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Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2017
Estruturas reticuladas simples
Problema
Calcule todas as reacções externas. As forças aplicadas actuam no meio das barras.
Resolução
(verificação da estatia: Estática)
HA: libertação e a introdução da reacção incógnita
1. Separação em corpos e posições dos CIRs conhecidas
Para clarificar melhor, as rectas que apenas indicam uma posição do CIR algures nessa recta,
serão designadas com o respectivo CIR entre parenteses, ou seja (CIR).
2. Teoremas e determinação dos restantes CIRs
A
C B
m3 4
4
P
P
A
C B
AH
1CIR
12CIR2CIR
AH
I
II
1CIR
12CIR2CIR
AH
I
II 1CIR1CIR
Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2017
3. Escolha do movimento. No caso das estruturas reticuladas torna-se mais vantajoso arbitrar
um ângulo de rotação de um dos corpos, por exemplo 1 , e graficamente representar a
relação que define os outros ângulos de rotação. Apenas depois relacionar os vários ângulos
de rotação entre si. Mais correcto seria usar 1d para sublinhar que a rotação é virtual e
infinitesimal, mas desde que estar claro da resolução que os ângulos introduzidos são
infinitesimais, pode-se simplificar para 1 . Não é muito vantajoso simplificar para “1”
infinitesimal como no caso das vigas, porque não será fácil deduzir directamente os valores
dos outros ângulos. Recorda-se que o campo do deslocamento virtual apenas tem que verificar
as condições impostas pelos apoios e que não está provocado pelas forças aplicadas.
Para obter a posição deformada dos corpos rectos, basta encontrar a nova posição das
extremidades e liga-las com uma recta. A posição das extremidades encontra-se usando as
regras de marcação dos deslocamentos virtuais. Sublinha-se que cada corpo pode ter apenas
um ângulo de rotação e este tem que se manter na representação de todos os pontos que
pertencem a este corpo. Se for necessário representar outros pontos além das extremidades,
aplica-se novamente a regra de marcação dos deslocamentos virtuais, como mostra a figura
abaixo, no entanto sabe-se que a parte do corpo que era recta vai se manter recta na posição
deformada.
4. Relação entre os ângulos de rotação
O mecanismo tem 1GDL cinemática e por isso tem que existir apenas um parâmetro que
define o movimento, e por isso os ângulos introduzidos são dependentes:
1 23 4
como se verifica usando o deslocamento do ponto comum dos 2 corpos (do ponto que separa
os movimentos, 12CIR ).
12CIR
2CIR
AH
1CIR
1
1 2
12CIR
2CIR
AH
1CIR
1
1 2
1
Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2017
5. Trabalho virtual
Aplicando as regras de expressão do trabalho virtual, verifica-se que a posição deformada
serviu apenas para a determinação das relações entre os ângulos de rotação, mas para o
cálculo do trabalho virtual era completamente desnecessária.
É suficiente saber a posição dos CIRs absolutos, os sentidos das rotações e a ligação dentre os
ângulos. O trabalho exprime-se na estrutura não deformada.
1 1 21,5 4 2 0AP H P
Na relação acima somam-se os trabalhos de cada força na forma dos trabalhos dos momentos.
Os momentos das forças calculam se relativamente ao CIR do corpo onde a força actua. O sinal
do trabalho define-se comparando os sentidos de rotação dos momentos e dos ângulos de
rotação dos corpos: sentidos iguais indicam sinal positivo, sentidos opostos indicam o sinal
negativo. Realça-se mais uma vez, que este trabalho dos momentos nos ângulos de rotação
equivale ao trabalho das forças nos deslocamentos. Na figura da deformada verifica-se que o
deslocamento no local da reacção equivale a 14 (sentido igual ao da reacção), o
deslocamento no local da força do corpo II equivale a 22 (sentido oposto ao da força), e
para a força do corpo I basta imaginar a força na sua linha de acção em cima, e o
deslocamento virá 11,5 (sentido oposto ao da força). Recorda-se mais uma vez que esta
passagem da força ao longo da linha de acção é permitida e que desta maneira evitam-se as
projecções resultantes da aplicação do produto interno que define o trabalho.
Substituindo a relação entre os ângulos
1 1 1
3 31,5 4 2 0
4 4A AP H P H P
2CIR
AH
1CIR 2
1
P
P
2CIR
AH
1CIR 2
1
PP
Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2017
VA: libertação e a introdução da reacção incógnita
1. Separação em corpos e posições dos CIRs conhecidas
2. Teoremas e determinação dos restantes CIRs
3. Escolha do movimento.
Neste caso é mais fácil começar pela rotação do corpo II. O corpo I faz apenas translação
porque o seu CIR está no infinito. A direcção da translação é perpendicular à direcção da recta
que indica a posição do CIR no infinito.
4. Relação entre os ângulos de rotação
Neste caso basta relacionar o deslocamento do corpo I com a rotação do corpo II:
1 24u
A
C B
AV
1CIR
12CIR2CIR
I
II
AV
1CIR
12CIR2CIR
I
II 1CIR
1,CIR
AV
AV
12CIR
2CIR21u
Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2017
5. Trabalho virtual
1 1 22 0AP u V u P
Substituindo
1 1 1
1 32 0
4 2A APu V u Pu V P
HB: libertação e a introdução da reacção incógnita
1. Separação em corpos e posições dos CIRs conhecidas
2. Teoremas e determinação dos restantes CIRs
2CIR2P
P1u
AV
A
C B
BH
1CIR
12CIR
2CIRI
II
BH
1CIR
12CIR
2CIRI
II
BH
2CIR
2CIR
Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2017
3. Escolha do movimento.
4. Relação entre os ângulos de rotação
Como já explicado anteriormente, seria mais vantajoso determinar esta relação numa das
projecções. Os comprimentos necessários são definidos no enunciado para a projecção na
horizontal:
1 23 4
Para a projecção na vertical é necessário determinar a altura em falta usando a semelhas dos
triângulos 4
3 4
x , depois
1 2
164
3 , que naturalmente representa a mesma relação como a anterior
1CIR
12CIR BH
2CIR
2
1
2
1CIR
12CIR BH
2CIR
2
1
2
1 2
2
16
3
1
Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2017
5. Trabalho virtual
1 2 2
161,5 2 0
3BP H P
Substituindo
2 2 2
3 4 16 32 0
2 3 3 4B BP H P H P
VB: libertação e a introdução da reacção incógnita
1. Separação em corpos e posições dos CIRs conhecidas
2. Teoremas e determinação dos restantes CIRs
1CIR
12CIR BH
2CIR
1
2
16
3
P
P
A
C B
BV
1CIR
12CIR
2CIR
I
II
BV
1CIR
12 2CIR CIR
2CIR
I
II
BV
2CIR
Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2017
3. Escolha do movimento.
Deduziu-se no ponto anterior que o corpo I tem 2 pontos que correspondem aos CIRs
absolutos, o que impede qualquer movimento, e por isso o corpo I está fixo.
4. Relação entre os ângulos de rotação
Neste caso há apenas 1 parâmetro
5. Trabalho virtual (não é necessário introduzir a carga aos corpos sem movimento)
2 2
14 2 0
2B BV P V P
Para terminar o problema é possível verificar o equilibro global tal como na Estática.
Problema
Para a viga em baixo calcule a reacção do momento na ligação externa e interna
fixo
2CIR
BV
2
fixo
2CIR
BV2
P
1
2P
P
P
3
2P
3
4P
3
4P
2kNm
1 3 m
5kN/m
1
A B
C
Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2017
Recorda-se que uma viga semelhante foi resolvida na parte das vigas de Gerber. A diferença
era na inclinação do encastramento deslizante. Ver-se-á em seguida que esta viga não tem os
CIRs no seu eixo e por isso está inserida na parte das estruturas reticuladas.
Resolução
MA: libertação e a introdução da reacção incógnita
1. Separação em corpos e posições dos CIRs conhecidas
2. Teoremas e determinação dos restantes CIRs
Na determinação acima usou-se o primeiro teorema. Realça-se que para unir um ponto (neste
caso 1CIR ) com outro que está posicionado no infinito numa certa direcção, é necessário
traçar uma recta paralela com a recta que define esta direcção pelo este ponto (neste caso
1CIR ).
3. Escolha do movimento.
AM
1CIR12,CIR
2CIRI II
2CIR
2CIR
AM
AM
1CIR12,CIR
2CIRI II
1CIR
12,CIR
2CIR
AM
Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2017
4. Relação entre os ângulos de rotação
Visto o CIR relativo encontrar-se no infinito, as partes deformadas têm que se manter paralelas
e por isso os dois ângulos de rotação são iguais incluindo o sentido. Nota-se que a componente
vertical do deslocamento do corpo II no lugar do encastramento é 3 e por isso os corpos
continuam paralelos.
5. Trabalho virtual
2 10 15 1,5 0 10,5kNmA AM M
MC: libertação e a introdução da reacção incógnita
1. Separação em corpos e posições dos CIRs
1CIR
2CIR
AM
2kNm 15kN10kN
1CIR
12,CIR
2CIR
3
AM
CMCM
2CIR
,I fixo II
CMCM
2CIR
2CIR
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2. Escolha do movimento.
3. Trabalho virtual (não é necessário aplicar a carga aos corpos sem movimento)
15 1,5 0 22,5kNmC CM M
Problema
Determine as relações entre as rotações de corpos dos mecanismos apresentados e esboce
um dos campos de deslocamentos virtuais.
Resolução
Caso 1
1. Separação em corpos e posições dos CIRs conhecidas
CMCM
2CIR
2CIR
I II12,CIR
1CIR
III 3CIR
13CIR
A CD
E
F
B
m
2 3
4
2 2 A CD
E
F
B
m
2 3
4
2 2
15kNCM
2CIR
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2. Teoremas e determinação dos restantes CIRs
Os dois restantes CIRs foram determinados usando o primeiro teorema. O 3CIR tem lugar
geométrico no corpo I mas num ponto que está sobreposto com o corpo, ou seja não fixa o
corpo I.
3. Escolha do movimento.
Começa-se por rodar o corpo I, o corpo II tem que se manter paralelo, ou seja 1 2 . A
nova posição do 13CIR define o deslocamento de um dos pontos do corpo III. Assim pode
determinar-se o 3 da relação
1 35 3 .
Caso 2
1. Separação em corpos e posições dos CIRs conhecidas
2CIR
I II12,CIR
1CIR
III 3CIR
13CIR
2CIR3CIR
12,CIR
1CIR13CIR
2CIR3CIR1
23
3
2CIR
I II
12,CIR
1CIR
III 3CIR
13CIR
Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2017
2. Teoremas e determinação dos restantes CIRs
Os dois restantes CIRs foram determinados usando o primeiro teorema.
3. Escolha do movimento.
Começa se por rodar o corpo I, o corpo II tem que se manter paralelo, ou seja 1 2 . A
nova posição do 13CIR define o deslocamento de um dos pontos do corpo III. Assim pode
determinar-se o 3 da relação
1 35 3 . Nota-se que as relações são iguais como no caso
anterior, no entanto a posição dos CIRs não é.
Dois corpos ligados pelas barras paralelas
Problema
Determine a posição dos CIRs e um campo de deslocamentos virtuais
Resolução
1. Separação em corpos
I
II
III
IV
12,CIR
2CIR
I II1CIR
III 3CIR
13CIR
2CIR
3CIR
2CIR
12,CIR
1CIR
13CIR
2CIR
3CIR1
2
3
3
2
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2. CIRs
Corpo I tem apoio fixo que define o CIR absoluto neste lugar
Corpo II tem apoio móvel que define o CIR algures na recta perpendicular ao movimento
As rótulas internas correspondem aos CIRs relativos
O segundo teorema indica que o CIR12 está no infinito na direcção das barras rotuladas
O CIR2 pode determinar-se do primeiro teorema
Os corpos I e II vão rodar pelo mesmo ângulo no mesmo sentido.
Não é necessário, mas há possibilidade de encontrar os CIRs das barras paralelas, usando o
primeiro teorema.
I
II
III
IV1CIR
2CIR
13CIR23CIR
14CIR24CIR
III
III
IV1CIR
2CIR
13CIR23CIR
14CIR24CIR
12CIR
12CIR 12,CIR
III
III
IV1CIR
2CIR
13CIR23CIR
14CIR24CIR
12CIR
12CIR 12,CIR
III
III
IV1CIR
2CIR
13CIR23CIR
14CIR24CIR
4CIR
3CIR
Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2017
Para determinar um dos campos de deslocamentos virtuais, começa-se por rodar o corpo I
(setas azuis). A rotação do corpo II é igual (setas vermelhas). Isso define a posição das rótulas e
conseguintemente a posição dos corpos III (violeto) e IV (verde). A relação entre os ângulos
poderá ser determinada usando os CIRs absolutos dos corpos III e IV.
Na projecção confirma-se que as barras que ligam os dois corpos não são paralelas na posição
deformada, porque são de comprimentos diferentes. O esboço serviria para determinar a
relação entre os ângulos, excepto dos corpos I e II, para os quais já foi determinado que rodam
pelos mesmos ângulos. Por esta razão as projecções destes corpos na posição deformada são
paralelos.
Dois corpos ligados pelas barras não-paralelas
Problema
Determine a posição dos CIRs e um campo de deslocamentos virtuais
Resolução
1. Separação em corpos
1CIR
2CIR
13CIR23CIR
14CIR
24CIR
4CIR
3CIR
I
II
III
IV
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2. CIRs
Corpo I tem apoio fixo que define neste lugar o CIR absoluto
Corpo II tem apoio móvel que define o CIR algures na recta perpendicular ao movimento
As rótulas internas correspondem aos CIRs relativos
O segundo teorema permite determinar o CIR12
O CIR2 pode determinar-se do primeiro teorema
Neste caso, por coincidência, o CIR do corpo II coincide com o apoio. Não é necessário, mas há
possibilidade de encontrar os CIRs das barras que ligam os dois corpos, usando o primeiro
teorema.
I
II
III
IV1CIR
2CIR
13CIR
23CIR
14CIR24CIR
1CIR
2CIR
13CIR
23CIR
14CIR24CIR
12CIR
1CIR
2CIR
13CIR
23CIR
14CIR24CIR
12CIR
1CIR
2CIR
13CIR
23CIR
14CIR24CIR
12CIR
3CIR4CIR
Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2017
A relação entre os ângulos será determinada apenas na projecção.
Os casos anteriores são importantes para perceber a resolução dos esforços internos das
treliças. Ver-se-á em seguida que neste caso a treliça separar-se-á em geral em dois corpos
grandes de formas irregulares e as ligações entre eles será efectuadas via rótula interna ou via
barras rotuladas, dependendo da estrutura e do esforço axial solicitado.
Treliças
Uma treliça é composta pelas barras rotuladas sem carga aplicada ao longo do comprimento
das barras. Assim, cada barra suporta apenas o esforço axial actuante na direcção da barra.
Para calcular este esforço numa das barras, pode proceder-se como no cálculo das reacções
internas, ou seja, visto a barra ter um esforço, retira um grau de liberdade e por isso quando
sujeita à libertação, tem que se remover por completo e substituir pelo esforço axial incógnito
na direcção da barra. Este esforço introduz-se na sua actuação positiva.
Durante o cálculo, na parte de identificação dos corpos rígidos, cada conjunto de 3 barras
rotuladas pode substitui-se por um corpo rígido, porque esta configuração não permite
rotação relativa das barras. Isso pode justificar-se na figura seguinte.
Assuma 3 barras rotuladas apoiadas pelo apoio
fixo, como na figura ao lado. É fácil de verificar
que este conjunto compõe um mecanismo com
1GDL.
A determinação dos CIRs visualiza-se na figura
seguinte. Marcando as posições conhecidas, pode
concluir-se do primeiro teorema que também o
CIR do corpo II está localizado no apoio fixo. Em
consequência, as 3 barras rodam em torno do
mesmo ponto pelo mesmo ângulo e por isso têm
comportamento de um único corpo rígido.
1CIR
2CIR
13CIR
23CIR
14CIR24CIR
12CIR
3CIR4CIR
1 3CIR CIR
23CIR
12CIR
I
II
III
Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2017
Problema
Determine o esforço normal das barras CD e DJ.
Resolução
Esforço CD
1. Libertação e a introdução do esforço que se pretende calcular
2. Identificação dos corpos e a determinação dos CIRs
Foi justificado acima que cada três barras (corpos) rotuladas forma um corpo rígido. Por esta
razão todas as partes de treliça que são formadas pelos triângulos adjacentes formam um
único corpo.
O CIR2 pode determinar-se usando o primeiro teorema
3. A relação entre os ângulos de rotação
Esta relação é mais fácil determinar em projecção
b
kNp
a a a a a a
kNq
b
kNp
a a a a a a
kNq
CDN CDN
CDNCDN
I II
2CIR1CIR
12CIR
CDNCDN
I II
2CIR
1CIR
12CIR
CDNCDN
I II
2CIR
1CIR
12CIR
b
Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2017
Das relações geométricas vê-se imediatamente que os ângulos de rotação são iguais, mas
opostos. Da semelhança de triângulo determina-se a posição do CIR2, tal como indica a figura
acima.
4. Trabalho virtual
Usando as regras de determinação, basta exprimir os momentos das forças em torno dos
respectivos CIRs.
2 02
CD CD
qa pbqa pb N b N
b
Esforço DJ
1. Libertação e a introdução do esforço que se pretende calcular
2. Identificação dos corpos e a determinação dos CIRs
O CIR2 pode determinar-se usando o primeiro teorema
Mas isso não é suficiente para identificar o movimento do mecanismo
Aplicando o segundo teorema
b
kNp
a a a a a a
kNq
DJN
DJN
I II
2CIR1CIR
12CIR
III IV
13CIR 34CIR24CIR
2CIR
I II
1CIR
12CIR
III IV
13CIR 34CIR24CIR
2CIR
I II
1CIR
12CIR
III IV
13CIR 34CIR24CIR
23CIR
23CIR
Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2017
encontra-se o CIR23 na intersecção da recta que une CIR12 e CIR13 e da recta que une CIR34 e
CIR24. Verifica-se que o CIR23 coincide com CIR13. Analogamente CIR24 coincide com o CIR14.
Agora é fácil aplicar o primeiro teorema
e confirmar que também o CIR3 está no mesmo sítio. Analogamente o CIR4 coincide com CIR14.
Isso fixa os corpos I e II e o único movimento verifica-se nos corpos III e IV.
3. A relação entre os ângulos de rotação
Esta relação é mais fácil determinar em projecção
Das relações geométricas vê-se imediatamente que os ângulos de rotação são iguais, mas
opostos. No entanto as forças de carga actuam somente nos corpos I e II que não sofrem
movimento e por isso não realizam trabalho. Por isso o esforço na barra é nulo. Na Estática
esta dedução fez –se imediatamente do equilíbrio no nó D.
2CIR
I II
1CIR
12CIR
III IV
13 23CIR CIR34CIR 24 14CIR CIR
2CIR
I II
1CIR
12CIR
III IV
13 23CIR CIR34CIR 24 14CIR CIR
3CIR
3CIR
,I fixo ,II fixo
12CIR
III IV
3CIR34CIR
4CIR
,I fixo ,II fixo
12CIR
III IV
3CIR34CIR
4CIR
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4. Trabalho virtual
0 0DJ DJN a N
Corpos que envolvem partes que se comportam como placas rígidas
Problema
a) Confirme que a estrutura em baixo representa um mecanismo com 1 grau de liberdade
b) Determine os CIRs e uma possível posição deformada (um campo de deslocamentos
virtuais)
Resolução
a) Estática
b)
1. Separação em corpos; as 3 barras rotuladas podem considerar-se como um único corpo
2. CIRs
Os 3 corpos são ligados pelas rótulas internas que formam os CIRs relativos
Corpo I tem apoio fixo que define o CIR absoluto neste lugar
Corpo III tem encastramento deslizante que define o CIR no infinito na recta perpendicular ao
movimento
I IIIII
I IIIII
1CIR
12CIR 23CIR
3,CIR
A
C D
EF
B
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Usando o primeiro teorema pode encontrar-se o CIR do corpo II
3. Determinação do deslocamento virtual: começa-se por arbitrar uma das rotações, por
exemplo do corpo I, depois as restantes rotações são dependentes da arbitrada.
I IIIII
BV
12CIR23CIR
3,CIR
2CIR
1CIR
12CIR
23CIR
3,CIR
2CIR
1
1
B BC
C
2
DD
2
2
F FE
E