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ESTUDO PRELIMINAR DA CONFIABILIDADE ESTRUTURAL
EM EIXOS SUSCEPTÍVEIS À TORÇÃO
Hanne L. S. dos Reis e Rita de Cássia Silva.
Resumo – O mecanismo de torção pura é um efeito comum em eixos que se prestam à
transmissão de potência. Quando em serviço, estes eixos podem estar sob o efeito de
carregamentos que se diferenciem daqueles para os quais foram dimensionados, além de ter
suas propriedades geométricas alteradas devido aos efeitos de degradação ou mesmo
adaptações construtivas. As incertezas inerentes às duas situações acima colocadas geram
variabilidades que impedem a definição absoluta de seus valores. Neste sentido, a Teoria da
Confiabilidade vem auxiliar permitindo que estas variáveis sejam tratadas como aleatórias e,
que se estabeleça uma capacidade portanto definida a partir de uma margem de segurança
adequadamente construída. Esta última se traduz em termos de um índice de confiabilidade
ou de uma probabilidade de falha determinados, através de métodos numéricos (FORM,
SORM..) ou por simulação (Método de Monte Carlo). Neste sentido, o presente trabalho tem
por objetivo principal estabelecer uma metodologia preliminar de avaliação da capacidade
portanto de eixos de transmissão submetidos à torção pura. Para tanto, consideram-se as
variáveis envolvidas no problema como aleatórias e independentes e se estabelece uma
margem de segurança, que confronta a torção resistente da peça com um torsor aplicado.
Resultados preliminares de probabilidade de falha são obtidos, mediante aplicação do Método
de Monte Carlo em eixos de seção circular maciça e vazada.
Palavras-chaves – Torção, Monte Carlo, MATLAB, margem de segurança,
probabilidade de falha.
I. INTRODUÇÃO
As estruturas, no caso eixos, estão susceptíveis à torção e estão presentes em diversos
elementos e sistemas mecânicos em engenharia. O caso mais comum de aplicação é o de
eixos de transmissão de seção transversal maciça ou vazada, que tem, como função principal,
transferir potência de um ponto a outro como, por exemplo, na transmissão de potência de um
motor veicular a um dos eixos ou ainda, em turbinas a vapor acopladas a um gerador de
eletricidade ou na rigidez de uma mola submetida à rotação, etc. (Beer, 2010).
Classicamente se verifica que, no estudo da torção pura, manifestam-se tensões e
deformações em eixos no seu sentido longitudinal, quando estes estão submetidos, em suas
extremidades livres, a momentos que tendem a girar uma peça em torno do seu próprio eixo;
esses momentos são denominados conforme (Beer, 2010), como momentos de torção,
momentos torcionais ou torque.
No caso de seções circulares, ao serem submetidas a este tipo de esforço, estas
conservam sua seção transversal circular, ou seja, os raios se mantêm constantes, conservando
também o comprimento do eixo (Timoshenko, 1983). Na verdade, a peça apresenta o mesmo
formato, quando observada de qualquer ponto fixo e ao ser girada por certo ângulo. O mesmo
efeito só é observado em seções quadradas quando giradas a 90º e 180º (Beer, 2010).
Portanto, o eixo gira quando o torque é aplicado em uma de suas extremidades livres e a sua
seção transversal apresenta uma rotação denominada ângulo de torção, medido a partir de
uma linha fixa.
As variáveis envolvidas no fenômeno da torção em eixos são basicamente: o momento
de torção (T), o ângulo de torção (), propriedades do material (módulo de elasticidade
transversal - G) e características geométricas (L – comprimento do eixo e J0 – momento de
inércia polar). O módulo de elasticidade transversal pode ser escrito em função do módulo de
elasticidade longitudinal (E) e do coeficiente de Poison ().
Normalmente, na fase de projeto, essas variáveis são consideradas deterministas, ou seja,
seus valores são considerados nominais e as medidas de variância não são levadas em
consideração. Entretanto, uma vez em serviço, verificações acerca da resistência, ou da
grandeza referente ao esforço aplicado, envolvem incertezas no que diz respeito à distribuição
e à magnitude do carregamento, às propriedades mecânicas dos materiais, às variações nas
dimensões que caracterizam a geometria do elemento ou sistema, aos modelos e à análise
estrutural. Essas incertezas impossibilitam que uma estrutura apresente uma segurança
absoluta, ou seja, estas inúmeras variáveis inserindo variabilidades no processo de
determinação da resistência da estrutura, impedem que esta seja determinada de forma
fechada.
Neste sentido, o presente trabalho considera a aplicação da Teoria da Confiabilidade
como uma ferramenta capaz de auxiliar na verificação da capacidade (reserva de resistência
da estrutura ou capacidade portante) do elemento estrutural, tratando as variáveis não como
deterministas, mas como aleatórias, através do método de simulação de Monte Carlo.
Desta forma, considere um elemento que possui certa resistência (R) e uma dada
solicitação (S). Tem-se na equação M = R – S, a representação de uma margem de segurança,
em que uma falha pode ocorrer, quando M < 0; ou seja, no caso da torção pura, o torque
solicitante for maior que o torque resistente. Uma vez aplicada, a Teoria da Confiabilidade
considerando as variáveis como aleatórias, e utilizando o método de simulação de Monte
Carlo, torna-se possível verificar a probabilidade de falha de uma família de eixos de
diferentes geometrias submetidos a carregamentos diversos. Nesse contexto, estabelece-se o
objetivo do presente trabalho.
Durante o processo de simulação, amostras aleatórias das variáveis envolvidas no
problema são geradas e a razão entre o número de falhas (M < 0) com relação à amostragem
total (número total de amostras aleatórias geradas) permite a avaliação do problema.
Assim, no primeiro momento, este trabalho apresenta a margem de segurança compatível
com o problema de torção pura em eixos circulares (maciço ou vazado) e com seções
retangulares de paredes finas. Para esse efeito, as variáveis são consideradas todas aleatórias
com função densidade de probabilidade (fdp) e seus parâmetros definidos a partir da literatura
relevante. O trabalho apresenta as probabilidades de falha variando de acordo com o ângulo
de torção. Vale ressaltar que não são considerados os mecanismos de degradação (fadiga,
corrosão) e todas as variáveis são consideradas independentes.
II. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Neste item são apresentados alguns conceitos envolvendo tanto o fenômeno da
torção pura que é a solicitação considerada, como conceitos básicos referentes à
confiabilidade estrutural.
A. Torção Pura No estudo da torção pura, algumas hipóteses básicas são necessárias, tais como: o
material estudado deve ser elástico linear; homogêneo e isotrópico; com pequenos
deslocamentos e pequenas deformações (Beer, 2010).
Os eixos circulares, maciços ou vazados, conservam sua seção transversal plana e sem
distorção, ou seja, a barra circular gira como um corpo rígido, em torno do seu eixo
longitudinal, mantendo sua seção circular, ou ainda, os raios permanecem retos e concêntricos
(Timoshenko, 1983). O mesmo não é observado em uma seção quadrada que ao ser
submetida a um momento de torção, suas várias seções transversais não se mantêm planas,
perdendo a forma inicial, como mostra a Fig. 01 abaixo. A seção quadrada só apresentará o
mesmo formato quando rotacionada a 90º e 180º (Beer, 2010).
Figura 01 – Deformação dos eixos a) circular e b) quadrado (BEER, 2010)
Segundo (Popov, 2008), o ângulo de torção deve ser pequeno o suficiente para que não
ocorra variação no comprimento e no raio da barra; essa condição é tão boa que pode ser
aplicada além do limite elástico do material. Portanto, o torque é dado por:
∫ (1)
onde é a distância de cada força elementar dF ao centro da seção circular. A integral de dF
representa a soma dos momentos das forças que ocasionem a mesma intensidade de torque,
em relação ao centro da peça.
O torque T, quando aplicado à extremidade livre, gira o eixo, e a seção transversal
apresenta uma rotação denominada ângulo de torção ( ) e uma deformação por cisalhamento
, ambos em radianos. Consequentemente, a taxa de variação do ângulo de torção será
constante ao longo do comprimento dx da barra. Essa constante é o ângulo de torção por
unidade de comprimento representado por , onde
, e L é o comprimento da barra
(Timoshenko, 1983).
No estudo de tensões no regime elástico, deve-se considerar a Lei de Hooke e as
deformações como não permanentes. Portanto, desenvolvendo a Eq. 1 e colocando em função
da deformação de cisalhamento e utilizando a Lei de Hooke, esta pode ser reescrita como:
(2)
onde G é o módulo de elasticidade transversal, dado por:
(3)
e E é o módulo de elasticidade longitudinal e é o coeficiente de Poisson. Para o presente
trabalho, os valores do módulo de elasticidade longitudinal e o coeficiente de Poisson foram
retirado da tabela abaixo.
Tabela 01 – Valores dos coeficientes elásticos de alguns metais. (Moura Branco, 1994)
Segundo (Beer, 2010), a tração e a compressão são equivalentes ao estado de
cisalhamento em um elemento de 45º. Portanto, os materiais dúcteis, geralmente, se rompem
por cisalhamento, e quando submetidos a torção se rompem em um plano perpendicular ao
eixo longitudinal, como mostrado na Fig. 02. Enquanto que os materiais frágeis são menos
resistentes à tração que ao cisalhamento, rompendo-se em um plano a 45º do eixo
longitudinal, como mostra a Fig. 03.
Figura 02 – Ruptura de materiais dúcteis submetidos a torção (Beer, 2010)
Figura 03 – Rompimento de uma material frágil submetido a torção (Beer, 2010)
Partindo da Eq. 02 e fazendo algumas análises, a resultante das tensões de cisalhamento
deve ser estaticamente igual ao torque total T, então:
(4)
onde
∫ (5)
que é o momento de inércia polar. Para as seções circulares maciças e vazadas, r é o raio da
seção circular maciça e r2 e r1 são os raios externo e interno, respectivamente da seção
circular vazada; os momentos de inércia são apresentados na Tab. 02 abaixo.
Tabela 02 – Momento de inércia polar da seção transversal circular.
Seção circular
maciça
Seção circular vazada
Momento de inércia
polar
(
)
Pela Eq. 4, sabe-se que o ângulo de torção por unidade de comprimento, , é diretamente
proporcional ao torque T aplicado no eixo circular e inversamente proporcional ao produto
GJ, e como o ângulo de torção, , é igual a , então (Timoshenko, 1983):
(6)
Fazendo as devidas modificações, chega-se às equações dos torques para as seções
circulares maciça e vazada mostradas na Tab. 3.
Tabela 03 – Torque da seção transversal circular.
Seção circular maciça Seção circular vazada
Torque
Para seções de paredes finas, chega-se a conclusão que para uma espessura uniforme, a
tensão é constante ao redor do eixo, enquanto que em um ponto de espessura máxima,
ocorrerá a menor tensão de cisalhamento e vice-versa (Timoshenko, 1983). A tensão de
cisalhamento será dada por:
(7)
onde Am é a área limitada pela linha média da parede do tubo que na Fig. 04 abaixo é dada
pelo comprimento ‘D’.
Figura 04 – Vista frontal de um tubo de paredes finas com espessura constante (Beer, 2010).
Caso a espessura, ‘e’, seja constante como indica a Fig. 04 acima, a equação do ângulo
de torção será:
∮
(8)
onde a integral é calculada ao longo da linha central da parede.
Figura 05 – Seção retangular de paredes finas
Para um seção retangular vazada de paredes finas, como mostra a Fig. 05, o torque é
dado pela Eq. 09.
(9)
onde b é a base de menor lado da seção e h é a altura (maior lado).
B. Teoria da Confiabilidade A Teoria da Confiabilidade é definida conforme apresentado por (Cremona, 2002;
Melchers, 1999) como um conjunto de técnicas numéricas e matemáticas que tem por
finalidade estimar a probabilidade de falha de uma determinada estrutura ou elemento
estrutural em funcionamento. No caso deste trabalho, em eixos circulares de seções maciças
ou vazadas, além de eixos retangulares de paredes finas. Neste caso, as variáveis envolvidas
no problema serão tratadas como aleatórias, ou seja, modeladas a partir de funções densidade
de probabilidade (fdp) adequadas. Cabe ressaltar, entretanto, que nem todas as variáveis
envolvidas em um problema de confiabilidade serão aleatórias, visto que um estudo de
sensibilidade será importante na confirmação da modelagem adotada.
O estudo de confiabilidade estrutural se mostra extremamente sensível à definição da fdp
e parâmetros estatísticos pertinentes. Em um problema básico de confiabilidade, no qual se
envolvam apenas duas variáveis; R (resistência) e S (solicitação), a equação do estado limite
ou a margem de segurança é dado por:
(10)
As variáveis são consideradas gaussianas (fdp normal) e independentes (correlação
nula), ou seja, N (μR,σR) e, N (μS, σS) , respectivamente. Desta forma, a variável resultante M
também é uma variável normal, de acordo com a regra de adição e subtração de variáveis
aleatórias normais:
(11)
√
(12)
Assim, a probabilidade de falha pode ser calculada:
∫ ∫
(13)
onde e são funções densidade de probabilidade representativas da resistência e da
solicitação, respectivamente. Entretanto, a integral ∫
define a função
distribuição cumulativa (CDF) da variável aleatória R e representa a probabilidade de R ser
menor ou igual a S. A equação pode ser reescrita, como:
∫
(14)
essa integral é conhecida como “integral de convolução ” e é representada pela figura abaixo,
no qual a área hachurada é a falha.
Figura 06 – Representação da “integral de convolução” – Melchers (2002)
A Figura 07 apresenta a probabilidade de falha e o índice de confiabilidade para o
problema acima. No qual o é a distância entre o valor médio de M e o ponto zero (estado de
falha) em unidades de desvios padrões.
Figura 07 – Probabilidade de Falha – Melchers (2002)
Consequentemente, a probabilidade de falha também pode ser calculada de acordo
com a Eq. (15) e (16) abaixo.
√ ∫
(15)
√ ∫
⁄
(
) (16)
Assim, o índice de confiabilidade é dado por:
√
(17)
Retomando a Eq. (16), a probabilidade de falha é calculada em função do índice de
confiabilidade:
(18)
onde é a função de distribuição acumulada da variável padrão, para média zero e desvio
padrão unitário.
Fazendo uma interpretação geométrica, a função densidade de probabilidade normal é
dada por:
(19)
no qual, a variável X será a variável R, quando calculada a função densidade de probabilidade
normal para a resistência, com média e desvio padrão ( ; o mesmo será feito para a
solicitação.
Assim, as curvas que possuem densidade de probabilidade iguais formam a equação
da elipse, como mostra a Fig. 08, que possui as coordenadas ( para o centro C.
(20)
Figura 08- interpretação geométrica do índice de confiabilidade (Calgaro, 1997)
Fazendo a transformação das variáveis,
(21)
(22)
obtém-se a equação do circulo,
(
) (
)
(23)
onde as novas coordenadas do centro C são:
(24)
Figura 09 - interpretação geométrica do índice de confiabilidade (Calgaro, 1997)
Segundo a Fig. 09, e considerando que , então a distância do centro C ao
ponto P é:
| |
√
√
(25)
O índice de confiabilidade, ß, no sistema de coordenadas reduzida, é a distância do
ponto correspondente ao estado mais provável de falha da estrutura (ponto sobre a reta, P) ao
centro C.
B.1. Método de Monte Carlo
O presente trabalho utiliza o método de simulação de Monte Carlo como proposta para a
aplicação da Teoria da Confiabilidade. Esse método avalia iterativamente um modelo
utilizando-se de um conjunto de números aleatórios como entrada para cada uma das
variáveis envolvidas.
Portanto, de forma geral, devem-se transformar as variáveis do espaço de base (média
e desvio padrão aleatório) em variáveis do espaço padrão (média zero e desvio padrão
unitário), portanto:
(26)
onde X são as variáveis aleatórias do problema. Então a probabilidade de falha é dada por:
(27)
onde z é o número total de iterações, enquanto que é o números de eventos nos quais M <
0. Assim, o índice de confiabilidade é dado por:
(28)
onde é a inversa da função de distribuição acumulada da variável normal padrão, N(0,1).
No presente trabalho, considerando o estudo da confiabilidade na torção, a Eq. (10)
deve ser reescrita considerando duas variáveis: o Torque resistente (TR) e o Torque aplicado
(TA), portanto:
(29)
A parcela de TR envolve algumas variáveis que são descritas nas Tab. 4, 5 e 6 para os
diferentes tipos de seções estudadas. Deve-se ressaltar que o estudo é preliminar e foi
verificado considerando situações apresentadas nas literaturas (Beer, 2010) e (Schneider,
1997).
III. ROTINAS DESENVOLVIDAS EM MATLAB
A. Fluxograma do programa
A Figura 10 apresenta o fluxograma de funcionamento da rotina Monte Carlo,
desenvolvida no programa computacional MATLAB, para o estudo da confiabilidade em
eixos sob o efeito de torção pura. A modelagem apresentada para as variáveis envolvidas, em
parte segue o proposto em (Highways, 2001), isto porque não se dispõe de resultados
experimentais suficientes para proposição de modelagem mais adequada para as variáveis.
Figura 10 – Fluxograma de funcionamento da rotina MATLAB para o método de Monte Carlo
A função ‘Torção.m’ tem como finalidade interligar as demais funções do programa,
também é nessa função que o usuário deverá inserir o número de iterações, o tipo de seção
estudada, os limites inferior e superior de variação do ângulo de torção em graus e o
incremento adotado para a variação, através de uma interface com o usuário que será
apresentada detalhadamente a seguir.
Com os dados de entrada fornecidos pelo usuário, primeiramente, a função
‘Torção.m’ armazenará os valores do número de iteração e dará origem a três matrizes
aleatórias distintas, de ordem (N x número de variáveis), depois irá fazer a transformação do
ângulo de torção em graus para radianos e; como saída principal da rotina, gerará o gráfico Pf
x ângulo de torção.
A função ‘Dados.m’ é onde todas as variáveis são declaradas em forma de estrutura
com 4 informações básicas: nome da variável, tipo de fdp que a modela, parâmetro 1 que
pode ser a média e parâmetro 2 que pode ser o desvio padrão. Ressalta-se que dependendo da
modelagem da variável os parâmetros 1 e 2 podem ser outros que não a média ou desvio
padrão. A Fig. 11 mostra a variável comprimento (em metros) cuja a fonte é o programa
MATLAB.
Figura 11 – Modelo de declaração das variáveis no MATLAB
Nas Tab. 4, 5 e 6, o quociente entre a média, , e o valor nominal da variável dá uma
medida de tendência (Bias em inglês). O coeficiente de variação (CoV) exprime a razão entre
o desvio padrão, , e a média, .
Tabela 4 – Variáveis envolvidas no TR para seção circular maciça
Variáveis Distribuição CoV
Ângulo de
torção
normal 1,22
0,10
Comprimento
da barra
normal – 1,5m 0,075m 0,05
Raio da seção normal – 0,03m m 0,05
Módulo de
elasticidade
longitudinal (E)
lognormal
–
Pa
Pa
0,05
Coeficiente de
Poisson
determinista – 0.26 0 0
Torque
Aplicado (TA)
normal – 1500 150 0,10
Tabela 5 – Variáveis envolvidas no TR para seção circular vazada
Variáveis Distribuição Bias Média ( Desvio-
padrão
CoV
Ângulo de
torção
normal 1,22
0,10
Comprimento
da barra
normal – 1,5m 0,075m 0,05
Raio externo normal – 0,03m m 0,05
Raio interno normal – 0,02m m 0,05
Módulo de
elasticidade
longitudinal (E)
lognormal
–
Pa
Pa
0,05
Coeficiente de
Poisson
determinista – 0.26 0 0
Torque
Aplicado (TA)
normal – 1500 150 0,10
Tabela 6 – Variáveis envolvidas no TR para seção retangular de paredes finas
Variáveis Distribuição Bias Média ( Desvio-
padrão
CoV
Ângulo de
torção
normal 1,22
0,10
Comprimento
da barra
normal – 1,5m 0,075m 0,05
Base – menor
lado
normal – 0,06m m 0,05
Altura – maior
lado
normal – 0,1m m 0,04
Espessura (e) determinista – 0,004 0 0
Módulo de
elasticidade
longitudinal (E)
lognormal
–
Pa
Pa
0,05
Coeficiente de
Poisson
determinista – 0.26 0 0
Torque
Aplicado (TA)
normal – 1500 150 0,10
A função ‘Rosemblatt.m’ irá transformar uma variável qualquer do espaço padrão
(média e desvio padrão qualquer) para uma variável do espaço de base (média zero e desvio
padrão unitário). Para tanto, esta função se utiliza de uma matriz de variáveis randômicas para
o cálculo (matriz (:,i) ).
nominalvalor
Figura 12 – Exemplo de transformação de uma variável do espaço base para o espaço padrão
– variável gaussiana
A função ‘MonteCarlo.m’ faz o cálculo da probabilidade de falha a partir do método
de Monte Carlo utilizando a função inversa de distribuição acumulada da variável normal
padrão, N (0,1); ( fp1 ), disponível no MATLAB (norminv), para se obter o índice
de confiabilidade ().
B. Interface com o usuário
A rotina MATLAB apresenta em um primeiro momento a interface com o usuário
como apresentado abaixo.
Figura 13 – Janela de interface com o usuário – demanda
do número de iterações
Por opção do estudante/pesquisador, no primeiro contato, o usuário fornece 3 valores
de iterações, por exemplo, 1000; 5000 e 10000; esclarece-se, entretanto, que mais valores
poderiam ser dados, sendo também valores diferentes do especificado no exemplo. Cabe
ressaltar que o método de Monte Carlo exige uma grande quantidade de iterações e isso pode
acarretar em um tempo de processamento computacional maior.
O segundo contato é apresentado pela Fig. 14 no qual o usuário deve escolher o tipo
de seção que irá trabalhar. Para cada tipo de seção um novo Torque resistente (TR) é
calculado.
Figura 14 – Interface de escolha do tipo de seção
O cálculo efetuado visa à verificação da probabilidade de falha de uma dada
geometria submetida à torção pura considerando um intervalo de variação do ângulo de
torção. Neste contexto, segue o que apresenta a Fig. 15, onde o usuário deve fornecer os
limites inferior e superior de variação do ângulo de torção em graus e o incremento a ser
respeitado. Caso ele deseje fazer o estudo para apenas um ângulo de torção, este deverá
indicar o limite inferior igual ao limite superior e o incremento igual a 0,1. Apesar dos dados
fornecidos pelo usuário serem em graus, os cálculos são feitos com o ângulo de torção em
radianos.
Figura 15 – Interface de entrada do intervalo de variação do ângulo de torção.
IV. RESULTADOS PRELIMINARES OBTIDOS COM O ESTUDO
Segundo o fluxograma apresentado na Fig. 10, avaliações de eixos submetidos à
torção pura são realizadas. Estas funções foram geradas utilizando as variáveis envolvidas de
acordo com as Tab. 4 (seção circular maciça), Tab. 5 (seção circular vazada) ou Tab. 6 (seção
retangular de paredes finas). Como resultado, o usuário obterá um gráfico com a variação da
probabilidade de falha em função do parâmetro de entrada, que para o caso estudado é o
ângulo de torção.
A Figura 16 apresenta o gráfico probabilidade de falha x ângulo de torção da seção
circular maciça de raio 0,03m e com o ângulo de torção variando de 1,7º a 2,3º. Estes mesmos
valores do ângulo de torção foram utilizados para gerar o gráfico da Fig. 17 para a seção
circular vazada de raio externo e raio interno de 0,03m e 0,02m, respectivamente.
Figura 16 – Probabilidade de falha x ângulo de torção para seção circular maciça
Figura 17 – Probabilidade de falha x ângulo de torção para seção circular vazada
Nota-se que as Fig. 16 e 17 apresentam gráficos decrescentes, quanto maior o ângulo de
torção, menor a probabilidade de falha. Sabe-se que o torque resistente (TR) é diretamente
proporcional ao ângulo de torção, portanto, quanto maior o ângulo, maior o TR e,
consequentemente, menor a probabilidade de falha. Essa análise representa o quanto o eixo
pode sofrer torção na faixa de ângulo estudada, ou seja, o quanto aquele eixo resiste em
termos de torção.
A probabilidade de falha normalmente é da ordem de 10-5
, o que mostra que, para muitos
casos, não há a possibilidade de compreensão de uma probabilidade de falha tão pequena, ou
seja, esse valor tem pouco significado em termos absolutos (Cremona, 2002), por isso sua
avaliação deve ser sempre em termos relativos considerando-se uma família de estruturas.
Entretanto, esses valores não foram observados nas Fig. 16 e 17 que tem as probabilidades de
falha variando de 0,002 a 0,012 e 0,02 a 0,15 para seção circular maciça e vazada,
respectivamente; devido ao fato das peças terem sido bastante penalizadas com um torque
solicitante alto. Isso confirma a necessidade do estudo de sensibilidade das variáveis.
Cabe ressaltar, que métodos de simulação como Monte Carlo fornecem probabilidade de
falha, entretanto utilizando-se a função inversa de distribuição acumulada da variável normal
padrão, N (0,1); ( fp1 ), é obtido o índice de confiabilidade (). Este funciona como
uma forma de “zoom” na região de falha e, portanto, na probabilidade de falha. Assim, para
as seções circulares maciça e vazada serão gerados os gráficos do índice de confiabilidade
pelo ângulo de torção.
Figura 18 – Índice de confiabilidade x ângulo de torção para seção circular maciça
Figura 19 – Índice de confiabilidade x ângulo de torção para seção circular vazada
V. CONCLUSÃO
O presente trabalho alcançou o objetivo proposto, qual seja a proposição de uma
metodologia de avaliação de eixos submetidos à torção pura utilizando-se o método de
simulação de Monte Carlo. Os resultados obtidos, apesar de preliminares, demonstram que a
metodologia está bem estruturada e a mesma pode ser ampliada para a avaliação de uma
família de eixos sob diferentes geometrias, condições de carregamento e propriedades de
material.
Os resultados levam a inferir que as correlações entre o módulo de elasticidade
transversal e o ângulo de torção, assim como o comprimento do eixo e o ângulo de torção
devem ser consideradas. As margens de segurança devem ser ampliadas para que se
considerem os efeitos combinados entre torção e flexão. Além disto métodos numéricos
podem ser utilizados de modo a obter os valores dos índices de confiabilidade ().
VI. BIBLIOGRAFIA
Beer, F., “Resistência dos Materiais”, Editora Ltda, São Paulo, SP, 2010.
Calgaro, J.A., “Introduction aux Eurocodes - Sécurité des constructions et bases de la théorie
de la fiabilité”, Ed. Presses de l'école nationale des Ponts et Chaussées, 1997.
Crandall, Stephen; DAHL Norman; LARDNER, Thomas.An Introduction to the Mechanics
of solids, Primisustom, 1999.
Cremona, C., “Securité Structurale des Ponts Existants”, Master Génie Civil Europeen, École
Nationale des Ponts et Chaussées, Paris – FR, 2002.
Highways Agency, “BD 79 – Level 4 and Level 5 Methods of Assessment for Bridges”,
2001.
Melchers, R. E., “Structural Reliability Analysis and Prediction”, Editora John Wiley & Sons,
Canada, 1999.
Popov, Egor; Indtrocução à Mecânica dos Sólidos; Blucher; 2008.
Schneider, J., “Introduction to Safety and Reliability of Structures”, Editoras IABSE, AIPC,
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Timoshenko, S., Gere, J. E., “Mecânica dos Sólidos”, Rio de Janeiro: Livros Técnicos e
Científicos, 1983.
Wittwer, J.W., "Monte Carlo Simulation Basics",
http://vertex42.com/ExcelArticles/mc/MonteCarloSimulation.html