ESTRUCTURAS DISCRETAS

Proposicin Lgica: Es un enunciado declarativo, que admite la posibilidad de ser falso o verdadero, pero NO falso y verdadero al mismo tiempo.

Proposiciones lgicas:Proposiciones NO lgicas:

El sol es una estrella.

El hierro es un mineral.

El colibr es un ave.

El da tiene 24 horas.

La Coca es una empresa transnacional.

Las flores son plantas.

2+6=8

La casa es roja.

Mara juega basquetbol.

La casa es roja.

Carlos no tiene dinero.

Lety estudia Estructuras Discretas.

Manuel no aprueba el curso.

Cancn tiene playas hermosas.

Carlos va a la fiesta.

La novia de Francisco se llama Gabriela. Cunto cuesta el reloj?

Qu es la lgica?

El pizarrn esta muy limpio.

Es el hombre ms fuerte del mundo.

Dnde estas?

A lo mejor si voy.

13+7.

T cllate.

Comes y te vas!

Cmo te llamas?

Cuidado con el perro!

Estudias o trabajas?

Existe vida extraterrestre.

Todo quedo claro?

Parece que fue ayer!

Donde vives?

No es posible!

Camina siempre adelante!

Obtenga la Tabla de Verdad de las siguientes formulas proposicionales. Indique si es una Tautologa, Contradiccin o Contingencia.

1.-P Q Q PPQP Q Q P

FFFTF

FTFTF

TFFTF

TTTTT

Tautologa.

2.-P v Q Q v PPQP v Q Q v P

FFFTF

FTTTT

TFTTT

TTTTT

Tautologa.

3.-P Q Q P

PQP Q Q P

FFTTT

FTTFF

TFFFT

TTTTT

NO se cumple la bicondicionalFalacia.

4.-7P v 7Q ( P Q)PQ7P v 7Q 7( P Q)

FFTTTTTF

FTTTFTTF

TFFTTTTF

TTFFFTFT

Tautologa.

5.-( P Q) R P (Q R)PQR( P Q ) RP (QR)

FFFFFTFF

FFTFFTFF

FTFFFTFF

FTTFFTFT

TFFFFTFF

TFTFFTFF

TTFTFTFF

TTTTTTTT

Tautologa.

6.-P (Q v R)(PQ) v (PR)PQRP(Q v R)(PQ) v (PR)

FFFFFTFFF

FFTFTTFFF

FTFFTTFFF

FTTFTTFFF

TFFFFTFFF

TFTTTTFTT

TTFTTTTTF

TTTTTTTTT

Tautologa.

7. P v (Q R)(P v Q) (P v R)PQRP v (QR)(P v Q)(P v R)

FFFFFTFFF

FFTFFTFFT

FTFFFTTFF

FTTTTTTTT

TFFTFTTTT

TFTTFTTTT

TTFTFTTTT

TTTTTTTTT

Tautologa.

Determine la notacin simblica de las proposiciones que aparecen a continuacin:

1.-Arturo juega ftbol

Proposicin Simple o Atmica.A: Arturo juega ftbolA.

2.-Carlos no va a la fiesta B: Carlos va a la fiestaLa proposicin es Compuesta o Molcula7B.

3.- Si Daniela aprueba el examen entonces se va a Espaa de paseo.

C: Daniela aprueba el examen.D: Se va a Espaa de paseo.CD.

4.- No como alimentos chatarra, mantengo un peso adecuado.

E: Como alimentos chatarra.F: Mantengo un peso adecuado.7E F.

5.- Te quiero mucho pero no me caso.

G: Te quiero mucho.H: Me caso.G 7H.

6.- La mesa es de caoba o la silla es tubular.

I: La mesa es de caoba.J: La silla es tubular.I v J.

7.- Si Lucy come fruta entonces Lucy se mantiene delgada.

K: Si Lucy come fruta.L: Lucy se mantiene delgada.KL.

8.- Ni se detect un virus no se aplic un tratamiento.

M: Se detect un virus.N: Se aplic un tratamiento.7M 7N.

Del la Lgica Proposicional a el Algebra de Boole.

7 A B C Equivalente de la Condicional

7 ( 7 A B ) v C Utilizando la Notacin de Boole: * 7A A' v +

( A ' * B ) ' + CObtener : Tabla de Verdad. Formas Cannicas. El Circuito de dos Estados.

TABLA DE VERDAD:ABC( A' * B ) ' + C

00010110

00110111

01011000

01111011

10000110

10100111

11000110

11100111

NOTA: La Salida se encuentra en Color Rojo.

FORMAS CANONICAS:Miterninos: suma de productosf = ( A ' * B ' * C ' )+( A ' * B ' * C )+( A ' * B * C )+ ( A * B ' * C ' )+ ( A * B ' * C )+ ( A * B * C ' )+ ( A * B * C ).Maxterminos: producto de sumasF = A + B ' + C.

CIRCUITO DE DOS ESTADOS:

Dado el siguiente Mapa de Karnaugh obtener: La Tabla de Verdad. Las Formas Cannicas. La funcin Simplificada ( S ).

TABLA DE VERDAD:

ABCDSALIDA

00000

00010

00101

00111

01001

01011

01100

01110

10001

10011

10100

10110

11000

11010

11101

11111

La Salida se obtuvo directamentede el Mapa de Karnaugh.

FORMAS CANNICAS:

Miterninos: f = ( A' * B' * C *D')+ ( A' * B' * C *D)+ ( A' * B * C' *D')+ ( A' * B * C' *D)+ ( A * B' * C' *D')+ ( A * B' * C' *D)+ ( A * B * C *D')+ ( A * B * C *D).Maxterminos:F= ( A+B+C+D) * ( A+B+C+D') * ( A+B'+C'+D) * ( A+B'+C'+D') * ( A'+B+C'+D) * ( A'+B+C'+D') *( A'+B'+C+D) * ( A'+B'+C+D').

LA FUNCIN SIMPLIFICADA ( S ):

S = ( A' * B' * C ) + ( A' * B * C' ) + ( A * B * C ) + ( A * B' * C' ).

Dado el siguiente Mapa de Karnaugh obtener: La Tabla de Verdad. La funcin Simplificada ( S ).

TABLA DE VERDAD:

ABCDSALIDA

00001

00011

00101

00110

01000

01010

01100

01110

10001

10011

10101

10110

11000

11010

11100

11111

La Salida se obtuvo directamentede el Mapa de Karnaugh.

LA FUNCIN SIMPLIFICADA ( S ):S = ( B' * C' ) + ( B' * D') + ( A * B * C * D ).

Dado el siguiente Mapa de Karnaugh de encuentra la Funcion de Salida simplificada

La funcin de simplificada es:

S = ( A' * B' * C * E ) + ( C' * E' * B' ) + ( C' * F * B' ) + ( C * D' * E * F' ) + ( C * F' * B ) + ( C' * D' * F * A ) + ( C' * E' * A' ).

Dado el siguiente Mapa de Karnaugh encuentra la Funcion de Salida simplificada

La funcin de simplificada es:

S = ( B * D * E' ) + ( A' * B * E' ) + ( B' * C' * E' ) +( A' * D' * E' * F ) +( A' * D * E' * F' ) + 1 2 3 4 5 ( B * C' * D' * E ) + ( B * C' * E * F' ) + ( A * B' * D * F ) + ( A' * B' * C * E * F' ) + 6 7 8 9 ( A * B' * C' * F ) + ( A' * B' * C * D * E ) + ( B * C * E' * F' ) + ( A * B' * C * D' * E ). 10 11 12 13

Implemente un circuito de dos estados que indique si un nmero es o no primo, dicho nmero se encuentra entre el 0 y el 15. En este caso deber incluir: Tabla de verdad. Formas Canonicas. Mapa de Karnaugh. Funcion Simplificada ( S ). Circuito de dos estados.

TABLA DE VERDAD:

ABCDSALIDA

00000

00011

00101

00111

01000

01011

01100

01111

10000

10010

10100

10111

11000

11011

11100

11110

Cuando:SALIDALEDNMERO

0ApagadoNo es primo

1EncendidoS es primo

FORMAS CANNICAS:Miterninos: f = ( A' * B' * C' *D) + ( A' * B' * C *D') + ( A' * B' * C *D) + ( A' * B * C' *D) + ( A' * B * C *D) + ( A * B' * C *D) + ( A * B * C' *D) .Maxterminos:F = ( A+B+C+D) * ( A+B'+C+D) * ( A+B'+C'+D) * ( A'+B+C+D) * ( A'+B+C+D') * ( A'+B+C'+D) * ( A'+B'+C+D) * ( A'+B'+C'+D) * ( A'+B'+C'+D').

MAPA DE KARNAUGH:

S = ( A' * D ) + ( A' * B' * C ) + ( B * C' * D ) + ( B' * C * D ).

CIRCUITO DE DOS ESTADOS:

Resuelva las siguientes Equivalencias por Propiedades Algebraicas:

NOTA: Recuerde que partimos del lado izquierdo para llegar al lado derecho

EJERCICIO 1

( 7P v P) ( P ( P Q ) ) ( P Q )Complemento

T ( P ( P Q ) ) ( P Q )Asociativa

T ( ( P P) Q ) ( P Q )Idempotencia

T ( P Q ) ( P Q )Identidad

( P Q ) ( P Q )S cumple la equivalencia

EJERCICIO 2

( P v Q ) ( P Q ) v ( P 7Q ) v ( 7P Q )Identidad

( P T ) v ( Q T ) Complemento

( P ( Q v7Q ) ) v (Q ( P v 7P) ) Distributiva

( P Q ) v ( P 7Q ) v ( Q P ) v ( Q 7P ) Conmutativa x3

( P Q ) v ( P Q ) v ( P 7Q ) v( 7P Q )Idempotencia

(PQ) v (P7Q) v (7PQ)(PQ) v (P7Q) v (7PQ) S cumple la equivalencia

EJERCICIO 3

( P7Q ) v PTEq Condicional

( 7P v 7Q ) v PTAsociativa ( )

7P v 7Q v PTConmuta / Asocia ( )

( 7P v 7P ) v 7QTComplemento

T v 7QTDominancia

TTS cumple la equivalencia

EJERCICIO 4

P( QP ) 7P ( PQ )Eq Condicional

7P v ( QP ) 7P ( PQ )Eq Condicional

7P v ( 7Q v P ) 7P ( PQ )Asociativa ( )

7P v P v 7Q 7P ( PQ )Conmutativa

T v 7Q 7P ( PQ )Complemento

T 7P ( PQ )Dominancia

T v Q 7P ( PQ )Dominancia

(7P v P) v Q 7P ( PQ )Complemento

7P v P v Q 7P ( PQ )Asociativa ( )

P v (7P v Q) 7P ( PQ )Conmuta / Asocia ()

7P ( 7P v Q ) 7P ( PQ )Eq Condicional

7P ( 77P Q ) 7P ( PQ )Eq Condicional

7P ( P Q ) 7P ( PQ )Doble Negacin

7P ( P Q ) 7P ( PQ )S cumple la equivalencia

EJERCICIO 5

P7P FEq Bicondicional

( P 7P ) ( 7P P ) FEq Condicional x2

( 7P v 7P ) ( 77P v P ) FDoble Negacin

( 7P v 7P ) ( P v P ) FIdempotencia

( 7P ) ( P ) FComplemento

F FS cumple la equivalencia

EJERCICIO 6

( R v 7R) S [ R( ( R Q ) v R ) ] SComplemento

T S Identidad

S Identidad

F v S Eq Condicional

7F S Negado de F

T S Complemento

( 7R v R ) S Eq Condicional

( R R ) S Asociativa ( )

R R S Absorcin

R ( R v ( R Q ) ) S Doble Negacin

[ R( ( R Q ) v R ) ) ]S [ R( ( R Q ) v R ) ] SS cumple la equivalencia

EJERCICIO 7

( Q P ) ( 7P Q ) FEq Condicional

( 7Q v P ) ( 7P Q ) FDMorgan

7( 7 7Q v 7P ) ( 7P Q ) FDoble Negacin

7( Q v 7P ) ( 7P Q ) FConmutativa

7( 7P Q ) ( 7P Q ) FCambio de variable( 7P Q ) A

7A A FComplemento

F FS cumple la equivalencia

EJERCICIO 8

P( P ( Q P ) ) TEq Condicional X2

7P v ( P ( 7Q v P ) ) TDistributiva

7P v ( P 7 Q ) v ( P P )TIdempotencia

7P v ( P 7 Q ) v P TConmutativa / Asociativa

(7P v P ) v ( P 7 Q ) TComplemento

T v ( P 7 Q ) TDominancia

T TS cumple la equivalencia

EJERCICIO 9

( P Q ) ( 7Q 7P ) TEq Condicional X2

( 7P v Q ) ( Q v 7P ) TConmutativa

( 7P v Q ) ( 7P v Q ) TCambio de variable( 7P v Q ) A

AA TEq Bicondicional

( A A ) ( A A ) TEq Condicional X2

( 7A v A ) ( 7A v A ) TComplemento

T T TDominancia


EJERCICIO 10

( P ( Q v R ) ) ( ( P Q ) v ( P R ) )TEq Condicional X3

( 7P v ( Q v R ) ) ( ( 7P v Q ) v ( 7 P v R ) )TEq Condicional X1

7( 7P v ( Q v R ) ) v ( ( 7P v Q ) v ( 7 P v R ) )TIdempotencia

7[ (7P v 7P) v ( Q v R ) ] v [ ( 7P v Q ) v (7 P v R ) ]TAsocia() Conmu Asocia()

7[ (7P v Q) v ( 7P v R ) ] v [ ( 7P v Q ) v ( 7P v R ) ]T Cambio de variable((7P v Q) v (7P v R))A

A v ATComplemento

TTS cumple la equivalencia

EJERCICIO 11

( Q P ) v ( 7P Q ) TEq Condicional

( 7Q v P ) v ( 7P Q ) TDistributiva

( 7Q v P v 7P ) ( 7Q v P v Q) TConmutativa / Asociativa

( 7Q v ( P v 7P) ) ( P v 7(Q v Q) ) TComplemento

( 7Q v T ) ( P v T ) TDominancia

T T TIdentidad


EJERCICIO 12

P v ( P Q ) PIdentidad

( P T ) v ( P Q ) PDistributiva

P ( T Q ) PDominancia

P T PIdentidad

P PS cumple la equivalencia

Obtenga las Formas Normales Principales de la siguiente frmula proposicional usando Tablas de Verdad y el Mtodo Algebraico.

PQPQP Q

FFT

FTT

TFF

TTT

PQ( 7P 7Q ) v ( 7P Q ) v ( P Q ) De la Tabla de Verdad FNDP

Por medio del Mtodo Algebraico

PQ Eq Condicional

7P v Q Identidad

( 7P T ) v ( Q T ) Complemento

[ 7P ( Q v 7Q ) ] v [ Q ( P v 7P ) ] Distributiva

( 7P Q) v ( 7P 7Q ) v ( Q P ) v ( Q 7P ) Distributiva

( 7P Q ) v ( 7P 7Q ) v ( 7P Q ) v ( P Q ) Conmutativa x2

( 7P 7Q ) v ( 7P Q ) v ( 7P Q ) v ( P Q ) Idempotencia

( 7P 7Q ) v ( 7P Q ) v ( P Q ) ( 7P 7Q ) v ( 7P Q ) v ( P Q ) FNDP

PQ ( 7P v Q ) De la Tabla de Verdad FNCP


PQ ( 7P v Q ) FNCPEq Condicional


P v ( 7P Q )PQP v ( 7 P Q )

FFFFTFF

FTFTTTT

TFTTFFF

TTTTFFT

P v ( 7P Q ) ( P v Q ) De la Tabla de Verdad FNCP


P v ( 7P Q ) ( P v Q ) Distributiva

( P v 7P) ( P v Q ) ( P v Q )Complemento

T ( P v Q ) ( P v Q )Identidad

( P v Q ) ( P v Q )FNCP

P v ( 7P Q )( 7P Q ) v ( P 7Q ) v ( P Q ) De la Tabla de Verdad FNDP


P v ( 7P Q ) Identidad

( P T ) v ( 7P Q ) Complemento

( P ( Q v 7Q ) ) v ( 7P Q ) Distributiva

( P Q) v ( P 7Q ) v ( 7P Q ) Conmutativa

( 7P Q ) v ( P 7Q ) v ( P Q ) FNDP


( Q P ) ( 7P Q )PQ( Q P ) ( 7 P Q )

FFTFTFF

FTFFTTT

TFTFFFF

TTTFFFT

De la Tabla de Verdad FNCP

( Q P ) ( 7P Q ) ( P v Q ) ( P v 7Q ) ( 7P v Q ) ( 7P v 7Q )


( Q P ) ( 7P Q ) Eq Condicional

( 7Q v P ) ( 7P Q ) Identidad

( 7Q v P ) ( (7P v F ) ( Q v F ) ) Complemento

( 7Q v P ) ( ( 7P v (Q 7Q) ) ( Q v (P 7P) ) ) Distributiva

( 7Q v P ) ( 7P v Q ) ( 7P v 7Q ) ( Q v P ) ( Q v 7P) Conmutativa

( P v 7Q ) ( 7P v Q ) ( 7P v 7Q ) ( P v Q ) ( 7P v Q ) Idempotencia

( P v Q ) ( P v 7Q ) ( 7P v Q ) ( 7P v 7Q ) FNCP

Obtenga las Formas Normales Principales de la siguiente frmula proposicional usando Tablas de Verdad y el Mtodo Algebraico

( Q P ) v ( 7P Q )PQ( Q P ) v ( 7 P Q )

FFTTTFF

FTFTTTT

TFTTFFF

TTTTFFT

De la Tabla de Verdad FNDP

( Q P ) v ( 7P Q ) ( 7P 7Q ) v ( 7P Q ) v ( P 7Q ) v ( P Q )


( Q P ) v ( 7P Q ) Eq Condicional

( 7Q v P ) v ( 7P Q ) Identidad

( 7P Q ) v (7Q T ) v ( P T ) Complemento

( 7P Q ) v ( 7Q ( P v 7P ) ) v ( P ( Q v 7Q ) )

Distributiva/Conmutativa

( 7P Q ) v ( P 7Q ) v ( 7P v 7Q ) v ( P Q ) v ( P v 7Q ) Idempotencia/Conmutativa

( 7P 7Q ) v ( 7P Q ) v ( P 7Q ) v ( P Q )

FNDP


7A B CABC7 A B C

FFFTFFTF

FFTTFFTT

FTFTTTFF

FTTTTTTT

TFFFFFTF

TFTFFFTT

TTFFFTTF

TTTFFTTT

7 A B C ( A v 7 B v C ) De la Tabla de Verdad FNCP


7A B C Eq Condicional

7( 7A B ) v C DMorgan

( A v 7B v C )( A v 7B v C )FNCP

De la Tabla de Verdad FNDP7A B C ( 7A 7B 7C) v (7A 7B C) v (7A B C ) v ( A 7B 7C) v ( A 7B C ) v (A B 7C ) v ( A B C ).

7 A B C Eq Condicional

7( 7A B ) v C DMorgan

( A v 7B v C ) Identidad

( A T ) v ( 7B T ) v ( C T ) Complemento

( A ( B v 7B ) ) v ( 7B ( A v 7A ) ) v ( C ( A v 7A ) ) Distributiva

( A B ) v ( A 7B ) v ( 7B A ) v ( 7B 7A ) v ( C A) v ( C 7A ) Identidad

[ ( A B ) T ] v [ ( A 7B ) T ] v [ ( 7B A ) T ] v [ ( 7B 7A ) T ] v [ ( C A ) T ] v [ ( C 7A ) T ] Complemento

[ ( A B ) ( C v 7C ) ] v [ (A 7B ) ( C v 7C ) ] v [ ( 7B A ) ( C v 7C ) ] v [ ( 7B 7A ) ( C v 7C ) ] v [ ( C A ) ( B v 7B )] v [ (C 7A ) ( B v 7B ) ] Distributiva/Conmutativa

( A B C ) v ( A B 7C ) v ( A 7B C ) v ( A 7B 7C ) v ( A 7B C ) v ( A 7B 7C ) v ( 7A 7B C ) v ( 7A 7B 7C ) v ( A B C ) v ( A 7B C ) v (7A B C ) v (7A 7B C ) Idempotencia

( 7A 7B 7C) v ( 7A 7B C) v ( 7A B C ) v ( A 7B 7C) v (A 7B C) v (A B 7C) v ( A B C ) FNDP


( PQ ) ( QR )PQR( P Q ) ( Q R )

FFFTTT

FFTTTT

FTFTFF

FTTTTT

TFFFFT

TFTFFT

TTFTFF

TTTTTT

De la Tabla de Verdad FNDP( PQ ) ( QR ) ( 7P7Q7R ) v (7P7QR ) v (7PQR ) v ( PQR )


( PQ ) ( QR ) Eq Condicional x2

( 7P v Q ) ( 7Q v R ) Distributiva

[ ( 7P v Q ) 7Q ] [ ( 7P v Q ) R ] Distributiva

( 7P v 7Q ) v ( Q 7Q ) v ( 7P R ) v ( Q R ) Contradiccin

( 7P v 7Q ) v F v ( 7P R ) v ( Q R ) Identidad

[( 7P v 7Q ) T ] v [( 7P R ) T ] v [( Q R ) T] Complemento

[( 7P v 7Q ) ( R v 7R ) ]v [ ( 7P R ) ( Q v 7Q ) ] v [( Q R ) ( P v 7P )]

( 7P7QR ) v ( 7P7Q7R ) v ( 7PQR ) v ( 7P7QR ) v ( PQR ) v ( 7PQR ) Distributiva

( 7P7QR ) v ( 7P7Q7R ) v ( 7PQR ) v ( 7P7QR ) v ( PQR ) v ( 7PQR ) Idempotencia

( 7P7Q7R ) v (7P7QR ) v ( 7PQR ) v ( PQR ) FNDP

De la Tabla de Verdad FNCP( PQ ) ( QR )( P v 7Q v R ) ( 7P v Q v R ) ( 7P v Q v 7R ) ( 7P v 7Q v R )


( PQ ) ( QR )Eq Condicional x2

( 7P v Q ) ( 7Q v R ) Identidad

[ ( 7P v Q ) v F ] [ ( 7Q v R ) v F ] Complemento

[ ( 7P v Q ) v ( R 7R )] [ ( 7Q v R ( P 7P )) v ]

( 7P v Q v R ) ( 7P v Q v 7R ) ( P v 7Q v R ) ( 7P v 7Q v R ) Distributiva

FNCP( P v 7Q v R ) ( 7P v Q v R ) ( 7P v Q v 7R ) ( 7P v 7Q v R )


( 7PR ) ( QP )PQR( 7P R ) ( Q P )

FFFTFFFT

FFTTTTTT

FTFTFFFF

FTTTTTFF

TFFFTFFF

TFTFTTFF

TTFFTFTT

TTTFTTTT

De la Tabla de Verdad FNDP( 7PR ) ( QP ) ( 7P 7Q R ) v ( P Q 7R ) v ( P Q R )


( 7PR ) ( QP ) Eq Bicondicional

( 7PR ) ( QP ) ( PQ ) Eq Condicional x3

( P v R ) ( 7Q v P ) ( 7P v Q ) Conmutativa

( P v R ) ( P v 7Q ) ( 7P v Q ) Distributiva

[ P v ( R 7Q ) ] ( 7P v Q ) Distributiva

[ P v ( R 7Q ) 7P ] v [ P v ( R 7Q ) Q ] Distributiva

( P 7P ) v ( 7P 7Q R ) v ( P Q ) v ( R 7Q Q ) Complemento

( F ) v ( 7P 7Q R ) v ( P Q ) v ( R T ) Dominancia

( F ) v ( 7P 7Q R ) v ( P Q ) v F Identidad

( 7P 7Q R ) v ( P Q T ) Complemento

( 7P 7Q R ) v ( P Q ( R v 7R ) ) Distributiva

( 7P 7Q R ) v ( P Q 7R ) v ( P Q R ) FNDP

De la Tabla de Verdad FNCP( 7PR ) ( QP ) ( P v Q v R) ( P v 7Q v R ) ( P v 7Q v 7R ) ( 7P v Q v R ) ( 7P v Q v 7R )

( 7PR ) ( QP ) Eq Bicondicional

( 7PR ) ( QP ) ( PQ ) Eq Condicional x3

( P v R ) ( 7Q v P ) ( 7P v Q ) Conmutativa

( P v R ) ( P v 7Q ) ( 7P v Q ) Identidad

[ ( P v R ) v F ] [ ( P v 7Q ) v F ] [ ( 7P v Q ) v F ]

[ ( P v R ) v ( Q 7Q ) ] ^ [ ( P v 7Q ) v ( R 7R ) ] ^ [ (7P v Q ) v ( R 7R ) ] Complemento

( P Q R ) v ( P 7Q R ) v ( P 7Q R ) v ( P 7Q 7R ) v ( 7P Q R ) v ( 7P Q 7R ) Distributiva

( P Q R ) v ( P 7Q R ) v ( P 7Q R ) v ( P 7Q 7R ) v ( 7P Q R ) v ( 7P Q 7R ) Idempotencia

( P v Q v R ) ( P v 7Q v R ) ( P v 7Q v 7R ) ( 7P v Q v R ) ( 7P v Q v 7R ) FNCP

Resuelva las siguientes Implicaciones Tautolgicas por medio de Tablas de Verdad

1.-P Q PPQP Q P

FFFTF

FTFTF

TFFTT

TTTTT

S es una Implicacin Tautolgica

2.-P P v QPQP P v Q

FFTF

FTTT

TFTT

TTTT


3.-7 P P QPQ7 P P Q

FFTTT

FTTTT

TFFTF

TTFTT


4.- Q P QPQQ P Q

FFFTT

FTTTT

TFFTF

TTTTT


5.- 7 ( PQ )P

PQ7 ( P Q ) P

FFFTTF

FTFTTF

TFTFTT

TTFTTT


6.- 7 ( PQ ) 7Q

PQ7 ( P Q ) 7Q

FFFTTT

FTFTTF

TFTFTT

TTFTTF

S es una Implicacin Tautolgica.

7.- P , Q P Q PQP Q P Q

FFFTF

FTFTF

TFFTF

TTTTT


8.- 7 P, P v Q Q

PQ7 P ( P v Q ) Q

FFTFFTF

FTTTTTT

TFFFTTF

TTFFTTT


9.- P, ( PQ ) Q

PQP ( P Q ) Q

FFFTTF

FTFTTT

TFFFTF

TTTTTT


10. 7 Q, (PQ) 7 P

PQ7 Q ( P Q ) 7 P

FFTTTTT

FTFFTTT

TFTFFTF

TTFFTTF


11.- ( P Q ), ( Q R ) ( P R )

PQR( P Q ) ( Q R ) ( P R )

FFFTTTTT

FFTTTTTT

FTFTFFTT

FTTTTTTT

TFFFFTTF

TFTFFTTT

TTFTFFTF

TTTTTTTT


12.- ( P v Q ), ( PQ ), ( QR ) R

PQR ( P v Q ) ( P Q ) ( Q R ) R

FFFFFTFTTF

FFTFFTFTTT

FTFTTTFFTF

FTTTTTTTTT

TFFTFFFTTF

TFTTTTTTTT

TTFTFFFFTF

TTTTTTTTTT


Demuestre la validez del siguiente razonamiento. Use el mtodo de Derivacin Paso a Paso: ( A v B )( R S ) A R

H1: ( A v B ) ( R S )H2: A--------------------------------------------C: R

#PASOREGLAFRMULA

1P, H2A

2T, 1, I3P P v QA A v B

A v B

3P, H1( A v B )( R S )

4T, 2, 3, I11 P, P Q Q(A v B), ( A v B )( R S ) ( R S )

( R S )

5T, 4, I1P Q PR S R

RPor lo tanto el razonamiento es vlido.

Encuentre la notacin simblica del siguiente razonamiento:Si Paula estudia Estructuras Discretas entonces aprueba el examen. Si aprueba el examen entonces no repite el curso. Repite el curso. Paula estudia Estructuras Discretas o, Javier se va de vacaciones y Silvia se compra un auto. Por lo tanto Javier se va de vacaciones y Silvia se compra un auto.

Localizamos las Atmicas:A: Paula estudia Estructuras Discretas.B: Aprueba el examen.C: Repite el curso.D: Javier se va de vacaciones.E: Silvia se compra un auto.Notacin Simblica:H1 : AB H2 : B 7CH3 : CH4 : A v (D E)C: (D E)

Resuelva el problema anterior por el Mtodo de Derivacin Paso a Paso

#PASOREGLAFRMULA

1P, H1AB

2P, H2B7C

3T, 1, 2, I13PQ, QR PRAB B7C A7C

A7C

4P, H3C

5T, 3, 4, I127Q, P Q 7P C, AC 7A

7A

6P, H4A v (D E)

7T, 5, 6, I107P, P v Q Q7A, A v (D E) (D E)(D E)Por lo tanto S es un razonamiento vlido.

Encuentre la notacin simblica del siguiente razonamiento:

Si Carlos estudia entonces aprueba el examen y si acredita el semestre entonces le compran un auto. Por lo tanto, si Carlos estudia o acredita el semestre entonces aprueba el examen o le compran un auto.Localizamos las Atmicas:A: Carlos estudia.B: Aprueba el examen.C: Acredita el semestre.D: Le compran un auto.Notacin Simblica:H1 : ( AB ) ( CD )C: ( A v C ) ( B v D )

Resuelva el problema anterior por el Mtodo de Derivacin Paso a Paso #PASOREGLAFRMULA

1P, H1( AB ) ( CD )

2T, 1, Eq.( AB ) ( CD ) Eq. Condicional X2( 7A v B ) (7 C v D )( 7A v B ) ( 7C v D )

3T, 2, I3 P P v Q(7A v B )(7 C v D) [ (7A v B )(7 C v D) ] v (B v D)

[ (7A v B ) ( 7C v D) ] v (B v D)

4T, 3, Eq.[ (7A v B ) ( 7C v D) ] v (B v D) Distributiva[( 7A v B ) v ( B v D ) ] [ ( 7 C v D ) ] v ( B v D )]

[( 7A v B )v( B v D) ] [ ( 7C v D) ]v (B v D)]

5T, 4, Eq. Idempotencia

[ 7A v (B v D) ] [ 7C v (B v D)]

6T, 5, Eq. Distributiva ( 7A 7C ) v ( B v D)

7T, 6, Eq. Negacin7( 7A 7C ) v ( B v D )

8T, 6, Eq. 7( A v C ) v ( B v D ) DMorgan ( A C ) v ( B v D ) Eq. Condicional( A C ) v ( B v D )

Por lo tanto S es un razonamiento vlido.

Demuestre la siguiente implicacin tautolgica:

H1 : AB H2 : C v S H3 : S 7BH4 : 7C C: 7A

#PASOREGLAFRMULA

1P, H47C

2P, H2C v S

3T, 1, 2, I107P, P v Q Q7C, C v S SS

4P, H3S 7B

5T, 3, 4, I11P, P Q QS, S 7B 7B7B

6P, H1AB

7T, 5, 6, I127 Q, P v Q 7 P7 B, AB 7A7AS es una Implicacin Tautolgica.

Determine si el siguiente argumento es consistente lgicamente.H1: ABCH2 : ( 7A v C ) DH3 : A B C : 7 D C

#PASOREGLAFRMULA

1P,H3AB

2P,H1ABC

3T, 2, Eq.7 ( A B ) v C Eq. Condicional7 A v 7 B v C DMorgan7 B v 7 A v C Conmutativa

7B v 7A v C

4T, 3, Eq. Eq. CondicionalB( 7A v C)

5T, 1, 4, I13PQ, QR PRAB, B( 7A v C ) A( 7A v C )

A7A v C

6T, 5 Eq.A7A v C Eq. Condicional7A v 7A v C Idempotencia7A v C v C ConmutativaC v 7A

C v 7A

7T, 6, Eq. Eq. Condicional7C7A

8P, H2(A v C)D

9T, 8, Eq( 7A v C )D Eq. CondicionalA v C v D AsociativaA v ( C v D )

A v (C v D)

10T, 9, Eq. Eq. CondicionalA( C v D)

11T, 7, 10, I13PQ, QR PR7C7A, 7A( C v D) 7C( C v D)

7C( C v D)

12T, 11, Eq.7C( C v D) Eq. CondicionalC v C v D IdempotenciaC v D 7C D Eq. Condicional

7C D

13T, 11, Eq. Eq. Contrapositiva

7D CPor lo tanto el argumento S es lgicamente consistente.

Prueba Automtica de Teoremas, PAT.Es un mtodo que permite demostrar la validez de los razonamientos. Consiste en encontrar Axiomas.

Para lograrlo: Se deben eliminar todos los conectivos que aparecen en las expresiones. Para que el razonamiento sea vlido, todas, si todas las expresiones libres de conectivos deben ser axiomas. Para que esa expresin libre de conectivos sea un axioma debe tener al menos una atmica en comn, tanto en el antecedente como en el consecuente.

Si encontramos una expresin libre de conectivos que no sea axioma, en ese momento se detiene el mtodo y se concluye que el razonamiento no es vlido.

Demuestre la validez del siguiente razonamiento. Use el Mtodo de Prueba Automtica de Teoremas (PAT). H1: ( P v Q )( R S )H2: P C: R

[ ( P v Q ) ( R S ) ] P R

[ ( P v Q ) ( R S ) P ] R X Y

[ ( P v Q ) ( R S ) ] P R

[ ( P v Q ) ( R S ) ] , P R X Y

( P ), ( R S ) ( R )( P ) ( P v Q ), ( R )

( P ), ( R ), ( S ) ( R ) A1v( P ) ( P ), ( Q ), ( R ) A2

Como todas las expresiones libres de conectivos son axiomas, entonces el razonamiento es valido

Demuestre la validez del siguiente razonamiento. Use el Mtodo de Prueba Automtica de Teoremas (PAT). H1: A BH2: C v SH3: S 7BH4: 7C C: 7A

( A B )( C v S )( S 7B )7C 7A

[ ( A B )( C v S )( S 7B )7C ] 7A X Y

( A B )( C v S )( S 7B )7C 7A

( A B ), ( C v S ), ( S 7B ), 7C 7A X Y

v (C), ( A B ), ( S 7B ), 7C7A X Yv (S), ( A B ), ( S 7B ), 7C7A X Y

(C), ( B ), ( S 7B ),( 7C)7A X Y(S), ( B ), ( S 7B ),( 7C)7A X Y

7(C), ( B ), ( 7B ),(7C)(7A)7(S), ( B ), ( 7B ),(7C)(7A)

7(C), ( B ) (7A), (B),(C)7(S), ( B ) (7A), (B),(C)

(A), (B), (C) (B), (C) A1(A), (B), (S) (B), (C) A5

7(C), ( B ),(7C)(7A), (S)7(S), ( B ),(7C)(7A), (S)

7(C), ( B ) (7A), (S), (C)7(S), ( B ) (7A), (S), (C)

(A), ( B ), (C) (C), (S) A2(A), ( B ), (S) (C), (S) A6

(C), ( S 7B ),(7C)(7A), (A) X Y(S), ( S 7B ),(7C)(7A), (A) X Y

(C), ( 7B ),(7C)(7A), (A)(S), ( 7B ),(7C)(7A), (A)

7(C), (7A), (A), (B), (C)7(S), (7A), (A), (B), (C)

7(A), (C) (A), (B), (C) A37(A), (S) (A), (B), (C) A7

(C), (7C)(7A), (A), (S)(S), (7C)(7A), (A), (S)

7(C) (7A), (A), (S). (C)7(S) (7A), (A), (S). (C)

7(A), (C) (A), (S). (C) A47(A), (S) (A), (C), (S) A8


Resuelva la Implicacin Tautolgica I7 por medio del Mtodo de Prueba Automtica de Teoremas (PAT).

7 ( PQ ) P

7( PQ ) P X Y

7( PQ ) P

7 ( P ), ( PQ ) X Y

( P ) ( P ), ( Q ) A1

Como la expresin resultante esta libre de conectivos y es un axioma, podemos confirmar que I7 es una Implicacin Tautolgica (que hecho ya lo sabamos).


7 ( P Q ) 7Q

7 ( P Q ) 7Q X Y

7( P Q ) 7Q

7 ( 7Q ), ( P Q )

7 ( Q ) ( P Q ) X Y

( P ), ( Q ) ( Q ) A1

Como la expresin resultante esta libre de conectivos y es un axioma, podemos confirmar que I8 es una Implicacin Tautolgica (que hecho ya lo sabamos).


P, Q P Q

P Q P Q

P Q PQ X Y

P Q PQ

( P ), ( Q ) PQ X Y

( P ), ( Q ) ( P ) A1( P ), ( Q ) ( Q ) A2

Como todas las expresiones libres de conectivos son axiomas, entonces I9 S es una Implicacin Tautolgica (que hecho ya lo sabamos).


7P, P v Q Q

7P( P v Q ) Q

7P( P v Q ) Q X Y

7P( P v Q ) Q

7P, ( P v Q ) Q

7( P v Q ) ( P ), ( Q ) X Y

v( P ) ( P ), ( Q ) A1v( Q ) ( P ), ( Q ) A2

Como todas las expresiones libres de conectivos son axiomas, entonces I10 S es una Implicacin Tautolgica (que hecho ya lo sabamos).


P, P Q Q

P ( P Q ) Q

P( P Q ) Q X Y

P ( P Q ) Q

( P), ( P Q ) Q X Y

( P ), ( Q ) ( Q ) A1( P ) ( P ), ( Q ) A2

Como todas las expresiones libres de conectivos son axiomas, entonces I11 S es una Implicacin Tautolgica.


7Q, P Q 7P

7Q P Q 7P

[ 7Q P Q ] 7P X Y

7Q P Q 7P

7Q, P Q 7P X Y

( 7Q ), ( Q ) ( 7P )( 7Q ) ( 7P ), ( P )

7( Q ) ( 7P ), ( Q )7 ( 7P ), ( P ), ( Q )

7( P ), ( Q ) ( Q ) A17( P ) ( P ), ( Q ) A2


Resuelva la Implicacin Tautolgica I13 por medio del Mtodo de Prueba Automtica de Teoremas (PAT). P Q , Q R P R

( P Q )( Q R ) ( P R )

[ ( P Q )( Q R ) ] ( P R ) X Y

( P Q )( Q R ) ( P R )

( P Q ), ( Q R ) ( P R ) X Y

( P ), ( P Q ), ( Q R ) ( R ) X Y

( P ), ( Q ), ( Q R ) ( R )( P ), ( Q R ) ( R ) ( P )

( P ), ( Q ), ( Q R ) ( R ) X Y( P ), ( Q R ) ( R ) ( P ) X Y

( P ), ( Q ), ( R ) ( R ) A1( P ), ( R ) ( P ), ( R ) A3

( P ), ( Q ) ( Q), ( R ) A2( P ) ( P ), ( Q ), ( R ) A4


Resuelva la Implicacin Tautolgica I14 por medio del Mtodo de Prueba Automtica de Teoremas (PAT). P v Q , P R, Q R R

( P v Q ) ( P R ) ( Q R ) R

[ ( P v Q ) ( P R ) ( Q R ) ] R X Y

( P v Q ) ( P R ) ( Q R ) R

( P v Q ), ( P R ), ( Q R ) R X Y

v ( P ), ( P R ), ( Q R ) R X Yv ( Q ), ( P R ), ( Q R ) R

( P ), ( R ), ( Q R ) R X Y( Q ), ( R ), ( Q R ) R X Y

( P ), ( R ), ( R ) ( R ) A1( Q ), ( R ), ( R ) ( R ) A5

( P ), ( R ) ( Q ), ( R ) A2( Q ), ( R ) ( Q ), ( R ) A6

( P ), ( Q R ) ( P ), ( R ) X Y( Q ), ( Q R ) ( P ), ( R ) X Y

( P ), ( R ) ( P ), ( R ) A3( Q ), ( R ) ( P ), ( R ) A7

( P ) ( P ), ( Q ), ( R ) A4( Q ) ( P ), ( Q ), ( R ) A8


Demuestre la validez del siguiente razonamiento. Use el Mtodo de Prueba Automtica de Teoremas (PAT). ( P Q )( Q P ) ( P Q)

[ ( P Q )( Q P ) ] ( P Q) X Y

( P Q )( Q P ) ( P Q)

( P Q ), ( Q P ) ( P Q) X Y

( P ), ( P Q ), ( Q P ) ( Q) X Y

( P ), ( Q ), ( Q P ) ( Q) X Y( P ), ( Q P ) ( P), ( Q) X Y

( P ), ( P ), ( Q ) ( Q) A1( P ), ( P ) ( P), ( Q) A3

( P ), ( Q ) ( Q) ( Q ) A2( P ) ( P), ( Q) ( Q ) A4


Demuestre la validez del siguiente razonamiento. Use el Mtodo de Prueba Automtica de Teoremas (PAT).( PQ )7P Q

( PQ )7P Q X Y

( PQ )7P Q

( PQ ), 7P Q X Y

7( Q ), ( 7P ) Q7(7P) ( P ), ( Q )

( Q ) ( P ), ( Q ) 1 ( P ), ( P ), ( Q ) 2

Las expresiones 1 y 2 estn libres de conectivos pero NO son axiomas, por lo tanto Razonamiento NO es valido.

EXPRESIN:OBSERVACIN:RESULTADO:

A + B * CNotacin infija (Oper / Op / Oper).

A + B * CSe realizar primero el de mayor jerarqua.B C *

A + B *CPor lo que la suma se realiza al final.A B C * +

Notacin Posfija (Oper / Oper / Op).A B C * +

Recuerde:

Notacin infija: Operando1 Operador Operando2Notacin posfija: Operando1 Operando2 Operador

Relacionando lo que ya sabemos:

Operador es lo mismo que conectivo. Operando es la Proposicin (Atmica).

Importante:

1.-Cada atmica conserva su posicin original, sin importar el tipo de notacin que es trate.2.-Si la notacin infija tiene parntesis, la notacin prefija y posfija elimina los parntesis.

EXPRESIN:OBSERVACIN:RESULTADO:

[ (A + B * C )^D ]/RNotacin sufija (Oper / Op / Oper).

[ (A + B * C )^D ]/RSe realizara el parntesis ms interno que corresponde a el ejercicio anteriorA B C * +

[ (A + B * C )^D ]/RSe realizara el parntesis ms externoA B C * +D^

[ (A + B * C )^D ]/RPor ultimo se realiza la divisinA B C * +D^R/

Notacin Posfija (Oper / Oper / Op).A B C * +D^R/

Recuerde:

La jerarqua de los conectivos es muy importante. La negacin es la de mayor jerarqua. Entonces la jerarqua queda de la siguiente manera:7, , v , , Por claridad, se recomienda escribir la notacin infija parenterizada. Las notaciones prefija y posfija no contienen parntesis.

Notacin Infija a Notacin Posfija

A B + C 3 A B 5 ^ * B / 1 * +

R C 9 ^ * R A ^ 5 7 * / A ^ +

Q Z P A * B ^ / 4 C *

5 7 8 / 9 * 5 + 8 6 / 2 * 9 4 3 ^ 1 2 + 3 6 * * + +

7 5 / 6 * 1 8 + 3 1 5 ^ + + 4

8 8 4 * 7 / 3 4 ^ 4 2 / 3 * 1 ^ 2 * + 3 5 * 7 1 + 3 ^ / 1

3 5 * 2 4 2 ^ 8 7 * / + 8 3 5 * ^ +

4 8 / 5 5 3 + * 3 2 ^ 1 4 * + ^

Clasificacin de los Grafos:

Grafo Simple

MultgrafoPor tener : Arcos Paralelos Ciclo Loop.

Grafo DirigidoEs aquel que tieneArcos Dirigidos

Grafos con Peso.

Recorrido en Grafos:

Trayectoria de V1 a V2

Trayectoria de V1 a V3

Camino CerradoPunto de inicio VPunto de llegada V

CircuitoInicio en V0 y termino en V0

Dado el siguiente Grafo encuentra su Matriz de Adyacencia.

Matriz de Adyacencia.

V1V2V3

V1011

V2100

V3100



V1V2V3

V1011

V2000

V3000



V1V2V3

V1111

V2100

V3100



V1V2V3

V1111

V2000

V3100

Dado el siguiente Grafo encuentra su Matriz de Incidencia.

Matriz de Incidencia.

a1a2a3a4

V10-11-1

V20001

V301-10

Dado el siguiente Grafo encuentra su: Clasificacin. Matriz de Adyacencia. Matriz de Incidencia.

MultgrafoPor tener : Arcos Paralelos (1). Ciclo Loop (1).

Circuito (2)

Trayectoria de V6 a V7.


V1V2V3V4V5V6V7

V10100000

V20110000

V30001000

V41000001

V50000000

V60000100

V70001110


a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10

V1-1100000000

V2100-1000001

V300-11000000

V40-110-110000

V50000000110

V600000010-10

V700001-1-1-100

Dado el siguiente Grafo encuentra su: Matriz de Adyacencia. Matriz de Incidencia. Matriz de Circuito.


123456

1001000

2101000

3001001

4100011

5000100

6000000


abcdefghi

111000000-1

2-10-1000000

30010000-11

40-100-11-100

500001-1000

6000000110

Matriz de Circuito.

abcdefghi

Cto1000011000

Cto2000100000

Documents

ESTRUCTURAS DISCRETAS