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ESTIMACIÓN DEL VALOR EN RIESGO POR CALCE ENTRE ACTIVOS Y PASIVOS DE

SEGUROS

Por:

J. Gudiño* jgudino@itam.mx

México D. F. 2006 Resumen: se presentan los antecedentes del concepto de calce, inmunización, duración, convexidad, los elementos teóricos más relevantes que permiten la medición del riesgo de pérdidas por descalce, así como procedimientos para la estimación de pérdidas, utilidades y grado de exposición a dicho riesgo, con un enfoque de administración de activos y pasivos aplicados a seguros. Asimismo se presentan elementos relacionados con proyección de pasivos contingentes de carteras de seguros de largo plazo, en congruencia con los esquemas regulatorios recientemente implementados en México.

* Juliana Gudiño Antillón. es profesor de tiempo completo del Instituto Tecnológico Autónomo de México y cuenta con licenciatura en actuaría, maestría en seguros y maestría en finanzas. Los modelos actuariales y demás elementos presentados en este documento, relacionados con el concepto de valor en riesgo por calce “VARC”, fueron creados por el autor y quedaron registrados como parte de su tesis de maestría en finanzas ante el Instituto Tecnológico Autónomo de México.

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1. ANTECEDENTES Los seguros son contratos que consisten en que una institución llamada aseguradora, se obliga a resarcir las pérdidas originadas por un daño proveniente de la manifestación de un evento de carácter contingente, al cual se le conoce como “riesgo”. Dichos contratos de seguros tienen generalmente un plazo, dentro del cual, de ocurrir el daño previsto, la compañía de seguros debe realizar el pago correspondiente. En una operación de seguros, una compañía adquiere obligaciones que por ser de carácter contingente no se conoce con exactitud el momento en que debe enfrentar tales obligaciones. A diferencia de los pasivos ciertos, en los que se conoce el monto y el momento en que vencerá la obligación, los seguros son pasivos contingentes en los que no se conoce ni el monto ni el momento exacto en que se deberá reconocer la obligación prevista en el contrato, sin embargo, existen técnicas actuariales que permiten hacer estimaciones sobre el monto de las obligaciones que se derivarán de una cartera de seguros. Debido a que el riesgo medido en periodos anuales, es comúnmente creciente, los contratos se pactan a prima nivelada lo que produce la necesidad de crear un mecanismo de compensación en el tiempo, el cual consiste en la constitución de una reserva que se reconoce en los estados financieros como pasivo contingente. Los pasivos de seguros son calculados mediante procedimientos actuariales que en forma implícita reconocen una tasa de rendimiento futura que generalmente se supone constante en el tiempo. Una vez que el asegurado paga la prima correspondiente, la compañía de seguros queda comprometida, no sólo a responder por las reclamaciones que se produzcan, sino también a obtener de la inversión de la reservas, como mínimo, la tasa de rendimientos supuesta al calcular la prima. Es por ello que los activos deben quedar invertidos de manera que, por un lado, permitan mantener el grado de liquidez necesario para hacer frente a las reclamaciones que se presenten, y por otro, invertirlos en plazos que permitan reducir al máximo el riesgo de reinversión que implícitamente puede generar un riesgo de pérdida si la tasa obtenida al momento de la reinversión fuera menor a la tasa hipotética considerada en el cálculo de la prima, ya que la obtención de una tasa menor generaría una pérdida para la compañía de seguros. Por lo anterior, un aspecto importante en la administración de una operación de seguros es mantener un manejo de los activos que sea congruente con los pasivos, de manera que se cuente con la disponibilidad de recursos (liquidez) en el momento en que se tengan que pagar las obligaciones, y que a la vez los activos se inviertan a una tasa de rendimiento igual o superior a la de los pasivos y a un plazo óptimo de manera que no se incurra en el riego de reinversión. Debido a la naturaleza contingente de las obligaciones que se derivan de contratos de seguros, mantener un sistema óptimo de congruencia entre activos y pasivos (matching) implica hacer valoraciones que permitan tomar decisiones a partir de parámetros cuantitativos. La estimación de los flujos futuros de obligaciones que habrán de pagarse, la gran variedad de instrumentos de inversión en que se pueden invertir los recursos, la variedad en los plazos a los cuales se puede invertir los recursos, hace que se necesiten herramientas de análisis y medición que nos den una idea clara y objetiva de la pérdida esperada (valor en riesgo), en que se incurre al realizar (o querer realizar) una serie de inversiones destinadas a cubrir pasivos contingentes de seguros.

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Es relevante mencionar que en México, recientemente los reguladores de seguros han iniciado la aplicación obligatoria de medición de la pérdida esperada por descalce, específicamente en los seguros de vida y seguros de pensiones de la seguridad social. En este documento se expone un procedimiento actuarial para estimar las pérdidas (o utilidades) que se pueden producir por el calce de pasivos contingentes, enfocándose específicamente a pasivos de seguros de vida de largo plazo. El modelo que se desarrolla incorpora los elementos de tasa de rendimiento, plazo y liquidez, dando como resultado el concepto que denominaremos “Valor en Riesgo por Calce”, el cual representa el monto estimado (a valor presente) de las pérdidas o utilidades que se producirán a lo largo de la vida de la cartera de pasivos de seguros, bajo el supuesto de que las inversiones se mantengan conforme a las condiciones inicialmente conocidas. Este concepto, resulta fundamental para determinar la solvencia financiera de una compañía de seguros, ya que es un elemento que permite reconocer el efecto futuro que tendrá la adopción de determinadas políticas de inversión y de precio. El manejo de este concepto al cual denominaremos “VARC”, resulta congruente con diversos elementos de evaluación del valor de una compañía de seguros, tales como “Fair Value”, “Embedded Value” y “GAAP”. El modelo que se propone incorpora de manera integral los diversos elementos de la práctica de las operaciones de seguros, que surgen en forma natural de la forma en que se realizan las operaciones de seguros, tales como los procedimientos actuariales de valuación de pasivos de seguros (fórmulas discretas de valuación), supuestos sobre tasas de interés, modelos de salidas múltiples, procedimientos estadísticos y procesos estocásticos. 2. ELEMENTOS TEORICOS DEL CALCE 2.1 Modelos de Instituciones Financieras para medir el riesgo de Tasa de Interés Frecuentemente las instituciones financieras no equiparan los vencimientos de sus activos y pasivos. Como consecuencia de esto, están expuestas al riesgo de tasa de interés. Existen diversos modelos para medir la desigualdad de vencimientos o “gap” de los activos y pasivos. Entre estos modelos más conocidos se tienen:

• Modelo de Reevaluación • Modelo de Vencimiento • Modelo de Duración

Modelo de Reevaluación El modelo de reevaluación es un análisis contable de flujos de efectivo del gap de reevaluación entre los intereses por ventas ganados sobre los activos y de los intereses pagados sobre los pasivos, en un determinado período.

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Es decir, el gap de reevaluación se refiere a la diferencia entre los activos y los pasivos, cuyas tasa de interés serán revaluadas o cambiarán en un período futuro†. No obstante de que el gap acumulado en el balance general deberá ser igual a cero, el modelo de reevaluación tiene la ventaja del valor de la información que provee y en la simplicidad con la que muestra la exposición de los intereses sobre ingreso neto a cambios en las tasas de interés, en diferentes vencimientos. Dentro de las deficiencias de este modelo se tienen las siguientes:

i) Ignora efectos de valor de mercado. Los cambios en tasas de interés tienen un efecto de valor de mercado, adicional al efecto de ingreso sobre los valores de activos y pasivos. Este modelo ignora el efecto de valor de mercado, asumiendo implícitamente una aproximación de valor contable. Por tanto el modelo de reevaluación, es solamente una medida parcial de la exposición que tiene una institución financiera al riesgo de tasa de interés.

ii) Sobre agregación. El problema de definir subgrupos sobre un rango de

vencimientos, ignora información de la distribución de activos y pasivos dentro de cada subgrupo.

iii) Fracasa al tratar con el problema de pagos. Los flujos de efectivo

periódicos de interés y principal correspondientes a los pagos de la amortización sobre activos de largo plazo, tales como hipotecas, pueden ser reinvertidos a tasas de mercado. Estos pagos son sensibles a cambios de tasas de interés.

Modelo de Vencimiento Las instituciones financieras por lo general emplean Contabilidad a Valor en Libros cuando reportan activos y pasivos‡. Por otro lado, reportar a valor de mercado, significa que los activos y pasivos deberán reevaluarse para reflejar las condiciones de mercado prevalecientes en ese momento, esto se conoce con el nombre de Contabilidad a Valor de Mercado, esto es, activos y pasivos son reevaluados de acuerdo al nivel de tasas de interés actuales. Este segundo método de Contabilidad, refleja la realidad económica o verdadero valor de los activos y pasivos. Su importancia radica en que si el portafolio de la institución financiera tuviera que liquidarse a precios actualizados en lugar de utilizar los precios a los cuales originalmente fueron adquiridos o vendidos los activos y pasivos, este método permitirá a la institución financiera conocer el verdadero valor de su portafolio. El modelo de vencimiento sí considera los efectos sobre los valores de mercado de activos y pasivos, como consecuencia de cambios en los niveles de tasas de interés. Las instituciones financieras mantienen instrumentos de deuda tanto en su activo como en su pasivo. Un incremento en el rendimiento a vencimiento reducirá el precio de los instrumentos de renta fija que mantengan las instituciones financieras en su activo o en † Sensibilidad de activos y pasivos a cambios en tasas de interés. ‡ Valor Histórico

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su pasivo. La reducción del valor de mercado de los activos será un efecto negativo para la institución financiera, mientras que la reducción de los pasivos tendrá un efecto positivo. Claramente, una disminución en el nivel de tasas de interés provocará un aumento en el valor de mercado de activos y pasivos. Una de las reglas en la administración de portafolios de instituciones financieras es que entre mayor sea el vencimiento de activos y pasivos de renta fija, mayor será la caída de su precio y del valor de mercado para cualquier incremento en el nivel de tasas de interés. Es decir:

iP

iP

iP

iP N

ΔΔ

<<ΔΔ

<ΔΔ

<ΔΔ

L321 (2.1.1)

donde:

:kPΔ Cambio en precio de un instrumento de renta fija con vencimiento dentro de k períodos

iΔ : Cambio en tasa de interés Sin embargo, el tamaño de la pérdida de capital incrementa a una tasa decreciente, conforme se analizan mayores vencimientos. Esto se ve claramente en la siguiente gráfica:

Gráfica 2.1.1. Cambio precio conforme aumenta tasa de interés considerando el vencimiento del instrumento de renta fija

Por tanto, los activos y pasivos de renta fija en una institución financiera sufrirán los siguientes efectos:

• Un aumento (disminución) de tasas de interés generalmente conducirá a una disminución (aumento) del valor de mercado de los activos o pasivos.

• Entre mayor sea el vencimiento de los activos o pasivos de renta fija, mayor será la disminución (aumento) de su valor de mercado para cualquier aumento (disminución) de las tasas de interés.

• La disminución en el valor de mercado de títulos de mayor plazo incrementa a tasa decreciente, para cualquier aumento en tasas de interés.

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Cuando se analiza un portafolio de activos y pasivos de una institución financiera, se empleará la fórmula 2.1.2. para calcular el vencimiento del portafolio.

iNiNiiiii TwTwTwT +++= L2211 (2.1.2) donde:

:iT Vencimiento promedio ponderado del portafolio de activos (pasivos) de una institución financiera

:ijT Vencimiento del j-ésimo activo (pasivo), j=1,2,…,N :ijw La importancia de cada activo (pasivo) en el portafolio de activos (pasivos) de la

institución financiera, medido por el valor de mercado del activo (pasivo) en relación al valor de mercado de todos los activos (pasivos). La fórmula 2.1.2, establece que el vencimiento del portafolio de activos (pasivos) de una institución financiera será igual un promedio ponderado de los vencimientos de los activos o pasivos que conforman el portafolio. Cada vencimiento está ponderado por el valor de mercado que representa del valor de mercado total del portafolio. En un portafolio de activos (pasivos) se cumplen los mismos principios que para un titulo individual, esto es:

• Un aumento en tasas de interés, generalmente disminuirá los valores de mercado de los portafolios de activos o pasivos de las instituciones financieras.

• Entre mayor vencimiento del portafolio de activos (pasivos), entonces mayor será la disminución en el valor de mercado del portafolio para cualquier aumento en tasas de interés.

• La disminución en el valor de mercado del portafolio de activos o pasivos aumenta a tasa decreciente, entre mayor sea el vencimiento del portafolio.

Por tanto, el efecto neto de un aumento (disminución) de las tasas de interés en el balance general de una institución financiera, depende de cómo la institución financiera desequilibra los vencimientos de sus portafolios de activos y pasivos, es decir, si el gap de vencimiento (MA-ML) es mayor (menor) a cero. Por ejemplo, si un banco comercial estuviera en el caso en el que MA-ML>0 se dice que tiende a mantener grandes cantidades de activos de renta fija con vencimientos largos, como hipotecas y créditos a consumidores, y emitir pasivos de corto plazo como certificados de depósito. Ejemplo 2.1.1. Portafolio hipotético de un banco.

Suponga que el banco tiene $1000 que va a invertir, en bonos a tres años que pagan cupones del 10% anual, adicionalmente capta $900 en depósitos de un año con la promesa de pagar un 10% de interés anual. Es decir:

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Activos (millones) Pasivos (millones) Largo Plazo (A): $1,000 Corto Plazo (P): $900

Valor Neto (C): $100

Tabla 2.1.1. Valor de mercado inicial del Balance General de un banco El valor de los activos se calculó como el valor presente de los flujos de efectivo, como se muestra en la tabla 2.1.2.

t Flujo de Efectivo

Valor Presente Flujo de Efectivo

0 1 100 90,9091 2 100 82,6446 3 1,100 826,4463 Precio $1,000

Tabla 2.1.2. Precio de Bonos con vencimiento dentro de 3 años, i =10% anual.

De la tabla 2.1.1 se puede calcular el valor neto o verdadero capital del banco como: A-P. Este es el dinero que los poseedores del banco podrían obtener si pudieran liquidar los activos y pasivos del banco a precios actuales en los mercados financieros, es decir vendiendo las deudas y bonos y re comprando los depósitos al mejor precio. Como se mencionó anteriormente, si las tasas de interés aumentan, los valores de mercado de activos y pasivos disminuirán. Sin embargo en el ejemplo 2.1.1 se tiene un balance general integrado por activos con mayor vencimiento que los pasivos, por lo cual, si aumentan las tasas de interés, el valor del portafolio de activos (A) disminuirá más que el valor de mercado del portafolio de pasivos (P). Si la tasa de interés aumenta 100 p.b., el valor de mercado de los activos disminuirá a $975.56. El cálculo de este valor de mercado se presenta en la tabla 2.1.3.

T Flujo de Efectivo

Valor Presente Flujo de Efectivo

0 1 100 90,0901 2 100 81,1622 3 1100 804,3105 Precio $975,56

Tabla 2.1.3. Precio de Bonos con vencimiento dentro de 3 años, i =11% anual.

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Por otro lado, con este incremento en la tasa de interés el valor de mercado del certificado de depósito será:

892.89111.1

9900=

+=P

Es decir, el valor de mercado de los activos del banco disminuyó en 2.44%. Mientras que el valor de mercado de los pasivos disminuyó 0.901%. Debido a que el vencimiento de los activos es mayor al de los pasivos, el valor de mercado de los activos disminuyó más que el de los pasivos. Por lo que el valor neto del banco disminuyó 16.33%, es decir hubo una pérdida de 16.33 millones. En la tabla 2.1.4. se muestra el valor de mercado del Balance General del banco después de un incremento de 1% en la tasa de interés:

Activos (millones) Pasivos (millones) Largo Plazo (A): $975.56 Corto Plazo (P): $891.89

Valor Neto (C): $83.67

Tabla 2.1.4. Valor de mercado final del Balance General de un banco En este ejemplo el gap de vencimiento es de 2 años, esto es:

años 2=− LA MM con lo cual, al incrementarse la tasa de interés 100 p.b., los dueños del banco experimentarán una pérdida importante. De aquí surge la siguiente pregunta ¿qué incremento en la tasa de interés llevará al banco a tener un valor neto igual a cero?, dejando insolvente este banco. En este ejemplo, al incrementarse la tasa de interés a 17% aproximadamente, el valor neto del banco disminuirá en $100 millones. La inmunización ocurre cuando el capital de la institución financiera está completamente protegido contra el riesgo de tasa de interés. Por lo que si los administradores de la institución financiera tratan de construir un balance general tal que el gap de vencimiento sea cero, es decir la diferencia entre vencimiento promedio ponderado de sus activos y pasivos sea cero ( 0=− LA MM ) podrán proteger el capital de la institución. Sin embargo, esta estrategia (equiparar vencimientos) no siempre protegerá a la institución financiera del riesgo de tasa de interés. Por tanto, la estrategia de equiparar vencimientos de activos y pasivos ayuda a una institución financiera a cubrirse contra el riesgo de tasa de interés, pero no a eliminarlo del todo. Por lo cual, una institución financiera deberá tomar en cuenta la duración de sus activos y pasivos, en lugar de sus vencimientos y el grado de apalancamiento en su balance general.

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La duración de un activo o pasivo, se define como su vida promedio. Más formalmente, es el tiempo promedio ponderado al vencimiento empleando como ponderadores los valores presentes de los flujos de efectivo. La duración es una medida más precisa de la exposición al riesgo de tasa de interés que el modelo de vencimiento. Su interpretación económica es sensibilidad a tasa de interés. Modelo de Duración La duración se considera una medida más completa de la sensibilidad de un activo o pasivo a tasas de interés, que el vencimiento, pues la primera considera el tiempo de llegada de todos los flujos de efectivo, así como el vencimiento del activo o pasivo§. La duración es el promedio ponderado del tiempo al vencimiento utilizando los valores presentes relativos de los flujos de efectivo como pesos. Es decir, en el análisis de duración, se pondera el tiempo al cual los flujos de efectivo son recibidos por la importancia relativa en términos de valor presente de los flujos de efectivo en cada momento de tiempo. Ejemplo 2.1.2. Flujos de efectivo de un préstamo a 1 año.

Figura 2.1.1. Línea de tiempo de recepción de flujos de efectivo.

En términos de valor presente, la importancia relativa de los flujos de efectivo que llegan en un semestre t=1/2 y en un año t=1 son:

12/1

11

12/1

2/12/1

VPVPVPX

VPVPVPX

+=

+=

donde:

i momento elen pagará se que flujo del 0,en t PresenteValor Peso

===

i

i

VPX

§ Este número, que mide la vida promedio de un activo o pasivo, también tiene una interpretación económica “sensibilidad del interés (elasticidad del interés)”.

0 1/2 1

CF1/2 CF1

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Supongamos que CF1/2=60, CF1=75, i =10% anual, entonces:

t Flujo VP en t=0 Pesos 0

0.5 75 71.429 56.757% 1 60 54.422 43.243%

VP1/2+VP1 125.85

Tabla 2.1.5. Importancia relativa de los flujos de efectivo en t=1/2 y t=1 En términos de valor presente, el 56.76% de los flujos de efectivo sobre la deuda son recibidos al final del primer semestre y 43.24% son recibidos al final del año. La suma de los pesos de los flujos de efectivo debe ser igual a uno, es decir:

143243.056757.0112/1

=+=+ XX

Si calculamos ahora la duración (D), o la vida promedio de la deuda, empleando el valor presente de sus flujos de efectivo como pesos, obtenemos:

años7162.01*43243.05.0*56757.0)1()2/1( 12/1

=+=+=

DXXD

Por tanto, mientras el vencimiento de la deuda es un año, su duración o vida promedio en un sentido de flujos de efectivo es solamente 0.7162 años. La duración es menor al vencimiento de la deuda, porque en términos de valor presente el 56.76% de los flujos de efectivo son recibidos al final del primer semestre. Para explicar de manera sencilla por qué un banco puede estar expuesto al riesgo de tasa de interés al equiparar vencimientos con el modelo de vencimientos, calculemos la duración de un certificado de depósito, con tasa de interés del 10% anual. El banco promete realizar todos sus pagos a los depositantes al final del año, es decir promete pagar en t=1 CF1=110, que corresponde al principal más el interés correspondiente. Al calcular la duración de este instrumento, obtenemos:

DCD=X1*1=1*1=1 año Es decir, la duración es exactamente igual al vencimiento. Entonces, solamente cuando todos los flujos de efectivo son pagados o recibidos al final del período, sin flujos de efectivo intermedios, la duración será igual al vencimiento. En este ejemplo, se muestra que mientras el gap de vencimiento entre la deuda y el certificado de depósito es igual a cero, el gap de duración es negativo, esto es:

MDeuda-MCD = 1-1 = 0 DDeuda-DCD = 0.7162-1 =-0.2838

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Por tanto, para que un banco mida y se cubra del riesgo de tasa de interés, deberá administrar su gap de duración en lugar del gap de vencimiento. Generalización del Modelo de Duración La duración es una medida directa de la sensibilidad a tasas de interés o elasticidad de un activo o pasivo. Entre mayor sea el valor numérico de la duración D, de un activo o pasivo, más sensible será el precio de éste a cambios o shocks en la tasa de interés. Recordemos que el precio de un bono es el valor presente de los flujos de efectivo esperados, cupones y principal:

NN yVN

yC

yC

yCP

)1()1()1()1( 2 ++

+++

++

+= L (2.1.3)

Donde: C: Cupón y: Rendimiento requerido N: Número de períodos (vencimiento) VN: Valor Nominal Sabemos que cuando el rendimiento requerido incrementa, entonces el precio de un bono disminuye, la duración es una medida que mide el tamaño de esa caída. Para determinar el cambio aproximado en precio para un pequeño cambio en rendimiento, se calcula la primera derivada de la ecuación 2.1.3 con respecto al rendimiento requerido. Es decir:

)1()1(32 )()1()()1()2()1()1( +−+−−− −++−+++−++−= NN VNNyCNyCyCdydP

L (2.1.4)

Simplificando la ecuación 2.1.4, se obtiene:

1132 )1()(

)1()(

)1()2(

)1()1(

++ +−

++−

+++−

++−

=NN y

VNNy

CNyC

yC

dydP

L

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

++

+++

+++

−=NN y

VNNyCN

yC

yC

ydydP

)1()(

)1()(

)1()2(

)1()1(

)1(1

21L (2.1.5)

El término entre paréntesis de la ecuación 2.1.5, es el promedio ponderado del término al vencimiento de los flujos de efectivo del bono, donde los pesos son el valor presente de los flujos de efectivo.

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La ecuación 2.1.5 es la aproximación del cambio en el precio (en dinero) para un pequeño cambio en el rendimiento requerido. Si se dividen ambos lados de la ecuación 2.1.5 entre el precio (P), obtendremos aproximadamente el cambio porcentual en el precio, esto es:

1)1(

)()1(

)()1(

)2()1(

)1()1(

1121 Py

VNNyCN

yC

yC

yPdydP

NN ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

++

+++

+++

−= L (2.1.6)

La expresión entre paréntesis en la ecuación 2.1.6 dividida entre el precio, es conocida como duración de Macaulay**.

PyVNN

yCN

yC

yC

DNN

Macaulay

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

++

+++

++

=)1(

)()1(

)()1(

)2()1(

)1(21

L

(2.1.7)

)1())((

)1( 1

PyVNN

ytC

D

N

tNt

Macaulay

∑= +

++= (2.1.8)

Si sustituimos la ecuación 2.1.7 en la ecuación 2.1.6 se obtiene:

MacaulayDyPdy

dP)1(

11+

−= (2.1.9)

Lo cual es aproximadamente, el cambio porcentual en precio. El cociente de la duración de Macaulay entre (1+y) recibe el nombre de duración modificada, es decir:

)1( yD

D MacaulayMOD +

= (2.1.10)

MODDPdy

dP−=

1 (2.1.11)

Las ecuaciones anteriores establecen que la duración modificada es aproximadamente el cambio porcentual en precio para un cambio dado en rendimiento y que existe una relación inversa entre duración modificada y el cambio porcentual aproximado en precio para un determinado cambio en rendimiento. Además se observa que si los cupones son semestrales, entonces las duraciones estarán expresadas en semestres, ya que los flujos de efectivo (cupones) se pagan semestralmente. Para expresarlas en términos anuales, deberán dividirse entre 2 (en este

** 1938, Frederick Macaulay inventó este término y lo usó como aproximación del tiempo promedio en que la inversión de un bono es recuperada.

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caso). En general, si los flujos de efectivo se pagan m veces en el año, entonces las duraciones son ajustadas al dividirlas entre m.

mperiodos men Duración añosen Duración = (2.1.12)

Si la ecuación 2.1.9 se multiplica por el factor (1+y), se obtiene:

MacaulayDP

ydydP

−=+ )1( (2.1.13)

que es lo mismo que expresarlo así,

MacaulayD

ydyP

dP

−=

+ )1(

(2.1.14)

la interpretación económica de la ecuación 2.1.14, es que el número D es la elasticidad del interés, o sensibilidad, del precio de un título a pequeños cambios en la tasa de interés. Es decir, describe la caída porcentual del precio de un bono (dP/P) para cualquier (valor presente) incremento en las tasas de interés requeridas o rendimientos (dy/(1+y)). Esto se puede observar en la siguiente gráfica:

Gráfica 2.1.2. Relación proporcional entre cambios de precio y cambios

de rendimiento Si se multiplican ambos lados de la ecuación 2.1.11 por el cambio en el rendimiento requerido (dy), se obtiene:

dyDP

dPMOD−= (2.1.15)

-DMac

Cambios Rendimiento dy/(1+y)

Cambios precio dP/P

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La ecuación 2.1.15 puede emplearse para aproximar el cambio porcentual para un cambio determinado en rendimiento requerido. La gráfica 2.1.2 muestra que para pequeños cambios en tasas de interés, los precios de bonos se mueven en forma inversamente proporcional de acuerdo al tamaño de DMac. Si el rendimiento de cualquier bono cambia 100 puntos base, entonces sustituyendo 100 puntos base (0.01) en la ecuación 2.1.15 se obtiene:

%)01.0( MODMOD DDP

dP−=−=

Entonces la duración modificada puede ser interpretada como el cambio porcentual aproximado en precio, para un cambio de 100 puntos base (1%) en el rendimiento. Aproximación en dinero del cambio del precio La duración modificada es una aproximación para el cambio porcentual en precio. Los inversionistas desean conocer también la volatilidad en dinero del precio de un bono. La ecuación 2.1.11 puede emplearse para calcular la volatilidad en dinero del precio. Ya que al multiplicar esta ecuación por P, se obtiene:

PDdydP

MOD *−= (2.1.16)

La expresión de la ecuación 2.1.16 se conoce como duración en dinero (dollar duration) la cual se denota: DD.

PDDD MOD *−= (2.1.17) El cambio del precio en dinero puede estimarse al multiplicar ambos lados de la ecuación 2.1.15 por P, esto es:

dyPDdP MOD **−= (2.1.18) Que es lo mismo que:

dyDDdP *−= (2.1.19) Es importante resaltar que para cambios pequeños en el rendimiento requerido, la ecuación 2.1.19 hace un buen trabajo al estimar el cambio en precio. Cuando hay movimientos importantes (grandes) en el rendimiento requerido, la duración en dinero (DD) o duración modificada no son medidas adecuadas para aproximar la reacción del precio. Por tanto, la duración sobreestimará el cambio en el precio cuando el rendimiento requerido aumenta, subestimando el nuevo precio. Y cuando rendimiento requerido cae, la duración subestimará el cambio en el precio, subestimando el nuevo precio.

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Características de la Duración Hay tres características importantes de la duración relativas al vencimiento, el rendimiento y la tasa cupón de los títulos. Con respecto al vencimiento de los títulos, la duración incrementa con el vencimiento de un activo o pasivo de renta fija, pero a tasa decreciente, es decir: La primera derivada de la duración con respecto al vencimiento del activo o pasivo de renta fija será positiva,

0>∂∂ND

Mientras que la segunda derivada será negativa.

( )02

2<

∂∂ND

Por otro lado, la duración decrece conforme aumenta el rendimiento, es decir, la primera derivada de la duración con respecto al rendimiento es negativa.

0<∂∂ND

Esto se explica debido a que tasas de rendimiento más altas descuentan los flujos de efectivo tardíos de manera más importante y la importancia relativa, o peso, de esos flujos de efectivo declina comparativamente con los flujos de efectivo que se reciben más temprano. Finalmente, entre mayor sea la tasa cupón o pago de interés prometido de un título, menor es su duración. Es decir, la primera derivada de la duración con respecto a los cupones será negativa,

0<∂∂CD

Esto se debe a que entre más grandes los cupones o pagos de interés prometidos, entonces más rápido recibirán los inversionistas los flujos de efectivo y por tanto mayores serán los pesos de valores presentes de esos flujos de efectivo.

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2.2 Duración e Inmunización Para una institución financiera la mayor importancia que tiene la medida de duración, es que es una medida que se utiliza para administrar la exposición al riesgo de tasa de interés. Adicionalmente, es importante el papel que juega la duración en permitir a las instituciones financieras inmunizar su balance general o parte de éste contra el riesgo de tasa de interés. Frecuentemente, los administradores de fondos de pensiones y de aseguradoras de vida enfrentan el problema de asignar sus inversiones en activos, tal que puedan pagar cantidades de dinero específicas a los asegurados en un período futuro. Por ejemplo, en el caso de una póliza de seguros que promete realizar un solo pago al asegurado al momento de alcanzar la edad de jubilación, el administrador de la compañía de seguros enfrenta el riesgo de que caigan las tasas de interés sobre los fondos generados por invertir las primas recibidas. Por lo que, la cantidad prometida no podría alcanzarse a cubrir con los rendimientos acumulados sobre las primas invertidas. Para inmunizarse contra el riesgo de tasa de interés, el asegurador requiere determinar cuáles inversiones producirían un flujo de efectivo exactamente igual a cada una de sus obligaciones futuras en el mismo tiempo. Por otro lado, si se habla de inmunizar todo el balance general de una institución financiera, lo que haría el administrador es calcular las duraciones de cada instrumento individualmente y seleccionar instrumentos de renta fija para proteger a la institución. El modelo de duración puede también emplearse para evaluar la exposición total de instituciones financieras al riesgo de tasa de interés, que es equivalente a medir el gap del balance general. Para estimar el gap total de duración de una institución financiera, se debe determinar primero la duración del portafolio de activos y la duración del portafolio de pasivos, como a continuación:

∑=

=N

i

AiiAA DXD

1 (2.2.1.)

∑=

=N

i

PiiPP DXD

1 (2.2.2)

Donde:

PAjXN

iij , 1

1==∑

=

Las X’s representan las proporciones de los valores de mercado de cada activo o pasivo mantenido en los portafolios de activos o pasivos.

17

El cambio en valor neto de una institución financiera está determinado por la diferencia entre el cambio de los valores de mercado de los activos y de los pasivos, es decir:

PAE Δ−Δ=Δ (2.2.3) Por lo cual, se requiere determinar cómo los cambios en los valores de mercado de activos y pasivos están relacionados a la medida de duración. De acuerdo al modelo de duración el cambio porcentual de los valores de mercado de los activos y pasivos, para pequeños cambios en el rendimiento, se puede aproximar de la siguiente forma:

)1(, yyD

AA

MACA +Δ

−=Δ (2.2.4)

)1(, yyD

PP

MACP +Δ

−=Δ (2.2.5)

Donde el término )1( y

y+Δ denota choques en tasa de interés. Las ecuaciones 2.2.4 y

2.2.5 pueden expresarse de la siguiente manera:

)1(**, y

yADA MACA +Δ

−=Δ (2.2.6)

)1(**, y

yPDP MACP +Δ

−=Δ (2.2.7)

Ambas ecuaciones se interpretan como el cambio en dinero en los valores de mercado de activos y pasivos para pequeños cambios en el rendimiento. Sustituyendo las ecuaciones 2.2.6 y 2.2.7 en la ecuación 2.2.3 se obtiene la siguiente expresión:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+Δ

−−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+Δ

−=Δ)1(

**)1(

** ,, yyPD

yyADE MACPMACA (2.2.8)

Suponiendo que el cambio en la tasa de interés es el mismo tanto para activos como para pasivos, el cambio en el valor neto será:

[ ])1(

*** ,, yyPDADE MACPMACA +

Δ+−=Δ (2.2.9)

Expresando la fórmula 2.2.9 de otra manera,

[ ])1(

*** ,, yyPDADE MACPMACA +

Δ−−=Δ (2.2.10)

18

Si multiplicamos y dividimos los términos DA,MAC y DP,MAC de la ecuación 2.2.10 por el valor de mercado de los activos obtendremos,

)1(***** ,, y

yPAADA

AADE MACPMACA +

Δ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−=Δ

Factorizando A,

)1(**** ,, y

yAAPD

AADE MACPMACA +

Δ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−=Δ (2.2.11)

Llamemos a el cociente P/A = γ . γ es una medida de apalancamiento, que se interpreta como la cantidad de fondos pedidos prestados (pasivos) utilizados para financiar el portafolio de activos. Por tanto la ecuación2.2.11 queda como sigue:

[ ])1(

***,, yyADDE MACPMACA +

Δ−−=Δ γ (2.2.12)

En la ecuación 2.2.12 se tienen tres términos, los cuales se pueden interpretar de la siguiente manera:

γ*,, MACPMACA DD − : Gap de duración ajustado por apalancamiento. Este gap está expresado en años y refleja qué tanto no se equipara la duración en el balance general de una institución financiera. Entre mayor sea este gap, en términos absolutos, estará más expuesta la institución financiera a choques en la tasa de interés. A : Mide el tamaño de los activos de una institución financiera. Entre mayor sea la escala de la institución financiera, mayor será el monto en dinero de la exposición potencial del valor neto para cualquier choque en la tasa de interés.

)1( yy+Δ : Representa el tamaño del choque en la tasa de interés. Entre mayor sea el

choque, será mayor la exposición de la institución financiera. Por tanto, el administrador de una institución financiera puede utilizar la información que revela la ecuación 2.2.12, para reestructurar el balance general con la finalidad de inmunizar el valor neto de los accionistas contra el riesgo de tasa de interés.

19

Algunas limitantes del modelo de duración El modelo de duración ha sido criticado, debido a la dificultad de emplearlo en situaciones reales. Por tanto, es de suma importancia analizar sus limitantes y estudiar la manera cómo debe el administrador de una institución financiera ponerlo en práctica.

I. Equiparar la duración puede ser costoso En principio un administrador puede cambiar la duración modificada de activos y pasivos con la finalidad de inmunizar a la institución financiera contra el riesgo de tasa de interés, pero si se reestructura el balance general de una institución grande y compleja, puede representar un alto costo, tanto en tiempo como en dinero.

II. La inmunización es un problema dinámico La inmunización es una estrategia dinámica, en teoría requiere que el administrador del portafolio rebalance el portafolio continuamente, con el objetivo de asegurar que la duración del portafolio de inversión equipare exactamente el horizonte de inversión (duración pasivos). Debido a que el rebalance continuo del portafolio no es fácil de hacer y lleva consigo altos costos de transacción, muchos administradores deciden hacer el rebalance en intervalos discretos, por ejemplo trimestralmente, con esto se estará aproximando a la inmunización dinámica contra cambios en las tasas de interés. Por lo que hay un intercambio entre estar perfectamente inmunizado y los costos de transacción de mantener el balance general inmunizado dinámicamente.

III. Cambios grandes en tasas de interés. Como se mencionó anteriormente, la duración se utiliza para estimar la sensibilidad del precio de títulos de renta fija para pequeños cambios en tasas de interés, en el orden de 1 punto base (0.01%). Pero a veces los cambios en tasas de interés son mayores, por ejemplo 200 puntos base (2%). En estos casos, la duración no es una medida precisa del cambio en precios de los títulos.

Gráfica 2.2.1. Verdadera relación entre el precio y el rendimiento y

modelo de duración.

Error

Error

Rendimiento requerido

Precio

Verdadera relación

Modelo de Duración

y*

20

Es posible trazar una línea recta tangente a la relación convexa entre el precio y el rendimiento a vencimiento para un determinado nivel de rendimiento (y*). Esto se observa en la gráfica 2.3.1. Esta recta tangente muestra la tasa de cambio del precio con respecto al cambio en las tasas de interés en ese punto determinado y* (nivel de rendimiento). La pendiente de esta recta tangente está muy relacionada PVBP (Price Value of Basis Point)††. Entonces, para un precio inicial, la recta tangente está muy relacionada con la duración del bono. Entre más vertical sea la recta tangente, mayor será la duración, y entre más horizontal sea la recta tangente, menor será la duración. Por tanto, para un precio inicial, la recta tangente y la duración pueden ser usadas de igual manera para estimar la tasa de cambio en precios. ¿Qué sucede con la duración a medida que el rendimiento cambia?

“Si aumenta (disminuye) el rendimiento, la duración disminuye (aumenta)” Si en la gráfica anterior, se traza una línea vertical que para de cualquier rendimiento (eje horizontal) a la relación convexa entre el precio y el rendimiento, la distancia entre el eje horizontal y la recta tangente, representa la aproximación del precio al emplear la duración, iniciando con un nivel de rendimiento determinado (y*). Esta aproximación siempre estará por debajo del precio real. Por tanto, cuando el rendimiento disminuye, el cambio estimado en precio será menor que el cambio real en precio, por tanto subestimando el precio real. En cambio, cuando el rendimiento aumenta, el cambio estimado en precio será mayor que el cambio real en precio, resultando en una subestimación del precio real. Como se observa en la gráfica anterior, en la realidad, para incrementos en tasas de interés el efecto de pérdida de capital tiende a ser menor que el efecto de ganancia de capital cuando las tasas disminuyen. Esta característica se debe a la relación convexa entre precio y rendimiento. Mientras que la duración, que establece una relación lineal, predice cambios simétricos en precios, para incrementos o disminuciones en tasas de interés. Para pequeños cambios en el rendimiento, la recta tangente y la duración producen buenas estimaciones del precio real. Entre más alejado el rendimiento del nivel inicial (y*) peor será la aproximación. La precisión en la estimación depende de la relación convexa entre el precio y el rendimiento.

†† Es el cambio en el precio de un bono si el rendimiento requerido cambia por un punto base (i.e. 1 p.b. = 0.01%)

21

Es importante notar, que la relación convexa es una característica deseable por el administrador de una institución financiera en un portafolio de activos. Es decir, comprar un bono o portafolio de activos que presenta una convexidad importante en la relación precio-rendimiento, es similar a comprar seguros parciales de tasa de interés. Específicamente, una alta convexidad significa que para cambios grandes iguales de tasas de interés (aumento o disminución), el efecto de ganancia de capital por una disminución en tasas de interés eliminará en exceso el efecto de pérdida de capital por un aumento en tasas de interés. Las características de la convexidad se enuncian a continuación.

a) Convexidad “característica deseable”. Es decir, entre mayor convexidad tenga un título o portafolio de títulos, mayor seguro o protección de tasas tendrá el administrador de una institución financiera contra incrementos en tasas de interés, y un mayor potencial de ganancias después de disminuciones en tasas de interés.

b) Convexidad y duración. Entre más grandes sean los cambios en tasas de interés

y mayor sea la convexidad de un título de renta fija o portafolio, mayor será el error que el administrador de una institución financiera enfrentará al utilizar solamente la duración para inmunizar la exposición a cambios en tasas de interés.

c) Los títulos de renta fija son convexos. Conforme el rendimiento tiende a

infinito, el precio de un bono cae asintóticamente hacia cero, como se observa en la gráfica 2.3.2. El mínimo valor que puede alcanzar el precio de un bono es cero.

Gráfica 2.2.2. Relación convexa entre precio y rendimiento

Rendimiento

Precio

22

Entonces la pregunta que surge es: ¿Cómo medir Convexidad? Teóricamente, la duración es la pendiente de la curva precio rendimiento y la convexidad, o curvatura, es el cambio en la pendiente de esta curva. La duración (DMOD ó DD) intentan estimar la relación convexa entre el precio y el rendimiento a través de una recta tangente. Existe una expresión matemática que provea una mejor estimación al precio del bono si el rendimiento requerido cambia, esto puede alcanzarse, empleando los dos primeros términos de la serie de Taylor para aproximar el cambio en el precio. Es decir, se aproximará la función del precio,

Errordydy

PddydydPdP ++= 2

2

2)(

21 (2.2.13)

El primer término de la ecuación 2.2.13 es la aproximación del cambio en el precio basado en la duración. Si dividimos esta ecuación entre el precio P, se obtiene:

PErrordy

PdyPddy

PdydP

PdP

++= 22

2)(1

211 (2.2.14)

El término de la derecha de la ecuación 2.2.14 es la aproximación del cambio porcentual en el precio basado en la duración modificada. El segundo término de las ecuaciones 2.2.13 y 2.2.14 incluyen la segunda derivada de la función del precio, la cual se emplea como aproximación para medir la relación de convexidad entre el precio y el rendimiento. De hecho la segunda derivada de la ecuación 2.1.5 se conoce como dollar convexity (DC) de un bono, es decir,

2

2

dyPdCD = (2.2.15)

Si se multiplica DC por el cuadrado del cambio en el rendimiento requerido se obtiene la estimación del cambio en precio debido a la convexidad, es decir, la aproximación del cambio en precio debido a la convexidad:

2))(( dyCDdP = (2.2.16)

23

Si la segunda derivada se divide entre el precio P, se obtiene una medida del cambio porcentual en el precio del bono debido a la convexidad, a ésta se le conoce como convexidad (CVX), esto es:

PdyPdCVX 12

2= (2.2.17)

El cambio porcentual en el precio debido a la convexidad es expresado por la fórmula 2.2.18,

21 2CVX(dy)

PdP

= (2.2.18)

Si se calcula la segunda derivada de la ecuación 2.1.5, se obtiene la ecuación 2.2.19.

[ ]

)2()2(432

2

)1()1(322

2

))1(()1())1(()1()6()1()2(

)()1()()1()2()1()1(

+−+−−−

+−+−−−

+++++++++=

−++−+++−++−=

NN

NN

VNNNyCNNyCyCdy

Pd

VNNyCNyCyCdyd

dyPd

L

L

21

22

2

)1())1((

)1())1((

+=

+ ++

+++

=∑ N

N

tt y

VNNNy

Cttdy

Pd (2.2.19)

Como se puede observar en la ecuación 2.2.19, la convexidad está expresada en períodos cuadrados. Para expresar esta medida en términos anuales deberá dividirse entre 4 (si los pagos son semestrales). En general, si los flujos de efectivo ocurren m veces en el año, la convexidad para ser expresada en años se ajustará utilizando la fórmula 2.2.20.

2

añopor periodos men Convexidadm

CVX años = (2.2.20)

La ecuación 2.2.20 establece que el cambio porcentual en el precio del bono puede estimarse a través de la duración y la convexidad. Si se utilizan ambas medidas para aproximar el cambio porcentual, cuando hay un cambio importante en el rendimiento requerido obtendremos un mejor resultado al compararlo con el cambio real en el precio.

IV. Estructura temporal de tasas de interés plana Un supuesto clave en el modelo de duración simple es que la curva de rendimientos o estructura temporal de tasas de interés es plana y que cuando las tasas cambian, la curva de rendimientos se desplaza paralelamente, como se muestra en la siguiente gráfica.

24

Gráfica 2.2.3 Estructura temporal de tasas de interés plana. Movimiento

paralelo de la curva.

En la realidad, la curva de rendimientos puede tener diferentes formas. Si ésta no es plana, y se utiliza la duración simple podría ser una fuente potencial de error al predecir la sensibilidad de activos o pasivos a cambios en tasas de interés‡‡.

Si la curva de rendimientos no fuera plana, pero se desplazara de tal forma que los rendimientos de bonos cupón cero con diferentes vencimientos cambiaran de manera proporcional, es decir:

N

N

yy

yy

yy

yy

+Δ

==+Δ

=+Δ

=+Δ

1111 3

3

2

2

1

1 L (2.2.21)

La fórmula 2.2.21 significa a que los cambios descontados de rendimientos de bonos cupón cero son proporcionales al cambio del rendimiento de un bono a un año. Tomando en cuenta esto, podemos demostrar que la medida de duración apropiada de un bono, puede obtenerse descontando los cupones y el valor nominal del bono a las tasas de descuento apropiadas de bonos cupón cero.

Si comparáramos la duración de Macaulay considerando una estructura temporal de tasas plana (DMac), con la duración de Macaulay a partir de una estructura temporal de tasas normal (D*

Mac), observaríamos que, DMac > D*Mac, pues al descontar los flujos de

efectivo de períodos más lejanos, se emplea una tasa mayor, por lo que el valor presente de éstos será menor que cuando se emplea la misma tasa de descuento.

‡‡ Existen modelos que pueden solucionar este problema. Éstos aplican según la forma de la curva de rendimientos y los choques de las tasas de interés.

Vencimiento

Rendimiento (%)

Curva 1 de Rendimientos

Curva 2 de Rendimientos

25

Si el administrador de una institución financiera decidiera elegir D*Mac en lugar de DMac,

no cambiaría el problema básico, excepto por el hecho del gap entre D*Mac de los

activos y el de los pasivos ponderados por apalancamiento. Sin embargo, debemos tomar en cuenta que D*

Mac fue calculada bajo supuestos muy restrictivos sobre la curva de rendimientos. Si se cambiaran estos supuestos la medida D*

Mac cambiaría también§§. V. Riesgo de No Pago (Default)

Los modelos y medidas de duración que hasta ahora se han tratado suponen que el prestatario paga los intereses y el principal con certidumbre (probabilidad igual a 1), es decir, se supone que no hay retrasos en los pagos y que no existe la posibilidad de no pago. El riesgo de no pago se puede ver como sinónimo de reestructuración de flujos de efectivo a una fecha más tarde, esto es fácil de tratar en los modelos de duración. De manera general, el administrador de una institución financiera que tiene incertidumbre sobre los flujos de efectivo futuros, multiplicará el flujo de efectivo prometido (FEt) por la probabilidad de pago en el período t (pt) con la finalidad de calcular flujos de efectivo esperados en el año t, es decir:

( ) ttt FEpFEE *= Una vez que los flujos de efectivo han sido ajustados por riesgo de no pago, una medida de duración puede ser calculada directamente de manera análoga a DMac. También los flujos de efectivo promediados pueden descontarse a una tasa de títulos libre de riesgo más una prima por riesgo crédito, esto es:

tFt

t

srFE

++1

Donde:

Ftr : Rendimiento de un bono cupón cero de t períodos

ts : Prima por riesgo crédito

VI. Créditos y Bonos a tasa variable

Los modelos de duración que se han mencionado aplican para créditos a tasa fija y para bonos cuya tasa cupón es fija desde la emisión hasta el vencimiento. Sin embargo, muchos bonos y deudas son a tasa flotante. La duración de un instrumento a tasa flotante, es generalmente el intervalo entre la compra del título y el tiempo cuando el siguiente cupón o interés es ajustado para reflejar las condiciones actuales de tasas de interés. A este tiempo se le conoce como el tiempo para revaluar el instrumento.

VII. Instrumentos derivados

§§ Muchos autores han encontrado otras medidas de duración más complejas para formas de curvas de rendimientos más complejas y para movimientos más complejos de éstas. Ver Bierwag, Kaufman and Toevs. “Duration: Its Development”

26

Cuando cambian las tasas de interés, también cambian los valores de los instrumentos derivados. Las ganancias o pérdidas de capital sobre estos instrumentos pueden tener un impacto en el valor neto de la institución financiera (E). Es importante resaltar que en la actualidad las instituciones financieras cada vez toman más posiciones en instrumentos derivados, por lo que es importante considerar tanto las duraciones de portafolios de estos instrumentos, como de sus portafolios de activos y pasivos.

2.3 Inmunización en compañías de seguros

El objetivo de esta sección es presentar la teoría de inmunización de Redington, que es una herramienta clásica para la administración del riesgo de tasa de interés. El problema del modelo de Redington y varias de sus generalizaciones, es que estos modelos no son libres oportunidades de arbitraje. La hipótesis de estos modelos implican la existencia de oportunidades de arbitraje libres de riesgo con una tasa de rendimiento infinita.

Para entender lo que significa el riesgo de tasa de interés en una compañía de seguros, supongamos lo siguiente:

Si se analiza un bloque de seguros de vida de largo plazo o pólizas de anualidades y sus activos asociados. El flujo de efectivo del activo (o flujo de efectivo de inversión) en cualquier período de tiempo en el futuro está definido como el ingreso por inversión y vencimientos de capital (pagos de principal) que se espera ocurran en ese período de tiempo. Mientras que los flujos de efectivo del pasivo (o flujo de efectivo del seguro) en cualquier período de tiempo en el futuro está definido como la suma de las reclamaciones de las pólizas, rescates de pólizas y gastos menos el ingreso por primas proyectado de ocurrir en ese período de tiempo.

El flujo de efectivo neto está definido como la diferencia entre el flujo de efectivo del activo y el flujo de efectivo del pasivo. Un flujo de efectivo neto, significa que el flujo de efectivo del activo excede al del pasivo, generándose efectivo en exceso para reinversión.

En el caso de que las tasas de interés disminuyeran, cuando el flujo de efectivo neto fuera positivo, entonces los flujos de efectivo tendrían que ser reinvertidos a tasas que son menores que las tasa iniciales. Lo cual se conoce como riesgo de reinversión.

Por otro lado, si el flujo de efectivo neto es negativo significa que hay escasez de efectivo para cumplir las obligaciones del pasivo. La escasez de efectivo requiere la liquidación de los activos o pedir prestado. Si las tasas de interés incrementan cuando el flujo de efectivo neto es negativo, entonces pérdidas de capital pueden ocurrir como resultado de liquidación de bonos y otros instrumentos de renta fija, cuyos valores han caído debido al incremento en tasas de interés. Este riesgo se le conoce como riesgo de precios o de des-inversión.

27

Haynes y Kirton escribieron que si los activos de una compañía de seguros tienen de vencimientos mayores a los de sus pasivos, entonces un incremento en tasas de interés será dañino para la compañía, mientras que una disminución de tasas de interés será beneficioso. En general, existen dos aproximaciones para la solución de este problema: matching (equiparación) e inmunización de flujos de efectivo. La equiparación de flujos de efectivo, fue propuesta por Tjalling C. Koopmans, en ésta el problema básico consiste en determinar el portafolio de títulos de renta fija más barato tal que, para todos los períodos en el horizonte de planeación, los flujos de efectivo netos sean no negativos. Es importante resaltar que los métodos de equiparación de flujos de efectivo requieren que los flujos de efectivo sean fijos y ciertos. Por otro lado, Redington estableció que el concepto matching (equiparar) implica que la distribución de activos debe ser, en la medida de lo posible, igual de vulnerable que la de los pasivos, a aquellas influencias que afecten a ambos. En un sentido más específico, “matching” implica que la distribución del término de los activos en relación al término de las obligaciones debe reducir la posibilidad de una pérdida que surja por cambios en tasas de interés.

La palabra matching tiene una connotación muy amplia y general, por lo cual Redington decidió utilizar la palabra inmunización para referirse a que la inversión de activos debe ser de tal manera que el negocio sea inmune a un cambio general en tasas de interés.

Simbólicamente el problema está definido de la siguiente manera:

:tL Flujo de efectivo neto esperado en el año calendario t. Es decir, reclamaciones y

gastos menos primas. Éste puede ser positivo o negativo. Por ejemplo para una compañía en crecimiento tenderá a ser negativo al principio y posteriormente será positivo.

:tA Las ganancias esperadas de los activos de la compañía en el año t. Es decir,

intereses e inversiones vencidas.

En el sentido más amplio, es aparente que si los flujos de salida de los pasivos y las ganancias de los activos son igualmente sensibles a cambios en tasas de interés, entonces deben estrictamente tener el mismo término medio.

:LV Valor presente de los flujos de efectivo de salida del pasivo, con tasa de interés δ (fuerza de interés), tal que:

∑= t

tL LvV (2.3.1)

:AV Valor presente de las ganancias de los activos a la misma tasa de interés, tal que: ∑= t

tA AvV (2.3.2)

28

Supongamos además, que por el momento que AV = LV y cualquier exceso de los activos serán fondos libres a ser invertidos por separado***.

Ahora supongamos que la fuerza de interés cambio de δ a εδ + , y como consecuencia cambian AV y LV a *

AV y *LV . Entonces la posición después del cambio del interés está

dada por el teorema de Taylor de la siguiente forma:

( ) ( ) ( )( )

L+−

+−

+−=− 2

22**

!2 δε

δε

dVVd

dVVdVVVV LALA

LALA (2.3.3)

El primer término de la ecuación 2.3.3 desaparece ya que AV = LV . Además es claro que si no debe haber ganancia ni pérdida a partir del cambio en la fuerza de interés, entonces todas las derivadas sucesivas desaparecerán. En la práctica, la primera derivada es la más importante para pequeños cambios en tasas de interés y se puede

definir un fondo inmunizado si los activos son invertidos tal que ( )δd

VVd LA − =0.

Si la segunda derivada es positiva, entonces, mientras el coeficiente !2

2ε >0, ya sea que

ε >0 o <0, cualquier cambio en la fuerza de interés resultará en una ganancia para el fondo siempre y cuando el cambio no sea tan grande de tal manera que los términos más altos en la expresión 2.3.3 tengan que tomar efecto.

Por analogía con la definición de equilibrio en estadística podríamos decir que un fondo está inmunizado, si la primera derivada es igual a cero y se podría afirmar que la inmunización estable o inestable si la segunda derivada es positiva o negativa, respectivamente. Por tanto una política satisfactoria de inmunización puede ser expresada matemáticamente de la siguiente manera: ( )

δdVVd LA − =0 (2.3.4)

( )( )2

2

δdVVd LA − >0 (2.3.5)

Las expresiones 2.3.4 y 2.3.5 pueden interpretarse verbalmente, si se expresan como sigue:

∑= t

tA AvV

∑−= ttA Atv

ddVδ

(2.3.6)

( ) ∑= ttA Avt

dVd 2

2

2

δ (2.3.7)

*** Sea ∑ ∑−= t

tt

t LvAviS )( el superávit o valor neto, es decir, la diferencia entre los valores del activo y del pasivo.

29

Y de manera similar para LV .

Por tanto la ecuación 2.3.4 puede expresarse de otra forma, empleando la fórmula 2.3.7 y usando la fórmula análoga para pasivos, es decir:

∑∑ = t

tt

t LtvAtv (2.3.8)

La fórmula 2.3.8 se interpreta de la siguiente forma:

El término medio del valor de las ganancias del activo debe ser igual al término medio del valor de los flujos de salida del pasivo.

Y la ecuación 2.3.5 puede expresarse como:

∑ t

t Avt 2 >∑ tt Lvt 2 (2.3.9)

Esta fórmula quiere decir que el diferencial del valor de las ganancias del activo alrededor del término medio debería ser mayor que el diferencial del valor de los flujos de efectivo de salida del pasivo. El modelo de Rendington es un muy buen primer paso hacia la solución de problema de riesgo de tasa de interés que enfrentan las compañías de seguros. Un problema con este modelo es que siempre utiliza una curva de rendimientos plana. Posteriormente, varios autores han propuesto extensiones del modelo de Redington, al asumir que la curva de rendimientos es una función de diversas variables o que el superávit es una función de diversas variables. El objetivo de proponer modelos con más variables o parámetros fue dar mejor representación a problemas reales. Sin embrago, muchos de estos modelos permiten oportunidades de arbitraje y por tanto no son internamente consistentes. En general estos modelos proponen lo siguiente: Sea el superávit o valor neto de un bloque de negocios de seguros o anualidades una función diferenciable de n variables deterministas, como sigue:

( )nxxxS ,,, 21 K Siguiendo el desarrollo de Redington, pero utilizando cálculo multivariado. Estructurando los activos y pasivos, tal que:

( ) njxxxSx n

j

,,3,2,1 0,,, 21 KK ==δδ (2.3.10)

La fórmula 2.3.10 significa que el superávit se mantiene casi igual o es inmunizado para pequeños cambios en las variables independientes x1, x2,…, xn, es decir: ( ) ( )nnn xxxSxxxxxxS ,,,,,, 212211 KK ≈Δ+Δ+Δ+ (2.3.11)

30

Para pequeños valores de nxxx ΔΔΔ ,,, 21 K . Sea st la tasa spot del período t, entonces el superávit es:

( )( )∑>

−+−=0

11t

ttt sLAS (2.3.12)

Y si las tasas spot pueden fluctuar independientemente, es decir si { }ts son variables independientes, entonces la condición de inmunización es:

0=Ssτδδ (2.3.13)

( )( ) )1(1 −−+−−= ττττ

τ

τδδ sLASs

(2.3.14)

Que significa que,

ττ LA = (2.3.15) Milgrom concluyó que “solamente podemos inmunizar contra fluctuaciones independientes de tasas de interés al tener equiparación exacta en los flujos de efectivo de las inversiones en las operaciones de seguros”†††. 3. PROYECCIÓN DE CARTERAS DE PASIVOS CONTINGENTES 3.1 Aspectos Generales Las compañías de seguros por cada póliza que emiten deben reconocer una obligación pasiva (pasivo contingente), que corresponde al valor estimado de las obligaciones futuras que tendrá que enfrentar por concepto de reclamaciones. En este sentido, manejan grandes portafolios de pasivos que tienen que irse calculando y ajustando periódicamente mediante técnicas actuariales de estimación de dichas obligaciones. Las instituciones de seguros que realizan contratos de seguros de vida de largo plazo, quedan comprometidas a cumplir con una serie de obligaciones durante toda la vigencia que dura el seguro. Existen básicamente dos formas de aseguramiento en cuanto al cobro de la prima, una forma es el contrato a prima nivelada donde el periodo de pago de primas es igual al periodo e vigencia del seguro, la otra forma es cuando el periodo de pago de primas es menor al periodo de vigencia del seguro. Para efecto de la modelación de pérdidas por descalce, conviene distinguir las formas de aseguramiento en aquellas en donde habrá cobro de primas futuras, y aquellas en donde no habrá cobro de primas futuras.

††† Posteriormente se tratan modelos que consideran flujos de efectivo sensibles a tasas de interés. Asimismo se habla de duración y convexidad efectiva o estocástica. Para mayor regencia ver XXXXX

31

3.2 Proyección de Pasivos sin Pagos Futuros de Primas Una compañía de seguros que tiene una cartera de pólizas de seguros de largo plazo en las que no habrá pago futuros de primas, tiene que crear un pasivo (pasivo contingente) que se irá ajustando, a medida que transcurra el tiempo, básicamente en función de dos elementos: el valor esperado de las reclamaciones y el interés técnico devengado.‡‡‡ El interés técnico devengado hará crecer el monto de la reserva a una tasa constante i , lo cual se puede observar en la fórmula de recurrencia denominada en el ámbito actuarial “fórmula de Fackler”, en la cual el valor del pasivo de un determinado año, se puede calcular en función del pasivo del año anterior y la tasa de interés.

tx

tx

tx

txxtxt l

dlliVV

+

−+

+

−+− −∗+∗= 111 )1()( (3.2.1)

Mediante esta fórmula es posible calcular el valor de la reserva al final del año póliza, por lo que se le reconoce como “reserva terminal”. El valor de la reserva terminal es el valor estimado de las obligaciones futuras de la compañía aseguradora, por concepto de reclamaciones derivadas de las pólizas que al final del año t se encuentren en vigor. Si en lugar de tratarse de una póliza, se trata de toda una cartera de pólizas, el valor total del pasivo que debe reconocer la aseguradora al final del año t , al cual denominaremos

tL , será la suma de la reserva de cada una de las pólizas que en ese momento t se encuentren en vigor, es decir:

∑=

=t

k

N

kxtt VL

1 (3.2.2)

La estimación del número de pólizas que estarán en vigor al final del año t es un valor contingente que puede calcularse multiplicando el número de pólizas en vigor al inicio del tiempo§§§, por la probabilidad de que dichas pólizas permanezcan en la cartera hasta el momento t . La probabilidad de que una póliza permanezca en vigor en el año t es equivalente a la probabilidad de que el asegurado, al que corresponde dicha póliza, permanezca dentro del grupo de asegurados hasta el final del año t . Los asegurados sólo pueden perder su condición de asegurados durante la vigencia de la póliza, ya sea por que cancelen su póliza o por que se produzca el siniestro y se haga efectiva la reclamación y en razón de esto el contrato quede sin efectos. En ambos casos, las dos causas principales que comúnmente dan origen a la salida de un asegurado es la muerte de éste, o la cancelación de la póliza por voluntad del asegurado. Bajo estos supuestos, la probabilidad de que una póliza llegue en vigor al momento t , puede ser calculada procedimientos actuariales denominados “modelo de decrementos múltiples”, o ‡‡‡ El interés técnico devengado se refiere a los intereses que debe acreditársele a la reserva en función del tiempo transcurrido, de manera que se actualice a la misma tasa con que se descontó el valor de las obligaciones futuras. §§§ No referimos al número de pólizas que están en vigor al momento en que se hace la valuación y que por lo tanto se conocen.

32

“modelos de salidas múltiples”. Dichos modelos reconocen la codependencia que se produce en las probabilidades, por el efecto simultáneo de varias causas de salidas que inciden sobre una misma persona. En nuestro caso se dan concretamente dos causas de salida: muerte y cancelación. Si se cuenta con probabilidades de salidas simples, es decir probabilidades correspondientes a salidas por una sola causa, entonces los “modelos de decrementos múltiples establecen que se pueden calcular las probabilidades de salidas por dos decrementos simultáneos como:

)211( )2()1()1( qqq −∗=′ (3.2.3)

)211( )1()2()2( qqq −∗=′ (3.2.4)

Donde

)1(q′ : representa la probabilidad de salida por la causa 1. :)1(q representa la probabilidad de ocurrencia de la causa 1.

)2(q : representa la probabilidad de ocurrencia de la causa 2. De esta manera, la probabilidad de salida de una póliza por cualquiera de ambas causas estará dada como:

)2()1()( qqq ′+′=′ τ (3.2.5) Por lo que si al momento en que se hace la valuación, se conoce el número de pólizas que están en vigor, el monto del pasivo total de la compañía al final del año t , puede ser estimado multiplicando el valor de la reserva terminal al momento t de cada una de las pólizas, por la probabilidad de que se encuentren en vigor a ese momento, es decir:

)Pr(0

1

tVLN

kxtt ∗= ∑

= (3.2.6)

Donde :)Pr(t representa la probabilidad de que la póliza se encuentre en vigor el finalizar el año t . Esta probabilidad puede ser calculada como:

)()Pr( τxt pt = (3.2.7)

)(1

)(1

)()( ττττ−++ ∗∗∗= txxxxt pppp L (3.2.8)

)()( 1 ττjxjx qp ++ −= (3.2.9)

De esta manera se podrá estimar el valor que tendrá el pasivo a cada año t , durante todo el tiempo que duren en vigor las pólizas. Este método resultará efectivo en la medida en que exista homogeneidad en las sumas aseguradas del portafolio de pólizas en vigor, entendiéndose por homogeneidad el que las sumas aseguradas sean parecidas entre unas pólizas y otras.

33

Para ilustrar este caso a continuación desarrollaremos un ejemplo de una cartera de planes que tiene las siguientes características: 1. La cartera se supondrá que está formada por dos clases de pólizas cuyo plazo,

antigüedad (años que llevan vigentes) y sumas aseguradas se señalan en el siguiente cuadro:

Número de Pólizas

Edad del

Asegurado Plazo de Vigencia

Tasa de interés técnico

Suma Asegurada de

cada póliza

Tipo de seguro (cobertura)

2000 40 30 5% 100,000 Muerte 1000 40 30 5% 100,000 Dotal

Tabla 3.2.1.

Con esas hipótesis de partida se puede calcular el monto de reserva terminal, que debe tener cada una de las pólizas en cada uno de los años de vigencia siguientes, siempre y cuando dicha póliza se encuentre dentro de la cartera de la compañía.

t Reserva

Seguro de Muerte

Reserva Seguro Dotal

Total

0 11,791 28,273 40,065 1 12,103 29,464 41,566 2 12,409 30,701 43,110 3 12,709 31,986 44,695 4 13,000 33,322 46,322 5 13,281 34,710 47,991 6 13,549 36,152 49,701 7 13,801 37,652 51,453 8 14,034 39,212 53,245 9 14,244 40,833 55,078

10 14,429 42,521 56,950 11 14,584 44,277 58,861 12 14,703 46,106 60,809 13 14,783 48,011 62,794 14 14,817 49,997 64,814 15 14,798 52,070 66,868 16 14,719 54,234 68,954 17 14,573 56,497 71,070 18 14,349 58,864 73,213 19 14,038 61,345 75,383 20 13,628 63,948 77,575 21 13,105 66,683 79,788 22 12,454 69,564 82,018 23 11,659 72,602 84,261 24 10,700 75,815 86,515 25 9,555 79,219 88,775 26 8,199 82,837 91,036 27 6,602 86,693 93,295 28 4,730 90,816 95,546 29 2,545 95,238 97,783 30 0 100,000 100,000

Tabla 3.2.2. Valores de la Reserva Terminal

34

El comportamiento gráfico de la reserva de cada uno de los planes es el siguiente:

Seguro de Muerte

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

año

Res

erva

Gráfica 3.2.1. Valores de la Reserva Terminal de un Seguro Temporal

Seguro Dotal

0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

año

Res

erva

Gráfica 3.2.2. Valores de la Reserva Terminal de un Seguro Dotal

Como puede verse, en tanto que un pasivo decrece, el otro crece en función de la obligación que tendrá la compañía al final del plazo del seguro. El pasivo total visto como la suma de los dos pasivos anteriores tendrá el siguiente comportamiento:

Total

0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

año

Res

erva

Gráfica 3.2.3. Pasivo Proveniente de Seguros Temporales y Dotales

35

Los valores mostrados corresponden al monto de reserva que habría que constituir en el futuro para cada una de las pólizas en vigor, sin embargo con seguridad muchas de las pólizas se irán cancelando y por lo tanto la compañía cancelará el pasivo correspondiente a éstas, teniendo como consecuencia que el pasivo a constituir en el futuro sea un valor estimado que queda en función del número de pólizas en vigor. Para poder estimar el monto del pasivo que la compañía tendrá en el futuro, es necesario que se apliquen las probabilidades de persistencia de las pólizas. Para efectos ilustrativos, tomaremos las siguientes probabilidades de persistencia de la póliza, calculadas mediante los procedimientos actuariales explicados anteriormente:

t

Prob. de Persistencia

Total Seguro de Muerte

Prob. de Persistencia Total Seguro

Dotal 0 1.000000 1.000000 1 0.797467 0.897151 2 0.715273 0.849387 3 0.641382 0.803954 4 0.574961 0.760737 5 0.515262 0.719623 6 0.461609 0.680507 7 0.413397 0.643289 8 0.370079 0.607876 9 0.331164 0.574176

10 0.296211 0.542105 11 0.264820 0.511581 12 0.236635 0.482530 13 0.211333 0.454877 14 0.188625 0.428554 15 0.168249 0.403497 16 0.149971 0.379643 17 0.133579 0.356935 18 0.118885 0.335318 19 0.105716 0.314740 20 0.093919 0.295152 21 0.083355 0.276509 22 0.073901 0.258765 23 0.065444 0.241882 24 0.057882 0.225821 25 0.051127 0.210545 26 0.045095 0.196021 27 0.039713 0.182218 28 0.034916 0.169107 29 0.030643 0.156659 30 0 0

Tabla 3.2.3. Probabilidades de Persistencia

36

Con estos supuestos, el valor proyectado del pasivo de cada uno de los planes sería:

Número de Pólizas en Vigor Seguro de

Muerte

Número de Pólizas en Vigor Seguro

Dotal

Pasivo total del seguro de muerte

Pasivo total del seguro dotal

2,000 1,000 11,791,360 28,273,410

1,595 897 10,857,895 26,433,433

1,431 849 10,540,119 26,076,717

1,283 804 10,217,468 25,715,225

1,150 761 9,889,935 25,348,948

1,031 720 9,557,485 24,977,850

923 681 9,220,141 24,601,955

827 643 8,877,858 24,221,218

740 608 8,530,729 23,835,730

662 574 8,178,793 23,445,532

592 542 7,822,121 23,050,692

530 512 7,460,760 22,651,261

473 483 7,094,860 22,247,384

423 455 6,724,473 21,839,116

377 429 6,349,769 21,426,625

336 403 5,970,942 21,010,106

300 380 5,588,140 20,589,706

267 357 5,201,607 20,165,669

238 335 4,811,570 19,738,222

211 315 4,418,329 19,307,665

188 295 4,022,197 18,874,309

167 277 3,623,515 18,438,496

148 259 3,222,690 18,000,634

131 242 2,820,130 17,561,129

116 226 2,416,351 17,120,497

102 211 2,011,842 16,679,229

90 196 1,607,177 16,237,895

79 182 1,202,972 15,797,113

70 169 799,895 15,357,551

61 157 398,660 14,919,922

Tabla 3.2.4. Valores del pasivo de los seguros de muerte y dotal.

37

El comportamiento gráfico del pasivo que tendrá la compañía en cada plan es el siguiente:

Seguro de Muerte

0

2000000

4000000

6000000

8000000

10000000

12000000

14000000

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

año

Res

erva

Gráfica 3.2.4. Comportamiento del pasivo del seguro de muerte

Seguro de Dotal

0

5000000

10000000

15000000

20000000

25000000

30000000

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

año

Res

erva

Gráfica 3.2.5. Comportamiento del pasivo del seguro dotal

Cartera Total

0

5000000

10000000

15000000

20000000

25000000

30000000

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

año

Res

erva

Gráfica 3.2.6. Comportamiento del pasivo total

38

De esta manera, la compañía puede estimar el monto del pasivo que tendrá que tener en el futuro. Es importante señalar que el monto del pasivo que debe tener la compañía en el futuro puede llegar a ser superior al pasivo inicial, esto puede ocurrir cuando haya bajas tasas de cancelación de planes. Por ejemplo, el mismo caso anterior, desarrollado con menores tasas de caducidad, arrojaría los siguientes resultados:

T

Prob. de Persistencia

Total Seguro de Muerte

Prob. de Persistencia Total Seguro

Dotal 0 1.000000 1.000000 1 0.797467 0.897151 2 0.786800 0.885150 3 0.776072 0.873081 4 0.765273 0.860933 5 0.754395 0.848694 6 0.743427 0.836355 7 0.732358 0.823903 8 0.721179 0.811327 9 0.709880 0.798615

10 0.698449 0.785756 11 0.686876 0.772735 12 0.675148 0.759542 13 0.663255 0.746162 14 0.651184 0.732582 15 0.638925 0.718791 16 0.626465 0.704773 17 0.613794 0.690518 18 0.600899 0.676012 19 0.587771 0.661243 20 0.574400 0.646199 21 0.560774 0.630871 22 0.546886 0.615247 23 0.532729 0.599320 24 0.518296 0.583083 25 0.503583 0.566530 26 0.488586 0.549659 27 0.473305 0.532468 28 0.457743 0.514961 29 0.441904 0.497142 30 0 0

Tabla 3.2.5. Probabilidades de Persistencia

39

Número de Pólizas en Vigor Seguro de

Muerte

Número de Pólizas en Vigor Seguro de

Muerte

Pasivo total del seguro dotal

Pasivo total del seguro dotal

2,000 1,000 11,791,360 28,273,410 1,595 897 10,857,895 26,433,433 1,574 885 10,983,913 27,174,684 1,552 873 11,096,001 27,926,307 1,531 861 11,192,529 28,687,632 1,509 849 11,271,714 29,457,874 1,487 836 11,331,712 30,236,225 1,465 824 11,370,452 31,021,694 1,442 811 11,385,897 31,813,363 1,420 799 11,375,800 32,610,151 1,397 786 11,337,801 33,410,908 1,374 773 11,269,353 34,214,348 1,350 760 11,167,894 35,019,217 1,327 746 11,030,554 35,824,003 1,302 733 10,854,469 36,627,260 1,278 719 10,636,655 37,427,471 1,253 705 10,373,878 38,222,931 1,228 691 10,062,895 39,011,986 1,202 676 9,700,270 39,792,850 1,176 661 9,282,537 40,563,774 1,149 646 8,806,099 41,322,945 1,122 631 8,267,264 42,068,525 1,094 615 7,662,349 42,798,760 1,065 599 6,987,536 43,511,836 1,037 583 6,239,165 44,206,175 1,007 567 5,413,424 44,880,130 977 550 4,506,646 45,532,287 947 532 3,515,254 46,161,407 915 515 2,435,824 46,766,501 884 497 1,265,108 47,346,846

Tabla 3.2.6. Pasivo Total de un Seguro Dotal y de un Seguro de Muerte

40

El comportamiento gráfico del pasivo sería el siguiente:

Seguro de Muerte

0

2000000

4000000

6000000

8000000

10000000

12000000

14000000

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

año

Res

erva

Gráfica 3.2.7. Comportamiento del Pasivo Total de un Seguro de Muerte

Seguro Dotal

0

5000000

10000000

15000000

20000000

25000000

30000000

35000000

40000000

45000000

50000000

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

año

Res

erva

Gráfica 3.2.8. Comportamiento del Pasivo Total de un Seguro Dotal

Cartera Total

0

10000000

20000000

30000000

40000000

50000000

60000000

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

año

Res

erva

Gráfica 3.2.9. Comportamiento del Pasivo de la Cartera Total

41

Es evidente que el supuesto de caducidad tiene un impacto importante en el comportamiento del pasivo total de la compañía. Un aspecto que resulta relevante es que el comportamiento del pasivo total es diferente al comportamiento del seguro de muerte por lo que como se verá más adelante, resulta conveniente analizar el comportamiento del pasivo a nivel global ya que a nivel individualizado obligaría a cambiar la estrategia de inversión de activos. Dada la enorme sensibilidad que presenta el valor futuro del pasivo de una compañía de seguro, a las tasas de cancelación de planes, es necesario que la compañía maneje este supuesto de manera estratégica, dando preferencia a los escenarios donde se requieren mayores niveles de liquidez, es decir en donde el pasivo tiene mayor volatilidad debido a la cancelación de planes. Es conveniente entonces suponer tasas de cancelación “elevadas” ya que esto hará que se prevean flujos de salida de recursos de la compañía que deben estar disponibles, de lo contrario, se estaría expuesto al problema de falta de liquidez para enfrentar los pagos debido a cancelaciones. 3.3. Proyección de Pasivos con Pagos Futuros de Primas En la sección anterior se expuso el caso de planes de seguros en donde no existe pago futuro de primas, sin embargo muchas carteras de seguros cuentan con planes con forma de pago anual. El pago de primas anuales no modifica la forma en que se proyectan los pasivos, sin embargo, las primas futuras que cobre una compañía constituyen flujos futuros de ingresos que habrán de ser considerados en los modelos de proyección de pasivos. La forma de proyectar el pasivo es la misma que se explicó en la sección anterior, lo que cambia básicamente es la forma en que se comporta el pasivo en el tiempo, de los seguros a prima nivelada. Por ejemplo en el caso presentado en la sección anterior, supongamos que el periodo de pago de primas es igual al periodo de vigencia del seguro, es decir 30 años. Bajo este supuesto el monto del pasivo será el siguiente:

Seguro de Muerte

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

año

Res

erva

Prima Única Prima Nivelada

Gráfica 3.3.1. Comportamiento del Pasivo del Seguro de Muerte

42

Lo que cambia esencialmente es el valor futuro que tendrá el pasivo, sin embargo sus características básicas siguen siendo las mismas. En el caso del seguro dotal ocurre esencialmente lo mismo, el pasivo inicia en un valor inicial más pequeño de manera que su curva de pasivo queda por abajo de la del plan a prima única.

Seguro Dotal

0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

año

Res

erva

Prima Única Prima Nivelada

Gráfica 3.3.2.

3.4. Proyección de Pasivos de Carteras no Homogéneas Cuando la cartera de una compañía de seguros no es homogénea, en cuanto al monto de las sumas aseguradas de cada una de las pólizas en riesgo, el valor futuro del pasivo (y consecuentemente los flujos de pago futuros), no dependerá solamente de el número de pólizas que se encuentren en vigor en el momento t , sino también de la suma asegurada de dichas pólizas, o en forma equivalente dependerá no sólo de las pólizas que salgan de la colectividad asegurada por cancelación o muerte del asegurado, sino del monto de suma asegurada correspondiente a dichas pólizas. La proyección del pasivo de una cartera no homogénea representa una dificultad técnica natural, ya que depende de cuáles sean las pólizas que vayan saliendo de dicha cartera, y es posible estimar el número aproximado de pólizas que saldrán, pero no es posible saber cuáles serán las que saldrán. Ello origina la necesidad de utilizar procesos estocásticos que permitan simular la salida de pólizas del portafolio y la forma en que el pasivo varía en función de la salida de dichas pólizas. Si todas las pólizas tuviesen el mismo monto de suma asegurada, entonces no importaría qué póliza fueran las que salieran, sin embargo, en la realidad no es así, ya que cada póliza tiene su propio monto de suma asegurada que comúnmente presenta diferencias contra las demás pólizas. Este aspecto obliga a tener que realizar un proceso estocástico que nos permita simular las salidas de pólizas y adoptar con esto el escenario que para efectos de calce, sea el que dé mejores condiciones de liquidez y disponibilidad de recursos. Imaginemos por ejemplo que una compañía tiene n pólizas

43

),,,( 321 npppp K y que de estas se estima que saldrán k . El número de escenario ne que se producen por la necesidad de elegir la salida de k pólizas de entre n puede ser estimado mediante técnicas de combinatoria y es:

!)!(!

kknn

kn

ne∗−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= (3.4.1)

Una cartera pequeña con 1000 pólizas en la cual se estime que habrán de salir 100 de ellas, el número de escenarios y por lo tanto, el número de valores posibles que tendrá el pasivo será de:

!100)!900(!1000

∗=ne (3.4.2)

Este número es tan grande que ni siquiera puede ser calculado por la computadora y sin embargo, es un caso común de una cartera pequeña de seguros, lo cual refleja la enorme cantidad de cálculo que habrían de realizarse pasa simular el comportamiento de una cartera de pasivos contingentes de seguros. La probabilidad asociada a cualquier escenario es la misma, ya que la salida de las pólizas no depende de las características de ésta ya que la siniestralidad, en lo que se refiere a la muerte de las personas, no muestra predilección, sino que puede afectar a cualquiera. Si acaso existe mayor probabilidad de salir para aquellas pólizas correspondientes a personas de edades más avanzadas. El valor esperado del pasivo determinado mediante procesos estocásticos se calcularía como:

)()( ,1

, ti

ne

itit LfLLE ∑

=

= (3.4.3)

Donde es el valor del pasivo

iL : es el valor del pasivo en el escenario i )( iLf : es la probabilidad de ocurrencia del escenario i

La función de probabilidad de los escenarios es una función discreta donde:

neLf i

1)( = (3.4.4)

El valor proyectado del pasivo correspondiente a cada año, durante todo el periodo de vigencia de la cartera de pólizas que lo conforma, será toda una serie de valores obtenidos mediante procesos estocásticos que podría verse en la forma que se muestra en el siguiente gráfico:

{ })()(),( 21 TLELELEL K=

44

Valores Estocásticos del Pasivo

0

20,000

40,000

60,000

80,000

100,000

120,000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 T

Año

Mon

to

Gráfica 3.4.1. Valores Estocásticos del Pasivo

De esta manera se puede estimar el pasivo de una cartera de pólizas con sumas aseguradas no homogéneas, en la cual el valor del pasivo depende de las pólizas que salgan de la cartera. Este método resulta naturalmente más difícil de aplicar para la proyección de pasivos. 4. ESTIMACIÓN DE PÉRDIDAS POR DESCALCE 4.1 Generalidades Acerca de la Pérdida Esperada por Descalce Como se comentó en el capítulo anterior, los pasivos de seguros corresponden al valor estimado de las obligaciones futuras, y dichas obligaciones son estimaciones a valor presente, de tal forma que la tasa de descuento que se utiliza para calcular a valor presente dichas obligaciones futuras juega un papel relevante en la estimación del monto de las reservas. Se puede decir que existe una relación inversa entre la tasa de descuento utilizada y el monto estimado de las obligaciones futuras, es decir, a mayor tasa de descuento menor monto de obligaciones futuras y viceversa. Cuando un pasivo se calcula a valor presente con una determinada tasa de descuento, los recursos que respaldan dicho pasivo deben ser invertidos a una tasa de rendimiento igual a superior a la tasa de descuento supuesta, de lo contrario se produce una pérdida. En las técnicas actuariales de estimación de primas y reservas de seguros de largo plazo, se utiliza siempre una tasa hipotética de interés i , la cual normalmente se supone con un valor constante en el plazo de duración del seguro. Este supuesto implica el riesgo de que la tasa de rendimiento obtenida por la inversión de los activos que respaldan el pasivo, sea inferior a la tasa supuesta, generándose una pérdida para la compañía de seguros. Ante escenarios económicos de disminución de tasas de rendimiento y de aumento de la competencia, las compañías de seguros ofrecen al mercado tarifas que son muy atractivas muchas veces a costa de suponer tasas de rendimiento que son difíciles de alcanzar al momento de la inversión de los recursos, exponiéndose con ello al riesgo de pérdidas futuras.

45

Si al momento en que una institución realiza una operación de seguros, pudiera conseguir hacer una inversión a una tasa de rendimiento igual o superior a la tasa de descuento supuesta para calcular la prima y por un plazo al menos igual al plazo del seguro, entonces no habría riesgo de pérdidas financiera, sin embargo, en caso de darse situaciones en que el plazo de inversión de los activos sea menor al de los pasivos, se genera el riesgo de que al momento de la reinversión se obtenga una tasa de rendimiento inferior a la supuesta y con ello se genere una pérdida. Tal pérdida es conocida comúnmente como “Perdida por Descalce”. Lo más común es que se tenga una utilidad ya que las tasas de descuento utilizadas en el cálculo de primas y reservas de seguros tienen un valor tan conservador que casi siempre son inferiores a las tasas de rendimiento que se pueden obtener en el mercado al momento de la inversión o reinversión de los activos que respaldan el pasivo, sin embargo, los plazos de contratos de seguros de largo plazo pueden llegar a ser de tantos años que la transformación de los escenarios macroeconómicos han llegado a demostrar que lo que en una determinada época parece poco posible se convierte a la vuelta de los años en realidad. El mercado japonés entre otros del mundo, enfrentan hoy en día crisis económicas de sus mercados de seguros debido a que las tasas de rendimiento en esos países han llegado a caer con el tiempo a niveles tan bajos que le ha resultado imposible a los inversionistas de las instituciones de seguros conseguir inversiones a tasas tan modestas como es el 3.5% nominal, ya que dichos mercados han presentado situaciones en las que las tasas han llegado en extremo a ser negativas, generando con ello una debacle de pérdidas para el sector asegurador y obligando a gobiernos como el japonés a intervenir para buscar soluciones a la problemática y evitar la quiebra del sector asegurador. Situaciones como estas han encendido las alarmas para otros países que están tratando de tomar medidas para evitar que las instituciones del sector caigan en una crisis de este tipo y una de las medidas ha sido la instrumentación de procesos de inmunización a través de calce entre activos y pasivos, imponiendo requerimientos de capital cuando dicha inmunización no se da en una forma adecuada. México no ha sido la excepción, muchas instituciones de seguros emitieron una gran cantidad de planes en los años 80 cuando las tasas de rendimiento eran muy elevadas (hasta del 50%) sin embargo, las medidas prudenciales de los organismos reguladores no permitió que la tasa de descuento utilizada para el cálculo de primas y reservas fuera superior al 8% nominal. Dicha medida prudencial parecía en su momento lo suficientemente conservadora para evitar situaciones de riesgo para el sector asegurador, sin embargo en 2003 y 2004 se llegaron a enfrentar situaciones críticas para el sector asegurador ya que las tasas de rendimiento llegaron estar por abajo del 8% poniendo en riesgo a varias instituciones del sector que no tenían la inmunización natural que da el invertir a tasas de rendimiento fijas y a plazos congruentes con los plazos de sus contratos de seguro. Ante tal situación, los reguladores se vieron en la necesidad de pedir a las instituciones del sector asegurador que hicieran una revalorización de sus pasivos utilizando una tasa de rendimiento del 5.5% nominal y que absorbieran el aumento que ello implicaba en el momento de los pasivos. Dicha medida entró en vigor en junio de 2004, permitiéndosele a las instituciones que pudieran ir absorbiendo el aumento generado en los pasivos por el cambio de tasas, en un periodo de 5 años. Asimismo, se implementó un mecanismo de requerimientos de capital por descalce entre activos y pasivos de seguros de largo plazo que entrará en vigor en el año 2006. Con esto, el gobierno mexicano ha dado los primeros pasos hacia

46

la instrumentación de mecanismos de prevención al riesgo que representa la falta de inmunización de pasivos contingentes de seguros de largo plazo. Los plazos de los contratos de seguros pueden llegar a ser hasta de 70 años o más, como es el caso de pensiones vitalicias, sin embargo, el plazo de los instrumentos de inversión que ofrecen las instituciones financieras difícilmente puede llegar a ser igual al plazo del seguro, generándose con ello una situación natural de riesgo. Otro aspecto que genera una situación de riesgo en operaciones de seguros es que existen los contratos de largo plazo en los que el asegurado realiza el pago de las primas de su seguro en un determinado plazo, originando con ello que la compañía tenga que hacer inversiones futuras en las cuales no tienen total certidumbre de poder obtener una tasa de rendimiento igual o superior a la supuesta en su cálculo de primas y reservas. Aunque normalmente, los actuarios que construyen las primas de seguros, utilizan supuestos de tasas de rendimiento que son muy conservadores y que están muy por debajo de las tasas de rendimiento que ofrecen los instrumentos de inversión, este margen se ha ido reduciendo por la competencia y por la caída de las tasas de rendimiento de los instrumentos de inversión. Esta situación hace relevante que las compañías de seguros cuenten con modelos actuariales que le permitan determinar la pérdida probable asociada a la inversión de activos que respaldan los pasivos. Este problema se presenta más frecuentemente en los pasivos correspondiente a los seguros de vida de largo plazo, también conocidos en el argot actuarial como “Reservas Matemáticas”. La pérdida que puede originarse por una situación de descalce entre activos y pasivos no es más que un valor esperado que depende de la probabilidad asociada a los escenarios futuros de tasas de rendimiento. Por ello resulta importante que el administrador de riesgo, el comité de inversión, así como los administradores y accionistas de la compañía de seguros, conozcan el valor de la perdida esperada, asociada a cada uno de los escenarios supuestos y con ellos tengan una idea clara al momento de tomar la decisión de enfrentar el riesgo. Esto resulta de gran utilidad al momento de realizar el “pricing”**** de los planes de seguros que pretende comercializar una compañía, sobretodo considerando que el costo de un seguro presenta una gran sensibilidad a la tasa de interés técnico supuesta. Por otra parte, el valor de la pérdida asociada a situaciones de descalce, está siendo utilizada, por los organismos reguladores de las operaciones de seguros para establecer requerimientos de capital dentro del esquema de margen de solvencia. Sin embargo, los esquemas de requerimiento de solvencia por descalce implementado por los reguladores están caracterizados por la aplicación de hipótesis conservadoras y prudenciales, que suponen escenarios adversos de tasas de rendimiento al momento de la reinversión de activos, los cuales tienen una probabilidad muy pequeña de cumplirse. Como ejemplo tenemos el criterio que se utiliza en los seguros de pensiones de la seguridad social, el cual establece que la tasa real de reinversión debe suponerse como 0%, lo cual es una hipótesis muy conservadora.

**** Se le llama “pricing” al proceso de fijar los “precios” o tarifas de los planes de seguros.

47

En este trabajo no se pretende adoptar hipótesis fijas de tasa de rendimiento, sino estimar la pérdida asociada a cada uno de los escenarios supuestos, y brindar las probabilidades asociadas a dichos escenarios, así como los márgenes de variabilidad, proporcionando con ello elementos sólidos de decisión que serán útiles para fijar las tarifa de seguros, para decidir sobre inversión, para analizar requerimientos de capital, o para realizar valuaciones actuariales del precio justo “fair value” de una compañía de seguros en casos de venta o cotización en bolsa. Los valores obtenidos del modelo que a continuación se desarrollan, son expectativas de pérdidas a los cuales llamaremos “VARC ”, lo cual representará la utilidad o pérdida esperada por calce de activos y pasivos de seguros. A continuación se presenta el desarrollo de un modelo matemático actuarial para la estimación de la pérdida o utilidad asociada a portafolios de pasivos contingentes de seguros respaldados por portafolios de activos. El modelo que se presenta, ha sido diseñado tomando elementos de la práctica de los seguros en México. 4.2 Estimación de Flujos Estocásticos del Pasivo Para explicar el sentido de los flujos estocásticos del pasivo, iniciaremos con un ejemplo. Suponga que tiene un pasivo proveniente de una cartera de pólizas de seguros de un monto de $10,000,000 y que dicho pasivo debe estar respaldado por un portafolio de activos del mismo monto. Suponga además que se sabe mediante estimaciones actuariales que el pasivo disminuirá en el primer año en una cantidad estimada en 1,000,000, y en el segundo año disminuirán en 5,000,000, finalmente en el tercer año disminuirán a cero. Si entendemos que las cantidades de 1,000,000 y 5,000,000 mencionadas representan una estimación de las obligaciones contingentes que tendrá que pagar la compañía, por reclamaciones, entonces los activos que respaldan el pasivo deben quedar invertidos de manera que al final del primer año se tengan disponibles tales cantidades, de lo contrario se enfrentaría un problema de liquidez para el pago de reclamaciones. En tal sentido los activos que respaldan dicho pasivo deben quedar invertidos a plazos de tal manera que haya un vencimiento de los mismo por un millón al final del primer año y por 5,000,000, al final del segundo año, en tanto que el resto pude quedar invertido hasta el final del tercer año. En el caso ejemplificado, la forma de calzar el pasivo contingente es mediante la inversión de activos que calculados a valor presente, a una tasa de rendimiento equivalente a la del pasivo, nos dé al final del primer año un millón de pesos, cinco millones al final del segundo y los otros cuatro millones, al final del tercero. Como puede apreciarse la forma de determinar el plazo de inversión del activo, queda en función de los flujos de disminución del pasivo, o flujos de pagos de reclamaciones futuras. Es por ello que nos concentraremos en exponer la forma que podrán determinarse los flujos de disminución del pasivo de una cartera de pólizas de seguro. Encontrar los flujos no es una tarea fácil considerando que el pasivo de una compañía de seguros está compuesto por el comportamiento estocástico de cada una de las pólizas que componen la cartera de planes de seguro que origina dicho pasivo.

48

La cuestión fundamental a resolver es que, si se tiene en un primer momento un portafolio de pasivos, el cual está respaldado por un portafolio de activos del mismo monto, debe existir una congruencia entre los plazos de vencimiento de los activos, y el plazo de vencimiento de los pasivos, de manera que, por una parte se tenga disponibilidad (liquidez) de los recursos al momento en que los pasivos se hagan exigibles, y por otra, debe haber congruencia entre la tasa de interés de los pasivos y la tasa de interés de los activos de manera que no se genere una pérdida por insuficiencia de rendimientos. Encontrar la congruencia en tasa es sencillo, debido a que basta con compara los valores de las tasas de rendimiento de activos respecto de las tasas de descuento utilizadas en los pasivos, sin embargo, encontrar la congruencia en los plazos, representa un aspecto más difícil de resolver. La solución implica encontrar los plazos de vencimiento de los pasivos, lo cual como se comentó no es una tarea sencilla. Es importante señalar que debido a que los pasivos de seguros son variables en el tiempo, no es posible utilizar el plazo de vencimiento de los contratos de seguro, lo cuales son conocidos, como plazos de vencimiento de los pasivos. Los teoremas de convexidad de Redington son aplicables en la medida en que se conozcan los plazos de vencimiento de pasivos y activos, en tanto que otros parámetros como son las medidas de maduración e inmunización, también implican haber identificado plazos específicos de vencimiento de pasivos. En el presente capítulo se propone un procedimiento actuarial para la estimación de los flujos estocásticos de una cartera de pasivos, dejando con ello resuelta la mayor parte del problema de calce de flujos estocásticos de seguro, debido a que una vez que se cuenta con los flujos, realizar el proceso de estimación de pérdidas o utilidades pro calce, resulta relativamente fácil. Si se cuenta con el valor estimado que tendrá el pasivo de una determinada cartera de pólizas durante cada uno de los años del periodo que durará la cartera hasta que se extinga, entonces, se pueden calcular los flujos de disminución del pasivo. Por todo lo anterior, nos proponemos encontrar una solución práctica al problema de determinar los flujos de disminución del pasivo. En esencia el método que se propone consiste en ver el pasivo 0L como la suma del valor presente de una serie de flujos positivos )(tf que vencerán en el futuro. Es decir:

∑=

∗=k

t

t tfvL1

0 )( (4.2.1)

Por lo anterior nos concentraremos en plantear un procedimiento actuarial para identificar en qué momento existen disminuciones en el valor futuro del pasivo, entendiendo que tales disminuciones determinan el plazo de los instrumentos con que debe respaldarse dicho pasivo.

49

Es posible demostrar actuarialmente, que el incremento de un pasivo contingente de seguros sólo es posible cuando los ingresos futuros son superiores a los egresos, lo que se traduce a decir que esto sólo es posible cuando la prima y los rendimientos esperados del pasivo son superiores al valor esperado de las obligaciones (siniestralidad) por concepto de pagos esperados y cancelaciones de planes. Aún tratándose de cartera de planes de ahorro como son los seguros dotales, el flujo de egresos por cancelaciones y pagos puede ser superior a los ingresos por primas niveladas y rendimientos esperados, por lo que sólo en pocos casos el valor del pasivo asociado a un portafolio de pólizas de seguros es permanentemente creciente, lo más común es que el valor del pasivo proyectado tenga un comportamiento decreciente, como se muestra en la gráfica 6.1.1.

Seguro de Muerte

0

2000000

4000000

6000000

8000000

10000000

12000000

14000000

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

año

Res

erva

Gráfica 4.2.1.

Los valores proyectados del pasivo, son estimaciones que como se explicó en el capítulo 3, nos dan el valor de los recursos que se deben mantener a cada año para enfrentar las obligaciones futuras, es decir, nos dan el valor remanente de las obligaciones que se esperan a futuro. La proyección del pasivo toma en cuenta el valor estimado de las obligaciones que se van “devengado”, es decir las obligaciones que se van venciendo y que se deben ir pagando teóricamente a cada año, y que por lo tanto deben descontarse del valor del pasivo del año inmediato anterior, con independencia de si tales obligaciones se hayan dado en la realidad. Cualquiera que sea la forma de proyección del pasivo, lo cual fue explicado en el capítulo 3, conociendo los valores proyectados, se puede determinar el monto de los flujos que la institución debe mantener invertidos en cada uno de los años de vigencia de la cartera. Si se cuenta con el valor estimado que tendrá el pasivo tL en cada momento t durante todo el periodo de vida de la cartera de pólizas, entonces dichos valores pueden ser puestos a valor presente con la finalidad de que los flujos que se determinen con dichos valores estén a valor presente. De esta manera tendremos una serie de valor que se puede decir que es el valor actual de los montos proyectados del pasivo, lo cual denotaremos como:

{ }TT LvLvLvLvL L

r,,, 2

21

10

0= (4.2.2)

50

Se identificará el plazo en que se producirá el primer flujo positivo como aquel en que el valor presente del monto proyectado del pasivo resulte inferior al pasivo inicial 0L . Es decir:

01 1

1 que tal LLvt tt ≤ (4.2.3)

En este caso el flujo se definirá como:

11

1 0 tt

t LvLFL −= (4.2.4) Se entenderá que entonces habrá un portafolio de activos que deben quedar invertidos a un plazo 1t y cuyo monto a valor actual debe ser

1tFL .

Para encontrar el segundo flujo, será necesario compara el remanente del pasivo descontado del primer flujo, con los valores proyectados hasta que se cumpla la condición de que el valor presente del monto proyecto del pasivo resulte inferior al pasivo inicial 10 FLL − . En tal caso el plazo al cual se debe invertir el flujo 2 será:

102 2

2 que tal FLLLvt tt −≤ (4.2.5)

2

22 10 t

tt LvFLLFL −−= (4.2.6)

De esta manera se encontrará en general el flujo k como aquel que cumpla que

∑−

=

−≤1

10

k

iit

tk FLLLv que talt

k

k (4.2.7)

kk

k tt

k

iit LvFLLFL −−= ∑

−

=

1

10 (4.2.8)

De esta manera el pasivo actual quedará fraccionado en una serie de partes, equivalentes una serie de flujos futuros que vencerán en el futuro:

∑=

=n

iti

FLL1

0 (4.2.9)

51

Ejemplo: Se tiene un pasivo de 100,000 el cual se ha proyectado en el futuro generando la serie de valores que se muestran a continuación.

Año Pasivo 0 100,000 1 95,000 2 55,000 3 41,000 4 35,000 5 30,000 6 12,000 7 10,000 8 5,000 9 0

Tabla 4.2.1.

Valores del Pasivo

0

20,000

40,000

60,000

80,000

100,000

120,000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Año

Mon

to

Gráfica 4.2.2.

52

Con esos valores, suponiendo que ya están calculados a valor presente a una tasa del 5%, los flujos nos dan los siguientes valores:

Flujo ( iFL ) Plazo ( it )

0 5,000 1 40,000 2 14,000 3 6,000 4 5,000 5 18,000 6 2,000 7 5,000 8 5,000 9

Tabla 4.2.2.

0 10,000 20,000 30,000 40,000 50,000

123456789

Pla

zo a

inve

rtir

Monto del Flujos

Gráfica 4.2.3.

Como puede observarse, la mayor parte del pasivo actual debe quedar invertido a un plazo de 2 años (40,000) y a un plazo de 6 años (18,000). El proceso de identificación de flujos de pasivos, se debe realizar en forma diferenciada para cada pasivo que tenga tasa de interés distinta, ya que de esta manera será posible realizar el proceso de calce mediante los activos que tengan una tasa congruente a la del pasivo.

53

4.3 El proceso de Calce o “Matching” de Pasivos Una vez que se haya realizado el proceso de identificación de los plazos y flujos del pasivo, es necesario realizar el proceso de calce. Este proceso consiste en asignar a cada uno de los flujos, una serie de inversiones que tengan plazo igual al plazo de vencimiento del flujo y una tasa igual o superior a la tasa garantizada por el pasivo. En una cartera de pasivos de seguros, lo más común es que haya pasivos con diferentes tasas por lo cual se generará una gama de tasas y plazos que deberán calzarse. Si consideramos además también que los activos tiene una gama de opciones de tasas y plazos, entonces se produce toda una gama de formas posibles de calzar los pasivos. La cuestión es ¿Cuál es la mejor de todas las opciones? Esta pregunta no es fácil de responder, ya que cada una de las opciones tiene una implicación en cuanto a las posibles pérdidas que se pueden generar, considerando que difícilmente se podrán calzar en forma exacta los pasivos en los mismos plazos a los que deben calzarse. Para ilustrar esto, suponga que tiene dos pasivos uno de un monto de 20,000 que vencerá en cuatro años con una tasa de 5% (P1) y otro de 20,000 que vencerá en ocho años con una tasa de 4% (P2). Para calzar estos pasivos, se cuenta con dos activos uno por 20,000 que vencerá en dos años con una tasa del 8% (A1), otro por 20,000 que vencerá en cinco años con una tasa del 4.5% (A2). De esto podemos formar dos combinaciones la primera es P1con A1 y P2 con A2, la segunda P1 con A2 y P2 con A1. No obstante la simpleza del problema, no es claro cual de las dos es la mejor combinación. La combinación de A1 con P1, produce un periodo de descalce por dos años, que obliga a hacer una reinversión en la cual se enfrenta una pérdida probable, en tanto que P2 con A2 también produce un periodo de descalce de tres años. La segunda combinación en P1 con A2, produce una pérdida por tasa de interés insuficiente y un problema de liquidez, en tanto que P2 con A1, produce un descalce por 6 años. Ante tal situación, el inversionista necesita tener un criterio que le permita tomar decisión sobre la forma en que administrará su portafolio de activos. Algunas teorías desarrolladas en la actualidad como es el concepto de convexidad, e inmunización, pueden ser auxiliares, sin embargo, resulta más eficiente contar con un valor preciso con base en el cual podamos evaluar cual sería el valor esperado de la utilidad o la pérdida asociada a un determinado portafolio de instrumentos de inversión utilizado para respaldar un portafolio de activos contingentes. En la siguiente sección se proporciona una técnica que permite valorar de manera objetiva un proceso de matchig de pasivos contingentes de seguros, permitiendo que el inversionista pueda apoyarse en tales valoraciones tomar decisiones estratégicas en la administración de sus activos y pasivos.

54

4.4. La Evaluación de la Utilidad o Pérdida por Calce “VARC” Al realizarse un proceso de calce, existe un resultado que es una utilidad o pérdida implícita en dicha operación, denominaremos dicho resultado como “Valor en Riesgo por Calce” VARC , debido a su similitud analítica con el concepto de “Valor en Riesgo”. Una vez que se ha identificado la forma en que vencerá o se devengará el pasivo actual en el tiempo, y se conocen los plazos de duración de cada una de las partes de dicho pasivo, entonces la institución queda obligada a buscar los activos apropiados para calzar el pasivo. Dado que no necesariamente la compañía podrá tener los activos que sean congruentes exactamente con la duración y tasa de rendimiento del pasivo, entonces a cada porción del pasivo se respaldará con una serie de activos, con diversa duración y tasa. En el proceso de calce, los activos que respaldan el pasivo que vencerá en el plazo kt equivalente al monto

ktFL , puede consistir en un conjunto de instrumentos a diversos

plazos y a diversas tasas. El monto total del activo con que se respaldará la parte del pasivo

ktFL lo denotaremos

ktA . Dicho activo estará formado por kN instrumentos de

inversión con tasa de rendimiento nr y plazo de vencimiento nt ,nn trA , , de manera que:

k

k

nnk t

N

ntrt FLAA ==∑

=1, (4.4.1)

Para calcular el VARC asociado al portafolio de activos, es necesario calcular la utilidad o pérdida por calce nkC , de cada uno de los instrumentos del portafolio, de manera que:

∑=

=k

k

N

nnkt CVARC

1, (4.4.2)

Si el plazo del activo es igual o superior al plazo del pasivo que respalda, entonces la utilidad o pérdida que se producirá, al vencimiento del pasivo, será la diferencia entre el valor proyectado del activo y el valor proyectado del pasivo:

[ ]kk

nn

ttntrnk irAC )1()1(,, +−+∗= (4.4.3)

Si el plazo del activo, es menor al del pasivo, entonces se produce una situación de contingencia, debido a que no se tiene certeza del valor de la tasa de rendimiento que tendrá el activo durante el periodo posterior a su vencimiento ya que el recurso deberá reinvertirse. En tal caso, una parte se puede se puede calcular conforme a la tasa de rendimiento durante el plazo cierto, y la otra parte sólo se podrá calcular como una esperanza:

55

[ ] [ ] dxxfixAirAC nknk

nn

nn

nn

tttttr

tttrnk )()1()1()1()1(

0,,, ∗+−+++−+= ∫

∞−− (4.4.4)

Donde x es la variable aleatoria asociada a la tasa de reinversión en el periodo de descalce, en tanto que )(xf es la función de probabilidad de dicha variable aleatoria. Lo más seguro es que no se cuente con la función de probabilidad )(xf , por lo que la fórmula indicada no será fácilmente aplicable. Ante tal situación, una forma muy simple de evaluar sería establecer una hipótesis fija sobre la tasa de rendimiento 0r que se piensa obtener en el periodo de descalce, y calcular con ello el valor de la utilidad o pérdida:

[ ] [ ]nknk

nn

nn

nn

tttttr

tttrnk irAirAC −− +−+++−+= )1()1()1()1( 0,,, (4.4.5)

Otra forma de hacer esta estimación, sería eligiendo un valor estocástico de la tasa de rendimiento anual, sobre todo el periodo de descalce. Dicho valor estocástico podría restringirse a un determinado intervalo [ βα , ] de valores dentro del cual habrá de seleccionarse el valor estocástico de la tasa de rendimiento. Este intervalo se podrá definir con base en las expectativas macroeconómicas de las tasas de rendimiento del mercado, estableciendo como extremos del intervalo, el valor mínimo y máximo en que se espera que estén las tasas de rendimiento. Una vez establecido el intervalo, el proceso estocástico consistirá en seleccionar un valor para la tasa de cada uno de los años del periodo de reinversión del activo y calcular a partir de estas tasas el valor en riesgo asociado a ese escenario. El escenario j de tasas, seleccionado mediante proceso estocástico lo denotaremos como:

{ }knn tttj rrrr K

r21, ++= (4.4.6)

Donde los valores de r quedan definido para cada año t de manera que:

[ ]⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤<∀∈

≤≤∀=

knj

nn

t

tjtr

tjrr

βα ,

1

(4.4.7)

Cada escenario de tasas seleccionadas de manera estocástica, nos permitirá calcular el valor en riesgo para dicho escenario:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−+= ∏

=

nk

nn

tt

tttr

jnk irAC )1()1(

1,, (4.4.8)

56

Generando una cantidad suficientemente grande de escenarios, es posible determinar una distribución de los valores del valor en riesgo del instrumento n, j

nkC , y a partir de dicha distribución, calcular el valor esperado de de dicho valor en riesgo:

nknknknk

jnknk

dcCfCCE

CEC

,,,,

,,

)()(

)(

∫∞

∞−

∗=

=

(4.4.9)

Ejemplo 4.4.1: Supondremos un flujo de pasivo de $1,000 que vencerá en 20 años, con una tasa de interés del 5.5%, y un periodo de descalce de 10 años. Se supondrá una función de distribución uniforme sobre el intervalo [0.03, 0.10] para simular el valor estocástico de la tasa de interés. Los valores estocásticos del valor en riesgo j

nkC , en cada uno de los 300 escenarios son:

Valor en Riesgo Simulado

-400

-200

0

200

400

600

800

1000

1200

0 50 100 150 200 250 300

Valo

r en

Rie

sgo

Gráfica 4.4.1.

En el gráfico se puede observar que pocos casos generan pérdidas, de hecho sólo se generaron 31 casos en trescientos escenarios, lo cual nos da una frecuencia de 10.3%. El valor medio de las pérdidas fue de $64.12 en tanto que el valor máximo observado fue de $216.8. Lo anterior significa que el inversionista se enfrenta a una pérdida esperada de aproximadamente el 6.4% del activo inicial, con un máximo de 21.6% y con una probabilidad del 0.103.

57

Las trayectorias estocásticas del activo simulado se ven de la siguiente manera:

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Gráfica 4.4.2.

Las trayectorias están acotadas por las dos trayectorias que se muestran a continuación, en color rojo.

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Gráfica 4.4.3.

Con los valores obtenidos de la simulación se pudo definir la siguiente distribución del

jnkC , :

Valor en Riesgo por Calce

0.000

0.020

0.040

0.060

0.080

0.100

0.120

0.140

-74

-36 3 41 80 118

157

195

234

272

311

Monto de VARC

Frec

uenc

ia

Gráfica 4.4.4.

58

Con base en esta distribución, se establece lo siguiente:

Media 101.26 Varianza 5,869.39 Desviación 76.61

Tabla 4.4.1.

Percentiles Monto 80% 156.90 85% 176.16 90% 195.43 95% 233.97

Tabla 4.4.2. La simulación del valor de nkC , se puede efectuar también mediante una función Lognormal, ajustada con la estadística de tasas más recientes. Si tomamos el mismo ejemplo dado y efectuamos la simulación con una función lognormal con parámetros m=0.055, s2=0.01, s=1, tenemos el siguiente resultado:

Valor en Riesgo Simulado

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

0 50 100 150 200 250 300

Valo

r en

Rie

sgo

Gráfica 4.4.5.

En este caso se observa que hay más escenarios con valores negativos, es decir con pérdida. El número de escenarios con pérdida es de 156 que representa el 52% de los casos, el monto promedio de las pérdidas es de 71.4, lo que significa que el inversionista enfrenta una pérdida aproximada del 7.1% con una probabilidad del 52%. La nube de trayectorias se ve como se muestra en la siguiente figura, donde se puede observar que se encuentran más cercanas a la trayectoria del pasivo.

59

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Gráfica 4.4.6.

Por otra parte la función de distribución resultante es la siguiente:

Valor en Riesgo por Calce

0.0000.0200.0400.0600.0800.1000.1200.1400.160

-109 -8

9

-69

-49

-29 -8 12 32 52 72 92

Monto de VARC

Frec

uenc

ia

Gráfica 4.4.7.

Los parámetros de esta función de distribución son:

Media - 1.08 Varianza 898.04 Desviación 29.97 Percentiles:

80% 21.84 85% 21.84 90% 31.92 95% 42.00

Tabla 4.4.3.

60

La diferencia de los resultados aplicando la función Lognormal y la Uniforme, son naturales, debido a que los supuestos son distintos, ya que en la lognormal, se supuso que las tasas tiene un valor esperado de 5.5% en tanto que en la Uniforme el haber establecido un rango de tasa entre 3% y 10%, implica que hay mayor oportunidad de tener tasas por encima de 5.5% lo cual implica tener más escenarios de utilidades que de pérdidas. De manera análoga se podrían aplicar otro tipo de funciones para realizar el proceso estocástico, sin que exista una mejor que todas, ya que cada una puede tener una aplicación que funcionará mejor en función de las características de la situación de comportamiento de tasas. Una vez realizada la simulación de los valores de nkC , para cada uno de los activos destinados a cubrir el pasivo que vence en el año kt , el efecto total estará dado por la suma:

∑=

=k

k

N

nnkt CVARC

1, (4.4.10)

El valor en riesgo total del calce del pasivo 0L es la suma del kVARC proveniente de cada uno de los flujos que constituyen dicho pasivo, sin embargo, como dichos valores se encuentran en diferentes momentos del tiempo, es necesario evaluarlos a todos en el mismo momento por lo que el Valor en Riesgo Total τ

kVARC queda como:

∑= +

=n

kt

tk

k

k

iVARC

VARC1 0 )1(

τ (4.4.11)

Donde 0i es la tasa para poner a valor presente el monto del valor en riesgo asociado a cada uno de los flujos del pasivo. De esta manera queda dado el procedimiento de estimación de utilidades o pérdidas por descalce entre activos y pasivos que le brindará al administrador de activos y pasivos una herramienta de decisiones.

61

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