 0,05

ID1a 49,91 67,62 ID1a 336,24 577,27

ID2a 5,34 0,12 ID2a 9,34 0,12

ID3a 2,62 0,06 ID3a 3,75 0,26

Nf 108,92 0,34 Nf 149,38 4,88

Ea 0,04 0,03 Ef 0,11 0,05

ID1 f 0,04 0,05 ID1 f 0,08 0,07

ID2 f 0,32 0,05 ID2 f 2,33 0,10

ID3 f 2,40 0,01 ID3 f 3,67 0,15

ABT

Na 153,19 8,74

ABC

Na 116,14 0,64

Ea 0,15 0,07 Ea 0,05 0,05

ID1a 772,12 1454,10 ID1a 468,72 762,44

ID2a 7,23 0,47 ID2a 4,67 0,15

ID3a 3,79 0,27 ID3a 2,63 0,02

Nf 140,36 7,67 Nf 109,09 0,29

Ea 0,17 0,05 Ef 0,05 0,03

ID1 f 0,26 0,22 ID1 f 0,13 0,09

ID2 f 1,44 0,10 ID2 f 0,29 0,04

ID3 f 3,39 0,24 ID3 f 2,41 0,01

Conforme a Figura 7.14, o percentual deovershootna estimativa da amplitude possui

menores valores para distâncias de falta inferiores a 50 km, pois valores maiores na cons-

tantes de tempo da componente DC de decaimento exponencial ocorrem para menores

distância de falta. Na estimava da fase,ID2 é pouco influenciado pela distância de falta.

O índiceID3 que avalia a velocidade de convergência não sofreu variações signifi-

cativas à mudanças na distância de falta para todas as faltas simuladas, permanecendo

inferior a 3,2 para faltas AT e ABC e a 4,5 para faltas AB e ABT na estimativa da

amplitude e fase. O erro de estimação para amplitude e fase não sofreu influência da

distância da falta e permaneceu inferior a 0,4 % para todos os tipos de faltas simuladas.


20 40 60 80 100 120 140 160


20 40 60 80 100 120 140 160


ID2

ID2

4

5

6

7

8

9

10

0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

ATABABTABC

ATABABTABC

(a)

(b)


7.5 Trajetória da Impedância Aparente no Plano R-X

A trajetória da impedância aparente e a distância da falta estimada para o método

proposto MQR-CAM, com e sem o uso do FM, e o Fourier de um ciclo foram analisadas

para faltas AT, AB, ABT e ABC, simuladas a 15 km de distância do barramento 1, com

resistência de falta igual a 1Ω e ângulo de incidência de 0o. Estes quatro casos foram

selecionados por apresentarem componente DC de decaimento exponencial acentuada.

Na Figura 7.15 é ilustrada a trajetória da impedância aparente no diagrama R-X para

as faltas simuladas.

Conforme a Figura 7.15, a impedância aparente estimada pelo método MQR-CAM

necessita de menos iterações para adentrar a zona de atuação do relé de distância em

relação ao método de Fourier de um ciclo. O uso do FM em conjunto ao método proposto

não altera a iteração em que a impedância aparente entra na zona de atuação do relé.

Porém, a impedância aparente e, consequentemente, a distância estimada para a falta

converge em maior velocidade e com maior precisão.


0 100 200 300 400 500 600 700-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

2,00 2,05 2,10 2,15 2,20 2,25 2,307,55

7,60

7,65

7,70

7,75

7,80

7,85

7,90Fourier de um cicloMQR-CAMMQR-CAM + FM

Resistência ( )Ω

Rea

tânc

ia (

)Ω

Resistência ( )Ω

Rea

tânc

ia (

)Ω

Momento dafalta

Amostra nº 7após a falta


(a)

-200

-150

-100

-50

0

50

100

0 100 200 300 400 500 600 700

Fourier de um cicloMQR-CAMMQR-CAM + FM

Resistência ( )Ω

Rea

tânc

ia (

)Ω

Resistência ( )Ω

Rea

tânc

ia (

)Ω

1,95 2,00 2,05 2,10 2,15 2,20 2,257,457,507,557,607,657,707,757,80

Resistência ( )Ω

Rea

tânc

ia (

)Ω

1,95 2,00 2,05 2,10 2,15 2,20 2,257,457,507,557,607,657,707,757,80

Momento dafalta



(b)

2 2,05 2,10 2,15 2,20 2,25 2,30-200

-150

-100

-50

0

50

100

0 100 200 300 400 500 600 700


Resistência ( )Ω

Rea

tânc

ia (

)Ω

Resistência ( )Ω

Rea

tânc

ia (

)Ω

7,457,507,557,607,657,707,757,80

-200

-150

-100

-50

0

50

100

0 100 200 300 400 500 600 700


Resistência ( )Ω

Rea

tânc

ia (

)Ω

Momento dafalta



(c)

-200

-150

-100

-50

0

50

100

0 100 200 300 400 500 600 700


Resistência ( )Ω

Rea

tânc

ia (

)Ω

Resistência ( )Ω

Rea

tânc

ia (

)Ω

7,457,507,557,607,657,707,757,80

-200

-150

-100

-50

0

50

100

0 100 200 300 400 500 600 700


Resistência ( )Ω

Rea

tânc

ia (

)Ω

1,95 2,00 2,05 2,10 2,15 2,20 2,251,95 2,00 2,05 2,10 2,15 2,20 2,25

Momento dafalta



(d)

Figura 7.15: Trajetória da impedância aparente no diagramaR-X para faltas: (a) AT; (b)AB; (c) ABT; (d) ABC.

A precisão na estimação da distância da falta é aferida pelo erro na localização da

falta, sendo expressa como uma porcentagem do comprimento total da linha. Dado por:

Erro(%) =|distancia estimada−distancia real|

comprimento da linha·100, (7.7)


em que a distância estimada, também representada pela variável h, é calculada como

demonstrado na seção 3.4.3.

Na Tabela 7.11 é apresentado a distância estimada e a quantidade de ciclos (Nc) em

que os métodos alcançaram a convergência.

Tabela 7.11: Resultado das análises.

Tipo da falta ParâmetroMétodo

Fourier de um ciclo MQR-CAM MQR-CAM + FM

ATErro (%) 0,06 0,09 0,01

Nc 6,28 5,69 5,28

ABErro (%) 0,01 0,04 0,02

Nc 7,41 7,06 5,28

ABTErro (%) 0,01 0,03 0,02

Nc 8,22 7,19 5,38

ABCErro (%) 0,02 0,04 0,03

Nc 8,25 7,22 5,69

Conforme a Tabela 7.11, a velocidade de convergência do método proposto é superior

ao método de Fourier de um ciclo e a utilização do FM torna-o mais rápido para todos

os tipos de faltas simuladas, pois o FM extrai parte da componente DC de decaimento

exponencial, que é a responsável principal por deteriorar odesempenho dos algoritmos

de estimação fasorial. Embora em três caso o método de Fourier de um ciclo tenha apre-

sentado menor erro na estimação da distância de falta, o método proposto em conjunto ao

FM apresentou erros semelhantes.

85

Capítulo 8

Conclusões e Propostas para Trabalhos

Futuros

Neste trabalho foi apresentada uma nova técnica para estimação fasorial baseada no

método de mínimos quadrados recursivo para utilização na proteção de distância em li-

nhas de transmissão de energia elétrica, denominada Mínimos Quadrados em Caminhada

Aleatória Modificada (MQR-CAM).

Com o objetivo de verificar o desempenho do método proposto, análises comparativas

foram realizadas frente a métodos de estimação usuais baseados em mínimos quadra-

dos adaptativos com: reinicialização da covariância, fator de esquecimento e caminhada

aleatória. Além disso, o método proposto também teve seu desempenho comparado ao

método de Fourier de um ciclo. Tomando-se como referência vários índices de desem-

penho, tais como o percentual deovershoot, velocidade de convergência e a oscilação

em regime permanente, o método MQR-CAM apresentou desempenho superior às outras

técnicas investigadas nesta dissertação.

A sensibilidade do MQR-CAM à variações nos parâmetros de falta (ângulo de inci-

dência, resistência, distância e tipo de falta) foi analisada para sinais simulados em ATP,

sendo o desempenho do método proposto pouco influenciado porvariações nos parâme-

tros de falta.

A componente DC de decaimento exponencial presente em sinais de falta é a principal

fonte de deterioração no desempenho das técnicas de estimação fasorial no contexto da

proteção de distância. Com o objetivo de mitigar o efeito da componente DC uma técnica

de filtragem morfológica em tempo real foi incorporada ao método de estimação fasorial

proposto. A utilização do FM em conjunto com uma etapa de condicionamento para

86 CAPÍTULO 8 - CONCLUSÕES E PROPOSTAS PARA TRABALHOS FUTUROS

correção da saída do filtro na estimação fasorial incrementou a velocidade de convergência

e tornou a distância da falta estimada mais precisa.

Com base em vários índices de desempenho e análises comparativas com outras téc-

nicas, conclui-se que o método proposto alcançou resultados satisfatórios em testes com

sinais sintéticos e sinais resultantes de simulações no ATP, no que se refere à velocidade

de convergência e exatidão dos parâmetros estimados, sendopouco influenciado por va-

riações nos parâmetros de falta. A utilização do FM tornou o método mais robusto à

componente DC de decaimento exponencial. Como continuaçãoda pesquisa realizada

nesta dissertação, são sugeridas as seguintes propostas detrabalhos futuros:

• Avaliar a utilização do método proposto em conjunto ao FM em sinais de faltas

reais.

• Investigação de novos elementos estruturantes na construção do FM.

• Implementar o algoritmo de estimação fasorial proposto emhardware, com o obje-

tivo de comparar seu desempenho com o de relés comerciais, mediante a utilização

de simuladores digitais em tempo real de sistemas elétricosde potência.

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93

Apêndice A

Dedução do algoritmo de Fourier

A.1 Algoritmo de Fourier de um Ciclo

Um sinal periódicoy(t) com períodoT0 pode ser representado como a soma de senói-

des (ou exponenciais) de frequênciaf0 e todas as suas harmônicas (LATHI, 2007)

y(t) = a0+∞

∑n=1

[ancos(nω0t)+bnsen(nω0t)] , (A.1)

contudo, os parâmetrosa0, an e bn são desconhecidos. A seguir, serão deduzidas as

equações que possibilitarão o cálculo de tais parâmetros. Este processo inicia-se por

meio da integração de todos os termos da Equação A.1. Desta forma, tem-se:

∫T0

y(t)dt =∫

T0

a0dt+∫

T0

∞

∑n=1

[ancos(nω0t)+bnsen(nω0t)]

, (A.2)

em que∫

T0representa a integral em um intervalo contínuo deT0 segundos.

Ao aplicar a propriedade comutativa entre o somatório e a integral e a propriedade

aditiva no segundo termo do lado direito da Equação A.2, temos:

∫T0

y(t)dt =∫

T0

a0dt+∞

∑n=1

[∫T0

ancos(nω0t)+∫

T0

bnsen(nω0t)

]. (A.3)

A seguir, faz-se o uso da propriedade da homogeneidade na Equação A.3. Assim,

obtém-se:

∫T0

y(t)dt = a0

∫T0

dt+∞

∑n=1

[an

∫T0

cos(nω0t)+bn

∫T0

sen(nω0t)

]. (A.4)

94 APÊNDICE A - DEDUÇÃO DO ALGORITMO DE FOURIER

As integrais do cosseno e do seno em um ciclo equivalem a zero.Isto resulta em:

∫T0

y(t)dt = a0

∫T0

dt. (A.5)

A resolução da integral do lado direito da Equação A.5 éT0. Desta forma, o parâmetro

a0 é dado por:

a0 =1T0

∫T0

y(t)dt. (A.6)

A seguir, para a obtenção do parâmetroan, multiplica-se todos os termos da Equação

A.1 porcos(mω0t) e efetua-se a integração dos termos. Com isso, tem-se:

∫T0

y(t)cos(mω0t)dt =

∫T0

a0cos(mω0t)dt+∫

T0

∞

∑n=1

[ancos(nω0t)cos(mω0t)+

+ bnsen(nω0t)cos(mω0t) ]

, (A.7)

em que a variávelm refere-se apenas à especificação da componente harmônica a ser

obtida.

O próximo passo resume-se na aplicação das propriedades da homogeneidade, aditi-

vidade e comutatividade na Equação anterior, que resulta em

∫T0

y(t)cos(mω0t)dt = a0

∫T0

cos(mω0t)dt+∞

∑n=1

an

∫T0

[cos(nω0t)cos(mω0t)]+

+ bn

∫T0

[sen(nω0t)cos(mω0t)]

. (A.8)

Mais uma vez, tem-se a integral do cosseno. Como esta operação resulta em zero, a

expressão se reduz a:

∫T0

y(t)cos(mω0t)dt =∞

∑n=1

[an

∫T0

cos(nω0t)cos(mω0t)+bn

∫T0

sen(nω0t)cos(mω0t)

].

(A.9)

As identidades trigonométricas que correspondem à multiplicações entre senos e cos-

senos são:

cos(a)cos(b) =12[cos(a−b)+cos(a+b)] , (A.10)

sen(a)cos(b) =12[sen(a−b)+sen(a+b)] . (A.11)

APÊNDICE A - DEDUÇÃO DO ALGORITMO DE FOURIER 95

As identidades trigonométricas A.10 e A.11 podem ser aplicadas ao primeiro termo

da Equação A.9, resultando em:

an

∫T0

cos(nω0t)cos(mω0t) = an

∫T0

12cos[(n−m)ω0t]+cos[(n+m)ω0t] ,

=an

2

∫T0

cos[(n−m)ω0t]+∫

T0

cos[(n+m)ω0t]

,

=anT0

2. (A.12)

Como as variáveisn e m representam números inteiros positivos, os termos do lado

direito da Equação A.12 serão nulos para quaisquer valores den e m, com a exceção de

quando o múltiplo da frequência angular do cosseno for nulo.

Aplicando as identidades trigonométricas ao segundo termo da Equação A.9, tem-se

bn

∫T0

sen(nω0t)cos(mω0t) = bn

∫T0

12sen[(n−m)ω0t]+sen[(n+m)ω0t] ,

=bn

2

∫T0

sen[(n−m)ω0t]+∫

T0

sen[(n+m)ω0t]

,

= 0, (A.13)

sendo que para quaisquer valores den e m inteiros positivos, as integrais dessa equação

serão nulas.

Ao aplicar os resultados obtidos das Equações A.12 e A.13 na Equação A.9, tem-se:

∫T0

y(t)cos(mω0t)dt =amT0

2, (A.14)

que resulta em:

am =2T0

∫T0

y(t)cos(mω0t), (A.15)

em que, a variávelan foi substituída poram devido ao fato den ser igual am, além de

esclarecer qual componente harmônica será determinada.

Para a obtenção do parâmetrobn, todos os termos da Equação A.1 são multiplicados

porsen(mω0t) e efetua-se a integração dos termos. Desta forma, tem-se:


∫T0

y(t)sen(mω0t)dt =

∫T0

a0sen(mω0t)dt+∫

T0

∞

∑n=1

[ancos(nω0t)sen(mω0t)+

+ bnsen(nω0t)sen(mω0t) ]

. (A.16)

Aplicando-se as propriedades da homogeneidade, aditividade e comutatividade na

equação anterior, resulta em:

∫T0

y(t)sen(mω0t)dt = a0

∫T0

sen(mω0t)dt+∞

∑n=1

an

∫T0

[cos(nω0t)sen(mω0t)]+

+ bn

∫T0

[sen(nω0t)sen(mω0t)]

. (A.17)

A integral do seno em um ciclo tem resultado igual a zero. Desta forma, a Equação

A.17 pode ser simplificada como segue:

∫T0

y(t)sen(mω0t)dt =∞

∑n=1

[an

∫T0

cos(nω0t)sen(mω0t)+bn

∫T0

sen(nω0t)sen(mω0t)

].

(A.18)

Considerando-se as seguintes identidades trigonométricas:

cos(a)sen(b) =12[sen(a+b)−sen(a−b)] , (A.19)

sen(a)sen(b) =12[cos(a−b)−cos(a+b)] , (A.20)

o primeiro termo da Equação A.18 poderá ser dividido em duas partes:

an

∫T0

cos(nω0t)sen(mω0t) = an

∫T0

12sen[(n−m)ω0t]+sen[(n+m)ω0t]

=an

2

∫T0

sen[(n−m)ω0t]+∫

T0

sen[(n+m)ω0t]

= 0. (A.21)

As integrais do lado direito da Equação A.21 serão nulos para quaisquer valores den

em inteiros positivos.

No segundo termo do lado direito da Equação A.18 faz-se o uso da identidade trigo-

nométrica A.20, como segue:


bn

∫T0

sen(nω0t)sen(mω0t) = bn

∫T0

12cos[(n−m)ω0t]−cos[(n+m)ω0t]

=bn

2

∫T0

cos[(n−m)ω0t]−∫

T0

cos[(n+m)ω0t]

=bnT0

2. (A.22)

Novamente, os termos do lado direito da Equação A.22 serão nulos para quaisquer

valores den e m inteiros positivos, com a exceção de quando o múltiplo da frequência

angular do cosseno for nulo, ou seja, quandon em forem iguais.

As soluções obtidas nas Equações A.21 e A.22 são aplicadas na Equação A.18. Desta

forma, tem-se: ∫T0

y(t)sen(mω0t)dt =bmT0

2. (A.23)

O parâmetrobm é dado por:

bm =2T0

∫T0

y(t)sen(mω0t). (A.24)

A.2 Algoritmo de Fourier de Meio Ciclo

A integral de un sinal periódicoy(t) para qualquer intervaloT0 segundos possui

mesmo valor.Desta forma, as Equações A.6, A.15 e A.24 podem ser escritas, conforme:

a0 =1T0

∫ T0/2

−T0/2y(t)dt, (A.25)

am =2T0

∫ T0/2

−T0/2y(t)cos(mω0t)dt, (A.26)

bm =2T0

∫ T0/2

−T0/2y(t)sen(mω0t)dt. (A.27)

Uma função pode ser escrita como a soma de componentes paresyp(t) e ímparesyi(t).

Desta forma, tem-se:

y(t) = yi(t)+yp(t). (A.28)


Ao aplicar a expressão A.28 na equação do parâmetroa0, tem como resultado:

a0 =1T0

∫ T0/2

−T0/2[yi(t)+yp(t)]dt. (A.29)

A propriedade aditiva para integrais é aplicada na Equação A.29. Assim, obtém-se:

a0 =1T0

∫ T0/2

−T0/2yp(t)dt+

∫ T0/2

−T0/2yi(t)dt

. (A.30)

A integral possui a propriedade da aditividade com respeitoao intervalo de integração.

Desta forma, aplicando esta propriedade na equação anterior, tem-se:

a0 =1T0

∫ 0

−T0/2yp(t)dt+

∫ T0/2

0yp(t)dt+

∫ 0

−T0/2yi(t)dt+

∫ T0/2

0yi(t)dt

. (A.31)

Geometricamente, uma função ímpar é anti-simétrica e uma função par é simétrica em

relação ao eixo das ordenadas para valores det em um intervalo simétrico. Deste modo,

tem-se: ∫ 0

−T0/2yp(t)dt =

∫ T0/2

0yp(t)dt, (A.32)

∫ 0

−T0/2yi(t)dt =−

∫ T0/2

0yi(t)dt. (A.33)

Os cálculos das integrais do lado direito da Equação A.31 podem ser simplificados

com base nas Equações A.32 e A.33, resultando na expressão abaixo para o cálculo do

parâmetroa0 em meio ciclo do sinal.

a0 =2T0

∫ T0/2

0y(t)dt. (A.34)

A seguir, para a obtenção do parâmetroam utiliza-se a expressão A.28 e as proprieda-

des da aditividade e aditividade com respeito ao intervalo de integração na Equação A.26,

resultando em:

am =2T0

∫ 0

−T0/2yp(t)cos(mω0t)dt+

∫ T0/2

0yp(t)cos(mω0t)dt+

+∫ 0

−T0/2yi(t)cos(mω0t)dt+

∫ T0/2

0yi(t)cos(mω0t)dt

. (A.35)

Vale ressaltar que o cosseno é uma função par, assim como a multiplicação de funções

pares terá como resultado uma função par e a multiplicação deuma função par por outra


ímpar resultará em uma função par.

Ao aplicar as expressões A.32 e A.33, o cálculo da integrais do lado direito da equação

anterior podem ser simplificados. Assim o parâmetroam pode ser calculado de acordo

com a equação abaixo.

am =4T0

∫ T0/2

0y(t)cos(mω0t)dt. (A.36)

Por fim, de forma análoga ao cálculo do parâmetroam pode-se calcular o parâmetro

bm. Sendo, o seno é uma função ímpar, temos como resultado a equação abaixo para o

cálculo do parâmetrobm.

bm =4T0

∫ T0/2

0y(t)sen(mω0t)dt. (A.37)

101

Apêndice B

Dedução do método dos mínimos

quadrados

B.1 Algoritmo em Batelada

SejaY uma função modelo a ser ajustada a um conjunto de amostras de uma grandeza

qualquerY. A funçãoY é definida por:

Y = AX (B.1)

em queA é uma matrizmxncomm≥ n eX um vetor coluna contendon linhas.

A grandezaY pode ser determinada como:

Y = Y+E (B.2)

em queE é o vetor erro entre o conjunto de amostras da grandezaY e a função modelo.

Substituindo o resultado de B.1 na Equação B.2, temos:

Y = AX+E (B.3)

Isolando o vetor erro em B.3, obtém-se:

E =Y−AX (B.4)

Multiplicando o vetor erro pelo seu transposto, encontra-se o erro quadrático, repre-

sentado por:

102 APÊNDICE B - DEDUÇÃO DO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS

ETE = (Y−AX)T (Y−AX) (B.5)

=[YT − (AX)T

](Y−AX) (B.6)

=(YT −XTAT)(Y−AX) (B.7)

= YTY−YTAX−XTATY+XTATAX (B.8)

Definindo a variávelF como o erro quadrático, temos:

F = ETE =YTY−YTAX−XTATY+XTATAX (B.9)

Ao derivar o erro quadrático em relação aX e igualando o resultado obtido a zero,

encontraremos seu valor ótimo. Desta forma, a derivada do erro quadrático é:

∂F∂X

=∂(YTY−YTAX−XTATY+XTATAX

)

∂X(B.10)

= −YTA−ATY+2ATAX (B.11)

= −2ATY+2ATAX (B.12)

Em seguida, iguala-se o resultado da derivada a zero. O resultado desta operação

encontra-se a seguir.

ATAX = ATY (B.13)

Ao isolarmos a variávelX em B.13, obtém-se:

X =(ATA

)−1ATY (B.14)

Portanto, a solução de mínimos quadrados para o vetorX é dada por:

X = A+Y (B.15)

em queA+ é denominada matriz pseudo inversa, definida como(ATA

)−1AT .

B.2 Algoritmo Recursivo

Conforme visto na seção B.1, a solução de mínimos quadrados em batelada é dada

por:

X =(ATA

)−1ATY (B.16)

APÊNDICE B - DEDUÇÃO DO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS 103

Esta solução pode ser representada na forma de somatórios. Tal expansão é escrita

como:

Xm =

(m

∑i=1

aiaTi

)−1 m

∑i=1

aiyi (B.17)

em queai é um vetor coluna que representa ai-ésima linha da matrizA, m equivale ao

número de linhas da matrizA eXm consiste na estimativa deX para um instantetm.

A partir desta última expressão, define-se a variávelPm como:

Pm =

(m

∑i=1

aiaTi

)−1

(B.18)

A seguir, substituindo a definição dePm apresentada na equação anterior em B.17,

tem-se:

Xm= Pm

m

∑i=1

aiyi (B.19)

Através de manipulações na Equação B.18, obtém-se:

P−1m =

m

∑i=1

aiaTi (B.20)

Em um dado instantem+1, a variávelPm será dada por:

P−1m+1 =

m+1

∑i=1

aiaTi

=m

∑i=1

aiaTi +am+1aT

m+1

= P−1m +am+1aT

m+1 (B.21)

IsolandoP−1m em B.21, temos:

P−1m = P−1

m+1−am+1aTm+1 (B.22)

Manipulando a Equação B.19, obtém-se:

Pm−1Xm=

m

∑i=1

aiyi (B.23)

104 APÊNDICE B - DEDUÇÃO DO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS

Feito este processo, expande-se a Equação B.23 para um instantem+1. Em seguida,

soma-se e subtrai-se a expressãoam+1aTm+1Xm, obtendo:

P−1m+1Xm+1 =

m

∑i=1

aiyi +am+1Ym+1+am+1aTm+1Xm−am+1aT

m+1Xm (B.24)

Por definição, o termoaTm+1Xm é equivalente a:

aTm+1Xm = Ym+1 (B.25)

Substituindo o resultado da Equação B.25 em B.24 e rearrumando a equação, tem-se

o seguinte resultado:

P−1m+1Xm+1 = P−1

m Xm+am+1aTm+1Xm+am+1

(Ym+1−Ym+1

)(B.26)

A seguir define-se a variável erro (e):

em+1 =Ym+1−Ym+1 (B.27)

Posteriormente, substitui-se a definição do erro em B.26 e o valor dePm+1 obtido em

B.22. Com isso, teremos:

P−1m+1Xm+1 =

(P−1

m+1−am+1aTm+1

)Xm+am+1aT

m+1Xm+am+1em+1 (B.28)

Ao desenvolvermos a Equação B.28, obtém-se a seguinte expressão:

P−1m+1Xm+1 = P−1

m+1Xm+am+1em+1 (B.29)

Através da multiplicação de todos os termos de B.29 porPm+1, tem-se a expressão

recursiva para o vetorX:

Xm+1 = Xm+Pm+1am+1em+1 (B.30)

Em seguida, resta apenas encontrar uma expressão recursiva para a atualização da

matrizP. Para isso, aplica-se o lema da inversão, dado por:

(A+BCD)−1 = A−1−A−1B(C−1+DA−1B

)−1DA−1 (B.31)

em queA= Pm−1, B= am+1, C= 1 eD = aT

m+1.

APÊNDICE B - DEDUÇÃO DO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS 105

Ao manipularmos algebricamente a Equação B.21, obtém-se:

Pm+1 =(P−1

m +am+1aTm+1

)−1(B.32)

Portanto, aplicando o lema da inversão em B.30, teremos como resultado uma equação

recursiva para a atualização da matrizP, dada por:

Pm+1 = Pm−Pmam+1aT

m+1PTm

1+aTm+1Pmam+1

(B.33)

Posteriormente define-se a expressão para o ganhoK:

Km+1 = Pm+1am+1 (B.34)

Ao substituirmos o resultado de B.33 na definição da expressão anterior, tem-se:

Km+1 =

(Pm−

Pmam+1aTm+1PT

m

1+aTm+1Pmam+1

)am+1 (B.35)

Desta forma, após a aplicação de operações algébricas em B.35, teremos a equação

final para cálculo do ganho:

Km+1 =Pmam+1

1+aTm+1Pmam+1

(B.36)

Por fim, substituindo o resultado da Equação B.36 na expressão B.30, tem-se como

resultado final a equação recursiva para a atualização do vetorX:

Xm+1 = Xm+Km+1em+1 (B.37)

107

Apêndice C

Sistema Elétrico Analisado

O sistema de transmissão modelado no ATP e representado na Figura C.1, é composto

por duas fontesS1 e S2, dois equivalentesZ1 e Z2, dois disjuntoresD1 e D2 e uma linha

de transmissão de 230 kV e 180 km (SILVA, 2009). Os registros das faltas são colhidos

por um Registrador Digital de Perturbação (RDP), simulado no barramento 1 por meio de

transformadores de corrente e potencial.

S1 S2D1Z1 D2 Z2LT

1 2

Figura C.1: Linha de transmissão de 230 kV modelada no programa ATP.

Os parâmetros de simulação para as fontes e equivalentes sãomostrados na Tabela

C.1. Neste caso, considera-se que os valores de sequência positiva e negativa são iguais.

Tabela C.1: Dados das fontes e equivalentes.

Fonte Tensão(pu) Fase() Sequência Impedância do equivalente(Ω)

S1 1,05 0Positiva 0,8713+ j25,661= 25,675∠88,05

Zero 1,0141+ j18,754= 18,781∠86,90

S2 0,95 -10Positiva 0,9681+ j28,513= 28,529∠88,05

Zero 1,1268+ j20,838= 20,868∠86,90

Na Tabela C.2 são visualizados os parâmetros para a linha de transmissão, por quilô-

metro, para as sequências positiva e zero. Mais uma vez, admite-se que os valores de

sequência positiva e negativa são iguais.

108 APÊNDICE C - SISTEMA ELÉTRICO ANALISADO

Tabela C.2: Impedância da linha de transmissão.

Sequência Resistência(Ω/km) Reatância(Ω/km) Admitância(µΩ−1/km

)

Positiva 0,098 0,510 3,252Zero 0,532 1,541 2,293

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Estimação de Fasores para Proteção de Sistemas Elétricos