ESTIMACION DE LA DIFERENCIA DE DOS MEDIAS POLBLACIONALES

Ejemplo 1:

Se llevan a cabo pruebas de resistencia a la tensión sobre dos diferentes clases de largueros de aluminio utilizados en la fabricación de alas de aeroplanos comerciales. De la experiencia pasada con el proceso de fabricación de largueros y del procedimiento de prueba, se supone que las desviaciones estándar de las resistencias a la tensión son conocidas. Los datos obtenidos se presentan en la siguiente tabla:

Clase de larguero Tamaño de muestra Media muestral de la resistencia ala tensión

Desviación estándar

1 n1= 10 x1= 87.6 σ 1=12 n2= 12 x2= 74.5 σ 2=2

Si u1 y u2 indican los verdaderos promedios de las resistencias a la tensión para las dos clases de largueros, hallar un intervalo del 90% de confianza para la diferencia de las medias u1 - u2.

SOLUCION: Límite inferior del intervalo:

x1−x2−z n2 √ σ1

2

n1

+σ 2

2

n2

=87.6−74.5−1.645√ 12

10+1.52

12¿13.1−0.88=12.22

Límite superior del intervalo:

x1−x2+ zn2 √ σ1

2

n1

+σ2

2

n2

=87.6−74.5+1.645√ 12

10+ 1.52

12¿13.1+0.88=13.98

Luego el intervalo del 90% de confianza para la diferencia en la resistencia a la tensión promedio es:

12.22≤u1−u2≤13.98

Observar que:a) El intervalo de confianza hallado no incluye al cero, entonces la resistencia promedio del aluminio de clase 1(u1) es mayor que la del aluminio de clase 2(u2).b) Puede afirmarse que se tiene una confianza del 90% de que la resistencia promedio a la tensión del aluminio de clase 1 es mayor que la del aluminio de clase2 en una cantidad que oscila entre 12,22 y 13,98 kg/mm2.

Ejemplo 2:

Un artículo publicado dio a conocer los resultados de un análisis del peso de calcio en cemento estándar y en cemento contaminado con plomo.Los niveles bajos de calcio indican que el mecanismo de hidratación del cemento queda bloqueado y esto permite que el agua ataque varias partes de una estructura de cemento. Al tomar diez muestras de cemento estándar, se encontró que el peso promedio de calcio es de 90 con una desviación estándar de 5; los resultados obtenidos con 15 muestras de cemento contaminado con plomo fueron de 87 en promedio con una desviación estándar de 4.

Supóngase que el porcentaje de peso de calcio está distribuido de manera normal y que las dos poblaciones normales tienen la misma desviación estándar.

a. Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre medias de los dos tipos de cemento.

b. ¿Es posible afirmar que la presencia que la presencia del plomo afecte este aspecto del mecanismo de hidratación, a partir de a)? Justifique la respuesta.

SOLUCION:

a. El estimador combinado de la desviación estándar:

Sp=(n−1 )Sx

2+(m−1 )S y2

n+m−2=

52 (10−1 )+42 (15−1 )10+15−1

=19.52

Sp=4.41

Al hacer las cuentas correspondientes se obtiene el intervalo:−0.72≤ux−u y≤6.72

b. Observar que el intervalo de confianza del 95% incluye al cero, entonces para este nivel de confianza no puede concluirse la existencia de una diferencia entre las medias. Podemos decir lo mismo expresando que no hay evidencia de que la contaminación del cemento por plomo tenga efecto sobre el peso promedio del calcio, por tanto con un nivel de confianza del 95% no podemos afirmar que la presencia del plomo afecte este aspecto del mecanismo de hidratación.

Ejemplo 3:

En un estudio realizado sobre el tipo de sedimentos hallados en dos lugares de perforación distintos, se han anotado los siguientes datos acerca del porcentaje en volumen de arcilla presente en las muestras de sondeo:X: 31 18 17 16 37 16 32 13 14 49 25 19 13 32 27Y: 15 17 13 25 22 20 24 12 23 15 20 18

Siendo X = “% de arcilla en el lugar A” e Y = “% de arcilla en el lugar B”Calcular un intervalo del 95% de confianza para la diferencia de los valores medios de X e Y.

SOLUCIÓNA partir de los datos muéstrales se obtiene:

n = 15 X = 23,933 S = 10,559 m = 12 Y = 18,667 S = 4,355

Supuesto que X e Y son variables aleatorias normales con varianzas desconocidas y distintas, necesitamos determinar el número de grados de libertad de la t de Student, para poder obtener el intervalo pedido.Con los datos anteriores, 𝚿 = 9,378; entonces,

v=n+m−2−9=16t v ,∝/2=t 16: 0.025=2.1199

Sustituyendo los valores calculados en el intervalo,

X−Y ∓ t v,∝/2 √ Sx2n +S y

2

m

El intervalo del 95% de confianza para ux−uy es [-1,099; 11,631].