Ingredientes del mtodo de elementos finitos

Estructuras matemticas del mtodo de elementos finitosContenidoDescripcin matemtica del mtodoNociones bsicas de anlisis funcionalNotacin forma integral compactaFormulacin dbil

IntroduccinEl proceso de discretizacin espacial por FEM se apoya en la representacin discreta de la forma integral dbil de las ecuaciones diferenciales a ser discretas.Esta formulacin requiere de la definicin de algunos espacios de funciones, sus normas asociadas y la introduccin de la forma compacta de las funciones de estos espacios.Descripcin matemtica del mtodoEn un problema definido mediante ecuaciones diferenciales, una alternativa de reformulacin es la forma variacional dbil, en que dichas ecuaciones se escriben en forma integral, dando lugar a ecuaciones tratables mediante los mtodos del lgebra lineal sobre un espacio vectorial de dimensin infinita o espacio funcional.

El dominio debe dividirse mediante una particin en subdominios, llamados elementos finitos. Asociada a la particin anterior se construye un espacio vectorial de dimensin finita, llamado espacio de elementos finitos. Siendo la solucin numrica aproximada obtenida por elementos finitos, una combinacin lineal en dicho espacio vectorial.

Se obtiene la proyeccin del problema variacional original sobre el espacio de elementos finitos obtenido de la particin. Esto da lugar a un sistema con un nmero de ecuaciones finito donde el nmero de incgnitas ser igual a la dimensin del espacio vectorial de elementos finitos obtenido.

El ltimo paso es el clculo numrico de la solucin del sistema de ecuaciones.Los pasos anteriores permiten construir un problema de clculo diferencial en un problema de lgebra lineal.

Espacios de FuncionesLos vectores en el espacio R se pueden pensar como funciones evaluadas en valores discretos de una variable, por ejemplo, la sucesin geomtrica[1, 1/2, 1/4, 1/8,...] es la funcin f(x)=(1/2)x, evaluada en x=0,1,2,3,...En forma similar, la sucesin aritmtica[2, 4, 6, 8, 10,...]Se expresa como la funcin f(x) =2x+2 evaluada en x=0,1,2,3,...y qu pasa si x toma valores continuos?Espacios de FuncionesSi x toma valores continuos en el intervalo de nmeros reales [a,b] los vectores se transforman en funciones de valor real en ese intervalo.

Sin embargo, este conjunto de funciones es demasiado extenso y slo algunos subconjuntos son de inters, especialmente los de funciones de norma finita.Pero y ... Como se define la norma de una funcin?Norma vectorialUn vector es un elemento de un espacio vectorial del que, en ocasiones, especialmente en Fsica y Geometra, interesa conocer su longitud. Para ello se hace necesario definir un operador norma que determine el tamao de sus elementos.

La definicin general de norma se basa en generalizar a espacios vectoriales abstractos la nocin de mdulo de un vector de un espacio eucldeo.

Recurdese que en un espacio no eucldeo el concepto de camino ms corto entre dos puntos ya no es identificable con el de la lnea recta.En un espacio vectorial dotado de producto escalar existe una norma asociada al producto escalar definida

Ser la norma natural en el contexto de elementos finitos

Norma energtica del errorUna parte imprescindible en un anlisis con el mtodo de elementos finitos FEM es la evaluacin del error inherente a la solucin.

Existen algunos procedimientos que permiten hacer una estimacin del error para determinar la calidad de la solucin. Los errores en la solucin de un problema cuando se emplea FEM se pueden clasificar:Errores de modeladoErrores de discretizacin: aparecen debido a la representacin que se hace del sistema continuo, con un nmero infinito de grados de libertad, en un sistema discreto con N grados de libertad. Predominante.Errores de redondeo y manipulacin matemtica

Norma energtica del errorLo ms prctico en un FEA, es medir los errores de discretizacin utilizando una norma que proporcione una magnitud de error en trminos de una magnitud escalar.

Por ejemplo en problemas de elasticidad se utiliza ampliamente la norma energtica ya que se relaciona directamente con la energa del sistema. En otras aplicaciones puede tener ms sentido fsico otras normas.

Una de ellas es la norma energtica.

Espacios de FuncionesLa manera natural de redefinir el producto interno para funciones, es transformando la sumatoria en una integral, as, para las funciones f, g definidas en el intervalo [a,b]:

De acuerdo a esto, la norma de la funcin f, ser

Espacios de FuncionesEjemplo: Para las funciones f(x) = sen(x), g(x)=cos(x), definidas en el intervalo [0,2]Producto interno: = 0, es decir, son funciones ortogonales.Normas: =

=

Espacios L2Las Normas lp definidas para vectores en R se transforman en las normas Lp que se definen para una funcin f(x) en el intervalo [a,b]como sigue

As, las funciones de norma L2 finita conforman el conjunto de funciones de cuadrado integrable o Espacio L2.

Espacios L2Con el producto escalar:

Y la norma:

Las integrales de la formulacin variacional exigen que las funciones u(x), v(x),u(x) y v(x) tengan definido el cuadrado integrable sobre el dominio

Cuadrado integrableEn anlisis matemtico, una funcin f(x) de una variable real con valores reales o complejo se dice de cuadrado sumable o tambin de cuadrado integrable sobre un determinado intervalo, si la integral del cuadrado de su mdulo, definida en el intervalo de definicin, converge.

El conjunto de todas las funciones medibles de cuadrado integrable sobre un dominio dado forman un espacio de Hilbert sumable, tambin llamado espacio L2.

El Espacio de HilbertEl espacio R contiene las sucesiones de nmeros reales de la forma: [x1,x2,x3,...], por ejemplo:

[0, 3, 6, 9, 12, 15,...] (sucesin aritmtica)[1, , , 1/8, ...] (Sucesin geomtrica)[1, , 1/3, , ...] (Sucesin armnica)[1, 1, 2, 3, 5, 8,...] (Sucesin de Fibonacci)[0, sen(1), sen(2), sen(3),....] Etc..Este espacio es demasiado grande y con pocas propiedades interesantes, ya que la norma de sus vectores puede ser infinita.El Espacio de HilbertSi nos restringimos a considerar solamente sucesiones de longitud finita o norma euclideana finita obtenemos un espacio Vectorial llamado Espacio de Hilbert o espacio l2.

As, un vector [x1,x2,x3,...] est en el espacio de Hilbert si ||x||2=x12+x22+x32,+... Es un nmero finito.El Espacio de HilbertEl espacio de Hilbert es de inters especial porque en l est bien definido el producto interno (no se hace infinito).

As, para dos vectores arbitrarios x= [x1,x2,x3,...], y= [y1,y2,y3,...] en este espacio:= x1y1+x2y2+x3y3...