TESIS –ST 2309

ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI GENERALIZED EXTREME VALUE (GEV) (Studi kasus : Identifikasi Perubahan Iklim di Jakarta)

www. its.ac.id

ANITA RAHAYU1310 201 003

DOSEN PEMBIMBINGDr. Sutikno, S.Si, M.SiDr. Purhadi, M.Sc

PROGRAM MAGISTERBIDANG KEAHLIAN STATISTIKAJURUSAN STATISTIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMINSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBERSURABAYA2012

AGENDAAGENDAAGENDAAGENDA

Pendahuluan

Kajian Pustaka dan Dasar Teori

www. its.ac.id

Metode Penelitian

Hasil dan Pembahasan

Kesimpulan dan Saran

PENDAHULUANPENDAHULUANPENDAHULUANPENDAHULUAN

Kehancuran Hutan di Tesso

Nilo, Pelalawan, Riau

(28 September 2011)

www. its.ac.id

Sebuah pulau di Riau akan

tenggelam ditelan air laut

akibat perubahan iklim

(6 Oktober 2007)

Proses pembakaran bahan bakar fosil, kebakaran hutan, dan pembuangan sampah

Atmosfer bumi dipenuhi oleh Gas Rumah Kaca (GRK) yang dihasilkan oleh manusia

Perubahan iklim yang memberikan dampak Perubahan iklim yang memberikan dampak terhadap berbagai segi kehidupan

Dibutuhkan pengetahuan tentang perilaku nilai ekstrem

Extreme Value Theory (EVT)

www. its.ac.id

Perumusan Masalah

1. Bagaimana estimasi parameter distribusi Generalized Extreme Value (GEV)dengan metode Maximum Likelihood Estimation (MLE) dan ProbabilityWeighted Moments (PWM)?

2. Bagaimana menerapkan Extreme Value Theory (EVT) dalam mengidentifikasi perubahan iklim di Jakarta?

Tujuan Penelitian

1. Mengkaji estimasi parameter distribusi Generalized Extreme Value (GEV)dengan metode Maximum Likelihood Estimation (MLE) dan ProbabilityWeighted Moments (PWM)

2. Menerapkan Extreme Value Theory (EVT) dalam mengidentifikasi perubahan iklim di Jakarta

www. its.ac.id

Manfaat Penelitian

Penulis memperoleh pengetahuan akademis dan pengalaman praktis untukmengestimasi parameter distribusi Generalized Extreme Value (GEV)

Bagi pengguna penelitian, hasil penelitian ini dapat digunakan oleh BadanMeteorologi Klimatologi dan Geofisika (BMKG) dalam rangka mendapatkan metodedan penyediaan informasi iklim ekstrem, Departemen Pertanian dalam rangkamendukung strategi inovasi teknologi dan varietas baru tanaman pangan yangadaptif terhadap iklim ekstrem, Lembaga Penerbangan dan Antariksa Nasional

Batasan Masalah

www. its.ac.id

adaptif terhadap iklim ekstrem, Lembaga Penerbangan dan Antariksa Nasional(LAPAN), dan instansi lainnya dimana peneliti sering menghadapi extreme value

Metode yang digunakan untuk mengidentifikasi nilai ekstrem adalah Block Maximadengan pendekatan distribusi Generalized Extreme Value (GEV)

Metode yang digunakan untuk mengestimasi parameter distribusi Generalized Extreme Value (GEV) adalah Maximum Likelihood Estimation (MLE) dan Probability Weighted Moments (PWM)

KAJIAN PUSTAKA DAN DASAR TEORIKAJIAN PUSTAKA DAN DASAR TEORIKAJIAN PUSTAKA DAN DASAR TEORIKAJIAN PUSTAKA DAN DASAR TEORI

● Extreme Value Theory (EVT)

Peristiwa yang sangat jarang

terjadi dan sering dinyatakan

sebagai outlier

Diabaikan keberadaannya

Memiliki dampak yang besar

Nilai Ekstrem (Extreme Value)

Extreme Value Theory (EVT)

(Lewis, 2004)

• Salah satu metode statistika yang digunakan untuk mempelajari perilakudaerah ekor (tail) dari suatu distribusi untuk dapat menentukanprobabilitas dari nilai-nilai ekstrem.

www. its.ac.id

McNeil (1999) serta Gilli dan Kellezi (2003) menyebutkan bahwa terdapat dua metode

dalam mengidentifikasi pergerakan nilai ekstrem yaitu :

Block Maxima

• mengambil nilai maksimum dalam suatu periode, misalnya periode

mingguan atau bulanan, pengamatan yang nilainya maksimum

dianggap sebagai nilai ekstrem

(Lanjutan Extreme Value Theory)

Peaks Over Threshold (POT)

• mengambil nilai-nilai yang melewati suatu nilai threshold (u),

semua nilai yang melewati nilai threshold (u) dianggap sebagai nilai

ekstrem

www. its.ac.id

● Metode Block Maxima

Data pengamatan dibagi dalam blok-blokpada periode waktu tertentu. Kemudianuntuk setiap blok ditentukan besarnya datapengamatan maksimum dan nilaitersebut adalah nilai ekstrem untuk setiapblok dan digunakan sebagai sampel untukanalisis selanjutnyaanalisis selanjutnya

Pada Gambar 1, sampel yang digunakan dengan metode Block Maxima adalah x1, x2, x3, x4, dan x5

Gambar 1 Ilustrasi Pengambilan Data Sampel

Curah Hujan dengan Metode Block Maxima

www. its.ac.id

(Lanjutan Metode Block Maxima)

Block Maxima dengan pendekatan distribusi GEV mempunyai PDF sebagai berikut.

( ); , ,f x µσ ξ

1 11

11 exp 1 , 0

x xξ ξµ µξ ξ ξ

σ σ σ

− − − − − + − + ≠

1exp exp exp , 0

x xµ µξ

σ σ σ− − − − − =

www. its.ac.id

dengan :

= parameter skala (scale)

= parameter lokasi (location)

= parameter bentuk (shape)

µ

σ

ξ

: Distribusi Gumbel

: Distribusi Frechet

: Distribusi Weibull

0ξ =

0ξ >

0ξ <

● Estimasi Parameter Distribusi GEV

Maximum Likelihood

Estimation (MLE)

• Salah satu metode estimasi parameter dari suatu distribusi dengan memaksimumkan fungsi likelihood

Langkah-Langkah estimasi parameter dengan MLE :

www. its.ac.id

Langkah-Langkah estimasi parameter dengan MLE :1. Mengambil n sampel random

2. Membuat fungsi likelihood

3. Memaksimumkan fungsi likelihood dengan cara membuat ln dari fungsi likelihood

Syarat perlu sehingga diperoleh

Syarat cukup disebut matriks Hessian

memaksimumkan dengan syarat definit negatif

( ) ( ) ( )1 2 1 2

1

, ,..., , ,..., , ,n

n n i

i

L x x x f x x x f x=

= =∏ɶ ɶ ɶθ θ θθ θ θθ θ θθ θ θ

1 2, ,..., nx x x

( )ln0

L∂=

∂ɶ

ɶɶ

θθθθ

θθθθ

ˆɶθθθθ

( ) ( )2ln

T

LH

∂=

∂ ∂ɶ

ɶɶ ɶ

θθθθθθθθ

θ θθ θθ θθ θ

ˆɶθθθθ ( )L

ɶθθθθ ( )ˆ

ɶΗ θΗ θΗ θΗ θ

(Lanjutan Estimasi Parameter Distribusi GEV)

Probability Weighted

Moments (PWM)

• Metode PWM merupakan modifikasi dari metode “konvensional” momen dan pertama kali dikemukakan oleh Hosking et al., (1984)

Fungsi PWM dari variabel random X dengan CDF F(X) adalah :

www. its.ac.id

Fungsi PWM dari variabel random X dengan CDF F(X) adalah :

Adapun subclass dari persamaan diatas adalah M1,r,s (p = 1, r = 0, 1, 2, ..., s = 0, 1, 2, ...)

M1,r,s dapat dibagi menjadi dua bagian, yaitu s = 0 (M1,r,0) dan r = 0 (M1,0,s)

( )( ) ( )( ), , 1r sp

p r sM E X F X F X = −

( )( )1, ,0

r

rM E X F X = ( )( )1,0, 1

s

sM E X F X = −

( ) ( )( )1, ,0

11 1 1 , 1, 0

1r rM r

r

ξσβ µ ξ ξ ξ

ξ−

= = + − + Γ + < ≠ +

( )( ) ( )( )( ) ( ) [ ]1, ,0

1

1 2 ...1ˆ ˆ1 2 ...

n

r r jj

j j j rM x

n n n n rβ

=

− − −= =

− − −∑

dengan p, r, s = bilangan real

● Return Level

Menurut Gilli dan Kellezi (2003), return level adalah nilai maksimum yang diharapkan

akan dilampaui satu kali dalam jangka waktu k dengan periode p. Rumus untuk estimasi

return level adalah :

ˆ kpR

ˆ 1 ˆˆ ln 1 1 , 0ˆ k

ξσ

µ ξξ

− + − − − ≠

1 ˆˆ ˆ ln ln 1 , 0µ σ ξ − − − = ˆˆ ˆ ln ln 1 , 0

kµ σ ξ − − − =

www. its.ac.id

● Curah Hujan

Curah hujan (mm) adalah ketinggian air hujan yang terkumpul dalam tempat yang datar,

tidak menguap, tidak meresap, dan tidak mengalir. Curah hujan 1 milimeter artinya

dalam luasan satu meter persegi pada tempat yang datar tertampung air setinggi satu

millimeter atau tertampung air sebanyak satu liter. Curah hujan dapat diukur dalam

harian, dasarian, bulanan, atau tahunan.

Gambar 2 Pola Curah Hujan di Indonesiawww. its.ac.id

● Iklim Ekstrem

Iklim adalah kondisi rata-rata cuaca dalam waktu yang panjang. Iklim dibumi sangat

dipengaruhi oleh posisi matahari terhadap bumi.

Perubahan iklim adalah perubahan jangka panjang dalam distribusi pola cuaca atau

perubahan variabel iklim khususnya suhu udara dan curah hujan yang terjadi secara

berangsur-angsur dalam jangka waktu yang panjang mulai dasawarsa hingga jutaan tahun,

contohnya jumlah peristiwa cuaca ekstrem yang semakin banyak atau sedikit.

METODE PENELITIANMETODE PENELITIANMETODE PENELITIANMETODE PENELITIAN

Data dan Sumber Data PenelitianData yang digunakan pada penelitian ini data curah hujan dasarian di Stasiun

Jakarta pada periode Januari 1961-Desember 2003. Data tersebut diperoleh dari

Badan Meteorologi Klimatologi dan Geofisika (BMKG).dfdfggfkgnfkfhgjkfngvfujnkfnf

Metode Analisis Data1. Mengkaji estimasi parameter distribusi Generalized Extreme Value (GEV) dengan :

A. Maximum Likelihood Estimation (MLE)

a. Mengambil n sampel random x1, x2, ..., xn

b. Memformulasikan fungsi PDF untuk distribusi GEV

c. Membuat fungsi likelihood dari fungsi PDF distribusi GEV

d. Membuat ln dari fungsi likelihood

e. Membuat turunan pertama dari fungsi ln likelihood terhadap masing-masing parameter yang akan diestimasi, kemudian disamakan dengan nol

www. its.ac.id

Apabila hasil yang diperoleh dari turunan pertama fungsi ln likelihood terhadap masing-

masing parameter yang akan diestimasi tidak closed form, maka diperlukan analisis

numerik lebih lanjut untuk menyelesaikan persamaan-persamaan tersebut. Pada

penelitian ini analisis numerik yang digunakan adalah iterasi BFGS Quasi Newton

dengan langkah-langkah sebagai berikut.

a. Membuat matriks Hessian dan

b. Menghitung

c. Menghitung

d. Melakukan iterasi BFGS Quasi Newton dengan rumus

( )( )kgɶθθθθ

( ) ( ) ( ) ( )1k k k kSα+ = +

ɶ ɶθ θθ θθ θθ θ

( ) ( ) ( ) ( )( )argmink k k k

f Sαα α = + ɶ

θθθθ

( ) ( )( ) ( )( ).k k kS H g= −

ɶθθθθ

www. its.ac.id

e. Menghitung perubahan

f. Menghitung perubahan

g. Menghitung

( ) ( ) ( )k k kSα∆ =

ɶθθθθ

( )( ) ( )( ) ( )( )1k k kg g g

+∆ = −ɶ ɶ ɶθ θ θθ θ θθ θ θθ θ θ

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )

11

TT k k k k k kT Tk k kk k T

k k

T Tk kTk k k k

H g H gg H gH H

gg g

+

∆ ∆ + ∆ ∆∆ ∆ ∆ ∆ = + + − ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

ɶ ɶ ɶ ɶɶ ɶ ɶ ɶ

ɶ ɶɶ ɶ ɶ ɶ

θ θ θ θθ θ θ θθ θ θ θθ θ θ θθ θθ θθ θθ θ θ θθ θθ θθ θ

θ θθ θθ θθ θθ θ θ θθ θ θ θθ θ θ θθ θ θ θ

Iterasi tersebut dilakukan sampai dengan e adalah bilangan kecil sekali.

Apabila iterasi berhenti akan diperoleh nilai estimasi untuk setiap parameter.

( ) ( )1k ke

+ − ≤ɶ ɶθ θθ θθ θθ θ

B. Probability Weighted Moments (PWM)

a. Memformulasikan fungsi PWM dengan r = 0, 1, 2

b. Memformulasikan estimator unbiased untuk fungsi PWM dengan r = 0, 1, 2

c. Menghitung dari fungsi PWM

d. Hasil persamaan yang diperoleh dari digunakan untuk memperoleh

( )rβ

( )ˆrβ

0 1 2, ,β β β

0β̂ µ̂

e. Menghitung dan dari fungsi PWM sehingga diperoleh dan

f. Hasil persamaan yang diperoleh dari digunakan untuk memperoleh

g. Membuat perbandingan dan

h. Hasil persamaan yang diperoleh dari perbandingan dan

1 02β β− 2 03β β−1 0ˆ ˆ2β β−

2 0ˆ ˆ3β β−

1 0ˆ ˆ2β β− σ̂

2 0ˆ ˆ3β β− 1 0

ˆ ˆ2β β−

2 0ˆ ˆ3β β− 1 0

ˆ ˆ2β β−

2. Menerapkan EVT dalam mengidentifikasi perubahan iklim di Jakarta dengan langkah-

langkah sebagai berikut.

a. Membuat deskripsi data curah hujan dasarian di Stasiun Jakarta pada tahun 1961-2003

b. Melakukan identifikasi adanya ekor distribusi yang gemuk

c. Memisahkan data menjadi dua periode, yaitu periode I (1961-1990) dan

periode II (1991-2003 )

d. Melakukan identifikasi nilai ekstrem menggunakan metode Block Maxima, yaitu

menyusun data curah hujan dasarian berdasarkan blok 3 bulanan untuk setiap periode,

yaitu DJF, MAM, JJA, SON

www. its.ac.id

e. Mengidentifikasi pola sebaran data curah hujan dasarian pada tahun 1961-2003

f. Mengidentifikasi pola sebaran data curah hujan per periode

g. Melakukan estimasi parameter per periode dengan metode MLE dan PWM, serta

membuat confidence interval (1-α) x 100% untuk masing-masing estimasi parameter

yang telah diperoleh dari metode MLE

h. Melakukan uji Likelihood Ratio Test

i. Melakukan uji kesesuaian distribusi

j. Menghitung nilai estimasi return level

HASIL DAN PEMBAHASANHASIL DAN PEMBAHASANHASIL DAN PEMBAHASANHASIL DAN PEMBAHASAN

● Estimasi Parameter Distribusi GEV dengan MLE

( ) ( )

111 1 1

1

1 11

1, , 1 exp 1 1 exp 1

n n nni i i i

i ii

x x x xL

ξ

ξ ξ ξµ µ µ µµ σ ξ ξ ξ σ ξ ξ

σ σ σ σ σ

− −− − − −

−

= ==

− − − − = + − + = + − +

∑ ∑∏

1

( )1 1

1

1; , , 1 exp 1 , 0

x xf x

ξ ξµ µµ σ ξ ξ ξ ξ

σ σ σ

− − − − − = + − + ≠

untuk 0ξ ≠

www. its.ac.id

( ) ( )1

1 1

1ln , , ln 1 ln 1 1

n ni i

i i

x xL n

ξµ µµ σ ξ σ ξ ξ

ξ σ σ

−

= =

− − = − − + + − +

∑ ∑

( )1

1 1

1 1

ln , , 1 11 1 0

n ni i

i i

L x x ξµ σ ξ µ µξξ ξ

µ σ σ σ σ

− − −

= =

∂ − − + = + − + = ∂ ∑ ∑

( ) ( )1

1 1

2 21 1

ln , ,1 1 1 0

n ni i i i

i i

L x x x xn ξµσ ξ µ µ µ µξ ξ ξ

σ σ σ σσ σ

− − −

= =

∂ − − − − =− + + + − + = ∂

∑ ∑

( )1

1

2 21 1 1 1 1

ln , , 1 1 1 1ln 1 1 1 1 ln 1 0

1

i

n n n n ni i i i i

i i i i i i

x

L x x x x x

x

ξ

µµ σ ξ µ µ µ µ µ σ

ξ ξ ξ ξµξ σ ξ σ σ σ σ ξξ ξ

ξσ

− −

= = = = =

− ∂ − − − − − = + − + + − + + − = −∂ +

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

( ) 1; , exp exp exp , 0

x xf x

µ µµ σ ξ

σ σ σ− − = − − − =

( ) ( )1 11

1, exp exp exp exp exp exp

n n nni i i i

i ii

x x x xL

µ µ µ µµσ σ

σ σ σ σ σ−

= ==

− − − − = − − − = − − −

∑ ∑∏

( ) ( )1 1

ln , ln expn n

i i

i i

x xL n

µ µµ σ σ

σ σ= =

− − = − − − −

∑ ∑

untuk 0ξ =

www. its.ac.id

( )1

ln , 1exp 0

ni

i

L xnµ σ µµ σ σ σ=

∂ − = − − = ∂

∑

( )2 2

1 1

ln ,exp 0

n ni i i

i i

L x x xnµ σ µ µ µσ σ σσ σ= =

∂ − − − =− + + − − = ∂

∑ ∑

Berdasarkan persamaan di atas diketahui bahwa hasil persamaan turunan pertama

dari fungsi ln likelihood terhadap masing-masing parameter adalah

tidak closed form sehingga diperlukan analisis numerik untuk menyelesaikan

persamaan-persamaan tersebut. Pada penelitian ini, analisis numerik yang

digunakan adalah BFGS Quasi Newton

● Estimasi Parameter Distribusi GEV dengan PWM

( )( ) ( )( ), , 1r sp

p r sM E X F X F X = −

dengan p, r, s = bilangan real

( )( ) ( ) ( )( )1, ,0

11 1 1 , 1, 0

1

r

r rM E X F X rr

ξσβ µ ξ ξ ξ

ξ− = = = + − + Γ + < ≠ +

Fungsi PWM dari variabel random X dengan Cumulative Distribution Function F(X) adalah :

Estimator unbiased dari βr adalah :

www. its.ac.id

[ ]( )( ) ( )( )( ) ( ) [ ]1, ,0

1 11

1 2 ...1 1ˆ ˆ1 2 ...

rn n

r r j jj j

j j j rjM x x

n n n n n n rβ

= ==

− − −− = = = − − − −

∑ ∑∏ℓ

ℓ

ℓ

0ˆ xβ =

( )( ) [ ]1

1

11ˆ1

n

jj

jx

n nβ

=

−=

−∑( )( )( )( ) [ ]2

1

1 21ˆ1 2

n

jj

j jx

n n nβ

=

− −=

− −∑

( ) ( )( ) ( )( )0

11 0 1 1 1 1

0 1

ξσ σβ µ ξ µ ξ

ξ ξ−

= + − + Γ + = + −Γ + +

( )( )0

ˆˆ ˆˆ 1 1ˆ

σβ µ ξ

ξ= + − Γ + ( )( )0

ˆˆ ˆˆ 1 1ˆ

σµ β ξ

ξ= + Γ + −sehingga

( ) ( )( )1

11 2 1

2

ξσβ µ ξ

ξ−

= + − Γ +

( ) ( )( )2

11 3 1

3

ξσβ µ ξ

ξ−

= + − Γ +

( )( )1 02 1 1 2 ξσβ β ξ

ξ−− = Γ + − ( ) ( )2 03 1 1 3 ξσ

β β ξξ

−− = Γ + −

( )( )

2 0

1 0

1 33

2 1 2

ξ

ξ

β ββ β

−

−

−−=

− −2ˆ 7,8590 2,9554c cξ = +sehingga dengan

( )( )

1 0

2 0

ˆ ˆ ln 22

ˆ ˆ ln 33c

β β

β β

−= −

−

www. its.ac.id

( )( )ˆ1 0

ˆˆ ˆ ˆ2 1 1 2ˆ

ξσβ β ξ

ξ−− = Γ + −

( ) ( )( ){ }ˆ

1 0ˆ ˆ ˆ ˆˆ2 1 1 2 ξβ β ξ σ ξ −− = Γ + − sehingga

( )( )( ){ }

1 0

ˆ

ˆ ˆ ˆ2ˆ

ˆ1 1 2 ξ

β β ξσ

ξ −

−=

Γ + −

● Menerapkan EVT dalam Mengidentifikasi Perubahan Iklim di

Jakarta

Curah Hujan (mm)

Fre

ku

en

si

420360300240180120600

350

300

250

200

150

100

50

0

Gambar 3 Histogram Curah Hujan di Stasiun Jakarta

Ekor distribusi turun

secara lambat

Peluang terjadinya

nilai ekstrem akan

lebih besar

EVT

dengan

Block

Maxima

www. its.ac.id

Banyak Data

Cu

rah

Hu

jan

(m

m)

403020100

400

300

200

100

0

59

1913

00010000000000

41

17

101

77

48

75

103

5

45

102

17

202

73

205

359

41

14

53

13

Dengan metode Block Maxima diperoleh

172 data ekstrem dengan rincian :

120 data ekstrem periode I

52 data ekstrem periode II

Gambar 3 Histogram Curah Hujan di Stasiun Jakarta

Tahun 1961-2003

Gambar 4 Pengambilan Data Sampel Curah Hujan di

Jakarta Tahun 1961 dengan Block Maxima

Parameter

Metode

MLE PWM

Periode I

(1961-1990)

Periode II

(1991-2003)

Periode I

(1961-1990)

Periode II

(1991-2003)

96,39 [84,57; 108,21]95,60 [76,59; 114,61]

96,04 94,62

62,74 [53,99; 71,49]66,43 [52,35; 80,51]

64,17 66,53

0,14 [-0,01; 0,60]0,06 [-0,17; 0,76] -0,12 -0,08

µ̂

σ̂

ξ̂

Uji Likelihood Ratio Test :

H0 : (Data ekstrem curah hujan berdistribusi Gumbel) 0ξ =

Tabel 1 Estimasi Parameter dan Confidence Interval 95% untuk Distribusi GEV

www. its.ac.id

H0 : (Data ekstrem curah hujan berdistribusi Gumbel)

H1 : (Data ekstrem curah hujan tidak berdistribusi Gumbel)

0ξ =

0ξ ≠

Tabel 2 Nilai Statistik Uji dan χ2(1) untuk Likelihood Ratio Test

Periode Statistik uji Nilai tabel χ2(1) Keputusan

I 3,78 3,84 Gagal tolak H0

II 0,37 3,84 Gagal tolak H0

Periode Ulang

Periode I (1961-1990) Periode II (1991-2003)

Waktu

Nilai

Return Level

Waktu

Nilai

Return Level

2 blok = 6 bulanJanuari 1991-Juni 1991

120,01 mmJanuari 2004-Juni 2004

120,23 mm

3 blok = 9 bulanJanuari 1991-September 1991

156,90 mmJanuari 2004-September 2004

157,33 mm

4 blok = 12 bulanJanuari 1991-Desember1991

182,06 mmJanuari 2004-Desember 2004

181,75 mm

5 blok = 15 bulanJanuari 1991-Maret 1992

201,51 mmJanuari 2004-Maret 2005

200,18 mm

Tabel 3 Nilai Return Level (Nilai Estimasi Parameter Menggunakan MLE)

www. its.ac.id

Periode Ulang

Periode I (1961-1990) Periode II (1991-2003)

Waktu

Nilai

Return Level

Waktu

Nilai

Return Level

2 blok = 6 bulanJanuari 1991-Juni 1991

129,50 mmJanuari 2004-Juni 2004

129,31 mm

3 blok = 9 bulanJanuari 1991-September 1991

144,44 mmJanuari 2004-September 2004

144,80 mm

4 blok = 12 bulanJanuari 1991-Desember1991

154,00 mmJanuari 2004-Desember 2004

154,72 mm

5 blok = 15 bulanJanuari 1991-Maret 1992

161,08 mmJanuari 2004-Maret 2005

162,06 mm

Tabel 4 Nilai Return Level (Nilai Estimasi Parameter Menggunakan PWM)

KESIMPULAN DAN SARANKESIMPULAN DAN SARANKESIMPULAN DAN SARANKESIMPULAN DAN SARAN

Kesimpulan

Estimasi parameter distribusi Generalized Extreme Value (GEV) dengan Maximum

Likelihood Estimation (MLE) diperoleh persamaan yang tidak closed form

sehingga diselesaikan melalui analisis numerik menggunakan BFGS Quasi

Newton, sedangkan estimasi parameter dengan Probability Weighted Moments

(PWM) diperoleh persamaan yang closed form sehingga diperoleh hasil estimasi

www. its.ac.id

(PWM) diperoleh persamaan yang closed form sehingga diperoleh hasil estimasi

untuk setiap parameter.

Tidak terjadi perubahan iklim di Stasiun Jakarta pada periode Januari 1961-

Desember 2003. Hal ini ditunjukkan dengan tidak adanya perubahan distribusi

pada periode I (1961-1990) dan periode II (1991-2003) baik untuk estimasi

parameter menggunakan metode MLE maupun PWM, setiap nilai estimasi

parameter termuat dalam confidence interval 95%, dan nilai estimasi return level

antara periode I dan II adalah hampir sama.mmmmmmmmmmmmmmmmmmmm

Saran

Untuk mengkaji lebih mendalam Extreme Value Theory (EVT), perlu dibahas lebih

lanjut mengenai confidence interval (1-α) x 100% untuk setiap estimasi parameter

distribusi GEV yang diperoleh dengan metode Probability Weighted Moments (PWM).

Dalam mengidentifikasi perubahan iklim, perlu dilakukan penelitian lebih lanjut

www. its.ac.id

Dalam mengidentifikasi perubahan iklim, perlu dilakukan penelitian lebih lanjut

mengenai intensitas atau frekuensi terjadinya iklim ekstrem.

Untuk penelitian berikutnya, estimasi parameter dapat dilakukan dengan metode lain

selain dengan metode Maximum Likelihood Estimation (MLE) dan Probability

Weighted Moments (PWM), misalnya dengan metode estimasi Hill.

DAFTAR PUSTAKADAFTAR PUSTAKADAFTAR PUSTAKADAFTAR PUSTAKA

[1] Diebold, F.X., Schuermann,T. & Stroughair, J.D., 1998, “Pitfalls and Opportunities in the

Use of Extreme Value Theory in Risk Management”, Journal of Risk Finance 1, 30-36.

[2] Gilli & Kellezi, 2003, An Application of Extreme Value Theory for Measuring Risk,

Department of Econometrics, University of Geneva and FAME CH-1211 Geneva 4,

Switzerland.

[3] Hastaryta, R. & Effendie, A.R., 2006, “Estimasi Value-at-Risk dengan Pendekatan Extreme

Value Theory-Generalized Pareto Distribution (Studi Kasus IHSG 1997-2004)”, Jurnal

FMIPA, Yogyakarta : UGM.

[4] Gander, J.P., 2009, “Extreme Value Theory and the Financial Crisis of 2008”, Journal of

Economics 3, 1-41.

[5] Georgescu, V., 2009, “Measuring Risk with Extreme Value Theory”, Thesis CASE (Center

of Applied Statistics and Economics), Humboldt University.of Applied Statistics and Economics), Humboldt University.

[6] Gourier, E., Farkas, W. & Abbate, D., 2009, “Operational Risk Quantification using

Extreme Value Theory and Copulas: from Theory to Practice”, Journal of Operational

Risk 4 3, 3-26.

[7] Alves, M.L.F. & Gomes, M.L., 1996, “Statistical Choice of Extreme Value Domains of

Attraction - A Comparative Analysis”, Communication in Statistics-Theory and Method

25, 789-811.

[8] Deane, J.H.B., Johnstone, G.G. & Ledford, A.W., 1997, “Extreme Value Theory Applied to

Multichannel Communication Systems”, Journal of Telecommunication 33, 832-833.

[9] Kang, J., Hamilton, B.A. & McLean., 2000, “GIG Network and Application System

Performance Analysis Using Extreme Value Theory”, Journal of Telecommunication,

Virginia.

[10] Kalyani, S. & Giridhar, K., 2006, “Extreme Value Theory based Decision Directed OFDM

Channel Tracking”, Journal of Telecommunication and Computer Networks 6, 2893-

2898. www. its.ac.id

[11] Hosking, J.R.M., Wood, E.F. & Wallis, J.R., 1984, “Estimation of the Generalized

Extreme Value Distribution by the Method of Probability Weighted Moments”,

Technometrics 27, 251-261.

[12] Coles, S., Heffernan, J. & Tawn, J., 1999, “Dependence Measures for Extreme Value

Analysis”, Pakistan Journal of Applied Sciences 2, 339-365.

[13] Arshad, M., Rasool, M.T. & Ahmad, I., 2002, “Rainfall Intensity Estimates by Generalized

Pareto Distribution”, Pakistan Journal of Applied Sciences 2, 774-776.

[14] Katz, R.W., Parlange, M.B. & Naveau, P., 2002, “Statistics of Extremes in Hydrology”,

Advances in Water Resources 25, 1287–1304.

[15] Klein, T.A.M.G. & Können, G.P., 2003, “Trends in Indices of Daily Temperature and

Precipitation Extremes in Europe 1946–1999”, Journal of Climate, 16, 3665–3680.

[16] Li,Y., Cai, W. & Campbell, E.P., 2005, “Statistical Modelling of Extreme Rainfall in

Southwest Australia”, Journal of Climate 18, 852-863.

[17] Gilleland, E. & Katz, RW., 2006, “Analyzing Seasonal to Interannual Extreme Weather

and Climate Variability with the Extremes Toolkit (extRemes), Based on theand Climate Variability with the Extremes Toolkit (extRemes), Based on the

Recommendation of the 18th Conference on Climate Variability and Change, 86th

American Meteorological Society (AMS) Annual Meeting, Atlanta, Georgia, 29

January–2 February 2006.

[18] Prang, J.D., 2006, Sebaran Nilai Ekstrem Terampat dalam Fenomena Curah Hujan, Tesis

Jurusan Statistika, IPB, Bogor.

[19] Diebolt, J., Guillou, A. & Naveau, P., 2008, “Improving Probability-Weighted Moment

Methods for the Generalized Extreme Value Distribution”, Statistical Journal 6, 33-

50.

[20] Giles, D.E., Feng, H. & Godwin, R.T., 2011, “Bias-Corrected Maximum Likelihood

Estimation of the Parameters of the Generalized Pareto Distribution”, Econometrics

Working Paper 35, 200-207.

[21] McNeil, A. J., 1999, Extreme Value Theory for Risk Managers, Department Mathematic

ETH, Zentrum, Zurich.mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm

www. its.ac.id

TERIMA KASIHTERIMA KASIHTERIMA KASIHTERIMA KASIH

www. its.ac.id