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Sociedad Mexicana de Ingeniería EstructuralSociedad Mexicana de Ingeniería Estructural

ESTIMACIÓN DE LA RIGIDEZ AGRIETADA PARA EL ANÁLISIS SÍSMICO EN ESTRUCTURAS DE CONCRETO REFORZADO

Darío Rivera-Vargas1, Juan Gerardo Terrón Herrera

2 y Carlos Arce León

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RESUMEN

Se presenta un estudio sobre la evaluación de la rigidez agrietada en estructuras de concreto reforzado, para calcular

con mejor precisión el periodo de vibración de edificios y en consecuencia su respuesta sísmica. El objetivo de este

trabajo radica en derivar ecuaciones para estimar el momento de inercia de sección agrietada (Icr) en vigas, columnas

y muros. Se concluye, que las ecuaciones propuestas permiten hacer una buena estimación de la rigidez agrietada de

un edificio de concreto reforzado, dado que el margen de error con respecto a la obtenida de pruebas de vibración

ambiental es inferior al cinco por ciento.

ABSTRACT

A study on the evaluation of cracked stiffness in reinforced concrete structures, to calculate with better precision the

vibration period of buildings and consequently its seismic response, is presented. The objective of this work lies in

deriving equations to estimate the inertia moment of cracked section (Icr) in beams, columns and walls. It is

concluded, that the equations proposed may make a good estimate of cracked siffness of reinforced concrete

building, since the margin of error with respect to information obtained from environmental vibration tests is less

than five percent.

INTRODUCCIÓN

En los edificios de concreto reforzado la reducción de la rigidez a flexión de sus elementos estructurales, tales como:

vigas, columnas y muros, debido al agrietamiento del concreto, juega un papel importante en la respuesta no lineal

carga-deformación bajo cargas de servicio. El agrietamiento del concreto da lugar a la amplificación de la deflexión

lateral de los edificios, que al ser excesiva puede propinar efectos de segundo orden (efectos P-Δ) y en consecuencia

afectar componentes no estructurales (Ahmed et al., 2008). De igual forma, en el análisis sísmico modal de una

estructura puede llevar a imprecisiones en la obtención de las fuerzas sísmicas, dado que el cálculo de los periodos

elásticos son erróneos si no se considera la rigidez agrietada de la sección de los diferentes elementos estructurales;

aunque la respuesta esté dentro del rango lineal (Priestley, 2003).

En la literatura existen varias propuestas para evaluar la rigidez de miembros estructurales causados por el

agrietamiento del concreto los cuales se concentran en calcular el momento de inercia agrietado (Icr). De esta forma

se tienen dos criterios para obtener Icr: ecuaciones y factores de modificación; el primero de ellos radica en

procedimientos más precisos, pero más elaborados, en las que se tiene que evaluar la resistencia y deformación de

fluencia, y en algunos casos estimar la carga axial a compresión que lleva a la falla balanceada del miembro, dichos

trabajos son los correspondientes a la Mirza (1990), AIJ (1991), CEB (1996) y el de Mehanny et al. (2001); el

segundo criterio consiste en aplicar factores de modificación al momento de inercia de la sección sin agrietamiento

(Ig) para estimar Icr, tal como lo establece el ACI 318 (2005), Reglamento de Nueva Zelanda (1995) y trabajos como

el de Paulay y Priestley (1992).

En las NTC-Concreto (2004) se emplean factores de modificación de Ig, por lo que se sugiere que para el análisis

sísmico del edificio se utilice un valor de inercia efectiva en los elementos de concreto reforzado de 0.5Ig para

elementos tipo viga y de un valor de Ig para elementos tipo columna para la revisión del estado límite de servicio de

1 Profesor-Investigador, Facultad de Estudios Superiores Acatlán, UNAM, División de Matemáticas e Ingeniería, Unidad de

Investigación Multidisciplinaria, Avenida Alcanfores y San Juan Totoltepec, Santa Cruz Acatlán, Naucalpan, 53150, Estado

de México, Teléfono: (55)5623-1594; [email protected] [email protected] 2 Estudiante de Ingeniería Civil, Facultad de Estudios Superiores Acatlán, UNAM, División de Matemáticas e Ingeniería,

Unidad de Investigación Multidisciplinaria, Avenida Alcanfores y San Juan Totoltepec, Santa Cruz Acatlán, Naucalpan,

53150, Estado de México, Teléfono: (55)5623-1594; [email protected].

mailto:[email protected]



XIX Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Puerto Vallarta, Jalisco, 2014

la estructura; sin embargo no queda explícito el efecto del agrietamiento en la rigidez de los elementos estructurales,

al considerar que en estos puede influir la forma de la sección, la cantidad de refuerzo y el nivel de carga axial, en el

caso de columnas.

En el procedimiento de diseño para el estado límite de servicio es necesario disponer de un criterio simplificado para

evaluar la rigidez lateral agrietada cuando los elementos resistentes alcanzan la deformación de fluencia (ver figura

1), por lo que se requieren ecuaciones que permitan calcular el Icr, tomando en cuenta los principales parámetros que

repercuten en él, ya que a partir de éste, y dependiendo de las condiciones de apoyo de los elementos estructurales, se

puede determinar la rigidez para que con ella se pueda obtener una respuesta sísmica más representativa del edificio,

además de revisar su cumplimiento del estado límite de servicio.

Figura 1 Rigidez lateral agrietada cuando el elemento estructural alcanza la deformación de fluencia

Por lo anterior, el objetivo de este trabajo radica en proponer criterios para estimar Icr, parámetro fundamental para

evaluar la rigidez agrietada de los elementos de concreto reforzado, de manera más práctica y confiable al considerar

los principales factores que influyen en su evaluación, con lo cual se podrá tener una mejor predicción de la

respuesta sísmica de edificios de concreto reforzado con sus implicaciones en la revisión del estado límite de

servicio. La investigación se limita a derivar ecuaciones para calcular Icr para los siguientes elementos estructurales:

vigas, columnas y muros; en lo que se refiere a las vigas se contemplan secciones rectangulares y “T”; mientras que

en columnas se consideran secciones circulares, cuadradas y rectangulares; en los muros se analizan secciones

rectangulares y tipo “I”; en todos los casos del estudio se contempla la rigidez agrietada hasta el límite de fluencia de

la sección del elemento estructural.

RESPUESTA SÍSMICA Y RIGIDEZ AGRIETADA

Si un edificio es analizado sobre la base de una rigidez de sección sin agrietamiento dará lugar a un periodo de

vibración de la estructura cuya demanda sísmica, obtenida de un espectro de respuesta, será inferior a la que

realmente sufrirá el edificio, en consecuencia el diseño no será conservador. Por consiguiente el periodo de vibración

de la estructura considerando la rigidez agrietada (Tcr) será mayor al periodo obtenido bajo la consideración de la

sección sin agrietamiento (Tg), por lo que de acuerdo a Priestley (2003), Tcr se puede calcular en función de las

rigideces agrietada (Kcr) y no agrietada (Kg) por la siguiente ecuación:

g

cr

gcr

K

K

TT (1)

Por consiguiente, el agrietamiento del concreto es un factor determinante en la respuesta sísmica de edificios de

concreto reforzado. El momento de inercia del miembro Ig, usado en el análisis, debe incorporar el grado de

agrietamiento por tensión, que son inevitables cuando las cargas impuestas producen momentos flexionantes

mayores a los momentos de agrietamiento. Algunos de los valores recomendados en la literatura para calcular Icr, se

pueden resumir en los factores de modificación de Ig para diferentes elementos estructurales que se muestra en las

tablas 1 y 2.

3


Tabla 1. Factores de modificación para algunos reglamentos de diseño

Elemento estructural Reglamento de Nueva Zelanda ACI-318-05

Vigas rectangulares 0.40 Ig 0.35 Ig

Vigas sección T y L 0.35 Ig 0.35 Ig

Columnas 0.4 – 0.8 Ig 0.70 Ig

Muros sin agrietamiento - 0.70 Ig

Muros agrietados 0.25 – 0.50 Ig 0.35 Ig

Tabla 2. Factores de modificación propuestos por Paulay y Priestley (1992)

Elemento estructural Rango de Icr Icr recomendado

Vigas rectangulares 0.3-0.5 Ig 0.40 Ig

Vigas sección T y L 0.25-0.45 Ig 0.35 Ig

Columnas

P>0.5 fć Ag 0.70-0.90 Ig 0.80 Ig

P=0.2 f’c Ag 0.50-0.70 Ig 0.60 Ig

P=-0.05 fć Ag 0.30-0.50 Ig 0.40 Ig

Donde:

P carga axial de diseño (positivo si es de compresión)

f’c resistencia a compresión del concreto

Ag área gruesa de la sección

FACTORES QUE INFLUYEN EN LA RIGIDEZ AGRIETADA

Para poder evaluar la rigidez agrietada a nivel sección de un elemento estructural a través de Icr, es menester

identificar los factores primordiales que influyen en dicha evaluación.

Cuando la fibra extrema en la zona de tensión en una sección de concreto reforzado desarrolla esfuerzos superiores a

la resistencia media a tensión del concreto por flexión, se considera una reducción del área efectiva de la sección y

por consiguiente del valor del momento de inercia, esto implica que para llegar a un valor representativo de Icr se

deberá tomar en cuenta la geometría de la sección, así como la distribución y cuantía de refuerzo longitudinal en el

caso de las vigas; conforme se incrementa la cuantía de acero tiende a disminuir el efecto del agrietamiento en la

rigidez de la sección (Paulay y Priestley, 1992).

En el caso de las columnas y muros, además de influir los factores mencionados para las vigas, también afecta el

nivel de carga axial que coadyuva a disminuir la zona de agrietamiento, de tal forma que conforme se incrementa la

carga axial de compresión el valor de Icr aumenta, aunque en columnas con cuantías de refuerzo longitudinal del

cuatro por ciento el efecto de la carga axial casi no es notorio (Priestley et al., 1996).

También influyen las propiedades de los materiales como son: la resistencia a compresión del concreto (f’c), el

esfuerzo nominal de fluencia del acero longitudinal (fy) y el módulo de rotura del concreto por flexión (ft).

PROPUESTA DE ECUACIONES PARA EVALUAR LA RIGIDEZ AGRIETADA

PROCEDIMIENTO PARA ESTIMAR LA RIGIDEZ AGRIETADA

Para evaluar la rigidez agrietada a flexión (EIcr) se realizaron análisis momento-curvatura (M-ϕ), como se muestra en

la figura 2, de tal forma que dicha rigidez refleja el efecto del agrietamiento y el estado de la primera fluencia teórica

del acero de refuerzo, por lo que se obtiene con la ecuación siguiente:

y

ycr

MEI

(2)

donde, My y ϕy son el momento y la curvatura de fluencia, respectivamente.


Figura 2 Diagrama M-ϕ para evaluar la rigidez agrietada a flexión

Con ayuda del programa BIAX (Wallace y Moehle, 1989) se obtuvieron los diagramas M-ϕ de las secciones para

distintos niveles de deformación de la fibra extrema del bloque a compresión, además de contemplar la componente

de la carga axial en los casos de columnas y muros. Este programa se basa en la teoría de fibras y facilita la

discretización de cualquier sección geométrica, además de analizar con mejor detalle las deformaciones y esfuerzos

que experimentan el concreto simple, el concreto de la zona de confinamiento y el acero de refuerzo.

Posteriormente, se llevó a cabo un estudio paramétrico con base en los análisis a nivel sección a través de los

diagramas M-ϕ. Para el análisis de las vigas se estudiaron dos tipos de sección, rectangulares y T, además de

considerar diferentes relaciones del porcentaje de acero a compresión (ρ’) con respecto al porcentaje de acero a

tensión (ρ) dentro del intervalo 0.5 ≤ (ρ’/ρ) ≤ 2.0, en tanto que la relación de aspecto de la sección peralte efectivo

(d) y base (b) fue d/b = 2 (ver figura 3). Las condiciones anteriores también se aplicaron para el análisis de la sección

tipo T. En total se analizaron 90 secciones.

Figura 3 Algunas secciones rectangulares tipo analizadas

ρ’/ρ = 0.5

ρ’/ρ = 1.0

ρ = 0.011ρb ρ = 4ϕ del no. 4 ρ’ = 2ϕ del no. 4






5


En el caso de columnas se trabajó con secciones cuadradas, rectangulares y circulares, variando la cuantía de

refuerzo longitudinal (ρ) entre la mínima y máxima que permite las NTC-Concreto (2004), 20/fy ≤ ρ ≤ 0.04, en tanto

que la relación de carga axial y la resistencia a compresión de la sección (P/Agf’c) se varío entre 0.10 y 0.50, por lo

que se realizaron 75 análisis. En la figura 4 se muestran algunas de las secciones tipo analizadas.

Figura 4 Secciones de columnas tipo analizadas

En lo que respecta a los muros se trabajaron dos prototipos de refuerzo, distribuido y concentrado en los extremos,

para cada prototipo se analizaron relaciones de P/Agf’c entre 0.10 y 0.50, así como diferentes relaciones de longitud y

espesor de muro, lo que llevó a desarrollar 125 análisis de sección (ver figura 5).

Figura 5 Secciones de muros tipo analizadas

Con estos resultados se obtuvieron gráficas sobre tendencias de comportamiento con objeto de deducir ecuaciones

para evaluar Icr en función de parámetros geométricos de la sección, cuantía de refuerzo longitudinal y nivel de

carga axial (en el caso de columnas y muros).

ECUACIONES OBTENIDAS

Vigas

En las figuras 6 y 7 se muestran algunas de las gráficas obtenidas al analizar la variación de Ig/Icr con respecto a la

relación ρ/ρb para diferentes valores de ρ’/ρ, en vigas de sección rectangular y T, respectivamente. Como se podrá

notar no es significativo el efecto de la relación ρ’/ρ en el cálculo de Ig/Icr, por lo que para simplificar la ecuación de

ajuste del lado conservador se utiliza una ecuación de primer grado, por lo que la evaluación de Icr/Ig queda en

función solamente de ρ/ρb.

ρ = 0.029 8ϕ del no.10 16ϕ del no. 8 f’c = 34.31 MPa (350 kg/cm

2)

fy = 411.76 MPa (4200 kg/cm2)

P/Agf’c 0.10 0.20 0.30 0.40

0.50

ρ = 0.039 40ϕ del no.10 f’c = 34.31 MPa (350 kg/cm

2)

fy = 411.76 MPa (4200 kg/cm2)

P/Agf’c 0.10 0.20 0.30 0.40

0.50


2)

fy = 411.76 MPa (4200 kg/cm2)

P/Agf’c 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50


2)

fy = 411.76 MPa (4200 kg/cm2)

P/Agf’c 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50

ρ = 0.015 8ϕ del no.10 8ϕ del no. 8 f’c = 34.31 MPa (350 kg/cm

2)

fy = 411.76 MPa (4200 kg/cm2)

P/Agf’c 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50

ρ = 0.0046 12ϕ del no.6 24ϕ del no. 3

f’c = 34.31 MPa (350 kg/cm

2)

fy = 411.76 MPa (4200 kg/cm2)

P/Agf’c 0.10 0.20 0.30 0.40

0.50


Lo que influye de manera relevante en la estimación Icr/Ig es la geometría de la sección y la resistencia a compresión

del concreto (fć), tal como se muestra en la figura 8, en donde se aprecia que la sección T incrementa el valor de

Icr/Ig en un 30 % con respecto a la sección rectangular, además de que el aumento de la resistencia del concreto

contribuye a reducir el efecto del agrietamiento en la rigidez, la cual varía linealmente. Por consiguiente la ecuación

base que se deduce para calcular Icr/Ig en vigas de sección rectangular está dada por la expresión 3, para el caso de

sección T se aplica la misma ecuación pero multiplicado por 1.3.

10.045.01000

'

b

c

g

cr f

I

I

(3)

Columnas

La figura 9 muestra las tendencias de comportamiento del valor de Icr/Ig con respecto a la variación del nivel de

carga axial (P/Ag f’c) y para diferentes cuantías de refuerzo longitudinal (ρ), en diferentes secciones de columna. Al

igual que en las vigas, las gráficas se pueden ajustar de manera simple y del lado conservador con líneas rectas, por

lo que se deduce una ecuación de primer grado en función de P/Ag f’c, ρ y f(h/b), este último parámetro se refiere al

factor de forma de la sección, en donde h y b son la altura y base de la sección, respectivamente; para una sección

circular h/b = 1.

La variación del factor de forma de la sección (f(h/b)) se muestra en la figura 10. Por lo tanto, se deduce que las

ecuaciones para evaluar Icr/Ig para las secciones de columnas son:

Sección rectangular

12.0

1215.0'

05.1

b

h

fA

P

I

I

cgg

cr (4)

Sección circular 1215.0'

37.1

cgg

cr

fA

P

I

I (5)

Muros

Las tendencias de comportamiento de Icr/Ig con respecto a P/Agf’c, para diferentes valores de ρ se ajustaron con

ecuaciones de primer grado como se aprecia en la figura 11, para diferentes distribuciones del refuerzo a

flexocompresión en muros. A dichas ecuaciones se les incorporó el factor de forma f(L/t), el cual relaciona la

longitud (L) y el espesor (t) de muro, cuya variación para distintas distribuciones del refuerzo se muestran en la

figura 12. Las ecuaciones que finalmente resultan están dadas por:

Refuerzo uniforme

12.0

1215.0'

05.1

t

L

fA

P

I

I

cgg

cr (6)

Refuerzo concentrado Tcgg

cr

t

L

fA

P

I

I

12.0

125.115.0'

05.1 (7)

Refuerzo concentrado y elementos de borde Tcgg

cr

t

L

fA

P

I

I

12.0

120.215.0'

1.2 (8)

donde: ρT = 2ρ ρ = ρ’

7


Figura 6 Análisis de Ig/Icr en vigas de sección rectangular

Figura 7 Análisis de Ig/Icr en vigas de sección T

Figura 8 Efecto de la geometría de la sección y de f’c en el cálculo de Ig/Icr en vigas

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

I /

Ig

/b

p' / p = 0.5

p' / p = 1.0

p' / p = 2.0

MODELO AJUSTADO

I / Ig = 0.65 / b + 0.10

VIGA RECTANGULAR b= 0.30 h= 0.65 h'=0.60 ( TON - M )

f'c = 2000 fy = 45770 esy = 0.002244 = As / bd ( P / Ag f'c ) = 0.0

pmín

RCDF 2004

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

I /

Ig

/b

p' / p = 0.5

p' / p = 1.0

p' / p = 2.0

MODELO AJUSTADO

I / Ig = 0.70 / b + 0.10

VIGA RECTANGULAR b= 0.40 h= 0.90 h'=0.85 ( TON - M )


pmín

RCDF 2004

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

I /

IgR

/b

p' / p = 0.5

p' / p = 1.0

p' / p = 2.0

MODELO AJUSTADO

I / Ig = 0.845 / b + 0.10

VIGA T b= 0.30 h= 0.65 b'=1.50 t=0.10 h'=0.60 ( TON - M )


pmín

RCDF 2004

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

I /

IgR

/b

p' / p = 0.5

p' / p = 1.0

p' / p = 2.0

MODELO AJUSTADO

I / Ig = 0.91 / b + 0.10

VIGA T b= 0.40 h= 0.90 b'=1.50 t=0.10 h'=0.85 ( TON - M )


pmín

RCDF 2004

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

200 250 300 350

VIGA T

VIGA

f'c (kg/cm²)

ff 'cf(g) = 1.00

f(g) = 1.30

f(f c) = f(g) ( f c / 1000 + 0.45 )

VIGA RECTANGULAR b= 300 mm h = 650 mm f’c = 19.61 MPa (200 kg/cm

2) fy = 411.76 MPa (4200 kg/cm

2)

Icr/Ig = 0.65 ρ/ρb+0.10

VIGA RECTANGULAR b= 400 mm h = 900 mm f’c = 24.50 MPa (250 kg/cm

2) fy = 411.76 MPa (4200 kg/cm

2)

Icr/Ig = 0.70 ρ/ρb+0.10

VIGA T b = 300 mm h = 650 mm b’ = 1500 mm t = 100 mm f’c = 19.61 MPa (200 kg/cm

2) fy = 411.76 MPa (4200 kg/cm

2)

Icr/Ig = 0.845 ρ/ρb+0.10

VIGA T b = 400 mm h = 900 mm b’ = 1500 mm t = 100 mm f’c = 24.50 MPa (250 kg/cm

2) fy = 411.76 MPa (4200 kg/cm

2)

Icr/Ig = 0.91 ρ/ρb+0.10

Icr/Ig Icr/Ig

Icr/Ig Icr/Ig

f(f’c) = f(g) (f’c/1000 + 0.45)


Figura 9 Análisis de Icr/Ig en diferentes secciones de columnas

Figura 10 Efecto del factor de forma de la sección en el cálculo de Ig/Icr en columnas

Figura 11 Análisis de Icr/Ig en diferentes secciones de muros

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

I /

Ig

P / Ag f'c

COLUMNA RECTANGULAR b = 0.50 h = 1.60 h'=1.55 ( TON - M )

f'c = 3500 fy = 45770 esy = 0.0022885 ( es = esy o ec = 0.002 )

p = 0.040

p = 0.030

p = 0.020

p = 0.010

p = 0.004

MODELO AJUSTADO

I / Ig = 0.70 P / Agf'c + 0.15 + f(h/b)

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

I /

Ig

P / Ag f'c

p = 0.040

p = 0.030

p = 0.020

p = 0.010

p = 0.004

MODELO AJUSTADO

I / Ig = 1.30(0.70) P / Agf'c + 0.15 + f(b/a)

COLUMNA CIRCULAR DIAMETRO 1.20 ( TON - M )

f'c = 3500 Ec=2.6E+06 Ig=(r ⁴ / 4) =As / (D ² /4)

fy = 45770 esy = 0.0022885 ( es = esy o ec = 0.002 )

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Columna Rectangular

f(h/b)

h/b

1

f(h/b) = 12 [ (h/b) ̂ (- 0.12) ]

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

I/

Ig

P / Ag fć

p=0.040

p=0.030

p=0.020

p=0.010

p=0.005

MODELO AJUSTADO

MURO TIPO I ( REFUERZO UNIFORME ) L=3.00 t=0.25 L´=2.95 ( TON-M )

fć=3500 Ec=2.6E+06 fy=45770 esy =0.0022885 =As/tL ( es = esy o ec = 0.002 )

I / Ig = 0.70 P/Agfć + 0.15 + f(L/t)

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

1.10

1.20

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

I/

Ig

P / Ag fć

p=0.0200

p=0.0150

p=0.0100

p=0.0050

p=0.0025

MODELO AJUSTADO

MURO TIPO II ( REFUERZO CONCENTRADO ) L=3.00 t=0.25 d=2.75 ( TON-M )

fć=3500 Ec=2.6E+06 fy=45770 esy =0.0022885 = '=As/td ( es = esy o ec = 0.002 )

I / Ig = 0.70 P/Agfć + 0.15 + 1.50 (2.0) f(L/t)

COLUMNA RECTANGULAR b = 500 mm h = 1600 mm f’c = 34.31 MPa (350 kg/cm

2) fy = 411.76 MPa (4200 kg/cm

2)

Icr/Ig = 0.70 P/Agf’c + 0.15 + f(h/b) ρ

COLUMNA CIRCULAR Diámetro = 1200 mm f’c = 34.31 MPa (350 kg/cm

2) fy = 411.76 MPa (4200 kg/cm

2)

Icr/Ig = 1.30 (0.70) P/Agf’c + 0.15 + f(h/b) ρ

Icr/Ig Icr/Ig

MURO TIPO I (REFUERZO UNIFORME) L = 3000 mm t = 250 mm f’c = 34.31 MPa (350 kg/cm

2) fy = 411.76 MPa (4200 kg/cm

2)

Icr/Ig = 0.70 P/Agf’c + 0.15 + f(L/t) ρ

MURO TIPO II (REFUERZO CONCENTRADO) L = 3000 mm t = 250 mm f’c = 34.31 MPa (350 kg/cm

2) fy = 411.76 MPa (4200 kg/cm

2)

Icr/Ig = 0.70 P/Agf’c + 0.15 + 1.50 (2.0) f(L/t) ρ

Icr/Ig Icr/Ig

9


Figura 12 Efecto del factor de forma de la sección en el cálculo de Ig/Icr en muros

COMPARACIÓN CON OTROS CRITERIOS

En la tabla 3 se comparan los factores de modificación propuestos por Paulay y Priestley (1992) con los valores que

se obtienen de las ecuaciones propuestas en este trabajo para calcular Icr. El rango de valores que se obtiene con estas

ecuaciones corresponde a los valores extremos que resultan de aplicar desde las cuantías mínimas hasta cuantías

máximas de acero de refuerzo, por lo que el valor recomendado se deduce a partir del valor promedio de dichos

valores extremos.

Tabla 3 Factores de modificación deducidos de las ecuaciones propuestas y comparación con otro criterio

Paulay y Priestley (1992) Ecuaciones propuestas

Elemento estructural

Rango Valor recomendado Rango Valor recomendado

Vigas rectangulares 0.3-0.5 Ig 0.40 Ig 0.22-0.62 Ig 0.42 Ig

Vigas sección T y L 0.25-0.45 Ig 0.35 Ig 0.15-0.46 Ig 0.31 Ig

Columnas

P > 0.5 fć Ag 0.70-0.90 Ig 0.80 Ig 0.72-1.00 Ig 0.86 Ig

P = 0.2 f’c Ag 0.50-0.70 Ig 0.60 Ig 0.40-0.84 Ig 0.62 Ig

P= - 0.05 fć Ag 0.30-0.50 Ig 0.40 Ig 0.20-0.63 Ig 0.42 Ig

Como se podrá notar, los valores recomendados en este trabajo son casi similares a los propuestos por Paulay y

Priestley (1992), lo cual muestra que las ecuaciones deducidas estiman valores razonables de la rigidez agrietada de

diferentes elementos estructurales de concreto reforzado, además de ofrecer la ventaja en la precisión del cálculo de

tal rigidez, al considerar de manera explícita el porcentaje de acero de refuerzo, el nivel de carga axial y el factor de

forma de la sección.

APLICACIÓN

Para revisar la bondad de las ecuaciones propuestas en este trabajo para calcular Icr, se procedió a modelar un edificio

de concreto reforzado con la consideración de la rigidez agrietada en sus diferentes elementos estructurales, con

objeto de evaluar los periodos de vibración fundamental tanto en el sentido corto como en el sentido largo del

inmueble para compararlos con los periodos de vibración medidos mediante pruebas de vibración ambiental y así

valorar la efectividad de las ecuaciones deducidas en esta investigación.

DESCRIPCIÓN DE LA ESTRUCTURA

Se tomó como referencia el trabajo de Sánchez (2005), el cual midió las propiedades dinámicas de un edificio de

concreto reforzado mediante pruebas de vibración ambiental.

0

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Elementos de Borde

Refuerzo Concentrado

Refuerzo Uniforme

f(L/t)

L/t

1

f(L/t) = f() [ 12 ((L/t) ̂ (-0.12) ]

f() = 1.0

f() = 1.5

f() = 2.0


Se trata del edificio 2 de la Unidad Académica de Ingeniería, ubicado en avenida Lázaro Cárdenas s/n, Ciudad

Universitaria, Chilpancingo Gro. La estructura tiene tres niveles con una altura de 3250 mm en planta baja y de 3000

mm en cada uno de los dos niveles restantes. Las dimensiones en planta son de 11000 mm en el lado corto y 52000

mm en lado largo. El edificio presenta una distribución uniforme de columnas y muros.

Las secciones de las columnas correspondientes al primer nivel oscilan entre 700 mm x 350 mm y 800 mm x 500

mm, para el segundo nivel entre 600 mm x 300 mm y 700 mm x 450 mm, y para el tercer nivel entre 500 x 300 mm

y 600 mm x 450 mm. Mientras que los cuatro muros que están ligados a los marcos del edificio en el lado largo

tienen 150 mm de espesor y 8500 mm de largo, en tanto que seis muros colocados en el lado corto son de 150 mm de

espesor por 5000 mm de longitud. Las vigas tipo son de 220 mm x 450 mm. El sistema de piso está resuelto con una

losa reticular aligerada de 450 mm de espesor con un firme de concreto de 50 mm.

MODELO MATEMÁTICO

Para el edificio en estudio se realizó un modelo matemático con apoyo del programa de análisis estructural

SAP2000, con base en elementos barra para el caso de discretizar vigas y columnas, mientras que para la modelación

del sistema de piso y muros se utilizaron elementos placa, tal como se muestra en la figura 13. Para cada uno de los

elementos estructurales se consideró la rigidez agrietada a través del valor de Icr, calculado con las ecuaciones

desarrolladas en esta investigación.

Figura 13 Modelo matemático del edificio

Con dicho modelo se obtuvieron los periodos de vibración de la estructura, de tal forma que para compararlos con

los medidos de vibración ambiental, se calcularon los referentes al movimiento de traslación en el sentido largo y en

el sentido corto, resultando ser de 0.25 s y 0.17 s, respectivamente.

ANÁLISIS DE RESULTADOS

En la tabla 4 se comparan los periodos de vibración medidos de pruebas de vibración ambiental con los obtenidos de

manera analítica, como se podrá notar las ecuaciones propuestas contribuyen a que en la modelación matemática del

edificio de concreto reforzado se obtengan periodos de vibración similares a los que realmente predominan en el

inmueble.

Tabla 4 Comparación de los periodos de vibración medidos con los analíticos

Criterio de Periodo de Vibración T (s)

Evaluación Dirección larga Dirección corta

Vibración

Ambiental

0.26 0.17

Modelo matemático

Ecuaciones propuestas

0.25 0.17

11


CONCLUSIONES

En este trabajo se desarrollaron ecuaciones para calcular el momento de inercia agrietada (Icr), con objeto de

contribuir a la modelación de la rigidez agrietada de los elementos de concreto reforzado que conforman un edificio

y con ello garantizar una mejor predicción de su respuesta sísmica, con sus implicaciones en la revisión del estado

límite de servicio.

De las ecuaciones propuestas, se encontró que para el caso de considerar la propuesta de las NTC-Concreto (2004)

en relación al valor de Icr/Ig = 0.5 para vigas, esta condición se presenta cuando la relación de cuantías ρ/ρb = 0.5, por

lo que es aceptable para relaciones de cuantías superiores a dicho valor, si se adopta como un criterio conservador,

pero no así para valores inferiores dado que para la cuantía mínima de refuerzo la relación Icr/Ig puede llegar a ser de

hasta 0.15.

Para el caso de las columnas, el valor de Icr/Ig = 1.0 propuesto por las NTC-Concreto (2004) es congruente para la

condición en donde el nivel de carga P/Agfć = 0.5 y ρ = 0.04, sin embargo para valores inferiores, por ejemplo,

P/Agfć = 0.3 y ρ = 0.02, el valor de Icr/Ig baja a 0.6, aproximadamente, lo cual hace notar una reducción de la rigidez

del 40 % con respecto al valor propuesto por el Reglamento.

Por lo tanto, para tener una mejor precisión en la evaluación de Icr es importante considerar de manera explícita el

porcentaje de acero de refuerzo, el nivel de carga axial y el factor de forma de la sección. Por consiguiente, las

ecuaciones derivadas en esta investigación para calcular Icr en diferentes elementos estructurales de concreto

reforzado, permiten hacer una buena estimación de la rigidez agrietada de un edificio. Esto se pudo corroborar al

comparar los periodos de vibración de un edificio de concreto reforzado calculados a partir de estos criterios, con los

medidos de pruebas de vibración ambiental, en donde el margen de error fue inferior al cinco por ciento.

AGRADECIMIENTOS

Se agradece a la Dirección General de Asuntos del Personal Académico de la UNAM (DGAPA) el apoyo recibido

para el desarrollo de este trabajo de investigación como parte del proyecto PAPIIT IT101513 “Riesgo sísmico del

municipio de Naucalpan”.

REFERENCIAS

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Ahmed M., Dad M. K. y Wamiq M. (2008), “Effect of concrete cracking on the lateral response of RCC

buildings”, Asian Journal of Civil Engineering (Building and Housing), Vol. 9, No.1.

AIJ-Architecture Institute of Japan (1991), “AIJ Standard for Structural Calculation of Reinforced Concrete

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London.

Mehanny S. S. F., Kuramoto H. y Deierlein G. G. (2001), “Stiffness Modeling of Reinforced Concrete Beam-

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Mirza S. A. (1990), “Flexural stiffness of reinforced concrete columns”, ACI Structural Journal, No. 4, 87 (1990)

425-35.

NTC-Concreto (2004), “Normas Técnicas Complementarias para Diseño y Construcción de Estructuras de

Concreto”, Gaceta Oficial del Distrito Federal.

Paulay T. y Priestley M. J. N. (1992), “Seismic design of reinforced concrete and masonry buildings”, John

Wiley and Sons, Inc., New York.


Priestley M. J. N. (2003), “Myths and fallacies in earthquake engineering, revised”, In the Ninth Mallet Milne

Lecture, Rose School, Pavia, Italia.

Priestley M. J. N., Seible F. y Calvi G. (1996), “Seismic design and retrofit of bridges”, John Wiley and Sons,

Inc., USA.

Sánchez S. (2005), “Variación de las propiedades dinámicas de un edificio de concreto reforzado”, memorias

del XV Congreso Nacional de Ingeniería Sísmica, México, D. F.

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Wallace J. y Moehle J. P. (1989), “A computer program for the analysis of reinforced concrete sections”,

University of California, Berkeley.

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ESTIMACIÓN DE LA RIGIDEZ AGRIETADA PARA EL · PDF fileSe concluye, que las ecuaciones propuestas permiten hacer una buena estimación de la rigidez agrietada de un edificio de concreto