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Minerva, 6(1): 11-21
ESTUDO DA DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES EM TUBOS DE MATERIAIS COMPÓSITOS 11
ESTUDO DA DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕESEM TUBOS DE MATERIAIS COMPÓSITOS
Mauricio Francisco Caliri JuniorVolnei Tita
Departamento de Engenharia de Materiais, Aeronáutica e Automobilística,Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo,
Avenida Trabalhador São-carlense, 400, CEP 13566-590, São Carlos,SP, Brasil, e-mail: [email protected], [email protected]
Ernesto Massaroppi JuniorDepartamento de Engenharia Mecânica, Escola de Engenharia de
São Carlos, Universidade de São Paulo, Avenida TrabalhadorSão-carlense, 400, CEP 13566-590, São Carlos, SP, Brasil,
e-mail: [email protected]
ResumoO uso de materiais compósitos já é uma realidade, e uma vez que os materiais isotrópicos, como os metais, possuemrelação rigidez-densidade menor que os compósitos, obtêm-se economias no projeto direta e indiretamente nessaopção. Com isso, a determinação do estado de tensões em tubos fabricados em material compósito torna-se extremamenteestratégica. Esforços gerados por pressão interna e externa representam a grande maioria dos casos de carregamentoem tubos e, para tais, este trabalho os analisa sob o escopo de materias anisotrópicos. Os materiais compósitos sãoreforçados por fibras e por isso os coeficientes de rigidez das lâminas são muitas vezes calculados com o auxílio deformulações analíticas específicas. No presente trabalho são apresentadas formulações analíticas para dois estudosde caso. Na primeira parte, faz-se um estudo detalhado para um tubo de parede espessa, considerando que o empilhamentodas lâminas está orientado em uma única direção e que há assim um plano de simetria (Caso 1). Nessa análise,verifica-se como a variação da rigidez do tubo em compósito, visando atender a critérios de projeto e prevenção defalhas, altera a distribuição de tensões no mesmo. Na segunda parte, propõe-se um estudo para um tubo com diferentessequências de empilhamento, avaliando a influência do empilhamento na distribuição das tensões (Caso 2). As análisesapresentadas contribuem e auxiliam no desenvolvimento de projeto e prevenção de falhas, bem como em reparos, emtubos de material compósito sob o carregamento considerado.Palavras-chave: compósitos laminados, tubo de parede espessa, material ortotrópico, propriedades equivalentes.
IntroduçãoMateriais compósitos têm sido cada vez mais
amplamente utilizados na fabricação de componentesestruturais, principalmente naqueles de aplicação aeroná-utica, em que se requer redução de peso sem necessariamenteocorrer redução de rigidez e/ou de resistência. No entanto,sua inerente anisotropia torna desafiadora a determinaçãoda distribuição das tensões para uma estrutura fabricadaem material compósito. Dessa forma, estruturas emcompósito têm sido estudadas por pesquisadores emuniversidades, instituições de pesquisa e empresas privadas,principalmente tubos e cilindros, pois a geometriaaxissimétrica dessas estruturas permite muitas vezes suamodelagem analítica.
Lekhnitskii (1968, 1981) é uma sólida referênciana área de projetos estruturais para materiais anisotrópicos,
pois deduziu formulações analíticas genéricas para osprincipais casos de carregamento em geometrias curvilíneaspara várias relações constitutivas anisotrópicas. Em 1988,Durban começou a trabalhar com deformações elasto-plásticas finitas para tubos pressurizados e, posteriormente,estendeu seu trabalho para grandes deformações e materiaisortotrópicos (Durban & Kubi, 1989). Uma formulaçãomais prática e específica é mostrada por Wüthrich (1992)quando estudou um tubo laminado de parede espessasob alguns casos de carregamento. Em 1995, Sayir &Motavalli também analisaram um tubo de compósitolaminado apontando as limitações da Teoria Clássicados Laminados quando aplicada a geometrias tubularese propuseram uma solução mais precisa para o problema.No mesmo ano, Salzar (1995) publicou um estudo daredistribuição das tensões em tubos metálicos com diferentes
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12 CALIRI JUNIOR, TITA & MASSAROPI JUNIOR
frações volumétricas de reforço, visando obter estruturasmais leves e eficientes. Uma solução analítica bemestabelecida para tubos sob vários casos de carregamentocomo torção, flexão e pressurização é dada por Tarn &Wang (2000). Esses pesquisadores, bem como outros,se basearam nas deduções para geometrias anisotrópicasde Lekhnitskii (1981).
Nesse contexto, este trabalho contruibui para o projetoe a análise de tubos em compósito com pressão internae externa para um estado plano de deformações, apresen-tando formulações analíticas específicas para o cálculodas tensões. Na primeira parte, analisa-se um tubo emmaterial compósito pressurizado, que possui somenteuma direção de laminação (Caso 1). Portanto, uma formu-lação analítica é apresentada, considerando assim umdado plano de simetria. Para esse caso, tanto a distribuiçãode tensões como o campo de deslocamentos são avaliadosvariando-se tanto a fração volumétrica como o ângulode laminação das fibras. Vale ressaltar que o modo peloqual os resultados são apresentados auxilia estrategicamentea área de desenvolvimento de produto. Na segunda parte,apresenta-se outra formulação analítica para tubos em materialcompósito pressurizados, porém, aplicada a tubos laminados(Caso 2). Ao final, aplica-se essa formulação para um tubocom uma dada sequência de empilhamento. Destaca-setambém que essa formulação é extremamente vantajosapara a área de desenvolvimento de produto, pois, se amesma for acoplada a uma formulação de análise de falha,o engenheiro poderá encontrar uma sequência ótima deempilhamento de lâminas que visam atender a dados critériosde projeto. No entanto, isto está sendo objeto de investigaçãodos autores e será futuramente publicado.
Caso 1: Tubo de Compósito com umaDireção de Laminação
Nesta primeira análise, é adotado um tubo fabricadoem material compósito com propriedades anisotrópicasem um sistema global de coordenadas cilíndricas (Figura1). O material é considerado anisotrópico, pois a parede
do tubo constitui uma camada espessa com fibras alinhadasde um ângulo de laminação ϕ diferente de zero em relaçãoa um dos eixos ortogonais do sistema de coordenadas(Figura 1c).
Formulação teóricaOs carregamentos de pressão, as condições de
contorno e o sistema de coordenadas, junto com a respectivaindexação do tubo, podem ser observados na Figura 1.
Da Figura 1, verifica-se que o carregamento dotubo pressurizado pode ser tratado simplesmente comoo estudo de uma secção do tubo (análise bidimensional).Contudo, lembrando que o problema é tridimensional eem coordenadas cilíndricas, as seguintes deformações etensões são nulas:
0==== θθθθ ττεε zrzr (1)
Neste caso da análise, o carregamento na direçãoz pode ser tratado separadamente a posteriori. Para resolvero problema é preciso considerar somente os carregamentosnas direções r e θ, sendo que o equilíbrio nessas direçõesfornece (Lekhnitskii, 1968):
01)( =−+∂∂
rr rr
θσσσ
(2)
Considerando os deslocamentos apenas na direçãoradial, obtêm-se:
cter
u
dr
duzr ==== 0;; εεεε θ (3)
Considerando que o tubo é fabricado em materialcompósito, com fibras laminadas sob um ângulo ϕ emrelação à direção θ do cilindro. Portanto, inicialmente,o tubo é anisotrópico e tem um plano de simetriaperpendicular à direção z e sua matriz constitutiva nosistema global de coordenadas r-θ-z possui 13 constantes,sendo dadas por:
Figura 1 Definições geométricas: a) seção do tubo exibindo as pressões nas superfícies interna e externa;b) sistemas de coordenadas; c) ângulo de laminação ϕ no tubo.
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ESTUDO DA DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES EM TUBOS DE MATERIAIS COMPÓSITOS 13
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
66362616
5545
4544
36332313
26232212
16131211
0000000000
000000
CCCC
CC
CC
CCCC
CCCC
CCCC
Cϕ
(4)
Para notações posteriores, os coeficientes Cij
pertencem à matriz constitutiva no sistema global r-θ-z,e Cij
* são os coeficientes da matriz constitutiva, [C]k,escrita no sistema local de coordenas 1-2-3. Essescoeficientes são, respectivamente, baseados nas compo-nentes das matrizes constitutivas encontrados em Mendonça(2005) e Christensen (1979). Com as equações (3) e (4)aplicadas na equação de equilíbrio (2), obtém-se a seguinteequação diferencial linear de segunda ordem nãohomogênea:
033
2312
33
1122
2 11 εrC
CCu
C
C
rdr
du
rdx
ud⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+ (5)
A equação (5) tem solução homogênea do tipo: u =crη, em que c é constante e η é um parâmetro a ser definido.A solução homogênea acrescida de uma particular é:
( ) ( ) ( )11332312032/1
3311
321
;
:)(
CCCCcCC
pararcrcrcru
−−==
→++= −
εη
ηη
(6)
A solução acima é re-escrita para o corpo do cilindrolonge das extremidades, sendo que essas extremidadesestão simplesmente apoiadas na direção z, caso semelhantea um tubo idealmente infinito, e por consequência asdeformações εzr e εz são nulas. Utilizando as relaçõesconstitutivas do problema juntamente com as deformações,as tensões no tubo são obtidas em função de r:
)1(23122
123121
)1(13112
113111
)1(33132
133131
)()()(
)()()(
)()C()(
+−−
+−−
+−−
−++=
−++=
−++=
ηη
ηηθ
ηη
ηησ
ηησ
ηησ
rCCcrCCcr
rCCcrCCcr
rCCcrCcr
z
r
Aplicando as condições de contorno (σr(ri) = –Pi
e σr(re) = –Pe) tem-se que as tensões e o deslocamentou(r) são:
( )( )
)1()1(21
)1(
)1()( +−
+−−
+−
+− ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
+− ηηηη
η
η rrrr
PrrP
r
P
iei
ieie
e
e
(7a)
(7b)(7c)
1)1(21
)1()()( −+−−
+−
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
= ηηηη
η
σ rrrr
PrrPr
iei
ieier
1
3313
1311)1(21
)1(
)()()()( −
+−−
+−
−++
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
= ηηηη
η
θ ηησ r
CC
CC
rrr
PrrPr
iei
ieie
( )( )
)1(
3313
1311)1(21
)1(
)1( )()()( +−
+−−
+−
+− −−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
+− ηηηη
η
η ηη
rCC
CC
rrr
PrrP
r
P
iei
ieie
e
e
(8b)
(8a)
1
3313
2312)1(21
)1(
)()()()( −
+−−
+−
−++
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
= ηηηη
η
ηησ r
CC
CC
rrr
PrrPr
iei
ieiez
( )( )
)1(
3313
2312)1(21
)1(
)1( )()()( +−
+−−
+−
+− −−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
+− ηηηη
η
η ηη
rCC
CC
rrr
PrrP
r
P
iei
ieie
e
e
(8c)
ηηηη
η
η +−−
+−
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
+= r
rrr
PrrP
CCru
iei
ieie)1(21
)1(
3313
)()(
1)(
( )( )
ηηηη
η
ηη−
+−−
+−
+− ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
+−
− rrrr
PrrP
r
P
CCiei
ieie
e
e)1(21
)1(
)1(3313
)()(
1(9)
Considerando que o material ortotrópico do tubo(lâmina espessa) é transversalmente isotrópico, com umplano de simetria perpendicular à direção das fibras (Figura1 – plano r-z), pode-se, a partir das propriedades dessematerial, formular as equações do tubo anisotrópico paraum ângulo de laminação genérico ϕ 0 em relação àdireção θ (Christensen, 1979). Essa formulação utilizapropriedades elásticas calculadas de forma semelhanteà Regra das Misturas e foi obtida por Hashin (1983)através da CCA (Composite Cylinder Assemblage). Nasequações (10-13) estão definidas as principais propriedadeselásticas do compósito, sendo que as demais podem sercalculadas a partir dessas.
mf EwwEE )1(11 +−+=
[ ] [ ] mmmff
mf
GGKwGKw
ww
1)3/()3/()1())(1(4 2
++++−
−−+
νν(10)
(11)ν ν ν
ν ν
12 1
1 1 3 1 3
1
= + − +
+− − + − +⎡⎣ ⎤⎦−
w w
w w K G K G
f m
f m m m f f
( )
( )( ) ( / ) ( / )
( ww K G w K G Gf f m m m) ( / ) ( / )+⎡⎣ ⎤⎦ + +[ ]+3 3 1
:
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323m
m
GK ++=μ
[ ] [ ]3/4)1(3/)(1 mmmfmf GKwGGKK
w
+−+−+−+
(13)
( )3/82)3/7()(123 GKGKGGG
wGG
mmmmmfmm
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+++−+= (12a)
)1()1()1()1(
23 wGwG
wGwGGG
mf
mfm ++−
−++= (12b)
em que os índices m e f indicam grandezas referentes àmatriz e à fibra, respectivamente, e w é a fração volumétricade fibra no compósito. G, E, K, μ e v são, respectivamente,o módulo de cisalhamento, o módulo de Young, o módulovolumétrico (Bulk modulus), o módulo volumétrico dedeformação plana e o coeficiente de Poisson. Com auxíliodos coeficientes da equação (4) e das equações (10-13),os parâmetros de material nas equações (8) e (9) sãoobtidos por:
( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )2323
22323
21223
22323
21223
42323
22121223
423
21211
3313
1311
22244
)()(
μημνμμνμημνμμν
ηη
+±−+−+±+++++
=±±
GsGt
sGtsGtsGtE
CC
CC
( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )2323
22323
21223
22323
21223
441223
2212232323
21211
3313
2312
22244
)()(
μημνμμνμηνμμμν
ηη
+±−+−+±++−+++
=±±
GsGt
tGststsGGE
CC
CC
( )( ) ( )23232
23232
12233313 21
)(1
μημνμη +±−+=
± GsGtCC
;cos;sin;4
:2/1
2323
2321211 ϕϕμμν
η ==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+= ts
G
Epara
Logo, os parâmetros de material, Cij, escritos nosistema de coordentadas globais r-θ-z ficam em funçãodo ângulo de laminação ϕ e das propriedades elásticaslocais (1-2-3).
Resultados e discussões para o Caso 1De posse das equações anteriores se torna possível
prever a distribuição de tensões de um tubo em materialcompósito pressurizado que possui dada orientação delaminação das fibras. Portanto, com base nessa formulação
(14a)
(14b)
(15)
(16)
pode-se variar determinados parâmetros de material ede fabricação, como: tipo de fibra e de resina polimérica;orientação das fibras; fração volumétrica de fibra; dentreoutros. Vale ressaltar que qualquer uma dessas mudançasacarreta alteração nos coeficientes de rigidez, na densidadee no custo da estrutura.
No presente trabalho, como primeira investigação,buscou-se variar a fração volumétrica de fibra numa faixade valores factíveis que podem ser obtidos através deprocessos de fabricação (de 25% a 75%) para um ângulode laminação fixo ϕ = 30º. Para uma segunda investigação,buscou-se variar a orientação da fibra (de 0º a 90º), porém,mantendo uma fração volumétrica de fibra constante (50%).
Obteve-se, dessa forma, os resultados das Figuras2 e 3, que demonstram a variação das tensões e dodeslocamento ao longo da posição radial r em funçãoda variação volumétrica w e do ângulo de laminação ϕ.Vale destacar que o tubo analisado possui raio interno ri
de 0,12 m e raio externo re de 0,15 m e está sob pressãointerna Pi de 20 MPa e externa Pe de 0,1 MPa, sendo queo estudo é realizado para uma mesma resina epóxi reforçadapor fibra de vidro ou por fibra de grafite (Tabela 1).
Ressalta-se que algumas das propriedades anteriorestiveram de ser calculadas a partir das demais propriedadeselásticas do material. Além disso, a média de alguns valoresfoi considerada em virtude da anisotropia do materialou de pequenas variações em relação à sua composiçãoquímica.
As Figuras 2 e 3 exibem, em detalhes, algumasdas distribuições de tensões com a variação dos parêmetrosw ou ϕ, sendo que os resultados máximos e mínimos(ao longo da posição radial) para todas as tensões oudeslocamentos estão evidenciados nas Figuras 4 e 5, paraauxiliar a análise da formulação proposta. Com isso, apartir da Figura 4a, de maneira geral, é possível afirmarque as tensões radiais não variam significativamente emqualquer posição radial com a variação do tipo de fibra,ou com a fração volumétrica de fibra, ou, então, com oângulo de laminação, para as condições de contorno e ocarregamento específico aplicados nas dimensões do tuboanalisado. Por outro lado, a Figura 4b mostra que astensões na direção tangencial dos tubos têm valoressemelhantes e tendem a aumentar na parte mais internado tubo e a diminuir na externa com aumento da fraçãovolumétrica de fibras (Figuras 2b e 3b).
Tabela 1 Propriedades elásticas de fibras e resinas poliméricas.
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0,1250,130
0,1350,140
0,1450,150
0,05
0,08
0,10
0,13
0,15
0,18
0,20
0,23
30
4050
6070 0,125
0,1300,135
0,1400,145
0,150
60,0M
66,7M
73,3M
80,0M
86,7M
93,3M
100,0M
106,7M
113,3M
120,0M
0
2040
6080
0,1250,130
0,1350,140
0,1450,150
60,0M
66,7M
73,3M
80,0M
86,7M
93,3M
100,0M
106,7M
113,3M
3040
5060
70
0,1250,130
0,1350,140
0,1450,150
0
25M
50M
75M
100M
125M
150M
175M
200M
0
2040
6080
Fração vo
lumétrica (%
)Desl
oca
mento
radia
l(m
m)
Raio (m)Ângulo
das fibras (graus)
Tens
ãota
ngen
cial
(Pa)
Raio (m)
Fração vo
lumétrica (%
)
Tens
ãolo
ngitu
dina
l(P
a)
Raio (m)
Ângulodas fib
ras (graus)
Tens
ãolo
ngitu
dina
l(P
a)
Raio (m)
(a) (b)
(c) (d)
0,1250,130
0,1350,140
0,1450,150
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
3040
5060
700,125
0,1300,135
0,1400,145
0,150
70,0M
75,0M
80,0M
85,0M
90,0M
95,0M
0
2040
6080
0,1250,130
0,1350,140
0,1450,150
8M
10M
13M
15M
18M
20M
3040
5060
700,125
0,1300,135
0,1400,145
0,150
0,0
12,5M
25,0M
37,5M
50,0M
0
20
4060
80
Des
loca
men
tora
dial
(mm
)
Fração vo
lumétrica (%
)
Raio (m)
Ângulodas fib
ras (graus)
Tensã
ota
ngenci
al(
Pa)
Raio (m)
Fração vo
lumétrica (%
)
Tens
ãolo
ngitu
dina
l(P
a)
Raio (m)
Ângulodas fib
ras (graus)
Tens
ãolo
ngitu
dina
l(P
a)
Raio (m)
(a) (b)
(c) (d)
Figura 2 Distribuição de tensões e deslocamento para o reforço de fibra de grafite: a) deslocamento radial ec) tensão longitudinal, para ϕ = 30; b) tensão tangencial e d) tensão longitudinal, para w = 50%.
Figura 3 Distribuição de tensões e deslocamento para o reforço de fibra de vidro: a) deslocamento radial e c) tensãolongitudinal, para ϕ = 30; b) tensão tangencial e d) tensão longitudinal, para w = 50%.
Minerva, 6(1): 11-21
16 CALIRI JUNIOR, TITA & MASSAROPI JUNIOR
0,120 0,125 0,130 0,135 0,140 0,145 0,150
–20M
–15M
–10M
–5M
0
(a)
Grafite_Max_fi = 30º
Grafite_Min_fi = 30º
Grafite_Max_w = 50%
Grafite_Min_w = 50%
Vidro_Max_fi = 30º
Vidro_Min_fi = 30º
Vidro_Max_w = 50%
Vidro_Min_w = 50%
Tensã
ora
dia
l(P
a)
Raio (m)0,120 0,125 0,130 0,135 0,140 0,145 0,150
60M
70M
80M
90M
100M
110M
120M
(b)
Grafite_Max_fi = 30º
Grafite_Min_fi = 30º
Grafite_Max_w = 50%
Grafite_Min_w = 50%
Vidro_Max_fi = 30º
Vidro_Min_fi = 30º
Vidro_Max_w = 50%
Vidro_Min_w = 50%
Tensã
ota
ngenci
al (
Pa)
Raio (m)
0,120 0,125 0,130 0,135 0,140 0,145 0,150
(a)
Ten
são
lon
gitu
din
al (
Pa
)
Raio (m)0,120 0,125 0,130 0,135 0,140 0,145 0,150
(b)
De
slo
cam
en
tora
dia
l (m
m)
Raio (m)
0
50M
100M
150M
200M
0
0,5
1
1,5
2
Grafite_Max_fi = 30ºGrafite_Min_fi = 30ºGrafite_Max_w = 50%Grafite_Min_w = 50%
Vidro_Max_fi = 30ºVidro_Min_fi = 30ºVidro_Max_w = 50%Vidro_Min_w = 50%
Grafite_Max_fi = 30ºGrafite_Min_fi = 30ºGrafite_Max_w = 50%Grafite_Min_w = 50%
Vidro_Max_fi = 30ºVidro_Min_fi = 30ºVidro_Max_w = 50%Vidro_Min_w = 50%
Figura 4 Máximos e mínimos: a) tensões radiais; b) tensões tangenciais.
Figura 5 Máximos e mínimos: a) tensões longitudinais; b) deslocamentos radiais.
Para aumento do ângulo de laminação, essas tensõestendem, de forma geral, a diminuir, pois a fibra, principalfase do compósito, cada vez menos contribui com a rigideztotal do laminado, e a resposta da estrutura na direçãotangencial passa a ser governada pela matriz. Tais resultadossão mais evidentes no tubo em fibra de carbono, pois amesma é mais rígida que a fibra de vidro. Para as tensõeslongitudinais, na Figura 5a, é interessante observar que avariação dos parâmetros escolhidos ocasiona máximos emínimos diferentes em cada um dos tubos quanto aoincremento da fração volumétrica. Para a fibra de grafite,um aumento da fração volumétrica significa leve aumentodas tensões na porção interna e diminuição da parte externado tubo, similar às tensões tangenciais. Por outro lado, otubo com fibra de vidro comporta-se de maneira inversa,pois agora um aumento da fração volumétrica indica diminuiçãodessa tensão no tubo, sendo que esta é mais acentuada naregião mais externa da parede do tubo (Figuras 2c e 3c).Isso ocorre porque as propriedades elásticas transversais àdireção da fibra têm módulos de mesma ordem de grandeza(Tabela 1) e todos estão mais próximos dos valores da resina,o que não ocorre para a fibra de grafite, em que há diferença
de até duas ordens de grandeza para o módulo de Young nadireção da fibra. Isto explica os diferentes níveis de tensãotangencial entre as fibras analisadas.
Todavia, para incrementos no ângulo das fibras,observa-se aumento das tensões na respectiva direção,pois a rigidez aumenta em virtude do deslocamento nuloimposto nessa direção (Figuras 2d e 3d). A inflexãovisualizada nesses gráficos, em torno de ϕ = 60º, decorreda formulação via CCA (Hashin, 1983), em que, paraângulos ϕ acima de 60º entre as direções θ e 1, oequacionamento gera tensões menores, pois os termosde maior contribuição para a tensão longitudinal sãomultiplicados pela função cosseno, cujo valor médio édado pelo ângulo de 60º. Por fim, na Figura 5b observa-se que os extremos para os deslocamentos radiais dasFiguras 2a e 3a geram curvas coerentes, uma vez que,quando se aumenta a fração volumétrica de fibra, o tubose torna mais rígido, e nesse caso possui menor valor dedeslocamento. Por outro lado, um maior ângulo de laminaçãoem relação à direção tangencial também acarreta reduçãoda rigidez na direção radial, o que gera, novamente, aumentono respectivo deslocamento.
Minerva, 6(1): 11-21
ESTUDO DA DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES EM TUBOS DE MATERIAIS COMPÓSITOS 17
Caso 2: Tubo de Compósito LaminadoNeste estudo de caso, considera-se que o tubo de
material compósito possui várias camadas com ângulosde laminação diferentes e/ou materiais diferentes, formandoassim um tubo laminado como o exemplificado na Figura6. O material é considerado anisotrópico, para o sistemaglobal de coordenadas cilíndricas, pois a parede espessado tubo é formada por um conjunto de múltiplas lâminasempilhadas com fibras alinhadas de um ângulo ϕ 0 emrelação a um dos eixos ortogonais do sistema de coordenadas.
Para realizar a análise do referido problema,considerando os esforços em cada lâmina, escolhe-seuma sequência de laminação específica, sendo assimpossível estudar o mesmo tubo laminado sob o escopode um tubo com propriedades ortotrópicas, com algumasaproximações, semelhante à análise realizada no Caso1. A sequência de empilhamento e as direções das fibraspara cada camada são escolhidas tal que o tubo possaser calculado como um tubo de propriedades ortotrópicasnas direções r, θ e z.
Formulação teóricaO laminado, para a aproximação adotada, é simétrico
e angular (0º < ϕ < 90º), pois essa sequência de laminaçãoé facilmente identificada nos tubos laminados.
Observa-se, pela Figura 7, que a linha de simetriado laminado no tubo não está no centro do laminado,como mostra a Figura 7a, mas sim no centro do tubo
(Figura 7b). O subíndice s está relacionado com essasimetria, indicando que o empilhamento é simétrico emrelação à referida linha. Os ângulos ±A, ±B estão dispostosde maneira a anular os acoplamentos entre forças normaise deformações por cisalhamento, contudo, os acoplamentosentre flexão e torção não se anulam. É valido observarque, se a sequência de empilhamento é mantida e a espessuradas lâminas é relativamente diminuída, associadas aoaumento do número de lâminas, esse acoplamento nãonulo pode ser tão mais desconsiderado na análise quantomenor for a espessura relativa da lâmina. Isto ocorrepois as distâncias das lâminas +ϕ e –ϕ opostas em relaçãoao centro de simetria tendem ao mesmo valor, minimizandoo efeito de acoplamento flexão-torção.
O cálculo da matriz constitutiva equivalente desseslaminados, [Q], num sistema de coordenadas cartesianasglobais, é função das matrizes constitutivas das lâminas,[C], para os ângulos positivo e negativo. Como os termosC16, C26, C36 e C45 da equação (4) são funções ímparesem relação ao ângulo de laminação ϕ, a matriz constitutivapara uma lâmina com orientação –ϕ, [C–ϕ], diferencia-se da [C+ϕ] tomando o oposto dos termos acima citadosem suas respectivas posições na constitutiva [C–ϕ].Aplicando essas matrizes às equações de compatibilidadee equilíbrio que determinam as deformações e as tensõesmédias desse laminado, equação (17), obtém-se a matrizortotrópica equivalente, equação (18), do problema eseus coeficientes, equação (19):
(a) (b)
+A–A+B–B
–B+B–A+A
Linha de simetriaLinha de simetria
+A–A+B–B
–B+B–A+A
Figura 6 Tubo laminado: a) tubo de parede espessa com várias lâminas; b) sistema de coordenadas.
Figura 7 Simetria de laminação: a) laminado simétrico e angular [+A/–A/+B/–B]s; b) seção frontaldo tubo laminado com simetria equivalente ao laminado à esquerda.
Minerva, 6(1): 11-21
18 CALIRI JUNIOR, TITA & MASSAROPI JUNIOR
5,4,3;1
6,2,11;
1
1
∑
∑
=
=
=→==
=→==
N
k
kii
kii
N
k
kii
kii
iN
iN
σσεε
σσεε (17a)
(18)[ ] ( ) [ ]( )εσ Qpara
Q
Q
Q
QQQ
QQQ
QQQ
Q =→
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
= ;
000000000000000000000000
66
55
44
332313
232212
131211
∑=
=→=2/
166,33,23,22,13,12,112 N
n
nijij ijC
NQ
∑∑== −
=
−
=2/
1 45455544
44552/
1 45455544
5544
2;
2N
nnnnn
nN
nnnnn
n
CCCC
C
NQ
CCCC
C
NQ (19b)
(19a)
em que N é o número total de lâminas do laminado, krepresenta cada uma das lâminas e n indica cada par delâminas com ângulos ±ϕ1, que difere das demais lâminascom ângulos ±ϕ2 ou fabricadas a partir de outro materialcompósito. A estratégia por equacionar o problema combase nas propriedades elásticas equivalentes, além deser aplicável em tubos laminados, pode também ser usadaem compontentes compostos por reforços com fibrasbidirecionais (tecidos). Porém, as tensões locais no contatoentre as fibras devem ser estudadas com cautela. Adeterminação dos esforços é análoga à do Caso 1, logo,as tensões e o deslocamento radial são dados por:
( )( )
)1()1(21
)1(
)1(
1)1(21
)1(
)(
)()(
+−+−−
+−
+−
−+−−
+−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
+−
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
=
αααα
α
α
αααα
α
σ
rrrr
PrrP
r
P
rrrr
PrrPr
iei
ieie
e
e
iei
ieier
(20a)
( )( )
)1(
3313
1311)1(21
)1(
)1(
1
3313
1311)1(21
)1(
)()()(
)()()()(
+−+−−
+−
+−
−+−−
+−
−−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
+−
−++
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
=
αααα
α
α
αααα
α
θ
αα
αασ
rQQ
rrr
PrrP
r
P
rQQ
rrr
PrrPr
iei
ieie
e
e
iei
ieie
(20b)
( )( )
)1(
3313
2312)1(21
)1(
)1(
1
3313
2312)1(21
)1(
)()()(
)()()()(
+−+−−
+−
+−
−+−−
+−
−−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
+−
−++
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
=
αααα
α
α
αααα
α
αα
αασ
rQQ
rrr
PrrP
r
P
rQQ
rrr
PrrPr
iei
ieie
e
e
iei
ieiez
(20c)
( )( )
( ) 2/13311
)1(21
)1(
)1(3313
)1(21
)1(
3313
)()(
1
)()(
1)(
QQpara
rrrr
PrrP
r
P
rrrr
PrrP
QQru
iei
ieie
e
e
iei
ieie
=→
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
+−
−
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
+=
−+−−
+−
+−
+−−
+−
α
α
α
αααα
α
α
αααα
α
(21)
Um aspecto que deve ser considerado na presenteanálise é a questão de o tubo compósito anisotrópico decamada espessa possuir relações constitutivas diferentespara o carregamento avaliado ao variar-se ou o ângulode laminação ö e/ou as propriedades elásticas equivalentes.Assim, é preciso lembrar que o referido tubo é constituídopor um conjunto de tubos ortotrópicos (um dentro dooutro), cada um com um dado ângulo de laminação ö ecom propriedades elásticas (E11, E22, E33, G31, G23, G12,υ31, υ23 e υ12) próprias. Sendo que as variações dessaspropriedades elásticas ortotrópicas estão acopladas e, aovariar um módulo de elasticidade em dada direção, porexemplo, estar-se-á variando sua influência nas deformaçõesdas demais direções. Essas variações devem seguir algumasregras para que o material não se torne anisotrópico demaneira a invalidar a formulação proposta. Além dessarestrição, deve-se monitorar também tais variações demodo que a Segunda Lei da Termodinâmica não sejaviolada durante a deformação do material. Tal critério éapontado em trabalhos como os de Lempriere (1968) eJones (1974). Para que o material se mantenha ortotrópico,é suficiente que as seguintes relações sejam respeitadas:
0,,,,, 122331332211 >GGGEEE (22)
223332113331112221
332223331113221112
;;
;;
EEEEEE
EEEEEE
<<<
<<<
ννν
ννν
5,02/)](
)()(1[
2233223
11222123311
231
231231 <⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−
−−−<
EE
EEEE
ν
ννννν (24)
Ao estudar o comportamento do laminado comose fosse um material ortotrópico equivalente, as consi-derações feitas para as tensões e deformações médiaspodem gerar resultados questionáveis. Para auxiliar navalidação do procedimento, escrever-se-á a matriz rigidezda equação (18) em função de propriedades elásticasequivalentes, e com isso é possível averiguar se oprocedimento escolhido na análise do tubo laminado estáfisicamente fundamentado, indicando para cada sequênciade empilhamento se a abordagem é admissível.
Para aplicar as restrições abordadas, é necessárioobter as propriedades equivalentes do tubo em funçãodos coeficientes da matriz constitutiva média do laminado(calculadas pela equação (19)). Utilizando a matriz deflexibilidade média do tubo laminado, as propriedadesobtidas são:
(23a)
(23b)
(17b)
Minerva, 6(1): 11-21
ESTUDO DA DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES EM TUBOS DE MATERIAIS COMPÓSITOS 19
1123233
21222
231321231332211
2313311
22
2322233
112122211
33
2322233
3312323112
2313311
11321231232
122211
2231123231
2:
;
;;
;
;;
QQQQQQQQQQQQpara
QQQE
QQQE
QQQE
QQQ
QQQQ
QQQ
QQQQ
QQQ
QQQQ
−−−−=
−=
−=
−=
−−
−=
−−
−=−
−−=
λ
λ
λλ
ν
νν
As equações exibidas em (25), se confrontadas comas restrições das equações (22), (23) e (24), delimitamas variações das propriedades elásticas. A rigor, cadavariação em Eij, por exemplo, pode representar, na prática,uma combinação de variações dos materiais usados naconstrução do laminado, modificando assim todas as demaispropriedades equivalentes do mesmo, logo, o estudo daspropriedades deve ser tomado numericamente a partirdesse ponto. Dessa forma, para um limite de variaçãode determinada propriedade, deve-se recalcular as demaispela equação (25) e verificar se os resultados não violamas restrições. Se alguma dessas restrições for violada, aanálise se torna não confiável, não no sentido de estarviolando Leis da Termodinâmica, pois na prática issonão ocorre, mas podem-se obter valores questionáveisde propriedades equivalentes, os quais comprometem aconfiabilidade do projeto e a análise do laminado via talprocedimento. Asseguradas as restrições, pode-se procedercom o cálculo das tensões em cada lâmina do tubo. Paraa determinação das tensões nas lâminas é preciso obteras deformações em cada lâmina no sistema de coordenadasdo empilhamento especificado, com auxílio das equações(17) e (18). Para o carregamento devido às pressões notubo, o tensor de deformações médio é dado por:
(26)
Recorrendo às relações da equação (17) para asdeformações das lâminas em coordenadas globais, observa-se que estas coincidem com as deformações globais médias,portanto, basta escrever essas deformações no sistemade coordenada local de cada lâmina de acordo com asequações simplificadas abaixo:
ε ε ε ϕ εθθ33 112[ ] = ( ) [ ] = ( )⎡
⎣⎤⎦k rr k kr r; cos ( ) (27)
σϕ α
α11
112
13
13 33
( )cos ( )
rC C
Q Q
P r rk
ke i e[ ] =
( ) +⎡⎣
⎤⎦
+
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
∗ ∗ −− +
− − +−
∗
−−
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ ⎡⎣ ⎤⎦ −
−( ) −
( )
( )
cos
1
1 2 11
112
α
α α αα
ϕ α
P
r r rr
C
i
i e ik
CC
Q Q
P
r
P r r Pke
e
e i e i13
13 331
1∗
− +
− +⎡⎣
⎤⎦
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
+−( )
α α
α
( )
( )( )
rr r rr
i e ikα α α
α− − +
− +
( ) −
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
⎡⎣ ⎤⎦1 2 11
( )( )
(28a)
(25a)
(25b)
σϕ α
α22
122
23
13 33
( )cos ( )
rC C
Q Q
P r rk
ke i e[ ] =
( ) +⎡⎣
⎤⎦
+
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
∗ ∗ −− +
− − +−
∗
−−
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ ⎡⎣ ⎤⎦ −
−( ) −
( )
( )
cos
1
1 2 11
122
α
α α αα
ϕ α
P
r r rr
C
i
i e ik
CC
Q Q
P
r
P r r Pke
e
e i e i23
13 331
1∗
− +
− +⎡⎣
⎤⎦
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
+−( )
α α
α
( )
( )( )
rr r rr
i e ikα α α
α− − +
− +
( ) −
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
⎡⎣ ⎤⎦1 2 11
( )( )
(28b)
σϕ α
α33
132
33
13 33
( )cos ( )
rC C
Q Q
P r rk
ke i e[ ] =
( ) +⎡⎣
⎤⎦
+
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
∗ ∗ −− +
− − +−
∗
−−
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ ⎡⎣ ⎤⎦ −
−( ) −
( )
( )
cos
1
1 2 11
132
α
α α αα
ϕ α
P
r r rr
C
i
i e ik
CC
Q Q
P
r
P r r Pke
e
e i e i33
13 331
1∗
− +
− +⎡⎣
⎤⎦
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
+−( )
α α
α
( )
( )( )
rr r rr
i e ikα α α
α− − +
− +
( ) −
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
⎡⎣ ⎤⎦1 2 11
( )( )
(28c)
Verifica-se que as tensões estão em função depropriedades equivalentes do tubo laminado, Qij, e daspropriedades da cada uma das lâminas, Cij
*. Nos termos[rα–1]k e [r–(α+1)]k o índice k limita a solução genéricadas deformações do laminado diante das lâminas, ao seutilizar para os valores de r os dados de posição relativae espessura de cada lâmina no laminado.
Resultados e discussões para o Caso 2Para exemplificar a formulação para o tubo laminado,
supor-se-á a mesma geometria, carregamentos e vinculaçõesdo tubo do Caso 1, porém, o mesmo possui camadascom diferentes orientações e diferentes materiais. Ascamadas mais internas são de fibra de vidro a –30º/30º;as camadas mais externas são de fibra de grafite a –45º/45º; dessa forma, o laminado tem empilhamento de [(+45/–45)10/(+30/–30)10]s, em que o subíndice s significa queo laminado é simétrico em relação à linha de simetria(Figura 7) e o subíndice 10 indica o número de conjuntode camadas ± ϕ. Cada camada de fibra de vidro possui1 mm de espessura, ao passo que cada camada de fibrade grafite possui 0,5 mm de espessura, e ambas as lâminascom fibras de vidro ou grafite possuem uma fraçãovolumétrica de 60%. Para essa configuração, utiliza-sea equação (25) a fim de obter as propriedades equivalentesdo laminado e então aplicá-las nas equações (22), (23)e (24). Dos resultados obtidos, os módulos de elasticidadesão todos positivos e as relações (23) e (24) geram:
ν
ν
31 33 11
12 11 22
0 0549 0 46969
0 33775 1 12627
= < =
= < =
, , ;
, , ;
E E
E E (29a)
ν
ν ν ν23 22 33
31 12 23
0 58647 1 89036
0 0108 0 5
= < =
= <
, , ;
, ,
E E
Logo, o procedimento está validado física e geometri-camente, e os resultados podem ser empregados com maiorsegurança. Os gráficos das tensões globais e das tensõeslocais, em função da posição radial, são exibidos na Figura 8.
(29b)
Minerva, 6(1): 11-21
20 CALIRI JUNIOR, TITA & MASSAROPI JUNIOR
A Figura 8a exibe os resultados esperados paraum tubo pressurizado, os quais são: tensão de tração (σ >0) na direção longitudinal e compressão (σ < 0) nas direçõesradial e longitudinal. A tração é resultado do equacionamentoque retrata a deformação radial e longitudinal dapressurização do tubo, e as compressões longitudinais eradiais são devidas, respectivamente, à restrição aodeslocamento (direção z), bem como às condições decontorno que comprimem o cilindro interna e externamente(direção r).
Para as tensões locais (Figura 8b), a formulaçãodas matrizes constitutivas das lâminas via CCA faz comque as tensões locais nas direções perpendiculares à dafibra sejam iguais, pois o material é transversalmenteisotrópico. Todavia, as tensões exibidas no presente trabalhosão semelhantes, pois a formulação do Caso 2 é umaaproximação que possibilita tratar o material comoortotrópico. Isto torna possível o estudo de carregamentosmais genéricos como torção e compressão unixial semcomplicações matemáticas, mas com alguns pequenosajustes no equacionamento. O nível das tensões perpen-diculares às das fibras diminui à medida que aquela nadireção das fibras aumenta quando se faz a transiçãoentre as camadas de fibra de vidro e de grafite. Isso ocorreporque as propriedades elásticas relativas às direçõesperpendiculares às da fibra são da mesma ordem de grandezapara os compósitos reforçados com fibra de vidro. Já oscompósitos reforçados com fibra de carbono possuemrigidez na direção das fibras muito superior às propriedadestransversais, sendo estas menores que às das fibras, daía diferença no nível das tensões observadas nos gráficos.
ConclusãoCom relação ao estudo do Caso 1, tubo com uma
única direção de laminação, tem-se que a formulaçãoteórica apresentada pode abordar vários tipos de casosde carregamentos considerando o tubo anisotrópico. Apesarde recair em um sistema de equações similares a umsistema para materiais ortotrópicos, deve-se lembrar que
Figura 8 Tensões ao longo da espessura do tubo para o Caso 2: a) tensões globais; b) tensões locais (sendo A e B fibra devidro, C e D fibra de grafite).
essa formulação é genérica, pois nessa parte do trabalhoestuda-se apenas uma lâmina e, dessa forma, uma análisemais completa é apresentada. Além disso, foi realizadoum estudo da distribuição de tensões em tubos pressurizadosem função da variação de alguns parâmetros (ângulo delaminação, fração volumétrica de fibra e material da fibra).O referido estudo mostrou que os resultados, obtidoscom base em uma análise através de CCA, são sensíveisaos módulos de elasticidade, de cisalhamento, volumétrico(Bulk modulus) e ao coeficiente de Poisson. Portanto, édesejável que sejam realizados ensaios experimentaisdas propriedades elásticas do material escolhido, poisestas, somadas aos parâmetros de projeto como ângulode laminação e fração volumétrica, podem representartanto uma variação negligenciável nos níveis de tensãocomo um comportamento inverso ao esperado paradeterminadas tensões.
Com relação ao estudo do Caso 2, tubo laminado,tem-se que a formulação teórica apresentada consideraas lâminas do Caso 1 de forma a criar um laminado compropriedades ortotrópicas, pois para estas é possível obteras tensões no laminado para vários casos de carregamentosem a necessidade de utilizar teorias clássicas como aTCL para contabilizar efeitos de acoplamento entre tensõese/ou deformações que para uma geometria axissimétricageram complicações adicionais. As aproximações sãotomadas com os devidos cuidados em relação à definiçãode um material ortrotrópico e às Leis da Termodinâmica,de maneira a validar a abordagem.
Por fim, ambas as formulações apresentadascontribuem e auxiliam no desenvolvimento de projeto eprevenção de falhas, bem como em reparos, em tubosde material compósito sob carregamento de pressurização.Além disso, as mesmas podem ser associadas a umaformulação de análise de falha, possibilitando ao engenheiroencontrar as sequências de empilhamento de lâminas quevisam atender aos critérios de projeto. Sendo que isto éobjeto de investigação dos autores e será futuramentepublicado.
Minerva, 6(1): 11-21
ESTUDO DA DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES EM TUBOS DE MATERIAIS COMPÓSITOS 21
Agradecimento – Ao Conselho Nacional de Desenvol-vimento Científico e Tecnológico (CNPq-Brasil)
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