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Estimación de intervalos de dispersión aleatoria y confianza
Aseguramiento de la calidad analítica
Muestra y población
Valor verdadero y medición
Precisión, (dispersión aleatoria)
Valor esperado
Desviación sistemática, bias
Valor “Correcto”
17.05.2012 EQL Consulting, Leipzig 2
Valor de med. Valor de mediciónMedia
Valor verdadero
Muestra y población
Población
La totalidad de los elementos posibles de interés.
La muestra será analizada y se extraerán conclusiones respecto a la población.
Parte de la población
Muestra Población
17.05.2012 EQL Consulting, Leipzig 3
Por ejemplo:• Lote• Producción anual• Extensiones de suelo contaminado• Cuerpos de agua
La selección de una muestra debe ser:
• aleatoria• representativa • independiente• repetible muchas veces
Muestra y población
Descripción
Parámetros Valores característicos
La descripción se realiza mediante:
Muestra
Media: µ
Por ejemplo:
Población
x
17.05.2012 EQL Consulting, Leipzig 4
Los parámetros de la población se aproxima mediante los valores conocidos de la muestra.
Media: µ
Desviación estándar: σ
Frecuencia π
x
p̂
s
En relación a la población, a los valores característicos siempre se les atribuye una incertidumbre.
Valores estimados
Muestra y población
Población, muestra MuestraPoblación
17.05.2012 EQL Consulting, Leipzig 5
¡ Lo que el cliente desea conocer! ¡Lo que conoce el analista!
Población Muestra
Muestra y población
Población, muestraConclusiones
Parámetros de la población Conclusión directa
¿En qué rango de valores (intervalo de dispersión) es de esperarse que se encuentran los valores caracteristicos de una muestra de una población determinada?
Inte
rval
o de
dis
pers
ión
alea
tore
a de
los
val
ores
cara
ctrí
st.
conf
ianz
a de
los α/2α/2α/2α/2
1 -
αα αα
α/2α/2α/2α/2
α/2α/2α/2α/2s,x, ⇒σσσσµµµµ
17.05.2012 EQL Consulting, Leipzig 6
Valores caracterís-ticos de la muestra Conclusión indirecta
¿En qué rango de valores (Intervalo de confianza) es de esperarse que estén los parámetros de la población a la que pertenece una muestra determinada?
Inte
rval
o de
dis
pers
ión
alea
tore
a de
los
val
ores
Inde
rval
o de
co
nfia
nza
de lo
s pa
rám
etro
s
1 - α : Nivel de confianza α: Probabilidad de error
α/2α/2α/2α/2
α/2α/2α/2α/2
1 -
αα αα
α/2α/2α/2α/2
s,x, ⇐⇐⇐⇐σσσσµµµµ
Muestra y población
Intervalo de dispersión aleatoria Generalidades
Conclusión respecto a la muestra, partiendo de la población, son conocidos los parámetros de la población (µµµµ, σσσσ)
Fundamentos Distribución normal estándar
En ella la distribución de los valores es conocida.
-1,9
600
1,96
00
0,10
0,20
0,30
0,40
g(u)
1 - α α α α = 95%
αααα / αααα
17.05.2012 EQL Consulting, Leipzig 7
0,00
0,10
-4,00 -3,00 -2,00 -1,00 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00u
αααα /2 αααα /2
Probabilidad de error α: Probabilidad de que los valores conocidos de la muestra puedan ubicarse fuera del IDA
nivel de confianza P = 1 - α: Probabilidad de que los valores conocidos de una muestra caigan en el IDA
El intervalo en donde los valores de medición serán encontrados „habitualmente“ se conoce como intervalo de dispersión aleatoria (IDA). IDA
Muestra y población
IDACálculo del IDA para parámetros característicos de posició n
IDA de dos colas IDA de una cola
(((( )))) σσσσµµµµ αααα−−−−−−−−≥≥≥≥ 1uxσσσσµµµµ αααα
−−−−±±±±====
21
uxValor individual (((( )))) σσσσµµµµ αααα−−−−++++≤≤≤≤ 1ux
(((( )))) nux 1
σσσσµµµµ αααα−−−−−−−−≥≥≥≥n
ux2
1
σσσσµµµµ αααα
−−−−±±±±====Media (((( )))) n
ux 1
σσσσµµµµ αααα−−−−++++≤≤≤≤
17.05.2012 EQL Consulting, Leipzig 8
Los valores conocidos inferior y superior establecen los valores límites del IDA.
El valor cn en la mediana depende del número de valores de medición tabulados.
(((( )))) n1 cn
ux ⋅⋅⋅⋅−−−−≥≥≥≥ −−−−σσσσµµµµ ααααn
21
cn
ux~ ⋅⋅⋅⋅±±±±====
−−−−
σσσσµµµµ ααααMediana (((( )))) n1 cn
ux ⋅⋅⋅⋅++++≤≤≤≤ −−−−σσσσµµµµ αααα
Ejemplo: para el valor individual se lee:
σσσσµµµµσσσσµµµµ αααααααα
−−−−
−−−−++++≤≤≤≤≤≤≤≤−−−−
21
21
uxu
Muestra y población
IDAAplicación
El IDA se aplica, por ejemplo, cuando se realiza:
• cumplimiento con valores límites permisibles o valores nominales,pruebas de valores de garantía o
• elaboración de diagramas de control de calidad para control de procesos
Los valores más comunes para la probabilidad de error α son:
17.05.2012 EQL Consulting, Leipzig 9
Los valores más comunes para la probabilidad de error α son:
1 1 1 1 −−−− αααα90,0% 0,1 -1,2816 0,9 1,2816 0,05 -1,6449 0,95 1,644995,0% 0,05 -1,6449 0,95 1,6449 0,025 -1,9600 0,975 1,960099,0% 0,01 -2,3263 0,99 2,3263 0,005 -2,5758 0,995 2,575899,9% 0,001 -3,0902 0,999 3,0902 0,0005 -3,2905 0,9995 3,2905
u(1 (1 (1 (1 −−−− α/2)α/2)α/2)α/2)
IDA 1 cola IDA 2 colas
u(1 (1 (1 (1 −−−− α)α)α)α)αααα//// 2222 u(α/2)(α/2)(α/2)(α/2) 1 1 1 1 −−−− αααα//// 2222
Nivel de confianza
αααα u(α)(α)(α)(α) 1 1 1 1 −−−− αααα
Muestra y población
IDA Probabilidad y precisión
u
10% de probabilidad
u
99% de probabilidad
17.05.2012 EQL Consulting, Leipzig 10
Diferencia entre la probabilidad
de una afirmación y su precisión
u
90% de probabilidad
Muestra y población
IDA Distribución χχχχ2
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0 10 20 30 40 50 60
χχχχ 2
g(2 )
f = 4 f = 10 f = 30
Para definir el IDA de la desviación estándar se utiliza la distribución χ2.
Funciones de densidad de distribuciones χ2
17.05.2012 EQL Consulting, Leipzig 11
2
22f
sfσσσσ
χχχχ ⋅⋅⋅⋅====
Cuando la varianza s2 de una muestra procede de una población con la varianza σ2, entonces la variable χ2 sigue una distribución χ2 con el parámetro f = n - 1.
La distribución χ2 es asimétrica y con una f creciente se aproxima paulatinamente a la distribución normal.
Los valores bajo la curva (G(χ2)) se tabulan en función de las grados de libertad f.
Muestra y población
IDACálculo del IDA de la desviación estándar.
IDA de dos colas:
σσσσχχχχ
σσσσχχχχ αααααααα
⋅⋅⋅⋅≤≤≤≤≤≤≤≤⋅⋅⋅⋅
−−−−
fs
f
2
21;f
2
2;f
IDA de una cola:
1nf −−−−====
17.05.2012 EQL Consulting, Leipzig 12
(((( )))) σσσσχχχχ αααα ⋅⋅⋅⋅≤≤≤≤ −−−−
fs
21;f(((( )))) σσσσ
χχχχ αααα ⋅⋅⋅⋅≥≥≥≥f
s2
;f
IDA de una cola:
superiorinferior
Muestra y población
IDA Resumen de fórmulas
(((( )))) σσσσµµµµ αααα−−−−−−−−≥≥≥≥ 1uxσσσσµµµµ αααα
−−−−±±±±====
21
uxValor individual(((( )))) σσσσµµµµ αααα−−−−++++≤≤≤≤ 1ux
uxσσσσµµµµ −−−−≥≥≥≥
nux
21
σσσσµµµµ αααα
−−−−±±±±====Media (((( )))) n
ux 1
σσσσµµµµ αααα−−−−++++≤≤≤≤
dos colas una colaValor característico
17.05.2012 EQL Consulting, Leipzig 13
(((( )))) nux 1
σσσσµµµµ αααα−−−−−−−−≥≥≥≥
(((( )))) n1 cn
ux ⋅⋅⋅⋅−−−−≥≥≥≥ −−−−σσσσµµµµ αααα
n2
1c
nux~ ⋅⋅⋅⋅±±±±====
−−−−
σσσσµµµµ ααααMediana
(((( )))) n1 cn
ux ⋅⋅⋅⋅++++≤≤≤≤ −−−−σσσσµµµµ αααα
σσσσχχχχ
σσσσχχχχ αααααααα
⋅⋅⋅⋅≤≤≤≤≤≤≤≤⋅⋅⋅⋅
−−−−
fs
f
2
21;f
2
2;f
(((( )))) σσσσχχχχ αααα ⋅⋅⋅⋅≤≤≤≤ −−−−
fs
21;f
(((( )))) σσσσχχχχ αααα ⋅⋅⋅⋅≥≥≥≥
fs
2;fDesviación estándar
Muestra y población
Intervalo de dispersión aleatoria Ejemplo El dispositivo de envasado del dosificador automático de una
sustancia, indica que la cantidad dosificada está distribuida normalmente, con µ = 10,0 g ± 2%.
Un cliente prueba 12 envases y encuentra en promedio 9,87 g con
s = 0,27 g. ¿Están correctos los envases?
Qué deberá probarse? 1. La posición, esto es, la media
2. La dispersión, esto es, la desviación estándar
17.05.2012 EQL Consulting, Leipzig 14
σ = 0,2 g
n = 12
Valores inicales
µ = 10,0 g σ = ? VK = 2%Valores nominales:
%100VK ⋅⋅⋅⋅µµµµσσσσ====
100VK⋅⋅⋅⋅µµµµ====σσσσ 2,0
100210
100VK ====⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅µµµµ====σσσσ
Valores medidos:
g87,9x ====
s = 0,27 g Realizar los cálculos !
Pregunta: en qué intervalo se puede esperar a los resultados muestrales?
Muestra y población
IDAEjemplo
nivel de confianza 95 % 99%
α = 0,01 α/2 = 0,005 995,0201,0
1 ====−−−−α = 0,05 α/2 = 0,025 975,0205,0
1 ====−−−−
nux
21
un/ob
σσσσµµµµ αααα
−−−−±±±±====
1. Prueba de la media
17.05.2012 EQL Consulting, Leipzig 15
0577,096,110122,0
u10x205,0
1un/ob ⋅⋅⋅⋅±±±±====±±±±====
−−−−0577,05758,210
122,0
u10x201,0
1un/ob ⋅⋅⋅⋅±±±±====±±±±====
−−−−
11,010x un/ob ±±±±==== 15,010x un/ob ±±±±====g11,10xg89,9 ≤≤≤≤≤≤≤≤ g15,10xg85,9 ≤≤≤≤≤≤≤≤
El IDA no contiene a la media calculada.
El IDA sí contiene a la media calculada.
Probablemente la dosificación es menor. La dosificación es correcta
96,1u2
1====
αααα−−−−
Muestra y población
IDAEjemplo
σσσσχχχχ
σσσσχχχχ αααααααα
⋅⋅⋅⋅≤≤≤≤≤≤≤≤⋅⋅⋅⋅
−−−−
fs
f
2
21;f
2
2;f
1nf −−−−====
11112f ====−−−−====
2. Prueba de la desviación estándar
Valor de medición: 9,87 g ± 0,27 g, n = 12
Valor nominal: µ = 10,0 g ± 0,2 g
nivel de confianza: 95% 99%
17.05.2012 EQL Consulting, Leipzig 16
2,0119201,21
s2,0118158,3 ⋅⋅⋅⋅≤≤≤≤≤≤≤≤⋅⋅⋅⋅ 2,0
117569,26
s2,0116032,2 ⋅⋅⋅⋅≤≤≤≤≤≤≤≤⋅⋅⋅⋅
g28,0sg12,0 ≤≤≤≤≤≤≤≤ g31,0sg10,0 ≤≤≤≤≤≤≤≤
(((( )))) (((( )))) 2,011
s2,011
2975,0;11
2025,0;11 ⋅⋅⋅⋅≤≤≤≤≤≤≤≤⋅⋅⋅⋅
χχχχχχχχ (((( )))) (((( )))) 2,011
s2,011
2995,0;11
2005,0;11 ⋅⋅⋅⋅≤≤≤≤≤≤≤≤⋅⋅⋅⋅
χχχχχχχχ
En ambos niveles de confianza la desviación estándar calculada cae dentro del IDA. No hay desviaciones.
Muestra y población
Conclusión indirectaIntervalo de Confianza (IC)
Los intervalos de confianza de los parámetros están estrechamente relacionados con los IDA de los valores característicos y pueden ser derivados de ellos.
A cada valor característico de una muestra corresponde un indicador sobre la exactitud del cálculo. Este indicador se obtiene mediante el IC .
dos situaciones
17.05.2012 EQL Consulting, Leipzig 17
IC - Cálculo mediante la distribución normal con σ
IC - Cálculo mediante la „distribución t“
dos situacionesµµµµ⇒x
σ conocida. σ desconocida.
Muestra y población
IC IC de la media
1. σ es conocida
Para el IDA de la media:
µµµµ
nu
1
σσσσµµµµ αααα ⋅⋅⋅⋅−−−−
−−−− n
u1
σσσσµµµµ αααα ⋅⋅⋅⋅++++
−−−−
En ésta área cae con la probabilidad (1 - α)
x
nux
σµ α
−
±=1
infsup/
17.05.2012 EQL Consulting, Leipzig 18
nux
nu
21
21
σσσσµµµµσσσσµµµµ αααααααα
−−−−
−−−−++++≤≤≤≤≤≤≤≤−−−−
nu
21
αααα
−−−− nu
21
αααα
−−−−
xCuando cae en éste intervalo (lo que ocurre con la probabilidad (1 - α) ), entonces la distancia de µ µ µ µ respecto a es máxima para
nu
21
σσσσαααα ⋅⋅⋅⋅
−−−−
x
x µµµµ
nu
21
σσσσαααα ⋅⋅⋅⋅
−−−−
nα
−2
1
Es decir, cae dentro de estos límitesx
Muestra y población
ICIC de la media
Por tanto, para un IC del valor medio µµµµ puede enunciarse:
1. σ es conocida.
nux
21
σσσσ±±±±====µµµµ
αααα−−−−
17.05.2012 EQL Consulting, Leipzig 19
(((( )))) µµµµ≤≤≤≤σσσσ−−−− αααα−−−− nux 1 (((( )))) n
ux 1
σσσσ++++≤≤≤≤µµµµ αααα−−−−
IC de una cola:
inferior superior
Muestra y población
ICIC de la media
2. σ es desconocida
El procedimiento es el mismo que el para IC con σ conocida.
La distribución de la desviación entre s und σ es considerada a través de la
17.05.2012 EQL Consulting, Leipzig 20
La distribución de la desviación entre s und σ es considerada a través de la „distribución t“.
ns
xt
µµµµ−−−−====Def.:
Muestra y población
IC Distribución t Distribución t
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
g(t
); g
(u)
Es continua, simétrica, con forma de campana y tiene
La distribución t es muy semejante a la distribución normal N(0;1).
17.05.2012 EQL Consulting, Leipzig 21
0.00
-8.0 -6.0 -4.0 -2.0 0.0 2.0 4.0 6.0 8.0t; uf = 1 f = 2 f = 5 f = 10 N(0,1)
forma de campana y tiene un área de variación de -∞s +∞.
La forma de la distribución t es independiente de µ und σ y se determina solamente a través de los grados de libertad (gl)
1nf −−−−====
Cuanto menores son los gl, son mayores las desviaciones respecto a N(0;1). Para gl mayores, la distribución t se convierte en la distribución normal N(0;1).
Muestra y población
Valores característicose
Grados de libertad (gl)
El número de grados de libertad (gl) de una cantidad aleatoria se define mediante el número de observaciones „libres“ disponibles, de los datos muestrales n menos la cantidad a de parámetros muestrales calculados (estimado).
anf −−−−====
17.05.2012 EQL Consulting, Leipzig 22
Para n valores de medición cuya suma es conocida, se eligen libremente n - 1.
Dada la suma de 3 cantidades, se puede disponer libremente de2 cantidades; la tercera se comprometió en la suma..
Ejemplo:
(((( ))))
1n
xx
v
2i
ni
1i
−−−−
−−−−
====∑
====
==== n - 1 es el grado de libertad de la varianza
Muestra y población
IC Distribución t
La distribución t tiene, junto con una menor altura, una extensión claramente mayor respecto a la distribución normal.
Distribución t
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
-8.0 -6.0 -4.0 -2.0 0.0 2.0 4.0 6.0 8.0t; u
g(t
); g
(u)
f = 1 f = 2 f = 5 f = 10 N(0,1)
17.05.2012 EQL Consulting, Leipzig 23
Para gl ≈ 150 los valores de la distribución t se aproximan a la distribución normal.
DN N(0;1) f = 2 f = 5 f = 150
95,0% ± 1,960 ± 4,303 ± 2,570 ± 1,97699,0% ± 2,576 ± 9,925 ± 4,032 ± 2,60999,9% ± 3,291 ± 31,599 ± 6,869 ± 3,357
Distribución t límites 2 colas
Los valores para el área bajo la campana están tabulados.
Muestra y población
IC IC de la media
2. σ es desconocida.
Con ayuda de los valores t puede determinarse los ICs.
Para un IC de dos colas , la media µ:
stx αααα±±±±====µµµµ
17.05.2012 EQL Consulting, Leipzig 24
(((( )))) µµµµαααα ≤≤≤≤−−−− −−−− ns
tx 1;f (((( )))) ns
tx 1;f ααααµµµµ −−−−++++≤≤≤≤
Para un IC de una cola:
inferior superior
ntx
21;f
αααα−−−−±±±±====µµµµ
Muestra y población
ICIC de la desviación estándar
El IC de dos colas es igual a:
2
2;f
2
21;f
fs
fs
−−−−
⋅⋅⋅⋅≤≤≤≤≤≤≤≤⋅⋅⋅⋅αααααααα χχχχ
σσσσχχχχ
17.05.2012 EQL Consulting, Leipzig 25
Para un IC con límite superior (una cola):
Para un IC con límite inferior (una cola):
(((( ))))2
;f
fs0
ααααχχχχσσσσ ⋅⋅⋅⋅≤≤≤≤<<<<
(((( ))))σσσσ
χχχχ αααα
≤≤≤≤⋅⋅⋅⋅−−−−
21;f
fs
�
Muestra y población
ICIC de la desviación estándar
fs
f
2
21;f
2
2;f
−−−−
⋅⋅⋅⋅≤≤≤≤≤≤≤≤⋅⋅⋅⋅αααααααα χχχχ
σσσσχχχχ
σσσσ
Para el IC de la desviación estándar se tiene :
Por tanto, se obtienen las siguientes ecuaciones:
17.05.2012 EQL Consulting, Leipzig 26
2
2;f
fs
⋅⋅⋅⋅≤≤≤≤ααααχχχχ
σσσσ 2
21;f
fs
−−−−
⋅⋅⋅⋅≥≥≥≥ααααχχχχ
σσσσ
Con esto se definen los valores límite del intervalo que contiene a σ con la probabilidad definida. Esto es el IC de la desviación estándar σ.
sf
2
2;f
≤≤≤≤⋅⋅⋅⋅
ααααχχχχσσσσ
2
2;f
f
ααααχχχχ⋅ y análogamente
límite superior límite inferior
Muestra y población
IC Resumen de las fórmulas
(((( )))) nux 1
σσσσµµµµ αααα−−−−−−−−≥≥≥≥
(((( )))) nux 1
σσσσµµµµ αααα−−−−++++≤≤≤≤n
uxn
ux2
12
1
σσσσµµµµσσσσαααααααα
−−−−
−−−−++++≤≤≤≤≤≤≤≤−−−−
dos colas una cola
Media
σ conocida
17.05.2012 EQL Consulting, Leipzig 27
2
2;f
2
21;f
fs
fs
−−−−
⋅⋅⋅⋅≤≤≤≤≤≤≤≤⋅⋅⋅⋅αααααααα χχχχ
σσσσχχχχ
(((( ))))2
;f
fs0
ααααχχχχσσσσ ⋅⋅⋅⋅≤≤≤≤<<<<
(((( ))))σσσσ
χχχχ αααα
≤≤≤≤⋅⋅⋅⋅−−−−
21;f
fsDesviación estándar
σ desconocidans
txns
tx2
1;f2
1;f
−−−−
−−−−++++≤≤≤≤≤≤≤≤−−−− αααααααα µµµµ
(((( )))) ns
tx 1;f ααααµµµµ −−−−−−−−≥≥≥≥
(((( )))) ns
tx 1;f ααααµµµµ −−−−++++≤≤≤≤
Muestra y población
IC Ejemplos La concentración de una solución debe ser de 1,50% con σ de 0,01%.
La solución es medida 5 veces, con 1,48%; 1,47%; 1,50%; 1,48% y 1,49%. Se cumple con la norma (α = 5%)?
IC de la media :
Solución: Calcular el IC de la media y de la desviación estándar y comparar con los valores nominales (Sollwerten).
17.05.2012 EQL Consulting, Leipzig 28
Datos iniciales:
5011,0
t484,15
011,0t484,1
205,0
1;4205,0
1;4
−−−−
−−−−++++≤≤≤≤≤≤≤≤−−−− µµµµ
5011,0
7765,2484,15
011,07765,2484,1 ⋅⋅⋅⋅++++≤≤≤≤≤≤≤≤⋅⋅⋅⋅−−−− µµµµ
0137,0484,10137,0484,1 ++++≤≤≤≤≤≤≤≤−−−− µµµµ
498,1470,1 ≤≤≤≤≤≤≤≤ µµµµ
La concentración es demasiado baja.
ns
tx2
1;f
αααα−−−−±±±±====µµµµ
%011,0s ====%484,1x ====
n = 5
α = 5%
Mediciones: Requerimientos:
µµµµ = 1,50%σ ≤σ ≤σ ≤σ ≤ 0,01%
Muestra y población
IC Ejemplo
2
2;f
2
21;f
fs
fs
−−−−
⋅⋅⋅⋅≤≤≤≤≤≤≤≤⋅⋅⋅⋅αααααααα χχχχ
σσσσχχχχ
2
205,0
;4
2
205,0
1;4
4011,0
4011,0
−−−−
⋅⋅⋅⋅≤≤≤≤≤≤≤≤⋅⋅⋅⋅χχχχ
σσσσχχχχ
IC de la desviación estándar:
17.05.2012 EQL Consulting, Leipzig 29
4844,04
011,01433,114
011,0 ⋅⋅⋅⋅≤≤≤≤≤≤≤≤⋅⋅⋅⋅ σσσσ
0316,00066,0 ≤≤≤≤≤≤≤≤ σσσσ
La dispersión es correcta.
Datos iniciales:
%011,0s ====%484,1x ====
n = 5
α = 5%
Mediciones: Requerimientos:
µµµµ = 1,50%σ ≤σ ≤σ ≤σ ≤ 0,01%
Muestra y población Intervalo de desviación aleatoria � Número mínimo de mediciones
nux
21
σσσσ±±±±µµµµ==== αααα−−−−n
ux2
1
σσσσ⋅⋅⋅⋅====−−−−µµµµ αααα−−−−
xun
21 −−−−µµµµ
σσσσ⋅⋅⋅⋅==== αααα−−−−
2
21 x
un
−−−−µµµµσσσσ⋅⋅⋅⋅==== αααα−−−−
Intervalo de desviación aleatoria
17.05.2012 EQL Consulting, Leipzig 30
2
2
21
x d
un σσσσ⋅⋅⋅⋅
>>>>αααα−−−−
2 x −−−−µµµµ
2
2
21
x
un σσσσ⋅⋅⋅⋅
−−−−µµµµ====
αααα−−−−
2
2
21
d
un σσσσ⋅⋅⋅⋅
====αααα−−−−
xd −−−−µµµµ====
Número mínimo de mediciones
α = Probabilidad de error
Muestra y población
Número mínimo de mediciones/muestras
2
2
21
x d
un σσσσ⋅⋅⋅⋅
>>>>αααα−−−−
µµµµ−−−−==== xd
2
21
s d
u5,01n
⋅⋅⋅⋅++++≈≈≈≈αααα−−−−
σσσσσσσσ−−−−==== s
d
Media Desviación estándar
17.05.2012 EQL Consulting, Leipzig 31
µµµµ−−−−==== xdσσσσ
====d
A través de estes ecuaciones se puede estimar que número mínimo de mediciones se necesita para lograr la precisión d deseada.
Media: d es la diferencia mínima que se puede identificar al usar ese número de muestras.
d es la desviación estándar relativa.
Lit.: Lothar Sachs Angewandte Statistik Springer-Verlag 1990
Muestra y población
Ejemplo: media
2
2
21
x d
un σσσσ⋅⋅⋅⋅
>>>>αααα−−−−
µµµµ−−−−==== xd
σσσσ αααα
Número mínimo de muestras
El resultado debe tener la precisión de 0,1 g/mLD.E. del Método A: 0,05 g/ml y
del Método B. 0,15 g/mL¿Número de muestras para identificar una diferencia de las medias de 0,1 g/mL con la probabilidad de error de α = 5% ?
σσσσ αααα
17.05.2012 EQL Consulting, Leipzig 32
d = 0,1 σσσσ = 0,05 αααα = 5%
2
2
205,0
1
x 05,01,0
un ⋅⋅⋅⋅
>>>>−−−−
9604,005,01,0
96,1n 2
2
x >>>>⋅⋅⋅⋅
>>>> 1n x ≥≥≥≥
d = 0,1 σσσσ = 0,15 αααα = 5%
2
2
205,0
1
x 15,01,0
un ⋅⋅⋅⋅
>>>>−−−−
64,815,01,0
96,1n 2
2
x >>>>⋅⋅⋅⋅
>>>> 9n x ≥≥≥≥
Una determinación sóla es suficiente Hay que medir por lo menos 9 veces.
A B
Muestra y población
Ejemplo Desviación estándar
2
21
s d
u5,01n
⋅⋅⋅⋅++++≈≈≈≈αααα−−−−
σσσσσσσσ−−−−==== s
d
Número mínimo para desviación estándar
σσσσ = 1,5 αααα = 1% s = 2
¿ Para distiguir una diferencia de dispersión de 0,5 teniendo una desviación estándar de 1,5 o 0,5 se necesita cuantas mediciones?
σσσσ = 0,5 αααα = 1% s = 1
2
17.05.2012 EQL Consulting, Leipzig 33
2
s 5,05,158,2
5,01n
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++≈≈≈≈
31ns ≈≈≈≈
30,9529,951ns ====++++≈≈≈≈
2
201,0
1
s
5,15,0
u5,01n
⋅⋅⋅⋅++++≈≈≈≈−−−−
0,33335,15,0
d ========
2
s 5,05,058,2
5,01n
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++≈≈≈≈
2ns ≈≈≈≈
1,1250,1251ns ====++++≈≈≈≈
2
201,0
1
s
5,05,0
u5,01n
⋅⋅⋅⋅++++≈≈≈≈−−−−
0,15,05,0
d ========