Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso

Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso aplicadas al

mejoramiento de desempeño de lazos de control continuo

Jhon Edisson Rodriguez Castellanos

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ingeniería, Departamento de Eléctrica y Electrónica

Bogotá, Colombia

2018



Jhon Edisson Rodriguez Castellanos

Tesis presentada como requisito parcial para optar al título de:

Magister en Ingeniería - Automatización Industrial

Director:

Victor Hugo Grisales Palacio. Ph.D

Línea de Investigación:

Inteligencia Computacional y Automática

Grupo de Investigación:

Grupo de Automática de la Universidad Nacional - GAUNAL

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ingeniería, Departamento de Eléctrica y Electrónica

Bogotá, Colombia

2018

Este documento de tesis está dedicado a mis

padres, mis hermanos, demás familiares y

amigos que me brindaron su apoyo y

compresión.

Agradecimientos

Quiero agradecer a mis padres, Segundo Avelino Rodríguez y María Isabel Castellanos

por su apoyo incondicional, por brindarme cariño y amor y motivarme a salir siempre

adelante.

Agradezco a mi director de tesis Victor Hugo Grisales, Ph.D, por su apoyo en el desarrollo

de esta tesis, por sus consejos para ser un buen profesional y su amistad.

Agradezco a todas las personas que participaron en el desarrollo y ejecución de este

trabajo de tesis.

Resumen y Abstract IX

Resumen

El presente trabajo de tesis de maestría se desarrolló para el establecimiento de

metodologías, que permitan el diseño e implementación de controladores difusos, bajo tres

arquitecturas seleccionadas, por la creciente atención en aplicaciones de control difuso en

el ámbito industrial. Las arquitecturas seleccionadas son controladores difusos directos,

controladores difusos supervisados y controladores difusos paralelos, que proporcionan

formas diferentes para realizar tareas de control. Teniendo en cuenta lo anterior, se

proponen varias metodologías de diseño de controladores bajo estas arquitecturas,

ajustando los parámetros necesarios para obtener un buen desempeño temporal y una

buena relación para el rechazo de perturbaciones. Para realizar un comparativo entre

estas arquitecturas se implementó en el entorno de simulación un modelo matemático y

un tanque CSTR que exhiben comportamientos no lineales particulares. Con el desarrollo

de las metodologías sistemáticas de diseño de estas tres arquitecturas de control difuso,

estas pueden ser implementadas en el ámbito industrial y obtener un desempeño

aceptable en lazos de control continuo, sin recurrir a múltiples pruebas de ensayo y error

o modificación de los parámetros estructurales de los sistemas difusos para la

sintonización de los controladores.

Palabras clave: Control difuso, control no lineal, métodos de sintonización, FLC

Directo, FLC supervisado, FLC paralelo, factores de escala.

Abstract

The present master's thesis work was developed for the establishment of methodologies,

which allow the design and implementation of fuzzy controllers, under three selected

architectures, by the increasing attention in diffuse control applications in the industrial field.

The selected architectures are direct fuzzy controllers, fuzzy supervised controllers and

parallel fuzzy controllers, which provide different ways to perform control tasks. Taking into

account the above, several control design methodologies are proposed under these

architectures, adjusting the necessary parameters to obtain a good temporary performance

and a good relation for the rejection of disturbances. To make a comparison between these

architectures, a mathematical model and a CSTR tank that exhibit particular nonlinear

behaviors were implemented in the simulation environment. With the development of the

systematic design methodologies of these three diffuse control architectures, these can be

implemented in the industrial field and obtain an acceptable performance in continuous

control loops, without resorting to multiple trial and error tests or modification of the

parameters of diffuse systems for the tuning of controllers.

Keywords: Fuzzy control, non-linear control, tuning methods, Direct FLC,

supervised FLC, parallel FLC, scale factors.

Contenido XI

Contenido

Pág.

Resumen ........................................................................................................................ IX

Lista de figuras ............................................................................................................ XIV

Lista de tablas ........................................................................................................... XVIII

Lista de Símbolos ........................................................................................................ XIX

1. Introducción ............................................................................................................. 1 1.1 Contexto .......................................................................................................... 1 1.2 Motivación ....................................................................................................... 4 1.3 Antecedentes ................................................................................................... 5

1.3.1 Controlador difuso directo ..................................................................... 5 1.3.2 Controlador difuso supervisado (programación de ganancias) .............. 6 1.3.3 Controlador difuso paralelo ................................................................... 8

1.4 Objetivos.......................................................................................................... 9 1.5 Contribuciones ................................................................................................. 9

1.5.1 Capítulo 2: Controlador Difuso directo ................................................... 9 1.5.2 Capítulo 3: Controlador Difuso Supervisado ........................................ 10 1.5.3 Capítulo 4: Controlador Difuso Paralelo .............................................. 11 1.5.4 Capítulo 5: Estudio Comparativo ......................................................... 11 1.5.5 Anexo: Control PID ............................................................................. 11

1.6 Organización del documento ......................................................................... 11

2. Controlador Difuso Directo .................................................................................... 13 2.1 Control difuso ................................................................................................ 14

2.1.1 Fuzificación ......................................................................................... 15 2.1.2 Inferencia ............................................................................................ 16 2.1.3 Defuzificacion ...................................................................................... 21

2.2 Arquitectura FPD+I ........................................................................................ 22 2.2.1 Generalidades ..................................................................................... 22

2.3 Arquitectura MHPID ....................................................................................... 27 2.3.1 Generalidades ..................................................................................... 27

2.4 Normalización ................................................................................................ 30 2.4.1 Normalización FPD+I .......................................................................... 31 2.4.2 Normalización MHPID ......................................................................... 32

2.5 Wind-Up ........................................................................................................ 33 2.5.1 Wind-up FPD+I ................................................................................... 35 2.5.2 Wind-up MHPID .................................................................................. 36

XII Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso aplicadas al


2.6 Ecuaciones de conversión FPD+I y MHPID................................................... 37 2.7 Metodología de diseño: FPD+I y MHPID ....................................................... 38

2.7.1 Analizar el comportamiento de la planta ............................................. 39 2.7.2 Obtener la representación Matemática aproximada de la planta ......... 39 2.7.3 Obtener las Ganancias de Escalamiento Difusas ............................... 40 2.7.4 Sintonización ...................................................................................... 40

3. Controlador Difuso Supervisado .......................................................................... 43 3.1 Arquitectura supervisor FLC: FGS – f(e, de) .................................................. 45

3.1.1 Generalidades .................................................................................... 45 3.1.2 Normalización FGS – f(e, de) .............................................................. 50

3.2 Arquitectura supervisor FLC: FGS – f(y, r) ..................................................... 50 3.2.1 Generalidades .................................................................................... 50

3.3 Metodología de diseño: FGS – f(e, de) .......................................................... 54 3.3.1 Analizar el comportamiento de la planta ............................................. 54 3.3.2 Obtener la representación Matemática aproximada de la planta ......... 54 3.3.3 Sintonización ...................................................................................... 55

3.4 Metodología de diseño: FGS – f(y, r) ............................................................. 55 3.4.1 Analizar el Comportamiento de la Planta ............................................ 55 3.4.2 Identificación de los modelos en los diferentes puntos de operación .. 56 3.4.3 Sintonizar el controlador PID local en los diferentes puntos de operación .......................................................................................................... 56 3.4.4 Generar el Sistema Difuso .................................................................. 56 3.4.5 Sintonización ...................................................................................... 57

4. Controlador Difuso Paralelo .................................................................................. 59 4.1 Arquitectura Paralela: FLC-PID por αFunción ................................................ 60 4.2 Arquitectura Paralela: FLC-PID por αSupervisión .......................................... 62

4.2.1 Metodología de Diseño: FLC-PID por αSupervisión ............................ 64 4.3 Arquitectura Paralela: FLC Directo - Supervisor FLC..................................... 65

4.3.1 Metodología de Diseño: FLC Directo - Supervisor FLC ....................... 65

5. Estudio Comparativo ............................................................................................. 67 5.1 Modelos de plantas No-lineales ..................................................................... 67

5.1.1 Modelo Matemático No Lineal ............................................................. 67 5.1.2 Sistema No Lineal (CSTR) .................................................................. 69

5.2 FLC Directos ................................................................................................. 70 5.2.1 Modelo No Lineal ................................................................................ 70 5.2.2 Sistema No-Lineal .............................................................................. 73

5.3 FLC Supervisados ......................................................................................... 75 5.3.1 Modelo No Lineal ................................................................................ 75 5.3.2 Sistema No-Lineal .............................................................................. 79

5.4 FLC Paralelos ............................................................................................... 82 5.4.1 Modelo No Lineal ................................................................................ 82 5.4.2 Sistema No-Lineal .............................................................................. 84

5.5 Comparativo global ....................................................................................... 87 5.5.1 Tareas de seguimiento y regulación ................................................... 87 5.5.2 Esfuerzo del diseñador (Requisitos de implementación) ..................... 93

6. Conclusiones y Trabajo futuro ............................................................................. 95 6.1 Conclusiones ................................................................................................. 95

6.2 Trabajo futuro ................................................................................................ 98

A. Anexo: Control PID ................................................................................................ 99 6.3 Caracterización de los modelos ................................................................... 103

6.3.1 Métodos que utilizan la curva de reacción del proceso...................... 103 6.3.2 Métodos que utilizan la información de ciclo último ........................... 106 6.3.3 Índice de desempeño ........................................................................ 106

6.4 Modos PID ................................................................................................... 109 6.5 Sintonía de controladores PID ..................................................................... 110

6.5.1 Métodos que utilizan la información de la curva de reacción del proceso. 110 6.5.2 Métodos que utilizan el mínimo índice de desempeño. ..................... 111 6.5.3 Métodos que utilizan la información de ciclo ultimo ........................... 112 6.5.4 Control de Modelo Interno ................................................................. 112

6.6 Comparativo de controladores PID lineales ................................................. 113

B. Anexo: Sintonización FGS – f(y, r) ...................................................................... 117

Bibliografía .................................................................................................................. 123

Contenido XIV

Lista de figuras

Pág.

Figura 1-1: Conjuntos difusos del universo velocidad. Tomado de (Babuška, 2009). . 2

Figura 1-2: Componentes de un sistema difuso. Tomado de (Babuška, R.). .............. 3

Figura 1-3: Arquitecturas de controladores difusos. Elaboración propia. .................... 5

Figura 1-4: Arquitectura de un controlador difuso Directo. Tomado de (Passino &

Yurkovich, 1998). .............................................................................................................. 5

Figura 1-5: Arquitectura de un controlador difuso Supervisado. Tomado de (Viljamaa

& Koivo, 1995). ……………………………………………………………………………………7

Figura 1-6: Arquitectura de un controlador difuso Paralelo. Tomado de (Zhang &

Shao, 2006)……………………………………….. ............................................................... 8

Figura 2-1: Clasificación estructural de los FLC. Tomado de (Mann et al., 1999). .... 13

Figura 2-2: FLC PID con (a) base de reglas desacopladas, (b) base de reglas

acopladas. Tomado de (Mann et al., 1999). .................................................................... 14

Figura 2-3: Comportamiento temporal del error y la derivada del error. Tomado de

(Altas & Sharaf, 2007). .................................................................................................... 15

Figura 2-4: Ejemplo de Fuzificación de la variable error. Elaboración propia. ........... 16

Figura 2-5: División del espacio de entrada en 3 regiones para e, Δe. Modificado de

(Altas & Sharaf, 2007). ................................................................................................... 18

Figura 2-6: Mecanismo de inferencia Mamdani. Elaboración propia. ........................ 19

Figura 2-7: Mecanismo de inferencia con composición: (a) Max-Min, (b) Producto-

Suma. Elaboración propia. .............................................................................................. 19

Figura 2-8: Mecanismo de inferencia Takagi-Sugeno. Modificado de (Wildrow, 2014).

…………………………………………………………………………………..20

Figura 2-9: Defuzificacion por COG. Tomado de (Babuška, 2009) ........................... 21

Figura 2-10: (a) MFs e, (b) MFs Δe, (c) MF para u y (d) Superficie de control.

Elaboración propia. ......................................................................................................... 24

Figura 2-11: Arquitectura de un controlador FPD+I. Elaboración propia. .................... 25

Figura 2-12: Respuesta temporal de los controladores PID y FPD+I para: (a) to/tao =

0.19 y (b) to/tao = 2.01. Elaboración propia..................................................................... 26

Figura 2-13: Respuesta temporal de los controladores PID y FPD+I con variación en la

magnitud de la señal de entrada. Elaboración propia ...................................................... 26

Figura 2-14: (a) MFs e, (b) MFs Δe, (c) MF Superficie de control. Elaboración propia.

…………………………………………………………………………………..28

Figura 2-15: Arquitectura de un controlador MHPID. Elaboración propia. ................... 29

Figura 2-16: Respuesta temporal de los controladores PID y MHPID para: (a) to/tao =

0.19 y (b) to/tao = 2.01. Elaboración propia .................................................................... 29

Figura 2-17: Respuesta temporal de los controladores PID y MHPID con variación en

la magnitud de la señal de entrada. Elaboración propia. ................................................ 30

Figura 2-18: Respuestas temporales con FLC normalizado. Elaboración propia. ...... 32

Figura 2-19: Respuestas temporales con FLC normalizado. Elaboración propia. ...... 33

Figura 2-20: Controlador PID con anti wind-up por recalculo y seguimiento. Tomado de

(Astrom, 1995) …………………………………………………………………………………..34

Figura 2-21: Método anti wind-up propuesto para FPD+I. Elaboración propia. .......... 35

Figura 2-22: Respuesta temporal para controladores con y sin Anti wind up.

Elaboración propia. ........................................................................................................ 35

Figura 2-23: Método anti wind-up propuesto para MHPID. Elaboración propia. ......... 36

Figura 2-24: Respuesta temporal para controladores con y sin Anti wind-up.


Figura 2-25: Respuesta temporal para conversiones (a) to/tao = 0.19; (b) to/tao = 2.01.


Figura 2-26: Respuesta en lazo cerrado. Elaboración propia. .................................... 39

Figura 3-1: Clasificación de supervisores difusos en función de las señales de

entrada. Tomado de ((Viljamaa & Koivo, 1995; Zhao & Isaka, 1993; Babuška, 2009;

Passino & Yurkovich, 1998) . .......................................................................................... 44

Figura 3-2: (a) MFs para e; (b) MFs para Δe; (c) MFs de salida para 𝐾𝑝′; (d)

Superficie 𝐾𝑝′; (e) MFs de salida para 𝐾𝑑′; (f) Superficie 𝐾𝑑′; (g) MFs de salida para 𝛼;

Superficie 𝛼. Elaboración propia. .................................................................................... 47

Figura 3-3: Arquitectura supervisor difuso. Elaboración propia. ............................... 49

Figura 3-4: Respuesta temporal para (a) to/tao = 0.19 y (b) to/tao = 1.10. Elaboración

propia……………. .......................................................................................................... 49

Figura 3-5: Respuesta temporal de los controladores PID y SUPF 1 con variación en

la magnitud de la señal de entrada. Elaboración propia. ................................................ 50

Figura 3-6: Funciones de pertenencia para las entradas y la salida. Tomado de

(Viljamaa & Koivo, 1995). ............................................................................................... 51

Figura 3-7: Funciones de pertenencia para (a) y ; (b) r. Elaboración propia ............. 52

Figura 3-8: Interpolación para: (a) 𝐾𝑝; (b) 𝑇𝑖; (c) 𝑇𝑑. Elaboración propia. ................ 53

Figura 3-9: Arquitectura supervisor difuso. Elaboración propia. ............................... 54

Figura 4-1: Clasificación de controladores difusos en paralelo. ................................ 60

Figura 4-2: Comportamiento de 𝛼 en función de del valor absoluto del error. Tomado

de (Zhang & Shao, 2006). .............................................................................................. 61

Figura 4-3: Arquitectura FLC-PID por αSupervisión. Tomado de (Chakchouk et al.,

2015)…………… ............................................................................................................ 62

Figura 4-4: (a) MFs para e y Δe; (b) MFs para α; (c) Base de reglas; (d) Superficie

difusa. Elaboración propia. ............................................................................................. 63

Figura 4-5: Comportamiento dinámico de α. Elaboración propia. ............................. 64

Figura 4-6: Arquitectura Paralela. Elaboración propia. ............................................. 65

Figura 5-1: Curva de reacción del sistema. (a) Vista ampliada punto de operación

inferior (b) Vista ampliada punto de operación superior. Elaboración propia. ................. 68

X

VI



Figura 5-2: Reactor CSTR. Tomado de (Bequette, 1998). ........................................ 69

Figura 5-3: Curva de reacción del sistema. Elaboración propia. ............................... 70

Figura 5-4: Respuesta temporal ante variaciones de la referencia. Elaboración

propia…………………….. ............................................................................................... 71

Figura 5-5: Respuesta temporal de los controladores ante una perturbación tipo

paso…………………….. .................................................................................................. 72


propia…………………. .................................................................................................... 74


paso……………………. ................................................................................................... 74



propia……………………. ................................................................................................ 77


paso…………………. ...................................................................................................... 78



propia………………......................................................................................................... 81


paso……………… ........................................................................................................... 81


propia…………………. .................................................................................................... 83


paso………………. .......................................................................................................... 84


propia………….. .............................................................................................................. 85


paso…………….. ............................................................................................................ 86

Figura 5-18: Respuesta temporal de los FLC ante variaciones de la referencia en el

punto bajo de operación. ................................................................................................. 87


punto alto de operación. .................................................................................................. 87


paso…………… .............................................................................................................. 88


punto bajo de operación. ................................................................................................. 89


punto alto de operación. .................................................................................................. 89


paso……………… ........................................................................................................... 90

Figura 6-1: Arquitectura típica de un sistema de control. Tomado de (Smith &

Corripio, 2004)… ........................................................................................................... 100

Figura 6-2: Parámetros del comportamiento de sistemas de segundo orden. Tomado

de (Copyright 2008 Pearson Prentice Hall, Inc) .............................................................102

Figura 6-3: Método de la tangente de Ziegler y Nichols. Elaboración propia ...........104

Figura 6-4: Método de la tangente de Miller. Elaboración propia ............................104

Figura 6-5: Método de Smith. Elaboración propia ...................................................105

Figura 6-6: Método de Alfaro. Elaboración propia ...................................................106

Figura 6-7: Familia de curvas para 𝐺𝑝𝑠. Elaboración propia ...................................107

Figura 6-8: Curvas representativas. Elaboración propia..........................................108

Figura 6-9: Respuesta temporal de los controladores de la planta con 𝑁 = 2, 𝛼 = 0.1

Elaboración propia ........................................................................................................114

Figura 6-10: Respuesta temporal de los controladores para la planta con 𝑁 = 12, 𝛼 =

0.5 Elaboración propia. ..................................................................................................114

Figura 6-11: Valor del IAE para cada método. Elaboración propia ............................115

Figura 6-12: Valor del ITAE para cada método. Elaboración propia ..........................116

Figura 6-13: Curva de reacción del proceso No-Lineal .............................................117

Figura 6-14: (a) MF para y; (b) MF para r ; (c) Desempeño temporal (d) Variación de

las ganancias del controlador PID local. ........................................................................118

Figura 6-15: (a) MF para y; (b) MF para r ; (c) Desempeño temporal (d) Variación de

las ganancias del controlador PID local .........................................................................118

Figura 6-16: a) MF para y; (b) MF para r ; (c) Desempeño temporal (d) Variación de las

ganancias del controlador PID local ..............................................................................119

Figura 6-17: (a) Respuesta temporal; (b) Variación de parámetros PID ....................120

Figura 6-18: Desempeño temporal para (a) Wy=1; Wr=0; (b) Wy=0.75; Wr=0.25; (c)

Wy=0.5; Wr=0.5; (d) Wy=0.25; Wr=0.75; (e) Wy=0; Wr=1; ...........................................120

Figura 6-19: Desempeño temporal (a) Corrimiento MFs hacia la derecha; (b)

Corrimiento MFs hacia la izquierda ...............................................................................121

Contenido XVIII

Lista de tablas

Pág.

Tabla 2-1: Signos para e, Δe y u. ................................................................................ 17

Tabla 2-2: Base de reglas para e, Δe y u. ................................................................... 18

Tabla 2-3: Base de reglas arquitectura FPD+I. ........................................................... 23

Tabla 3-1: Reglas difusas para 𝐾𝑝′ ............................................................................. 46

Tabla 3-2: Reglas difusas para 𝐾𝑑′ ............................................................................. 46

Tabla 3-3: Reglas difusas para α ................................................................................ 46

Tabla 5-1: Mediciones de índices de desempeño ....................................................... 72

Tabla 5-2: Mediciones de desempeño ........................................................................ 72








Tabla 5-10: Mediciones de desempeño ..................................................................... 84

Tabla 5-11: Mediciones de índices de desempeño.................................................... 86

Tabla 5-12: Mediciones de desempeño ..................................................................... 86

Tabla 5-13: Desempeño en tareas de seguimiento ................................................... 88

Tabla 5-14: Desempeño en tareas de regulación (Planta No-Lineal sección 5.1.1) ... 88

Tabla 5-15: Desempeño en tareas de seguimiento ................................................... 90

Tabla 5-16: Desempeño en tareas de regulación (Sistema No-Lineal sección 5.1.2) 91

Tabla 6-1: Parámetros de los modelos ..................................................................... 108

Tabla 6-2: Calculo del IAEP para cada método. ....................................................... 109

Tabla 6-3: Cálculo del índice IAE para cada método. ............................................... 114

Tabla 6-4: Cálculo del índice ITAE para cada método. ............................................. 115

Tabla 6-5 Índices de desempeño para las variaciones de Wy y Wr. ........................ 121

Tabla 6-6 Índices de desempeño para corrimientos de las MFs .............................. 122

Contenido XIX

Lista de Símbolos

t Tiempo

u(t) Señal de control en el tiempo t

Upi Señal de control proporcional integral

Δu Diferencial de la acción de control

y(t) Salida del proceso en el tiempo t

Ref(t) Señal de referencia o set point para el proceso en el tiempo t

e(t) =Ref(t) – y(t) error entre la referencia y la salida del proceso

Δe(t) / ce Primera derivada del error

ie Integral del error

G(s) Función de transferencia de la planta

GI Función de transferencia en el punto inferior

Gs Función de transferencia en el punto superior

MF Funciones de pertenencia

mx Numero de conjuntos difusos para x

Θin Parámetros de funciones de pertenencia de entrada

Θrules Índice de base de reglas

Θout Lugares de los singletons de salida

FIS Sistema de inferencia difusa

COG Método de defuzificacion por centro de gravedad

Kp Ganancia proporcional en un controlador PID

X

X



Ti Tiempo integral en un controlador PID

Td Tiempo derivativo en un controlador PID

α Coeficiente de ponderación

λ Índice de suavidad

δ Umbral del error

FLC Controlador lógico difuso

FPD+I Fuzzy Proportional-Derivative-Plus-Integral

MHPID Modified Hybrid Proportional-Integral-Derivative

FGS-f(e, de) Fuzzy gain scheduling en función del error y la derivada del error

FGS-f(y, r) Fuzzy gain scheduling en función de la salida y la referencia

FLC-PID αsup Fuzzy logic controller en paralelo con un PID por medio de un

supervisor

FLC DIr-Sup

FLC Fuzzy logic controller en paralelo con un supervisor difuso

IAEP índice de la Integral del valor absoluto del error de predicción

IAE índice de la Integral del valor absoluto del error

ITAE índice de la Integral del valor absoluto del error por el tiempo

Ki Ganancia estática correspondiente al modelo en el punto inferior

Ks Ganancia estática correspondiente al modelo en el punto superior

Wy , Wr Factores de peso

1. Introducción

En procesos continuos, la transformación de materias primas se realiza de manera

constante por lo cual se hace necesario el manejo de variables analógicas (p. ej.

temperatura, flujo, nivel, presión) con el fin de medir, manipular o controlar el flujo de

material. Para controlar estos procesos continuos habitualmente se desea imponer un

comportamiento en la respuesta del sistema y mantenerlo en un punto de control a pesar

de las perturbaciones.

El controlador más popular utilizado en la industria y diseñado bajo este enfoque es el PID

(Proporcional, integral, derivativo) el cual presenta sencillez, versatilidad y un desempeño

satisfactorio en procesos lineales. No obstante, para procesos que tengan cambios en

puntos de operación que evidencien un comportamiento dinámico no lineal, se presenta

frecuentemente degradación del desempeño en la respuesta, aunque se realice una

adecuada sintonización de los parámetros del controlador en el punto de operación del

proceso.

Para tratar de solventar estos inconvenientes, surge como una alternativa la utilización de

sistemas de control no lineales que puedan proporcionar un mejor desempeño

comparativamente con el PID convencional. Una técnica que en las últimas dos décadas

está siendo utilizada en la industria con relativo éxito es el control difuso.

1.1 Contexto

El control difuso (Yesil et al, 2003) se basa en la lógica difusa, la cual permite describir

relaciones por medio de reglas si-entonces, en donde las variables pueden tomar valores

intermedios en el rango 0 a 1, de cumplimiento o pertenencia gradual. Por ejemplo, para

el uso de un automóvil, parte del comportamiento se podría describir con la frase "Si oprime

bastante el acelerador, Entonces la velocidad es alta". La definición de los términos

lingüísticos “bastante” y “alta” se puede representar por conjuntos difusos, es decir un

elemento dentro de un universo puede pertenecer simultáneamente a varios conjuntos con

2 Introducción

diferentes grados de pertenencia. A manera de ejemplo, una velocidad de 80 km/h cumple

en el conjunto de velocidad alta con una pertenencia de 0,6 y en el conjunto de velocidad

media con una pertenencia de 0,1 como se observa en la Figura 1-1. En contraste, en la

lógica tradicional las variables solo pueden tomar valores abruptos; es decir pertenecen a

un conjunto o no pertenecen.

Figura 1-1: Conjuntos difusos del universo velocidad. Tomado de (Babuška, 2009).

Las funciones de pertenencia (MF) son una manera de representar gráficamente un

conjunto difuso sobre un universo, En la Figura 1-1, se pueden apreciar dos de las formas

más comunes de funciones de pertenencia; triangular utilizada para el conjunto difuso de

velocidad media y trapezoidal utilizada para los conjuntos difusos de velocidad baja y alta.

Otra forma muy utilizada es el singleton en donde su base es un punto y el valor de la

función de pertenencia es 1 (como una función impulso).

Las reglas que se utilizan en los sistemas de lógica difusa se pueden clasifican según la

estructura de construcción:

Reglas tipo Mamdani: El antecedente y el consecuente son expresiones lingüísticas.

Por ejemplo: Si x es A (antecedente), Entonces y es B (consecuente).

Reglas tipo Takagi-Sugeno: El antecedente es una expresión lingüística mientras que

el consecuente es una función de la entrada. Por ejemplo: Si x es A, Entonces y = f(x).

Para poder combinar dos proposiciones es necesario representar cada proposición en

conjuntos difusos con funciones de pertenencia y la inferencia lógica se encarga de realizar

la combinación para producir nuevas proposiciones. Un sistema de lógica difusa utiliza este

mecanismo para realizar el cálculo de un sistema de entradas y salidas numéricas. La

arquitectura básica de un sistema de lógica difusa está compuesta por: fuzificación,

inferencia y defuzificación, como se muestra en la Figura 1-2.

Introducción 3

Figura 1-2: Componentes de un sistema difuso. Tomado de (Babuška, R.).

A continuación, se indicará una breve descripción de cada una de las partes:

Bloque de fuzificación: Este módulo se encarga de convertir los datos de las entradas en

conjuntos difusos para que puedan ser interpretados y entregarlos al bloque de la máquina

de inferencia. Los valores difusos representan los diferentes niveles del grado de

pertenencia de los datos de entrada en los conjuntos difusos.

Bloque de inferencia (FIS): Utilizando las reglas previamente almacenadas en una base de

conocimiento lingüístico se asigna una correspondencia no lineal entre una o muchas

variables de entrada y una o varias variables de salida (Medina Hurtado S, 2008). Es decir,

se toman decisiones mediante la aplicación de relaciones de composición a las variables

de entrada generando conjuntos difusos de salida para el bloque de defuzificación.

Bloque de defuzificación: La salida del mecanismo de inferencia es un valor difuso; para

obtener una salida con datos numéricos, este bloque puede utilizar alguno de los siguientes

métodos para realizar la conversión: centro de gravedad, centros promediados, centro de

área, entre otros.

El uso de la lógica difusa no es exclusiva para el área de inteligencia computacional, sino

que puede aplicarse a otras áreas del conocimiento como la economía, la semántica, la

psicología, la física, la geografía, etc. En el área de control se busca crear una de base de

conocimiento mediante la extracción y emulación de la experiencia de las personas

expertas en los procesos, de esta manera poder aplicarlo a un controlador basado en

reglas lingüísticas.

En el caso de los controladores PID basados en lógica difusa el principio esencial de

operación está, al igual que en el caso del PID convencional, soportado en el cálculo de la

acción correctiva con base al comportamiento del error. La principal diferencia radica que

4 Introducción

para los controladores PID difusos el comportamiento obtenido es en general no lineal, lo

que podría ser más apropiado para mejorar el desempeño en el control de plantas no

lineales.

1.2 Motivación

Actualmente en el ámbito industrial, existe un cierto número de procesos no lineales cuyo

comportamiento dinámico puede ser aproximado, desde una perspectiva convencional, por

modelos matemáticos relativamente simples. Como parte de la práctica de ingeniería,

estos procesos suelen controlarse mediante sistemas PID convencionales, pero

usualmente no se logra un desempeño adecuado cuando se trabaja en diferentes puntos

de operación, aun cuando se realiza sintonización, esto debido a la naturaleza lineal del

controlador, lo cual se puede traducir en pérdidas económicas, en riesgos de seguridad en

la operación y en degradación del desempeño percibido cuando la respuesta del sistema

tarda más tiempo para alcanzar el set point, o cuando la respuesta del sistema presenta

un sobre-impulso que se va incrementando.

Esencialmente se busca mejorar el desempeño de controladores PID en procesos no

lineales, bien sea empleando directamente un controlador difuso o un supervisor de un

controlador PID convencional o una combinación de un controlador difuso y un PID

convencional. Por lo cual surge la siguiente interrogante ¿Comparativamente, de las tres

técnicas cuál es la más apropiada, teniendo en cuenta consideraciones como arquitectura,

desempeño y naturaleza del proceso?

Por otra parte, no existe un procedimiento o una metodología establecida difundida que

sea lo suficientemente general y detallada para el diseño y sintonización del controlador

difuso, por ende, se requiere de procedimientos de prueba y error mediante simulaciones

por sistemas de cómputo o pruebas del proceso. Surgen entonces inquietudes conexas,

como por ejemplo ¿Cómo se puede diseñar sistemáticamente los FLC o tener pautas de

diseño?, ¿Cuál es la forma de analizar y evaluar los controladores PID difusos diseñados?

El proyecto de investigación busca explorar los formalismos de los sistemas de lógica

difusa, como sistemas no lineales entrada-salida descritos mediante reglas aplicadas al

ámbito de control regulatorio en procesos continuos bajo arquitecturas de control directo,

control supervisorio y control paralelo. El estudio se enfocará en el análisis comparativo de

Introducción 5

las técnicas, metodología y consideraciones de diseño, así como su validación

experimental a nivel académico.

1.3 Antecedentes

Luego de realizar una profunda revisión bibliográfica, se han encontrado varias

aplicaciones de control difuso aplicado al ámbito industrial, esto indica que esta técnica se

está convirtiendo en una herramienta que puede ser aplicada a procesos de carácter no

lineal. En estos artículos se puede observar varias arquitecturas propuestas para los

esquemas de control difuso (Yesil et al, 2003; Ketata et al, 1995; Hu et al, 2001; Precup &

Hellendoorn, 2011; Mann et al, 1999), en donde las técnicas que más se destacan son:

controlador difuso directo, programación de ganancia en donde el controlador difuso actúa

como supervisor de un controlador PID convencional y paralelo en donde se combina las

acciones de control de un FLC y un PID convencional.

Figura 1-3: Arquitecturas de controladores difusos. Elaboración propia.

De manera genérica, los controladores PID difusos se pueden clasificar en tres categorías

de acuerdo con la arquitectura de su construcción, según se describe a continuación:

1.3.1 Controlador difuso directo

Se denomina de esta manera debido a que el controlador PID difuso se encuentra dentro

del lazo de control de realimentación, como se aprecia en la Figura 1-4, ya que el

controlador difuso acciona directamente el proceso. (Passino & Yurkovich, 1998).

Figura 1-4: Arquitectura de un controlador difuso Directo. Tomado de (Passino & Yurkovich, 1998).

6 Introducción

La salida del proceso (y) se compara con una referencia (ref), y si hay una desviación (e),

el controlador realiza la acción de acuerdo con la estrategia de control, la cual se deduce

de la base de conocimientos y calcula las acciones PID a través de la inferencia difusa.

Considerando como las entradas del controlador difuso directo el error y el cambio del

error, como salida la acción de control, la base de reglas suele plantearse de la siguiente

manera: “Si el error es Negativo Grande y el cambio del error es Zero, Entonces control es

Negativo Grande”. Controladores difusos directos han sido aplicados en varios procesos

lineales y no lineales, a continuación, se indicarán algunas referencias a nivel industrial:

En (Fileti et al., 2007) se realizó el diseño y pruebas experimentales en plantas piloto de

controladores difusos en tres procesos: control de temperatura en un reactor de

polimerización por lotes de metacrilato de metilo, control de temperatura en un sistema de

refrigeración y control de la composición del producto superior en una columna de

destilación por lotes. La sintonización de los controladores difusos se obtuvo por prueba y

error basándose en índices de rendimiento (ISE, IAE o ITAE). En (Mahmoud, 2005) se

realizó el diseño de un controlador difuso para una central hidroeléctrica, capaz de

controlar simultáneamente tres turbinas acopladas hidráulicamente. El controlador difuso

está compuesto por 12 entradas, seis salidas, y 699 reglas que se distinguen en cuatro

capas de control. En (Liao, 2008) un controlador difuso se utiliza para mejorar la calidad

del aceite producido a partir de un proceso de separación del petróleo crudo. Se realiza

control de la presión y los niveles del líquido dentro de un separador de aceite. El

controlador fue probado en sitio en una planta que procesa petróleo en Canadá.

1.3.2 Controlador difuso supervisado (programación de ganancias)

Es una combinación jerárquica de un controlador PID lineal y un controlador difuso, en

donde este último se utiliza para sintonizar los parámetros Kp, Ti y Td en línea, con el fin

de realizar modificaciones de la respuesta del sistema en determinado punto de

funcionamiento (Viljamaa & Koivo, 1995). La arquitectura de este tipo de controladores se

puede observar a continuación:

Introducción 7

Figura 1-5: Arquitectura de un controlador difuso Supervisado. Tomado de (Viljamaa &

Koivo, 1995).

Las señales de entrada comúnmente utilizadas para el sistema difuso son: la salida de la

planta y la referencia entre otras; adicionalmente se requiere una tabla con los parámetros

del controlador PID sintonizado fuera de línea en las diferentes condiciones de

funcionamiento. Por lo cual se tendrá el mismo número de conjuntos difusos y de los

modelos, la estructura interna del supervisor es la misma que el de un controlador difuso y

las salidas del supervisor son los incrementos de los parámetros PID.

La base de reglas para esta arquitectura suele plantearse de la siguiente manera: “Si salida

de proceso es Alta Entonces reducir ganancia Proporcional y aumentar ganancia

Derivativa y disminuir ganancia Integral”. A continuación, se indicarán algunas variaciones

entre los esquemas de supervisores difusos:

En (Ketata et al, 1995) se utilizó como entradas para el supervisor difuso, los valores de

rendimiento alcanzados después de un transitorio, es decir valores del tiempo de subida,

sobre-impulso y factor de estabilidad (relación del primer sub-impulso y el primer sobre-

impulso). El objetivo de la supervisión es hacer que la respuesta del proceso converja hacia

un perfil de referencia considerado como apropiado, los antecedentes de las reglas deben

contener los valores difusos del desempeño dinámico y las conclusiones, los incrementos

de los parámetros PID. Mientras que en (Zhao, 1993; Zhang, 2004) se utilizó un parámetro

de ajuste α relacionado con la respuesta del sistema, en donde la base de las reglas

difusas es utilizada para determinar los valores del controlador PID convencional.

Otro enfoque del supervisor difuso es el planteado en (Sanjuan et al., 2006), se presentó

el diseño para el ajuste automático de los parámetros del controlador local para prevenir

comportamientos oscilatorios. El supervisor utiliza un módulo para la detección de picos,

un módulo de escalamiento para detectar la causa de la oscilación, un módulo de inferencia

en conjunto con un acumulador para calcular los parámetros de ajuste del controlador PID

8 Introducción

local. El sistema fue probado en simulación utilizando un modelo de un tanque de reactor

continuamente agitado.

1.3.3 Controlador difuso paralelo

Puede ser la combinación de un controlador PID convencional con un controlador de tipo

FLC, la idea es poder escoger el controlador convencional cuando la respuesta del proceso

esté cerca del estado estacionario, mientras que se selecciona el controlador FLC en los

transitorios. La arquitectura de este tipo de controladores se puede observar en la Figura

1-6.

Figura 1-6: Arquitectura de un controlador difuso Paralelo. Tomado de (Zhang & Shao,

2006).

La base de reglas utilizada para este controlador tiene la misma estructura que las reglas

de un FLC directo. A continuación, se indicarán algunas aplicaciones de controladores

difusos paralelos:

En (Chakchouk et al., 2015) se realiza la combinación de un controlador PI convencional y

un controlador de lógica difusa. Un supervisor difuso tramita el cambio de un controlador a

otro y regula la participación. Para evitar falsas conmutaciones entre controladores,

utilizaron un factor de ponderación α generado por el supervisor difuso. Mientras que en

(Zhang & Shao, 2006), el controlador paralelo se utilizó para controlar la temperatura del

aluminio fundido en un horno de atomización. El coeficiente de ponderación 'α' se definió

como una función del error. En (Tani et al., 1994) se presentó un controlador paralelo en

donde la salida del controlador difuso compensa directamente la salida de control PID

convencional. El controlador se aplicó a un sistema de temperatura superior en una planta

petroquímica. Realizaron la sintonización del controlador PID y el controlador difuso de

forma manual sobre el proceso real.

Introducción 9

1.4 Objetivos

El objetivo general de la Tesis es realizar un estudio comparativo de los sistemas de control

PID difusos a partir de la caracterización de las técnicas de control difuso directo,

supervisor difuso y paralelo con el fin de plantear una metodología de diseño e

implementación orientado a procesos continuos de entorno industrial.

Los objetivos específicos para el problema planteado son:

1. Establecer las características generales y el funcionamiento de las principales

técnicas reportadas en el diseño e implementación de controladores PID Difusos:

directo, supervisado y paralelo.

2. Realizar un análisis comparativo de las técnicas de diseño y programar los

algoritmos correspondientes.

3. A partir de la literatura, escoger un modelo no lineal para generar datos sobre el

cual sea aplicable el diseño y realizar la validación de los controladores PID difusos.

4. Utilizar medidas de desempeño temporal a los algoritmos implementados, en

especial en tareas de seguimiento a referencia con cambios en puntos de

operación, rechazo a perturbaciones, realizando un análisis haciendo énfasis en

ventajas y desventajas de cada técnica.

5. Estructurar y documentar las metodologías de diseño desarrolladas, pruebas e

implementaciones de cada una de las técnicas.

1.5 Contribuciones

1.5.1 Capítulo 2: Controlador Difuso directo

Se propone un esquema simple para evitar la saturación en los actuadores por el efecto

integral, mediante la aplicación del método Anti wind-up por recalculo y seguimiento en las

arquitecturas de los controladores PID difusos directos: Fuzzy Proportional-Derivative-

Plus-Integral (FPD+I) y Modified Hybrid Proportional-Integral-Derivative (MHPID), ya que

en la literatura no se encontró un método practico en estas arquitecturas estudiadas

(sección 2.5.1 y sección 2.5.2 respectivamente).

1

0

Introducción

Se propone un conjunto de ecuaciones que permiten realizar la conversión de la

arquitectura FPD+I a MHPID y viceversa, solo cuando los factores de escala de los FLC

son hallados a partir de un controlador PID convencional sintonizado mediante métodos

que utilizan la información de ciclo último. (Sección 2.6)

La principal contribución del capítulo son las metodologías de diseño de los controladores

difusos directos FPD+I y MHPID, mediante la sintonización de los factores de escala a

través de la relación de las ganancias estáticas de los sub-modelos lineales en los puntos

de operación superior e inferior en procesos (auto-regulados) no-lineales. El procedimiento

sistemático de sintonización de controladores difusos directos fue presentado en un evento

internacional:

Jhon Edisson Rodríguez-Castellanos, Victor H. Grisales-Palacio, Jorge Eduardo Cote-

Ballesteros, A tuning proposal for direct fuzzy PID controllers oriented to industrial

continuous processes” en 3rd IFAC Conference on Advances in Proportional-

Integral_Derivarive Control. Ghent, Belgium, Mayo 09 al 11, 2018. (Sección 2.7)

1.5.2 Capítulo 3: Controlador Difuso Supervisado

La principal contribución del capítulo son las metodologías de diseño para los

controladores difusos supervisados:

Para la arquitectura FGS - f(e, de) se propone un conjunto de ecuaciones para hallar las

ganancias del controlador PID local sintonizándolo mediante IMC en función de las salidas

del sistema difuso y las ganancias estáticas de los sub-modelos lineales del proceso no-

lineal. (Sección 3.3).

Se realizó la implementación del sistema difuso supervisado en fuzzy designer de Matlab,

desarrollando las líneas de código para configurar las etapas de salida, defuzzificacion y

agregación.

Para la arquitectura FGS - f(y, r) se propone 5 pasos para realizar la construcción y

sintonización del supervisor difuso, basado en los sub-modelos lineales calculados en el

rango de variación del valor deseado en los procesos (Sección 3.4).

Introducción 11

1.5.3 Capítulo 4: Controlador Difuso Paralelo

Se propone una metodología de diseño para combinar un controlador difuso directo con

un con controlador PID convencional (FLC-PID por αSupervisión) o con un supervisor

difuso (FLC Directo - Supervisor FLC), mediante un sistema difuso que pondera los aportes

de las acciones de control en función del error y la derivada del error del sistema en lazo

cerrado, con el fin de proporcionar una mejora en el desempeño temporal. (Sección 4.2.1

y 4.3.1).

1.5.4 Capítulo 5: Estudio Comparativo

Se presenta la implementación de: un sistema lineal y de dos modelos matemáticos para

sistemas no lineales; adicionalmente, la construcción de las diferentes arquitecturas de los

controladores difusos (Directos, Supervisados y Paralelos) mediante el programa Simulink

MATLAB.

Se ejecutó un análisis comparativo del desempeño de las diferentes técnicas de control

PID difuso frente a aspectos como arquitectura, tareas de seguimiento a referencias y

rechazo a perturbaciones.

1.5.5 Anexo: Control PID

Se realiza la parametrización de un sistema con el fin de variar la relación 𝑡0/𝜏, para evaluar

mediante un comparativo (IAEP), los diferentes métodos de identificación de modelos para

sistemas de primer orden más tiempo muerto. A partir del método que exhibiera el modelo

más aproximado al sistema, éste se utilizó para realizar el diseño de controladores PID

mediante diferentes métodos de sintonización con el objetivo de seleccionar mediante

índices del error (IAE e ITAE), el controlador lineal de mejor desempeño en este caso el

PID IMC. (Anexo A).

1.6 Organización del documento

En el capítulo 2 se presenta una clasificación de los FLC directos y una breve descripción

de los componentes de un sistema difuso. Se realiza un comparativo a nivel estructural

entre dos FLC PID directos (FPD+I y MHPID), recalcando la necesidad de realizar

normalización para las entradas y salidas. Se propone la implementación de un método

anti wind-up y se establece las metodologías de diseño para estas técnicas.

1

2

Introducción

En el capítulo 4 se presenta una clasificación de los supervisores difusos en función de los

parámetros de ajuste del controlador local y las señales de entrada. Se realiza una

selección de dos técnicas para un comparativo a nivel estructural y se propone las

metodologías de diseño para estas técnicas.

En el capítulo 5 se presenta una clasificación de los FLC difusos paralelos en función de

los controladores que se interconectan y la forma en que se realiza la ponderación de los

aportes individuales de la acción de control de cada controlador. Finalmente se propone

las metodologías de diseño para esta técnica.

En el capítulo 6 se realiza el estudio comparativo teniendo en cuenta las metodologías

desarrolladas en los capítulos anteriores, cada técnica es puesta a prueba en dos sistemas

no-lineales, posteriormente se realiza un análisis frente a aspectos como arquitectura,

tareas de seguimiento a referencias y rechazo a perturbaciones.

2. Controlador Difuso Directo

Los FLC de arquitectura directa suelen utilizarse en la mayoría de aplicaciones de control

difuso (Mann et al., 1999), dependiendo de las señales de entrada y de salida que se

consideren sus estructuras pueden ser muy variadas, clasificándose en sistemas difusos

de: una entrada-una salida, dos entradas-una salida, tres entradas-una salida etc.

Las señales de entrada al sistema difuso que proporcionan mayor información

generalmente son: el error (e), la derivada del error (Δe) y la integral o sumatoria del error

(ie, ∑e), para esta última entrada es difícil formular las reglas de control debido a que el

valor de estado estacionario es desconocido y depende del sistema o planta a controlar,

por tal motivo se dificulta la asignación de los valores de las MFs y la ubicación en el

universo de discurso (Mann et al., 1999). Cuando la señal de salida del sistema difuso es

la acción de control (u), se conoce como salida absoluta, mientras que si la salida es el

diferencial de la acción de control (Δu) se conoce como salida incremental, para este caso

es necesario acumular cada aporte de la acción de control mediante un integrador.

Figura 2-1: Clasificación estructural de los FLC. Tomado de (Mann et al., 1999).

Una arquitectura FLC PID se puede construir mediante los elementos de la Figura 2-1,

cuando se utilizan estructuras de una entrada-una salida, se recurre a un bloque de

inferencia para cada variable del sistema por lo tanto habrá dos o más bases de reglas, lo

14 Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso aplicadas al mejoramiento de desempeño de lazos de control continuo

que permitiría manipular cada aporte de control individualmente, este caso se conoce como

FLC de reglas desacopladas, la acción de control será una sumatoria de la salida de cada

estructura como se aprecia en la Figura 2-2. Cuando de utilizan estructuras de dos o tres

entradas y una salida se tiene como característica el uso de una sola base de reglas en el

bloque de inferencia, entonces se habla de FLC de reglas acopladas por lo tanto la acción

de control está en función de cada una de las entradas y es imposible descomponer.

Figura 2-2: FLC PID con (a) base de reglas desacopladas, (b) base de reglas

acopladas. Tomado de (Mann et al., 1999).

(a) (b)

Este capítulo está organizado de la siguiente manera:

En la Sección 2.1, se realiza una breve descripción de los componentes de un FLC. En la

Sección 2.2, se presentan los requisitos de implementación para un FLC FPD+I. En la

Sección 2.3 se presentan los requisitos de implementación para un FLC MHPID. En la

Sección 2.4 se insiste en la necesidad de realizar la normalización en los FLC directos. En

la Sección 2.5, se propone la implementación de un método anti Wind-up en los FLC

estudiados. En la Sección 2.6 se propone un conjunto de ecuaciones de conversión entre

estas arquitecturas. Finalmente, en la Sección 2.7 se proponen las metodologías de diseño

de los FLC FPD+I y MHPID.

2.1 Control difuso

El controlador difuso se puede interpretar como un dispositivo que realiza un mapeo no

lineal, en donde la acción de control se describe mediante reglas difusas si-entonces en

función de las señales de entrada y se genera por la máquina de inferencia. El controlador

Capítulo 2 15

se basa en la lógica difusa por tal razón hereda sus componentes principales: fuzificación,

inferencia y defuzificación.

2.1.1 Fuzificación

Las entradas que comúnmente se seleccionan en las aplicaciones de control difuso son el

error y su derivada, el error relaciona la información de la salida del sistema con la señal

de referencia, mientras que la derivada del error establece la tendencia de la variable del

proceso. La salida del controlador difuso es decir la acción de control estará en función de

la señal del error y su derivada, por lo tanto, es necesario observar el comportamiento de

estas señales en diferentes regiones, para así decidir cuándo es necesario incrementar o

disminuir la acción de control.

Una repuesta típica de las señales del error y la derivada del error se representa en la

Figura 2-3, esta grafica muestra el comportamiento temporal para un sistema de segundo

orden en lazo cerrado excitado con una señal tipo escalón. Estas señales se dividen en

siete conjuntos difusos: Negativo Grande (NB), Negativo Mediano (NM), Negativo Pequeño

(NS), Cero (ZZ), Positivo Pequeño (PS), Positivo Mediano (PM) y Positivo Grande (PB).

Figura 2-3: Comportamiento temporal del error y la derivada del error. Tomado de (Altas

& Sharaf, 2007).

Dependiendo del orden del sistema y del tipo de excitación se obtienen diferentes

comportamientos de las señales del e y Δe, a partir de esta información se realiza la

construcción de la base de reglas.

La Fuzificación es el proceso de adquirir un valor de los datos de entrada por ejemplo para

el e y/o Δe y buscar la correspondencia en las MFs definidas en el universo de discurso

(es el rango de valores que las entradas y salidas pueden asumir) para cada variable. Este


proceso se realiza continuamente y el valor obtenido depende de la forma y ubicación de

las MFs. En la Figura 2-4 la variable error (e) se define en un universo de discurso de -100

a 100, las funciones de pertenencia son de forma triangular. Por ejemplo:

El valor de e = 40 pertenece a dos conjuntos difusos Positivo Pequeño (PS) y Positivo

Mediano (PM) con diferentes grados de pertenencia, para las demás funciones su valor es

de cero.

𝜇𝑃𝑆(40) = 0.65

𝜇𝑃𝑀(40) = 0.35

Figura 2-4: Ejemplo de Fuzificación de la variable error. Elaboración propia.

2.1.2 Inferencia

Los FLC utilizan una base de reglas que permite expresar el conocimiento del proceso y

el comportamiento deseado del controlador, las reglas expresan lingüísticamente una

asociación entre las funciones de pertenencia y las variables de entrada y salida del

sistema difuso. A la asignación de los términos lingüísticos a las variables lingüísticas de

entrada se conoce como antecedente, mientras que a la asignación de los términos

lingüísticos a las variables lingüísticas de salida se conoce como consecuente. Los

conjuntos difusos del antecedente y el consecuente se asocian mediante operaciones

lógicas difusas como And, Or, Not, etc. (Babuška, 2009)

𝑆𝑖 𝑒𝑙 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑒𝑠 ⏟ 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑙𝑖𝑔𝑢𝑖𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎

𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎

𝑃𝑆⏟𝑇𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝐿𝑖𝑛𝑔𝑢𝑖𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠

𝑎𝑛𝑑 𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑒𝑠⏟ 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑙𝑖𝑔𝑢𝑖𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎

𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎

𝑁𝑆⏟𝑇𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝐿𝑖𝑛𝑔𝑢𝑖𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠⏟

𝐴𝑛𝑡𝑒𝑐𝑒𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒

𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐴𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙 𝑒𝑠 ⏟ 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑙𝑖𝑔𝑢𝑖𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎

𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎

𝑃𝐵⏟𝑇𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝐿𝑖𝑛𝑔𝑢𝑖𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠⏟

𝐶𝑜𝑛𝑠𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒

Capítulo 2 17

El número de reglas aumenta exponencialmente con el número de variables lingüísticas

de entrada y los términos lingüísticos que se utilicen, con el fin de mantener una base de

reglas pequeña, se debe restringir el número de entradas y términos lingüísticos lo cual

implicaría un gasto computacional menor a la hora de la implementación. Por ejemplo, en

la Figura 2-3, se utilizan dos entradas y siete términos lingüísticos por ende se obtiene 72

= 49 reglas.

La construcción de la base de reglas para el caso específico de la Figura 2-3, en donde se

utilizan el e, Δe, se inicia con una asignación de términos lingüísticos para estas variables

en un número determinado de intervalos, luego se analiza el comportamiento de las

entradas en especial los signos en cada región, de allí se deduce el signo para la salida es

decir u. Los signos indican si hay un incremento (+) o una reducción (-) de las señales, se

busca que la salida del proceso se dirija al set point (Ref) y el error tienda asintóticamente

a cero. Los signos para e, Δe y u se pueden observar en la siguiente tabla:

Tabla 2-1: Signos para e, Δe y u.

Regiones de Operación

I II III IV V VI VII VIII IX X

e + 0 - - 0 + + - + 0

Δe - - - + + + - 0 0 0

u + - - - + + + - + 0

En la Tabla 2-1 se puede apreciar que las variables lingüísticas tienen tres opciones de

diferentes de signos (+), (-) y (0), a partir de este análisis el espacio de las variables de

entrada pueden reducirse al dividirse en 3 regiones (Figura 2-5) permitiendo la

construcción de una base de 9 reglas.

Una forma de representar la base de reglas es mediante una tabla, en donde la primera

fila y la primera columna hacen referencia a los conjuntos difusos de las entradas, los

conjuntos difusos de la salida están dados por cada intersección entre columnas y filas.

Cada cruce representa una regla.


Tabla 2-2: Base de reglas para e, Δe y u.

U

Δe

N Z P

e

P P P P

Z N Z P

N N N N

Figura 2-5: División del espacio de entrada en 3 regiones para e, Δe. Modificado de

(Altas & Sharaf, 2007).

La base de reglas debe cumplir con las siguientes propiedades:

Un conjunto de reglas difusas es completa si cualquier combinación de valores de entrada

da como resultado un valor apropiado correspondiente para la salida, es consistente si no

tiene ninguna regla contradictoria es decir si dos reglas tienen el mismo antecedente y

tienen diferente consecuente y es continua si no tiene reglas vecinas con salida de los

conjuntos difusos que tengan intersección vacía. (Wildrow, 2014).

Una base de reglas es una relación difusa, para obtener un conjunto difuso de salida se

requiere del mecanismo de inferencia, este primero compara todos los antecedentes de

las reglas con los datos de entrada del controlador, para establecer que reglas deben ser

aplicadas, posteriormente determina mediante los consecuentes de las reglas activadas

cuales deben ser los conjuntos de salida, por último, el mecanismo de inferencia tratará de

combinar los conjuntos de salida para llegar a una sola conclusión (Agregación) (Passino

& Yurkovich, 1998). Existe una variedad de métodos para el mecanismo de inferencia

difusa, destacándose dos por su utilización en FLC:

Capítulo 2 19

Inferencia difusa Mamdani

Este método fue propuesto en 1974 utilizado para tratar de controlar una máquina de vapor

mediante un FLC de tipo PI, proponen como operadores genéricos para las operaciones

de unión e intercepción de los conjuntos difusos, la función Max o Sum y la función Min o

Producto respectivamente (Mamdani, 1974). En la Figura 2-6 se muestra gráficamente el

mecanismo de inferencia Mamdani para el sistema que se describe en la Tabla 2-2 y la

Figura 2-5.

Figura 2-6: Mecanismo de inferencia Mamdani. Elaboración propia.

En la máquina de inferencia cuando se utiliza el operador mínimo, la función de pertenencia

de salida se corta a partir de la altura correspondiente al grado de pertenencia calculado

por los antecedentes de la regla. En la máquina de inferencia cuando se utiliza el operador

producto, la función de pertenencia de salida se multiplica por el grado de pertenencia

calculado por los antecedentes de la regla.

Figura 2-7: Mecanismo de inferencia con composición: (a) Max-Min, (b) Producto-

Suma. Elaboración propia.

(a) (b)


En (Viljamaa, 2002) se efectuó un estudio comparativo entre la composición Min-Max

(Figura 2-7-a) y la composición Producto-Suma (Figura 2-7-b) para el mecanismo de

inferencia Mamdani, las pruebas se realizaron en sistemas difusos de dos y tres entradas

con cuatro y ocho reglas respectivamente, concluyendo que la composición Min-Max

genera una pobre interpolación debido a que el operador Min solo tiene en cuenta las

proposiciones que tienen el menor grado de pertenencia ignorando las demás.

Inferencia difusa Takagi-Sugeno.

Este método fue propuesto por Takagi-Sugeno en 1985, es un mecanismo de inferencia

que realiza una interpolación entre las asignaciones definidas por las funciones en los

consecuentes de las reglas difusas. (Sugeno M, 1985). Se utilizan como operadores de

conjunción Min o Producto. En la Figura 2-8 se muestra gráficamente el mecanismo de

inferencia para un sistema que tiene como entradas el e, Δe y salida u, A y B corresponden

a las MFs para los antecedentes, mientras que z = f (x, y) son funciones lineales en los

consecuentes. Por lo general, f (x, y) es un polinomio siempre que se pueda describir

adecuadamente la salida del modelo dentro de la región difusa especificada por el

antecedente de la regla. Cuando f (x, y) es una constante, el modelo difuso Sugeno se

puede considerar como un caso especial del modelo difuso Mamdani, en el que el

consecuente de cada regla se especifica por un singleton difuso (constante).

Figura 2-8: Mecanismo de inferencia Takagi-Sugeno. Modificado de (Wildrow, 2014).

Capítulo 2 21

2.1.3 Defuzificacion

Es la operación inversa de la fuzificacion, es el proceso de conversión del conjunto difuso

de la salida del mecanismo de inferencia a datos numéricos. Existen varios métodos de

defuzificacion los cuales se podrían clasificar en (Wildrow, 2014):

Métodos de Zona: En estos métodos se busca que el valor de la defuzificacion

divida la función de pertenencia del conjunto difuso de salida en dos partes iguales.

Métodos de distribución: En estos métodos se busca que la defuzificacion sea el

cálculo del valor esperado de la función de pertenencia del conjunto difuso de salida

en convertida en una función de probabilidad.

Métodos de Máximo: Se busca seleccionar un elemento del conjunto difuso de

salida como el valor de la defuzificacion.

Los métodos de zona son los más utilizados en aplicaciones del control difuso de estos se

destaca el método por centro de gravedad (COG). El método COG calcula numéricamente

la coordenada del centro de gravedad del conjunto difuso de salida B' (2.1).

𝑦 , = 𝑐𝑜𝑔(𝐵,) =∑ 𝜇𝐵,𝐹𝑗=1 (𝑦𝑗)𝑦𝑗

∑ 𝜇𝐵,𝐹𝑗=1 (𝑦𝑗)

⁄ (2.1)

De donde F es el número de elementos yj en Y.

Figura 2-9: Defuzificacion por COG. Tomado de (Babuška, 2009)


2.2 Arquitectura FPD+I

2.2.1 Generalidades

La arquitectura propuesta en (Jantzen, 1998) utiliza como entradas al mecanismo de

inferencia del FLC, la fuzificacion del (e) y (Δe), la salida es (u) por lo tanto esta arquitectura

se puede clasificar como un FLC PID de reglas acopladas con salida absoluta.

El universo de discurso definido para las variables de entrada debe ser lo suficientemente

grande con el fin de evitar la saturación, por lo tanto, este fue establecido entre [-100 100]

mientras que el universo para la variable de salida se definió entre [-200 200].

Proponen tres conjuntos difusos para los términos lingüísticos de las variables de entrada,

estos son: Negativo (Neg), Cero (Zero) y Positivo (Pos), para la variable de salida utilizan

cinco términos lingüísticos: -200, -100, 0, 100 y 200.

Eligieron funciones de pertenencia de forma triangular distribuidas de manera uniforme en

el universo de discurso de las entradas, estas funciones se pueden representar

matemáticamente mediante tres parámetros {a, b, c}, los parámetros a y c ubican la base

del triángulo y el parámetro b ubica la punta, entonces una función de pertenencia de forma

triangular se describe como:

𝜇(𝑥) = max (min (𝑥−𝑎

𝑏−𝑎,𝑐−𝑥

𝑐−𝑏) , 0) (2.2)

Hay diversidad de formas para las funciones de pertenencia irregulares, regulares

simétricas, asimétricas, funciones de pertenencia de forma trapezoidal que involucra

cuatro parámetros, funciones de pertenencia de forma gaussiana o acampanadas que se

pueden parametrizar mediante funciones exponenciales, pero esto involucra un tiempo de

procesamiento elevado, la simplicidad en la parametrización de las funciones triangulares

permite velocidad en el cálculo ahorrando tiempo de procesamiento. Las funciones de

pertenencia de forma triangular se interceptan en 0.5 con las MFs adyacentes, sus puntas

serán equidistantes, por lo tanto, cualquier valor de entrada puede ser miembro de como

máximo dos conjuntos, esta característica proporciona al controlador difuso un tiempo de

subida más rápido y reduce el sobre-impulso por tal motivo la forma de las funciones de

pertenencia no es un ítem decisivo en el desempeño del controlador. ((Wildrow, 2014;

Boverie et al., 1991; Margaliot & Langholz, 2000; Kovacic, 2006).

Capítulo 2 23

Se utilizan tres términos lingüísticos para las dos entradas al mecanismo de inferencia, por

lo tanto, se tendrán 32 = 9 reglas, estas reglas son del tipo Mamdani representadas en la

siguiente tabla:

Tabla 2-3: Base de reglas arquitectura FPD+I.

U

Δe

N Z P

e

N -200 -100 0

Z -100 0 100

P 0 100 200

En la Tabla 2-3 se puede apreciar la base de reglas típica para un controlador FLC-PD

(Proporcional-Derivativo), una característica es la simetría alrededor de la diagonal de

ceros, los términos lingüísticos negativos de la salida se ubican por encima de la diagonal

mientras que los términos lingüísticos positivos se ubican por debajo de la diagonal, los

valores de los términos lingüísticos aumentan conforme crece la distancia desde la línea

diagonal.

Para simplificar el proceso de defuzificacion, las MFs de los conjuntos difusos de salida se

seleccionan de forma Singleton, los cuales estarán ubicados en el universo de discurso de

salida, en la posición que da como resultado la suma de las posiciones de las puntas de

las MFs de las entradas. Estos conjuntos pueden ser representados como números reales,

produciendo reglas como las de la Tabla 2-3.

Con la elección de cada uno de los parámetros indicados anteriormente se genera una

superficie de control como resultado del mapeo entrada-salida, en la cual se aprecia la

relación entre las entradas e, Δe y la salida u, figura 3-10 (d).

La superficie de control puede ser modificada por cambios en los siguientes elementos

(fuentes de no-linealidades): base de reglas, forma de las MFs, ubicación en los universos

de discurso, la selección del sistema de inferencia difusa (FIS) y el método de

defuzificación, como consecuencia se altera el mapeo no lineal de las dos entradas y la

salida.


Figura 2-10: (a) MFs e, (b) MFs Δe, (c) MF para u y (d) Superficie de control. Elaboración

propia.

(a)

(b)

(c)

(d)

Otra forma de modificar la no-linealidad del FLC es mediante los factores de escala, que

permiten contraer y extender uniformemente las MFs tanto de entrada y salida en los

universos de discurso, permitiendo modificar la respuesta temporal del controlador. Los

factores de escala de entrada y salida del sistema difuso influyen en el desempeño y

estabilidad del sistema al igual que las ganancias de un PID convencional. Una inadecuada

elección conlleva a oscilaciones excesivas, sobre-amortiguación e inestabilidad. (Fileti et

al., 2007; Yesil et al, 2003).

Mediante los parámetros estándar definidos en la Figura 2-10, se genera una superficie de

control lineal que permite una equivalencia con la respuesta de un controlador PID

convencional de arquitectura ideal, esto cuando se halla los factores de escala mediante

un conjunto de ecuaciones que están en función de las ganancias Kp, Ti y Td.

Como se dijo anteriormente la base de reglas corresponde a un controlador de tipo PD,

para lograr corregir el error de estado estacionario en la respuesta, el autor adiciona a la

salida del sistema difuso la integral del error por un factor de escalamiento, por lo tanto, la

arquitectura del FPD+I es:

Capítulo 2 25

Figura 2-11: Arquitectura de un controlador FPD+I. Elaboración propia.

Se define la acción de control para PID de arquitectura ideal como:

𝑢(𝑡) = 𝐾𝑝 (𝑒(𝑡) +1

𝑇𝑖∫ 𝑒(𝜏)𝑑𝜏𝑡

0+ 𝑇𝑑

𝑑𝑒(𝑡)

𝑑𝑡) (2.3)

La acción de control producida por el FPD+I, al igual que el PID convencional está en

función de tres entradas: error (e), la derivada del error (ce) y la integral del error (ie),

mediante la superficie lineal se puede aproximar a:

𝑢 = 𝐺𝑈 ∗ [𝐺𝐸 ∗ 𝑒 + 𝐺𝐼𝐸 ∗ 𝑖𝑒 + 𝐺𝐶𝐸 ∗ 𝑐𝑒] (2.4)

Al factorizar GE para llevar la expresión a la forma:

𝑢 = 𝐺𝐸 ∗ 𝐺𝑈 ∗ [𝑒 +𝐺𝐼𝐸

𝐺𝐸∗ 𝑖𝑒 +

𝐺𝐶𝐸

𝐺𝐸∗ 𝑐𝑒] (2.5)

Al comparar las acciones de control (2.3) con (2.5) se obtienen las expresiones para hallar

factores de escala:

𝐺𝑈 =𝐾𝑝

𝐺𝐸 (2.6)

𝐺𝐶𝐸 = 𝑇𝑑 ∗ 𝐺𝐸 (2.7)

𝐺𝐼𝐸 =𝐺𝐸

𝑇𝑖 (2.8)

Con el fin de validar la correspondencia de las respuestas temporales entre el controlador

PID convencional y el controlador FPD+I lineal se realizan pruebas utilizando la planta

parametrizada en el anexo A. El controlador PID convencional fue sintonizado mediante el

método IMC, a partir de estas ganancias se calcularon los factores de escala por medio de

las ecuaciones (2.6) a la (2.8), la señal de entrada es un escalón unitario.


Figura 2-12: Respuesta temporal de los controladores PID y FPD+I para: (a) to/tao = 0.19

y (b) to/tao = 2.01. Elaboración propia.

(a)

(b)

El ajuste de los factores de escala GE y GCE depende del tamaño del universo de discurso

y de la magnitud de la señal de entrada (Ref), para las simulaciones anteriores se asumió

GE=100 para explotar todo el universo de discurso definido para e, pero al excitar la

entrada del sistema con una entrada paso de magnitud mayor a uno se presenta un

desfase entre las respuestas temporales de los controladores.

Figura 2-13: Respuesta temporal de los controladores PID y FPD+I con variación en la

magnitud de la señal de entrada. Elaboración propia

Para evitar modificar constantemente los factores de escalamiento GE y GCE es necesario

hacer que estos factores dependan de las magnitudes de las señales de entrada del

Capítulo 2 27

proceso a controlar por lo tanto se realiza una normalización de las entradas y la salida del

FLC.

2.3 Arquitectura MHPID

2.3.1 Generalidades

La arquitectura propuesta por (Escamilla & Mort, 2002) utiliza como entradas al mecanismo

de inferencia del FLC, la fuzificacion de e y Δe, la salida es u por lo tanto esta arquitectura

se puede clasificar como un FLC PID de reglas acopladas con salida absoluta, presentando

una particularidad en el aporte Upi debido a que allí se realiza la integral de la salida del

sistema de inferencia (salida incremental). El universo de discurso definido para las

variables de entrada fue establecido entre [-1 1] mientras que el universo para la variable

de salida se definió entre [-2 2]. Proponen dos conjuntos difusos para los términos

lingüísticos de las variables de entrada estos son: Negativo (N) y Positivo (P), para la

variable de salida se utiliza una función lineal de las entradas. Eligieron funciones de

pertenencia de forma triangular, utilizando segmentos de rectas distribuidas de manera

uniforme en el universo de discurso interceptándose en 0.5. Se utilizan cuatro reglas del

tipo Takagi-Sugeno:

𝑅1: 𝑺𝒊 𝑒 𝑒𝑠 𝑁𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑦 ∆𝑒 𝑒𝑠 𝑁𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑬𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝑢 = 𝑝1 ∗ 𝐸 + 𝑞1 ∗ �̇� + 𝑟1

𝑅2: 𝑺𝒊 𝑒 𝑒𝑠 𝑁𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑦 ∆𝑒 𝑒𝑠 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑬𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝑢 = 𝑝2 ∗ 𝐸 + 𝑞2 ∗ �̇� + 𝑟2

𝑅3: 𝑺𝒊 𝑒 𝑒𝑠 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑦 ∆𝑒 𝑒𝑠 𝑁𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑬𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝑢 = 𝑝3 ∗ 𝐸 + 𝑞3 ∗ �̇� + 𝑟3

𝑅4: 𝑺𝒊 𝑒 𝑒𝑠 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑦 ∆𝑒 𝑒𝑠 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑬𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝑢 = 𝑝4 ∗ 𝐸 + 𝑞4 ∗ �̇� + 𝑟4

El mecanismo de inferencia usado en esta arquitectura es del tipo Takagi-Sugeno, para

este método el cálculo de la salida consiste en la búsqueda del valor de accionamiento (wi)

de cada regla y la aplicación de la función establecida en el consecuente de dicha regla

(Zi). En el consecuente se estableció un polinomio de primer orden con valores de las

constantes: pi = 1, qi = 1 y ri = 0, para i = 1, 2, 3, 4. La salida total se obtiene a través de

la media ponderada de las salidas, reduciendo el tiempo consumido en la etapa de

defuzificación (Wildrow, 2014):

𝑧 , =∑𝑤𝑖𝑧𝑖

𝑤𝑖⁄ (2.9)



superficie de control como resultado del mapeo entrada-salida, en la cual se aprecia la

relación entre las entradas e, Δe, y la salida u Figura 2-14 (c).

Figura 2-14: (a) MFs e, (b) MFs Δe, (c) MF Superficie de control. Elaboración propia.

(a)

(b)

(c)

Mediante los parámetros estándar definidos, se genera una superficie de control lineal que

permite una equivalencia con la respuesta de un controlador PID convencional de dos

grados de libertad con ponderación de la referencia y derivada sobre la salida:

𝑢(𝑡) = 𝐾𝑝 (𝛽𝑦𝑟 − 𝑦 +1


0− 𝑇𝑑

𝑑𝑦(𝑡)

𝑑𝑡) (2.10)

Esta arquitectura se construye a partir de la suma de los aportes de un FLC-PD y un FLC-

PI, se utiliza la misma base de reglas para los dos controladores, entonces la acción de

control producida por el FLC se define como:

𝑢𝑃𝐼 = 𝐺𝐶𝑈 ∗ ∫ (𝐺𝐸 ∗ 𝑒(𝑡) − 𝐺𝐶𝐸 ∗𝑑𝑦(𝑡)

𝑑𝑡) 𝑑𝑡 (2.11)

𝑢𝑃𝐷 = 𝐺𝑈 ∗ (𝐺𝐸 ∗ 𝑒(𝑡) − 𝐺𝐶𝐸 ∗𝑑𝑦(𝑡)

𝑑𝑡) (2.12)

𝑢𝑃𝐼𝐷 = 𝐺𝑈 ∗ 𝐺𝐸 ∗ 𝑦𝑟 − (𝐺𝐶𝑈 ∗ 𝐺𝐶𝐸 + 𝐺𝑈 ∗ 𝐺𝐸) ∗ 𝑦 + 𝐺𝐶𝑈 ∗ 𝐺𝐸 ∗ ∫ 𝑒(𝑡)𝑑𝑡 − 𝐺𝑈 ∗ 𝐺𝐶𝐸 ∗𝑑𝑦(𝑡)

𝑑𝑡 (2.13)

Al comparar las acciones de control (2.10) con (2.13) y estableciendo una relación Td/Ti =

¼, se obtienen las expresiones para hallar factores de escala:

Capítulo 2 29

𝐺𝐸 = 1 (2.14)

𝐺𝐶𝐸 = 2 ∗ 𝑇𝑑 (2.15)

𝐺𝑈 = 𝐾𝑝 2⁄ (2.16)

𝐺𝐶𝑈 = 𝐾𝑝 𝑇𝑖⁄ (2.17)

Figura 2-15: Arquitectura de un controlador MHPID. Elaboración propia.

Con el fin de validar la correspondencia de las respuestas temporales entre el controlador

PID convencional y el controlador MHPID lineal se realizan pruebas utilizando la planta

parametrizada en el Anexo A. El controlador PID convencional fue sintonizado mediante el

método de ciclo último Ziegler y Nicholds, a partir de estas ganancias se calcularon los

factores de escala por medio de las ecuaciones (2.14) a la (2.17), se utilizó una señal de

entrada de tipo escalón unitario.

Figura 2-16: Respuesta temporal de los controladores PID y MHPID para: (a) to/tao =

0.19 y (b) to/tao = 2.01. Elaboración propia

(a)

(b)


Al igual que en la arquitectura FPD+I, el ajuste de los factores de escala GE y GCE

depende del tamaño de paso, para las simulaciones anteriores se asumió GE=1, al excitar

la entrada del sistema con una entrada paso de magnitud mayor a uno se presenta un

desfase entre las respuestas temporales de los controladores.

Figura 2-17: Respuesta temporal de los controladores PID y MHPID con variación en la

magnitud de la señal de entrada. Elaboración propia.

2.4 Normalización

Los sensores transmisores envían señales generalmente eléctricas al módulo de

fusificacion, pero en la mayoría de los casos las magnitudes de las variables mesurables

no corresponden con las magnitudes definidas para los universos de entrada de los FLC,

por lo tanto, se requiere una transformación de escala (T) de los valores de salida de los

sensores transmisores hacia los universos de discurso. Adicionalmente es necesario

volver a los valores en los dominios físicos por lo que se requiere una transformación de

escala (T-1) inversa de la variable de salida de control. Mediante las siguientes

transformaciones lineales de coordenadas se realiza la conversión del dominio de las

variables físicas hacia el universo de discurso y viceversa (Espíndola, 2004):

La transformación lineal T1 se realiza mediante:

𝑇 ∶ [𝑋𝑚𝑖𝑛, 𝑋𝑚𝑎𝑥] → [𝑌𝑚𝑖𝑛, 𝑌𝑚𝑎𝑥] (2.18)

Capítulo 2 31

𝑇(𝑥) = 𝑦 = 𝑌𝑚𝑖𝑛 +𝑌𝑚𝑎𝑥 − 𝑌𝑚𝑖𝑛𝑋𝑚𝑎𝑥 − 𝑋𝑚𝑖𝑛

(𝑥 − 𝑋𝑚𝑖𝑛)

La transformación lineal T1-1 se realiza mediante:

𝑇−1 ∶ [𝑌𝑚𝑖𝑛, 𝑌𝑚𝑎𝑥] → [𝑋𝑚𝑖𝑛, 𝑋𝑚𝑎𝑥] (2.19)

𝑇−1(𝑦) = 𝑥 = 𝑋𝑚𝑖𝑛 +𝑋𝑚𝑎𝑥 − 𝑋𝑚𝑖𝑛𝑌𝑚𝑎𝑥 − 𝑌𝑚𝑖𝑛

(𝑦 − 𝑌𝑚𝑖𝑛)

De donde:

𝑋 ∶ [𝑋𝑚𝑖𝑛, 𝑋𝑚𝑎𝑥] es el dominio de la variable medible

𝑌 ∶ [𝑌𝑚𝑖𝑛, 𝑌𝑚𝑎𝑥] es el dominio normalizado.

2.4.1 Normalización FPD+I

Para utilizar toda la gama de los universos de discurso para las entradas error y la derivada

del error el autor propone las siguientes relaciones:

|𝑒𝑚𝑎𝑥 ∗ 𝐺𝐸| = |𝑈𝑛𝑖𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜𝑚𝑎𝑥| (2.20)

|𝐶𝑒𝑚𝑎𝑥 ∗ 𝐺𝐶𝐸| = |𝑈𝑛𝑖𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜𝑚𝑎𝑥| (2.21)

Por lo tanto, para fijar GE=100 se implementaron las siguientes ecuaciones para la

normalización del error y la derivada:

𝑒 , = −1 +2

𝑒𝑚𝑎𝑥−𝑒𝑚𝑖𝑛(𝑒 − 𝑒𝑚𝑖𝑛) (2.22)

𝑐𝑒 , = −1 +2

𝑐𝑒𝑚𝑎𝑥−𝑐𝑒𝑚𝑖𝑛(𝑐𝑒 − 𝑐𝑒𝑚𝑖𝑛) (2.23)

Para volver al dominio físico (salida acción de control u) se utilizó la siguiente

transformación:

𝑢, = 𝑢𝑚𝑖𝑛 +𝑢𝑚𝑎𝑥−𝑢𝑚𝑖𝑛

400(𝑢 + 200) (2.24)

Se implementó el módulo de normalización para las entradas y la salida, como ejemplo de

simulación se utilizaron los siguientes valores: emax = 20; emin = -20 y cemax = 20; cemin = -

20.


Figura 2-18: Respuestas temporales con FLC normalizado. Elaboración propia.

2.4.2 Normalización MHPID

En esta arquitectura es necesario fijar el valor de GE=1 por lo tanto se implementaron las

siguientes ecuaciones para la normalización del error y la derivada:

𝑒 , = −1 +2


𝑐𝑒 , = −1 +2


Para volver al dominio físico (salida acción de control u) se utilizó la siguiente

transformación:

𝑢, = 𝑢𝑚𝑖𝑛 +𝑢𝑚𝑎𝑥−𝑢𝑚𝑖𝑛

4(𝑢 + 2) (2.27)

Se implementó el módulo de normalización para las entradas y la salida, como ejemplo de

simulación se utilizaron los siguientes valores: emax = 20; emin = -20 y cemax = 20; cemin = -

20.

Capítulo 2 33

Figura 2-19: Respuestas temporales con FLC normalizado. Elaboración propia.

2.5 Wind-Up

Todos los actuadores presentan límites físicos por ejemplo una válvula exhibe un rango

máximo y mínimo de apertura, un motor tiene un límite de velocidad nominal etc. Los

sistemas de control que utilizan el modo integral (PI o PID) es común que la salida (acción

de control) supere estos límites establecidos para el actuador, esto debido a que el error

está siendo integrado y continuara incrementando su valor hasta que el error cambie de

signo en un lapso de tiempo grande, por lo tanto, en la respuesta temporal de este tipo de

controladores pueden aparecer transitorios grandes cuando el actuador se encuentre en

saturación. Este fenómeno se conoce como wind-up del integrador producido por grandes

cambios en la señal de referencia, por perturbaciones o mal funcionamiento del

controlador.

Para evitar el wind-up en el integrador se han propuesta varios métodos, como imponer

limitaciones en la señal de referencia para que la salida del controlador no sobrepase los

límites del actuador, pero no evade el wind-up por perturbaciones. Otro método es

denominado como recalculo y seguimiento integral, básicamente cuando la salida se

satura el termino integral es recalculado para que el nuevo valor este en el límite de

saturación, el diagrama de bloques de la técnica implementada en controlador PID

convencional se encuentra a continuación (Astrom, 1995):


Figura 2-20: Controlador PID con anti wind-up por recalculo y seguimiento. Tomado de

(Astrom, 1995)

En la mayoría de los casos la salida del actuador no puede ser medida por lo cual se

recurre al modelo matemático de la saturación en este elemento, para realizar la tarea del

anti wind-up se calcula el error (es) entre la señal de salida del modelo del actuador y la

señal de salida del controlador, este a su vez es sumado al factor de ganancia integral del

controlador PID a través de un factor 1/Tt. Cuando es = 0 significa que no hay saturación y

no se afecta la operación normal del controlador, cuando se satura el actuador es cambia

su valor, allí el lazo de realimentación tratara de llevar nuevamente el valor de es a 0,

mediante la modificación del factor de ganancia integral total evitando el wind-up. El

termino Tt (constante de seguimiento) indica la rapidez con que es llega 0, una regla

sugerida en (Astrom, 1995), es que esta se calcule como:

𝑇𝑡 = √𝑇𝑖 ∗ 𝑇𝑑 (2.28)

Se realizó una exploración bibliográfica sobre los métodos anti wind-up para controladores

PID difusos, en (Broel-Plater et al., 2004) se propone implementar el método anti wind-up

en un controlador difuso de arquitectura PD+PI dividiendo la estructura en tres términos de

inferencia difusa, presenta como desventaja que la señal de referencia debe estar acotada

en valores máximos y mínimos y del cálculo de varias constantes. Mientras que en (Liyong,

2009) se propone una estrategia anti wind-up para una arquitectura FPD+I, esta presenta

como desventaja la utilización de un bloque de saturación a la salida de la máquina de

inferencia PD limitando la acción de control.

Con el fin de superar los inconvenientes indicados en los métodos anteriores se propone

como alternativa la implementación de la técnica clásica de anti wind-up por recalculo y

seguimiento en las siguientes arquitecturas difusas:

Capítulo 2 35

2.5.1 Wind-up FPD+I

Se propone la implementación del lazo de realimentación para que es tienda a cero, por lo

tanto, es necesario asociar la constante de seguimiento Tt a las ganancias de escalamiento

difusas, esto se consigue mediante la aplicación de las siguientes ecuaciones:

𝑇𝑓𝑓𝑗 = √(1 𝐺𝐼𝐸)⁄ ∗ 𝐺𝐶𝐸 (2.29)

El factor de ganancia 𝑇𝑓 debe ser modificado con el fin de que el valor de la constante de

seguimiento este dentro del rango de los universos de discurso de las variables de control,

por lo tanto, este término debe ser:

𝑇𝑓𝑗 = 100 ∗ (1 𝑇𝑓𝑓𝑗)⁄ = 100 √(1 𝐺𝐼𝐸)⁄ ∗ 𝐺𝐶𝐸⁄ (2.30)

Figura 2-21: Método anti wind-up propuesto para FPD+I. Elaboración propia.

Figura 2-22: Respuesta temporal para controladores con y sin Anti wind up. Elaboración

propia.


2.5.2 Wind-up MHPID

Para esta arquitectura el cálculo de Tf se realiza mediante la siguiente ecuación en función

de los factores de escala:

𝑇𝑓𝑓𝑒 = √(𝐺𝑈 𝐺𝐶𝑈)⁄ ∗ 𝐺𝐶𝐸 (2.31)

El factor de ganancia debe ser modificado con el fin de que el valor de la constante de

seguimiento este dentro del rango de los universos de discurso de las variables de control,

por lo tanto, este término debe ser:

𝑇𝑓𝑒 = 100 ∗ (1 𝑇𝑓𝑓𝑒)⁄ = 100 √(𝐺𝑈 𝐺𝐶𝑈)⁄ ∗ 𝐺𝐶𝐸⁄ (2.32)

Figura 2-23: Método anti wind-up propuesto para MHPID. Elaboración propia.

Figura 2-24: Respuesta temporal para controladores con y sin Anti wind-up. Elaboración

propia.

Capítulo 2 37

2.6 Ecuaciones de conversión FPD+I y MHPID

Se desarrollaron una serie de ecuaciones que permiten realizar la conversión de la

arquitectura FPD+I a MHPID y viceversa, teniendo en cuenta que estas ecuaciones son

válidas cuando los factores de escala de los FLC son hallados a partir de un controlador

PID convencional sintonizado mediante métodos que utilizan la información de ciclo último.

En un controlador de dos grados de libertad la acción de control se define como:

𝑢(𝑡) = 𝐾𝑝 (𝛽𝑦𝑟 − 𝑦 +1


0+ 𝑇𝑑 (𝛾 ∗

𝑑𝑦𝑟(𝑡)

𝑑𝑡−𝑑𝑦(𝑡)

𝑑𝑡)) (2.33)

Sustituyendo las ganancias del PID lineal por las ganancias difusas de escalamiento del

método de [26] mediante las ecuaciones (2.6) a (2.7) y reemplazando en (2.33) se obtiene:

𝑢 = 𝐺𝐸𝑗 ∗ 𝐺𝑈𝑗 ∗ [𝛽𝑦𝑟 − 𝑦 +𝐺𝐼𝐸𝑗

𝐺𝐸𝑗∗ ∫ 𝑒(𝜏)𝑑𝜏

𝑡

0 +

𝐺𝐶𝐸𝑗

𝐺𝐸𝑗∗ (𝛾 ∗

𝑑𝑦𝑟(𝑡)


𝑑𝑡)] (2.34)

Sustituyendo las ganancias del PID lineal por las ganancias difusas de escalamiento del

método de (Escamilla & Mort, 2002) mediante las ecuaciones (2.14) a (2.17) y

reemplazando en (2.33) se obtiene:

𝑢 = 2 ∗ 𝐺𝑈𝑒 ∗ [𝛽𝑦𝑟 − 𝑦 +𝐺𝐶𝑈𝑒

2∗𝐺𝑈𝑒∗ ∫ 𝑒(𝜏)𝑑𝜏

𝑡

0 +

𝐺𝐶𝐸𝑒

2∗ (𝛾 ∗

𝑑𝑦𝑟(𝑡)


𝑑𝑡)] (2.35)

Estableciendo β=0.5 y γ=0 para que se cumpla la igualdad entre las ecuaciones (2.34) y

(2.35) se obtiene:

Ecuaciones de conversión de FPD+I a MHPID

𝐺𝐸𝑒 = 1 (2.36)

𝐺𝐶𝐸𝑒 = (2 ∗ 𝐺𝐶𝐸𝑗) 𝐺𝐸𝑗⁄ (2.37)

𝐺𝑈𝑒 = (𝐺𝐸𝑗 ∗ 𝐺𝑈𝑗) 2⁄ (2.38)

𝐺𝐶𝑈𝑒 = 𝐺𝐼𝐸𝑗 ∗ 𝐺𝑈𝑗 (2.39)

Ecuaciones de conversión de MHPID a FPD+I

𝐺𝐸𝑗 = 100 (2.40)

𝐺𝐶𝐸𝑗 = (100 ∗ 𝐺𝐶𝐸𝑒) 2⁄ (2.41)


𝐺𝐼𝐸𝑗 = (100 ∗ 𝐺𝐶𝑈𝑒) (2 ∗ 𝐺𝑈𝑒)⁄ (2.42)

𝐺𝑈𝑗 = (2 ∗ 𝐺𝑈𝑒) 100⁄ (2.43)

A continuación, se realiza una simulación en donde se observa la equivalencia entre las

respuestas temporales al realizar las conversiones de arquitecturas para el sistema

parametrizado en el Anexo A:

Figura 2-25: Respuesta temporal para conversiones (a) to/tao = 0.19; (b) to/tao = 2.01.

Elaboración propia.

(a)

(b)

2.7 Metodología de diseño: FPD+I y MHPID

Se propone una serie de pasos con el fin de realizar la sintonización de un controlador FLC

directo ya sea empleando la técnica FPD+I o MHPID, consiste en:

Identificación y modelamiento del proceso.

Cálculo de factores de escala de los FLC a través de ganancias del PID

convencional.

Sintonización fina de los factores de escala de los FLC a través del parámetro Kf,

que relaciona las ganancias estáticas de los submodelos lineales en los diferentes

puntos de operación.

Capítulo 2 39

2.7.1 Analizar el comportamiento de la planta

Entender el comportamiento del sistema en lazo cerrado, en especial la forma en que

reacciona a cambios de la entrada. En particular se han considerado dos casos

encontrados con frecuencia en aplicaciones industriales de control de procesos con

manifestaciones diferentes de la presencia de no linealidades. Al variar la referencia

(aumentando el set point) en diferentes puntos de operación del proceso:

La respuesta del sistema tarda más tiempo para alcanzar el SP.

La respuesta del sistema presenta un sobre-impulso que se va incrementando.

Figura 2-26: Respuesta en lazo cerrado. Elaboración propia.

(a)

(b)

2.7.2 Obtener la representación Matemática aproximada de la

planta

El ajuste del controlador PID difuso en las arquitecturas consideradas requiere un

conocimiento mínimo del sistema a controlar. En el entorno industrial por facilidad se

utilizan métodos de identificación que permiten aproximar el comportamiento de los

submodelos lineales comúnmente a modelos de primer o segundo orden más tiempo

muerto. En este trabajo se propone un ajuste simple pero eficaz para el controlador PID

difuso, basado en el cálculo de un coeficiente llamado Kf que está relacionado con las

ganancias estáticas de los submodelos lineales en los diferentes puntos de operación. A

medida que cambia la referencia en el proceso y considerando procesos autoregulados


como los descritos en el paso anterior, se determinan las ganancias estáticas en los

diferentes puntos de operación y entre estas se eligen los valores inferior Ki y superior Ks.

El coeficiente Kf relaciona las ganancias estáticas de los submodelos lineales de la

siguiente manera:

𝐾𝑓 = 𝐾𝑖 𝐾𝑠⁄ (2.44)

2.7.3 Obtener las Ganancias de Escalamiento Difusas

Transferir las ganancias del controlador PID Lineal (diferenciando su arquitectura: ideal,

serie y paralelo) que se encuentra en operación, al controlador PID Difuso mediante las

ecuaciones de conversión propuestas por (Jantzen, 1998) y (Escamilla & Mort, 2002), a

través de una superficie de control lineal.

2.7.4 Sintonización

Modificar las ganancias de escalamiento en función del parámetro Kf. Después de haber

definido la arquitectura del controlador difuso y obtener un desempeño aproximado con su

contraparte lineal se procede hallar las nuevas ganancias mediante:

Jantzen FPD+I:

𝐺𝐸 = 𝐺𝐸𝑛 (2.45)

𝐺𝑈 = 𝐺𝑈𝑛 ∙ 𝐾𝑓 (2.46)

𝐺𝐶𝐸 = 𝐺𝐶𝐸𝑛 ∙ 0.5 (2.47)

𝐺𝐼𝐸 = 𝐺𝐼𝐸𝑛 (2.48)

Escamilla MHPID:

𝐺𝐸 = 𝐺𝐸𝑛 (2.49)

𝐺𝐶𝐸 = 𝐺𝐶𝐸𝑛 (2.50)

𝐺𝑈 = 𝐺𝑈𝑛 ∗ 4𝐾𝑓 (2.51)

𝐺𝐶𝑈 = 𝐺𝐶𝑈𝑛 ∗ 𝐾𝑓 (2.52)

Capítulo 2 41

Para las ecuaciones de la (2.45) a la (2.52) el subíndice n hace referencia al valor nominal,

es decir el valor hallado con las ecuaciones de conversión (2.6) a (2.8) para Jantzen y

(2.14) a (2.17) para Escamilla. Estos conjuntos de ecuaciones se obtuvieron buscando

desarrollar un método práctico pero efectivo de sintonía aplicable a nivel industrial,

modificando la menor cantidad de factores de escala. La determinación de tales valores

está apoyada en la realización de numerosas pruebas computacionales teniendo presente

mediciones de índices de desempeño y respuesta temporal del sistema. En el capítulo 5

se ilustra la aplicación de la metodología y sus resultados experimentales en dos casos de

estudio considerados.

En las arquitecturas FPD+I y MHPID, se realizó la construcción de unos subsistemas

denominados pre-filtrado y post-filtrado dinámico, el pre-filtrado se utiliza para obtener Δe

y/o ∫e mediante filtros lineales, adicionalmente la normalización de las señales de entrada,

mientras que el subsistema post-filtrado dinámico realiza la normalización de la señal de

salida del controlador.

3. Controlador Difuso Supervisado

Al utilizar un sistema de control supervisorio ubicado en un segundo nivel de jerarquía y

controladores convencionales en el primer nivel, se logra proporcionar cierta versatilidad

al incorporar diferentes diseños del controlador convencional en diferentes regiones de

operación mejorando el desempeño del conjunto. El controlador supervisor se comporta

como un interpolador generando como sus salidas los valores de las ganancias del

controlador local en función de las señales de entrada. Una forma de construir el supervisor

es a través de una tabla en la cual se plasman los datos como regiones de operación,

valores de las ganancias del controlador local entre otros, cuando no se encuentra una

región de operación especifica en la tabla se realiza una interpolación de los datos para

generar los valores de las ganancias del controlador local.

La utilización de un supervisor de naturaleza difusa permitirá la construcción de una base

de reglas en función del deterioro del desempeño del controlador local, por ejemplo,

cuando el supervisor detecta tiempo de subida excesivo, aumento en el tiempo de

establecimiento, o presencia de oscilaciones, por lo tanto, realizará una re-sintonización a

partir de una variación suave de las ganancias, mediante la interpolación de valores

almacenados offline, para el controlador local. De esta forma, el comportamiento del

sistema de control del primer nivel será modificado para atacar las no linealidades de los

procesos. Se podría realizar una primera clasificación de los controladores difusos

supervisados en función de los parámetros de ajuste del controlador PID:

1. El supervisor difuso contiene una base de reglas en función de las características

dinámicas del proceso, como tiempo de establecimiento o sobreimpulso. A partir

de estas reglas se obtienen los valores de los parámetros del controlador PID (Kp,

Ti, Td), (Passino & Yurkovich, 1998).

2. El supervisor difuso contiene los valores de los parámetros del controlador PID, que

fueron calculados previamente en distintos puntos de operación del proceso. La


conmutación de los valores se realiza mediante variables que indican un cambio en

la dinámica del sistema, el supervisor mediante la base de reglas selecciona los

valores de los parámetros del controlador PID (Passino & Yurkovich, 1998).

Una segunda clasificación para los supervisores difusos es por las señales de entrada

(variables de programación) que se utilizan, estas pueden ser: la señal de error y su

derivada, la señal de salida del proceso y la señal de referencia, la señal de la acción de

control, entre otras siempre y cuando indiquen el estado actual del proceso.

Figura 3-1: Clasificación de supervisores difusos en función de las señales de entrada.

Tomado de ((Viljamaa & Koivo, 1995; Zhao & Isaka, 1993; Babuška, 2009;

Passino & Yurkovich, 1998) .

En este documento se limitará el análisis y diseño a los supervisores difusos que utilizan

como señales de entrada el error y el cambio del error, esta arquitectura fue propuesta en

(Zhao & Isaka, 1993) y la arquitectura propuesta en (Viljamaa & Koivo, 1995) que utiliza

como señales de entrada la referencia y la salida de proceso.


En la Sección 3.1, se presentan los requisitos de implementación para un FLC Supervisado

FGS – f(e, de) allí se utiliza unas MFs de salida, un método de agregación y defuzificacion

específicos y se incorpora un bloque de normalización. En la Sección 3.2 se realiza una

descripción para la implementación de otro FLC Supervisado FGS – f(y, r), haciendo

Capítulo 3 45

énfasis en la parametrización de las MFs y la construcción del sistema difuso. Finalmente,

en la Sección 3.3 y 3.4 se proponen las metodologías de diseño de los FLC Supervisores

3.1 Arquitectura supervisor FLC: FGS – f(e, de)

3.1.1 Generalidades

La arquitectura propuesta en (Zhao, Z.-Y et al, 1993), utiliza como entradas al mecanismo

de inferencia del FLC, la fuzificacion de e y Δe, mientras que la salida son los valores de

las ganancias 𝐾𝑝′, 𝐾𝑑

′ y un factor α, creado para deducir el valor de la ganancia integral

mediante una relación entre la ganancia proporcional y la ganancia derivativa, el

controlador local propuesto es de arquitectura paralela.

El universo de discurso definido para las variables de entrada es [-1, 1], proponiendo siete

conjuntos difusos para los términos lingüísticos de las variables: Negativo Grande (NB),

Negativo Mediano (NM), Negativo Pequeño (NS), Cero (ZO), Positivo Pequeño (PS),

Positivo Mediano (PM) y Positivo Grande (PB), seleccionaron funciones de pertenencia de

forma triangular. El universo de discurso para las variables de salida 𝐾𝑝′, 𝐾𝑑

′ es de [0, 1],

utilizan dos conjuntos difusos para los términos lingüísticos de estas variables: Pequeño

(S) y Grande (B), como funciones de pertenencia utilizan las descritas por las siguientes

ecuaciones:

𝜇𝑆𝑚𝑎𝑙𝑙(𝑥) = −1

4ln 𝑥 𝑂 𝑥𝑆𝑚𝑎𝑙𝑙(𝜇) = 𝑒

−4𝜇 (3.1)

𝜇𝐵𝑖𝑔(𝑥) = −1

4ln(1 − 𝑥) 𝑂 𝑥𝐵𝑖𝑔(𝜇) = 1 − 𝑒

−4𝜇 (3.2)

Mientras que para α se definió un universo de discurso de [1, 5], utilizando cuatro términos

lingüísticos para cuatro funciones de pertenencia de forma Singleton con valores de: 2, 3,4

y 5. Se utilizan siete términos lingüísticos para las dos entradas al mecanismo de

inferencia, por lo tanto, se tendrán 72 = 49 reglas, estas reglas son del tipo Mamdani de la

forma: Si el error es ZO y la derivada del error es NB Entonces 𝐾𝑝′ es Small, 𝐾𝑑

′ es Big y

α = 5, representadas en las Tablas 4-1 a 4-3.

El mecanismo de inferencia es de tipo Mamdani dado por:

𝜇𝑖 = 𝜇𝐴(𝑒) ∗ 𝜇𝐵(Δ𝑒) (3.3)


Tabla 3-1: Reglas difusas para 𝐾𝑝

′

𝐾𝑝′

Δe

NB NM NS ZO PS PM PB

e

NB B B B B B B B

NM S B B B B B S

NS S S B B B S S

ZO S S S B S S S

PS S S B B B S S

PM S B B B B B S

PB B B B B B B B

Tabla 3-2: Reglas difusas para 𝐾𝑑′

𝐾𝑑′

Δe


e

NB S S S S S S S

NM B B S S S B B

NS B B B S B B B

ZO B B B B B B B

PS B B B S B B B

PM B B S S S B B

PB S S S S S S S

Tabla 3-3: Reglas difusas para α

α

Δe


e

NB 2 2 2 2 2 2 2

NM 3 3 2 2 2 3 3

NS 4 3 3 2 3 3 4

ZO 5 4 3 3 3 4 5

Capítulo 3 47

PS 4 3 3 2 3 3 4

PM 3 3 2 2 2 3 3

PB 2 2 2 2 2 2 2

Al utilizar funciones de pertenencia de forma triangular para las entradas, con puntos de

intercesión en 0.5, inferencia dada por la ecuación (3.3) se puede afirmar que para cada i-

esima regla activa la sumatoria de los valores de pertenencia del e por el Δe es:

∑ 𝜇𝑖𝑚𝑖=1 = 1 (3.4)

Por lo anterior se realiza una simplificación para la defuzzificacion, en donde el valor real

corresponde al valor i-esimo de 𝜇𝑖 calculado en 𝑥𝑆𝑚𝑎𝑙𝑙(𝜇) o 𝑥𝐵𝑖𝑔(𝜇) según la regla activada:

𝐾𝑝′ = ∑ 𝜇𝑖

𝑚𝑖=1 ∗ 𝐾𝑝,𝑖

′ (3.5)

𝐾𝑑′ = ∑ 𝜇𝑖

𝑚𝑖=1 ∗ 𝐾𝑑,𝑖

′ (3.6)

𝛼 = ∑ 𝜇𝑖𝑚𝑖=1 ∗ 𝛼𝑖 (3.7)


superficie en la cual se aprecia la relación entre las entradas e, Δe y la salidas 𝐾𝑝′, 𝐾𝑑

′ y

𝛼, fue necesario realizar funciones personalizadas para generar las MFs de salida

(ecuaciones 3.1 y 3.2) e implementar el método de defuzificacion descrito en las

ecuaciones (3.5) a (3.7).

Figura 3-2: (a) MFs para e; (b) MFs para Δe; (c) MFs de salida para 𝐾𝑝′; (d) Superficie

𝐾𝑝′; (e) MFs de salida para 𝐾𝑑

′; (f) Superficie 𝐾𝑑′; (g) MFs de salida para 𝛼;

Superficie 𝛼. Elaboración propia.

(a)

(b)


(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

Para obtener las ganancias del controlador local, el autor propone las siguientes

ecuaciones:

𝐾𝑝 = (𝐾𝑝𝑚𝑎𝑥 − 𝐾𝑝𝑚𝑖𝑛)𝐾𝑝′ + 𝐾𝑝𝑚𝑖𝑛 (3.8)

𝐾𝑑 = (𝐾𝑑𝑚𝑎𝑥 − 𝐾𝑑𝑚𝑖𝑛)𝐾𝑑′ + 𝐾𝑑𝑚𝑖𝑛 (3.9)

𝐾𝑖 = 𝐾𝑝

2

𝛼𝐾𝑑 (3.10)

Los limites max y min para las ganancias los obtuvieron heurísticamente en función de los

parámetros 𝐾𝑢 y 𝑇𝑢 (Método de identificación por ciclo ultimo):

𝐾𝑝𝑚𝑖𝑛 = 0.32𝐾𝑢 𝐾𝑝𝑚𝑎𝑥 = 0.6𝐾𝑢 (3.11)

Capítulo 3 49

𝐾𝑑𝑚𝑖𝑛 = 0.08𝐾𝑢𝑇𝑢 𝐾𝑑𝑚𝑎𝑥 = 0.15𝐾𝑢𝑇𝑢 (3.12)

Figura 3-3: Arquitectura supervisor difuso. Elaboración propia.

En esta arquitectura, se realizó la construcción de subsistemas denominados pre-filtrado y

post-filtrado dinámico, el pre-filtrado se utiliza para obtener el e y Δe mediante filtros

lineales, adicionalmente normalización de las señales de entrada, mientras que los

subsistemas de post-filtrado dinámico realizan el cálculo de las acciones de control que se

aplican en el controlador local a través de las formulas 3-8 a la 3-12.

Con el fin de validar la respuesta temporal del supervisor difuso, se realizaron pruebas

utilizando la planta parametrizada en el Anexo A, se realiza una comparación con un

controlador PID convencional sintonizado mediante IMC, la señal de entrada es un escalón

unitario.

Figura 3-4: Respuesta temporal para (a) to/tao = 0.19 y (b) to/tao = 1.10. Elaboración

propia.

(a)

(b)

Al igual que en los controladores difusos directos es necesario normalizar las señales de

entrada al FIS del supervisor difuso, este fenómeno se puede apreciar en la Figura 3-5.


3.1.2 Normalización FGS – f(e, de)

Con el fin de evitar la saturación de los universos de discurso causado por las variaciones

del Set Point, es necesario implementar un módulo de normalización para las entradas e y

Δe, este se implementa a través de las siguientes transformaciones:

𝑒 , = −1 +2


𝑐𝑒 , = −1 +2


Figura 3-5: Respuesta temporal de los controladores PID y SUPF 1 con variación en la

magnitud de la señal de entrada. Elaboración propia.

3.2 Arquitectura supervisor FLC: FGS – f(y, r)

3.2.1 Generalidades

La arquitectura propuesta en (Viljamaa & Koivo, 1995) utiliza como entradas al mecanismo

de inferencia del FLC, la señal de salida de la planta (y) y la señal de referencia (r), mientras

que la salida son los valores de los parámetros del controlador local sintonizado en

diferentes puntos de operación, el controlador local propuesto es un PID IMC.

Los universos de discurso para las variables tanto de entrada como de salida del sistema

difuso dependen de la definición de los rangos de operación de la planta o proceso, esto

debido a que los parámetros del controlador son sintonizados en varios puntos de

operación en función de la referencia y la salida, los conjuntos difusos para la señal de

Capítulo 3 51

salida y la referencia serán la misma cantidad de modelos obtenidos del controlador de

primer nivel. Las funciones de pertenencia para las entradas son de forma triangular o

trapezoidal parametrizadas mediante un vector:

𝑃𝑥 = [𝑥0(1) 𝑥0

(2) … . . 𝑥0(𝑚𝑥) ] (3.15)

En donde 𝑥0(𝑖) es el núcleo de las funciones de pertenencia ith y mx es el número de

funciones de pertenencia de la variable x. Las funciones de pertenencia se superponen de

tal manera que máximo dos MFs son distintas de cero y cuando una MFs es igual a 1 las

otras son iguales a cero. Los puntos de esquina de estas funciones de pertenencia

corresponden a los puntos de operación en donde se estiman los parámetros de los

modelos del controlador local. Los conjuntos difusos y las funciones de pertenencia de la

señal de referencia deben ser idénticas con la salida de la planta. Las funciones de

pertenencia de salida del sistema difuso son de tipo singleton.

Figura 3-6: Funciones de pertenencia para las entradas y la salida. Tomado de

(Viljamaa & Koivo, 1995).

En (Viljamaa, 2002) se plantean dos formas para realizar la construcción de la base de

reglas del sistema difuso en ambas se utiliza mecanismo inferencia de tipo Mamdani, la

primera es considerar el sistema difuso de dos entradas, pero para esta técnica no hay

suficiente información para reproducir los resultados. La segunda técnica es considerar

dos sistemas difusos de una entrada, por lo tanto, ambos sistemas difusos tienen

exactamente los mismos parámetros:


𝑃𝑦 = 𝑃𝑟 = [𝑦0(1) 𝑦0

(2) … .. 𝑦0(𝑚𝑦) ] (3.16)

Los diferentes valores de los parámetros de la sintonización del controlador local son

almacenados en una matriz de la forma:

𝜃 = [𝜃(1)𝑇 𝜃(2)𝑇 … . . 𝜃(𝑚𝑦)𝑇 ] (3.17)

El valor del parámetro aplicado al controlador local es la suma ponderada de las salidas

de los sistemas difusos:

𝜃 = 𝑤𝑦𝐹(𝑦(𝑡), 𝜃𝑖𝑛, 𝜃𝑟𝑢𝑙𝑒𝑠, 𝜃𝑜𝑢𝑡) + 𝑤𝑟𝐹(𝑟(𝑡), 𝜃𝑖𝑛, 𝜃𝑟𝑢𝑙𝑒𝑠, 𝜃𝑜𝑢𝑡) (3.18)

De donde 𝑤𝑦 y 𝑤𝑟 son factores de peso para la variable de proceso y la señal de referencia

respectivamente, el autor sugiere mantener un leve efecto de la señal de referencia

asumiendo 𝑤𝑦 ≈ 0.9, por lo tanto 𝑤𝑟 = 1 − 𝑤𝑦.

Un ejemplo para el diseño que propone el autor aplicado a un sistema no-lineal se indica

a continuación: escogieron seis puntos de operación para el modelo de la planta no lineal

estos están definidos por los vectores:

𝜃𝑖𝑛 = 𝑃𝑦 = 𝑃𝑟 = [0.05 0.33 0.50 0.86 0.95 0.97 ] (3.19)

Por lo tanto, las funciones de pertenencia para y y r , se aprecian en la Figura 3-7

Figura 3-7: Funciones de pertenencia para (a) y ; (b) r. Elaboración propia

(a)

(b)

Los parámetros del controlador PID IMC sintonizado en los diferentes puntos de operación

son representados mediante la siguiente matriz:

Capítulo 3 53

𝜃𝑜𝑢𝑡 = [

𝐾𝑝1 𝑇𝑖1 𝑇𝑑1𝐾𝑝2 𝑇𝑖2 𝑇𝑑2⋮ ⋮ ⋮

𝐾𝑝𝑚𝑦 𝑇𝑖𝑚𝑦 𝑇𝑑𝑚𝑦

] =

[ 0.0308 2.6848 1.42750.0427 1.9024 1.45120.0562 1.4710 1.44590.1622 0.5152 1.44930.3000 0.2893 1.42530.4173 0.2059 1.2773]

(3.20)

Para realizar una simplificación al momento de la implementación en la plataforma Matlab,

la matriz de salida la cual contiene los parámetros del controlador PID sintonizado en los

diferentes puntos de operación, se reemplazó por tres salidas asociadas a la ganancia

proporcional 𝐾𝑝𝑚𝑦, tiempo integral 𝑇𝑖𝑚𝑦 y tiempo derivativo 𝑇𝑑𝑚𝑦 del controlador local

utilizando funciones de pertenencia de tipo singleton. Por lo anterior las reglas serán de la

siguiente forma:

Si r es rn entonces 𝐾𝑝 es 𝐾𝑝𝑛, 𝑇𝑖 es 𝑇𝑖𝑛 y 𝑇𝑑 es 𝑇𝑑𝑛

Si y es yn entonces 𝐾𝑝 es 𝐾𝑝𝑛, 𝑇𝑖 es 𝑇𝑖𝑛 y 𝑇𝑑 es 𝑇𝑑𝑛

Con la elección de cada uno de los parámetros indicados anteriormente se genera un plano

en la cual se aprecia la interpolación que se realiza en función de la señal de entrada y las

salidas 𝐾𝑝, 𝑇𝑖 y 𝑇𝑑

Figura 3-8: Interpolación para: (a) 𝐾𝑝; (b) 𝑇𝑖; (c) 𝑇𝑑. Elaboración propia.

(a)

(b)

(c)


Figura 3-9: Arquitectura supervisor difuso. Elaboración propia.

3.3 Metodología de diseño: FGS – f(e, de)

Con el fin de realizar la sintonización de un controlador Supervisor difuso FGS – f(e, de),

se proponen los siguientes pasos:

3.3.1 Analizar el comportamiento de la planta

Se analizaron dos comportamientos en aplicaciones industriales en presencia de no

linealidades. Al variar la referencia (aumentando el set point) en diferentes puntos de

operación del proceso:



3.3.2 Obtener la representación Matemática aproximada de la

planta

Al igual que en la metodología propuesta para los controladores difusos directos se

requiere del cálculo del coeficiente Kf que relaciona las ganancias estáticas de los

submodelos lineales:

𝐾𝑓 = 𝐾𝑖 𝐾𝑠⁄ (3.21)

Capítulo 3 55


Se proponen las siguientes ecuaciones de sintonización, en donde se establecen los

límites de variación de las ganancias del controlador PID del primer nivel, en función de los

parámetros de un controlador PID convencional sintonizado mediante IMC y el parámetro

𝐾𝑓, el cual interviene en el cálculo de 𝐾𝑝𝑚𝑎𝑥, 𝐾𝑑𝑚𝑎𝑥 e indirectamente en 𝐾𝑖

Caso 1 (La respuesta del sistema tarda más tiempo para alcanzar el SP)

𝐾𝑝𝑚𝑖𝑛 = 𝐾𝑝𝑖𝑚𝑐 (3.22)

𝐾𝑝𝑚𝑎𝑥 = 𝐾𝑓𝐾𝑝𝑖𝑚𝑐 (3.23)

𝐾𝑑𝑚𝑖𝑛 = 𝐾𝑑𝑖𝑚𝑐 (3.24)

𝐾𝑑𝑚𝑎𝑥 = (𝐾𝑓/4) 𝐾𝑑𝑖𝑚𝑐 (3.25)

𝐾𝑝 = (𝐾𝑝𝑚𝑎𝑥 − 𝐾𝑝𝑚𝑖𝑛)𝐾𝑝′ + 𝐾𝑝𝑚𝑖𝑛 (3.26)

𝐾𝑑 = (𝐾𝑑𝑚𝑎𝑥 − 𝐾𝑑𝑚𝑖𝑛)𝐾𝑑′ + 𝐾𝑑𝑚𝑖𝑛 (3.27)

𝐾𝑖 = 𝐾𝑝

2

𝛼𝐾𝑑 (3.28)

Caso 2 (La respuesta del sistema presenta un sobre-impulso que se va

incrementando). Solo se modifica la obtención de la ganancia integral con respecto

al caso anterior:

𝐾𝑖 = 𝐾𝑝

4(𝛼𝐾𝑑) (3.29)

3.4 Metodología de diseño: FGS – f(y, r)

3.4.1 Analizar el Comportamiento de la Planta

Se analizaron dos comportamientos típicos en aplicaciones industriales en presencia de

no linealidades. Al variar la referencia (aumentando el set point) en diferentes puntos de

operación del proceso:




3.4.2 Identificación de los modelos en los diferentes puntos de operación

Para realizar la construcción de la tabla off-line que contiene los valores de los parámetros

del controlador PID local, se requiere de la extracción de los sub-modelos lineales en los

diferentes puntos de operación. Un punto de partida es identificar el rango de variación del

valor deseado (SP) en el proceso, luego definir los puntos de operación distribuidos de

manera equidistante en este rango. En caso que el sistema o proceso a controlar exhiba

no-linealidades o cambios bruscos en los valores de los parámetros del controlador PID

local se recomienda obtener más modelos del sistema por ende más parámetros del

controlador PID local, lo que permitirá un ajuste más fino en la interpolación del sistema

difuso.

3.4.3 Sintonizar el controlador PID local en los diferentes puntos de operación

Se propone como método de sintonización del controlador PID local, IMC el cual se basa

en modelo, este se sintoniza en los diferentes puntos de operación definidos en el paso

anterior. De esta manera ya se cuenta con los valores de referencia (asociados a los

modelos obtenidos) y los parámetros del controlador (Kp, Ti, Td). Es necesario que la

repuesta del sistema obtenida se aproxime a una respuesta temporal de primer orden, es

decir con la mínima presencia de sobre-impulso, para evitar interpolaciones indeseadas

con los modelos PID vecinos.

3.4.4 Generar el Sistema Difuso

Definir mediante los puntos de operación los vectores: 𝜃𝑖𝑛 = 𝑃𝑦 = 𝑃𝑟, que

corresponden a la ubicación en el universo de discurso de las funciones de

pertenencia para las entradas y y r..

Asignar los parámetros para el controlador PID local en los diferentes puntos de

operación mediante tres salidas del sistema difuso con funciones de pertenencia

de tipo singleton.

Generar la base de reglas:

Si r es rn entonces 𝐾𝑝 es 𝐾𝑝𝑛, 𝑇𝑖 es 𝑇𝑖𝑛 y 𝑇𝑑 es 𝑇𝑑𝑛

Capítulo 3 57

Si y es yn entonces 𝐾𝑝 es 𝐾𝑝𝑛, 𝑇𝑖 es 𝑇𝑖𝑛 y 𝑇𝑑 es 𝑇𝑑𝑛


Asignar valores a los factores de peso wy y wr, se recomienda que wy=0.75 y wr=0.25, con

el fin de evitar oscilaciones en el transitorio y tener una buena relación para el rechazo a

perturbaciones. (Este aspecto se explora en detalle en el Anexo B).

4. Controlador Difuso Paralelo

Un controlador paralelo consiste en una estructura que combina los aportes individuales

de diversas arquitecturas de control, por medio de factores de ponderación en función de

variables que proveen información del comportamiento dinámico del sistema. Los

controladores difusos presentan esta particularidad, se pueden combinar con

controladores lineales tradicionales o con otros esquemas de control, denominados FLC

Paralelos (Meng & Ya, 2003; Mohammed et al, 2017).

Una ventaja al combinar controladores difusos y controladores lineales (PID), es proveer

al controlador lineal una mejora en el desempeño ante procesos no-lineales, a través de la

acción correctiva generada por la superficie de control de naturaleza no-lineal del FLC,

estas arquitecturas se pueden apreciar en las Figuras 4-1-a y 4-1-b. Adicionalmente se

puede combinar dos controladores difusos de diferentes arquitecturas buscando mejorar

el desempeño temporal del conjunto, por ejemplo, utilizar en mayor medida un FLC

supervisor en las respuestas transitorias y hacer una transición gradual a un FLC directo

en los estados estacionarios. Esta arquitectura se observa en la Figura 4-1-c.

Otra forma de combinar los controladores difusos es complementarlos (por ejemplo a nivel

de ajuste de sus parámetros) a través de técnicas de inteligencia computacional como:

Redes Neuronales Artificiales (ANFIS - Adaptative Neuro Fuzzy Inference Systems)

basadas en aprendizaje a través de datos (propio de redes neuronales) manteniendo la

descripción basada en reglas y Algoritmos Genéticos (GA-Fuzzy) basados en encontrar

una solución óptima de los parámetros de ajuste a través de iteraciones sucesivas (Figura

4-1-d) (Jang & Sun, 1995; Hímer et al., 2005; Lin & Xu 2006) entre otros.

El enfoque se centra en los FLC Paralelos vistos como una combinación entre un

controlador difuso directo y otro controlador ya sea un PID convencional o un FLC

supervisado.


Figura 4-1: Clasificación de controladores difusos en paralelo.

(a) Paralelo FLC y PI (Kovacic & Bogdan

2005)

(b) Paralelo FLC y PID (Zhang &

Shao 2006)

(c) Paralelo Supervisor FLC y FLC

Directo (Mohammed et al., 2017)

(d) FLC y GA (Dideková, 2018)


En la sección 4.1 se realiza un análisis sobre un controlador difuso paralelo el cual utiliza

como factor de ponderación una función con base al valor absoluto del error y dos

parámetros adicionales (λ y δ). En la sección 4.2 se describe un sistema de control difuso

paralelo el cual utiliza un selector difuso para realizar la ponderación de los aportes de

control en función de e y Δe. En la sección 4.3 se propone una metodología de diseño de

un FLC paralelo que combina un controlador difuso directo y un controlador supervisorio

difuso.

4.1 Arquitectura Paralela: FLC-PID por αFunción

En (Zhang & Shao, 2006) se propone un esquema para realizar la conexión de un

controlador difuso directo y un controlador PID convencional mediante una arquitectura

Paralela, con el objetivo de controlar la temperatura del aluminio fundido en un horno de

Capítulo 4 61

Atomización. La acción de control es una combinación de la salida del controlador difuso y

la salida del controlador PID convencional, dada por la siguiente ecuación:

𝑈 = 𝛼𝑈1 + (1 − 𝛼)𝑈2 (4.1)

De donde:

𝑈1: Corresponde al aporte de la acción de control del FLC

𝑈2: Corresponde al aporte de la acción de control del PID convencional

𝛼: Corresponde a un factor de ponderación.

El factor de ponderación alfa (𝛼) permite la conmutación gradual entre los controladores,

al aplicar en mayor medida determinada acción de control en función de: el valor absoluto

del error del sistema en lazo cerrado, λ es un coeficiente que permite modificar la pendiente

de inclinación de 𝛼, denominado índice de suavidad y δ definido como el error umbral. Por

lo tanto alfa (𝛼) se define como:

𝛼 = 1 1 + 𝑒−λ (|𝑒|−δ)⁄ (4.2)

Figura 4-2: Comportamiento de 𝛼 en función de del valor absoluto del error.

Tomado de (Zhang & Shao, 2006).

Este método de Hibridación presenta una seria desventaja debido a que no se cuenta con

un análisis o punto de partida para realizar el ajuste de los parámetros λ y δ, por lo cual se

debe recurrir a múltiples pruebas en simulación para lograr un comportamiento apropiado,

por lo tanto, esta técnica es difícil de incorporar sistemáticamente a nivel de una

metodología de diseño (ajuste de λ y δ).


4.2 Arquitectura Paralela: FLC-PID por αSupervisión

Se busca generar una acción de control ponderada, entre un controlador PID convencional

enfocado a actuar en las respuestas transitorias y un controlador FLC enfocado a actuar

en las no linealidades por los cambios de puntos de operación. Esta ponderación debe

permitir la transición gradual entre los controladores evitando conmutaciones fuertes que

puedan degradar el desempeño del sistema, por lo tanto, una forma de realizar transiciones

suaves es a través de un selector difuso (supervisor difuso) en función de e y Δe.

En (Chakchouk et al., 2015) se propone una arquitectura Paralela que combina un

controlador difuso directo y un controlador PI convencional con el objetivo de controlar

presión y caudal en una estación de riego de aspersión. La arquitectura propuesta se ilustra

a continuación.

Figura 4-3: Arquitectura FLC-PID por αSupervisión. Tomado de (Chakchouk et al.,

2015)

Se puede observar que el FLC paralelo está compuesto por tres bloques, en la parte

superior se encuentra el controlador difuso directo, en la parte central un supervisor difuso

el cual se encarga de ponderar las contribuciones y en la parte inferior el controlador PI.

La acción de control para la arquitectura paralela está gobernada por la siguiente ecuación:

𝑈𝑃𝐶 = 𝛼𝑈𝐹𝐿𝐶 + (1 − 𝛼)𝑈𝑃𝐼𝐷 (4.3)

En donde el parámetro α es un factor de peso encargado de realizar la conmutación

gradual entre el controlador lineal y el controlador difuso. Este es generado por un sistema

difuso el cual presenta como entradas los valores absolutos del e y Δe, lo que significa que

Capítulo 4 63

este parámetro cambia dinámicamente en función del comportamiento del sistema en lazo

cerrado.

El universo de discurso definido para las variables de entrada e y Δe fue establecido entre

[0 1] al igual que el universo para la variable de salida α, proponen tres conjuntos difusos

para los términos lingüísticos de las variables de entrada estos son: Cero (Z), Mediano (M)

y Grande (L) y MFs de forma triangular. Para la variable de salida se utiliza MFs de forma

Singleton, utilizando cinco términos lingüísticos Cero (Z), Pequeño (S), Mediano (M)

Grande (L) y Muy Grande (VL), distribuidos de manera equidistante en el universo de

discurso, esto con lleva a realizar una variación gradual de α dado la forma de las funciones

de pertenencia de las entradas (Figura 4-4-a) permitiendo transiciones suaves en los

aportes de los controladores.

El mecanismo de inferencia difusa es Takagi-Sugeno y composición producto.

𝜇𝑖 = 𝜇𝐴(𝑒) ∗ 𝜇𝐵(Δ𝑒) (4.4)

En la Figura 4-4 se aprecian las características en la construcción del sistema difuso para

α.

Figura 4-4: (a) MFs para e y Δe; (b) MFs para α; (c) Base de reglas; (d) Superficie

difusa. Elaboración propia.

(a)

(b)

(c)

| Δe |

e

Z M L

Z VL L M

M S S Z

L Z Z Z

(d)


En la referencia (Chakchouk et al., 2015) se indica que el controlador lineal actúa en el

régimen transitorio mientras que el controlador difuso actúa en el régimen permanente.

Analizando el comportamiento de α en la Figura 4-5, se puede observar que en el estado

transitorio hay una pequeña intervención del controlador difuso que se va incrementando

hasta que el sistema en lazo cerrado alcanza el estado estacionario, evidenciándose que

tanto el error como la derivada del error tienden a cero.

Figura 4-5: Comportamiento dinámico de α. Elaboración propia.

4.2.1 Metodología de Diseño: FLC-PID por αSupervisión

Se propone los siguientes pasos para realizar la construcción de la arquitectura paralela:

Diseñar el Controlador Difuso Directo según la metodología que se describe en la

sección 2.7.

Diseñar el Controlador PID convencional.

Diseñar el selector difuso (supervisor) el cual varía en función de e y Δe según las

pautas dadas en la sección 4.2.

Implementar la función de la acción de control de la arquitectura paralela dada por

la ecuación 4.4.

Capítulo 4 65

4.3 Arquitectura Paralela: FLC Directo - Supervisor FLC

Se propone como una mejora al desempeño que presenta el controlador difuso directo

FPD+I en procesos no-lineales, este se caracteriza por la presencia de un pequeño sobre-

impulso en el régimen transitorio, realizando la conexión en paralelo con un supervisor

difuso FGS – f(e, de) el cual se caracteriza por tener una base de reglas enfocadas a

mejorar el comportamiento en los transitorios reduciendo: el sobre-impulso, el tiempo de

subida y tiempo de establecimiento.

La arquitectura propuesta se puede apreciar en la Figura 4-6. Este esquema de control

estará compuesto de tres partes: el controlador difuso directo (FPD+I), el controlador difuso

supervisado (FGS – f(e, de)) y el selector difuso (Sup α).

Figura 4-6: Arquitectura Paralela. Elaboración propia.

4.3.1 Metodología de Diseño: FLC Directo - Supervisor FLC

Se propone los siguientes pasos para realizar la construcción de la arquitectura paralela:

Diseñar el Controlador Difuso Directo (FPD+I) según la metodología que describe

en la sección 2.7.

Diseñar el Controlador Supervisorio Difuso (SUPF 1) según la metodología que

describe en la sección 3.3.

Diseñar el selector difuso el cual varía en función de e y Δe según las pautas dadas

en la sección 4.2

Implementar la función de la acción de control de la arquitectura paralela dada por

la ecuación 4.4.

5. Estudio Comparativo

Para evaluar el desempeño de los controladores FLC analizados en los capítulos

anteriores, las metodologías de diseño fueron puestas a prueba con el objetivo de realizar

tareas de seguimiento de referencias cuando se cambian puntos de operación y rechazo

de perturbaciones. Para ello se consideraron dos plantas, la primera un modelo

matemático No-Lineal extraído de (Viljamaa & Koivo, 1995) y luego en un sistema No-

Lineal un tanque de reacción continuamente agitado (CSTR).

El modelo matemático No-lineal se caracteriza por presentar en lazo cerrado, una

respuesta del sistema que tarda más tiempo en alcanzar el SP al variar la referencia en

diferentes puntos de operación (manifestación de no-linealidades), mientras que el CSTR

se caracteriza por presentar en lazo cerrado, una respuesta del sistema que presenta un

sobre-impulso que se va incrementando al variar la referencia en diferentes puntos de

operación (manifestación de no-linealidades).

Para analizar el comportamiento de los controladores se utilizaron los siguientes criterios

de medición de desempeño: Integral del error absoluto (IAE) e Integral del tiempo por el

error absoluto (ITAE). Para cada proceso se realizó sintonización de un controlador lineal

PID bajo la técnica de internal model control (IMC) (Morari & Zafiriou 1989).

Se realizará un análisis comparativo en una tabla considerando requerimientos de

construcción de la arquitectura de controlador y consideraciones iniciales para la

implementación.

5.1 Modelos de plantas No-lineales

5.1.1 Modelo Matemático No Lineal

El modelo no lineal está representado por las siguientes ecuaciones:


𝑥(𝑡)̇ = [𝑥2(𝑡)

−0.25 ∗ 𝑥1(𝑡) − 0.70 ∗ 𝑥2(𝑡) + (4.75 − 4.50 ∗ 𝑥1(𝑡)) ∗ 𝑢(𝑡)] (5.1)

𝑦(𝑡) = 𝑥1(𝑡)

El rango de trabajo para este sistema se escogió de 0 a 1 en pasos incrementales de

referencia de magnitud 0.1. La respuesta dinámica del proceso ante estímulos tipo escalón

permitió la caracterización como modelos de segundo orden. En la Figura 5.1 se presenta

la curva de reacción del proceso ante estímulos tipo paso.

Figura 5-1: Curva de reacción del sistema. (a) Vista ampliada punto de operación

inferior (b) Vista ampliada punto de operación superior. Elaboración propia.

(a)

(b)

En los puntos de operación inferior (Figura 5-1-a) y superior (Figura 5-1-b) las funciones

de transferencia obtenidas mediante curva de reacción de proceso (estimación de

parámetros) son de la forma:

Capítulo 5 69

G(s) = k𝑤𝑛

2

𝑠2+2𝔷𝑤𝑛𝑠+𝑤𝑛2 (5.2)

Por lo tanto, las funciones de transferencia son:

𝐺𝑖 = (6.7860)(0.83552)

𝑠2+0.6992 𝑠+0.6981 (5.3)

𝐺𝑠 = (0.0580)(2.142)

𝑠2+0.879 𝑠+4.58 (5.4)

5.1.2 Sistema No Lineal (CSTR)

Se consideró como segunda planta un reactor CSTR convierte una sustancia química A

en una sustancia química B a través de una reacción exotérmica irreversible de primer

orden A → B, el modelo fenomenológico consiste en 2 ecuaciones diferenciales no lineales

(Bequette, 1998). El reactor tiene tres entradas: u1, u2, u3 y dos salidas: y1, y2, como se

describe en la Figura 5-2. El objetivo de control es mantener la temperatura del reactor y2

(t) en un punto de referencia deseado de forma que maximice la transformación de la

materia química A, al regular la temperatura del refrigerante en la camisa (u3).

Figura 5-2: Reactor CSTR. Tomado de (Bequette, 1998).

El rango de trabajo para este sistema se escogió de 300 K a 350 K en pasos incrementales

de referencia de magnitud 10 K. La respuesta dinámica del proceso ante estímulos tipo

escalón permitió la caracterización como modelos de primer orden más tiempo muerto. En

la Figura 5-3 se presenta la curva de reacción del proceso ante estímulos tipo paso.


Figura 5-3: Curva de reacción del sistema. Elaboración propia.

Las funciones de transferencia obtenidas mediante curva de reacción de proceso

(estimación de parámetros) son de la forma:

G(S) = K𝑒−𝑡0 𝑠

τ 𝑠+1 (5.5)

Por lo tanto, las funciones de transferencia son:

𝐺𝑖 = 1.27∗𝑒−0.245 𝑠

2.484 𝑠+1 (5.6)

𝐺𝑠 = 0.47∗𝑒−0.005 𝑠

1.65 𝑠+1 (5.7)

5.2 FLC Directos

5.2.1 Modelo No Lineal

Se realiza la identificación de la respuesta en lazo cerrado, encontrando que al variar la

referencia (aumentando el set point) en diferentes puntos de operación del proceso, la

respuesta del sistema tarda más tiempo para alcanzar el SP.

A partir de las ganancias estáticas de los sub-modelos lineales, obtenidos en el punto

superior e inferior del proceso mediante curvas de reacción, se calcula el coeficiente Kf,

para este caso Kf = 117.

Realizar la construcción de los controladores difusos directos según las pautas indicadas

en la sección 2.2.1 (FPD+I) y en la sección 2.3.1 (MHPID)

El controlador PID convencional fue sintonizado mediante IMC (Arquitectura ideal), a través

del modelo obtenido en el punto inferior del proceso. Los valores de las ganancias de este

controlador son: Kp=0.0295; Ti=1.0016 y Td=1.4302. Mediante las ecuaciones de

Capítulo 5 71

conversión (2.6 a 2.8) para la arquitectura FPD+I y las ecuaciones de conversión (2.14 a

2.17) para la arquitectura MHPID se obtiene como punto inicial los valores de los factores

de escala de los FLC (GE=100; GCE=143.01; GIE=99.83 y GU=0.000295 para FPD+I y

GE=1; GCE=2.86; GU=0.0148 y GCU=0.0295 para MHPID).

Se modifica las ganancias de escalamiento (obtenidas en el paso anterior) en función del

parámetro Kf, mediante las ecuaciones 2.45 a la 2.48 para la arquitectura FPD+I y las

ecuaciones 2.49 a la 2.52 para la arquitectura MHPID (GE=100; GCE=71.5; GIE=99.83 y

GU=0.034 para FPD+I y GE=1; GCE=2.86; GU=6.92 y GCU=3.45 para MHPID).

En la Figura 5.4 se presenta la respuesta temporal de los controladores difusos directos

ante variaciones de la referencia. Se puede observar que la respuesta del PID IMC

presenta sobre impulso en la parte inferior y degradación en la parte superior, mientras

que los FLC PID directos presentan un desempeño temporal más consistente. Esto se

aprecia en la Tabla 5-1, obteniéndose una mejora en el índice del desempeño ITAE para

el FPD+I del 95.3% y para MHPID del 86.2%.

Figura 5-4: Respuesta temporal ante variaciones de la referencia. Elaboración propia.

Los índices del comportamiento del error ante variaciones de la referencia se concentran

en la siguiente tabla:


Tabla 5-1: Mediciones de índices de desempeño

Controlador PID IMC FPD+I MHPID

IAE 14.71 1.15 3.22

ITAE 4158 196.9 572.4

En la Figura 5.5 se presenta la repuesta temporal de los controladores difusos directos al

introducir una perturbación tipo paso en t = 25 s.

Figura 5-5: Respuesta temporal de los controladores ante una perturbación tipo paso.

La evaluación numérica de la respuesta temporal e índices de desempeño se presenta en

la Tabla 5-2.

Tabla 5-2: Mediciones de desempeño

Mediciones sin perturbacion hasta t=50s Perturbación t=25s

Controlador Mp (%) Tr (s) Ts(s) IAE ITAE IAE ITAE

PID-IMC 8.07 5.62 19.12 1.35 3.67 2.03 24.41

FPD+I 22.85 1.19 8.9 0.40 0.60 0.41 0.80

MHPID --- --- 17.23 1.21 3.64 1.22 3.82

Capítulo 5 73

En el cuadro anterior se observa que los controladores difusos directos hacen un rechazo

casi inmediato de la perturbación, el controlador FPD+I presenta un tiempo de

establecimiento menor, a costa de un sobre-impulso más grande.

5.2.2 Sistema No-Lineal



respuesta del sistema presenta un sobre-impulso que se va incrementando.



para este caso Kf = 2.702.

Realizar la construcción de los controladores difusos directos según las pautas indicadas

en la sección 2.2.1 (FPD+I) y en la sección 2.3.1 (MHPID)


del modelo obtenido en el punto superior del proceso. Los valores de las ganancias de

este controlador son: Kp=14.20; Ti=1.65 y Td=0.0025. Mediante las ecuaciones de

conversión (2.6 a 2.8) para la arquitectura FPD+I y las ecuaciones de conversión (2.14 a

2.17) para la arquitectura MHPID se obtiene como punto inicial los valores de los factores

de escala de los FLC (GE=100; GCE=0.24; GIE=60.51 y GU=0.142 para FPD+I y GE=1;

GCE=0.005; GU=7.1 y GCU=8.596 para MHPID).

Se modifica las ganancias de escalamiento (obtenidas en el paso anterior) en función del

parámetro Kf, mediante las ecuaciones 2.45 a la 2.48 para la arquitectura FPD+I y las

ecuaciones 2.49 a la 2.52 para la arquitectura MHPID (GE=100; GCE=0.12; GIE=60.51 y

GU=0.38 para FPD+I y GE=1; GCE=0.005; GU=76.77 y GCU=23.22 para MHPID).

En la Figura 5.6 se presenta la respuesta temporal de los controladores difusos directos

ante variaciones de la referencia. La respuesta del PID IMC presenta aumento de las

oscilaciones con la variación del SP mientras que los FLC lograron reducir el sobre impulso

y las oscilaciones de baja amplitud. Esto se aprecia en la Tabla 5-3, obteniéndose una

mejora en el índice del desempeño ITAE para el FPD+I del 59.6% y para MHPID del 69.9%.






Controlador PID IMC FPD+I MHPID

IAE 48.75 18.74 16.29

ITAE 614 247.8 184.6

En la Figura 5.7 se presenta la repuesta temporal de los controladores difusos directos al

introducir una perturbación tipo paso en t = 15 s.


Capítulo 5 75

La evaluación numérica de la respuesta temporal e índices de desempeño se presenta

en la Tabla 5-4.




PID-IMC 30 0.46 3.2 50.26 164.7 73.35 547.8

FPD+I 13.4 0.22 1.6 18.25 54.31 26.79 196.2

MHPID 4.4 0.22 1 14.2 51.82 22.35 196.9

De las Tablas 5-2 y 5-4 se puede observar que, al introducir las perturbaciones a los

sistemas en lazo cerrado, los FLC corrigen el valor de la variable del proceso de manera

más rápida y suave que el PID lineal.

5.3 FLC Supervisados


Metodología de diseño: FGS – f(e, de)



respuesta del sistema tarda más tiempo para alcanzar el SP.



para este caso Kf = 117.

Realizar la construcción del controlador difuso supervisorio según las pautas indicadas en

la sección 3.1.1

A partir de las ecuaciones de sintonización propuestas (3.22 a la 3.28) se calculan los

límites de variación de las ganancias del controlador del primer nivel, para este caso:

Kpmin=0.0295; Kpmax=3.45; Kdmin=0.0422 y Kdmax=1.234.


Metodología de diseño: FGS – f(y, r)

El rango de variación del Set Point definido para este sistema no-lineal es de 0 a 1, por lo

tanto, los puntos de operación para este proceso son: 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 y 1 (ver anexo B).

Los sub-modelos lineales en los puntos de operación son obtenidos mediante curva de

reacción del proceso.

𝐺(𝑠)0.2 = 4.629 (𝑠2 + 0.691𝑠 + 1.12)⁄

𝐺(𝑠)0.4 = 1.025 (𝑠2 + 0.696𝑠 + 2.036)⁄

𝐺(𝑠)0.6 = 0.578 (𝑠2 + 0.701𝑠 + 2.945)⁄

𝐺(𝑠)0.8 = 0.398 (𝑠2 + 0.7133𝑠 + 3.797)⁄

𝐺(𝑠)1 = 0.312 (𝑠2 + 0.669𝑠 + 4.806)⁄

Luego se realiza la sintonización del controlador PID local en este caso mediante IMC en

los puntos de operación definidos en el paso anterior.




] =

[ 0.0299 1.727 1.4450.135 5.456 1.44360.2423 5.9 1.4260.3579 4.697 1.4260.4287 1.46 1.493 ]

Posteriormente se define los puntos de operación en el siguiente vector:

𝜃𝑖𝑛 = 𝑃𝑦 = 𝑃𝑟 = [0.2 0.4 0.6 0.8 1 ]

Lo que permite generar la ubicación en el universo de discurso de las funciones de

pertenencia para las entradas y y r y la creación del sistema difuso.


(a)

(b)

Por último, se realiza la sintonización de los factores de peso wy y wr, según las métricas

indicadas en el Anexo B.

Capítulo 5 77

En la Figura 5.9 se presenta la respuesta temporal de los controladores difusos

Supervisados ante variaciones de la referencia. Se puede observar que la respuesta del

PID IMC presenta sobre impulso en la parte inferior y degradación en la parte superior

mientras que el FLC Supervisados presentan un desempeño temporal más consistente.

Esto se aprecia en la Tabla 5-5, obteniéndose una mejora en el índice del desempeño ITAE

para el FGS – f(e, de) del 94.1% y para FGS – f(y, r) del 85.2%.

Figura 5-9: Respuesta temporal ante variaciones de la referencia. Elaboración propia




Controlador PID IMC FGS – f(e, de) FGS – f(y, r)

IAE 14.71 1.05 3.44

ITAE 4158 245.5 614

En la Figura 5.10 se presenta la repuesta temporal de los controladores difusos

supervisados al introducir una perturbación tipo paso en t = 25 s.




la Tabla 5-6.




PID-IMC 8.07 5.62 19.12 1.35 3.67 2.03 24.41

FGS – f(e, de) 14.75 0.46 4.5 0.14 0.12 0.15 0.28

FGS – f(y, r) --- --- 16.09 1.37 3.86 2.15 29.3

En el cuadro anterior se observa que el supervisor difuso FGS – f(y, r) hace un rechazo de

perturbaciones peor que el controlador PID convencional, mientras que el supervisor difuso

FGS – f(e, de) presenta un tiempo de subida y tiempo establecimiento bastante bajos con

la presencia de un sobre-impulso moderado y buenos índices en cuanto al rechazo de la

perturbación.

Capítulo 5 79


Metodología de diseño: FGS – f(e, de)



respuesta del sistema presenta un sobre-impulso que se va incrementando. Sección 3.3.1.



para este caso Kf = 2.70.

Realizar la construcción del controlador difuso supervisorio según las pautas indicadas en

la sección 3.1.1

A partir de las ecuaciones de sintonización propuestas (3.29 a la 3.35) se calculan los

límites de variación de las ganancias del controlador del primer nivel, para este caso:

Kpmin=14.2; Kpmax=38.36; Kdmin=0.0355 y Kdmax=0.0239.

Metodología de diseño: FGS – f(y, r)

El rango de variación del Set Point definido para este sistema no-lineal es de 300 a 350,

por lo tanto, los puntos de operación para este proceso son: 300, 310, 320, 330, 340 y 350

(ver anexo B). Los sub-modelos lineales en los puntos de operación son obtenidos

mediante curva de reacción del proceso.

𝐺(𝑠)300 = 1.27𝑒−0.245 (2.484𝑠 + 1)⁄

𝐺(𝑠)310 = 0.47𝑒−0.005 (2.05𝑠 + 1)⁄

𝐺(𝑠)320 = 0.473𝑒−0.005 (1.9𝑠 + 1)⁄

𝐺(𝑠)330 = 0.473𝑒−0.005 (1.8𝑠 + 1)⁄

𝐺(𝑠)340 = 0.472𝑒−0.005 (1.75𝑠 + 1)⁄

𝐺(𝑠)350 = 0.472𝑒−0.005 (1.65𝑠 + 1)⁄

Luego se realiza la sintonización del controlador PID local en este caso mediante IMC en

los puntos de operación definidos en el paso anterior.





] =

[ 17.02 1.19 0.02517.06 1.2 0.02516.25 1.25 0.02515.39 1.2 0.02515 1.2 0.02514.14 1.2 0.025 ]

Posteriormente se define los puntos de operación en el siguiente vector:

𝜃𝑖𝑛 = 𝑃𝑦 = 𝑃𝑟 = [300 310 320 330 340 350 ]

Lo que permite generar la ubicación en el universo de discurso de las funciones de

pertenencia para las entradas y y r y la creación del sistema difuso. Sección 3.4.4


(a)

(b)

Por último, se realiza la sintonización de los factores de peso wy y wr, según las métricas

indicadas en el Anexo B.

En la Figura 5-12 se presenta la respuesta temporal de los controladores difusos

Supervisados ante variaciones de la referencia. Las respuestas de los controladores

presentan aumento de las oscilaciones con la variación del SP, los índices se presentan

en la Tabla 5-7, obteniéndose una mejora en el índice del desempeño ITAE para el FGS –

f(e, de) del 63.33% y para FGS – f(y, r) del 15.24%.




Controlador PID IMC FGS – f(e, de) FGS – f(y, r)

IAE 48.73 9.227 34.41

ITAE 613.2 224.8 519.7

Capítulo 5 81


En la Figura 5.13 se presenta la repuesta temporal de los controladores difusos

supervisados al introducir una perturbación tipo paso en t = 15 s.



la Tabla 5-8





PID-IMC 30 0.46 3.2 50.26 164.7 73.35 547.8

FGS – f(e, de) 32.8 0.16 1.27 10.81 46.61 12.36 70.24

FGS – f(y, r) 17.2 0.45 3.27 33.71 112.4 50.58 388.2

De la Tabla 5-8 que el supervisor difuso FGS – f(y, r) hace un rechazo de perturbaciones

similar al controlador PID convencional, mientras que el supervisor difuso FGS – f(e, de)

presenta un tiempo de subida y tiempo establecimiento bastante bajos con la presencia de

un sobre-impulso moderado y buenos índices en cuanto al rechazo de la perturbación.

5.4 FLC Paralelos


Arquitectura Paralela: FLC-PID por αSupervisión

Para realizar la construcción de esta arquitectura paralela:

El controlador FLC directo se diseña con los siguientes valores para los factores de escala:

GE=100; GCE=71.5; GIE=99.83 y GU=0.034 (FPD+I).


del modelo obtenido en el punto inferior del proceso. Los valores de las ganancias de este

controlador son: Kp=0.0295; Ti=1.0016 y Td=1.4302.

El selector difuso (supervisor) se diseña según las pautas dadas en la sección 4.2 y se

construye un módulo que realiza la suma de las acciones de control por el factor de

ponderación (ecuación 4.1).

Arquitectura Paralela: FLC Directo - Supervisor FLC


Capítulo 5 83

El controlador FLC directo fue diseñado con los siguientes valores para los factores de

escala, GE=100; GCE=71.5; GIE=99.83 y GU=0.034 (para FPD+I)

El FLC supervisor se diseñó con los siguientes límites de variación de las ganancias del

controlador del primer nivel, para este caso: Kpmin=0.0295; Kpmax=3.45; Kdmin=0.0422

y Kdmax=1.234.




En la Figura 5.14 se presenta la respuesta temporal de los controladores difusos Paralelos

ante variaciones de la referencia. Se puede observar que la respuesta de los FLC Paralelos

presentan un desempeño temporal más consistente. Esto se aprecia en la Tabla 5-9,

obteniéndose una mejora en el índice del desempeño ITAE para el FLC-PID por αFunción

del 95% y para FLC Directo - Supervisor FLC del 95.9%.



Controlador PID IMC FLC-PID αFunción FLC Dir - Sup FLC

IAE 14.71 1.22 0.954

ITAE 4158 205.2 170.3


En la Figura 5.15 se presenta la repuesta temporal de los controladores difusos Paralelos

al introducir una perturbación tipo paso en t = 25 s. La evaluación numérica de la respuesta

temporal e índices de desempeño se presenta en la Tabla 5-10.





PID-IMC 8.07 5.62 19.12 1.35 3.67 2.03 24.41

FLC-PID por αFunción 36 0.97 8.7 0.52 0.86 0.52 1.06

FLC Directo - Supervisor FLC 24.8 0.97 7.64 0.36 0.52 0.37 0.73


Arquitectura Paralela: FLC-PID por αSupervisión


El controlador FLC directo se diseña con los siguientes valores para los factores de escala:

GE=100; GCE=0.12; GIE=60.51 y GU=0.38 (FPD+I).

Capítulo 5 85


del modelo obtenido en el punto superior del proceso. Los valores de las ganancias de

este controlador son: Kp=14.20; Ti=1.65 y Td=0.0025.




Arquitectura Paralela: FLC Directo - Supervisor FLC


El controlador FLC directo fue diseñado con los siguientes valores para los factores de

escala, GE=100; GCE=0.12; GIE=60.51 y GU=0.38 (para FPD+I)

El FLC supervisor se diseñó con los siguientes límites de variación de las ganancias del

controlador del primer nivel, para este caso: Kpmin=14.2; Kpmax=38.36; Kdmin=0.0355 y

Kdmax=0.0239




En la Figura 5.16 se presenta la respuesta temporal de los controladores difusos Paralelos

ante variaciones de la referencia. En la Tabla 5-11, se aprecia una mejora en el índice del

desempeño ITAE para el FLC-PID por αFunción del 54.7% y para el FLC Directo -

Supervisor FLC del 57.5%.




Controlador PID IMC FLC-PID αFunción FLC Dir - Sup FLC

IAE 48.75 19.68 18.5

ITAE 614 277.9 260.5

En la Figura 5.17 se presenta la repuesta temporal de los controladores difusos paralelos

al introducir una perturbación tipo paso en t = 15 s. La evaluación numérica de la respuesta

temporal e índices de desempeño se presenta en la Tabla 5-12.





PID-IMC 30 0.46 3.2 50.26 164.7 73.35 547.8

FLC-PID por αFunción 15.4 0.27 2.12 20.68 67.12 29.22 208.4

FLC Directo - Supervisor FLC 29.2 0.1 3.5 21.32 79.1 29.81 223.2

En la Tabla 5-12 se puede apreciar una degradación de los índices IAE e ITAE para los

controladores difusos Paralelos cuando se presenta la perturbación tipo paso.

Capítulo 5 87

5.5 Comparativo global

5.5.1 Tareas de seguimiento y regulación

En las figuras 5-18 y 5-19 se presenta la respuesta temporal de los controladores en tareas

de seguimiento de referencias para la planta No-lineal Parametrizada en la sección 5.1.1

Figura 5-18: Respuesta temporal de los FLC ante variaciones de la referencia en el punto

bajo de operación.


alto de operación.


Tabla 5-13: Desempeño en tareas de seguimiento

FLC Directos FLC Supervisorios FLC Paralelos

FPD+I MHPID FGS –

f(e, de)

FGS –

f(y, r)

FLC-PID

αFunción

FLC Dir -

Sup FLC

IAE 1.15 3.22 1.05 3.44 1.22 0.954

ITAE 196.9 572.4 245.5 614 205.2 170.3

A continuación, se presenta un cuadro comparativo de los índices de error para cada

arquitectura difusa cuando se realizan tareas de regulación (rechazo de perturbaciones)

Tabla 5-14: Desempeño en tareas de regulación (Planta No-Lineal sección 5.1.1)


FPD+I MHPID FGS –

f(e, de)

FGS –

f(y, r)

FLC-PID

αFunción

FLC Dir -

Sup FLC

IAE 0.41 1.22 0.15 2.15 0.52 0.36

ITAE 0.80 3.82 0.28 29.3 1.06 0.52


Capítulo 5 89

En las figuras 5-21 y 5-22 se presenta la respuesta temporal de los controladores en tareas

de seguimiento de referencias para el sistema No-lineal parametrizado en la sección 5.1.2


bajo de operación.


alto de operación.



arquitectura difusa cuando se realiza tareas de seguimiento y se presentan cambios en los

puntos de operación el sistema No-Lineal parametrizada en la sección 5.1.2

Tabla 5-15: Desempeño en tareas de seguimiento


FPD+I MHPID FGS –

f(e, de)

FGS –

f(y, r)

FLC-PID

αFunción

FLC Dir -

Sup FLC

IAE 18.74 16.29 10.82 35.24 19.68 18.5

ITAE 247.8 184.6 247.4 562.7 277.9 260.5



arquitectura difusa cuando se realizan tareas de regulación (rechazo de perturbaciones)

en la planta No-Lineal parametrizada en la sección 5.1.2:

Capítulo 5 91

Tabla 5-16: Desempeño en tareas de regulación (Sistema No-Lineal sección 5.1.2)


FPD+I MHPID FGS –

f(e, de)

FGS –

f(y, r)

FLC-PID

αFunción

FLC Dir -

Sup FLC

IAE 26.79 22.35 12.36 50.58 29.22 29.81

ITAE 196.2 196.9 70.24 388.2 208.4 223.2

5.5.2 Esfuerzo del diseñador (Requisitos de implementación)

A continuación, se realiza un cuadro comparativo sobre la información necesaria que debe proporcionar con el fin de poder realizar la

implementación de cualquier controlador difuso tratado en las secciones anteriores:

Requisitos FLC Directos FLC Supervisorios FLC Paralelos

FPD+I MHPID FGS – f(e, de) FGS – f(y, r) FLC-PID

αFunción

FLC Dir - Sup

FLC

Consideraciones

Iniciales

Modelos del

sistema a

controlar

[2] En puntos de

operación

superior e inferior

[2] En puntos de

operación

superior e inferior

[2] En puntos de

operación

superior e inferior

Varios Modelos [2] En puntos de

operación

superior e inferior

[2] En puntos de

operación superior

e inferior

Requiere en el

lazo de control de

un PID

convencional

NO

NO

SI

SI

SI

NO

Para iniciar la

sintonización se

requiere de alguna

arquitectura

especifica de un

controlador PID

Se inicia con el

que se encuentra

en operación

Se inicia con el

que se encuentra

en operación

Conveniencia de

iniciar con un

controlador PID

IMC

Requiere de los

parámetros de un

controlador PID

IMC

Se inicia con el

que se encuentra

en operación

Requiere de los

parámetros de un

controlador PID

IMC

Tiempo de

ejecución de la

arquitectura de

control (Planta

5.1.1) *

BAJO

15 seg

BAJO

11 seg

ALTO

2 min 12 seg

BAJO

14 seg

BAJO

16 seg

ALTO

2 min 21 seg


Las pruebas se

ejecutan en un

procesador

Pentium Dual

[email protected] GHz

con 6GB de

memoria RAM

Consideraciones

estructurales

Numero de

Funciones de

pertenencia (MFs)

para las Entradas

3

2

7

Depende de los

modelos

Depende del FLC

directo

Depende del FLC

directo y el

Supervisor Difuso

Numero de

Funciones de

pertenencia (MFs)

para la salida

5 ------- 2 Depende de los

modelos

Depende del FLC

directo

Depende del FLC

directo y el

Supervisor Difuso

Inferencia Producto Producto Producto Producto Producto Producto

Base de reglas Mamdani Takagi-Sugeno Mamdani Mamdani Depende del FLC

directo

Depende del FLC

directo y el

Supervisor Difuso

Defuzificacion COG Suma Ponderada Propietaria COG Depende del FLC

directo

Depende del FLC

directo y el

Supervisor Difuso

Normalización SI SI SI NO SI SI

Numero de

sistemas difusos

en la arquitectura

de control

1

1

3

2

1

Depende del FLC

directo y el

Supervisor Difuso

6. Conclusiones y Trabajo futuro

Los controladores difusos constituyen una alternativa de solución, particularmente en

procesos industriales que tengan cambios en puntos de operación que evidencien un

comportamiento dinámico no lineal, presentando degradación del desempeño en la

respuesta del sistema, razón por la cual existe un alto interés en el control de estos

procesos con el fin de alcanzar un rendimiento satisfactorio. En este capítulo se presentan

las conclusiones generales del trabajo y se establece las perspectivas futuras.

6.1 Conclusiones

El desarrollo del presente proyecto consistía en el establecimiento de una metodología de

diseño e implementación de sistemas de control PID difusos a partir de la caracterización

de las técnicas de control difuso directo, supervisor difuso y paralelo a partir de un

comparativo orientado a procesos continuos de entorno industrial.

Para la consecución de este objetivo se generó unas etapas mínimas para el diseño e

implementación de un controlador difuso, estas son: normalización de las entradas y salida

(solo se consideraron sistemas SISO), identificación y modelamiento del proceso, cálculo

de ganancias difusas y sintonización fina del FLC.

A nivel de simulación se implementó un modelo matemático No-Lineal y se consideró un

reactor CSTR, realizando la construcción de cada una de las arquitecturas de los

controladores difusos considerados, ajustando sus respectivos parámetros como

universos de discurso, ubicación y forma de las funciones de pertenencia, mecanismos de

inferencia, bases de reglas y tipo de defuzificacion, para desarrollar un comparativo de

desempeño frente a tareas de seguimiento y regulación. Las metodologías que se

proponen en este documento, se establecieron mediante la exploración de múltiples

técnicas, análisis paramétricos y comparativos buscado un equilibrio entre facilidad de

implementación, reducir pruebas de ensayo y error en la sintonización de los controladores


difusos, tiempo de desarrollo y de requerir de un mínimo conocimiento por parte del

personal técnico que realiza la sintonización de los controladores asociando la variación

de ganancias de un controlador convencional con la variación de factores de escala en los

controladores difusos.

Después de realizar la implementación de los algoritmos correspondientes a cada una de

las técnicas de control difuso definidas, es decir FLC directo, FLC Supervisado y FLC

Paralelo, y de haber realizado pruebas con el fin de evaluar el desempeño de las mismas

ante diferentes aspectos se concluye lo siguiente:

Cada una de las técnicas descritas en este documento fueron implementadas utilizando

lenguaje grafico para la construcción de las arquitecturas de control (simulink), y se utilizó

la herramienta Fuzzy Logic Toolbox para generar de los sistemas difusos, permitiendo gran

flexibilidad a la hora de manipular los parámetros en simulación, se encontró que la técnica

FGS – f(e, de) represento mayor dificultad con respecto a construcción que de las otras

técnicas debido a la falta de documentación para generar las funciones de pertenencia de

salida y el método de defuzificacion, por lo que fue necesario generarlas mediante

funciones personalizadas lo que implica un mayor gasto computacional.

En cuanto a la arquitectura, es posible concluir que las técnicas FPD+I, MHPID, FGS – f(e,

de), FLC-PID por αSupervisión y FLC Directo - Supervisor FLC requieren menos

intervención por parte del diseñador en la afinación de parámetros. Mientras que FGS –

f(y, r) requieren de una intervención más exhaustiva por parte del diseñador ya que se

deben realizar varias pruebas en simulación o en el proceso para que el rendimiento de

control sea aceptable (establecer el número adecuado de modelos).

En general, las tres técnicas presentan un mejor desempeño comparativamente con un

PID convencional, tanto en tareas de seguimiento a referencias cuando se opera en

diferentes puntos de operación o en tareas de regulación (rechazo a perturbaciones). Pero

para que se brinden estos resultados es estrictamente necesario realizar normalización de

las entradas y/o salidas para todas las técnicas exceptuando el supervisor difuso FGS –

f(y, r).

Dependiendo de la naturaleza del proceso a controlar es decir si permite presencia de

ligeros sobre–impulsos se sugiere al diseñador utilizar un controlador difuso directo FPD+I

Conclusiones 97

debido a la baja complejidad de implementación y a sus buenos índices en tareas de

seguimiento y regulación. Si se desea alcanzar la referencia en el menor tiempo posible y

tener menor porcentaje de sobre-impulso se sugiere implementar un controlador FGS-f(e,

de) pero esto involucra un gasto computacional mayor, si no se tiene estas limitantes se

sugiere implementar un FLC Dir – Sup FLC el cual reúne las características anteriores.

Si la naturaleza del proceso a controlar no permite presencia de sobre–impulsos por

ejemplo en aplicaciones de precisión como sistemas robóticos, se sugiere al diseñador

utilizar un controlador difuso directo MHPID debido a que su respuesta se aproxima a una

respuesta temporal de primer orden. La arquitectura supervisor difuso FGS-f(y, r), también

presenta una respuesta suave pero esta técnica involucra pruebas en simulación y/o

proceso para obtener un desempeño aceptable, adicionalmente al usar como variable de

scheduling la señal de salida (y) no proporciona la suficiente información al controlador

difuso para realizar el rechazo de perturbaciones de una mejor manera aun cuando se

realiza un ajuste en los factores de peso en la salida de los sistemas difusos.

Los controladores difusos que utilizan como entradas la información del error y su primera

derivada, presentan un mejor comportamiento en tareas de regulación al rechazar

perturbaciones, debido a que por medio de la inferencia difusa en función de estas

entradas genera una acción correctiva inmediata y de mayor proporción.

Los controladores difusos diseñados, a partir de las metodologías propuestas presentan

un buen desempeño ante tareas de seguimiento de referencias y rechazo de

perturbaciones, presentando índices de error (IAE e ITAE) bajos, por lo cual las

metodologías son suficientes. En caso de requerirse una mejora en la respuesta del

desempeño temporal, frente problemas típicos en entornos industriales, es posible agregar

módulos adicionales en las respectivas arquitecturas para este fin, debido a que los

controladores difusos en cumplen con los requerimientos mínimos de operación.


6.2 Trabajo futuro

Con el desarrollo del presente trabajo, han surgido varios posibles trabajos de investigación

para el futuro. Algunos de estos son:

Realizar la implementación de los controladores difusos propuestos sobre

productos comerciales del ámbito industrial, como por ejemplo los PAC de Rockwell

utilizando herramientas como FuzzyDesigner with RSLogix 5000 Software, lo que

permitiría analizar el comportamiento de los controladores diseñados en

aplicaciones prácticas.

Realizar un análisis de estabilidad de las arquitecturas propuestas.

Realizar un análisis cuando se realiza variación de los parámetros en los sistemas

a controlar, con el fin de validar cual método presenta el mejor comportamiento en

este ítem.

Para la técnica FGS – f(e, de) se propone explorar funciones de pertenencia de tipo

triangular para las salidas y defuzificacion COG con el fin de reducir el costo

computacional a la hora de la implementación.

Para la técnica FGS – f(y, r) se propone explorar el ajuste de los modelos en función

de las ganancias estáticas del sistema en los diferentes puntos de operación con

el fin de mejorar el desempeño temporal de esta arquitectura.

Para la técnica FLC-PID por αSupervisión y FLC Directo - Supervisor FLC se

propone explorar si se puede lograr un mejor rendimiento temporal al variar la

ubicación de las funciones de pertenencia de salida (singleton) del selector difuso.

A. Anexo: Control PID

Los sistemas de control implementados en procesos continuos tienen como objetivo

realizar tareas de seguimiento de referencias, es decir que las salidas del proceso imiten

el comportamiento del valor deseado o punto de consigna (control de seguimiento).

Adicionalmente el sistema de control debe estar en la capacidad de rechazar

perturbaciones sobre las salidas o las entradas del proceso, esto significa que la variable

controlada debe permanecer en el punto de control que le indique la variable de referencia

(control regulatorio). Para la selección de los puntos de consigna de las variables análogas

y el punto de operación óptimo se debe tener en cuenta las limitaciones físicas de la planta

y/o proceso, mientras que el rechazo a perturbaciones asegura robustez al sistema; con la

correcta elección y sintonización del controlador, mejoraría el desempeño en el proceso

obteniéndose beneficios económicos haciendo referencia a índices de productividad,

eficacia y eficiencia.

Los componentes de un sistema típico de control de procesos son:

Sensor / Transmisor.

Controlador.

Elemento Final de Control o Actuador.

Planta / Proceso.

Mediante el actuador, el controlador es capaz de mantener una variable o proceso en un

punto de operación deseado el cual se encuentra en el rango de medición del sensor. En

el bloque del controlador, se realiza la comparación de la señal proveniente del

sensor/transmisor (variable del proceso) y el valor o comportamiento deseado.

10

0



Figura 6-1: Arquitectura típica de un sistema de control. Tomado de (Smith & Corripio,

2004)

Para realizar el diseño del controlador utilizando métodos convencionales es indispensable

obtener el modelo aproximado de la Planta, además se requiere establecer criterios del

comportamiento en lazo cerrado en el dominio del tiempo o en el dominio de la frecuencia.

Mediante el ajuste de la respuesta transitoria (fijando, por ejemplo, el tiempo de

establecimiento y el porcentaje de sobre-impulso) y la respuesta estática (reducción del

error en estado estacionario) se obtiene la ley de control.

En el entorno industrial, habitualmente no se dispone de una representación matemática

rigurosa que describa el comportamiento de la Planta, esto debido a que involucra un

estudio del proceso, el cual puede llegar a ser costoso, difícil de obtener si hay una gran

cantidad de parámetros y requiere de mucho tiempo para su validación. Por facilidad se

utilizan métodos de identificación, que permiten aproximar el comportamiento de la Planta

por medio de modelos matemáticos relativamente simples, estos métodos empíricos han

demostrado ser una buena herramienta en el modelamiento de sistemas y se siguen

utilizando en la actualidad. Las aproximaciones obtenidas son modelos de primer y

segundo orden más tiempo muerto.

Sistemas de primer orden más tiempo muerto:

Se pueden extraer las características del proceso (Planta) mediante el cálculo de los

siguientes parámetros:

𝜏 : Constante de tiempo, es la relación de la velocidad de respuesta del proceso; mientras

más lenta es la respuesta del proceso a una entrada, más grande es el valor de 𝜏 y

viceversa. Para 𝜏 se utilizan unidades de tiempo.

Anexo A. Control PID 101

𝐾 : Ganancia del proceso. Indica cuánto cambia la variable de salida en función del cambio

de la variable de entrada (Smith & Corripio, 2004). Se define como:

𝐾 = ∆ 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎

∆ 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 =

∆𝑦

∆𝑢 =

𝑦𝑓−𝑦𝑖

𝑢𝑓−𝑢𝑖 (6.1)

𝑡0 : Tiempo muerto. Es el intervalo de tiempo entre el momento en que se excita al proceso

y éste empieza a responder.

La función de transferencia relaciona los parámetros del proceso en un modelo de primer

orden más tiempo muerto (FOLPDT):

𝐺𝑝(𝑠) = 𝐾∗𝑒−𝑡0𝑠

𝜏𝑠+1 (6.2)

Sistemas de segundo orden más tiempo muerto

Se pueden extraer las características del proceso (Planta) mediante el cálculo de los

siguientes parámetros:

ζ: Coeficiente de amortiguamiento. Produce diferentes respuestas temporales que

dependen de la naturaleza de las raíces, se generan los siguientes casos:

1. ζ > 1; caso sobreamortiguado

2. ζ = 1; caso críticamente amortiguado.

3. 0 < ζ < 1; caso subamortiguado.

4. ζ = 0; caso no amortiguado.

La respuesta típica de aplicación en entornos industriales ocurre cuando ζ se encuentra

entre 0 y 1, es decir que sus polos son complejos conjugados. Con el objetivo de obtener

la representación matemática de este comportamiento es necesario calcular:

𝑡𝑟. Tiempo de subida: Es el tiempo que se demora la respuesta del sistema en alcanzar el

valor final por primera vez.

𝑡𝑝. Tiempo pico: Es el tiempo en el cual la respuesta del sistema alcanza el primer máximo.

𝑃𝑂. Porcentaje de sobrepico: Es la cantidad excedente de la respuesta del sistema con

respecto al valor final o de estado estacionario, expresada en porcentaje.

10

2



𝑡𝑠. Tiempo de establecimiento: Es el tiempo necesario para que la respuesta del sistema

alcance un rango y permanezca en él, dependiendo del autor puede estar entre 2% y 5%

del régimen estacionario.

Figura 6-2: Parámetros del comportamiento de sistemas de segundo orden. Tomado

de (Copyright 2008 Pearson Prentice Hall, Inc)

Las ecuaciones que permiten modelar el sistema a partir de los parámetros descritos

anteriormente son:

𝜔𝑛 = 𝜋

𝑇𝑝√(1−𝜁2)

(6.3)

Donde 𝜔𝑛 es la frecuencia natural no amortiguada, corresponde a la frecuencia que

oscilaría el sistema si no hubiera amortiguación.

𝜁 = 1

√(𝜋2

[ln(𝑃𝑂%100

)]2+1)

(6.4)

La función de transferencia que relaciona los parámetros en un modelo de segundo

orden es:

𝐺(𝑠) = 𝐾𝜔𝑛

2∗𝑒−𝑇0∗𝑠

𝑠2+2𝜁𝜔𝑛𝑠+𝜔𝑛2 (2.5)

El polinomio del denominador se denomina polinomio característico cuyas raíces son los

polos de la función de transferencia, estos pueden ser reales o complejos conjugados. Los


parámetros como la ganancia estática 𝐾 y el tiempo muerto 𝑡0 se calculan como en los

sistemas de primer orden.

6.3 Caracterización de los modelos

Los métodos de identificación utilizados para la caracterización de los procesos se pueden

clasificar según la forma de aplicar el procedimiento:

Métodos que utilizan la curva de reacción del proceso.

Métodos que utilizan la información de ciclo último.

6.3.1 Métodos que utilizan la curva de reacción del proceso

Los métodos que se basan en la curva de reacción son técnicas en lazo abierto que

permiten extraer los parámetros del proceso para ser modelados, el comportamiento

característico que se observa a la salida del proceso es en forma de S. El procedimiento

que se aplica es el siguiente:

1. Poner el instrumento controlador del proceso en modo manual (Lazo abierto).

2. Se aplica un cambio de tipo escalón a la entrada el proceso, es decir a la salida

del instrumento controlador.

3. Mediante instrumentos registradores se deben almacenar la información de los

cambios tanto en la entrada como en la salida del proceso hasta que el sistema

alcance el estado estable.

A continuación, se indican algunos métodos basados en la curva de reacción del proceso.

Método de la tangente de Ziegler y Nichols

El método de la tangente propuesto por Ziegler y Nichols (Ziegler,& Nichols 1942) permite

aproximar la respuesta de un proceso a un modelo FOLPDT; para obtener los parámetros

del modelo es necesario trazar una recta tangente a la curva de reacción del proceso en

el punto de máxima pendiente (punto de inflexión).

10

4



Figura 6-3: Método de la tangente de Ziegler y Nichols. Elaboración propia

Método de la tangente Miller

Con este método también se obtiene una aproximación del proceso a un modelo FOLPDT

(Miller, 1967); el autor propone una modificación a la técnica propuesta por Ziegler y

Nichols en la estimación de la constante de tiempo 𝜏. El cálculo de esta constante se

efectúa como la resta del valor que se proyecta en el eje tiempo cuando se alcanza el

63.2% del valor final de la salida del proceso (estado estable), menos el valor en el eje del

tiempo cuando la recta tangente lo traspasa.

Figura 6-4: Método de la tangente de Miller. Elaboración propia


Método de Smith

Es la primera técnica propuesta que no requiere que se trace la recta tangente en el punto

de inflexión; el autor propone (Smith, 1972) la selección de dos puntos en la curva de

reacción del proceso para hallar 𝜏 y 𝑡0, para esto se construye dos ecuaciones con dos

incógnitas seleccionando dos puntos en la curva de reacción. Smith propuso que estos

puntos fueran el 28.3% y 63.2% del valor final del proceso. Las ecuaciones son:

𝑡1 = 𝑡0 + 𝜏 (6.6)

𝑡2 = 𝑡0 + 𝜏

3 (6.7)

𝜏 = 3

2(𝑡2 − 𝑡1) (6.8)

𝑡0 = 𝑡2 − 𝜏 (6.9)

Figura 6-5: Método de Smith. Elaboración propia

Método de Alfaro

El autor propone a diferencia de Smith escoger como puntos en la curva de reacción

cuando se alcance el 25% y el 75% del valor final del proceso, para hallar 𝜏 y 𝑡0 se utilizan

las siguientes ecuaciones:

𝜏 = 0.9102 ∗ (𝑡2 − 𝑡1) (6.10)

𝑡0 = 1.262 ∗ 𝑡1 − 0.262 ∗ 𝑡2 (6.11)

10

6



Figura 6-6: Método de Alfaro. Elaboración propia

6.3.2 Métodos que utilizan la información de ciclo último

Estos métodos requieren que el instrumento controlador esté presente en el lazo para la

obtención de los parámetros, por ende, ese tipo de técnicas también se conocen como

métodos de identificación en lazo cerrado. Para ello es necesario hallar los siguientes

valores:

Ganancia última 𝐾𝑢: Es la información que corresponde al valor de la ganancia

proporcional que lleva al sistema a una oscilación mantenida; es necesario configurar en

el instrumento controlador las ganancias 𝑘𝑑 y 𝑘𝑖 iguales a cero

Periodo de oscilación última 𝑇𝑢: Esta información corresponde al periodo de oscilación

mantenida.

Método de Ziegler y Nichols en lazo cerrado

Consiste en hallar los valores de ganancia última y el periodo de oscilación último, se inicia

variando la ganancia proporcional hasta alcanzar una oscilación sostenida, es decir que la

oscilación no aumente ni disminuya en su valor de salida conforme transcurre el tiempo.

6.3.3 Índice de desempeño

Para establecer una métrica de medición en la identificación de procesos, en este trabajo

se utilizó el índice de la Integral del valor absoluto del error de predicción (IAEP) propuesto


en (Murillo 2004). Este índice permite realizar la comparación mediante la sustracción entre

la salida de la planta (𝑦𝑝) y la salida pronosticada por el modelo (𝑦𝑚).

𝐼𝐴𝐸𝑃 = ∫|𝑦𝑝 − 𝑦𝑚| 𝑑𝑡 (6.12)

Si el IAEP se acerca a cero, significa que la salida de la planta se acerca a la salida del

modelo.

Selección de la Planta

Con el fin de validar cuál puede ser el mejor método al momento de realizar la identificación

de los procesos, se propone la siguiente planta en la cual se puede realizar un barrido de

la relación 𝑡𝑜

𝜏, lo que implica una variación del orden del sistema.

𝐺𝑝(𝑠) =𝐾

((𝜏𝑠+1)(𝛼𝜏𝑠+1)𝑛) (6.13)

La parametrización de la planta se realizó con los siguientes valores:

𝐾 = 0.5; 𝜏 = 10; 𝛼 = 0.01, 0.05, 0.1, 0.3 𝑦 0.5; 𝑛 = 1 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 12

La familia de curvas obtenidas con una entrada escalón unitario variando 𝛼 y 𝑛 son:

Figura 6-7: Familia de curvas para 𝐺𝑝(𝑠). Elaboración propia

De esta familia de curvas se seleccionaron 5 curvas representativas a ser modeladas

10

8



Figura 6-8: Curvas representativas. Elaboración propia

En la siguiente tabla, se expone los valores de los parámetros que representan los modelos

obtenidos por los diferentes métodos de identificación presentados anteriormente:

Tabla 6-1: Parámetros de los modelos

Método

Parámetros

𝑛 = 2, 𝛼 = 0.1

Parámetros

𝑛 = 3, 𝛼 = 0.2

Parámetros

𝑛 = 6, 𝛼 = 0.3

Parámetros

𝑛 = 9, 𝛼 = 0.4

Parámetros

𝑛 = 12, 𝛼 = 0.5

𝐾 𝜏 𝑡0 𝐾 𝜏 𝑡0 𝐾 𝜏 𝑡0 𝐾 𝜏 𝑡0 𝐾 𝜏 𝑡0

Z-N 0.5 16.5 0.68 0.5 18.9 4.09 0.5 28.4 11.6 0.5 37.5 25.7 0.5 48.4 43.9

Miller 0.5 11.4 0.68 0.5 12.5 4.09 0.5 18.2 11.6 0.5 23.4 25.7 0.5 31 43.9

Smith 0.5 10 2.05 0.5 11.2 5.39 0.5 14.5 15.2 0.5 19.6 29.4 0.5 26.2 48.6

Alfaro 0.5 10 1.99 0.5 10.9 5.45 0.5 13.7 15.2 0.5 18.3 29.6 0.5 24.1 48.6

En la Tabla 6-2, se expone los valores de IAEP para medir la aproximación del modelo con

la respuesta del sistema, el IAEP se calculó mediante el software Simulink de Matlab para

cada uno de los cinco modelos.


Tabla 6-2: Calculo del IAEP para cada método.

Método

Parámetros

𝑛 = 2,

𝛼 = 0.1

Parámetros

𝑛 = 3,

𝛼 = 0.2

Parámetros

𝑛 = 6,

𝛼 = 0.3

Parámetros

𝑛 = 9,

𝛼 = 0.4

Parámetros

𝑛 = 12,

𝛼 = 0.5

Z-N 2.648 3.5 6.001 8.597 11.11

Miller 0.467 0.6596 1.872 2.571 3.666

Smith 0.055 0.3569 1.025 1.8 2.735

Alfaro 0.053 0.3007 0.8636 1.553 2.29

De la Tabla 6-2 se puede concluir que el mejor desempeño en la identificación de sistemas

con curvas de reacción parecidas a un primer orden más tiempo muerto lo exhibe el método

de Alfaro, mientras que el método de Ziegler y Nichols manifiesta el desempeño más pobre.

6.4 Modos PID

El controlador PID surge de la combinación de las acciones de control proporcional, integral

y derivativo beneficiándose de las características de cada una. El cálculo de la acción de

control de los controladores por retroalimentación se basa en el error, definiendo éste como

la diferencia entre el valor deseado (set point) y la salida del sistema. De esta manera,

intenta resolver el problema de control de muchas aplicaciones en la industria,

particularmente cuando los procesos pueden ser descritos por dinámicas de primer y

segundo orden.

El modo proporcional actúa proporcional a la magnitud del error, el modo integral conlleva

a la eliminación del error de estado estacionario en procesos autorregulados cuando la

señal de referencia es de tipo escalón unitario (tipo posición) y el modo derivativo ayuda a

obtener una mayor velocidad de respuesta en lazo cerrado (si la señal de error no tiene

ruido), el modo derivativo sólo actúa en el estado transitorio.

11

0



6.5 Sintonía de controladores PID

Para estos tipos de controladores se han propuesto diferentes arquitecturas y métodos de

ajuste (sintonía) de sus parámetros (O’Dwyer, 2003) abarcando enfoques analíticos y

empíricos. Para estos últimos se encuentran técnicas como las basadas en modelo, en

donde se proponen reglas de sintonía que relacionan los parámetros del controlador, es

decir hallar los valores de 𝐾𝑐, 𝑇𝑖 y 𝑇𝑑, en función de los parámetros del modelo del proceso

de forma directa, permitiendo un ajuste sistemático, el primer trabajo bajo esta perspectiva

fue presentado por (Ziegler & Nichols 1942).

Se limitará el análisis de los métodos de sintonización y los resultados de la comparación,

a los controladores PID que realizan tareas de seguimiento, arquitectura ideal y utilizan un

modelo del proceso. Entonces algunos de estos métodos de sintonización utilizados a nivel

industrial son:

Métodos que utilizan la información de la curva de reacción del proceso

Métodos que utilizan el mínimo índice de desempeño

Métodos que utilizan la información de ciclo ultimo

IMC

6.5.1 Métodos que utilizan la información de la curva de reacción

del proceso.

Para la sintonización del controlador PID, estos métodos utilizan la información de la

identificación del modelo generalmente aproximado a FOLPDT:

Método de Ziegler y Nichols

Esta metodología fue propuesta en el año 1942, las ecuaciones obtenidas

experimentalmente buscan que la respuesta del sistema en lazo cerrado ante una entrada

escalón tuviera un decaimiento del segundo sobre-impulso de ¼ con relación al primer

sobre-impulso. Las ecuaciones de sintonización son:

𝐾𝑐 = 1.2 ∗𝜏

𝐾∗𝑡0 (6.21)

𝑇𝑖 = 2 ∗ 𝑡0 (6.22)


𝑇𝑑 = 0.5 ∗ 𝑡0 (6.23)

Método de Liptak

Este método de sintonización fue publicado en el año 2001, las ecuaciones son:

𝐾𝑐 = 0.85 ∗𝜏

𝐾∗𝑡0 (6.24)

𝑇𝑖 = 1.6 ∗ 𝑡0 (6.25)

𝑇𝑑 = 0.6 ∗ 𝑡0 (6.26)

6.5.2 Métodos que utilizan el mínimo índice de desempeño.

La sintonización de los controladores se puede realizar en función del comportamiento del

error, de esta manera se busca minimizarlo por el ajuste de los parámetros PID, por medio

de las siguientes integrales:

𝐼𝑆𝐸 = ∫ 𝑒(𝑡)2𝑑𝑡∞

0 : Integral del error cuadrático. (6.27)

𝐼𝐴𝐸 = ∫ |𝑒(𝑡)|𝑑𝑡∞

0 : Integral del error absoluto. (6.28)

𝐼𝑇𝐴𝐸 = ∫ 𝑡 ∗ |𝑒(𝑡)|𝑑𝑡∞

0 : Integral del error absoluto por el tiempo. (6.29)

Los criterios que usan solo el error tienen como objetivo minimizar el máximo sobre impulsó

y el error en estado estacionario, mientras que los criterios que usan el tiempo y el error

tienen como objetivo que la repuesta del sistema sea la más rápida a pesar de un sobre

impulsó más grande. Algunos métodos seleccionados son:

Método de Alfaro

Este método de sintonización fue publicado en el año 2003, utiliza como criterio de

desempeño mínimo IAE las ecuaciones son:

𝐾𝑐 =1

𝐾(0.3295 + 0.7182 (

𝑡0

𝜏)−0.9971

) (6.30)

𝑇𝑖 = 𝜏 (0.9781 + 0.3723 (𝑡0

𝜏)0.8456

) (6.31)

𝑇𝑑 = 𝜏 ∗ 0.3416 (𝑡0

𝜏)0.9414

(6.32)

11

2



Método de Smith

Este método de sintonización fue publicado en el año 2003, utiliza como criterio de

desempeño mínimo ITAE las ecuaciones son:

𝐾𝑐 =0.965

𝐾(𝜏

𝑡0)0.855

(6.33)

𝑇𝑖 = 1.26 ∗ 𝜏 (6.34)

𝑇𝑑 = 0.308 ∗ 𝜏 (6.35)

6.5.3 Métodos que utilizan la información de ciclo ultimo

Estos métodos utilizan los parámetros 𝐾𝑢 y 𝑇𝑢 para realizar la sintonización del controlador.

Método de Ziegler y Nichols


𝐾𝑐 = 0.6 ∗ 𝐾𝑢 (6.33)

𝑇𝑖 = 0.5 ∗ 𝑇𝑢 (6.34)

𝑇𝑑 = 0.125 ∗ 𝑇𝑢 (6.35)

Método de Corripio


𝐾𝑐 = 0.75 ∗ 𝐾𝑢 (6.33)

𝑇𝑖 = 0.63 ∗ 𝑇𝑢 (6.34)

𝑇𝑑 = 0.1 ∗ 𝑇𝑢 (6.35)

6.5.4 Control de Modelo Interno

El controlador obtenido por el método de control de modelo interno o IMC, se compone de

tres funciones de transferencia, estas son: la del modelo, la inversa del modelo y un filtro

pasabajos, el filtro IMC se usa para hacer que el controlador sea realizable. (Morari &

Zafiriou 1989). Las ecuaciones de sintonización para modelos FOLPDT son:


𝐾𝑐 =(𝜏+0.5𝑡0)

𝐾(𝜆+0.5𝑡0) (6.36)

𝑇𝑖 = 𝜏 + 0.5𝑡0 (6.37)

𝑇𝑑 =𝜏∗𝑡0

2𝜏+𝑡0 (6.38)

Para la elección del valor de la contante del filtro IMC se recomienda que este sea λ >

0.8𝑡0

Para sistemas que exhiban un comportamiento dinámico de segundo orden las ecuaciones

que se proponen para realizar la sintonización del controlador basado en este modelo son:

𝐾𝑐 =2𝜁

𝜆𝐾𝜔𝑛 (6.39)

𝑇𝑖 =2𝜁

𝜔𝑛 (6.40)

𝑇𝑑 =1

2𝜁𝜔𝑛 (6.41)

6.6 Comparativo de controladores PID lineales

Para establecer una métrica de comparación para los métodos de sintonización de los

controladores PID lineales vistos anteriormente, en este trabajo se utilizó como índices de

medición la Integral del error absoluto (IAE) y la Integral del error absoluto por el tiempo

(ITAE). Para este caso estos índices miden el desempeño del sistema en lazo cerrado,

calculando el área entre la curva de la respuesta del sistema y el escalón de entrada. Las

pruebas de desempeño se realizaron a los cinco modelos representativos de la planta

expresada en la ecuación 6.13, se utilizaron los modelos identificados mediante el método

de Alfaro para la sintonización de los controladores.

En el siguiente cuadro, se expone los valores de los índices IAE e ITAE para cada uno de

los métodos de sintonización de los controladores PID lineales. El calculó de los índices

se realizó mediante el software Simulink de Matlab para cada uno de los cinco modelos.

11

4



Tabla 6-3: Cálculo del índice IAE para cada método.

Método to/tao = 0.19

(𝑛 = 2, 𝛼 = 0.1)

to/tao = 0.49

(𝑛 = 3, 𝛼 = 0.2)

to/tao = 1.10

(𝑛 = 6, 𝛼 = 0.3)

to/tao = 1.61

(𝑛 = 9, 𝛼 = 0.4)

to/tao = 2.01

(𝑛 = 12, 𝛼 = 0.5)

Z-N LA 4,746 10,44 28,17 79,45 163,6

LIPTAK 6,427 12,87 31,84 89,73 184,8

ALFARO 4,149 10,25 26,44 49,38 80,17

SMITH 6,422 10,88 28,21 57,41 97,74

Z-N CU 4,065 10,25 25,17 49,62 84,53

CORRIPIO 3,886 10,92 30,9 64,48 110,9

IMC 4,116 9,913 25,43 49,08 80,39

A continuación, se presenta la respuesta temporal de los controladores:

Figura 6-9: Respuesta temporal de los controladores de la planta con 𝑁 = 2,𝛼 = 0.1

Elaboración propia

(a)

(b)

Figura 6-10: Respuesta temporal de los controladores para la planta con 𝑁 = 12, 𝛼 =

0.5 Elaboración propia.

(a)

(b)


Figura 6-11: Valor del IAE para cada método. Elaboración propia

De la gráfica anterior se puede apreciar que el menor índice IAE los presentan los métodos

IMC y Alfaro, mientras que el mayor valor del índice los métodos Ziegler-Nichold en lazo

abierto y Liptak.

Tabla 6-4: Cálculo del índice ITAE para cada método.

Método to/tao = 0.19 to/tao = 0.49 to/tao = 1.10 to/tao = 1.61 to/tao = 2.01

Z-N LA 23,49 96,65 631 6484 2.885e+4

LIPTAK 48,44 163,5 679 7332 3.331e+4

ALFARO 18,34 81,55 464 1569 4130

SMITH 58,32 104,9 556,5 2446 7340

Z-N CU 16,83 91,58 495,1 2016 6193

CORRIPIO 17 126,2 1034 4854 1.508e+4

IMC 19,54 78,25 431 1660 4509

0

50

100

150

200

to/tao = 0.19 to/tao = 0.49 to/tao = 1.10 to/tao = 1.61 to/tao = 2.01

IAE

Z-N LA LIPTAK ALFARO SMITH Z-N CU CORRIPIO IMC

11

6



Figura 6-12: Valor del ITAE para cada método. Elaboración propia

De la gráfica anterior se puede apreciar que el menor índice ITAE los presentan los

métodos IMC y Alfaro, mientras que el mayor valor del índice los métodos Ziegler-Nichold

en lazo abierto y Liptak igual que en la figura de mérito para IAE.

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

Z-N LA LIPTAK ALFARO SMITH Z-N CU CORRIPIO IMC

ITAE

to/tao = 0.19 to/tao = 0.49 to/tao = 1.10 to/tao = 1.61 to/tao = 2.01

B. Anexo: Sintonización FGS – f(y, r)

A continuación, se describe una serie de pruebas con el fin de obtener una metodología

de sintonización sistemática para el controlador supervisado FGS – f(y, r):

El rango de variación del Set Point definido para este sistema no-lineal es de 0 a 1, por lo

tanto, los puntos de operación para este proceso que fueron seleccionados son: 0.2, 0.4,

0.6, 0.8 y 1. Se inicia obteniendo los sub-modelos lineales en los puntos de operación

mediante curva de reacción del proceso.

Figura 6-13: Curva de reacción del proceso No-Lineal

𝐺(𝑠)0.2 = 4.629 (𝑠2 + 0.691𝑠 + 1.12)⁄

𝐺(𝑠)0.4 = 1.025 (𝑠2 + 0.696𝑠 + 2.036)⁄

𝐺(𝑠)0.6 = 0.578 (𝑠2 + 0.701𝑠 + 2.945)⁄

𝐺(𝑠)0.8 = 0.398 (𝑠2 + 0.7133𝑠 + 3.797)⁄

𝐺(𝑠)1 = 0.312 (𝑠2 + 0.669𝑠 + 4.806)⁄

Luego se realizó la sintonización del controlador PID local mediante IMC, como punto de

partida se seleccionaron los modelos para los puntos de operación 0.2 y 1. Con los

11

8



parámetros del controlador PID local, se genera el supervisor difuso obteniendo la

distribución de las funciones de pertenencia en el universo de discurso para las variables

y y r.

Figura 6-14: (a) MF para y; (b) MF para r ; (c) Desempeño temporal (d) Variación de las

ganancias del controlador PID local.

(a)

(c)

(b)

(d)

En la Figura 6-14 se puede apreciar que la respuesta del sistema presenta Sobre-impulsos

en la región entre los puntos de operación 0.2 y 0.6, lo que indica que los parámetros del

controlador local están variando de forma agresiva, es necesario definir más puntos de

operación para contrarrestar las no-linealidades.

Figura 6-15: (a) MF para y; (b) MF para r ; (c) Desempeño temporal (d) Variación de las

ganancias del controlador PID local

(a)

(c)

Anexo B. Sintonización FGS – f(y, r) 119

(b)

(d)

En la Figura 6-15 se puede apreciar que la respuesta del sistema mejora en comparación

a la Figura 6-14 pero se presenta ligeros Sobre-impulsos por lo tanto se definen dos puntos

de operación adicionales:

Figura 6-16: a) MF para y; (b) MF para r ; (c) Desempeño temporal (d) Variación de las

ganancias del controlador PID local

(a)

(c)

(b)

(d)

Cuando la respuesta del sistema no se aproxima a una respuesta temporal de primer orden

o con un ligero sobre-impulso se produce inconvenientes en la respuesta transitoria debido

a que si el Sobre-impulso es muy grade el supervisor difuso empieza a interpolar con el

modelo del siguiente punto de operación:

12

0



Figura 6-17: (a) Respuesta temporal; (b) Variación de parámetros PID

(a)

(b)

Para realizar la sintonización de los factores de peso 𝑤𝑦 y 𝑤𝑟, se realizó pruebas de

rechazo a perturbaciones teniendo en cuenta que el número de modelos con el cual se

diseñó el supervisor difuso es de cinco, el cual exhibe la mejor respuesta en cuanto a

seguimiento de referencias. Se realizó el análisis introduciendo una perturbación tipo paso

de magnitud unitaria en t=50s y escogiendo como referencia 0.5:

Figura 6-18: Desempeño temporal para (a) Wy=1; Wr=0; (b) Wy=0.75; Wr=0.25; (c)

Wy=0.5; Wr=0.5; (d) Wy=0.25; Wr=0.75; (e) Wy=0; Wr=1;

(a)

(b)

(c)

(d)

Anexo B. Sintonización FGS – f(y, r) 121

(e)

Tabla 6-5 Índices de desempeño para las variaciones de Wy y Wr.

Wy=1; Wr=0 Wy=0.75; Wr=0.25 Wy=0.5; Wr=0.5 Wy=0.25; Wr=0.75 Wy=0; Wr=1

IAE 2.83 2.11 2.11 2.11 2.11

ITAE 49.44 38.62 41.46 43.59 45.31

En la Tabla 6-5, se puede observar que el mejor índice de desempeño en cuanto a rechazo

de perturbaciones se presenta con Wy=0.75 y Wr=0.25, cuando se da mayor ponderación

a la referencia se evidencia una ligera degradación en la respuesta transitoria.

Con el fin de validar si es posible lograr un mejor desempeño del supervisor difuso se

procedió a realizar un corrimiento de las MFs definidas en los cinco puntos de operación,

los nuevos puntos se seleccionaron para realizar un corrimiento de las MFs hacia la

derecha y hacia la izquierda y los parámetros del controlador local se obtuvieron a través

de interpolación lineal con los parámetros de los modelos vecinos al nuevo punto de

operación. Los factores de peso son Wy=0.75 y Wr=0.25.

Figura 6-19: Desempeño temporal (a) Corrimiento MFs hacia la derecha; (b) Corrimiento

MFs hacia la izquierda

(a)

12

2



(b)

Tabla 6-6 Índices de desempeño para corrimientos de las MFs

5 MFs centradas 5 MFs derecha 5 MFs izquierda

IAE 2.492 3.515 3.594

ITAE 311.1 665.7 724.5

De la tabla 6-6 se puede apreciar que al realizar corrimientos en la MFs no se obtiene una

mejora significativa en cuanto a tareas de seguimiento de referencias.

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Documents

Estudio comparativo de técnicas de control PID difuso