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Estudio completo de una función academia10lalinea.blogspot.com 1 ESTUDIO COMPLETO DE UNA FUNCIÓN 1. DOMINIO Son todos los valores de X para los que existe la función. Puede calcularse observando la función representada: () √ ) O a partir de la expresión de ésta, en cuyo caso depende del tipo de función que sea: - Función polinómica: el dominio es siempre todo R. () - Función racional: se iguala el denominador a cero, se despeja X y el dominio es todo R menos los valores obtenidos. () {} - Función irracional de índice impar: el dominio es el dominio del radicando, como si la raíz no estuviera. () - Función irracional de índice par: se coloca el radicando mayor o igual a cero y se resuelve la inecuación. El dominio es el resultado de ésta. () ( ] ) - Función logarítmica: se coloca el argumento mayor a cero y se resuelve la inecuación. El dominio es el resultado de ésta. () ( ) ( ) ( ) - Función exponencial: el dominio es el dominio del exponente, como si la base no estuviera. () - Función trigonométrica: en las funciones seno y coseno, el dominio es el dominio de la parte de dentro de éstos. En la función tangente, hay que igualar la parte de dentro a π/2 para calcular los puntos que no entran en el dominio. () ( ) () ( ) () ( ) { }

Estudio Completo de Una Función

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Sobre funciones matemáticas

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ESTUDIO COMPLETO DE UNA FUNCIÓN 1. DOMINIO

Son todos los valores de X para los que existe la función. Puede calcularse observando la función representada:

( ) √ )

O a partir de la expresión de ésta, en cuyo caso depende del tipo de función que sea: - Función polinómica: el dominio es siempre todo R.

( ) - Función racional: se iguala el denominador a cero, se despeja X y el dominio es todo R menos los

valores obtenidos.

( )

{ }

- Función irracional de índice impar: el dominio es el dominio del radicando, como si la raíz no

estuviera.

( ) √

- Función irracional de índice par: se coloca el radicando mayor o igual a cero y se resuelve la

inecuación. El dominio es el resultado de ésta.

( ) √ ( ] )

- Función logarítmica: se coloca el argumento mayor a cero y se resuelve la inecuación. El dominio es

el resultado de ésta.

( ) ( ) ( ) ( )

- Función exponencial: el dominio es el dominio del exponente, como si la base no estuviera.

( ) - Función trigonométrica: en las funciones seno y coseno, el dominio es el dominio de la parte de

dentro de éstos. En la función tangente, hay que igualar la parte de dentro a π/2 para calcular los puntos que no entran en el dominio.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

{

}

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2. IMAGEN O RECORRIDO Son todos los valores de Y para los que existe la función y es mejor calcularla una vez representada la función. Ejemplo:

( ) )

3. PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES - Puntos de corte con el eje OX: se iguala la función a cero y se resuelve hasta obtener los puntos de

corte. Ejemplo:

( ) ( ) ( ) - Puntos de corte con el eje OY: se iguala x = 0 y se resuelve hasta obtener los puntos de corte.

Ejemplo:

( ) ( ) 4. SIMETRÍA - Hay tres posibles casos de simetría:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

5. PERIODICIDAD Una función es periódica cuando se repite indefinidamente un mismo trozo. En caso de presentar periodicidad hay que indicar el periodo T, que es la amplitud del intervalo que abarca cada trozo repetido. Suele ocurrir con las funciones trigonométricas como por ejemplo:

( ) ( )

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6. ASÍNTOTAS Hay tres tipos de asíntotas: horizontales, verticales y oblicuas. - Asíntotas horizontales: hay que realizar el límite cuando x→±∞ de la función. Si el resultado es ±∞

no hay asíntota horizontal. Si el resultado es un número si hay asíntota horizontal en y igual a ese número.

- Asíntotas verticales: hay que realizar el límite cuando x→a± de la función (siendo a los puntos que

entren en el dominio). Si el resultado es un número no hay asíntota vertical. Si el resultado es ±∞ si hay asíntota vertical en x = a.

- Asíntotas oblicuas: tienen la siguiente forma explícita: y = m·x + n, siendo m y n dos números. Para

calcular m hay que realizar el límite cuando x→±∞ de la función dividida entre x. Si el resultado es ±∞ o cero no hay asíntota oblicua. Si el resultado es un número distinto de cero si hay asíntota oblicua y entonces calculamos n realizando el límite cuando x→±∞ de la función menos m·x. Nota: si hay asíntota horizontal no hay asíntota oblicua.

7. MONOTONÍA (CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO) Se realiza la primera derivada de la función, se igual a cero, se despejan los valores de x, se sustituyen éstos (y los puntos que no entraban en el dominio) en una recta real, se coge un valor de cada intervalo obtenido y se sustituye en la primera derivada. Si el resultado es positivo es que la función es creciente en ese intervalo, si es negativo es que es decreciente.

( ) ( )

{

( )

( )

( )

{ ( ) ( )

( )

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8. EXTREMOS (MÁXIMOS Y MÍNIMOS) Los valores que anteriormente colocamos en la recta real (posibles extremos) los sustituimos en la segunda derivada. Si el resultado es positivo es que hay un mínimo en ese punto, si es negativo es que hay un máximo y si sale cero es que no hay ni máximo ni mínimo. Nota: para calcular la coordenada y de un punto hay que sustituir la coordenada x en la función original.

( ) { ( ) ( )

( ) ( )

9. CURVATURA (CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD) Se realiza la segunda derivada de la función, se igual a cero, se despejan los valores de x, se sustituyen éstos (y los puntos que no entraban en el dominio) en una recta real, se coge un valor de cada intervalo obtenido y se sustituye en la segunda derivada. Si el resultado es positivo es que la función es convexa en ese intervalo, si es negativo es que es cóncava.

( ) ( ) ( )

{ ( )

( ) {

( )

( )

10. PUNTOS DE INFLEXIÓN Los valores que anteriormente colocamos en la recta real (posibles puntos de inflexión) los sustituimos en la tercera derivada. Si el resultado es positivo o negativo es que hay un punto de inflexión y si sale cero es que no hay punto de inflexión. Nota: para calcular la coordenada y de un punto hay que sustituir la coordenada x en la función original.

( ) ( ) ( ) 11. SIGNO Consiste en ver en que intervalos la función va por encima del eje OX y en cuales por debajo. Ejemplo:

( )

{

12. TABLA DE VALORES Consiste en dar valores a la coordenada x, sustituirlos en la función original y obtener sus correspondientes valores de la coordenada y.

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13. REPRESENTACIÓN

( )

{ } ( )

{

( )

( )

{

( )

( )

( )

( )

{

( )

( ) √

{

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

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( )

{

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

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( ) ( ) ( )

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( )

( )

( )

( )

( )

( )

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( )

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x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y -4/15 -3/8 -2/3 - 0 - 2/3 3/8 4/15