Estrelas de Nêutrons: Estrutura e Propriedades

Aluna: Fernanda M. AraújoOrientadora: Cecilia Chirenti

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABCPIC/PIBIC

BC&T

2009 -2010

“Um pouquinho sobre o projeto...”

Estrelas de Nêutrons são objetos astrofísicos cujas características são previstas pela teoria da evolução estelar.

Abundante evidência observacional (pulsares, magnetares e sistemas binários) Observações atuais em rádio e Raios-X, com perspectiva de detecção de

ondas gravitacionais em sistemas contendo estrelas de nêutrons.

Modelos acurados dessas estrelas ainda estão em elaboração. A equação de estado da matéria nas condições extremas encontradas nos centros desses objetos ainda é desconhecida.

O estudo de estrelas de nêutrons é extremamente interdisciplinar, envolvendo diversas áreas da Física. Por ser um objeto de alta compacidade, é natural que sejam estudadas segundo o âmbito da Teoria da Relatividade Geral.

Objetivos

Comparação das propriedades de estrelas de nêutrons obtidas a partir de diferentes modelos.

Aquisição de noções básicas de Relatividade Geral.

Elaboração de um programa para integração numérica das equações de estruturae diferentes equações de estado para investigação de propriedades termodinâmicase mecânicas.(inicialmente utilização do Excel para posterior passagem ao MatLab)

Utilização de equações de estado politrópicas e eventual passagem para equações de estado realistas.

Metodologia

Métodos numéricos padrão para integração de sistemas de equações

diferenciais acopladas (Método de Euler e Runge-Kutta de ordem 4).

No tratamento relativístico, as equações relevantes são as equaçõesde Tolman-Oppenheimer-Volkoff.

Modelando Estrelas Politrópicas

O objetivo do estudo da estrutura estelar é determinar as variações internas das principais propriedades físicas das estrelas.

Modelos mais simplificados permitem a obtenção de soluções analíticas ou numéricas. Esses modelos são denominados estrelas politrópicas ou politropos.

Um politropo é uma estrela que possui equação de estado da seguinte forma:

P = κργ Em que γ = (n + 1)/n e n é o índice politrópico.

Modelando Estrelas Politrópicas

Entretanto, estrelas politrópicas só admitem soluções analíticas para n = 0, n = 1 e n = 5.

A equação de estado politrópica é útil na descrição da matéria em anãs-brancase estrelas de nêutrons, variando-se apenas os índices politrópicos em cada caso.

A construção de um modelo de estrela politrópica é baseada em um conjunto deequações capazes de descrever o material constituinte da estrela juntamente com sua estrutura.

Usa-se, então, dois grupos de equações. A equação de estado, relacionando pressão,densidade de matéria e temperatura; e as equações de estrutura.

Equações de Estrutura Estelar

As equações de estrutura são compostas por duas equações:

Equação de Equilíbrio Hidrostático

Equação de Continuidade da Massa

Equação de Equilíbrio Hidrostático

O equilíbrio hidrostático representa um balanço entre a força gravitacional e a pressão interna da estrela.

Se esse equilíbrio é alterado, podemos dizer que a estrela poderá expandir ou contrair. Pressão interna

empurra para foraPressão interna

empurra para fora

Auto-gravidadepuxa para dentroAuto-gravidade

puxa para dentro

Se a força gravitacional for maior, a estrelase contrai.

Se a pressão interna for superior, a estrelase expande.

Derivação da Equação de Equilíbrio Hidrostático

Denominando P, a pressão exercida na face à altura r eP+dP a pressão exercida na face à altura r+dr, temosPdA – (P+dP)dA = gdm, onde g = g(r) é a aceleração da gravidade devida à matéria interior a r.Portanto, dPdA = -gdm. Como dm = ρdAdr, obtemos:

dP/dr = -ρg

Para uma estrela esférica,g(r) = GM(r)/r2, de modo que:

dP/dr = - GM(r)ρ(r)/r2 Equação de Equilíbrio Hidrostático

Equação de continuidade da Massa

As quantidades M(r), (r) e r ,que aparecem na equação de equilíbrio hidrostático, não são independentes. A massa M(r) interior ao raio r será determinada pela densidade do material estelar.

Para relacionar todas essas variáveis, consideramos uma camada fina de espessura dr e massa dm no raio r a partir do centro.

Como a camada é fina, seu volume é simplesmente a área superficial vezes sua espessura, de modo que sua massa é:

r

r +dr

dr

dm = ρ(r) X Vol.esfera = ρ(r) X 4πr2dr

Rearranjando essa expressão obtém-se:

dm/dr = 4πr2ρ(r) Equação de continuidade da Massa

Equação de Continuidade da Massa

Algumas considerações:

A massa da estrela a ser modelada possui um papel importante na competiçãoentre força gravitacional e pressão.

Quanto mais massiva a estrela, maior será a pressão necessária para compensara gravidade. A pressão e temperatura serão mais altas no núcleo e vizinhanças.

Por outro lado, uma estrela de baixa massa terá temperatura e pressão centraismais baixas.

Etapa 1

Integração numérica das equações de estrutura para uma densidade de energiaconstante.

Obs.: A densidade de energia E(r) é dada por E(r) = ρ(r)c2. Se impormos c = 1, E(r) = ρ(r)

Para se resolver as equações de estrutura para P(r) e M(r), deve-se integrar desde a origem (r = 0) até o ponto r = R, onde a pressão cai a zero. Este ponto define R como o raio da estrela. Para isso é necessário um valor inicial da pressão em r = 0, chamado p0.

O raio da estrela R e a massa total da estrela M(r) = M dependerão de p0. Para realizar a integração, precisa-se saber a densidade de energia E(r) em termos da pressão P(r). Essa relação é a equação de estado para a matéria constituinte da estrela. Entretanto, neste caso, estamos considerando a densidade de energia constante ao longo da estrela e não se faz necessário o uso da equação de estado.

Etapa 1Sejam as nossas equações diferenciais da forma:

dP/dr = -GE(r)M(r)/r2

dM/dr = 4πr2E(r)

As condições de contorno são:M(0) = 0P(0) = p0

Como a densidade de energia é constante, tem-se que:E(r) = E, 0 ≤ r ≤ R 0, r > R

A partir da equação de continuidade da massa pode-se descobrir M(r) pelo método de Euler. Adotou-se como passo de integração o valor de 0,5 km e Rmáx = 10 km.

Com a solução de M(r) obtida, pode-se integrar a equação de equilíbrio hidrostático e achar a solução P(r).

Resultados Etapa 1

Simulação com Ec = 6x10-4 Msolc2/km3 e p0 = 2x107 Msol/kms2

0 2 4 6 8 10 12 14 160.00E+00

1.00E-04

2.00E-04

3.00E-04

4.00E-04

5.00E-04

6.00E-04

7.00E-04

Densidade de Energia E(r) em função do raio.

Densidade de Energia E(r)

Axis Title

Valo

res d

e E(

r) (M

sol c

2/km

3)

Resultados Etapa 1

0 2 4 6 8 10 120.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

Comportamento da Massa em função do Raio

f(ri) = 4πri2 E(r)

y(xi) = y(xi-1) + f(xi-1)*(xi-xi-1)

M(r)= 4πr3 E(r)/3

Raio (km)

Mas

sa (M

sol)

Resultados Etapa 1

Resultado: Estrela de nêutrons de raio 10 km, massa 2,33 Msol, Ec= 6x10-4 Msolc2/km3 e p0 = 2x107 Msol/kms2

0 2 4 6 8 10 120.00E+00

5.00E+06

1.00E+07

1.50E+07

2.00E+07

2.50E+07

Comportamento da Pressão em função do Raio

Solução numérica para p(r) Solução analítica p(r)

Raio (km)

Pres

são

(Mso

l/km

s2)

Resultados Etapa 1

Para as diversas simulações feitas, podemos sintetizar os resultados, expressos na tabela abaixo:

Tabela de resultados

Raio (km) Massa (Msol) Ec p0

10 2,72 7x10-4 2x107

10 2,33 6x10-4 2x107

10 1,94 5x10-4 8x106

10 1,55 4x10-4 8x106

Conclusão: A partir das diversas variações de Ec e p0, a melhor solução representando uma estrela de nêutrons é aquela cuja massa é 2,33 Msol, uma vez que é a solução numéricaque mais se aproxima dos valores teóricos.

Etapa 2

Integração numérica das equações de estrutura para uma densidade de energiavariável ao longo da estrela.

Introdução da equação de estado P = κργ

Simulações para valores de γ = 5/3 e γ = 1

Introdução de dois novos parâmetros a e b nas equações de estrutura, para relacionar adependência da variação da densidade de energia ao longo da estrela.

dP(r)/dr = -(aP(r)1/γM(r))/r2

dM/dr = br2P(r)1/γ

Etapa 2

Para o caso γ = 5/3, o fluido no interior da estrela é não relativístico. Portanto, para a resolução das equações de estrutura, devemos considerar valores não relativísticos paraalgumas constantes.

Os parâmetros a e b são bem explicitados, isto é, há uma equação que os caracteriza.Entretanto, interessa-nos, somente o valor que assumem para o caso não relativístico.a = 1 O parâmetro a tem dimensão de kmb = 0,7636 O parâmetro b tem dimensão de 1/km3

A constante κ tem seu valor próprio não relativístico.κnão-relativístico = 9,55 km2/(Msolc2)2/3

Portanto, com os valores de constantes e parâmetros definidos, pode-se efetuar a integração.

Resultados Etapa 2 para γ = 5/3

0 2 4 6 8 10 121.00E-06

1.00E-05

1.00E-04

1.00E-03

Densidade de Energia e Pressão em função do Raio

Pressão (p)Densidade de Energia E(r)

Raio (km)

Valo

res d

e de

nsid

ade

de e

nerg

ia e

pre

ssão

Resultados Etapa 2 para γ = 5/3

0 2 4 6 8 10 120

0.5

1

Comportamento da grandeza Massa em função do Raio

M(r) em Msol

Raio (km)

Valo

res d

e M

assa

(Mso

l)

Resultados Etapa 2 para γ = 5/3

0 2 4 6 8 10 12

0.00E+00

1.00E-06

2.00E-06

3.00E-06

4.00E-06

5.00E-06

6.00E-06

7.00E-06

8.00E-06

9.00E-06

1.00E-05

Comportamento da Pressão p(r) em função do Raio

P(r)

Raio (km)

Valo

res d

e p(

r)

Resultados Etapa 2 para γ = 5/3

Conclusão: Obteve-se uma estrela de raio igual a 10 km, massa 0.76 Msol e pressão aproximadamente nula na superfície.

0 2 4 6 8 10 121.00E-06

1.00E-05

1.00E-04

Comportamento de p(r) e Zn em função do raio

ZnP(r)

Raio (km)

Valo

res d

e p(

r) e

zn

Etapa 2 para γ = 1

Para o caso de γ =1, o fluido intra-estelar é relativístico. Dessa forma, os valores de constantese parâmetros são:

κrelativístico = 1/3 km2/(Msolc2)2/3 ; a = 4,428 km e b = 3,374 1/km3

0 2 4 6 8 10 121.00E-04

1.00E-03

1.00E-02

Comportamento da Pressão e Densidade de Energia em função do raio

p(r) E(r)

Raio (km)

Valo

res d

e de

nsid

ade

de e

nerg

ia e

pre

ssão

Resultados Etapa 2 para γ = 1

0 2 4 6 8 10 120

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Comportamento das grandeza Massa em função do Raio

M(r) em Msol

Raio (km)

Valo

res d

e M

assa

(Mso

l)

Resultados Etapa 2 para γ = 1

0 2 4 6 8 10 120.00E+00

5.00E-05

1.00E-04

1.50E-04

2.00E-04

2.50E-04

3.00E-04

Comportamento da Pressão p(r) em função do Raio

P(r)

Raio (km)

Valo

res d

e p(

r)

Resultados Etapa 2 para γ = 1

Conclusão: Obteve-se uma estrela de raio igual a 10 km, massa 2,47 Msol e pressão também aproximadamente nula na superfície.

0 2 4 6 8 10 121.00E-04

1.00E-03

1.00E-02

Comportamento de p(r) e zn em função do raio

P(r)Zn adimensional

Raio (km)

Valo

res d

e p(

r) e

zn

Etapa 3

Introdução e utilização da equação de Lane-Emden

A equação de Lane-Emden é uma equação diferencial ordinária, não-linear, de 2ª ordeme grau n. Sua solução determina a estrutura interna das estrelas politrópicas.

Em Astrofísica, a equação de Lane-Emden modela a estrutura de um sistema termodinâmico cuja equação de estado é a de um fluido politrópico e permite determinar o perfil da pressão, densidade e temperatura em função da distância aocentro.

d2y/dx2 + (2/x)dy/dx + yn = 0

Equação de Lane-Emden

Etapa 3Na equação de Lane-Emden as variáveis x e y são definidas por:r = axρ = ρcyn Obs.: ρc é a densidade de matéria central da estrela.

Por simetria esférica, para r → 0, devemos ter dρ/dr → 0, de modo a evitar uma singularidade no centro. Portanto, as condições de contorno da equação de Lane-Emden no centro da estrela são:Para x → 0, y → 1 e y’ = dy/dx → 0.

Assim, obtida a solução y(x) para a equação de Lane-Emden, para um dado n, é necessário obter as variáveis físicas ρ, T e P.

A obtenção da solução y(x) é feita por integração numérica, utilizando-se o método de resolução de EDO’s de ordem n.

Etapa 3A equação de Lane-Emden é obtida a partir das equações de continuidade da massa eequilíbrio hidrostático, eliminando-se a massa M(r) nessas equações. Assim, obtém-se:

d/dr [(r2/ρ)*dP/dr] = -4πGr2ρ

A partir da equação de estado, podemos escrever:

dP/dr = [(n+1)/n]κρ1/ndρ/dr

Substituindo (II) em (I), obtemos:

d/dr (r2ρ(1/n)-1dρ/dr = -(n/n+1)4πGr2ρ/κ

Com a introdução das variáveis r = ax e ρ = byn em que b pode ser convenientemente definido como a densidade ρc no centro da estrela, de modo que y → 1 para x → 0, pode-se reescrever (III) da seguinte forma:

1/x2 d/dx (x2dy/dx) = -4πGρc(n-1)/n a2yn/κ(n+1)

(I)

(II)

(III)

Definindo-se a2 como a2 = (n+1)κ/4πGρc(n-1)/n, obtemos a equação de Lane-Emden:

d2y/dx2 + (2/x)dy/dx + yn = 0

Resultados Etapa 3Integração de Lane-Emden para n = 3.

Obs.: O índice politrópico n = 3 representa o modelo padrão de uma estrela. Este valor aplica-se ao caso degenerado relativístico, onde P(r) é proporcional a ρ4/3.

0 1 2 3 4 5 6 7 80

2

4

6

8

10

12Comportamento da função raio da estrela

r

x(r)

Valo

res d

e R

A simulação foi feita baseada em uma estrela de raio 10 km e 2,5 Msol

R = ax(r)

Resultados Etapa 3

0 2 4 6 8 10 120.00E+00

1.00E+16

2.00E+16

3.00E+16

4.00E+16

5.00E+16

6.00E+16

7.00E+16

Comportamento da densidade (ρ) da estrela

ρ

Raio (km)

Valo

res d

e ρ

(g/c

m3)

ρ(r) = ρcy3

Resultados Etapa 3

0 2 4 6 8 10 120.00E+00

2.00E+21

4.00E+21

6.00E+21

8.00E+21

1.00E+22

1.20E+22

1.40E+22

1.60E+22

1.80E+22

2.00E+22

Comportamento da pressão (P) da estrela

P

Raio (km)

Pres

são

(N/c

m2)

P(r) = κρ4/3

Resultados Etapa 3

0 2 4 6 8 10 120.00E+00

5.00E+30

1.00E+31

1.50E+31

2.00E+31

2.50E+31

Comportamento da Temperatura (T) no interior da estrela

T

Raio (km)

Tem

pera

tura

(K)

T = μmHκρ/kem que μ é o peso molecular médio do gás, mH é a massa do átomo de H e k = R(constante dos gases perfeitos)/Na

(número de Avogadro).

Etapa 4

Utilização de valores fixos de n e κ e variação dos valores de densidade central (ρc) paraobtenção do comportamento da variação das massas de acordo com a variação dos valores de raio para estrelas distintas.

Verificar o comportamento de uma estrela Newtoniana e procurar a constatação demassas máximas.

Para esse estudo, utilização do caso n = 3, por ser o modelo padrão e n = 1,5.

Relação única entre a constante a e ρc, de forma a garantir a manutenção do valor constante de κ.

Utilização das equações:

a = (κ(n+1)/(4πGρc1-1/n))1/2

R = ax(R)M = -4πa3ρcx(R)2y'(R)

Relação única entre a e ρc

Resultados Etapa 4Comportamento Newtoniano das massas em função dos raios para n = 1,5

10 15 20 25 30 35 400

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

M x R (n = 1,5 e K = 5,38x109)

M(Msol)

R(km)

M(M

sol)

Conclusão: Na análise Newtoniana de estrelas, não é possível constatar um valor para o quala massa atinge um valor máximo finito. A massa crescerá indefinidamente.

Resultados Etapa 4Comportamento Newtoniano das massas em função dos raios para n = 3

a = (κ(n+1)/(4πGρc1-1/n))1/2

R = ax(R)M = -4πa3ρcx(R)2y'(R)

Pelas equações abaixo, verifica-se que para n = 3, a massa independe da densidade central ρc. Isto implica em a massa ser constante para todos os valores de raios simulados.

Conforme aumenta-se o raiodas estrelas, observa-se queos valores de ρc diminuem.

Para valores mais altos de ρc, mais massivas serão as

estrelas. Portanto, mais compactaselas terão de ser, de forma que apressão seja capaz de suportar o

colapso gravitacional.0.00E+00 5.00E+06 1.00E+07 1.50E+07 2.00E+07 2.50E+07

0.00E+00

1.00E+15

2.00E+15

3.00E+15

4.00E+15

5.00E+15

6.00E+15

7.00E+15

8.00E+15

Comportamento dos diversos valores de ρc para raios distintos

ρc (g/cm3)

Raio (cm)

Valo

res d

e ρc

(g/c

m3)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.00E+00

1.00E+33

2.00E+33

3.00E+33

4.00E+33

5.00E+33

6.00E+33

Comportamento dos valores da Massa para raios distintos (n = 3)

M (g)

Raio (cm)

Mas

sa (g

) Resultados Etapa 4

A massa independe dos valores de ρc e apresenta o mesmo valor para qualquer raio.O que isso significa?

Resultados Etapa 4

O índice n = 3 representa uma estrela de matéria degenerada relativística. Portantoa constância da massa para diferentes valores de raio significa a obtenção de uma massamáxima, i.e, o único valor de massa possível.

O limite de massa obtido representa que as estrelas governadas por n = 3 não podemassumir um valor maior de massa, caso contrário, sofrerão um colapso gravitacional.

Dessa forma, podemos simular novamente o comportamento das massas das estrelas para diferentes valores de κ, de forma a obter o limite de Chandrasekhar, a massa máxima para anãs-brancas (1,4 Msol).

Essa simulação implica ao variarmos κ e mantermos n constante, em descobrir as diversas massas máximas das estrelas segundo os valores de κ. Portanto, cada ponto na simulaçãocorresponderá a uma estrela diferente.

Resultados Etapa 4Comportamento dos valores das Massas para variação de κ

0.00E+00 1.00E+14 2.00E+14 3.00E+14 4.00E+14 5.00E+14 6.00E+14 7.00E+140

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Comportamento da Massa em função de K

K ( cm3/(g1/3*s2)

M (M

sol)

Resultados Etapa 4

0.00E+00 5.00E+06 1.00E+07 1.50E+07 2.00E+07 2.50E+070

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Comportamento da Massa em função do Raio

Raio (cm)

Mas

sa (M

sol)

Resultados Etapa 4

0.00E+00 1.00E+14 2.00E+14 3.00E+14 4.00E+14 5.00E+14 6.00E+14 7.00E+140.00E+00

5.00E+06

1.00E+07

1.50E+07

2.00E+07

2.50E+07

Comportamento de R em função de K

K ( cm3/(g1/3*s2)

Raio

(cm

)

Resultados Etapa 4

4.68E+14 4.70E+14 4.72E+14 4.74E+14 4.76E+14 4.78E+14 4.80E+141.34

1.35

1.36

1.37

1.38

1.39

1.4

1.41

Limite de Chandrasekhar

M em Msol

K ( cm3/(g1/3*s2)

Mas

sa (M

sol)

O gráfico ilustra o comportamento das massas para uma variação mínima de κ.Conclusão: O valor de κ que melhor representa o limite de Chandrasekhar paraanãs-brancas (1,4 Msol) é 4,78999 x 1014 cm3/(g1/3s2)

Etapa 5

Solução de Lane-Emden para os índices politrópicos n = -1, n = 5 e n = 2.

Verificação de algumas propriedades dadas pelos valores de índices politrópicos.

Índices Politrópicos Propriedades

n = -1 Politropo de pressão constante

n = 0 Politropo de densidade constante

n = 1,5 Caso de um politropo adiabático e de um gás degenerado não relativístico (γ = 5/3)

n = 3 Modelo padrão. Caso degenerado relativístico (γ = 4/3).

n = 5 Politropo de raio infinito

n = ∞ Politropo de temperatura constante

Resultados Etapa 5Simulação da Equação de Lane-Emden para n = -1

0 0.5 1 1.5 2 2.50

200000

400000

600000

800000

1000000

1200000

Função Raio para n = -1

r

Valores de x

Valo

res d

o Ra

io (c

m)

Resultados Etapa 5

0 200000 400000 600000 800000 1000000 12000000.00E+00

2.00E+00

4.00E+00

6.00E+00

8.00E+00

1.00E+01

1.20E+01

Comportamento da densidade (ρ) em função do Raio para n = -1

ρ

Raio (cm)

Valo

res d

e ρ

(g/c

m3)

Resultados Etapa 5

0 200000 400000 600000 800000 1000000 12000000

1E+036

2E+036

3E+036

4E+036

5E+036

6E+036

7E+036

8E+036

9E+036

Comportamento da Pressão em função do Raio para n = -1

P

Raio (cm)

Valo

res d

e P

(din

as/c

m2)

Resultados Etapa 5

0 200000 400000 600000 800000 1000000 12000000.00E+00

2.00E+00

4.00E+00

6.00E+00

8.00E+00

1.00E+01

1.20E+01

Comportamento da Temperatura em função do Raio para n = -1

T

Raio (cm)

Tem

pera

tura

(K)

Resultados Etapa 5Simulação da Equação de Lane-Emden para n = 5

Como o politropo de n = 5 possui raio infinito, podemos truncar a solução até umdeterminado ponto e analisar seu comportamento. Truncou-se até y = 0,030704.

0 10 20 30 40 50 60 700

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Comportamento da função y(x)

y(x)

Valores de x

Valo

res d

e y(

x)

Resultados Etapa 5

0 10 20 30 40 50 60 700

100000000000

200000000000

300000000000

400000000000

500000000000

600000000000

700000000000

Função Raio para n = 5

r

Valores de x

Raio

(cm

)

Resultados Etapa 5

0 100000000000 200000000000 300000000000 400000000000 500000000000 600000000000 7000000000001.00E-06

1.00E-05

1.00E-04

1.00E-03

1.00E-02

1.00E-01

1.00E+00

1.00E+01

1.00E+02

1.00E+03

Comportamento da densidade (ρ) em função do Raio

ρ

Raio (cm)

Dens

idad

e (g

/cm

3)

Resultados Etapa 5

0 100000000000 200000000000 300000000000 400000000000 500000000000 600000000000 7000000000001.00E-01

1.00E+00

1.00E+01

1.00E+02

1.00E+03

1.00E+04

1.00E+05

1.00E+06

1.00E+07

1.00E+08

1.00E+09

Comportamento da Pressão em função do Raio

P

Raio (cm)

Pres

são

Resultados Etapa 5

0 100000000000 200000000000 300000000000 400000000000 500000000000 600000000000 7000000000001.00E+15

1.00E+16

1.00E+17

1.00E+18

1.00E+19

1.00E+20

1.00E+21

1.00E+22

1.00E+23

1.00E+24

Comportamento da Temperatura em função do Raio

T

Raio (cm)

Tem

pera

tura

(K)

Resultados Etapa 5Simulação da Equação de Lane-Emden para n = 2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

200000

400000

600000

800000

1000000

1200000

Função Raio para n = 2

r

Valores de x

Valo

res d

e R

(cm

)

Resultados Etapa 5

0 200000 400000 600000 800000 1000000 12000000.00E+00

2.00E+15

4.00E+15

6.00E+15

8.00E+15

1.00E+16

1.20E+16

1.40E+16

1.60E+16

Comportamento da densidade (ρ) em função do Raio para n = 2

ρ

Raio (cm)

Valo

res d

a de

nsid

ade

(g/c

m3)

Resultados Etapa 5

0 200000 400000 600000 800000 1000000 12000000.00E+00

5.00E+35

1.00E+36

1.50E+36

2.00E+36

2.50E+36

3.00E+36

Comportamento da Pressão em função do Raio para n = 2

P

Raio (cm)

Pres

são

(din

as/c

m2)

Resultados Etapa 5

0 200000 400000 600000 800000 1000000 12000000.00E+00

1.00E+31

2.00E+31

3.00E+31

4.00E+31

5.00E+31

6.00E+31

Comportamento da Temperatura em função do Raio para n = 2

T

Raio (cm)

Tem

pera

tura

(K)

Resultados Etapa 5Para o caso n = 2, será feita a variação do valor de κ de forma a observar o comportamentodas massas e raios das estrelas. Para isso, ρc e n serão mantidos fixos.

0.00E+00 5.00E+12 1.00E+13 1.50E+13 2.00E+13 2.50E+13 3.00E+130.00E+00

5.00E+34

1.00E+35

1.50E+35

2.00E+35

2.50E+35

3.00E+35

Comportamento de M em função dos diferentes valores de K para n = 2

M

Valores de K

Mas

sa (g

)

Resultados Etapa 5

0.00E+00 5.00E+05 1.00E+06 1.50E+06 2.00E+06 2.50E+06 3.00E+06 3.50E+06 4.00E+060.00E+00

2.00E+01

4.00E+01

6.00E+01

8.00E+01

1.00E+02

1.20E+02

1.40E+02

1.60E+02

Comportamento das Massas em função dos Raios para n = 2

M em Msol

Raio (cm)

Mas

sa(M

sol)

Conclusões

Resolução da equação de Lane-Emden é um mecanismo fundamental para a determinação da estrutura interna de estrelas politrópicas.

Há uma boa relação entre as simulações obtidas e as estrelas observadas nanatureza.

O estudo do politropo de índice n = 3 permitiu determinar características físicascomo o limite máximo de massa e relacioná-lo a um fenômeno bem conhecido(anãs-brancas).

Compreensão do conceito de matéria degenerada e sua relação com o colapso gravitacional.

Equações Newtonianas não explicam corretamente o comportamento das massaspara diferentes raios. As massas das estrelas tendem a crescer indefinidamenteenquanto a Relatividade Geral prevê a obtenção de um valor limite máximo de massa para cada equação de estado.

Perspectivas Futuras

Desenvolvimento de um programa em MatLab

Implementação das soluções obtidas em Euler e Runge-Kutta

Aquisição de conhecimentos em Relatividade Geral

Introdução de correções relativísticas nas equações.

Referências Bibliográficas

W. J. MACIEL, “Introdução à Estrutura e Evolução Estelar”, Edusp, São Paulo, 1999.

R.R. SILBAR e S. REDDY, “Neutron stars for undergraduate students”, Am. J. Phys. 72, 7 (2004)

B. F. SCHUTZ, “Gravity from the ground up”, Cambridge, 2003.