Upload
others
View
2
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Année Universitaire 2009/2010
Mémoire présenté pour l’obtention
du Diplôme Universitaire d’Actuaire de Strasbourg « DUAS »
et du Diplôme du Master mention Finance spécialité «Actuariat et Gestion du Risque»
le 04/10/2010 par : Alexandre ARMBRUSTER
Titre : Estimation du Best Estimate sur le risque dépendance
Confidentialité : □ NON □ OUI (Durée : □ 1 an □ 2 ans)
Membres du jury de l’institut des Actuaires : Entreprise : CNP Assurances
_____________________________ Directeur de mémoire en entreprise :
Sophie WITTMER Membres du jury de l’université de Strasbourg : Invité : Mme Armelle GUILLOU ____________________________ M. Jean-Luc NETZER M. Hansjoerg ALBRECHER M. Philippe ARTZNER M. Frédéric BERTRAND Autorisation de mise en ligne sur un site Mme Marie-Hélène BROIHANNE de diffusion de documents actuariels M. Karl-Théodor EISELE (après expiration de l’éventuel délai de M. Jacques FRANCHI confidentialité)
M. Christophe GODLEWSKI Signature du responsable entreprise : M. Bernard HEINKEL M. Nicolas KLUTCHNIKOFF M. Bertrand KOEBEL M. Maxime MERLI M. Patrick ROGER Signature du candidat : Secrétariat : Mme Pierrette XIMENEZ 61 avenue de la Forêt Noire 67085 STRASBOURG Tél : 03 68 85 20 54 Bibliothèque du PEGE : Tél : 03 68 85 22 23
2
3
Remerciements
Je souhaite tout d’abord remercier CNP Assurances pour m’avoir permis d’accomplir mon
mémoire, et plus particulièrement tout le service Prévoyance Collective et Emprunteur (PCE)
de l’Actuariat Central qui a su m’accueillir dans une ambiance conviviale et sympathique.
Cette expérience n’aurait pas vu le jour sans mon maître de stage Sophie WITTMER, que je
tiens tout particulièrement à remercier, pour sa disponibilité, son aide, ses conseils, et son
expérience du métier.
Je tiens également à remercier Makram BEN DBABIS, qui a su me transmettre son savoir
faire en matière de modélisation actuarielle. Son expertise dans le domaine m’a permis
d’aller encore plus loin dans le développement de mon sujet.
En dernier lieu, je souhaite remercier Cédric ATCHAMA, qui m’a fait bénéficier de ses
connaissances en ce qui concerne la dépendance, et de la façon dont elle est appréhendée
au niveau de la CNP.
4
Résumé
Depuis quelques décennies, nous observons que les progrès de la médecine, l’amélioration
du niveau de vie et des conditions sanitaires impactent fortement l’espérance de vie. Ainsi le
vieillissement de la population française conduira inévitablement à un accroissement du
nombre de personnes dépendantes dans le futur.
L’Allocation Personnalisée d’Autonomie (APA), créée en 2002 et financée par les conseils
généraux, a pour objectif de prendre en charge une partie des besoins liés à la survenance
de la dépendance. Cependant, les bénéficiaires de l’APA estiment déjà à l’heure actuelle que
les ressources sont insuffisantes pour couvrir le coût des services liés à la dépendance.
Une solution serait de souscrire une assurance dépendance permettant d’assurer les coûts
liés à l’apparition d’une perte d’autonomie. Les assureurs français proposent depuis une
vingtaine d’années des produits dépendance mais ce risque demeure complexe à
modéliser. En effet, il s’agit d’un risque de long terme et le peu de statistiques disponibles
engendre de nombreuses difficultés dans les estimations.
La détermination des probabilités de survenance du risque, les coûts engendrés et la
manière dont le risque peut évoluer, semblent en effet les enjeux essentiels dans le cadrage
de ce risque. La manière d’évaluer la sinistralité des assurés impactera directement
l’estimation des résultats futurs.
De manière générale, ce mémoire a pour objet d’évaluer le risque de dépendance tel qu’il
existe chez les assurés ayant souscrit cette garantie sur un portefeuille de la CNP.
Après une analyse descriptive des 5 produits de prévoyance collective observés, nous avons
appliqué divers modèles de durée dans le but de construire une loi d’entrée et une loi de
maintien en dépendance.
Dans un premier temps, la loi d’entrée en dépendance est modélisée de manière non-
paramétrique par le biais de deux types de lissage : les moyennes mobiles, et le lissage de
Whittaker-Henderson. Ces méthodes de lissages sont assez restrictives car elles ne donnent
pas lieu à la définition d’une loi paramétrée à nos taux empiriques d’entrée en dépendance.
Dans un second temps, nous avons ajusté selon un modèle paramétrique de type Makeham,
qui permet d’obtenir une loi avec des paramètres estimés par maximum de vraisemblance.
5
La loi de maintien en dépendance a été construite grâce à l’estimateur de Kaplan-Meier.
Les résultats suggèrent une segmentation par sexe de la loi de maintien qui est confirmée
par le test de rang de type Log-Rank. Afin d’obtenir une loi de maintien en dépendance tous
âges confondus, les courbes ont été lissées par la méthode de « splines cubiques » puis par
celle de Whittaker-Henderson.
Nous réalisons des calculs classiques de tarification et de provisionnement applicables aux
tables d’expérience construites. Cette étape permet d’estimer de manière déterministe les
engagements de l’assureur et de visualiser leur croissance forte en fonction de l’âge.
L’introduction d’un modèle stochastique pour l’évaluation du risque dépendance est alors
proposée. Ce type d’estimation est préalablement initié par un modèle d’état de type chaîne
de Markov. Celui-ci émet l’hypothèse que l’état d’un individu au cours d’un intervalle de
temps considéré dépend uniquement de l’état dans lequel il se trouvait au début de ce
même pas de temps.
Dans notre cas, trois états sont définis : valide, dépendant ou décédé. Nous simulons ainsi la
vie d’un assuré un grand nombre de fois, et nous créons un échantillon par âge,
permettant d’obtenir les estimateurs de la probabilité d’entrée et de maintien en
dépendance. Nous réitérons ce processus pour entrer dans le cadre de la méthode de
Monte-Carlo, et ainsi extraire les distributions des lois d’entrée, de maintien et les
espérances de survie en dépendance stochastiques.
En l’espèce, cette méthode permet de décrire une loi de maintien stochastique par âge. Le
calcul des engagements stochastiques de l’assureur pour le risque dépendance conclut à un
sous-provisionnement et à une sous-tarification pour les âges élevés dans le cas d’une
évaluation déterministe.
L’utilisation de tables d’expérience, couplée à des simulations stochastiques, permet de
mieux appréhender le risque et entre dans les directives de Solvabilité 2.
En complément de la présente étude, il serait intéressant de se pencher sur la modélisation
stochastique de l’actif mis en représentation du passif.
Mots-clefs : dépendance, tables d’expérience, Makeham, Whittaker-Henderson, splines
cubiques, Kaplan-Meier, Monte-Carlo, engagements stochastiques…
6
Abstract
In recent decades, we find that medical advances improved living standards and health
conditions strongly impact the life expectancy. Thus the aging of the French population will
inevitably lead to an increase in the number of dependent persons in the future.
Custom Autonomy Allowance (APA), founded in 2002 and financed by county councils, aims
to take over part of the requirements related to the occurrence of Long Term Care (LTC).
However, recipients of the APA already feel that resources are insufficient to cover the cost
of services related to LTC.
One solution is to suscribe a LTC insurance to ensure the costs associated with the onset of a
loss of autonomy. French insurers have been offering twenty years of LTC insurances, but
that risk is complex to modelize. Indeed, it is a long-term risk and the few statistics available
generates many difficulties in the estimates.
The determination of occurrence’s probabilities of risk, costs and how risk may change, seem
to be the critical challenges in the framing risk. The way to evaluate the policyholders’ claims
will impact directly the estimate of future results.
Overall, this thesis aims to assess the risk of LTC that exists among policyholders who
subscribed this guarantee on a CNP’s portfolio.
After a descriptive analysis of 5 products, we applied various duration models in order to
construct a law of entries in LTC and a disablement table.
Initially, the law of entries in LTC is modellized with a non-parametric method by means of
two types of smoothing: moving averages, and the Whittaker-Henderson’s smoothing. These
methods of smoothing are quite restrictive because they do not give a parameterized law to
our empirical rates of LTC. In a second step, we adjusted according to Makeham’s parametric
model, which gives a law with parameters estimated by maximum likelihood.
The disablement table has been built with Kaplan-Meier’s estimator.
The results suggest a gender segmentation of the disablement table which is confirmed by
the log-rank test. In order to obtain a disablement table for all ages, the curves have been
smoothed by the method of "splines" then by the Whittaker-Henderson’s.
7
We perform classical computations pricing and reserving applicable to tables of experience
built. This part estimates deterministic liabilities of the insurer and shows that strong growth
is a function of age.
The introduction of a stochastic model for LTC risk assessment is then proposed. This
estimate is first initiated by a state model of Markov chain. It speculates that the status of a
person during a time interval depends only on the state it was in the beginning of that time
step.
In our case, three states are defined: valid, dependent or dead. We simulate many times the
lives of an insured person, and we create a sample by age, to obtain estimators of the
probability of entry and retention in dependency. We repeat this process which belongs to
the Monte Carlo method. Thus, we extract the distributions of stochastic law of entries in
LTC, stochastic disablement table and stochastic hopes of survival in dependency.
In this case, this method provides a description of a disablement table age per age. The
calculation of stochastic insurer’s liabilities for LTC shows an under-reserving and under-
pricing for the older ages in the case of a deterministic assessment.
The use of experience tables, associated with stochastic simulations, provides a better
estimate of risk, as recommended by Solvency 2’s guidelines.
In addition to this study, it would be interesting to consider the stochastic modeling of the
net asset set.
Tags: Long Term Care, experience tables, Makeham, Whittaker-Henderson, cubic splines,
Kaplan-Meier, Monte Carlo, stochastic liabilities...
8
Table des matières
Remerciements .............................................................................................. 3
Résumé .......................................................................................................... 4
Abstract ......................................................................................................... 4
Introduction .................................................................................................. 11
I] Le marché de l’assurance dépendance ....................................................... 13
I]1) La dépendance, un risque capital pour la société .......................................................... 13
I]2) Un besoin de définir la dépendance .............................................................................. 15
I+3) Les produits d’assurance dépendance ........................................................................... 18
I+4) Les contrats d’assurance dépendance ........................................................................... 19
I]5) Les données utilisées ...................................................................................................... 20
I+5)1) Les produits CNP d’assurance dépendance ............................................................ 20
I]5)2) Analyse descriptive des données ............................................................................ 22
I]6) Les indicateurs ................................................................................................................ 28
II] Elaboration de tables d’expérience en dépendance .................................. 30
II+1) La loi d’entrée en dépendance ...................................................................................... 30
II]1)1) Les données utilisées .............................................................................................. 30
II+1)2) Estimation des taux empiriques d’entrée en dépendance .................................... 31
II]1)3) Segmentation par niveau de dépendance ............................................................. 33
II]1)4) Segmentation par sexe ........................................................................................... 34
II]1)5) Intervalles de confiance pour les taux bruts .......................................................... 35
II]1)6) Ajustement et lissage ............................................................................................. 37
II]1)6)1) Lissage non-paramétrique par moyennes mobiles ......................................... 38
II]1)6)2) Lissage par Whittaker-Henderson (cas de la dimension un) ........................... 39
II+1)6)3) Ajustement paramétrique des taux empiriques d’entrée en dépendance .... 42
II]1)6)3)a) Les données de survie .............................................................................. 42
II]1)6)3)b) La loi paramétrique du modèle de Makeham .......................................... 44
II]1)6)3)c) Test du Khi-Deux ....................................................................................... 55
9
II]1)7) Segmentation Homme-Femme : le test de Kolmogorov-Smirnov ......................... 56
II]1)8) Comparaison des résultats obtenus avec une courbe de référence ..................... 59
II+1)9) Conclusion sur la table d’entrée en dépendance ................................................... 59
II+2) Construction d’une loi de maintien en dépendance..................................................... 60
II]2)1) Les données utilisées .............................................................................................. 60
II]2)2) Modélisation non paramétrique ............................................................................ 61
II]2)2)1) Présentation générale des modèles de durée ................................................ 61
II)2)2)2) Rappel sur les outils mathématiques .............................................................. 62
II]2)2)3) Censures et troncatures .................................................................................. 63
II]2)2)4) Estimateurs de la fonction de survie ............................................................... 65
II+2)2)4)a) L’estimateur de Nelson-Aalen du taux cumulé ........................................ 65
II+2)2)4)b) L’estimateur de Harrington-Fleming ........................................................ 67
II+2)2)4)c) L’estimateur de Kaplan-Meier .................................................................. 67
II+2)2)5) Application de l’estimateur de Kaplan-Meier ................................................. 71
II]2)2)5)a) Loi de maintien tous âges confondus ....................................................... 71
II]2)2)5)b) Segmentation hommes/femmes de la loi de maintien ............................ 73
II]2)2)6) Interpolation par splines cubiques .................................................................. 77
II]2)2)7) Lissage des lois de maintiens ........................................................................... 80
II]2)2)9) Comparaison des résultats obtenus avec des courbes de référence ............. 82
II]2)2)10) Conclusion sur la loi de maintien en dépendance ........................................ 82
III] Tarification et provisionnement du risque dépendance ........................... 83
III]1) La tarification ................................................................................................................ 83
III]2) Le provisionnement...................................................................................................... 86
III]2)1) Les provisions mathématiques .............................................................................. 86
III]2)2) Les provisions pour risques croissants .................................................................. 87
III]3) Application ................................................................................................................... 88
IV] Simulation stochastique sur le risque dépendance ................................... 93
IV]1) Description ................................................................................................................... 93
IV+2) L’algorithme ................................................................................................................. 96
10
IV]3) Application numérique .............................................................................................. 100
IV+3)1) La loi d’entrée en dépendance stochastique ...................................................... 100
IV]3)2) Espérances de survie en état dépendance stochastiques .................................. 103
IV]3)3) La loi de maintien en dépendance stochastique ................................................ 106
IV]3)4) Les rentes stochastiques servies en dépendance ............................................... 108
IV]3)5) Evaluation stochastique des engagements à la souscription ............................. 109
IV]3)6) Evaluation des primes pures annuelles stochastiques en dépendance ............. 113
IV]3)7) Etudes des portefeuilles d’expérience ................................................................ 114
IV+3)8) Des pistes d’amélioration ................................................................................... 118
Conclusion .................................................................................................. 119
Bibliographie ............................................................................................... 120
Annexes ...................................................................................................... 122
11
Introduction
Les dernières décennies ont été fortement marquées par l’allongement de l’espérance de
vie. Ce constat est principalement le résultat d’énormes progrès en matière médicale et
sanitaire. Le vieillissement de la population française conduira inéluctablement dans les
années à venir à une augmentation du nombre de personnes dépendantes.
Pour pallier ce futur accroissement, le gouvernement a mis en place une série de dispositifs
d’aides aux personnes atteintes, et montre une certaine volonté de couvrir la dépendance
par la création du « cinquième risque » de la Sécurité Sociale. Cependant, les bénéficiaires
de l’APA estiment déjà à l’heure actuelle que les ressources sont insuffisantes pour couvrir le
coût des services liés à la dépendance.
Une solution serait de souscrire une assurance dépendance permettant d’assurer les coûts
liés à l’apparition d’une perte d’autonomie. Les assureurs français proposent depuis une
vingtaine d’années des produits dépendance mais ce risque demeure pourtant complexe à
modéliser. En effet, il s’agit d’un risque de long terme et le peu de statistiques disponibles
engendre de nombreuses difficultés dans les estimations.
De manière générale, ce mémoire a pour but de traduire le risque de dépendance tel qu’il
existe chez les assurés ayant souscrit cette garantie sur un portefeuille de la CNP. Ces
estimations impacteront plusieurs éléments dont la méthode de calcul des engagements pris
par l’assureur.
Dans un premier temps, nous présenterons le contexte actuel de la dépendance, en
décrivant les moyens d’aides mis en place par les pouvoirs publics ainsi que les solutions
proposées par les assureurs.
Dans un second temps, l’étude de 5 produits dépendance de la CNP, présentant les mêmes
caractéristiques, permettra de modéliser la loi d’entrée et la loi de maintien en dépendance
d’expérience du portefeuille considéré. Les formules actuarielles de provisionnement et de
tarification seront appliquées à ces tables, ce qui permettra de présenter les engagements
déterministes de l’assureur pour ce type de contrat.
12
En dernier lieu, nous présenterons une application de la méthode de calcul de Monte-Carlo,
utilisée ici pour simuler la vie des contrats d’assurance dépendance. La construction d’une
table d’entrée et de maintien en dépendance stochastiques est proposée, ainsi que
l’évaluation des engagements stochastiques de l’assureur. Cette dernière étape permettra
d’entrer dans le cadre des nouveaux référentiels comptables et prudentiels Solvabilité 2 qui
obligent les acteurs du secteur de l’assurance à repenser l’évaluation de leurs engagements
d’une manière économique en mettant en place un contrôle prudentiel tant au niveau des
provisions techniques qu’au niveau des fonds propres, afin de limiter la probabilité de ruine
de l’assureur et de garantir sa solvabilité à l’égard de ses assurés.
13
I] Le marché de l’assurance dépendance
I]1) La dépendance, un risque capital pour la société
A partir des années 80, le risque de dépendance chez les personnes âgées a commencé à
être pris en considération par les organismes assureurs. Parallèlement, nous observons que
les progrès de la médecine impactent fortement l’espérance de vie. Au total sur les dix
dernières années, les gains d’espérance de vie sont estimés à trois ans pour les hommes et à
deux ans pour les femmes1. L’allongement de la durée de vie et le vieillissement de la
population française conduiront inévitablement dans les années à venir à une augmentation
du nombre de personnes âgées dépendantes. La proportion de personnes âgées de plus de
60 ans est de 20% aujourd’hui. Des estimations prévoient que cette proportion atteindrait
30% en 2050. Selon une étude de l’INSEE2, le nombre de personnes dépendantes
augmenterait de 50% entre 2000 et 2040 pour atteindre
1 230 000 (contre un peu plus de 800 000 en 2000).
En 2009, selon la FFSA, le coût moyen de la dépendance pour une personne est estimé entre
1 500 € à 2 000€ par mois, variant selon le type d’assistance choisie (aide à domicile ou en
établissement spécialisé) et la localisation géographique. Le coût des services liés à la prise
en charge de la dépendance, pourrait très fortement augmenter dans les années à venir sans
tenir compte de l’effet de l’inflation. A titre de comparaison, les retraites brutes en 2009
s’élèvent en moyenne à 1 200€ par mois.
En termes de solidarité nationale, les dépenses publiques liées à la dépendance sont
évaluées à 19 milliards d’euros, soit 1% du PIB, avec 11,4 milliards d’euros financés par
l’assurance maladie, 4,2 milliards d’euros via l’APA (Allocation Personnalisée d’Autonomie),
3 milliards par la Caisse nationale pour la solidarité (CNSA) dont 1,5 milliard via l’APA, et 400
millions par l’Etat.
1 Espérance de vie à la naissance et taux de mortalité infantile, Institut National de la Statistique et des Etudes
Economiques (INSEE), 2009 2 La dépendance des personnes âgées : projection en 2040, Michel Duée, Cyril Rebillard, INSEE, Edition 2006
14
L’Etat et l’assurance maladie s’occupe de la prise en charge des prestations de soins
proprement dites, tandis que les départements jouent un rôle pivot au titre de l’APA et de
l’organisation des structures médico-sociales.
En tenant compte de l’évolution de la pyramide des âges, de l’augmentation de la
population totale, et de l’augmentation du coût des services, la prise en charge de la
dépendance devrait passer à 1,6% du PIB en 2025 selon le Centre d’Analyse Stratégique.
Ce risque devient ainsi un sujet d’actualité et impliquera dans les prochaines années un réel
problème de santé publique.
Depuis peu, il existe une réelle volonté d’appréhender le risque par le gouvernement,
notamment à travers des dispositifs administratifs et financiers pour aider les personnes en
état de dépendance. Le 29 novembre 2007, le Sénat a autorisé la création d’une mission
commune d’information sur la prise en charge de la dépendance et la création du cinquième
risque de la Sécurité Sociale. « Le Monde » daté du mardi 20 juillet 2010 mentionne le
lancement d’une étude proposant l’établissement d’un dispositif d’assurance obligatoire
pour les plus de 50 ans. D’autres pistes ont été évoquées dans le rapport de la commission
des affaires sociales de l’Assemblée nationale. Ce système d’assurance obligatoire se
substituerait à l’APA, et selon « Le Monde », il s’agirait alors d’ « opposer au principe de
solidarité générale, reposant sur un financement public, un dispositif s’appuyant sur un
système d’assurance ». Le rapport fait cependant mention qu’ « il s’agit d’un système mixte
d’assurance garanti par la puissance publique et qui serait mutualisé ». De réels débats ont
été enclenchés concernant la prise en charge de la dépendance, et surtout dans quelle
mesure interviendraient les pouvoirs publics et les assurances privées.
Une évaluation précise de la dépendance devient nécessaire, or les compagnies d’assurances
et les instituts de prévoyance se retrouvent face à un risque en perpétuelle évolution, à des
statistiques peu étoffées, ce qui a pour conséquence une approche assez difficile du point de
vue technique et actuariel. Une définition uniforme de la dépendance semble également
indispensable dans le but d’homogénéiser les contrats proposés par les organismes, or de
nombreuses interprétations de cette notion existent aujourd’hui.
15
I]2) Un besoin de définir la dépendance
Nous pouvons retenir cette définition de la dépendance évoquée dans une étude de la
FFSA3 :
« La dépendance est une notion relativement difficile à définir, elle fait à la fois référence à
une dimension physiologique (ne pas réussir physiquement à réaliser certaines tâches de la
vie quotidienne) et sociale (dépendre d’un tiers pour réaliser ces tâches). Elle se définit
généralement par la nécessité de recourir à une aide extérieure pour accomplir les actes
essentiels de la vie. La dépendance peut être partielle ou totale. »
Le problème est de définir le niveau de dépendance d’une personne lors de la survenance du
risque.
A cet effet, on prend en compte les dimensions physiologiques et psychiques de la
dépendance en observant si la personne est capable ou non de réaliser les actes de la vie
quotidienne.
Des classes peuvent être alors définies et mettent en avant le degré de dépendance de la
personne concernée : totale pour les personnes les plus touchées et partielle pour une
dépendance moins importante.
Un système d’évaluation paraît nécessaire pour mesurer l’état de dépendance du sujet
atteint. De nombreuses grilles d’évaluation sont utilisées pour mesurer la dépendance :
- La grille COLVEZ : établie par le docteur COLVEZ, elle mesure la perte de mobilité. Elle
définit 4 niveaux, grâce auxquels on pourra juger si la personne est dépendante
partielle ou totale.
- La grille EHPA4 : cette grille croise les niveaux de la grille COLVEZ avec deux groupes
définis selon l’existence ou non de troubles du comportement ou de désorientation
dans l’espace et dans le temps. Elle regroupe ainsi les notions de dépendance
physique et psychique, ce qui a pour but une détermination plus fine du niveau de
dépendance de la personne atteinte.
3 : « Modélisation du Risque Dépendance à Partir des Données HID », Cahiers Techniques N°02, Mars 2005,
Fédération Française des Sociétés d’Assurances (FFSA) 4 : Etablissements d’Hébergement pour Personnes Agées
16
- La grille AVQ5 : cette grille proposée par KATZ décrit 6 actes de la vie quotidienne.
Pour chaque acte, on affecte un niveau de dépendance de 1 à 8. Ce dernier définit la
dépendance résiduelle du patient.
- La grille AGGIR6 : elle a pour but d’évaluer les besoins financiers liés à la survenance
de la dépendance chez un individu. Elle comporte 10 variables discriminantes
relatives à la perte d’autonomie physique et psychique, et sept variables illustratives
indiquant le degré d’autonomie domestique et sociale. Chacune des variables est
affectée d’une modalité visant à mesurer le degré de dépendance du patient. Après
analyse statistique, six groupes dits « ISO-Ressources » ou GIR sont créés, noté de 1 à
6, allant de l’état le plus grave au plus modéré.
La grille AGGIR est utilisée dans le cadre de l’attribution de l’Aide Personnalisée d’Autonomie
(APA).
Cette aide est une ressource importante pour le dépendant comme on a pu le voir
précédemment.
Les informations suivantes concernant l’APA sont issues d’une étude de la DREES7. Elle
remplace, depuis le 1er janvier 2002, la Prestation Spécifique Dépendance (PSD). En effet, ce
système s’est rapidement révélé insuffisant tant au niveau du nombre de personnes
bénéficiaires qu’au niveau du montant alloué. L’APA instaure un droit pour les personnes
âgées en état de perte d’autonomie, et relève des Conseils Généraux. Les individus pouvant
en bénéficier doivent être âgés de plus de 60 ans8 , et présentent un niveau de dépendance
classé de GIR 1 à 4.
5 : Actes de la Vie Quotidienne
6 : Autonomie Gérontologique Groupe ISO-Ressources
7 : Etudes et Résultats, N°710, Novembre 2009, Direction de la recherche, des études, de l’évaluation et des
statistiques (DREES) 8 : Soit 14.3 millions de personnes potentiellement concernées, dont 5.6 millions âgées de 75 ans ou plus
(estimations INSEE au 1er
janvier 2009)
17
La répartition des bénéficiaires de l’APA selon le degré de dépendance de la personne,
arrêtée au 30 juin 2009, est la suivante :
Domicile Etablissement Total
Nombre En % Nombre En % Nombre En %
GIR 1 18 000 2,6 70 000 16,2 88 000 7,9
GIR 2 125 000 18,2 189 000 43,9 314 000 28,1
GIR 3 149 000 21,7 68 000 15,8 217 000 19,4
GIR 4 394 000 57,4 104 000 24,1 498 000 44,6
Total 686 000 100 431 000 100 1 117 000 100
Tab.1 - Enquête trimestrielle auprès des Conseils Généraux (DREES)
Les plans d’aide par GIR ont été ainsi plafonnés :
Montant mensuel maximum du plan d’aide APA Au 1er avril 2009
GIR 1 1224,63€
GIR 2 1049,68€
GIR 3 787,26€
GIR 4 524,84€
Tab.2 – Montant mensuel de l’APA par GIR
Les définitions présentées ici montrent l’hétérogénéité des méthodes d’évaluation du niveau
de dépendance des personnes dépendantes. Certaines grilles prennent en compte
l’autonomie résiduelle de la personne, d’autres évaluent uniquement le degré de
dépendance, tout en mêlant ou non les aspects physiques et psychiques. Pourtant, dans le
cadre de la prise en charge de la personne âgée en perte d’autonomie, l’analyse des besoins
en fonction du degré de dépendance est nécessaire, comme nous le constatons à travers le
mode d’attribution de l’APA. L’introduction du cinquième risque de la Sécurité Sociale
permettra sans doute de converger vers une interprétation unique et donc une évaluation
commune de la dépendance.
18
En dépit des apports incontestables de l’APA pour les personnes âgées dépendantes de
plus de 60 ans et des aides publiques, ces ressources demeurent insuffisantes aux yeux de
ses bénéficiaires. Une solution complémentaire pour assurer les coûts liés à la
dépendance, évoquée notamment par le gouvernement, serait de souscrire une assurance
dépendance. En cotisant en amont lorsque l’individu est valide, il peut ainsi se garantir
contre les besoins financiers inéluctables liés à la survenance du risque.
I]3) Les produits d’assurance dépendance
Les produits dépendance constituent une solution face au vieillissement de la population. Ils
permettent de pallier à la fois une prise en charge tardive et limitée de la dépendance par les
pouvoirs publics (notamment en l’absence d’incitations fiscales) et à une incapacité légitime
des familles à pouvoir supporter le coût total de la prise en charge de leurs aînés.
Dans la quasi-totalité des pays, dont la France, le produit d’assurance préconisé
actuellement consiste en un produit forfaitaire. Il s’agit d’une rente annuelle ou mensuelle
avec un montant prédéfini, pour laquelle le souscripteur choisit de s’assurer.
Il existe également une autre forme d’assurance envisageable : l’assurance indemnitaire. Elle
consiste à couvrir une partie ou l’intégralité des frais liés aux besoins matériels et de services
à la personne (pharmacie, toilette, hôpital, taxi, aménagement du logement de la personne
dépendante etc.). Cette base de remboursement augmente avec l’inflation ou change selon
le niveau de la Sécurité Sociale.
Même si les sociétés d’assurances privilégient aujourd’hui un produit forfaitaire, elles
tentent d’introduire de plus en plus de services en complément des garanties forfaitaires.
Pour autant, force est de constater qu’en France comme aux Etats-Unis, le marché tarde à se
développer9. En France, le marché compte environ 3 millions de personnes assurées, et se
voit attribuer la 2ème place mondiale dans ce domaine.
9 : Voir l’article : Le Marché de l’Assurance Dépendance, Manuel Plisson, IRI – Crea (Université Paris Dauphine)
19
La première place revient aux Etats-Unis avec 6 millions de personnes assurées. C’est ce que
Denis KESSLER10 *2007+ appelle l’ « énigme de l’assurance dépendance ». Ce type de produit
reste relativement difficile à vendre auprès des actifs qui priorisent la couverture de risques
de plus court terme (frais de soins, arrêt de travail etc…), impliquant un développement très
lent de ce type de couverture.
I]4) Les contrats d’assurance dépendance
Deux grandes familles de contrat d’assurance dépendance existent :
- Contrat Prévoyance : ce type de contrat couvre le risque pur, c’est-à-dire uniquement
la dépendance. L’assuré paiera des primes périodiques, et si le risque se réalise, il
touchera des primes sous forme, par exemple, de rente viagère prédéfinie au
moment de la souscription.
- Contrat Epargne : c’est un contrat d’épargne classique avec possibilité de rachat,
incluant des garanties complémentaires, ici la dépendance, où les primes sont payées
librement et sont capitalisée. Si le risque survient, le montant épargné est versé sous
forme de rente viagère ou de capital.
Les contrats prévoient en général le versement d’une rente viagère ou d’un capital lors de la
survenance du sinistre (vu précédemment) et selon le niveau de dépendance atteint.
Puisque le risque dépendance est difficile à apprécier, certains éléments précisés dans le
contrat permettent de mieux cerner le risque, et d’éviter l’anti sélection.
Une limite d’âge à la souscription est imposée pour éviter notamment des primes trop
élevées et des formalités médicales trop conséquentes (les probabilités de survenance du
risque étant importantes aux âges élevés).
Une sélection médicale est réalisée sous forme de déclaration d’état de santé faite par
l’individu appuyé d’un rapport du médecin traitant.
10
: Président du Groupe SCOR
20
Selon le montant de garantie, des questionnaires et des examens médicaux viennent en
supplément dans le but de déterminer les antériorités médicales favorisant un futur état de
dépendance. Cette pratique est très développée, notamment en Angleterre.
Un délai de carence est souvent imposé et permet à l’assureur de verser des prestations
uniquement si l’entrée en dépendance a lieu au-delà de ce même délai.
Lors de la survenance du risque, l’application d’un délai de franchise permet de constater un
éventuel retour « à la normale » de la personne dépendante. Durant cet intervalle de temps,
aucune prestation n’est versée par l’assureur.
Ce type de sélection est assez fine pour les contrats collectifs à adhésion individuelle et ces
derniers proposent généralement des tarifs dépendants de l’âge atteint. S’agissent des
contrats à adhésion obligatoire, ils présentent des formalités d’adhésion simplifiées et des
tarifs plus mutualisé, donc inférieurs pour les assurés âgés. Dans certains cas, les délais de
carence, les franchises ou questionnaires médicaux sont allégés voire supprimés.
I]5) Les données utilisées
Les études réalisées par les assureurs concernant la dépendance sont encore relativement
rares, ceci étant dû au peu de données recueillies jusqu’à présent. Une étude approfondie
d’une partie du portefeuille de la CNP, en ce qui concerne les assurés et les sinistrés en
dépendance, permettra d’estimer au mieux le risque réel engendré par cette garantie pour
la compagnie.
I]5)1) Les produits CNP d’assurance dépendance
La première partie de l’étude a été de recenser les données historiques des produits de la
CNP garantissant la couverture du risque dépendance. A ce titre, nous avons réalisé une
base de données aussi cohérente et exhaustive que possible.
21
L’étude s’appuie sur 5 produits de la CNP couvrant le risque de dépendance, qui regroupent
chacun des contrats prévoyance collectifs combinant des adhésions obligatoires et
facultatives :
- L’adhésion est en général obligatoire pour le membre adhérent du souscripteur ;
- Elle est facultative pour les ayants droit.
La sélection médicale à la souscription est beaucoup plus stricte pour les adhésions
facultatives. La mixtion des deux modes d’adhésion implique que l’étude ne pourra être
utilisable que pour des contrats de même nature.
La définition de la garantie est identique pour tous les contrats considérés :
« Est considéré en état de dépendance, l’assuré qui se trouve dans l’impossibilité
permanente, physique ou psychique, d’effectuer seul les actes de la vie quotidienne : se
déplacer, s’alimenter, s’habiller, et se laver. »
A partir des actes de la vie quotidienne, une grille à points est définie pour déterminer le
degré de dépendance psychique et physique du dépendant. Le nombre de points définis
traduit le niveau de dépendance de la personne: partielle ou totale. Dans la plupart des
contrats, seule la dépendance totale garantit la prise en charge de l’assureur, et une faible
partie assure une indemnisation pour les deux niveaux de la dépendance.
Pour tous les contrats, la garantie principale est le service d’une rente forfaitaire en cas de
dépendance. Le délai de carence est en général d’1 an à compter de l’affiliation, 3 ans en cas
de dépendance due à l’état mental, et nul si la dépendance résulte d’un accident. La
franchise applicable à partir de la reconnaissance de la dépendance est de 180 jours, et
réduite à 90 jours dans le cas d’un accident.
L’agrégation en une seule base d’assurés tous produits confondus semble cohérente. Nous
obtenons ainsi une base conséquente et exhaustive pour mener à bien notre étude sur la
mortalité et l’entrée en dépendance des dépendants.
22
I]5)2) Analyse descriptive des données
Pour analyser le risque associé aux produits observés de la CNP, nous effectuons au
préalable des statistiques descriptives.
Nous avons constaté à partir de la pyramide des âges à la souscription que l’âge à l’adhésion
moyen (pondéré par le nombre d’adhésions) est de 65 ans :
Fig.1 - Pyramides des âges à la souscription
Produits Age Moyen
1 67
2 67
3 65
4 59
5 65
Moyenne pondérée sur les 5 produits 65
Tab.3 - Ages moyens à l’adhésion par produit
-3000 -2000 -1000 0 1000 2000
20
28
36
41
45
49
53
57
61
65
69
73
77
81
85
Pyramides des âges à la souscription
Femmes Hommes
23
Sur la pyramide des âges, nous constatons que les adhésions sont quasiment inexistantes
pour les âges inférieurs à 50 ans et sur le tableau nous observons qu’elles se font en
moyenne à l’âge de 65 ans. Ces âges moyens d’adhésion sont assez élevés et se situent
notamment vers l’âge de la retraite. Nous pouvons émettre l’hypothèse que les individus
d’un âge inférieur à 50 ans ne veulent pas considérer ce risque, et surtout éviter de payer
toute leur vie des primes alors qu’un état de dépendance peut ne jamais survenir.
De plus, avant la retraite, une perte d’autonomie est considérée comme de l’incapacité de
travail/invalidité, et fait intervenir en général un autre type d’indemnisation (Sécurité
Sociale, régime complémentaire de prévoyance etc.). Les prestations au titre d’un contrat
spécifique de dépendance viendraient alors en complément. Les personnes qui adhérent
aujourd’hui à ce type de contrats, sont plus âgées et prennent donc plus en considération le
risque de dépendance.
Nous nous sommes ensuite intéressés à la répartition des sexes sur le portefeuille étudié.
Ceci peut être mis en évidence par le graphe suivant :
Fig.2 - Répartitions Hommes/Femmes tous produits confondus
Un graphe en annexe 2 décrit la répartition hommes/femmes par produit. Sur le graphique,
nous constatons que les adhésions sont majoritairement réalisées par les femmes. Par la
suite, une segmentation de notre étude selon le sexe semble pertinente.
37,71%
62,29%
Répartition Hommes/Femmes tous produits confondus
Hommes
Femmes
24
Au 31/03/2010, le nombre d’assurés dans l’historique des contrats s’élève à 49251. Nous
pouvons constater de la répartition des souscriptions par produit à travers le graphique
suivant :
Fig.2 - Répartition des souscriptions par produit
Nous pouvons également présenter les âges moyens des assurés en portefeuille au
31/03/2010 :
Produits Age Moyen au 31/03/2010
1 78
2 82
3 73
4 69
5 71
Moyenne pondérée sur les 5
produits 73
Tab.4 - Age de la population sous risque au 31/03/2010
Sur les produits étudiés, nous constatons un vieillissement de la population assurée. Cet
élément n’est pas à négliger car il entraînera sans doute à l’avenir de nombreuses entrées en
dépendance.
13,76%
4,46%
44,37%11,58%
25,82%
Répartitions des souscriptions par produit
Produit 1
Produit 2
Produit 3
Produit 4
Produit 5
25
Etant donné que l’âge moyen à l’adhésion est de 65 ans et que celui des assurés actuels est
de 73 ans, la nécessité d’une analyse précise du risque semble justifiée pour estimer au
mieux le nombre de dépendants futurs.
Nous avons défini dans le paragraphe précédent, l’existence de sélection médicale sur les
produits de dépendance. Si nous prenons la population historique des produits, on retrouve
une répartition des contrôles médicaux comme suit :
Fig.3 - Répartition des contrôles médicaux sur l’historique des produits
Au final, sur l’ensemble de la population, nous percevons qu’un approfondissement de la
sélection médicale n’a été nécessaire que pour 30% de la population.
Cette sélection médicale permet de mieux cerner le risque, de proposer des surprimes ou
des restrictions de garantie, de refuser les dossiers trop risqués, et donc de mieux
homogénéiser le risque pris par l’assureur.
70%
30%
Répartition des contrôles médicaux
Déclaration état de santé
Questionnaire de santé
26
Dans la dernière partie de cette description des données, nous allons nous intéresser à
l’historique des dépendants :
Répartition des dépendants Aggravation/Amélioration de la sinistralité
Partielle 292 Totale 62
Totale 2158 Partielle 1
Non dépendants 46801 - -
Total 49251 Produit 2 63
Tab.5 - Historique des assurés et dépendants depuis l’origine
Ce tableau est repris en détail en annexe 2. Sur la partie gauche du tableau, nous
découvrons à partir de l’historique des produits, les entrées en dépendance partielle, les
entrées en dépendance totale et les non dépendants. Sur la partie droite du tableau, nous
décrivons le nombre de passage de l’état de dépendance partielle à l’état de dépendance
totale, mais également l’inverse.
Nous remarquons ici que le nombre d’occurrences de passage d’un état à un autre de la
dépendance est faible. Une modélisation des passages dans les différents états risque d’être
délicate vu le peu de données. Nous considérons l’amélioration ou l’aggravation de la
sinistralité comme étant marginale.
De plus, nous constatons que le nombre de personnes en état de dépendance totale est de
88% de l’ensemble des dépendants.
Nous présentons à présent l’âge moyen de l’entrée en dépendance sur les contrats :
Age moyen d'entrée en
dépendance Age Moyen des valides au 31/03/2010
Produit 1 82 78
Produit 2 82 82
Produit 3 77 73
Produit 4 77 69
Produit 5 80 71
Total général 79 73
Tab. 6 – Comparaison âge dépendants/valides
27
Nous relevons ici que l’âge moyen d’entrée en dépendance se situe autour de 79 ans pour
tout notre historique de sinistralité. Or, si nous mettons en parallèle le vieillissement de
notre population sous risque, nous pouvons supposer que dans le futur le nombre d’entrées
en dépendance devrait devenir de plus en plus important, sachant que le nombre de
nouvelles souscriptions reste relativement peu élevé sur les produits étudiés.
Nous évaluons la proportion historique du nombre de décès chez les dépendants :
Répartition %
Total dépendants non décédés 1261 51%
Total dépendants décédés 1189 49%
Total dépendants 2450
Tab. 7 - Les décès chez les personnes dépendantes
Ce tableau est détaillé par produit en annexe 2. Au 31/03/2010, 51% des dépendants depuis
l’origine sont décédés, et on peut d’ailleurs constater la même tendance tous contrats
confondus.
En dernier lieu, la répartition historique hommes/femmes au sein des dépendants est la
suivante:
Répartition historique Nombre %
Hommes dépendants 802 33%
Femmes dépendantes 1648 67%
Total 2450 100%
Tab. 8 – Répartition Hommes/Femmes chez les dépendants
On trouve comme chez les assurés un pourcentage bien plus important de femmes que
d’hommes.
A présent, nous allons introduire les indicateurs nécessaires à la mesure du risque de
dépendance.
28
I]6) Les indicateurs
De manière générale, l’assuré peut avoir trois statuts : valide, dépendant ou décédé. Pour
quantifier le risque dépendance, il faut donc au minimum considérer les lois suivantes :
- La loi d’incidence ou d’entrée en dépendance : cette loi présente les probabilités à
chaque âge de passer de l’état valide à l’état de dépendance,
- La loi de maintien en dépendance : ce sont les probabilités de rester dépendant en
fonction de l’âge à partir duquel l’assuré est entré dans l’état,
- La loi de mortalité des valides : les diverses probabilités de décès des assurés valides
en fonction de l’âge.
Nous pouvons alors affiner le développement de la modélisation, en intégrant les différents
degrés de dépendance : partielle ou totale. Nous pourrons segmenter le risque, tenir compte
des lois de passage entre les différents états et de la mortalité relative à chacun d’eux. Nous
pourrons également différencier notre étude par sexe et voir si ce critère est pertinent.
Pour expliciter les différentes lois prises en compte pour le risque dépendance, le schéma
suivant illustre les états possibles et les probabilités de passage d’un état à l’autre:
Fig. 4 – Les états en dépendance
Etat Valide
Etat Dépendant
partiel
Etat Dépendant
total
Etat Décédé
29
Sur le schéma, on peut noter que :
- : probabilité de décéder dans l’état entre l’âge et
- probabilité d’entrée en dépendance ou d’aggravation de la sinistralité à l’âge
- : valide
- : dépendance partielle
- : dépendance totale
- : décès
Nous remarquons qu’aucune rémission dans un état antérieur n’a été proposée sur le
schéma : ceci est une hypothèse couramment admise et notamment vérifiée sur notre
portefeuille étudié.
Le Code des Assurances ne propose pas de tables règlementaires en ce qui concerne la
dépendance. Le but sera de modéliser la loi d’entrée et de maintien en dépendance à partir
de nos données. Les tables de mortalité des valides sont définies grâce à des tables de
référence.
Les résultats seront ensuite être comparés à ceux de l’enquête HID11 par l’INSEE effectuée
de 1998 à 2001. Cette enquête HID vise à recenser les personnes touchées par un handicap
ou une déficience, décrire leur situation sociale ainsi que les aides dont elles bénéficient ou
dont elles auraient besoin. Plus de 50 000 entretiens se sont succédés lors de cette enquête.
La première phase, fin 1998, a porté sur les personnes en institution. Le même auto-
questionnaire a été passé fin 1999 auprès de personnes vivant à domicile sur un échantillon
constitué lors du recensement général de la population de mars 1999. En 2000/2001, les
mêmes personnes ont été interrogées, ceci permettant de repérer une trajectoire et ne
figeant pas les résultats sur un instantané.
Les résultats de la FFSA12 issus de cette enquête permettront de réaliser un comparatif par
rapport à nos estimations.
Nous allons à présent introduire les méthodes d’estimation de la loi d’entrée et de maintien
en dépendance.
11
: Handicap Incapacités Dépendance 12
: Fédération Française des Sociétés d’Assurance
30
II] Elaboration de tables d’expérience en dépendance
II]1) La loi d’entrée en dépendance
II]1)1) Les données utilisées
Nous étudierons par la suite le risque de dépendance en utilisant les données arrêtées au
31/12/2009.
Après avoir synthétisé les données, et en avoir fait une analyse statistique, nous avons
modélisé la loi d’entrée en dépendance.
A ce titre, les données suivantes ont été utilisées :
- La date de naissance du souscripteur
- La date de souscription au contrat dépendance
- La date de sortie des comptes de la CNP (si sorties pour clôture de compte,
résiliation, etc.)
- La date d’entrée en dépendance
- La date du 31/12/2009 pour évaluer les âges de nos assurés en portefeuille à cette
date
A partir de ces données, la modélisation des taux empiriques d’entrée en dépendance est
effectuée, et son principe est énoncé dans le paragraphe suivant.
31
II]1)2) Estimation des taux empiriques d’entrée en dépendance
Nous avons utilisé ici l’estimateur binomial pour les taux empiriques d’entrée en
dépendance.
On note pour cet estimateur :
- : le nombre d’individus sous risque (donc non dépendants) de l’âge à l’âge
- : la variable aléatoire représentant le nombre d’entrées en dépendance sur
- : la réalisation de
- : la probabilité d’entrée en dépendance pour un individu d’âge
Les hypothèses suivantes sont retenues:
- Les entrées en dépendance sont indépendantes les unes des autres
- Le nombre d’entrées en dépendance à l’âge suit une loi binomiale
Les taux empiriques d’entrée en dépendance sont déterminés par maximum de
vraisemblance. En effet, on a :
.
Pour chaque observation, la vraisemblance s’écrit
, où est
une constante indépendante de .
Après dérivation de la log-vraisemblance, et égalisation à 0, on trouve :
Cet estimateur empirique est sans biais, convergent et asymptotiquement normal.
32
Nous obtenons après le calcul précité, la courbe des taux empiriques d’entrée en
dépendance :
Fig. 5 - Taux empiriques d’entrée en dépendance
Nous constatons une nette croissance de la probabilité d’entrée en dépendance en
fonction de l’âge. Cette courbe a par ailleurs la forme d’une exponentielle, ce qui peut
laisser présager aussi un ajustement paramétrique de type exponentiel.
Dans le paragraphe suivant, nous allons étudier la nécessité de segmenter la loi d’entrée par
niveau de dépendance, ou par sexe.
55 60 65 70 75 80 85
0.0
00
.01
0.0
20
.03
0.0
4
Taux empiriques d'entrée en dépendance
Ages d'entrée en dépendance
îx e
mp
iriq
ue
s
33
II]1)3) Segmentation par niveau de dépendance
Nous avons réalisé les courbes d’entrée en dépendance partielle et totale. Comme nous
avons pu le constater lors de l’analyse du portefeuille visé par l’étude, 88% des entrées en
dépendance se font à un niveau total. Nous présentons les résultats sur le graphique
suivant :
Fig. 6 - Effet d’une segmentation par niveau de dépendance
Compte tenu de la faible proportion d’entrées en dépendance partielle dans l’historique
de nos produits, la modélisation d’une loi d’entrée en dépendance partielle ne semble pas
pertinente.
Dans la partie concernant la loi de maintien en dépendance, nous avons tout de même testé
cette segmentation par niveau de dépendance, mais pour rester cohérents, nous garderons
uniquement celle concernant la dépendance totale.
55 60 65 70 75 80 85
0.0
00
.01
0.0
20
.03
0.0
4
Effet d'une segmentation par niveau de dépendance
Ages d'entrée en dépendance
îx e
mp
iriq
ue
s
Taux empiriques
Taux empiriques dépendance partielle
Taux empiriques dépendance totale
34
II]1)4) Segmentation par sexe
Nous avons estimé les lois d’entrée en dépendance en segmentant selon le sexe des assurés.
Nous obtenons les deux courbes suivantes :
Fig. 7 - Effet d’une segmentation par sexe
Sur le graphique nous percevons que les deux courbes semblent très proches, malgré d’assez
grandes oscillations à partir de l’âge de 82 ans. Ces variations brusques sont dues au fait
qu’on diminue sensiblement le nombre de données observables lorsqu’on segmente par
sexe, ce qui implique un manque de données pour certains âges. La question est alors de
savoir s’il est pertinent de segmenter la loi d’entrée en dépendance selon le sexe sur nos
produits.
55 60 65 70 75 80 85
0.0
00
.01
0.0
20
.03
0.0
4
Effet d'une segmentation par sexe
Ages d'entrée en dépendance
îx e
mp
iriq
ue
s
Taux empiriques femmes
Taux empiriques hommes
35
Pour cela, le test de Kolmogorov-Smirnov, qui compare une fonction de répartition
théorique à une fonction de répartition observée, nous indiquera si cette segmentation a
lieu d’être. La fonction de répartition théorique sera donnée par l’ajustement d’un modèle
de Makeham, qui permet de définir une loi pour l’entrée en dépendance à partir de données
empiriques. Nous définirons ce modèle par la suite. La comparaison sera alors réalisée avec
les deux fonctions de répartition empiriques d’entrée en dépendance segmentées par sexe.
Avant d’ajuster notre loi empirique, nous avons évalué la précision de l’estimation empirique
effectuée. A cet effet, le paragraphe suivant détaille les intervalles de confiance pour chaque
valeur obtenue.
II]1)5) Intervalles de confiance pour les taux bruts
La précision des estimations réalisées dépend de deux facteurs :
- L’effectif sous risque
- Le niveau du taux d’entrée en dépendance
La précision sera alors mesurée par la largeur de l’intervalle de confiance. Pour cela, nous
allons utiliser l’approximation gaussienne, cependant nous devons alors vérifier que nous
disposons d’assez de données.
Nous remarquons alors qu’une relation lie l’incertitude de l’estimation, le nombre
d’observations et le niveau de confiance de l’intervalle désiré :
est la valeur autour de laquelle est construit l’intervalle,
est le quantile d’ordre
, et N le
nombre d’observations.
36
En application à notre étude, pour chaque valeur estimée, et pour que l’approximation
gaussienne soit valide, il est nécessaire de disposer de observations:
²
Avec les estimations des taux empiriques, nous choisissons pour une
précision de 95% et .
Pour toutes nos estimations, le nombre d’observations est toujours bien supérieur à celui
nécessaire à la vérification de l’approximation gaussienne. Nous pouvons construire nos
intervalles de confiance asymptotique.
Vu que nous estimons par , nous pouvons donc écrire d’après le théorème central
limite:
L’intervalle de confiance asymptotique de niveau pour est donc donné par :
37
Nous obtenons des intervalles assez fins jusqu’à l’âge de 80 ans, cependant à partir de cet
âge, on note que les intervalles s’élargissent. Ceci est dû au fait que plus l’âge est élevé, plus
nous nous situons à la limite du nombre d’observations requis pour la validité de
l’approximation gaussienne :
Fig. 8 - Taux d’entrée en dépendance avec intervalles de confiance
Cette étape nous permet donc de donner une précision de l’estimation effectuée. Nous
pouvons dès à présent nous intéresser au lissage non paramétrique et à l’ajustement
paramétrique de nos taux d’entrée empiriques.
II]1)6) Ajustement et lissage
Nous pouvons constater sur la courbe de nos taux empiriques des petites irrégularités, qui
ne sont pas propres à l’estimation de la loi d’entrée en dépendance, mais dues aux données
du portefeuille étudié. Pour éviter ces sauts, nous sommes amenés à lisser notre courbe, de
façon non paramétrique ou paramétrique.
55 60 65 70 75 80 85
0.0
00
.01
0.0
20
.03
Taux empiriques d'entrée en dépendance
Ages d'entrée en dépendance
îx e
mp
iriq
ue
s
Taux empiriques
Intervalles de confiance
38
II]1)6)1) Lissage non-paramétrique par moyennes mobiles
La formule des moyennes mobiles symétriques est donnée par :
Avec .
Nous avons choisi :
et .
Nous obtenons le graphique suivant, montrant la courbe des en moyennes mobiles :
Fig. 9 - Taux empiriques d’entrée en dépendance lissés par moyennes mobiles
La courbe est bien plus lisse qu’auparavant, toutefois les moyennes mobiles présentent un
certain nombre d’inconvénients, liés pour l’essentiel à la sensibilité de la moyenne
arithmétique aux valeurs extrêmes.
55 60 65 70 75 80 85
0.0
00
0.0
05
0.0
10
0.0
15
0.0
20
0.0
25
0.0
30
0.0
35
Lissage par moyennes mobiles
Ages d'entrée en dépendance
ix
Taux empiriques
Lissage Moyennes Mobiles
Intervalles de confiance
39
Nous pouvons constater également sur le graphique que la courbe du lissage par moyennes
mobiles reste bien dans les intervalles de confiance définis pour les taux d’entrée
empiriques. Une seule valeur au début de la courbe est en dehors de la bande de confiance,
toutefois ceci s’explique par le fait que nos données ne présentent pas d’entrée en
dépendance à cet âge.
Nous considérons que le lissage par moyennes mobiles est satisfaisant.
Un autre type de lissage non paramétrique va être présenté dans le paragraphe suivant : le
lissage par Whittaker-Henderson.
II]1)6)2) Lissage par Whittaker-Henderson (cas de la dimension un)
Ce type de lissage a pour but de combiner un critère de fidélité et un critère de régularité,
puis de rechercher les valeurs ajustées qui minimisent une combinaison linéaire des deux
critères.
Nous fixons tout d’abord des poids et définissons le critère de fidélité :
Ainsi que le critère de régularité :
est un paramètre du modèle et le nombre d’estimations réalisées.
40
Le critère est une combinaison linéaire de la fidélité et de la régularité et doit être
minimisé. Le poids du second terme est contrôlé par un paramètre
Nous obtenons ainsi un problème d’optimisation qui satisfait aux conditions
Nous posons :
Nous en déduisons alors que :
Nous introduisons à cette étape la matrice de taille , dont les termes sont des
coefficients binomiaux d’ordre , dont le signe alterne et commence positivement pour
pair.
Par exemple pour et , on a :
Nous vérifions facilement que , ce qui permet d’obtenir le critère comme suit :
41
peut être développé et nous obtenons que :
Nous pouvons alors résoudre :
Résoudre
permet d’obtenir les taux lissés :
n’est pas inversible. Cependant, l’addition de permet de résoudre cette difficulté.
La matrice symétrique positive peut être alors décomposée avec la
méthode de Cholesky, puis nous utilisons cette décomposition pour l’inverser.
Dans notre cas, nous calculons les taux lissés avec les paramètres :
. Nous obtenons le graphique suivant :
Fig. 10 - Taux empiriques d’entrée en dépendance lissés par Whittacker Henderson
55 60 65 70 75 80 85
0.0
00
.01
0.0
20
.03
Lissage par Whittaker Henderson
Ages d'entrée en dépendance
îx e
mp
iriq
ue
s
Taux empiriques
Lissage W-H
Intervalles de confiance
42
Comme pour le lissage par moyennes mobiles, nous obtenons une courbe qui adhère bien
aux taux empiriques et reste bien dans la bande de confiance. Pour la même raison que pour
le lissage par moyennes mobiles, nous voyons au début de la courbe une valeur sortant de
l’intervalle de confiance.
Cependant, nous pouvons considérer que le lissage par Whittacker Henderson est adapté.
Nous ne pouvons pas comparer par un test paramétrique le lissage le plus adéquat, car nous
ne sommes pas en présence d’une estimation de paramètres par maximum de
vraisemblance. Le degré de liberté est délicat à estimer. Nous préférons considérer
l’appartenance à l’intervalle de confiance pour faire ressortir la justesse du résultat.
Nous avons pu ainsi lisser la courbe d’incidence de manière non paramétrique, mais ces
méthodes ne permettent pas d’extrapoler la courbe aux grands âges.
Pour pallier ce problème, nous avons décidé d’ajuster un modèle paramétrique à nos
données pour obtenir une fonction simple, cette dernière pouvant reproduire la courbe des
taux empiriques d’entrée en dépendance.
Un ajustement par une fonction modélisant le risque sous-jacent constitue un moyen de
lisser les fluctuations d’échantillonnage. Parmi les lois les plus souvent utilisées figure la loi
de Makeham, que l’on appliquera plus loin, après avoir présenté l’approche générale.
II]1)6)3) Ajustement paramétrique des taux empiriques d’entrée en dépendance
II]1)6)3)a) Les données de survie
Les données de durée ont comme spécificité d’être engendrées par des variables aléatoires
positives. Même s’il est envisageable de soumettre cette variable aléatoire sur , par
passage à la loi exponentielle par exemple, cette caractéristique implique que la loi de
référence ne pourra être la loi normale.
Nous allons définir ainsi les notions de fonction de survie et de fonction de hasard, qui
prennent tout leur sens dans les modèles de durée.
43
La distribution de survie
Etant donné la variable aléatoire à valeurs dans , nous notons sa
fonction de répartition (continue à droite).
Si la densité de T existe, nous pouvons la définir par :
Définition de la fonction de survie
La fonction de survie est donnée par:
est décroissante, avec et . Nous observons pareillement la
durée moyenne de survie grâce à la fonction , et sa variance :
Définition de la fonction de survie conditionnelle
La fonction de survie conditionnelle représente la survie d’un individu après l’instant
sachant qu’il a déjà survécu jusqu’en . Nous définissons :
44
Finalement, l’expression de la fonction de survie conditionnelle comprend uniquement la
fonction de survie
Définition de la fonction de hasard
La fonction de hasard est par définition :
Ceci implique que cette fonction explique entièrement la loi de à travers la formule
suivante :
Généralement, la fonction de hasard énonce un modèle de durée. Nous pouvons par ailleurs
nous intéresser à l’expression suivante :
Ceci signifie donc que pour des petites valeurs de , est approximativement la
probabilité que l’individu décède entre t et t+u, sachant qu’il est vivant en t.
II]1)6)3)b) La loi paramétrique du modèle de Makeham
La distribution de base des modèles paramétriques de durée est la distribution
exponentielle. Le choix du modèle que nous allons appliquer détermine en particulier la
forme de la fonction de hasard. Nous remarquons ici que nos taux empiriques d’entrée en
dépendance sont fortement croissants en fonction de l’âge.
45
De plus, les facteurs d’entrée en dépendance peuvent être de nature accidentelle, donc il ne
faut pas oublier d’introduire cette notion également dans le modèle.
Le modèle de Makeham contient notamment cet effet accidentel de l’entrée en
dépendance, et est en général bien adapté à la mortalité humaine. Nous allons dans la suite
définir ce modèle et l’appliquer à nos données.
Application au modèle de Makeham
La loi de Makeham vérifie la relation :
Le paramètre s’interprète comme étant une incidence accidentelle, ce qui cadre bien avec
notre étude, vu qu’une part des entrées en dépendance est accidentelle, et le coefficient
fait référence au vieillissement de la population, faisant augmenter le taux
d’incidence de manière exponentielle.
Etant donné que les taux d’incidence croissent avec l’âge, il faut que et .
D’après la définition de la fonction de survie et de la fonction de survie conditionnelle, nous
pouvons écrire que la probabilité d’entrée en dépendance entre l’âge et , sachant
que la personne n’était pas dépendante avant l’âge , peut s’écrire :
Nous pouvons alors développer notre expression en remplaçant par l’expression de la
loi de Makeham :
46
Nous posons alors :
Nous obtenons alors la fonction pour l’ajustement des
Nous allons évaluer nos paramètres grâce à cette expression.
L’ajustement nécessite au préalable la validation du modèle dans le cadre de notre étude.
Adéquation de la courbe au modèle de Makeham
Pour voir l’adéquation de la courbe au modèle de Makeham, nous pouvons observer ses
propriétés :
Pour les proches de 0, nous pouvons faire l’approximation grâce au développement limité
de :
Nous remplaçons et nous obtenons :
47
Il en s’ensuit que :
Ce qui amène :
Si les taux d’entrée en dépendance suivent une loi de Makeham, les points
doivent être alignés sur une droite de pente .
L’idée est de réaliser dans un premier temps une régression linéaire puis une analyse de la
régression.
La régression linéaire
Le problème de la régression linéaire simple est d’étudier l’influence d’une variable sur
une autre variable . La première est souvent appelée la variable explicative (ou encore
exogène) et la seconde la variable expliquée (ou encore endogène).
Dans notre étude, la variable explicative sera l’âge des personnes visées par l’étude, et la
variable expliquée sera donc les valeurs de ).
Nous disposons du échantillon , et le but est de visualiser si le
nuage de points se dispose suivant une forme allongée et exhibe une tendance sensiblement
linéaire.
Nous cherchons donc une droite de type qui décrive au mieux la tendance du
nuage observé. La démarche la plus couramment utilisée consiste à :
- Faire l’hypothèse que, pour chaque individu i, on a : où est une
certaine erreur appelée aussi résidu et qui résulte d’une relation fonctionnelle linaire
entre et
- Chercher la droite , qui est dite « droite des moindres carrés », et telle
que la somme quadratique des résidus soit minimale
48
Nous allons donc effectuer la régression linéaire sur nos données. Nous prendrons pour cela
uniquement les données pour des . Ceci est dû au fait que pour les personnes plus
jeunes, les sauts présents dans les impliquent des valeurs aberrantes pour les .
A partir du logiciel de statistiques R, nous avons pu obtenir le graphique suivant de la
régression linéaire :
Fig. 11 - Régression linéaire des ln
Cette droite passe correctement par les points, mais nous devons réaliser une analyse de la
régression pour le certifier.
65 70 75 80 85
-8.5
-8.0
-7.5
-7.0
-6.5
-6.0
-5.5
Regression linéaire des ln
Ages
Va
leu
rs d
es ln
49
Au préalable, nous pouvons observer le graphique des résidus de la régression :
Fig. 12 - Résidus de la régression des ln
Les résidus sont les écarts par rapport à la droite de régression mesurés dans le sens des .
Les résidus sont de moyenne (donc quasiment nulle), et laissent
présager une bonne adéquation de la droite des moindres carrés à nos estimations.
65 70 75 80 85
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
Résidus de la régression des ln
Ages
Va
leu
rs r
ésid
us
50
Nous pouvons également remarquer que l’hypothèse de normalité des résidus est vérifiée
grâce au graphique QQ-Plot, car la plupart des points sont assez bien alignés avec la
première bissectrice des axes comme nous pouvons le voir ici :
Fig. 13 - Graphique QQ-Plot des résidus
Pour nous assurer que l’ajustement de la droite est adéquat, nous allons à présent produire
une analyse de la régression.
Analyse de la régression
L’analyse de la variance permet d’étudier le comportement d’une variable à expliquer en
fonction d’une ou plusieurs variables explicatives catégorielles.
51
On va donc appliquer cette analyse de la variance à notre régression linéaire. La première
étape de l’analyse de la variance consiste à décrire la variance totale à expliquer (SCT) sur
l’ensemble de l’échantillon en fonction de la variance expliquée par le modèle (SCE) et la
variance non expliquée par le modèle (SCR).
Pour cela, notons notre échantillon , avec , sa moyenne est
notée , et les estimations de la droite des moindres carrés sont notées .
Nous obtenons grâce à la formule de la décomposition de la variance :
Notons également le coefficient d’ajustement qui mesure la qualité de l’ajustement des
estimations de l’équation de régression. Il représente la part de la variance de la variable
expliquée de la régression par rapport à la variance totale et s’écrit :
doit être proche de 1 pour considérer que l’ajustement est adapté.
On conclut éventuellement à l’ajustement par une droite de régression en effectuant un test
de Fisher. Pour cela, on rappelle que la statistique du test de Fisher utilisée pour tester la
significativité globale d’un modèle de régression linéaire
est :
52
Le test de significativité étant :
La région critique de test est donc : rejet de si et seulement si , où
est le risque de première espèce.
Une autre manière de lire le test est de comparer la -value (probabilité critique du test)
avec : si elle est inférieure, l’hypothèse nulle est rejetée.
Nous effectuons une analyse de la variance de notre régression grâce au logiciel R et nous
obtenons le tableau suivant :
Source de
la variance
Degré de
liberté
Sommes des
carrés
Moyenne des carrés (ou
variance)
Statistique
F p-value
SCE 1 22,2917 22,2917 71,927 4,68E-08
SCR 20 6,1984 0,3099
SCT 21 28,4901
Tab. 9 - Analyse de la variance
On a également un R²=0.7824.
Le R² que l’on trouve est un indicateur simple et on comprend aisément, vu qu’il est proche
de 1, que le modèle est intéressant pour ajuster nos taux empiriques.
La valeur très faible de la -value permet aussi de conclure au rejet de l’hypothèse nulle.
On peut conclure à l’ajustement par une droite de régression de nos .
En conclusion :
Le modèle de Makeham peut donc bien s’adapter à nos données. La partie suivante va
nous permettre d’estimer nos paramètres.
53
Estimation des paramètres par maximum de vraisemblance
Comme vu précédemment dans le cadre du modèle binomial, le nombre d’entrées en
dépendance observé à l’âge , , suit une loi binomiale de paramètres avec :
le vecteur des paramètres à déterminer
Nous utilisons ici le modèle du maximum de vraisemblance discrétisé, et notons la
vraisemblance associée à la réalisation d’un nombre d’entrées en dépendance égale à :
Pour l’ensemble des observations on obtient donc la log-vraisemblance suivante (à une
constante indépendante du paramètre près) :
On cherche alors à trouver le maximum de cette vraisemblance tel que les probabilités des
réalisations observées soient aussi au maximum, et ainsi déterminer le vecteur de
paramètres qui donne la fonction ajustant au mieux la courbe des
L’estimateur obtenu par la méthode du maximum de vraisemblance est :
- Convergent et non biaisé (mais peut être biaisé en échantillon fini)
- Asymptotiquement efficient, il atteint la borne de Cramer Rao
- Asymptotiquement distribué selon une loi normale
Nous n’avons pas cherché à dériver la formule de la log-vraisemblance pour estimer le
vecteur des paramètres, cependant nous avons utilisé le solveur d’Excel afin d’ajuster au
mieux la loi de Makeham à nos données empiriques, tout en maximisant la vraisemblance.
L’algorithme utilisé est celui de Newton-Raphson.
54
Dans ce cas, l’algorithme ne converge vers la vraie valeur du paramètre qu’à condition de
partir d’une valeur initiale assez proche du vecteur
Nous avons utilisé dans ce but les résultats issus de la régression sur les points
qui déterminent aisément grâce à l’ordonnée à l’origine et la pente de la
droite les g et c. Nous pouvons également trouver s à partir de la relation
La courbe que nous obtenons est donnée sur le graphique ci-dessous:
Fig. 14 - Comparaison des différents ajustements
Les paramètres retenus pour la loi de Makeham donnent la loi d’entrée en
dépendance suivante:
55 60 65 70 75 80 85
0.0
00
.01
0.0
20
.03
Modèle de Gompertz Makeham
Ages
Ix
Gompertz Makeham
Taux empiriques
55
Nous trouvons à partir de là nos coefficients a, b et c.
La courbe de la loi de Makeham semble être bien ajustée à nos taux empiriques, mais nous
constatons qu’à partir de 85 ans un petit écart semble se créer. Les taux empiriques
semblent croître linéairement à partir de l’âge de 85 ans alors que notre modèle préconise
une croissance exponentielle. Tout porte à croire que le modèle ne semble plus adéquat au-
delà de 85 ans mais certains facteurs nous confortent dans l’hypothèse prise par la
modélisation. Sur l’ensemble du portefeuille, nous avons vu dans l’analyse descriptive des
données, que l’âge moyen d’entrée en dépendance se situe à environ 79 ans. D’autre part,
l’âge moyen des assurés se situe autour de 73 ans. C’est pourquoi, d’un point de vue
prudentiel, et prospectif, cette croissance exponentielle n’est pas à négliger.
De plus, en termes de provisionnement, avoir des probabilités plus fortes aux âges élevés
implique la constitution de provisions plus prudentes. Ceci est également un élément en
faveur d’une croissance exponentielle au-delà de 85 ans.
II]1)6)3)c) Test du Khi-Deux
Afin de tester si le lissage des taux d’entrée en dépendance par Makeham est de bonne
qualité, nous pouvons réaliser un test du Khi-2, sur la base de la statistique :
le nombre d’âges intervenants dans la somme (37 dans notre cas)
le risque de première espèce de 5%
le nombre de paramètres estimés (3 dans notre cas)
Si , alors nous acceptons l’hypothèse selon laquelle les taux estimés ne sont
pas éloignés des taux bruts.
On obtient :
56
Conclusion :
Nous pouvons donc considérer que l’ajustement par Makeham est adapté.
Nous pouvons ici introduire le test de Kolmogorov-Smirnov évoqué plus tôt, qui indiquera si
la segmentation de la loi d’entrée en dépendance est utile sur nos produits.
II]1)7) Segmentation Homme-Femme : le test de Kolmogorov-Smirnov
Nous souhaitons ici comparer la fonction de répartition théorique c’est-à-dire la loi de
Makeham précédemment définie sur nos données, aux deux fonctions de répartition
observée à partir de nos lois d’entrée en dépendance empiriques segmentées par sexe.
Le test de Kolmogorov-Smirnov va nous permettre d’effectuer cette comparaison et donc
d’indiquer l’adéquation de ces fonctions. Définissons-le dans le cas général :
Nous considérons une variable aléatoire de fonction de répartition , que nous voulons
comparer à une fonction de répartition théorique continue.
On souhaite tester :
- l’hypothèse
Contre :
- l’hypothèse
Si est un -échantillon de , la fonction de répartition empirique associée à cet
échantillon est :
est la proportion des observations dont la valeur est inférieure ou égale à .
57
L’écart entre les valeurs observées et les valeurs théoriques du modèle déduites de la
fonction de répartition peut donc être calculé par la variable aléatoire :
sera la variable de décision, ou fonction discriminante, du test.
Nous rejetons si les fonctions et sont « significativement » éloignées. Le seuil
critique est donné par la formule
. Les valeurs du seuil se lisent dans un tableau mais
pour des échantillons supérieurs à 35 (ce qui est notre cas avec ), nous considérons
comme zone de rejet :
pour un .
Notons pour la segmentation hommes femmes :
- Soit l’échantillon
de loi , et de fonction de répartition ,
représentant les taux empiriques d’entrée en dépendance chez les femmes.
- Soit l’échantillon
de loi , et de fonction de répartition ,
représentant les taux empiriques d’entrée en dépendance chez les hommes.
- Soit la loi la loi représentant la loi de Makeham, de fonction de répartition
Nous avons donc appliqué le test de Kolmogorov-Smirnov à ces échantillons.
En comparant la fonction de répartition issue de la loi de Makeham à la fonction de
répartition empirique issue de nos observations chez les femmes nous obtenons :
58
En comparant la fonction de répartition issue de la loi de Makeham à la fonction de
répartition empirique issue de nos observations chez les hommes nous obtenons :
Le test de Kolmogorov-Smirnov s’étend à la comparaison de deux fonctions de répartition
empiriques, et permet alors de tester l’hypothèse que deux échantillons sont issus de la
même loi. Nous obtenons en utilisant les échantillons hommes et femmes :
Les deux premiers résultats de comparaison avec la loi de Makeham permettent de dire que
l’hypothèse n’est pas rejetée, et donc que les distributions segmentées par sexe ne sont
pas significativement différentes de la distribution du modèle de Makeham.
De plus, le dernier résultat permet également de montrer que dans notre cas, les deux
échantillons sont issus de la même loi.
En conclusion, nous pouvons donc estimer que la segmentation hommes/femmes pour les
taux d’entrée n’est pas nécessaire sur les produits étudiés.
59
II]1)8) Comparaison des résultats obtenus avec une courbe de référence
Il est intéressant de comparer nos résultats à ceux issus de l’enquête HID13 qui recense les
personnes bénéficiant de l’APA14. Une étude a été réalisée par la Direction des Assurances
de Personnes de la FFSA15, présentant une loi d’entrée et de maintien en dépendance.
Nous pouvons ainsi comparer la loi d’entrée en dépendance issue de notre modèle de
Makeham sur les données en portefeuille à celle obtenue par la FFSA suite à son étude sur
les données HID. Pour des questions de confidentialité, le graphique présentant les
comparaisons ne figure pas dans ce mémoire.
Nous observons que la loi d’incidence féminine et la table hommes/femmes HID sont au-
dessus de la loi obtenue sur nos données.
La loi HID hommes/femmes est obtenue en considérant les deux tables HID segmentées par
sexe et en appliquant à chacune la proportion d’hommes et de femmes du portefeuille
étudié. Cette dernière table présente des incidences plus élevées que la nôtre. L’étude de la
FFSA ne différencie pas les niveaux de dépendance, or dans notre cas, nous n’observons que
la dépendance totale, ce qui pourrait être la cause de la différence observée.
Par contre, nous notons une similitude avec la courbe HID hommes, cependant une
divergence est constatée ensuite.
II]1)9) Conclusion sur la table d’entrée en dépendance
La loi d’entrée en dépendance totale, en termes de meilleur ajustement aux données
d’expérience i.e. de Best Estimate, est satisfaisante, compte tenu de la forte représentativité
des entrées à ce degré de dépendance.
Dans la suite de l’étude nous utiliserons cette table d’entrée ajustée par le modèle de
Makeham car elle présente d’une part, une bonne adéquation à la courbe des taux
empiriques et d’autre part, elle permet aussi d’extrapoler les incidences aux grands âges.
13
Enquête HID (Handicap-Invalidité-Dépendance) de l’INSEE réalisée d’octobre 1998 à fin 2001 14
Aide Pour l’Autonomie 15
Modélisation du Risque Dépendance à Partir des Données HID, Cahiers Techniques N°02, Mars 2005
60
II]2) Construction d’une loi de maintien en dépendance
II]2)1) Les données utilisées
Après avoir étudié les têtes assurées entrées en dépendance dans l’historique de nos
produits, nous allons pouvoir nous concentrer sur leurs durées de maintien. Dans notre base
de sinistrés, nous n’avons aucune rémission. Nous pouvons cependant noter que les entrées
peuvent se faire soit à un niveau de dépendance partielle, soit totale, et de plus nous notons
quelques cas de passages de dépendance partielle à dépendance totale.
Nous avons réalisé différents traitements sur la base de données pour en faire ressortir les
différentes durées de maintien des dépendants vivants ou déjà décédés.
Pour la dépendance partielle avec pour sortie le décès, nous obtenons pour les sinistrés dans
l’historique arrêté au 31/12/2009 :
- Une durée moyenne de maintien avant le décès de 40,8 mois
Pour la dépendance partielle avec passage en dépendance totale, nous obtenons pour les
sinistrés dans l’historique arrêté au 31/12/2009 :
- Une durée moyenne de maintien avant aggravation de 25,28 mois (non significatif
compte tenu du nombre de données)
Pour la dépendance totale avec pour sortie le décès, nous obtenons pour les sinistrés dans
l’historique arrêté au 31/12/2009 :
- Une durée moyenne de maintien avant le décès de 33,70 mois
Cependant, la quantité de données disponibles ne semblent pas suffisante pour réaliser des
lois de maintien en dépendance partielle et des coefficients de passage d’un état de
dépendance partielle à totale. Nous nous concentrerons uniquement sur la loi de maintien
en dépendance totale, ce qui permettra de prolonger l’étude faite sur la loi d’entrée en
dépendance totale.
61
II]2)2) Modélisation non paramétrique
II]2)2)1) Présentation générale des modèles de durée
Les modèles de durées sont adaptés dès lors que le phénomène d’intérêt se modélise
comme une ou des variables aléatoires positives. Il s’agit plus généralement de modéliser et
d’estimer les lois décrivant le temps qui s’écoule entre deux évènements : dans notre cas, ce
sera la durée de vie d’un individu à partir de son entrée dans l’état de dépendance jusqu’à la
sortie de cet état (aggravation de sinistralité ou décès).
Dans notre étude, nous ne pouvons pas faire d’hypothèse a priori sur la forme de la loi de
survie ; on cherche alors à estimer directement cette fonction par une méthode d’estimation
non paramétrique.
Les données traitées sont « rarement » complètes, c’est-à-dire qu’elles sont soumises à des
problèmes d’observation qui compliquent souvent l’analyse : les censures et les troncatures
sont les plus connues. Dans notre cas, nous obtenons deux types de durée de survie : les
durées complètes s’étalant de la date d’entrée en dépendance à la sortie de cet état, ou les
durées incomplètes allant de la date d’entrée en dépendance à la date d’arrêté des données
le 31/12/2009. Dans ce dernier cas, on comprend aisément qu’une partie des données
seront censurées à droite.
Pour introduire cette partie théorique sur les modèles de durées, dans un premier temps,
nous allons rappeler les outils mathématiques nécessaires à l’étude d’une loi de maintien,
puis nous définirons la notion de données incomplètes, et enfin nous introduirons le modèle
retenu dans le cadre de notre étude.
62
II)2)2)2) Rappel sur les outils mathématiques
Nous décrivons la variable aléatoire positive représentant la durée de maintien dans
l’état de dépendance. Généralement, la distribution de T est décrite par sa densité ou sa
fonction de répartition . Etant donné que est positive, trois fonctions doivent être
définies préalablement à l’analyse des données de survie :
- La fonction de survie vue précédemment, qui s’apparente ici à la fonction de
maintien en dépendance:
- Le risque instantané ou fonction de hasard :
- La fonction de hasard cumulée :
Nous pouvons alors rapprocher la fonction de hasard cumulée avec la fonction de survie et
on obtient :
Nous utilisons dans certains tests d’adéquation le fait que suit une loi exponentielle de
paramètre 1. Cette propriété peut être démontrée par le calcul suivant :
63
II]2)2)3) Censures et troncatures
Les censures et troncatures sont particulièrement typiques des données de survie. Elles
proviennent du fait que nous n’avons pas accès à toute l’observation : au lieu d’observer des
réalisations i.i.d de durées , nous observons la réalisation de la variable aléatoire
soumises à diverses perturbations, indépendantes ou non du phénomène étudié.
Ces perturbations peuvent pour la plupart être regroupées en deux grandes familles.
Les censures
Définition.
Soit une variable aléatoire positive . La durée est dite censurée à droite si, au lieu de ,
nous observons le couple avec et .
La durée est dite censurée à gauche si, au lieu de , nous observons le couple avec
et .
Dans notre étude, nous ne sommes confrontés qu’à des censures à droite, ce que nous
appellerons des « exclus-vivants ». Nous notons dans ce cas :
Fig. 15 - Censure à droite
Début d’observation ou création du premier contrat
en portefeuille 31/12/2009
Début
dépendance Fin
dépendance
T
C
64
En effet, nous observons dans notre étude des individus qui sont toujours en état de
dépendance au 31/12/2009. Nous ne savons pas cependant à quelle date cet état prendra
fin. Les censures à droite conduisent donc à sous-estimer la durée moyenne passée dans
l’état de dépendance.
La censure à gauche correspond au cas où l’individu est déjà sorti de l’état de dépendance à
la date de début d’observation. Dans notre cas, le début d’observation correspond au
premier contrat souscrit, donc nous ne sommes pas en présence de censure à gauche.
Les troncatures
Une variable est dite tronquée si, au lieu de , nous observons uniquement si .
Nous définissons comme la période d’observation.
Définition.
Soit une variable aléatoire, il y a troncature à droite lorsque n’est observable que si elle
est inférieure à . De même, il y a troncature gauche lorsque n’est observable que si elle
est supérieure à .
Dans notre étude, étant donné que la date de début d’observation représente le premier
contrat souscrit, nous n’avons dans ce cas aucun sinistre déclaré avant . Nous ne pouvons
pas non plus considérer des troncatures à droite, car nous avons connaissance du fait qu’il
existe une information, mais sans connaître sa valeur précise, excepté qu’elle dépasse un
certain seuil. Ceci est déjà pris en compte dans la notion de censure à droite.
Comme nous avons pu le souligner précédemment, nous ne pouvons pas supposer a priori
que la durée de maintien en dépendance suit un modèle paramétrique. Nous allons donc
utiliser un modèle non paramétrique pour estimer la loi de .
Nous présentons dans le paragraphe suivant quelques estimateurs de la fonction de survie.
65
II]2)2)4) Estimateurs de la fonction de survie
II]2)2)4)a) L’estimateur de Nelson-Aalen du taux cumulé
L’estimateur de Nelson-Aalen, défini premièrement par Nelson [1972], est basé sur le fait
que par construction, nous obtenons:
Et
Supposons que nous disposons de observations, avec . Afin d’estimer
l’équivalence précédente, au lieu d’utiliser la durée , nous retenons le processus ponctuel
associé noté :
Cependant, dans le cas de données censurées à droite, la variable d’intérêt n’est plus la
variable observée mais la durée sous-jacente. Nous notons alors la durée, la censure
aléatoire droite, la durée observée, et ( si l’assuré est déjà sorti
de l’état de dépendance et s’il n’est toujours pas sorti et donc que l’observation est
censurée). Il s’ensuit que :
Nous définissons aussi le processus suivant :
Ce processus permet d’indiquer la présence du sujet juste avant , en comptabilisant les
individus ni morts ni censurés.
66
Notons la somme des processus de population sous risque, et la somme des
processus d’évènements :
Ainsi, nous pouvons estimer la probabilité :
Nous sommons ensuite ces probabilités sur et faisons tendre les intervalles vers 0, de
façon à ce que chacun d’entre eux ne contienne qu’un seul évènement, et nous obtenons
l’estimateur de Nelson-Aalen :
A chaque , nous connaissons , le nombre de sorties dans l’intervalle , le
nombre de censures dans le même intervalle, et le nombre de sujet présents dans
l’échantillon à la date (ni sortis, ni censurés jusqu’à cette date).
Nous remplaçons alors : .
Définition.
L’estimateur de Nelson-Aalen du taux cumulé est défini par :
67
est continu à droite. Nous pouvons vérifier que cet estimateur est biaisé et sous-estime
en moyenne la fonction de hasard cumulée. Le lecteur intéressé pourra se reporter à
PLANCHET [2006].
II]2)2)4)b) L’estimateur de Harrington-Fleming
Un estimateur de la fonction de survie peut être déduit de l’estimateur de Nelson-Aalen
précédemment défini, en observant :
A partir de là, nous obtenons la définition de l’estimateur d’Harrington-Fleming :
Définition
L’estimateur d’Harrington-Fleming est défini par :
Sa variance peut être obtenue grâce à la méthode delta détaillée également dans PLANCHET
[2006].
II]2)2)4)c) L’estimateur de Kaplan-Meier
La construction heuristique de l’estimateur de Kaplan-Meier (cf. KAPLAN et MEIER [1958])
s’appuie sur la fait que la probabilité de survivre au delà de peut s’écrire :
68
En réitérant, nous distinguons des produits d’éléments en . Le but est alors
d’observer les instants où se produit un évènement (sortie ou censure) et de conditionner
par rapport à ces moments.
Nous définissons alors les probabilités conditionnelles suivantes:
Où est la probabilité de survivre sur l’intervalle sachant que l’individu était
vivant et dépendant à l’instant .
On peut alors estimer avec
.
a été défini dans le paragraphe concernant la loi d’entrée en dépendance et représente
l’ensemble des sujets à risque juste avant l’instant .
A l’instant , et en l’absence d’ex aequo, si alors il y a une sortie par décès donc
. Dans le cas contraire, l’observation est censurée et .
L’estimateur de Kaplan Meier peut donc être défini de la façon suivante :
D’un point de vue opérationnel, nous rencontrons souvent des ex aequo. Nous émettons
toujours l’hypothèse que les durées non censurées précèdent toujours celles censurées. La
définition de l’estimateur de Kaplan Meier devient donc :
69
Principales propriétés et variance de l’estimateur de Kaplan-Meier
L’estimateur de Kaplan Meier présente de bonnes propriétés qui lui permettent d’être le
meilleur estimateur empirique de la fonction de répartition de la loi de survie en présence
de censures : il est convergent, asymptotiquement gaussien, l’unique estimateur cohérent
de la fonction de survie (DROESBEKE et al. 1989) et est également un estimateur du
maximum de vraisemblance généralisé. Cependant il est biaisé positivement. Pour plus de
précisions sur ses estimateurs, on se réfèrera à PLANCHET [2006].
Pour introduire la variance de l’estimateur de Kaplan-Meier, nous proposons une
justification heuristique d’un estimateur de cette même variance, appelé l’estimateur de
Greenwood.
L’estimateur
permet d’énoncer :
En premier lieu, nous allons considérer que les variables sont indépendantes.
Nous savons également que la loi de suit une loi binomiale de paramètres .
D’après la méthode delta
, nous décrivons l’expression
suivante:
L’estimateur de la variance de est alors défini par:
70
Nous pouvons ensuite réappliquer la méthode delta, avec pour la fonction logarithme, et
nous obtenons l’estimateur de Greenwood :
Cet estimateur est consistant pour la variance asymptotique de l’estimateur de Kaplan-
Meier.
Intervalle de confiance
Nous pouvons utiliser l’estimateur de Greenwood pour déterminer l’intervalle de confiance
point par point de la courbe de survie.
Nous définissons alors l’intervalle de confiance à 95% en :
Où se déduit de en prenant la racine.
Les estimateurs les plus connus pour l’estimation de lois de survie sont donc l’estimateur
actuariel, l’estimateur d’Harrington-Fleming et l’estimateur de Kaplan-Meier. C’est ce
dernier que nous avons choisi car il possède en outre de bonnes propriétés qui en font
l’estimateur le plus utilisé pour l’estimation non paramétrique de la fonction de survie.
71
II]2)2)5) Application de l’estimateur de Kaplan-Meier
II]2)2)5)a) Loi de maintien tous âges confondus
Nous allons présenter les résultats obtenus à partir de notre base de rentiers dépendants
dans le cadre d’une estimation de la fonction de survie par la méthode de Kaplan-Meier.
Dans cette partie, nous ne présenterons que les résultats concernant les sinistrés en
dépendance totale, car les données concernant la dépendance partielle ne permettent pas
d’obtenir des résultats satisfaisants étant donné la faible représentativité de ces dernières.
De plus, nous ne pourrons pas estimer la fonction de survie par âge, car le nombre de
données ne nous le permet pas. Nous aurions pu classifier les âges d’entrée en dépendance,
mais suite à la réalisation des lois de survie, aucun groupe ne s’est réellement dessiné en
fonction de l’âge à l’entrée. Le regroupement des données a permis de faire ressortir une loi
de maintien à pas mensuel, malgré quelques points manquants que nous essayerons
d’estimer par une méthode d’interpolation définie par la suite.
Les coefficients de passage de la dépendance partielle à la dépendance totale ne seront
également pas modélisés sachant leur faible nombre.
Nous allons donc présenter les résultats issus de l’estimation de la loi de survie pour les
rentiers en dépendance totale tous âges confondus. Cette partie prolongera en conséquence
l’étude sur la loi d’entrée en dépendance, puisque seule la dépendance totale avait été
considérée.
72
Nous avons obtenu à partir du logiciel R, la courbe de survie suivante, représentant la loi de
maintien tous âges confondus à pas mensuel:
Fig. 16 - Estimateur de Kaplan Meier
Nous pouvons remarquer sur notre courbe que la loi décroît lentement, ce qui implique que
les sinistrés restent longtemps dans l’état de dépendance totale. Ceci laisse présager des
versements de prestations sur des périodes relativement longues. Cette estimation
permettra, entre autres, de prendre en compte ce facteur probabiliste dans les calculs de
provisions.
Nous allons à présent nous intéresser à l’impact d’une segmentation hommes/femmes sur la
loi de maintien comme pour la loi d’entrée en dépendance.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
10
0
10
5
11
0
11
5
12
0
12
5
13
0
13
5
Loi de maintien par l'estimateur de Kaplan-Meier
Loi de maintien tous âges confondus Intervalle de confiance supérieur à 95%
Intervalle de confiance inférieur à 95%
Pro
bab
ilité
s d
e m
ain
tien
Ancienneté en dépendance
73
II]2)2)5)b) Segmentation hommes/femmes de la loi de maintien
Nous avons donc segmenté la loi de maintien en créant une loi pour chaque sexe. Voici les
résultats que nous avons pu obtenir à partir de l’estimateur de Kaplan-Meier :
Fig. 17 - Segmentation de la loi de maintien par sexe
Nous observons directement sur ce graphique une nette différence entre les lois de maintien
hommes et femmes. Les femmes semblent avoir tendance à se maintenir plus fortement en
état de dépendance totale que les hommes. Ainsi, l’observation que nous avions eu
précédemment pour la loi d’entrée en dépendance ne semble pas valable ici.
Nous allons donc montrer grâce à un test statistique que les courbes de survie sont
différentes si l’on segmente la courbe initiale selon le sexe.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
10
0
10
5
11
0
11
5
12
0
12
5
13
0
13
5
Segmentation de la loi de maintien par sexe
Loi de maintien Homme Kaplan Meier Intervalle de confiance supérieur homme
Intervalle de confiance inférieur homme Loi de maintien Femme Kaplan Meier
Intervalle de confiance supérieur Femme Intervalle de confiance inférieur Femme
74
Un test de rang : le test du Log-Rank
Nous souhaitons comparer les durées de vie respectives des deux échantillons hommes et
femmes. Nous disposons de ces deux échantillons, qui comportent des censures, et nous
souhaitons tester l’hypothèse :
: les deux courbes de survie ont des profils identiques, le risque de « décès » à un
moment donné est donc le même dans les deux groupes
Contre :
: les deux courbes de survie ont des profils différents
Dans le cas de censures, il faut introduire la suite de décès observés (non censurés) dans
l’échantillon commun, que nous noterons . A chaque instant , on définit par
le nombre de décès et l’effectif sous risque dans le groupe ( pour les hommes,
pour les femmes). On notera également le nombre de décès et l’effectif sous
risque dans la population globale.
Les individus sous risque sont alors estimés avant les sorties en , de façon à ce que les
vivants après soient égaux à .
La variable aléatoire suit une loi hypergéométrique
étant donné que l’on
compte le nombre de décès dans le groupe , choisi parmi les décès totaux, avec la
probabilité d’appartenir au groupe étant
et la taille de la population.
Ainsi, nous pouvons en déduire l’espérance et la variance de :
75
Ces observations conduisent à construire des statistiques fondées sur des sommes
pondérées des , qui sont asymptotiquement gaussiennes. Soient les poids et
la statistique suivante :
Elle suit asymptotiquement un c’est-à-dire une loi du khi-deux à degrés de
liberté, avec le nombre de populations à comparer. est donc rejetée au niveau si
où
est le ( -quantile de la loi du khi-deux à degrés de
liberté. On prendra , et on obtient donc pour : .
Nous noterons par la suite:
Nous pourrons également consulter HILL et al. [1996] pour plus de précisions.
Le test du Log-Rank a pour choix de pondération , et nous constatons alors que le
numérateur de la statistique de test est la différence entre le nombre de décès observés
et le nombre de décès attendus élevée au carré et sous l’hypothèse :
Nous observons sous l’hypothèse nulle:
. Ceci implique que le
résultat obtenu par la statistique ne découle pas de l’ensemble sur lequel on l’estime.
76
Une forme dite approchée peut être énoncée :
Cette statistique sous-estime celle du Log-Rank (cf. PETO et PETO [1972]), et propose un
d’ajustement usuel. Nous obtenons donc également que sous , suit approximativement
une loi du khi-deux à degrés de liberté et donc est rejetée au niveau si
.
L’application du test du Log-Rank à nos données conduit au résultat suivant :
Donc est rejetée au seuil .
Nous rejetons ainsi l’hypothèse au profit de l’hypothèse , ce qui signifie que la
distinction des lois de maintien suivant le sexe pour les personnes dépendantes est
justifiée. En termes de Best Estimate, nous serons sans doute amenés à prendre en compte
cette distinction.
Comme nous avons pu le constater sur nos graphiques d’estimations de la fonction de
survie, nous n’obtenons pas de probabilités de maintien pour chaque mois. A ce titre, la
méthode des splines cubiques va nous permettre d’interpoler entre les points connus et
ainsi approximer les valeurs manquantes. Nous allons introduire à présent la notion de
splines cubiques.
77
II]2)2)6) Interpolation par splines cubiques
La loi de maintien en dépendance totale présente les probabilités de survie des rentiers
dépendants avec un pas mensuel. Cependant, nous n’obtenons pas de valeurs pour toutes
les ancienneté, notamment les plus élevées.
Etant donné que certaines de nos données présentent des durées de maintien élevées, nous
sommes obligés en termes de Best Estimate, d’évaluer certains points manquants aux
extrémités de nos courbes. Nous avons donc cherché un moyen d’interpoler les points entre
deux valeurs connues. Dans cet objectif, le mieux est de chercher une fonction passant entre
deux points observés, et qui modélise la tendance générale de la courbe.
L’idée des splines est de découper la plage de la fonction à ajuster (ici notre loi de maintien)
en sous-intervalles (bornés par des observations pour chacun), puis d’ajuster sur chaque
sous-intervalle une fonction simple, en prenant des précautions pour le raccordement aux
points de jonction. Cette méthode a donc pour but de respecter la fonction initiale dans sa
globalité, tout en interpolant entre les points de jonction.
Notons nos points d’observations , avec l’ancienneté et la probabilité de
maintien associée. Les splines permettent d’ajuster plusieurs polynômes de degré peu
élevé. Le polynôme interpolant est alors défini par si . Pour
obtenir une courbe lisse, on exigera que l’interpolant soit deux fois différentiable. En
chaque nœud , nous aurons :
-
-
-
Pour satisfaire aux conditions sur
énoncées précédemment, nous devons utiliser
sur chaque intervalle un polynôme de degré 3.
78
Définition
Soit des points d’interpolation. La spline cubique naturelle passant
par ces points est la fonction polynomiale par morceaux définie par :
si
Où :
- Les sont définis par :
- Les satisfont les équations :
Pour et ,
-
L’interpolant est ainsi deux fois différentiable en chaque point.
Pour plus de détails sur les calculs des éléments définis par la spline cubique naturelle, nous
vous invitons à lire la note de cours d’André FORTIN sur ce sujet.
79
En appliquant les splines cubiques à notre loi de maintien en dépendance totale tous âges
confondus, nous obtenons :
Fig. 18 - Interpolation par splines cubiques
Nous obtenons également les courbes suivantes lorsqu’on reprend les lois de maintien
segmentées par sexe:
Fig. 19 - Interpolation par splines cubiques par sexe
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
66
72
78
84
90
96
10
2
10
8
11
4
12
0
12
6
13
2
Interpolation par splines cubiques
Loi de maintien tous âges confondus avec interpolation par …
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
66
72
78
84
90
96
10
2
10
8
11
4
12
0
12
6
13
2
Lois de maintien homme/femme ajustées par splines
Loi de maintien Homme ajustée par splines
80
Cependant, les courbes ne sont pas très régulières et présentent de petits « sauts », ceci
étant dû à l’imperfection des conditions de l’expérience, induisant une variabilité
« parasite » dans les valeurs estimées. Nous allons effectuer un lissage de type Whittaker-
Henderson sur nos lois de maintien en dépendance totale.
II]2)2)7) Lissage des lois de maintiens
Nous appliquons, par la même méthode vue pour la loi d’entrée en dépendance, un lissage
non paramétrique de type Whittaker-Henderson à nos lois de maintien en dépendance.
Nous obtenons ainsi pour la loi de maintien en dépendance totale tous âges confondus :
Fig. 20 - Lissage par Whittaker-Henderson de la loi de maintien
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1 6
11
16
21
26
31
36
41
46
51
56
61
66
71
76
81
86
91
96
10
1
10
6
11
1
11
6
12
1
12
6
13
1
13
6
Lissage par Whittaker-Henderson
Lissage par Whittaker-Henderson de la loi de maintien tous âges confondus
81
Pour la segmentation par sexe, le lissage par Whittaker-Henderson présente les courbes
suivantes :
Fig. 21 - Loi de maintien lissée par Whittaker-Henderson segmentée par sexe
Nous constatons que ces courbes sont bien lissées et restent bien dans leurs bandes de
confiance. Ces courbes seront retenues par la suite en termes de Best Estimate. Les bandes
de confiance permettent de vérifier que les lissages n’influent pas négativement sur les
estimations initiales.
Pour finir l’étude sur la loi de maintien en dépendance totale, nous allons comparer nos
résultats à 3 tables de mortalité de référence et à la loi de maintien en dépendance HID.
0,00000
0,20000
0,40000
0,60000
0,80000
1,00000
1,20000
0 5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
10
0
10
5
11
0
11
5
12
0
12
5
13
0
13
5
Loi de maintien lissée par W-H et segmentée par sexe
Loi de maintien Homme lissée par Whittaker-Henderson
Loi de maintien Femme lissée par Whittaker Henderson
Intervalle de confiance Kaplan Meier Femme supérieur
Intervalle de confiance Kaplan Meier Femme Inférieur
Intervalle de confiance Kaplan Meier Homme Supérieur
Intervalle de confiance Kaplan Meier Homme inférieur
82
II]2)2)9) Comparaison des résultats obtenus avec des courbes de référence
Nous avons comparé notre loi de maintien avec les lois de survie des tables :
- Table de mortalité TV73-77 (femme) et TD73-77 (homme)
- Table de mortalité TV88-90 (femme) et TD88-90 (homme)
- Table de mortalité TF00-02 (femme) et TH00-02 (homme)
- La loi de maintien masculine et féminine HID avec une ancienneté maximale de 10
ans (selon estimation FFSA)
Nous avons constaté les mêmes tendances suivantes:
- La loi de survie pour les dépendants de notre portefeuille est toujours inférieure aux
lois de survie issues des tables de mortalité de référence. Nous aurions pu nous
attendre à cette conclusion, car il parait logique qu’un individu en état de
dépendance a de plus grandes chances de décéder qu’un individu en bonne santé.
Cette tendance semble par ailleurs accentuée chez les hommes.
- Les lois de maintien issues de l’étude de la FFSA en rapport avec les données HID sont
inférieures aux lois d’expérience. Cependant, l’enquête HID recense beaucoup de
rentiers en état de dépendance partielle, une faible partie en dépendance totale, et
un bon nombre de rémissions. Ceci pourrait alors expliquer pourquoi les personnes
ont des probabilités assez peu élevées de se maintenir en dépendance. L’état de
rémission impliquerait beaucoup de retour à un état valide.
II]2)2)10) Conclusion sur la loi de maintien en dépendance
En terme de Best Estimate, la loi de maintien en dépendance totale tous âges confondus
semble la plus adéquate sur nos données. La segmentation par sexe semble aussi pertinente
d’après le test du Log-Rank, et nous pourrons également retenir cette possibilité.
Dans la partie suivante nous allons nous intéresser à la tarification et au provisionnement du
risque dépendance.
83
III] Tarification et provisionnement du risque dépendance
III]1) La tarification
L’objectif de cette partie est de créer un modèle simple de l’assurance dépendance à partir
duquel sera calculée une tarification théorique basée sur des paramètres permettant de
retracer le modèle.
Cette partie considère uniquement l’état de dépendance totale pour appliquer les tables
d’entrée et de maintien définies auparavant. De même, nous considérons qu’il n’y a pas de
rémissions (les sorties se font uniquement par décès).
Nous pouvons définir ici les paramètres nécessaires à l’établissement du modèle:
- probabilité pour une personne valide d’entrer en dépendance totale ;
- probabilité pour une personne de se maintenir en dépendance totale entre les
âges et ;
- probabilité pour une personne de rester valide entre les âges et ;
- rente viagère pour une personne dépendante d’âge ;
- taux d’actualistation
Les formules suivantes sont calculées pour une annuité de 1€ et seront donc facilement
applicables à nos données en multipliant par la rente souscrite par le client (rente annuelle
dans ce cas).
L’évaluation actuelle de la rente viagère payable à terme échu à une personne en
dépendance totale est donnée par :
84
Où équivaut à la probabilité de rester dépendant total entre les âges et
, actualisée à la date correspondant à l’âge . correspond à l’âge limite de la table.
Nous pouvons émettre l’hypothèse que l’entrée en dépendance survient en moyenne en
milieu d’année, d’où la formule de la rente suivante :
L’engagement de l’assureur est égal à la prime pure unique correspondant au versement
d’une rente annuelle en cas de survenance de la dépendance totale, et correspond pour un
assuré d’âge à:
Nous pouvons également introduire un délai de carence à cette prime qui est propre à
chaque contrat. L’assureur ne paiera la rente que si l’entrée en dépendance totale a lieu
après années, et donc la prime pure unique devient:
Dans notre cas la rente est versée mensuellement. Nous noterons la rente mensualisée par:
Nous obtenons alors pour la prime pure unique de la rente payable mensuellement :
85
Les contrats prévoient en général un délai de franchise pouvant être appliqué au versement
de la rente. Dans ce cas, l’assureur ne versera la rente qu’après un certain moment passé
dans l’état de dépendance totale.
Nous notons le nombre d’année de franchise, la prime devient alors :
Où
est la rente à paiements mensuels différée de années est définie par:
Nous pouvons définir alors la prime pure unique dans le cas de rente payable
mensuellement avec délai de carence :
Nous pouvons également combiner le délai de carence et la franchise, ce qui est le plus
souvent prévu dans les contrats de dépendance :
Dans les contrats, nous n’avons pas en général de prime pure unique, mais plutôt des
paiements de primes pures annuelles payables trimestriellement à terme échu.
86
Si nous supposons que l’assuré arrête de payer ses cotisations lorsqu’il entre en dépendance
totale, la prime pure annuelle est calculée en divisant par une annuité qui tient compte de la
survie de l’assuré en tant que valide :
A cette formule, nous devons ajouter différents types de chargements pour obtenir la prime
commerciale :
- Chargement de sécurité : pourcentage de la prime
- Chargement de gestion : pourcentage de la prime
- Chargement d’acquisition : proportionnel à la prime commerciale
Nous définissons la prime d’inventaire par:
Puis la prime vérifie : donc nous obtenons finalement :
III]2) Le provisionnement
Deux types de provisions sont à constituer pour faire face aux engagements de l’assureur:
les provisions mathématiques (PM) pour rentes en cours de paiements, et les provisions
pour risques croissants (PRC).
III]2)1) Les provisions mathématiques
Elles sont égales aux montants actualisés et probabilisés des rentes à payer pour une
personne dépendante, sachant que le sinistre s’est réalisé. Elles tiennent compte de l’âge de
l’individu à l’entrée en dépendance et du nombre d’années déjà passées en dépendance.
87
Nous définissons alors la PM par :
III]2)2) Les provisions pour risques croissants
Les provisions pour risques croissants sont éventuellement constituées pour des contrats
d’assurance tarifés par le biais de primes nivelées et pour lesquels le risque de survenance
des sinistres croît avec l’âge de l’assuré. Par ce postulat, l’assureur reçoit des primes
supérieures par rapport au réel risque couvert dans les premières années de la vie du
contrat; par la suite, cette situation change et l’assureur doit faire face en fin de contrat à
des niveaux de risque supérieurs au montant des primes encaissées.
Ceci implique la nécessité de constituer des provisions pour risques croissants : en début de
vie du contrat, l’excédent entre la prime payée et le niveau du risque est mis en réserve pour
alimenter la provision pour risques croissants. Cette réserve est ensuite utilisée lorsque le
niveau du risque devient supérieur à la cotisation payée.
Nous définissons par la provision pour risques croissants pour un âge à la date .
Nous différencions deux cas : la durée écoulée est supérieure ou non au délai de carence.
1er cas : le délai de carence n’est pas écoulé
Engagement de l’assureur :
Engagement de l’assuré :
88
Nous obtenons alors la PRC par différence entre l’engagement de l’assureur et l’engagement
de l’assuré :
2ème cas : nous nous situons après le délai de carence
Engagement de l’assureur :
Engagement de l’assuré :
Nous obtenons alors dans ce cas de nouveau en différenciant les deux engagements :
Nous pourrons également noter que compte tenu des engagements de long terme liés à
l’assurance dépendance, il est légitime de constituer une provision pour égalisation définie
par contrat.
III]3) Application
Dans ce paragraphe nous allons présenter les résultats obtenus à partir de nos tables
d’entrée et de maintien en dépendance en ce qui concerne les primes, les PM et les PRC.
Dans notre application, nous allons prendre différentes hypothèses :
- Taux d’intérêt technique : 2,50%
- Tables de mortalité retenues pour le calcul des taux de mortalité des valides : TH-
0002 pour les hommes, TF-0002 pour les femmes, et mixte TH/TF-0002 selon les
proportions d’hommes et de femmes
- Les primes, PM et PRC présentées ici sont calculées pour une rente viagère annuelle
à terme échu égale à 1€.
89
Pour les primes annuelles à terme échu de la rente payable mensuellement, nous obtenons :
Fig. 22 - Comparaison des primes pures selon la loi de maintien utilisée
Nous constatons qu’une segmentation par sexe peut être adaptée pou la partie des
adhésions facultatives: si nous tarifons uniquement les contrats avec une prime indexée sur
une loi de maintien tous sexes confondus, les primes payées par les femmes seront sous
évaluées, et que les primes payées par les hommes seront surévaluées. La segmentation par
sexe permet un meilleur ajustement du tarif par rapport au risque.
Nous pouvons aussi présenter les résultats obtenus pour les PM pour rentes mensuelles en
cours de service. Etant donné que les PM sont uniquement calculées à partir de la mortalité
des dépendants, et que nous avons établi des lois tous âges confondus, nous allons montrer
ici la liquidation de la PM au cours du temps, à partir du moment où la personne est entrée
en dépendance :
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
52 57 62 67 72 77 82 87
Comparaison des primes pures annuelles selon la loi de maintien utilisée
Prime pure annuelle par âge pour la loi de maintien tous âges confondus et sans distinction par sexePrime pure annuelle par âge pour la loi de maintien tous âges confondus femmes
Pri
mes
pu
res
ann
uel
les
Age
90
Fig. 23 - Comparaison des liquidations de PM selon la loi de maintien utilisée
Comme précédemment nous pouvons noter que la segmentation par sexe reste toujours
adéquate, au vu de la différence entre les courbes. Cependant, pour chacune des courbes,
les tendances restent assez similaires, avec une liquidation de plus en plus forte des PM en
fonction de l’ancienneté dans l’état de dépendance.
En dernier lieu, nous pouvons nous intéresser aux PRC, et ainsi voir l’impact de nos
différentes tables sur ce type de provisions :
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Comparaison des liquidations de PM selon la loi de maintien utilisée
Liquidation de la PM pour une loi de maintien tous sexes confondus
Liquidation de la PM pour une loi de maintien Homme
Liquidation de la PM pour une loi de maintien Femme
Pro
visi
on
s m
ath
émat
iqu
es
Ancienneté en dépendance
91
Fig. 24 - PRC pour la loi de maintien tous sexes confondus
Fig. 25 - PRC pour la loi de maintien segmentée par sexe
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
0 5 10 15 20 25 30 35 40
PRC pour la loi de maintien tous sexes confondus
52 ts âges confondus 53 ts âges confondus 54 ts âges confondus 55 ts âges confondus 56 ts âges confondus 57 ts âges confondus
58 ts âges confondus 59 ts âges confondus 60 ts âges confondus 61 ts âges confondus 62 ts âges confondus 63 ts âges confondus
64 ts âges confondus 65 ts âges confondus 66 ts âges confondus 67 ts âges confondus 68 ts âges confondus 69 ts âges confondus
70 ts âges confondus 71 ts âges confondus 72 ts âges confondus 73 ts âges confondus 74 ts âges confondus 75 ts âges confondus
76 ts âges confondus 77 ts âges confondus 78 ts âges confondus 79 ts âges confondus 80 ts âges confondus 81 ts âges confondus
82 ts âges confondus 83 ts âges confondus 84 ts âges confondus 85 ts âges confondus 86 ts âges confondus 87 ts âges confondus
88 ts âges confondus 89 ts âges confondus 90 ts âges confondus
Ancienneté en dépendance
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
0 5 10 15 20 25 30 35 40
PRC pour la loi de maintien segmentée par sexe
52 f 53 f 54 f 55 f 56 f 57 f 58 f 59 f 60 f 61 f
62 f 63 f 64 f 65 f 66 f 67 f 68 f 69 f 70 f 71 f
72 f 73 f 74 f 75 f 76 f 77 f 78 f 79 f 80 f 81 f
82 f 83 f 84 f 85 f 86 f 87 f 88 f 89 f 90 f 52 h
53 h 54 h 55 h 56 h 57 h 58 h 59 h 60 h 61 h 62 h
63 h 64 h 65 h 66 h 67 h 68 h 69 h 70 h 71 h 72 h
73 h 74 h 75 h 76 h 77 h 78 h 79 h 80 h 81 h 82 h
83 h 84 h 85 h 86 h 87 h 88 h 89 h 90 h
Pro
visi
on
s p
ou
r ri
squ
es c
rois
san
ts
Ancienneté en dépendance
Pro
visi
on
s p
ou
r ri
squ
es c
rois
san
ts
92
Aux âges élevés, nous noterons une petite cassure sur la courbe des PRC, ceci étant dû aux
calculs de PRC négatives pour les contrats les plus anciens. Nous avons préféré annuler ces
PRC négatives par convention. Dans l’illustration, nous ne nous intéresserons pas à la
problématique de mutualisation des têtes assurées et ainsi de l’impact de PRC négatives.
Nous observons à nouveau l’effet lié à la segmentation par sexe, mais nous constatons aussi
que la pente de la courbe augmente d’autant plus que l’âge est élevé. Cela signifie que plus
l’âge est élevé et plus la constitution de la provision pour risque croissant est rapide.
93
IV] Simulation stochastique sur le risque dépendance
IV]1) Description
Dans cette partie, nous décrivons un modèle stochastique permettant d’évaluer les
provisions techniques au sens de Solvabilité II des engagements liés au risque dépendance
véhiculé par les produits 1, 4 et 5. Dans cet objectif, nous déterminons de manière aléatoire
les différents états dans lesquels les individus peuvent se trouver : valide, dépendant, ou
décédé. Pour que l’on puisse utiliser les tables d’expérience construites préalablement, l’état
de dépendance correspondra au niveau total de la maladie.
La transition d’un état à un autre de la maladie est préalablement initiée par un modèle
d’état du type chaîne de Markov. En effet, celui-ci émet l’hypothèse que l’état d’un individu
au cours de l’intervalle de temps considéré dépend uniquement de l’état dans lequel il se
trouvait au début de ce même pas de temps.
Définition.
Une chaine de Markov est une suite de variables aléatoires telle que, pour chaque ,
connaissant la valeur de , soit indépendante de , pour inférieur ou égal à .
Autrement dit, pour tout et pour toutes valeurs possibles la probabilité que
prenne la valeur sachant que , ,... , et ne
dépend que de et de :
94
Dans notre cas, nous pouvons illustrer les états par :
Fig. 26 – Etats et passages en dépendance
Sur ce graphique, les différentes probabilités de passage entre les états sont présentées.
Nous notons :
- : la probabilité pour qu’un individu soit valide à l’âge , sachant qu’il était
valide à l’âge
- : la probabilité pour qu’un individu entre en dépendance entre les âges
, sachant qu’il était valide à l’âge
- : la probabilité pour qu’un individu décède entre les âges , sachant
qu’il était valide à l’âge
- : la probabilité pour qu’un individu soit dépendant à l’âge , sachant
qu’il était dépendant à l’âge
- : la probabilité pour qu’un individu décède entre les âges , sachant
qu’il était dépendant à l’âge
Etat décédé
Etat Valide
Etat dépendant
Total
1
95
Dans notre modélisation, les rémissions ne sont pas admises conformément au portefeuille
étudié. Nous percevons également que tous les états n’ont qu’un seul antécédent.
Le processus sans mémoire décrit ici, entre bien dans le cadre de la définition d’une chaîne
de Markov.
A un âge donné, les probabilités de passage peuvent être résumées dans une matrice
:
Etant donné que les rémissions sont impossibles dans notre cas, la matrice est
triangulaire supérieure.
Les probabilités de passage sont déterminées par âge, comme suit:
- : probabilité de survivre entre l’âge et selon la table TH/F-0002
-
: probabilité d’entrée en dépendance à l’âge selon la table d’expérience
obtenue en II]1)
- : probabilité de maintien en dépendance entre l’âge et selon la table
de maintien obtenue en II]2)
-
-
Dans ce cas, les probabilités de décès se déduisent des autres valeurs établies en hypothèse,
ce qui implique que la somme de chaque ligne de est égale à 1.
Les probabilités étant définies, nous pouvons introduire le modèle stochastique sur le risque
dépendance.
val
dep
dec
val dep dec
96
IV]2) L’algorithme
Nous proposons de simuler les états successifs d’un assuré d’âge au cours de la vie de son
contrat selon un algorithme de rejet se basant sur des tirages d’une loi uniforme en
fonction des probabilités de passage définies dans la matrice définissant la chaîne de
Markov initiée précédemment.
L’évolution de l’état de l’assuré d’une année à une autre s’effectue de la manière suivante ;
soit une réalisation de variable aléatoire uniforme :
- Si , l’assuré reste valide entre les âges et
- Si
, l’assuré entre en dépendance entre les âges et
- Si
, l’assuré décède entre les âges et
Si l’assuré est valide à l’âge , nous procédons de la même façon que précédemment. Si
l’assuré est décédé entre les âges et , l’algorithme s’arrête. En revanche, si l’assuré
entre en dépendance entre les âges et , un nouveau jeu de tirage aléatoire de
variable aléatoire uniforme , indépendante de , est effectué. La réalisation de
est ainsi comparée à la loi de maintien en dépendance :
- Si , l’assuré reste dépendant entre les âges et
- Sinon l’assuré décède entre les âges et
En résumé, pour simuler l’évolution de l’état d’un assuré d’âge à partir de la souscription
de son contrat jusqu’à un âge maximum de survie , nous devons construire le vecteur
des probabilités de survie cumulées. Ce vecteur constitue la
première borne de l’algorithme de rejet décrit ci-dessus. Nous construisons une deuxième
borne comme étant la somme de la première borne et du vecteur .
97
Nous générons ensuite un vecteur , de taille , de réalisations de la variable
aléatoire uniforme , puis on applique l’algorithme à chaque âge.
, on obtient :
- Si
, l’assuré est valide entre les âges et
- Si
, l’assuré entre en dépendance à l’âge
(ou années après la souscription)
- Si
, l’assuré décède entre les âges et
Nous sommes ainsi capables de déterminer l’année d’entrée en dépendance et celle de
décès.
Deux cas de figure peuvent se présenter :
- Si l’année de décès est inférieure à l’année d’entrée en dépendance, nous
considérons que la personne est valide jusqu’à l’année de décès, puis qu’elle n’est
plus sous risque au-delà. En toute logique, les entrées en dépendance postérieures
aux décès ne sont pas prises en considération ;
- Si l’année d’entrée en dépendance est inférieure à l’année de décès, un nouveau
vecteur , de taille 10, de réalisations de la variable aléatoire , indépendant de
, est généré. Cette taille correspond au nombre d’années maximales en état de
dépendance indicé dans la loi de maintien obtenue par les données d’expérience.
Dans ce cas, , si
, l’assuré se maintient en
dépendance entre les âges et .
A l’issue de cette algorithme, un vecteur de taille est rempli par les différents états de
l’assuré, de sa souscription à l’âge , jusqu’à l’âge maximal de survie . Dans ce vecteur,
nous notons les états comme suit : 1 assuré valide, 2 assuré dépendant, et 3 assuré décédé.
98
Pour chaque âge 16, nous réalisons simulations pour obtenir
vecteurs d’états sur l’évolution de la vie de l’assuré. Nous obtenons une matrice de
dimension . Une réalisation de la matrice appartient ainsi à l’ensemble
.
A l’aide des informations de cette matrice, nous pouvons désormais calculer les estimateurs
suivants :
- La probabilité d’entrer en dépendance avec :
- La probabilité de maintien en dépendance
entre l’âge et , avec
:
L’algorithme de programmation a été implémenté sous Matlab, via la fonction rand()
permettant de générer des nombres aléatoires entre 0 et 1. Ce générateur de nombres
aléatoires est celui indiqué par défaut dans Matlab et représente le plus performant des
générateurs proposés par ce logiciel statistique. Il fait référence à la méthode de Mersenne
Twister, créée par Makoto Matsumoto et Takuji Nishimua [1997].
Pour estimer les probabilités définies ci-dessus, nous nous appuyons sur la théorie des
méthodes de Monte-Carlo. Ces techniques permettent d’approcher numériquement ces
valeurs, et ont pour essence l’utilisation d’expériences répétées pour les évaluer.
Pour illustrer la méthode de Monte-Carlo, nous pouvons introduire un exemple de problème
d’intégration numérique.
16
: et , les âges minimums et maximums considérés dans les simulations
99
L’objectif est alors d’estimer :
La méthode de Monte-Carlo estime l’intégrale de la façon suivante :
est définie comme une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur [0,1]. On peut à ce
titre utiliser la loi des grands nombres, ce qui permet d’énoncer :
Soit une suite de variables aléatoires indépendantes et de loi uniforme sur [0,1], on
obtient que :
Ce postulat implique que si on considère nombres aléatoires entre 0 et 1, une
approximation de est donnée par :
devra être assez élevé pour obtenir une vitesse de convergence relativement importante.
Le lecteur intéressé pourra se référer à la note de Laure Elie et Bernard Lapeyre [2001] en ce
qui concerne les vitesses de convergence.
La méthode de Monte-Carlo ainsi définie, l’application à notre situation nécessite de générer
fois la matrice pour chaque âge. La moyenne obtenue pour les trois paramètres, après
itérations, définira les lois d’entrées, les espérances de survie et les lois de maintien en
dépendance stochastiques. Les itérations par Monte-Carlo permettront ainsi de définir
trajectoires différentes pour les paramètres estimés.
100
IV]3) Application numérique
IV]3)1) La loi d’entrée en dépendance stochastique
A l’aide de la célèbre méthode de Monte-Carlo, nous avons généré 1000 courbes d’entrée en
dépendance sur des âges étant choisis dans l’intervalle ,52,…,85-. La figure suivante permet
d’illustrer ces résultats:
Fig. 27 – Simulation de lois d’entrée en dépendance
Nous observons grâce à la méthode de Monte-Carlo, trajectoires possibles pour
l’entrée en dépendance des assurés du portefeuille étudié.
Il est important de signaler que le nombre de simulation choisi permet notamment une
vitesse de convergence très satisfaisante, comme on peut le constater sur le graphique de
comparaison de la courbe moyenne de Monte-Carlo et de la courbe d’entrée en dépendance
d’expérience :
101
Fig. 28 – Comparaison loi d’entrée en dépendance MC vs. Expérience
Nous remarquons la parfaite adéquation entre la loi d’expérience et la loi moyenne obtenue
par Monte-Carlo. Nous retrouvons en moyenne la loi initiale entrée en paramètre, ce qui
montre la qualité de nos simulations.
Nous avons cependant simulé pour des âges allant de 52 à 85 ans. Les calculs réalisés au-
delà nécessitent une extrapolation de ces courbes pour les âges plus élevés. Dans ce but,
nous introduisons un ajustement des taux simulés sur la base des logits. Cette méthode tient
du compte du fait que les taux d’entrée , nous définissons dans ce cas :
Cette transformation permet de se ramener à des valeurs comprises entre . Un
modèle permet d’ajuster les logits en constatant leur prédisposition linéaire.
Pro
bili
tés
d’e
ntr
ées
en
dép
end
ance
102
Nous observons par ce biais que :
, un bruit blanc
Nous effectuons une régression linéaire sur la variable des âges pour estimer les paramètres
et . Les logits retenus sont de la forme , d’où :
Le graphique suivant présente les résultats retenus jusqu’à un âge maximal fixé :
Fig. 29 – Lissages par logit des lois d’entrée en dépendance simulées
Les 1000 lois d’entrée en dépendance lissées par logit seront utilisées par la suite pour
évaluer les engagements stochastiques de l’assureur.
103
IV]3)2) Espérances de survie en état dépendance stochastiques
Nous déduisons des simulations les distributions des espérances de survie en état de
dépendance pour chaque âge.
Nous présentons ces dernières pour les âges 60, 65, 70, 75, 80, 85, sur le graphique suivant:
Fig. 30 – Distribution des espérances de survie simulées
Nous déduisons de ce graphique que les espérances de vie diffèrent selon l’âge de la
personne sinistrée. D’après les simulations de Monte-Carlo, les individus entrés en
dépendance à un âge élevé se maintiennent plus longtemps en moyenne que les plus jeunes
sinistrés. Nous pouvons émettre l’hypothèse que les personnes les plus jeunes sont
généralement dépendantes à la suite d’un accident ou une maladie grave et donc se
maintiennent moins longtemps. Cet effet est notamment déjà visible sur notre portefeuille,
et dans les années à venir, nous pourrons confirmer cette hypothèse lorsque les bases de
données seront plus étoffées.
104
Nous ajustons également à chaque distribution une loi connue. Pour choisir la loi la plus
adéquate, nous testons plusieurs distributions de lois usuelles, et nous choisissons
finalement celle dont la distance de Kolmogorov-Smirnov, entre les données simulées et la
loi, est la plus petite. La loi la plus appropriée est la loi normale pour chaque âge, ce que
nous constatons sur le graphique précédent, et plus particulièrement pour l’âge 75 ans :
Fig. 31 – Fit de l’espérance de survie à 75 ans
Nous observons que la fonction de répartition pour l’âge 75 ans adhère avec une quasi
perfection la fonction de répartition de la loi normale ajustée. De plus, le graphique
« qq-plot » confirme l’hypothèse de normalité de la distribution à 75 ans, car la plupart des
points sont alignés avec la première bissectrice.
Cependant, pour les âges inférieurs à 65 ans, les ajustements présentent des lois normales à
queues de distributions épaisses. Ce phénomène peut être expliqué par les taux faibles
d’entrée en dépendance pour les âges les plus jeunes, ce qui implique des résultats plus
dispersés dans les simulations.
105
Le tableau suivant résume les informations essentielles sur les distributions des espérances
de vie pour les âges 60 et 85 :
Age Moyenne Ecart-type Loi ajustée par KS VaR 75% VaR 99,5% TVaR 75%
60 3,1223 1,43317 Normal 3,7343 7,5 4,7834
85 4,7201 0,0494024 Normal 4,8721 5,2778 5,0094
Tab. 10 – Statistiques sur les distributions de survie
Les écart-types pour les plus jeunes sont plus importants, ce qui montre d’ailleurs la
dispersion des résultats pour ces âges-là.
Nous calculons les Value-at-Risk (VaR) pour tous les âges ainsi que les Tail Value-at-Risk
(TVaR), à des seuils différents. On rappelle la définition de la VaR :
Définition.
La Value-at-Risk au seuil α est définie par :
La Tail Value-at-Risk peut être simplement définie comme la moyenne des VaR au-delà du
seuil défini. Une Tail VaR au seuil 75% a d’ailleurs été définie comme mesure des pires
situations dans Solvabilité 2.
Selon le degré de prudence visé, différentes visions de l’espérance de survie en dépendance
peuvent être retenues : celle de la moyenne étant la moins prudente, ou celle
correspondant aux notions de VaR résumant les pires scénarios possibles.
106
IV]3)3) La loi de maintien en dépendance stochastique
Les simulations réalisées grâce à la méthode de Monte-Carlo permettent d’obtenir une loi de
maintien par âge, alors que sur la base de données initiale nous obtenons seulement une loi
applicable tous âges confondus. La représentation de toutes les trajectoires de la loi de
maintien n’est pas réalisable, car il aurait fallu dans ce cas un graphique à 4 dimensions.
Nous observons dans ce cas la loi de maintien moyenne obtenue grâce à la méthode de
Monte-Carlo :
Fig. 32 – Loi stochastique de maintien en dépendance
107
Fig. 33 – Loi stochastique de maintien en dépendance
Nous constatons sur ce graphique que les personnes âgées ont des probabilités de survie
plus importantes que les plus jeunes. Ce même constat a également été réalisé pour les
espérances de survie stochastiques, et nous en pouvons émettre le même type d’hypothèses
concernant la cause.
Nous comparons à la loi de maintien obtenue par Monte-Carlo avec la loi de maintien HID :
Fig. 34 – Comparaison des lois de maintiens stochastiques vs HID
Monte-Carlo
HID
108
La loi de maintien par âge obtenue grâce aux simulations est toujours supérieure à la loi de
maintien issue de l’enquête HID. Les personnes se maintiennent donc plus longtemps si on
tient compte de l’expérience en portefeuille. Les conclusions restent les mêmes qu’au
paragraphe II]2).
Etant donné que les simulations ont pu être réalisées que pour les âges {52,85}, nous
considérons pour les âges de 86 ans à , que la personne dépendante se maintient de la
même façon qu’une personne de 85 ans. Au-delà, les entrées en dépendance ne peuvent
plus se produire. Cette hypothèse semble surpondérer le maintien en dépendance à ces
âges, or, dans ce cas, les probabilités de survie en étant valide sont faibles, ce qui implique
un nombre plus faible d’entrées en dépendance et n’aura donc pas de réelles conséquences
sur l’évaluation du risque.
IV]3)4) Les rentes stochastiques servies en dépendance
Les simulations de Monte-Carlo permettent de calculer les rentes servies en
dépendance, qui sont définies par :
Où :
: ancienneté maximale de la loi de maintien simulée par Monte-Carlo.
: probabilité de rester en dépendance d’après la loi de maintien simulée
par Monte-Carlo actualisée au taux .
: courbe des taux d’intérêts utilisée dans le QIS517, donnée par le CEIOPS18.
17
: Quantitative Impact Studies 5 18
: Committee of European Insurance and Occupational Pensions Supervisors
109
On obtient ainsi valeurs de rentes pour chaque âge. Nous représentons les rentes
moyennes par âge :
Fig. 35 – Moyenne des rentes stochastiques de dépendance
La croissance de valeur actuelle des rentes était prévisible, sachant que l’âge d’entrée en
dépendance influe sur la durée de maintien dans l’état. Un individu entrant en dépendance à
un âge plus élevé coûtera ainsi plus cher à la compagnie d’assurance. Conformément à
l’hypothèse de constance des probabilités de maintien au-delà de 85 ans, le coût actualisé
des rentes est stabilisé à partir de cet âge.
IV]3)5) Evaluation stochastique des engagements à la souscription
Le but est alors d’évaluer de manière stochastique l’engagement de l’assureur lors de la
souscription d’une personne à l’âge .
110
A ce titre, nous utilisons la loi de mortalité des valides, les lois d’entrée en dépendance
stochastiques, et les rentes de dépendance stochastiques. Nous définissons ainsi
l’engagement pour chaque âge :
Par ce biais, nous obtenons ainsi trajectoires différentes pour les engagements de
l’assureur :
Fig. 36 – Evaluation stochastique des engagements de l’assureur
Une croissance nette des engagements de l’assureur est visible sur ce graphique. Ce constat
permet donc d’introduire une méthode de provisionnement stochastique sur le risque
dépendance. Un tel type de provisionnement entre dans le cadre de solvabilité II, grâce à un
ajustement plus fin du risque à travers des méthodes de simulation.
111
Nous pouvons également présenter les distributions des engagements pour les âges 60, 65,
70, 75, 80, 85 :
Fig. 37 – Distributions des engagements simulés de l’assureur
Les engagements de l’assureur croissent en moyenne d’après les distributions, et le test de
Kolmogorov-Smirnov conclut à nouveau à une meilleure adéquation par la loi normale. Les
queues de distributions semblent plus épaisses pour les âges élevés dans ce cas, ceci étant
dû au manque de données aux âges élevés.
En particulier pour l’âge 75 ans, nous décrivons l’adéquation de la distribution à la loi
normale :
Fig. 38 – Fit de la distribution des engagements stochastiques de l’assureur à 75 ans
112
Comme pour les espérances de survie, nous constatons une adéquation quasi-parfaite avec
la loi normale en nous appuyant sur la fonction de répartition et le « qq-plot ».
Nous rajoutons également les statistiques issues des distributions pour les âges 60 et 85,
ainsi que le montant des engagements calculés en déterministe dans le paragraphe III]1) :
Age Moyenne Ecart-type Loi ajustée KS VaR 75% VaR 99,5% TVaR 75% Déterministe
60 0,4843 0,0009 Normal 0,5055 0,5668 0,526 0,6253
85 1,5972 0,0252 Normal 1,6991 2,0239 1,8126 1,4755
Tab. 11 – Statistiques sur les distributions des engagements stochastiques de l’assureur
Une évaluation des engagements de l’assureur peut être effectuée selon le degré de
prudence voulu : en référence à la moyenne, ou à la Value-at-Risk pour une prudence plus
élevée. En émettant l’hypothèse que les simulations stochastiques mesurent plus finement
le risque dépendance, nous pouvons noter que le calcul des engagements de façon
déterministe implique un sur-provisionnement selon nos hypothèses sur les âges plus
faibles, et un sous provisionnement pour les âges les plus élevés.
On peut le remarquer plus précisément sur le graphique suivant :
Fig. 39 – Engagements stochastiques de l’assureur par âge
113
Nous allons à présent calculer les primes pures annuelles stochastiques.
IV]3)6) Evaluation des primes pures annuelles stochastiques en dépendance
Nous pouvons dans cette partie prendre la formule classique permettant d’obtenir les
primes pures annuelles pour un âge de souscription :
Nous présentons sur le graphique suivant les résultats obtenus pour les âges 60, 65, 70, 75,
80, 85, ainsi que la comparaison par rapport au tarif déterministe:
Fig. 40 – Primes pures annuelles stochastiques par âge
114
Age Moyenne VaR 75% VaR 99,5% TVaR 75% Déterministe
60 3,39% 3,53% 3,96% 3,68% 3,74%
85 32,19% 34,24% 40,78% 36,53% 28,75%
Tab. 12 – Statistiques des tarifs stochastiques
Le tarif déterministe, obtenu selon les hypothèses retenues en III]1), se confond aux
résultats obtenus pour les plus jeunes âges, mais est bien inférieur aux résultats de
tarification stochastique pour les âges plus élevés. L’utilisation du tarif déterministe
impliquerait une sous-tarification et donc une sous-évaluation du risque pour les âges
élevés.
L’utilisation d’une tarification stochastique permet de mieux apprécier le risque réel pris par
l’assureur dans le cas de la dépendance, et ainsi utiliser des provisions de type stochastique.
Nous allons à présent valoriser les engagements des produits 1, 4 et 5 selon la méthode
stochastique versus la méthode déterministe.
IV]3)7) Etudes des portefeuilles d’expérience
Dans ce dernier paragraphe concernant l’évaluation stochastique, nous allons rapprocher les
résultats des méthodes d’évaluation déterministes des engagements à celles obtenues de
manière stochastique.
A ce titre, nous utilisons les bases de données des assurés arrêtés au 31/12/2009,
concernant les produits 1, 4 et 5. Une agrégation par âge et par rente est préalablement
réalisée. Ce regroupement permet de pondérer les âges par le montant total des rentes
souscrites par les clients. L’évaluation est ensuite réalisée en faisant l’hypothèse que les
assurés sont considérés sous risque à partir du 31/12/2009.
115
Hypothèses retenues pour l’évaluation des engagements déterministes:
- La table d’entrée en dépendance d’expérience, cf. II+1) ;
- La loi de maintien obtenue tous âges confondus, cf. II]2) ;
- Un taux technique constant égal à 2,5% ;
- Une loi de mortalité des valides TD/V-8890 : contrairement au paragraphe précédent,
nous avons choisi d’illustrer l’évaluation avec la loi de mortalité TD/V-8890 car elle
est encore plus souvent utilisée sur le marché (pour la dépendance).
Les hypothèses retenues pour l’estimation stochastique restent les mêmes qu’en IV+3)5).
Dans un premier temps, nous présentons les distributions des engagements sur les 3
portefeuilles, obtenues grâce aux trajectoires des simulations de Monte-Carlo:
Fig. 41 – Distribution des engagements pour les 3 produits considérés
Nous obtenons un niveau d’engagement moyen différent selon les portefeuilles, et une
adéquation par la loi normale, la plus satisfaisante du point de vue du test de Kolmogorov-
Smirnov. La tendance normale suivie par chaque distribution peut également être mise en
évidence par la construction de graphique « qq-plot » :
1
2
3 1
2
3
116
Fig. 42 – Normal Fit pour les engagements des 3 produits considérés
Ce graphique conforte l’hypothèse d’une adéquation par la loi normale des distributions de
nos simulations. Nous observons une légère divergence sur les queues de distributions, mais
l’hypothèse de normalité reste tout de même vérifiée.
Le tableau ci-dessous résume les valeurs d’engagements issues des distributions des
produits 1, 4 et 5 selon la méthode stochastique, ainsi que l’estimation des engagements
selon la méthode déterministe :
Tab. 13 – Statistiques sur les engagements des 3 produits considérés
Nous constatons sur ce tableau que les engagements calculés en déterministe sont inférieurs
à la moyenne, à la VaR 75%, à la VaR 99,5%, et la la TVaR 75% calculés à partir des
simulations stochastiques. Ce constat peut par ailleurs être également fait sur les graphiques
suivants:
Produit Moyenne Ecart-type VaR 75% VaR 99,5% TVaR 75% Comptable
1 3 665 161 312 242 3 869 753 4 494 304 4 079 949 3 314 270
4 2 970 246 209 013 3 109 077 3 526 686 3 246 426 2 807 367
5 5 838 503 430 116 6 125 547 6 986 452 6 407 663 5 412 531
1
2
3 1
2
3
117
Fig. 43 – Comparaison des engagements stochastiques vs. Comptabilisés en déterministe
Les engagements déterministes sont inférieurs à l’engagement moyen obtenu par les
simulations stochastiques. Nos estimations permettent de conclure à une sous évaluation du
provisionnement calculé par la méthode déterministe sur ces 3 produits. Un risque de défaut
de l’assureur peut donc naître suite à une estimation inadaptée de ce risque. Pour compléter
ce propos, on peut faire ressortir le fait que sur toutes les simulations réalisées, les
engagements déterministes étaient inférieurs dans au moins 78% des cas et selon le détail
suivant :
1 2
3
118
Produit Probabilité de défaut
1 87,8%
4 78%
5 83,70%
Tab. 14 – Probabilités d’insuffisance de la méthode déterministe
Un Best Estimate, évalué selon des estimations d’engagements stochastiques, permettrait
de mieux mesurer le risque que porte l’assureur sur ces produits. Ce type d’estimation entre
dans le cadre de Solvabilité 2, qui préconise notamment les recours aux données
d’expérience, et à des simulations stochastiques.
IV]3)8) Des pistes d’amélioration
La directive Solvabilité 2, en imposant des règles de mesure du risque au plus proche de
l’expérience issue du portefeuille assuré, peut engendrer des impacts sur les tarifs et les
provisions. Des méthodes de simulation stochastique, comme celle de type Monte-Carlo
illustrée dans cette partie, permettent d’extraire les distributions des variables étudiées, et
ainsi de mieux appréhender le risque.
Les simulations stochastiques peuvent conduire au constat que le tarif des contrats est
insuffisant, comme l’a illustré notre étude.
Cependant, ce mémoire n’a porté que sur l’évaluation stochastique des engagements de
l’assureur, et ainsi du passif du bilan comptable. Or, nous pourrions compléter l’analyse avec
des simulations de type Monte Carlo pour les flux d’actifs mis en représentation des
provisions. Cette méthode permettrait de constater si l’assureur est en mesure de respecter
ses engagements, et ainsi éviter d’avoir à augmenter le tarif.
L’intégration de la mortalité d’expérience des valides permettrait d’ajuster encore plus
finement nos estimations, par le biais de méthodes de type Lee-Carter, ou Poisson log-
bilinéaire.
119
Conclusion
L’application des modèles de durée a permis de construire une table d’entrée en
dépendance totale à partir des données recensées sur 5 produits collectifs de la CNP.
L’ajustement par la méthode de Makeham a défini une loi paramétrée pour l’entrée en
dépendance. Cette méthode pourra être réutilisée lorsque les bases de données seront plus
étoffées, ce qui permettra une analyse régulière du risque. De plus, ces études permettront
d’estimer plus précisément les taux d’incidence aux grands âges et la segmentation par sexe.
La loi de maintien en dépendance totale a été modélisée par la méthode de Kaplan-Meier
avec une ancienneté maximale de 10 ans. Les sauts sur la courbe ont été corrigés par les
splines cubiques, puis finalement lissés par Whittaker-Henderson.
Les deux lois d’expériences nous ont permis de quantifier les engagements de l’assureur de
manière déterministe à travers les formules actuarielles classiques. Cependant, ces
estimations sont figées, et ne tiennent pas compte de tous les scénarios possibles
applicables à notre portefeuille.
Nous avons alors présenté une méthode de simulation de type Monte-Carlo, permettant de
projeter les états des assurés un grand nombre de fois. Nous obtenons ainsi des tables
d’entrée et de maintien en dépendance stochastiques. Celles-ci rendent possible le calcul
d’engagements stochastiques de l’assureur et ainsi le passif du bilan comptable. Cette
méthode couple les résultats d’expérience à des simulations, pour mesurer le plus finement
possible le risque pris par l’assureur, et entre dans le cadre des directives de Solvabilité 2.
Par ailleurs, une étude portant sur l’estimation stochastique de l’actif du bilan, en
représentation du passif concernant le risque dépendance, permettrait ainsi de juger du bon
respect des engagements de la part de l’assureur.
120
Bibliographie
F. PLANCHET, P. THEROND, « Modèles de durée, Applications actuarielles », Economica,
2006
J-J. DROESBEKE, B. FICHET, P. TASSI, « Analyse statistique des durées de vie », Economica,
1989
F. PLANCHET, J. WINTER, « Les provisions techniques des contrats de prévoyance
collective », Economica, 2006
A DELWARDE, M. DENUIT, « Construction de tables de mortalité périodiques et
prospectives », Economica, 2006
J. DREVILLON, « Modélisation du risque dépendance à partir des données HID », Cahiers
Techniques N°02, FFSA, Mars 2005
C. HUBER, « Cours de modélisation Biostatistique en Splus », Cours, Université Paris V
René Descartes, 2010
J-D. FERMANIAN, « Modèles de durée », Cours, ENSAE 3ème année, 2010
S. GEFFRAY, « Analyse des durées de vie avec le logiciel R », 2010
M. SEGHIR, « Construction d’une boîte à outils pour la création et l’analyse de tables
d’expérience avec le logiciel R », Mémoire, 2009
Z. DIOURI, « Le risque montant », Le nouvel Economiste, 10 avril 2010
M-F. RESVE, « Présentation de l’assurance dépendance, enjeux et fondamentaux
techniques », Conférence AAE ISUP, 22 janvier 2009
121
C. DEBOUT, « Etudes et résultats », DREES, novembre 2009
P. LEONARD, « Assurance Dépendance », Cours DUAS, 2009
« Principes et techniques de programmation MATLAB », The MathWorks Training Services,
2008
C. ATCHAMA, « Suivi et optimisation d’un contrat dépendance collectif à adhésion
facultative », Mémoire Université Paris Dauphine, octobre 2009
122
Annexes
La grille COLVEZ
La grille COLVEZ est une grille d’appréhension de la dépendance (au sens du besoin d’aide)
qui mesure la perte de mobilité ; elle est parfois complétée en incluant l’existence de
troubles psychiques. Elle décrit les personnes par quatre degrés de la maladie:
Niveau 1 Personnes confinées au lit ou au fauteuil
Niveau 2 Personnes non confinées au lit ou au fauteuil, ayant besoin d’aide pour la
toilette et l’habillage
Niveau 3 Personnes ayant besoin d’aide pour sortir de leur domicile ou de l’institution
mais n’appartenant pas aux niveaux 1 et 2
Niveau 4 Autres personnes considérées comme non dépendantes
Tab. 15 – Grille Colvez
On définira les niveaux 1 et 2 comme étant de la dépendance lourde, le niveau 3 constituant
la dépendance partielle. Grâce à sa simplicité, la grille COLVEZ a permis de fournir des
estimations sur la population dépendante française depuis le début des années 90.
123
La grille EHPA
La grille EHPA19 regroupe les notions de dépendance physique et psychique. Elle croise les
quatre niveaux de la grille COLVEZ sur la dépendance physique avec deux groupes définis
selon l’existence ou non de troubles du comportement ou de désorientation dans l’espace et
dans le temps. On peut alors distinguer huit groupes répartissant les personnes
dépendantes, qui incluent les deux notions définies par la dépendance.
Les huit groupes EHPA créés sont les suivants :
EHPA 11 Dépendance psychique et confiné au lit ou au fauteuil
EHPA 12 Dépendance psychique et besoin d’aide pour la toilette et l’habillage
EHPA 13 Dépendance psychique et besoin d’aide pour sortir du domicile ou de
l’institution
EHPA 14 Dépendance psychique et pas de dépendance physique
EHPA 21 Peu ou pas de dépendance psychique et confiné au lit ou au fauteuil
EHPA 22 Peu ou pas de dépendance psychique et besoin d’aide pour la toilette et
l’habillage
EHPA 23 Peu ou pas de dépendance psychique et besoin d’aide pour sortir du domicile ou
de l’institution
EHPA 24 Peu ou pas de dépendance psychique et pas de dépendance physique
Tab. 16 – Grille EHPA
19
Etablissements d’Hébergement pour Personnes Agées
124
La grille selon les actes de la vie quotidienne (AVQ)
Cette classification est proposée par KATZ, mais n’intègre pas l’aspect de déficience
psychique. Elle comporte les différents AVQ suivants :
AVQ 1 Se laver entièrement
AVQ 2 S’habiller
AVQ 3 Aller aux toilettes et les utiliser
AVQ 4 Se coucher ou quitter son lit et s’asseoir ou quitter son siège
AVQ 5 Contrôler ses selles et ses urines
AVQ 6 Manger des aliments déjà préparés (cuisinés et coupés)
Tab. 17 – Les AVQ
A partir des AVQ, KATZ propose alors 8 niveaux qui mesurent l’état de dépendance du sujet :
Niveau 1 Indépendant pour les six activités
Niveau 2 Dépendant pour une seule des six activités
Niveau 3 Dépendant pour deux des six activités dont la première
Niveau 4 Dépendant pour trois des six activités dont les deux premières
Niveau 5 Dépendant pour quatre des six activités dont les trois premières
Niveau 6 Dépendant pour cinq des six activités dont les quatre premières
Niveau 7 Dépendant pour les six activités
Niveau 8 Dépendant pour au moins deux activités sans être dans les autres niveaux
Tab. 18 – Niveau de dépendance
125
La grille AGGIR
Nous avons vu précédemment que la dépendance est un état obligeant une personne
sinistrée de recourir à un aide extérieure pour effectuer les gestes de la vie quotidienne.
La grille AGGIR (Autonomie Gérontologique Groupe Iso-Ressources) a été créée pour évaluer
les besoins financiers que la survenance de la dépendance implique. Elle mesure le degré de
perte d’autonomie et classe les sinistrés en six Groupes Iso-Ressources (GIR).
- La classification selon un GIR est réalisée grâce à dix variables discriminantes relatives
à la perte d’autonomie physique et psychique:
Cohérence Converser et/ou se comporter de façon sensée
Orientation Se repérer dans le temps, dans les moments de la journée
et dans les lieux
Toilette Se laver seul
Habillage S’habiller, se déshabiller, se présenter
Alimentation Manger les aliments préparés
Elimination Assumer l’hygiène de l’élimination urinaire et fécale
Transferts Se lever, se coucher, s’asseoir
Déplacements à l’intérieur du
domicile ou établissement Mobilité spontanée, y compris avec un appareillage
Déplacements à l’extérieur Se déplacer à partir de la porte d’entrée sans moyen de
transport
Communication à distance Utiliser les moyens de communication, téléphone,
sonnette, alarme…
Tab. 18 - Classification
126
- Sept variables illustratives indiquent le degré d’autonomie domestique et sociale,
mais n’entrent pas en jeu pour l’affectation d’un GIR :
-
Gestion Gérer ses propres affaires, son budget, ses biens
Cuisine Préparer ses repas et les conditionner pour être servis
Ménage Effectuer l’ensemble des travaux ménagers
Transport Prendre et/ou commander un moyen de transport
Achats Acquisition directe ou par correspondance
Suivi du traitement Se conformer à l’ordonnance du médecin
Activités de temps
libre
Pratiquer des activités sportives, culturelles, sociales, de loisirs, ou
de passe-temps
Tab. 19 – Variables illustratives
- Chacune des ces variables, discriminantes ou illustratives, disposent de 3 modalités,
notées A, B ou C :
A Actes accomplis seul spontanément, totalement et correctement
B Actes partiellement effectués
C Actes non réalisés
Tab. 20 - Modalités
127
Après une étude faite sur ces variables, six Groupes Iso-Ressources sont créés:
GIR 1 Personnes confinées au lit, dont les fonctions mentales sont gravement altérées et
qui nécessitent une présence indispensable et continue d’intervenants
GIR 2
Ce groupe correspond à deux catégories :
- Personnes confinées au lit ou au fauteuil, dont les fonctions mentales ne
sont pas totalement altérées et qui nécessitent une prise en charge pour la
plupart des activités de la vie courante
- Personnes dont les fonctions mentales sont altérées, mais qui ont conservé
leurs capacités à se déplacer
GIR 3
Personnes ayant conservé leur autonomie mentale, partiellement leur autonomie
locomotrice, mais qui nécessitent quotidiennement et plusieurs fois par jour des
aides pour leur autonomie corporelle
GIR 4
Personnes n’assumant pas seules leur transfert mais qui, une fois levées, peuvent
se déplacer à l’intérieur du logement. Elles doivent parfois être aidées pour la
toilette et l’habillage. Une grande majorité s’alimentent seules, celles n’ayant pas
de problèmes locomoteurs, mais devant être aidées pour les activités corporelles et
pour les repas
GIR 5
Personnes assurant seules leurs déplacements à l’intérieur de leur logement,
s’alimentant et s’habillant seules. Elles ont besoin d’une aide ponctuelle pour la
toilette, la préparation des repas et le ménage
GIR 6 Personnes qui n’ont pas perdu leur autonomie pour les actes discriminants de la vie
courante
Tab. 21 – Les GIR
128
Analyse descriptive des données
Fig. 47 - Répartition hommes/femmes par produit
Tab. 22 - Nombre de souscriptions par contrat depuis l’origine
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
Répartition Homme/Femmes par produit
Nombre de souscriptions
Produits Nombre de souscriptions depuis la création du produit
1 6779
2 2197
3 21851
4 5705
5 12719
Total général 49251
129
Répartition des
dépendants
Aggravation de la
sinistralité
Produit 1 6779 Produit 1 8
Partielle 36 Totale 8
Totale 558 Partielle 0
Non dépendants 6185 -
Produit 2 2197 Produit 2 7
Partielle 42 Totale 7
Totale 148 Partielle 0
Non dépendants 2007 -
Produit 3 21851 Produit 3 32
Partielle 143 Total 31
Totale 905 Partielle 1
Non dépendants 20803 -
Produit 4 5705 Produit 4 4
Partielle 13 Totale 4
Totale 131 Partielle 0
Non dépendants 5561 -
Produit 5 12719 Produit 5 12
Partielle 58 Totale 12
Totale 416 Partielle 0
Non dépendants 12245 -
Total dép.
partielle 292
Total
aggravations 63
Total dép. totale 2158
Total dép. 2450
Total
souscripteurs 49251
Tab. 23 - Historique des assurés et dépendants par contrat depuis l’origine
130
Répartition des
dépendants
Produit 1 594 %
Dépendants non décédés 307 52%
Dépendants décédés 287 48%
Produit 2 190 %
Dépendants non décédés 91 48%
Dépendants décédés 99 52%
Produit 3 1048 %
Dépendants non décédés 510 49%
Dépendants décédés 538 51%
Produit 4 144 %
Dépendants non décédés 77 53%
Dépendants décédés 67 47%
Produit 5 474 %
Dépendants non décédés 276 58%
Dépendants décédés 198 42%
Total dépendants non
décédés 1261 51%
Total dépendants décédés 1189 49%
Total dépendants 2450
Tab. 24 - Les décès chez les personnes dépendantes